En el artículo mostraremos como resolver fracciones en ejemplos sencillos y comprensibles. Averigüemos qué es una fracción y consideremos solución de fracciones!
Concepto fracciones se introduce en la asignatura de matemáticas a partir del 6º de bachillerato.
Las fracciones son de la forma: ± X / Y, donde Y es el denominador, indica en cuántas partes se dividió el todo, y X es el numerador, indica cuántas de esas partes se tomaron. Para mayor claridad, tomemos un ejemplo con un pastel:
En el primer caso, el pastel se cortó por igual y se tomó la mitad, es decir, 1/2. En el segundo caso, el pastel se cortó en 7 piezas, de las cuales se tomaron 4 piezas, es decir 4/7.
Si la parte de dividir un número por otro no es un número entero, se escribe como fracción.
Por ejemplo, la expresión 4:2 = 2 da un número entero, pero 4:7 no es completamente divisible, por lo que esta expresión se escribe como una fracción 4/7.
En otras palabras fracción es una expresión que denota la división de dos números o expresiones, y que se escribe usando una barra fraccionaria.
Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es correcta, si por el contrario es incorrecta. La fracción puede incluir un número entero.
Por ejemplo, 5 es 3/4.
Esta entrada significa que para obtener un 6 entero, falta una parte de cuatro.
si quieres recordar como resolver fracciones para sexto grado, Necesitas entender eso solución de fracciones básicamente se reduce a entender algunas cosas simples.
- Una fracción es esencialmente una expresión de una fracción. Es decir expresión numérica de que parte es valor dado de un todo. Por ejemplo, la fracción 3/5 expresa que si dividimos algo entero en 5 partes y el número de partes o partes de este todo es tres.
- La fracción puede ser menor que 1, por ejemplo 1/2 (o de hecho la mitad), entonces es correcta. Si la fracción es mayor que 1, por ejemplo 3/2 (tres mitades o uno y medio), entonces es incorrecta y para simplificar la solución, mejor seleccionamos la parte entera 3/2 = 1 entero 1/2 .
- Las fracciones son los mismos números que 1, 3, 10 e incluso 100, solo que los números no son enteros sino fraccionarios. Puede realizar las mismas operaciones con ellos que con los números. No es más difícil contar fracciones, y luego por ejemplos específicos lo mostraremos
Como resolver fracciones. Ejemplos.
Una variedad de operaciones aritméticas son aplicables a las fracciones.
Llevar una fracción a un denominador común
Por ejemplo, desea comparar las fracciones 3/4 y 4/5.
Para resolver el problema, primero encontramos el mínimo común denominador, es decir el número más pequeño que es divisible por cada uno de los denominadores de las fracciones
Mínimo común denominador (4,5) = 20
Entonces el denominador de ambas fracciones se reduce a la menor común denominador
Respuesta: 15/20
Suma y resta de fracciones
Si es necesario calcular la suma de dos fracciones, primero se llevan a un denominador común, luego se agregan los numeradores, mientras que el denominador permanece sin cambios. La diferencia de las fracciones se considera de la misma manera, la única diferencia es que los numeradores se restan.
Por ejemplo, necesitas encontrar la suma de las fracciones 1/2 y 1/3
Ahora encuentra la diferencia entre las fracciones 1/2 y 1/4
Multiplicación y división de fracciones
Aquí la solución de fracciones es simple, aquí todo es bastante simple:
- Multiplicación - los numeradores y denominadores de fracciones se multiplican entre sí;
- División - primero obtenemos el inverso de la segunda fracción, es decir intercambiamos su numerador y denominador, después de lo cual multiplicamos las fracciones resultantes.
Por ejemplo:
sobre esto como resolver fracciones, todo. Si todavía tiene alguna pregunta sobre resolver fracciones, si algo no está claro, escriba en los comentarios y definitivamente le responderemos.
Si eres profesor, es posible descargar una presentación para escuela primaria(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) le resultará útil.
1 Que son las fracciones ordinarias. Tipos de fracciones.Fracción siempre significa una parte del todo. El hecho es que no siempre es posible transmitir la cantidad con números naturales, es decir, recalcular: 1,2,3, etc. ¿Cómo, por ejemplo, quiere decir media sandía o un cuarto de hora? Por eso aparecieron los números fraccionarios, o fracciones.
Para empezar, hay que decir que en general existen dos tipos de fracciones: las fracciones ordinarias y las fracciones decimales. Las fracciones ordinarias se escriben así:
Las fracciones decimales se escriben de manera diferente:
Las fracciones ordinarias tienen dos partes: en la parte superior está el numerador, en la parte inferior está el denominador. La barra fraccionaria separa el numerador y el denominador. Así que recuerda:
Cualquier fracción es parte de un todo.... Generalmente se toma todo 1 (unidad). El denominador de la fracción muestra en cuántas partes se divide el todo ( 1 ), y el numerador es cuántas partes se tomaron. Si cortamos la tarta en 6 trozos iguales (en matemáticas se dice Comparte ), entonces cada parte del pastel será igual a 1/6. Si Vasya comió 4 piezas, significa que comió 4/6.
Por otro lado, una barra fraccionaria no es más que un signo de división. Por lo tanto, una fracción es un cociente de dos números: el numerador y el denominador. En el texto de problemas o en recetas de platos, las fracciones se suelen escribir de la siguiente manera: 2/3, 1/2, etc. Algunas fracciones obtuvieron nombre propio, por ejemplo, 1/2 - "mitad", 1/3 - "tercero", 1/4 - "cuarto"
Ahora averigüemos qué tipos de fracciones ordinarias son.
2 Tipos de fracciones ordinarias
Hay tres tipos de fracciones ordinarias: regulares, incorrectas y mixtas:
fracción propia
Si el numerador es menor que el denominador, entonces dicha fracción se llama correcto, Por ejemplo: 
fracción propia siempre menor que 1.
Fracción impropia
Si el numerador es mayor o igual que el denominador, tal fracción se llama incorrecto, Por ejemplo:
Fracción impropia mayor que uno (si el numerador es mayor que el denominador) o igual a uno (si el numerador es igual al denominador)
fracción mixta
Si una fracción consta de un número entero (parte entera) y una fracción regular (parte fraccionaria), entonces dicha fracción se llama mezclado, Por ejemplo: 
Una fracción mixta siempre es mayor que uno.
3 Conversiones de fracciones
En matemáticas, muchas veces hay que transformar fracciones ordinarias, es decir, hay que convertir una fracción mixta en una incorrecta y viceversa. Esto es necesario para realizar algunas acciones, como la multiplicación y la división.
Entonces, cualquier fracción mixta se puede convertir a incorrecta... Para ello se multiplica la parte entera por el denominador y se suma el numerador de la parte fraccionaria. Se toma como numerador la cantidad resultante y se deja igual el denominador, por ejemplo:
Cualquier fracción irregular se puede mezclar. Para ello se divide el numerador por el denominador (con resto), el número resultante será la parte entera, y el resto será el numerador de la parte fraccionaria, por ejemplo:
Al mismo tiempo, dicen: "Hemos aislado la parte entera de la fracción equivocada".
Hay una regla más para recordar: Cualquier número entero se puede representar como una fracción ordinaria con denominador 1, Por ejemplo:
Hablemos de cómo comparar fracciones.
4 Comparación de fracciones
Al comparar fracciones, puede haber varias opciones: Es fácil comparar fracciones con el mismo denominador, mucho más difícil si los denominadores son diferentes. Y también hay una comparación de fracciones mixtas. Pero no te preocupes, ahora veremos más de cerca cada opción y aprenderemos a comparar fracciones.
Comparar fracciones con el mismo denominador
De dos fracciones con el mismo denominador, pero diferente numerador, mayor es la fracción con mayor numerador, por ejemplo:
Comparar fracciones con los mismos numeradores
De dos fracciones con los mismos numeradores, pero diferentes denominadores, mayor es la fracción con menor denominador, por ejemplo:
Comparación de fracciones mixtas e impropias con fracciones correctas
Una fracción irregular o mixta siempre es mayor que una fracción regular, por ejemplo:
Comparación de dos fracciones mixtas
Al comparar dos fracciones mixtas, la fracción con el entero mayor es mayor, por ejemplo:
Si las partes enteras de las fracciones mixtas son iguales, mayor es la fracción con la parte fraccionaria mayor, por ejemplo:
Comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores
Es imposible comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores sin convertirlos. Primero, las fracciones deben reducirse al mismo denominador, y luego deben compararse sus numeradores. Cuanto mayor es la fracción con el numerador mayor. Pero cómo reducir fracciones al mismo denominador, lo consideraremos en las próximas dos secciones del artículo. Primero, veremos la propiedad básica de las fracciones y la cancelación de fracciones, y luego reduciremos directamente las fracciones al mismo denominador.
5 La propiedad principal de una fracción. Reducción de fracciones. El concepto de DCG.
Recordar: sumar y restar, así como comparar, solo se pueden comparar fracciones con el mismo denominador... Si los denominadores son diferentes, primero debe llevar las fracciones a un denominador, es decir, transformar una de las fracciones para que su denominador sea el mismo que el de la segunda fracción.
Las fracciones tienen una propiedad importante, también llamada la propiedad principal de la fracción:
Si tanto el numerador como el denominador de la fracción se multiplican o dividen por el mismo número, entonces el valor de la fracción no cambiará:
Gracias a esta propiedad, podemos reducir fracciones:
Cancelar una fracción es dividir el numerador y el denominador por el mismo número.(ver ejemplo justo arriba). Cuando reducimos una fracción, podemos escribir nuestras acciones así:
Más a menudo, en un cuaderno, reducen la fracción así:
Pero recuerde, solo los factores pueden cancelarse. Si el numerador o el denominador es la suma o la diferencia, no puedes cancelar los términos. Ejemplo:
Primero debes convertir la suma a un multiplicador:
A veces, cuando se trabaja con números grandes, para cancelar una fracción, es conveniente encontrar máximo común denominador de numerador y denominador (mcd)
Máximo común divisor (MCD) números múltiples: este es el número natural más grande por el cual estos números son divisibles sin resto.
Para encontrar el MCD de dos números (por ejemplo, el numerador y el denominador de una fracción), debes descomponer ambos números en factores primos, marcar los mismos factores en ambas expansiones y multiplicar estos factores. El producto resultante será GCD. Por ejemplo, necesitamos reducir la fracción:
Encuentra el MCD de los números 96 y 36:
GCD nos muestra que tanto el numerador como el denominador tienen un factor 12, y podemos cancelar fácilmente la fracción. 
A veces, para llevar fracciones al mismo denominador, basta cancelar una de las fracciones. Pero más a menudo es necesario seleccionar factores adicionales para ambas fracciones Ahora veremos cómo se hace esto. Entonces:
6 Cómo convertir fracciones a un denominador. Mínimo común múltiplo (mcm).
Cuando reducimos fracciones al mismo denominador, seleccionamos un número para el denominador que sería divisible tanto por el primer como por el segundo denominador (es decir, sería un múltiplo de ambos denominadores, en términos matemáticos). Y es deseable que este número sea lo más pequeño posible, por lo que es más conveniente contar. Por lo tanto, tenemos que encontrar el MCM de ambos denominadores.
Mínimo común múltiplo de dos (mcm) es el número natural más pequeño que es divisible por ambos números sin resto. A veces, el MCM se puede encontrar oralmente, pero con mayor frecuencia, especialmente cuando se trabaja con números grandes, debe encontrar el MCM por escrito utilizando el siguiente algoritmo:
Para encontrar el MCM de varios números, necesitas:
- Factoriza estos números
- Toma la expansión más grande y escribe estos números como un producto
- Seleccione en otras expansiones los números que no ocurren en la expansión más grande (o ocurren en ella un número menor de veces), y agréguelos al producto.
- Multiplica todos los números del producto, este será el MCM.
Por ejemplo, encontremos el MCM de los números 28 y 21:
Sin embargo, volvamos a nuestras fracciones. Después de haber elegido o calculado por escrito el MCM de ambos denominadores, debemos multiplicar los numeradores de estas fracciones por factores adicionales... Puedes encontrarlos dividiendo el MCM por el denominador de la fracción correspondiente, por ejemplo: 
Por lo tanto, llevamos nuestras fracciones al mismo denominador: 15.
7 Suma y resta de fracciones
Suma y resta de fracciones con el mismo denominador
Para sumar fracciones con el mismo denominador, se suman sus numeradores y se deja igual el denominador, por ejemplo:
Para restar fracciones con el mismo denominador, resta el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, y deja el denominador igual, por ejemplo: 
Sumar y restar fracciones mixtas con el mismo denominador
Para sumar fracciones mixtas, debe sumar sus partes enteras por separado y luego sumar sus partes fraccionarias y anotar el resultado tiro mixto:
Si al sumar las partes fraccionarias se obtiene una fracción incorrecta, seleccione la parte entera de ella y súmela a la parte entera, por ejemplo:
La resta se realiza de la misma manera: la parte entera se resta del todo y la parte fraccionaria se resta de la parte fraccionaria: 
Si la parte fraccionaria de la resta es mayor que la parte fraccionaria de la reducida, "tomamos" uno de la parte entera, convirtiendo la reducida en una fracción irregular, y luego actuamos como de costumbre: 
igualmente restar la fracción del entero:
Cómo sumar un número entero y una fracción
Para sumar un número entero y una fracción, solo necesita sumar este número delante de la fracción y obtendrá una fracción mixta, por ejemplo:
Si nosotros sumar un entero y una fraccion mixta, sumamos este número a la parte entera de la fracción, por ejemplo:
Suma y resta de fracciones con distinto denominador.
Para sumar o restar fracciones con diferente denominador, primero debes llevarlas al mismo denominador, y luego proceder como cuando sumas fracciones con el mismo denominador (suma los numeradores):
A la hora de restar se procede de la misma forma:
Si trabajamos con fracciones mixtas, llevamos sus partes fraccionarias al mismo denominador y luego restamos como de costumbre: la parte entera de la entera, y la parte fraccionaria de la parte fraccionaria:
8 Multiplicación y división de fracciones.
Multiplicar y dividir fracciones ordinarias es mucho más fácil que sumar y restar, ya que no es necesario llevarlas al mismo denominador. Recordar reglas simples multiplicacion y division de fracciones:
Antes de multiplicar los números en el numerador y el denominador, es recomendable reducir la fracción, es decir, deshacerse de los mismos factores en el numerador y el denominador, como en nuestro ejemplo.
Para dividir una fracción por un número natural, debe multiplicar el denominador por este número y dejar el numerador sin cambios:
Por ejemplo:
Dividir una fracción en una fracción
Para dividir una fracción por otra, necesitas multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor ( fracción recíproca¿Qué es este recíproco?
Si volteamos la fracción, es decir, intercambiamos los lugares del numerador y el denominador, entonces obtenemos el recíproco. El producto de una fracción y su fracción inversa da uno. En matemáticas, tales números se llaman números mutuamente inversos:
Por ejemplo, los números 
son mutuamente inversas, ya que
Entonces, volvamos a dividir una fracción por una fracción:
Para dividir una fracción por otra, necesitas multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor:
Por ejemplo:
Al dividir fracciones mixtas, primero debe traducirlas a fracciones impropias:
Al multiplicar y dividir fracciones por números naturales enteros, también puedes representar estos números como fracciones con el denominador 1 .
y en dividir un entero por una fracción representamos este número como una fracción con un denominador 1 :
Numerador y denominador de la fracción. Tipos de fracciones. Continuamos considerando fracciones. Primero, un pequeño descargo de responsabilidad: considerando fracciones y los ejemplos correspondientes con ellas, por ahora solo trabajaremos con su representación numérica. También hay expresiones literales fraccionarias (con y sin números).Sin embargo, todos los "principios" y reglas también se aplican a ellos, pero hablaremos de tales expresiones por separado en el futuro. Recomiendo visitar y estudiar (recordar) el tema de las fracciones paso a paso.
¡¡¡Lo más importante es comprender, recordar y darse cuenta de que FRACCIÓN es un NÚMERO!!!
fracción común es un número de la forma:
El número ubicado "arriba" (en este caso, m) se llama numerador, el número ubicado debajo (el número n) se llama denominador. Aquellos que acaban de tocar el tema a menudo tienen confusión: cuál es el nombre.
Aquí hay un truco para recordar para siempre: dónde está el numerador y dónde está el denominador. Esta técnica está asociada a una asociación verbal-figurativa. Imagina un frasco con agua turbia... Se sabe que a medida que el agua se asienta, queda agua limpia encima, y los sedimentos (suciedad) se asientan, recordemos:
CHISSS agua derretida ARRIBA (CHISSS vertiéndose desde arriba)
Grya ZZZNNN agua ABAJO (reemplazo de ZNNN en la parte inferior)
Entonces, tan pronto como surge la necesidad de recordar dónde está el numerador y dónde está el denominador, inmediatamente visualizaron una jarra con agua sedimentada, en la que en la parte superior Agua pura, y por debajo agua sucia... Hay otras técnicas para la memorización, si te ayudan, está bien.
Ejemplos de fracciones comunes:
¿Qué significa la barra horizontal entre los números? Esto no es más que un signo de división. Resulta que la fracción se puede ver como un ejemplo con la acción de la división. Esta acción simplemente se registra en este formulario. Es decir, el número de arriba (numerador) se divide por el número de abajo (denominador):
Además, también hay una forma de notación: una fracción se puede escribir así (separada por una barra oblicua):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 y así sucesivamente...
Podemos escribir las fracciones anteriores así:
El resultado de la división, como sabes, es el número.
Lo tengo - ¡¡¡LA FRACCIÓN ES UN NÚMERO!!!
Como ya habrás notado, una fracción ordinaria puede tener un numerador menor que un denominador, puede ser mayor que un denominador y puede ser igual a él. Hay muchos puntos importantes, que son comprensibles intuitivamente, sin ninguna sofisticación teórica. Por ejemplo:
1. Las fracciones 1 y 3 se pueden escribir como 0.5 y 0.01. Avancemos un poco: estas son fracciones decimales, hablaremos de ellas un poco más abajo.
2. Las fracciones 4 y 6 dan como resultado un número entero 45: 9 = 5, 11: 1 = 11.
3. La fracción 5 da como resultado la unidad 155: 155 = 1.
¿Qué conclusiones se sugieren por sí mismas? La siguiente:
1. El numerador, cuando se divide por el denominador, puede dar un número finito. Puede que no funcione, divídalo por una columna 7 por 13 o 17 por 11, ¡de ninguna manera! Puedes compartir infinitamente, pero también hablaremos de esto a continuación.
2. Una fracción puede dar como resultado un número entero. Por lo tanto, podemos representar cualquier número entero como una fracción, o más bien una serie infinita de fracciones, mira, todas estas fracciones son iguales a 2:
¡Más! Siempre podemos escribir cualquier número entero como una fracción: este número en sí está en el numerador, uno está en el denominador:
3. Siempre podemos representar la unidad como una fracción con cualquier denominador:
* Estos puntos son extremadamente importantes para trabajar con fracciones en cálculos y transformaciones.
Tipos de fracciones.
Y ahora sobre la división teórica de fracciones ordinarias. se dividen en correcto e incorrecto.
La fracción con el numerador menor que el denominador se llama correcta. Ejemplos:
Una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se llama incorrecta. Ejemplos:
fracción mixta(numero mixto).
Una fracción mixta es una fracción escrita como un número entero y una fracción regular y se entiende como la suma de este número y su parte fraccionaria. Ejemplos:
Una fracción mixta siempre se puede representar como una fracción impropia y viceversa. ¡Vamos más allá!
Fracciones decimales.
Ya los hemos mencionado anteriormente, estos son los ejemplos (1) y (3), ahora con más detalle. Estos son ejemplos de fracciones decimales: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Una fracción cuyo denominador es una potencia de 10, por ejemplo 10, 100, 1000, etc., se llama decimal. No es difícil escribir las primeras tres fracciones indicadas en forma de fracciones ordinarias:
El cuarto es una fracción mixta (número mixto):
La fracción decimal tiene la siguiente forma de notación - concomienza la parte entera, luego el separador de las partes entera y fraccionaria es un punto o coma y luego la parte fraccionaria, el número de dígitos de la parte fraccionaria está estrictamente determinado por la dimensión de la parte fraccionaria: si estos son décimos, el la parte fraccionaria se escribe en un dígito; si milésimas - tres; diez milésimas - cuatro, etc.
Estas fracciones son finitas e infinitas.
Ejemplos de fracciones decimales finales: 0,234; 0,87; 34,00005; 5.765.
Los ejemplos son infinitos. Por ejemplo pi es infinito decimal, más - 0.333333333333 ... ... 0.1666666666 .... y otros. También el resultado de sacar la raíz de los números 3, 5, 7, etc. será una fracción infinita.
La parte fraccionaria puede ser cíclica (hay un ciclo en ella), los dos ejemplos anteriores son iguales, más ejemplos:
0.123123123123 ... ... ciclo 123
0.781781781718 ... ... ciclo 781
0.0250102501 .... ciclo 02501
Se pueden escribir como 0, (123) 0, (781) 0, (02501).
Pi no es una fracción cíclica como, por ejemplo, la raíz de tres.
A continuación, en los ejemplos, sonarán palabras como "voltear" la fracción; esto significa que el numerador y el denominador están intercambiados. De hecho, tal fracción tiene un nombre: una fracción inversa. Ejemplos de fracciones recíprocas:
Pequeño resumen! fracciones son:
Ordinario (correcto e incorrecto).
Decimal (finito e infinito).
Mixto (números mixtos).
¡Eso es todo!
Atentamente, Alejandro.
Hablando de matemáticas, uno no puede evitar recordar las fracciones. Dedican mucho tiempo y atención a su estudio. Recuerda cuántos ejemplos tuviste que resolver para aprender ciertas reglas para trabajar con fracciones, cómo memorizaste y aplicaste la propiedad básica de una fracción. ¡Cuántos nervios se gastaron para encontrar el denominador común, especialmente si había más de dos términos en los ejemplos!
Recordemos de qué se trata, y refresquemos un poco la memoria la información básica y las reglas para trabajar con fracciones.
Definición de fracciones
Comencemos con lo más importante: las definiciones. Una fracción es un número que se compone de una o más partes de uno. Un número fraccionario se escribe como dos números separados por una barra horizontal o barra. En este caso, el superior (o primero) se llama numerador, y el inferior (segundo) se llama denominador.
Vale la pena señalar que el denominador muestra en cuántas partes se divide la unidad y el numerador es el número de partes o partes tomadas. Las fracciones, si son correctas, suelen ser menores que uno.
Ahora veamos las propiedades de estos números y las reglas básicas que se usan cuando se trabaja con ellos. Pero antes de analizar un concepto como "la propiedad principal de una fracción racional", hablemos de los tipos de fracciones y sus características.
que son las fracciones
Hay varios tipos de tales números. En primer lugar, estos son ordinarios y decimales. Los primeros representan el tipo de grabación ya indicado por nosotros mediante una barra horizontal o barra. El segundo tipo de fracciones se indica mediante la denominada notación posicional, cuando se indica primero la parte entera del número, y luego, después de la coma, se indica la parte fraccionaria.
Vale la pena señalar aquí que en matemáticas, tanto las fracciones decimales como las ordinarias se usan de la misma manera. La propiedad principal de la fracción es válida solo para la segunda opción. Además, los números correctos e incorrectos se distinguen en las fracciones ordinarias. Para el primero, el numerador siempre es menor que el denominador. Tenga en cuenta también que tal fracción es menor que uno. En una fracción irregular, por el contrario, el numerador es mayor que el denominador, y él mismo es mayor que uno. En este caso, se puede extraer un número entero de él. En este artículo, solo consideraremos fracciones ordinarias.
Propiedades de las fracciones
Cualquier fenómeno, químico, físico o matemático, tiene sus propias características y propiedades. Los números fraccionarios no fueron una excepción. Tienen una característica importante, con la ayuda de la cual se pueden realizar ciertas operaciones en ellos. ¿Cuál es la propiedad principal de una fracción? La regla dice que si su numerador y denominador se multiplican o dividen por el mismo número racional, obtenemos una nueva fracción, cuyo valor será igual al valor del original. Es decir, al multiplicar las dos partes del número fraccionario 3/6 por 2, obtenemos una nueva fracción 6/12, mientras que serán iguales.
Según esta propiedad, puede reducir fracciones, así como seleccionar denominadores comunes para un par de números en particular.
Operaciones
Aunque las fracciones son más complejas para nosotros, también puedes realizar operaciones matemáticas básicas como sumas y restas, multiplicaciones y divisiones en comparación con ellas. Además, existe una acción tan específica como la reducción de fracciones. Naturalmente, cada una de estas acciones se realiza de acuerdo con ciertas reglas. El conocimiento de estas leyes facilita el trabajo con fracciones, lo hace más fácil y más interesante. Es por eso que más adelante consideraremos las reglas básicas y un algoritmo de acciones cuando trabajemos con tales números.
Pero antes de hablar de operaciones matemáticas como la suma y la resta, examinemos una operación como la reducción a un denominador común. Aquí es donde el conocimiento de cuál es la propiedad básica de una fracción nos es útil.
Común denominador
Para llevar un número a un denominador común, primero debes encontrar el múltiplo común más pequeño de los dos denominadores. Es decir, el número más pequeño que es simultáneamente divisible por ambos denominadores sin resto. La forma más fácil de encontrar el MCM (mínimo común múltiplo) es escribir en una línea para un denominador, luego para el segundo y encontrar el número correspondiente entre ellos. En el caso de que no se encuentre el MCM, es decir, estos números no tienen un múltiplo común, se deben multiplicar y el valor resultante se debe considerar como el MCM.
Entonces, hemos encontrado el MCM, ahora necesitamos encontrar un factor adicional. Para hacer esto, debe dividir alternativamente el MCM en los denominadores de las fracciones y escribir el número resultante sobre cada uno de ellos. Luego, debes multiplicar el numerador y el denominador por el factor adicional resultante y escribir los resultados como una nueva fracción. Si dudas que el número que recibiste sea igual al anterior, recuerda la propiedad básica de una fracción.
Adición
Ahora vayamos directamente a las operaciones matemáticas con números fraccionarios. Comencemos con el más simple. Hay varias opciones para sumar fracciones. En el primer caso, ambos números tienen el mismo denominador. En este caso, solo queda sumar los numeradores. Pero el denominador no cambia. Por ejemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.
si fracciones diferentes denominadores, debe llevarlos a común y solo luego realizar la suma. Cómo hacer esto, lo hemos solucionado un poco más arriba. En esta situación, la propiedad básica de la fracción será útil. La regla te permitirá llevar los números a un denominador común. Esto no cambia el valor de ninguna manera.
Alternativamente, puede suceder que la fracción se mezcle. Entonces primero debes sumar las partes enteras y luego las partes fraccionarias.
Multiplicación
No requiere ningún truco, y para realizar esta acción, no es necesario conocer la propiedad básica de la fracción. Basta con multiplicar primero los numeradores y los denominadores juntos. En este caso, el producto de los numeradores se convertirá en el nuevo numerador y los denominadores se convertirán en el nuevo denominador. Como puedes ver, nada complicado.
Lo único que se requiere de ti es el conocimiento de la tabla de multiplicar, así como la atención. Además, después de recibir el resultado, definitivamente debe verificar si es posible reducir número dado O no. Hablaremos de cómo reducir fracciones un poco más adelante.
Sustracción
La interpretación debe guiarse por las mismas reglas que cuando se agrega. Entonces, en números con el mismo denominador, basta restar el numerador de lo restado del numerador de lo reducido. En el caso de que las fracciones tengan distintos denominadores, deberás llevarlas a uno común y luego realizar esta operación. Como en el caso similar con la suma, deberá usar la propiedad principal fracción algebraica, así como habilidades para encontrar el NOC y divisores comunes para fracciones.
División
Y la última operación, la más interesante cuando se trabaja con tales números, es la división. Es bastante simple y no causa ninguna dificultad particular, incluso para aquellos que no saben cómo trabajar con fracciones, en particular, realizar operaciones de suma y resta. Al dividir, existe una regla como la multiplicación por el recíproco. La propiedad básica de una fracción, como en el caso de la multiplicación, no se utilizará para esta operación. Miremos más de cerca.
Al dividir números, el dividendo permanece sin cambios. La fracción del divisor se invierte, es decir, el numerador y el denominador se invierten. Después de eso, los números se multiplican entre sí.
Reducción
Entonces, ya analizamos la definición y la estructura de las fracciones, sus tipos, las reglas para las operaciones con números dados y aclaramos la propiedad principal de una fracción algebraica. Ahora hablemos de una operación como la reducción. Reducir una fracción es el proceso de convertirla, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Así, la fracción se reduce sin cambiar sus propiedades.
Por lo general, al cometer operacion matematica debe observar detenidamente el resultado obtenido y averiguar si es posible reducir la fracción resultante o no. Recuerda que siempre se escribe el resultado final que no requiere reducción. numero fraccional.
Otras operaciones
Finalmente, notamos que no hemos enumerado todas las operaciones con números fraccionarios, mencionando solo las más famosas y necesarias. Las fracciones también se pueden igualar, convertir a decimal y viceversa. Pero en este artículo no consideramos estas operaciones, ya que en matemáticas se llevan a cabo con mucha menos frecuencia que las que hemos dado anteriormente.
conclusiones
Hablamos de números fraccionarios y operaciones con ellos. También analizamos la propiedad principal, pero notemos que todas estas preguntas fueron consideradas por nosotros de pasada. Hemos dado solo las reglas más famosas y utilizadas, hemos dado los consejos más importantes, en nuestra opinión.
Este artículo pretende refrescar la información que has olvidado sobre las fracciones más que dar nueva información y "llenarte" la cabeza de un sinfín de reglas y fórmulas que, muy probablemente, no te serán de utilidad.
Esperamos que el material presentado en el artículo de manera simple y concisa le haya resultado útil.
Este artículo es sobre fracciones comunes... Aquí nos familiarizaremos con el concepto de fracción de un todo, lo que nos llevará a la definición de fracción ordinaria. Además, nos detendremos en la notación aceptada para fracciones ordinarias y daremos ejemplos de fracciones, digamos sobre el numerador y el denominador de una fracción. Después de eso, daremos definiciones de fracciones correctas e incorrectas, positivas y negativas, y también consideraremos la posición de los números fraccionarios en el rayo de coordenadas. En conclusión, enumeramos las principales acciones con fracciones.
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acciones del todo
Primero introducimos compartir concepto.
Supongamos que tenemos algún objeto formado por varias partes absolutamente idénticas (es decir, iguales). Para mayor claridad, puedes imaginar, por ejemplo, una manzana cortada en varias partes iguales, o una naranja, que consta de varias rodajas iguales. Cada una de estas partes iguales que componen el todo se llama acciones de un todo o simplemente Comparte.
Tenga en cuenta que las acciones son diferentes. Expliquemos esto. Digamos que tenemos dos manzanas. Partamos la primera manzana en dos partes iguales y la segunda en 6 partes iguales. Está claro que la parte de la primera manzana diferirá de la parte de la segunda manzana.
Dependiendo de la cantidad de tiempos que componen el tema completo, estos tiempos tienen sus propios nombres. analicemos compartir nombres... Si el objeto consta de dos partes, cualquiera de ellas se denomina parte de una segunda parte del todo; si el objeto consta de tres partes, entonces cualquiera de ellas se llama una tercera parte, y así sucesivamente.
Una segunda parte tiene un nombre especial: mitad... Un tercio de la participación se llama tercera, y un cuarto es un cuarto.
En aras de la brevedad, se han introducido los siguientes. designaciones de acciones... Una segunda parte se designa como 1/2, una tercera parte como 1/3; un cuarto es como o 1/4, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la notación con una barra horizontal se usa con más frecuencia. Para consolidar el material, daremos un ejemplo más: el registro denota ciento sesenta y siete partes del total.
Compartir concepto naturalmente se extiende de los objetos a las cantidades. Por ejemplo, una de las medidas para medir la longitud es el metro. Para medir longitudes más cortas que un metro, puede usar fracciones de un metro. Así que puedes usar, por ejemplo, medio metro o una décima o milésima de metro. Las fracciones de otras cantidades se aplican de la misma manera.
Fracciones comunes, definiciones y ejemplos de fracciones.
Para describir el número de latidos, utilice fracciones comunes... Pongamos un ejemplo que nos permitirá acercarnos a la definición de fracciones ordinarias.
Que la naranja tenga 12 partes. Cada latido en este caso representa una doceava parte de una naranja entera, es decir,. Designemos dos acciones como, tres acciones - como, y así sucesivamente, designaremos 12 acciones como. Cada una de estas entradas se llama fracción.
Ahora vamos a dar un general definición de fracciones comunes.
La definición sondeada de fracciones ordinarias nos permite dar ejemplos de fracciones comunes: 5/10, 21/1, 9/4,. Y aquí están los registros. 
no se ajustan a la definición expresada de fracciones ordinarias, es decir, no son fracciones ordinarias.
Numerador y denominador
Por conveniencia, se distingue una fracción común numerador y denominador.
Definición.
Numerador fracción (m/n) es un número natural m.
Definición.
Denominador fracción (m/n) es un número natural n.
Entonces, el numerador está arriba de la línea fraccionaria (a la izquierda de la barra inclinada) y el denominador está debajo de la línea fraccionaria (a la derecha de la línea oblicua). Por ejemplo, demos una fracción ordinaria 17/29, el numerador de esta fracción es el número 17 y el denominador es el número 29.
Queda por discutir el significado del numerador y denominador de una fracción ordinaria. El denominador de una fracción muestra de cuántas partes consta un elemento, el numerador, a su vez, indica el número de dichas partes. Por ejemplo, el denominador 5 de la fracción 12/5 significa que un artículo tiene cinco partes, y el numerador 12 significa que hay 12 de esas partes.
Número natural como fracción con denominador 1
El denominador de una fracción ordinaria puede ser es igual a uno... En este caso, podemos suponer que el objeto es indivisible, en otras palabras, es algo completo. El numerador de dicha fracción indica cuántos elementos enteros se tomaron. De este modo, fracción común de la forma m/1 tiene el significado de un número natural m. Así comprobamos la validez de la igualdad m/1=m.
Reescribimos la última igualdad de la siguiente manera: m = m / 1. Esta igualdad nos permite representar cualquier número natural m como una fracción ordinaria. Por ejemplo, 4 es una fracción de 4/1 y 103 498 es igual a 103 498/1.
Entonces, cualquier número natural m se puede representar como una fracción ordinaria con denominador 1 como m/1, y cualquier fracción ordinaria de la forma m/1 se puede reemplazar por un número natural m.
Barra oblicua de fracción como signo de división
La representación del elemento original en forma de n acciones no es más que una división en n partes iguales. Después de dividir el artículo en n acciones, podemos dividirlo en partes iguales entre n personas; cada una recibirá una acción.
Si inicialmente tenemos m objetos idénticos, cada uno de los cuales se divide en n partes, entonces podemos dividir estos m objetos entre n personas, dando a cada persona una parte de cada uno de los m objetos. En este caso, cada persona tendrá m acciones de 1/n, ym acciones de 1/n da una fracción ordinaria m/n. Así, la fracción común m/n se puede utilizar para denotar la división de m objetos entre n personas.
Entonces obtuvimos una conexión explícita entre las fracciones ordinarias y la división (ver la idea general de la división de números naturales). Esta relación se expresa en lo siguiente: una barra oblicua de una fracción puede entenderse como un signo de división, es decir, m/n = m:n.
Usando una fracción ordinaria, puedes escribir el resultado de dividir dos números naturales para los que no se realiza la división de enteros. Por ejemplo, el resultado de dividir 5 manzanas entre 8 personas se puede escribir como 5/8, es decir, a todos les saldrán cinco octavos de manzana: 5:8 = 5/8.
Fracciones ordinarias iguales y desiguales, comparación de fracciones
Una acción bastante natural es comparación de fracciones ordinarias, después de todo, está claro que 1/12 de una naranja es diferente de 5/12, y 1/6 de una manzana es lo mismo que otro 1/6 de esta manzana.
Como resultado de comparar dos fracciones ordinarias, se obtiene uno de los resultados: las fracciones son iguales o no iguales. En el primer caso, tenemos fracciones iguales, y en el segundo - fracciones desiguales... Demos una definición de fracciones ordinarias iguales y desiguales.
Definición.
son iguales si la igualdad a d = b c es verdadera.
Definición.
Dos fracciones a/b y c/d no es igual si la igualdad a d = b c no se cumple.
Estos son algunos ejemplos de fracciones iguales. Por ejemplo, una fracción ordinaria 1/2 es igual a 2/4, ya que 1 4 = 2 2 (si es necesario, consulte las reglas y ejemplos para multiplicar números naturales). Para mayor claridad, puede imaginar dos manzanas idénticas, la primera se corta por la mitad y la segunda se corta en 4 partes. Además, es obvio que dos cuartos de una manzana es 1/2 parte. Otros ejemplos de fracciones iguales son 4/7 y 36/63, y un par de fracciones 81/50 y 1620/1000.
Y las fracciones ordinarias 4/13 y 5/14 no son iguales, ya que 4 · 14 = 56, y 13 · 5 = 65, es decir, 4 · 14 ≠ 13 · 5. Las fracciones 17/7 y 6/4 son otro ejemplo de fracciones ordinarias desiguales.
Si, al comparar dos fracciones ordinarias, resultó que no son iguales, es posible que deba averiguar cuál de estas fracciones ordinarias menos otro, y cual - más... Para averiguarlo, se usa la regla para comparar fracciones ordinarias, cuya esencia se reduce a llevar las fracciones comparadas a un denominador común y luego comparar los numeradores. La información detallada sobre este tema se recopila en el artículo Comparación de fracciones: reglas, ejemplos, soluciones.
Números fraccionarios
Cada fracción es un registro. numero fraccional... Es decir, una fracción es solo una "cáscara" de un número fraccionario, su apariencia, y toda la carga semántica está contenida precisamente en el número fraccionario. Sin embargo, por brevedad y conveniencia, los conceptos de fracción y número fraccionario se combinan y simplemente se expresan como una fracción. Aquí es apropiado reformular un dicho bien conocido: decimos una fracción, queremos decir un número fraccionario, decimos un número fraccionario, queremos decir una fracción.
Fracciones en el rayo de coordenadas
Todos los números fraccionarios correspondientes a fracciones ordinarias tienen su lugar único en, es decir, existe una correspondencia uno a uno entre fracciones y puntos del rayo de coordenadas.
Para subir al rayo de coordenadas al punto correspondiente a la fracción m / n, debe posponer m segmentos desde el origen en la dirección positiva, cuya longitud es 1 / n fracción de un segmento unitario. Dichos segmentos se pueden obtener dividiendo un segmento unitario en n partes iguales, lo que siempre se puede hacer usando un compás y una regla.
Como ejemplo, mostremos el punto M en el rayo de coordenadas, correspondiente a la fracción 14/10. La longitud del segmento que termina en el punto O y el punto más cercano a él, marcado con un pequeño trazo, es 1/10 de una unidad de segmento. El punto con la coordenada 14/10 se encuentra a una distancia de 14 de tales segmentos del origen.
Las fracciones iguales corresponden al mismo número fraccionario, es decir, las fracciones iguales son las coordenadas del mismo punto en el rayo de coordenadas. Por ejemplo, un punto corresponde a las coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 en el rayo de coordenadas, ya que todas las fracciones escritas son iguales (se encuentra a una distancia de medio segmento unitario, conjunto aparte del origen en la dirección positiva).
En el rayo de coordenadas horizontal y dirigido a la derecha, el punto cuya coordenada es la fracción mayor se ubica a la derecha del punto cuya coordenada es la fracción menor. De manera similar, el punto con la coordenada más pequeña se encuentra a la izquierda del punto con la coordenada más grande.
Fracciones correctas e impropias, definiciones, ejemplos.
Entre las fracciones ordinarias, hay fracciones correctas e incorrectas... Esta división se basa en la comparación del numerador y el denominador.
Demos una definición de fracciones ordinarias regulares e irregulares.
Definición.
fracción propia Es una fracción ordinaria, cuyo numerador es menor que el denominador, es decir, si m Definición.
Fracción impropia Es una fracción ordinaria en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, es decir, si m≥n, entonces la fracción ordinaria es incorrecta. Estos son algunos ejemplos de fracciones regulares: 1/4, 32 765/909 003. De hecho, en cada una de las fracciones ordinarias escritas, el numerador es menor que el denominador (si es necesario, consulte el artículo que compara números naturales), por lo que son correctas por definición. Y aquí hay ejemplos de fracciones impropias: 9/9, 23/4,. De hecho, el numerador de la primera de las fracciones ordinarias registradas es igual al denominador, y en las fracciones restantes el numerador es mayor que el denominador. También hay definiciones de fracciones correctas e incorrectas basadas en la comparación de fracciones con uno. Definición. correcto si es menor que uno. Definición. Una fracción ordinaria se llama incorrecto si es igual a uno o mayor que 1. Entonces la fracción ordinaria 7/11 es correcta, ya que 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 y 27/27 = 1. Pensemos por qué las fracciones ordinarias con un numerador mayor o igual que el denominador se han ganado ese nombre: "incorrectas". Tomemos como ejemplo la fracción impropia 9/9. Esta fracción significa que has tomado nueve partes de un objeto que consta de nueve partes. Es decir, de las nueve partes disponibles, podemos componer un objeto completo. Es decir, la fracción impropia 9/9 esencialmente da el artículo completo, es decir, 9/9 = 1. En general, las fracciones irregulares con un numerador igual al denominador denotan un objeto entero, y dicha fracción puede ser reemplazada por el número natural 1. Ahora considera las fracciones impropias 7/3 y 12/4. Es bastante obvio que de estos siete tercios podemos hacer dos objetos completos (un objeto completo tiene 3 partes, luego necesitamos 3 + 3 = 6 partes para componer dos objetos completos) y quedará una tercera parte. Es decir, la fracción incorrecta 7/3 esencialmente significa 2 artículos e incluso 1/3 de la parte de dicho artículo. Y a partir de doce cuartos, podemos hacer tres objetos enteros (tres objetos con cuatro partes cada uno). Es decir, la fracción 12/4 esencialmente significa 3 objetos enteros. Los ejemplos considerados nos llevan a la siguiente conclusión: las fracciones impropias pueden ser reemplazadas por números naturales, cuando el numerador se divide completamente por el denominador (por ejemplo, 9/9 = 1 y 12/4 = 3), o por la suma de un número natural y una fracción regular, cuando el numerador no es divisible por el denominador (por ejemplo, 7/3 = 2 + 1/3). Quizás esto es precisamente lo que las fracciones incorrectas se han ganado ese nombre: "incorrectas". De particular interés es la representación de una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción regular (7/3 = 2 + 1/3). Este proceso se llama la separación de la parte entera de una fracción impropia, y merece una consideración separada y más cuidadosa. También vale la pena señalar que existe una relación muy estrecha entre las fracciones impropias y los números mixtos. Cada fracción corresponde a un número fraccionario positivo (ver el artículo números positivos y negativos). Es decir, las fracciones comunes son fracciones positivas... Por ejemplo, las fracciones comunes 1/5, 56/18, 35/144 son fracciones positivas. Cuando es necesario enfatizar la positividad de una fracción, se coloca un signo más delante, por ejemplo, +3/4, +72/34. Si coloca un signo menos delante de una fracción ordinaria, este registro corresponderá a un número fraccionario negativo. En este caso, podemos hablar de fracciones negativas... Estos son algunos ejemplos de fracciones negativas: −6/10, −65/13, −1/18. Las fracciones positivas y negativas m/n y -m/n son números opuestos. Por ejemplo, las fracciones 5/7 y −5/7 son fracciones opuestas. Las fracciones positivas, como los números positivos en general, denotan sumas, ingresos, cambios en cualquier valor hacia arriba, etc. Las fracciones negativas corresponden a gasto, deuda, cambio en cualquier valor a la baja. Por ejemplo, una fracción negativa −3/4 puede interpretarse como una deuda de 3/4. Las fracciones negativas en las horizontales y las dirigidas a la derecha se encuentran a la izquierda del origen. Los puntos de la línea de coordenadas, cuyas coordenadas son la fracción positiva m / n y la fracción negativa −m / n, están ubicados a la misma distancia del origen, pero en lados opuestos del punto O. Aquí vale la pena mencionar fracciones de la forma 0 / n. Estas fracciones son iguales al número cero, es decir, 0/n = 0. Las fracciones positivas, las fracciones negativas y las fracciones 0 / n se combinan para formar números racionales. Una acción con fracciones comunes, la comparación de fracciones, ya la hemos discutido anteriormente. Cuatro aritméticas más acciones con fracciones- suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Detengámonos en cada uno de ellos. La esencia general de las acciones con fracciones es similar a la esencia de las acciones correspondientes con números naturales. Hagamos una analogía. Multiplicación de fracciones puede considerarse como una acción en la que hay una fracción de una fracción. Pongamos un ejemplo para aclarar. Digamos que tenemos 1/6 de una manzana y necesitamos tomar 2/3 de ella. La parte que necesitamos es el resultado de multiplicar las fracciones 1/6 y 2/3. El resultado de multiplicar dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (que en el caso particular es igual a un número natural). Además, recomendamos estudiar la información del artículo multiplicación de fracciones: reglas, ejemplos y soluciones. Bibliografía.Fracciones positivas y negativas
Acciones con fracciones