En el artículo, mostraremos como resolver fracciones con ejemplos sencillos y claros. Entendamos qué es una fracción y consideremos resolver fracciones!

concepto fracciones se introduce en el curso de matemáticas a partir del 6º grado de la escuela secundaria.

Las fracciones se ven como: ±X / Y, donde Y es el denominador, indica en cuántas partes se dividió el todo, y X es el numerador, indica cuántas partes se tomaron. Para mayor claridad, tomemos un ejemplo con un pastel:

En el primer caso, el pastel se cortó por igual y se tomó la mitad, es decir, 1/2. En el segundo caso, el pastel se cortó en 7 partes, de las cuales se tomaron 4 partes, es decir, 4/7.

Si la parte de dividir un número por otro no es un número entero, se escribe como fracción.

Por ejemplo, la expresión 4:2 \u003d 2 da un número entero, pero 4:7 no es completamente divisible, por lo que esta expresión se escribe como una fracción 4/7.

En otras palabras fracción es una expresión que denota la división de dos números o expresiones, y que se escribe con barra oblicua.

Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es correcta, si viceversa, es incorrecta. Una fracción puede contener un número entero.

Por ejemplo, 5 3/4 enteros.

Esta entrada significa que para obtener el 6 entero, una parte de cuatro no es suficiente.

si quieres recordar como resolver fracciones para sexto grado Necesitas entender eso resolver fracciones básicamente se reduce a entender algunas cosas simples.

• Una fracción es esencialmente una expresión para una fracción. Es decir expresión numérica que parte es valor dado de un todo. Por ejemplo, la fracción 3/5 expresa que si dividimos algo entero en 5 partes y el número de partes o partes de este todo es tres.
• Una fracción puede ser menor que 1, por ejemplo 1/2 (o esencialmente la mitad), entonces es correcta. Si la fracción es mayor que 1, por ejemplo 3/2 (tres mitades o uno y medio), entonces es incorrecta y para simplificar la solución, mejor seleccionamos la parte entera 3/2= 1 entero 1 /2.
• Las fracciones son los mismos números que 1, 3, 10 e incluso 100, solo que los números no son enteros, sino fraccionarios. Con ellos, puede realizar las mismas operaciones que con los números. Contar fracciones no es más difícil, y más adelante ejemplos concretos lo mostraremos

Como resolver fracciones. Ejemplos.

Una variedad de operaciones aritméticas son aplicables a las fracciones.

Llevar una fracción a un denominador común

Por ejemplo, necesitas comparar las fracciones 3/4 y 4/5.

Para resolver el problema, primero encontramos el mínimo común denominador, es decir el número más pequeño que es divisible sin resto por cada uno de los denominadores de las fracciones

Mínimo común denominador (4.5) = 20

Entonces el denominador de ambas fracciones se reduce a la menor común denominador

Respuesta: 15/20

Suma y resta de fracciones

Si es necesario calcular la suma de dos fracciones, primero se llevan a un denominador común, luego se suman los numeradores, mientras que el denominador permanece sin cambios. La diferencia de fracciones se considera de la misma manera, la única diferencia es que los numeradores se restan.

Por ejemplo, necesitas encontrar la suma de las fracciones 1/2 y 1/3

Ahora encuentra la diferencia entre las fracciones 1/2 y 1/4

Multiplicación y división de fracciones

Aquí la solución de fracciones es simple, aquí todo es bastante simple:

• Multiplicación: los numeradores y denominadores de fracciones se multiplican entre sí;
• División: primero obtenemos una fracción, el recíproco de la segunda fracción, es decir intercambiamos su numerador y denominador, después de lo cual multiplicamos las fracciones resultantes.

Por ejemplo:

sobre esto como resolver fracciones, todo. Si tiene alguna pregunta sobre resolver fracciones, algo no está claro, entonces escribe en los comentarios y te responderemos.

Si eres profesor, es posible descargar la presentación para escuela primaria(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) será útil.

Hablando de matemáticas, uno no puede evitar recordar las fracciones. Su estudio recibe mucha atención y tiempo. Recuerda cuántos ejemplos tuviste que resolver para aprender ciertas reglas para trabajar con fracciones, cómo memorizaste y aplicaste la propiedad principal de una fracción. ¡Cuántos nervios se gastaron para encontrar un denominador común, especialmente si había más de dos términos en los ejemplos!

Recordemos de qué se trata y refresquemos un poco la memoria sobre la información básica y las reglas para trabajar con fracciones.

Definición de fracciones

Comencemos con lo más importante: las definiciones. Una fracción es un número que consta de una o más partes unitarias. Un número fraccionario se escribe como dos números separados por una barra horizontal o barra. En este caso, el superior (o primero) se llama numerador, y el inferior (segundo) se llama denominador.

Vale la pena señalar que el denominador muestra en cuántas partes se divide la unidad y el numerador muestra el número de acciones o partes tomadas. A menudo, las fracciones, si son correctas, son menores que uno.

Ahora veamos las propiedades de estos números y las reglas básicas que se usan cuando se trabaja con ellos. Pero antes de analizar un concepto como "la propiedad principal de una fracción racional", hablemos de los tipos de fracciones y sus características.

que son fracciones

Hay varios tipos de tales números. En primer lugar, estos son ordinarios y decimales. Los primeros son del tipo de registro que ya indicamos mediante una barra horizontal o diagonal. El segundo tipo de fracciones se indica mediante la llamada notación posicional, cuando se indica primero la parte entera del número, y luego, después del punto decimal, se indica la parte fraccionaria.

Vale la pena señalar aquí que en matemáticas tanto las fracciones decimales como las ordinarias se usan por igual. La propiedad principal de la fracción es válida solo para la segunda opción. Además, en las fracciones ordinarias se distinguen los números correctos e incorrectos. Para el primero, el numerador siempre es menor que el denominador. Tenga en cuenta también que tal fracción es menor que la unidad. En una fracción impropia, por el contrario, el numerador es mayor que el denominador, y él mismo es mayor que uno. En este caso, se puede extraer un número entero de él. En este artículo, consideraremos solo fracciones ordinarias.

Propiedades de las fracciones

Cualquier fenómeno, químico, físico o matemático, tiene sus propias características y propiedades. Los números fraccionarios no son una excepción. Tienen una característica importante, con la ayuda de la cual es posible realizar ciertas operaciones en ellos. ¿Cuál es la propiedad principal de una fracción? La regla dice que si su numerador y denominador se multiplican o dividen por el mismo número racional, obtendremos una nueva fracción, cuyo valor será igual al valor original. Es decir, al multiplicar las dos partes del número fraccionario 3/6 por 2, obtenemos una nueva fracción 6/12, mientras que serán iguales.

Según esta propiedad, puede reducir fracciones, así como seleccionar denominadores comunes para un par de números en particular.

Operaciones

Aunque las fracciones nos parecen más complejas, también pueden realizar operaciones matemáticas básicas, como sumas y restas, multiplicaciones y divisiones. Además, existe una acción tan específica como la reducción de fracciones. Naturalmente, cada una de estas acciones se realiza de acuerdo con ciertas reglas. Conocer estas leyes facilita el trabajo con fracciones, haciéndolo más fácil e interesante. Es por eso que más adelante consideraremos las reglas básicas y el algoritmo de acciones cuando trabajemos con tales números.

Pero antes de hablar de operaciones matemáticas como la suma y la resta, analizaremos una operación como la reducción a un denominador común. Aquí es donde el conocimiento de qué propiedad básica existe de una fracción será útil.

Común denominador

Para reducir un número a un denominador común, primero debes encontrar el mínimo común múltiplo de los dos denominadores. Es decir, el número más pequeño que es simultáneamente divisible por ambos denominadores sin resto. La forma más fácil de encontrar el MCM (mínimo común múltiplo) es escribir en una línea para un denominador, luego para el segundo y encontrar un número coincidente entre ellos. En el caso de que no se encuentre el MCM, es decir, estos números no tienen un múltiplo común, se deben multiplicar y el valor resultante se debe considerar como el MCM.

Entonces, hemos encontrado el MCM, ahora necesitamos encontrar un multiplicador adicional. Para hacer esto, debe dividir alternativamente el MCM en denominadores de fracciones y escribir el número resultante sobre cada uno de ellos. Luego, multiplica el numerador y el denominador por el factor adicional resultante y escribe los resultados como una nueva fracción. Si dudas que el número que recibiste sea igual al anterior, recuerda la propiedad principal de la fracción.

Adición

Ahora vayamos directamente a las operaciones matemáticas con números fraccionarios. Empecemos por lo más sencillo. Hay varias opciones para sumar fracciones. En el primer caso, ambos números tienen el mismo denominador. En este caso, solo queda sumar los numeradores. Pero el denominador no cambia. Por ejemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Si las fracciones diferentes denominadores, debe reducirlos a uno común y solo luego realizar la suma. Cómo hacer esto, lo hemos discutido con usted un poco más arriba. En esta situación, la propiedad principal de la fracción será útil. La regla te permitirá llevar los números a un denominador común. El valor no cambiará de ninguna manera.

Alternativamente, puede suceder que la fracción se mezcle. Entonces primero debes sumar las partes enteras y luego las fraccionarias.

Multiplicación

No requiere ningún truco, y para realizar esta acción, no es necesario conocer la propiedad básica de la fracción. Basta con multiplicar primero los numeradores y los denominadores juntos. En este caso, el producto de los numeradores se convertirá en el nuevo numerador y el producto de los denominadores se convertirá en el nuevo denominador. Como puedes ver, nada complicado.

Lo único que se requiere de ti es el conocimiento de la tabla de multiplicar, así como la atención. Además, después de recibir el resultado, definitivamente debe verificar si este número se puede reducir o no. Hablaremos de cómo reducir fracciones un poco más adelante.

Sustracción

La interpretación debe guiarse por las mismas reglas que cuando se agrega. Entonces, en números con el mismo denominador, basta con restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo. En el caso de que las fracciones tengan distinto denominador, deberás llevarlas a uno común y luego realizar esta operación. Al igual que con el caso de suma análoga, deberá usar la propiedad principal fracción algebraica, así como habilidades para encontrar el NOC y divisores comunes para fracciones.

División

Y la última operación, la más interesante cuando se trabaja con tales números, es la división. Es bastante simple y no causa ninguna dificultad particular, incluso para aquellos que no entienden cómo trabajar con fracciones, especialmente para realizar operaciones de suma y resta. Al dividir, tal regla se aplica como multiplicación por una fracción recíproca. La propiedad principal de una fracción, como en el caso de la multiplicación, no se utilizará para esta operación. Miremos más de cerca.

Al dividir números, el dividendo permanece sin cambios. El divisor se invierte, es decir, el numerador y el denominador se invierten. Después de eso, los números se multiplican entre sí.

Reducción

Entonces, ya hemos examinado la definición y estructura de las fracciones, sus tipos, las reglas de las operaciones en números dados y descubrimos la propiedad principal de una fracción algebraica. Ahora hablemos de una operación como la reducción. Reducir una fracción es el proceso de convertirla, dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Así, la fracción se reduce sin cambiar sus propiedades.

Generalmente al hacer operacion matematica debe observar detenidamente el resultado obtenido al final y averiguar si es posible reducir la fracción resultante o no. Recuerda que el resultado final siempre se escribe como un número fraccionario que no requiere reducción.

Otras operaciones

Finalmente, notamos que hemos enumerado lejos de todas las operaciones con números fraccionarios, mencionando solo las más famosas y necesarias. Las fracciones también se pueden comparar, convertir a decimales y viceversa. Pero en este artículo no consideramos estas operaciones, ya que en matemáticas se realizan con mucha menos frecuencia que las que hemos dado anteriormente.

conclusiones

hemos hablado de números fraccionarios y transacciones con ellos. También analizamos la propiedad principal, pero notamos que todas estas cuestiones fueron consideradas por nosotros de pasada. Hemos dado solo las reglas más conocidas y utilizadas, hemos dado los consejos más importantes, en nuestra opinión.

Este artículo pretende refrescar la información que has olvidado sobre las fracciones, más que dar nueva información y "llenarte" la cabeza de un sinfín de reglas y fórmulas, que, muy probablemente, no te serán de utilidad.

Esperamos que el material presentado en el artículo de manera simple y concisa le haya resultado útil.

Nos encontramos con fracciones en la vida mucho antes de que comiencen a estudiar en la escuela. Si corta una manzana entera por la mitad, obtenemos una pieza de fruta - ½. Córtalo de nuevo, será ¼. Esto es lo que son las fracciones. Y todo, al parecer, es simple. Para un adulto. Para un niño (y este tema comienza a estudiarse al final de la escuela primaria), resumen conceptos matematicos siguen siendo terriblemente incomprensibles, y el profesor debe explicar de forma accesible qué es una fracción propia e impropia, ordinaria y decimal, qué operaciones se pueden realizar con ellas y, lo más importante, por qué se necesita todo esto.

que son fracciones

conocido con nuevo tema en la escuela comienza con fracciones ordinarias. Son fáciles de reconocer por la línea horizontal que separa los dos números, arriba y abajo. La parte superior se llama numerador, la parte inferior se llama denominador. También hay una ortografía en minúsculas de fracciones ordinarias propias e impropias, a través de una barra, por ejemplo: ½, 4/9, 384/183. Esta opción se utiliza cuando la altura de la línea es limitada y no es posible aplicar la forma de "dos pisos" del registro. ¿Por qué? Sí, porque es más conveniente. Un poco más adelante lo comprobaremos.

Además de las ordinarias, también existen las fracciones decimales. Es muy fácil distinguirlos: si en un caso se usa una barra horizontal o diagonal, en el otro, una coma que separa secuencias de números. Veamos un ejemplo: 2.9; 163,34; 1.953. Usamos deliberadamente el punto y coma como delimitador para delimitar los números. El primero de ellos se leerá así: "dos enteros, nueve décimos".

Nuevos conceptos

Volvamos a las fracciones ordinarias. Son de dos tipos.

La definición de una fracción propia es la siguiente: es una fracción cuyo numerador es menor que el denominador. ¿Por qué es importante? ¡Ahora veremos!

Tienes varias manzanas cortadas en mitades. En total - 5 partes. ¿Cómo se dice: tienes manzanas de "dos y medio" o de "cinco segundos"? Por supuesto, la primera opción suena más natural, y cuando hablemos con amigos, la usaremos. Pero si necesita calcular cuánta fruta obtendrá cada uno, si hay cinco personas en la empresa, escribiremos el número 5/2 y lo dividiremos por 5; desde el punto de vista de las matemáticas, esto será más claro.

Por lo tanto, para nombrar el correcto y fracciones impropias la regla es esta: si una parte entera se puede distinguir en una fracción (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), entonces es incorrecta. Si esto no se puede hacer, como en el caso de ½, 13/16, 9/10, será correcto.

Propiedad básica de una fracción

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen simultáneamente por el mismo número, su valor no cambiará. Imagínate: la tarta la cortaron en 4 partes iguales y te dieron una. El mismo pastel fue cortado en ocho pedazos y te dieron dos. ¿No es todo lo mismo? ¡Después de todo, ¼ y 2/8 son lo mismo!

Reducción

Los autores de problemas y ejemplos en los libros de texto de matemáticas a menudo tratan de confundir a los estudiantes ofreciendo fracciones que son engorrosas de escribir y que en realidad pueden reducirse. Aquí hay un ejemplo de una fracción propia: 167/334, que, al parecer, parece muy "aterrador". Pero de hecho, podemos escribirlo como ½. El número 334 es divisible por 167 sin resto; habiendo hecho esta operación, obtenemos 2.

Numeros mezclados

Una fracción impropia se puede representar como un número mixto. Esto es cuando toda la parte se adelanta y se escribe al nivel de la línea horizontal. De hecho, la expresión toma la forma de una suma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 y así sucesivamente.

Para sacar la parte entera, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resto de la división arriba, arriba de la línea y la parte entera antes de la expresión. Así, obtenemos dos partes estructurales: unidades enteras + fracción propia.

También puede realizar la operación inversa; para esto, debe multiplicar la parte entera por el denominador y agregar el valor resultante al numerador. Nada complicado.

Multiplicación y división

Curiosamente, multiplicar fracciones es más fácil que sumarlas. Todo lo que se requiere es extender la línea horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Con la división, todo también es simple: debes multiplicar las fracciones en cruz: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Suma de fracciones

Qué hacer si necesita realizar sumas o y en su denominador números diferentes? No funcionará de la misma manera que con la multiplicación: aquí uno debe comprender la definición de una fracción propia y su esencia. Es necesario llevar los términos a un denominador común, es decir, deben aparecer los mismos números en la parte inferior de ambas fracciones.

Para hacer esto, debes usar la propiedad básica de una fracción: multiplicar ambas partes por el mismo número. Por ejemplo, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

¿Cómo elegir a qué denominador llevar los términos? Este debe ser el múltiplo más pequeño de ambos denominadores: para 1/3 y 1/9 será 9; para ½ y 1/7 - 14, porque no hay valor más pequeño divisible por 2 y 7 sin resto.

Uso

¿Para qué sirven las fracciones impropias? Después de todo, es mucho más conveniente seleccionar inmediatamente la parte completa, obtener un número mixto, ¡y eso es todo! Resulta que si necesitas multiplicar o dividir dos fracciones, es más rentable usar las incorrectas.

Tomemos el siguiente ejemplo: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Parecería que no hay nada que cortar en absoluto. Pero, ¿y si escribimos el resultado de la suma en los primeros paréntesis como una fracción impropia? Mira: (37/17) / (37/68)

¡Ahora todo encaja! Escribamos el ejemplo de tal manera que todo se vuelva obvio: (37 * 68) / (17 * 37).

Reduzcamos el 37 en el numerador y el denominador, y finalmente dividamos las partes superior e inferior por 17. ¿Recuerdas la regla básica para las fracciones propias e impropias? Podemos multiplicarlos y dividirlos por cualquier número, siempre que lo hagamos por el numerador y el denominador al mismo tiempo.

Entonces, obtenemos la respuesta: 4. El ejemplo parecía complicado y la respuesta contiene solo un dígito. Esto sucede a menudo en matemáticas. Lo principal es no tener miedo y seguir reglas simples.

Errores comunes

Al hacer ejercicio, el estudiante puede cometer fácilmente uno de los errores populares. Por lo general, ocurren debido a la falta de atención y, a veces, debido a que el material estudiado aún no se ha depositado correctamente en la cabeza.

A menudo, la suma de los números en el numerador provoca el deseo de reducir sus componentes individuales. Supongamos, en el ejemplo: (13 + 2) / 13, escrito sin corchetes (con una línea horizontal), muchos estudiantes, por inexperiencia, tachan 13 de arriba y de abajo. Pero en ningún caso se debe hacer esto, porque es torpeza! Si en lugar de la suma hubiera un signo de multiplicación, en la respuesta obtendríamos el número 2. Pero al realizar la suma no se permiten operaciones con uno de los términos, solo con la suma total.

Los niños suelen cometer errores al dividir fracciones. Tomemos dos fracciones irreducibles regulares y dividamos entre sí: (5/6) / (25/33). El estudiante puede confundir y escribir la expresión resultante como (5*25) / (6*33). Pero esto hubiera pasado con la multiplicación, y en nuestro caso todo será un poco diferente: (5 * 33) / (6 * 25). Reducimos lo que es posible, y en la respuesta veremos 11/10. Escribimos la fracción impropia resultante como un decimal - 1.1.

paréntesis

Recuerde que en cualquier expresión matemática, el orden de las operaciones está determinado por la precedencia de los signos de operación y la presencia de corchetes. En igualdad de condiciones, la secuencia de acciones se cuenta de izquierda a derecha. Esto también es cierto para las fracciones: la expresión en el numerador o denominador se calcula estrictamente de acuerdo con esta regla.

Es el resultado de dividir un número por otro. Si no se dividen por completo, resulta una fracción, eso es todo.

Cómo escribir una fracción en una computadora

Dado que las herramientas estándar no siempre le permiten crear una fracción que consta de dos "niveles", los estudiantes a veces buscan varios trucos. Por ejemplo, copian los numeradores y denominadores en el editor Paint y los pegan, dibujando una línea horizontal entre ellos. Por supuesto, hay una opción más simple que, por cierto, también proporciona muchas funciones adicionales que le serán útiles en el futuro.

Abra Microsoft Word. Uno de los paneles en la parte superior de la pantalla se llama "Insertar"; haga clic en él. A la derecha, en el lado donde se encuentran los iconos para cerrar y minimizar la ventana, se encuentra el botón Fórmula. ¡Esto es exactamente lo que necesitamos!

Si usa esta función, aparecerá un área rectangular en la pantalla en la que puede usar cualquier símbolo matemático que no esté disponible en el teclado, así como escribir fracciones en forma clásica. Es decir, separando el numerador y el denominador con una línea horizontal. Incluso puede que te sorprenda que una fracción tan propia sea tan fácil de escribir.

aprender matematicas

Si estás en los grados 5-6, pronto se requerirán conocimientos de matemáticas (¡incluida la capacidad de trabajar con fracciones!) en muchas materias escolares. En casi cualquier problema de física, al medir la masa de sustancias en química, en geometría y trigonometría, no se puede prescindir de las fracciones. Pronto aprenderás a calcular todo en tu mente, sin siquiera escribir expresiones en papel, pero cada vez más ejemplos complejos. Por lo tanto, aprenda qué es una fracción propia y cómo trabajar con ella, manténgase al día con el plan de estudios, haga su tarea a tiempo y luego tendrá éxito.

fracciones

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Las fracciones en la secundaria no son muy molestas. Siendo por el momento. Hasta que te encuentras con exponentes con exponentes racionales y logaritmos. Y ahí…. Presionas, presionas la calculadora, y te muestra todo el marcador completo de algunos números. Tienes que pensar con la cabeza, como en tercer grado.

¡Tratemos con las fracciones, finalmente! Bueno, ¿¡cuánto puedes confundirte con ellos!? Además, todo es simple y lógico. Entonces, ¿Qué son las fracciones?

Tipos de fracciones. Transformaciones.

Las fracciones suceden tres tipos.

1. fracciones comunes , Por ejemplo:

A veces, en lugar de una línea horizontal, ponen una barra oblicua: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número de arriba se llama numerador, más bajo - denominador. Si constantemente confunde estos nombres (sucede ...), dígase la frase con la expresión: " Zzzzz¡recordar! Zzzzz denominador - fuera zzzz u!" Mira, todo será recordado.)

Un guión, que es horizontal, que es oblicuo, significa división número de arriba (numerador) al número de abajo (denominador). ¡Y eso es! En lugar de un guión, es muy posible colocar un signo de división: dos puntos.

Cuando la división es posible por completo, debe hacerse. Entonces, en lugar de la fracción "32/8", es mucho más agradable escribir el número "4". Aquellos. 32 se divide simplemente por 8.

32/8 = 32: 8 = 4

No estoy hablando de la fracción "4/1". Que también es solo "4". Y si no se divide por completo, lo dejamos como una fracción. A veces hay que hacer lo contrario. Hacer una fracción de un número entero. Pero más sobre eso más adelante.

2. decimales , Por ejemplo:

Es de esta forma que será necesario anotar las respuestas a las tareas "B".

3. Numeros mezclados , Por ejemplo:

Los números mixtos prácticamente no se usan en la escuela secundaria. Para poder trabajar con ellos, deben convertirse a fracciones ordinarias. ¡Pero definitivamente necesitas saber cómo hacerlo! Y luego, ese número aparecerá en el rompecabezas y colgará ... Desde cero. ¡Pero recordamos este procedimiento! Un poco más bajo.

Más versátil fracciones comunes. Comencemos con ellos. Por cierto, si hay todo tipo de logaritmos, senos y otras letras en la fracción, esto no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!

Propiedad básica de una fracción.

¡Entonces vamos! En primer lugar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones es proporcionada por una sola propiedad! así se llama propiedad básica de una fracción. Recordar: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambiará. Aquellos:

Está claro que puedes escribir más, hasta que estés azul en la cara. No dejes que los senos y los logaritmos te confundan, los trataremos más adelante. Lo principal que hay que entender es que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.

¿Y lo necesitamos, todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Primero, usemos la propiedad básica de una fracción para abreviaturas de fracciones. Parecería que la cosa es elemental. Dividimos el numerador y el denominador por el mismo número y ¡listo! ¡Es imposible equivocarse! Pero... el hombre es un ser creativo. ¡Puedes cometer errores en todas partes! Especialmente si tiene que reducir no una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.

Puede encontrar cómo reducir fracciones de manera correcta y rápida sin hacer un trabajo innecesario en la Sección especial 555.

¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo mismo desde arriba y desde abajo! Aquí es donde se esconde error tipico, disparate si quieres.

Por ejemplo, necesitas simplificar la expresión:

¡No hay nada que pensar, tachamos la letra "a" de arriba y el dos de abajo! Obtenemos:

Todo es correcto. Pero realmente compartiste El conjunto numerador y El conjunto denominador "a". Si está acostumbrado a simplemente tachar, entonces, rápidamente, puede tachar la "a" en la expresión

y obtener de nuevo

Lo cual sería categóricamente incorrecto. porque aquí El conjunto numerador en "a" ya no compartido! Esta fracción no se puede reducir. Por cierto, tal abreviatura es, um... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no se perdona! ¿Recordar? Al reducir, es necesario dividir El conjunto numerador y El conjunto ¡denominador!

Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtendrá una fracción en alguna parte, por ejemplo 375/1000. ¿Y cómo trabajar con ella ahora? ¿Sin calculadora? ¿¡Multiplicar, decir, sumar, cuadrar!? Y si no eres demasiado perezoso, pero reduce con cuidado en cinco, e incluso en cinco, e incluso ... mientras se reduce, en resumen. ¡Obtenemos 3/8! Mucho más agradable, ¿verdad?

La propiedad básica de una fracción le permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa sin calculadora! Esto es importante para el examen, ¿verdad?

Cómo convertir fracciones de una forma a otra.

Es fácil con decimales. ¡Como se oye, así se escribe! Digamos 0,25. Es punto cero, veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reducimos (dividemos el numerador y el denominador por 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede, y nada se reduce. Como 0.3. Esto es tres décimas, es decir, 3/10.

¿Qué pasa si los números enteros son distintos de cero? Nada mal. Escribe la fracción entera sin comas en el numerador y en el denominador, lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Esto es tres enteros, diecisiete centésimas. En el numerador escribimos 317 y en el denominador 100. Obtenemos 317/100. Nada se reduce, eso significa todo. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo anterior, una conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en una fracción común .

Pero la conversión inversa, ordinaria a decimal, algunos no pueden prescindir de una calculadora. ¡Y es necesario! ¿¡Cómo vas a escribir la respuesta en el examen!? Leemos cuidadosamente y dominamos este proceso.

¿Qué es una fracción decimal? ella tiene en el denominador siempre vale 10 o 100 o 1000 o 10000 y así sucesivamente. Si tu fracción habitual tiene ese denominador, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Y si en la respuesta a la tarea de la sección "B" resultó 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales...

Recordamos propiedad básica de una fracción ! Las matemáticas te permiten multiplicar favorablemente el numerador y el denominador por el mismo número. Para cualquiera, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Usemos esta función a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir, 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (más pequeño es mejor, por supuesto...)? 5, obviamente. Siéntete libre de multiplicar el denominador (esto es nosotros necesario) por 5. Pero, entonces el numerador también debe ser multiplicado por 5. Esto ya es matemáticas¡demandas! Obtenemos 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Eso es todo.

Sin embargo, todo tipo de denominadores aparecen. Por ejemplo, la fracción 3/16 caerá. Pruébelo, descubra por qué multiplicar 16 para obtener 100 o 1000... ¿No funciona? Entonces simplemente puedes dividir 3 entre 16. A falta de una calculadora, tendrás que dividir en una esquina, en una hoja de papel, como enseñaban en los grados de primaria. Obtenemos 0.1875.

Y hay algunos denominadores muy malos. Por ejemplo, la fracción 1/3 no se puede convertir en un buen decimal. Tanto en una calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0.3333333... Esto significa que 1/3 en una fracción decimal exacta no traduce. Al igual que 1/7, 5/6 y así sucesivamente. Muchos de ellos son intraducibles. De ahí otra conclusión útil. No todas las fracciones comunes se convierten en decimales. !

Por cierto, esto informacion util para autodiagnóstico. En la sección "B" en respuesta, debe escribir una fracción decimal. Y tienes, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que en algún momento cometiste un error! Vuelve, comprueba la solución.

Entonces, con las fracciones ordinarias y decimales resueltas. Queda por tratar con números mixtos. Para trabajar con ellos, todos deben convertirse a fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puedes atrapar a un alumno de sexto grado y preguntarle. Pero no siempre habrá un alumno de sexto grado a la mano ... Tendremos que hacerlo nosotros mismos. Esto no es difícil. Multiplica el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y suma el numerador de la parte fraccionaria. este sera el numerador fracción ordinaria. ¿Qué pasa con el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad es bastante simple. Veamos un ejemplo.

Deja en el problema que viste con horror el número:

Con calma, sin pánico, entendemos. La parte entera es 1. Uno. La parte fraccionaria es 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. Multiplicamos 7 por 1 (la parte entera) y sumamos 3 (el numerador de la parte fraccionaria). Obtenemos 10. Este será el numerador de una fracción ordinaria. Eso es todo. Parece aún más fácil en notación matemática:

¿Claramente? ¡Entonces asegure su éxito! Convierte a fracciones comunes. Debería obtener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.

La operación inversa, convertir una fracción impropia en un número mixto, rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes buscar en la Sección 555 especial. En el mismo lugar, por cierto, aprenderás sobre fracciones impropias.

Bueno, casi todo. Recordaste los tipos de fracciones y entendiste cómo convertirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: por qué ¿hazlo? Dónde y cuándo aplicar estos profundo conocimiento?

Contesto. Cualquier ejemplo en sí mismo sugiere las acciones necesarias. Si en el ejemplo se mezclan fracciones ordinarias, decimales e incluso números mixtos, traducimos todo a fracciones ordinarias. siempre se puede hacer. Bueno, si se escribe algo como 0.8 + 0.3, entonces creemos que sí, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que sea conveniente nosotros !

Si la tarea está llena de fracciones decimales, pero um ... algún tipo de maldad, ve a las ordinarias, ¡pruébalo! Mira, todo estará bien. Por ejemplo, tienes que elevar al cuadrado el número 0,125. ¡No es tan fácil si no has perdido el hábito de la calculadora! ¡No solo necesita multiplicar los números en una columna, sino también pensar dónde insertar la coma! ¡Ciertamente no funciona en mi mente! ¿Y si vas a una fracción ordinaria?

0,125 = 125/1000. Reducimos en 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. Una vez más en 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, se está encogiendo! ¡De vuelta a 5! Obtenemos 1/8. Cuadre fácilmente (¡en su mente!) y obtenga 1/64. ¡Todo!

Resumamos esta lección.

1. Hay tres tipos de fracciones. Números ordinarios, decimales y mixtos.

2. Decimales y números mixtos siempre se puede convertir a fracciones comunes. Traducción inversa no siempre disponible.

3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con la tarea depende de esta misma tarea. En la presencia de diferentes tipos fracciones en una tarea, lo más confiable es cambiar a fracciones ordinarias.

Ahora puedes practicar. Primero, convierte estas fracciones decimales a fracciones ordinarias:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Debería obtener respuestas como esta (¡en un lío!):

Sobre esto terminaremos. En esta lección, refrescamos nuestra memoria puntos clave por fracciones Sucede, sin embargo, que no hay nada especial para refrescar...) Si alguien lo ha olvidado por completo, o aún no lo ha dominado... Esos pueden ir a una Sección 555 especial. Todos los conceptos básicos están detallados allí. muchos de repente entender todo están comenzando. Y resuelven fracciones sobre la marcha).

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Una parte de una unidad o varias de sus partes se llama fracción simple u ordinaria. El número de partes iguales en que se divide la unidad se llama denominador, y el número de partes que se toman se llama numerador. La fracción se escribe como:

En este caso, a es el numerador, b es el denominador.

Si el numerador es menor que el denominador, entonces la fracción es menor que 1 y se llama fracción propia. Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción es mayor que 1, entonces la fracción se llama fracción impropia.

Si el numerador y el denominador de una fracción son iguales, entonces la fracción es igual.

1. Si el numerador se puede dividir por el denominador, entonces esta fracción es igual al cociente de la división:

Si la división se realiza con resto, entonces esta fracción impropia se puede representar mediante un número mixto, por ejemplo:

Entonces 9 es un cociente incompleto (la parte entera del número mixto),
1 - resto (numerador de la parte fraccionaria),
5 es el denominador.

Para convertir un número mixto en una fracción, multiplica la parte entera del número mixto por el denominador y suma el numerador de la parte fraccionaria.

El resultado obtenido será el numerador de una fracción ordinaria, y el denominador seguirá siendo el mismo.

Acciones con fracciones

Expansión de fracciones. El valor de una fracción no cambia si su numerador y denominador se multiplican por el mismo número distinto de cero.
por ejemplo:

Reducción de fracciones. El valor de una fracción no cambia si su numerador y denominador se dividen por el mismo número distinto de cero.
por ejemplo:

Comparación de fracciones. De dos fracciones con el mismo numerador, la mayor es la que tiene el menor denominador:

De dos fracciones con el mismo denominador, la que tiene el numerador más grande es mayor:

Para comparar fracciones que tienen diferentes numeradores y denominadores, es necesario expandirlas, es decir, llevarlas a un denominador común. Considere, por ejemplo, las siguientes fracciones:

Suma y resta de fracciones. Si los denominadores de las fracciones son iguales, entonces para sumar las fracciones, es necesario sumar sus numeradores, y para restar las fracciones, es necesario restar sus numeradores. La suma o diferencia resultante será el numerador del resultado, mientras que el denominador seguirá siendo el mismo. Si los denominadores de las fracciones son diferentes, primero debes reducir las fracciones a un denominador común. cuando se agrega Numeros mezclados sus partes enteras y fraccionarias se suman por separado. Al restar números mixtos, primero debe convertirlos a la forma de fracciones impropias, luego restar unos de otros y luego llevar el resultado, si es necesario, a la forma de un número mixto.

Multiplicación de fracciones. Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores por separado y dividir el primer producto por el segundo.

división de fracciones. Para dividir un número por una fracción, debes multiplicar ese número por su recíproco.

Decimal es el resultado de dividir uno entre diez, cien, mil, etc. partes. Primero se escribe la parte entera del número, luego se coloca el punto decimal a la derecha. El primer dígito después del punto decimal significa el número de décimas, el segundo - el número de centésimos, el tercero - el número de milésimas, etc. Los números después del punto decimal se llaman lugares decimales.

Por ejemplo:

Propiedades decimales

Propiedades:

• La fracción decimal no cambia si se agregan ceros a la derecha: 4.5 = 4.5000.
• El decimal no cambia si quitas los ceros ubicados al final fracción decimal: 0,0560000 = 0,056.
• El decimal aumenta en 10, 100, 1000, etc. veces, si mueve el punto decimal a uno, dos, tres, etc. posiciones a la derecha: 4.5 45 (la fracción ha aumentado 10 veces).
• El decimal se reduce en 10, 100, 1000, etc. veces, si mueve el punto decimal a uno, dos, tres, etc. posiciones a la izquierda: 4,5 0,45 (la fracción ha disminuido 10 veces).

Un decimal periódico contiene un grupo de dígitos que se repite infinitamente llamado período: 0.321321321321…=0,(321)

Operaciones con decimales

La suma y resta de decimales se hace de la misma manera que la suma y resta de números enteros, solo necesitas escribir los decimales correspondientes uno debajo del otro.
Por ejemplo:

La multiplicación de fracciones decimales se lleva a cabo en varias etapas:

• Multiplicamos decimales como enteros, sin tener en cuenta el punto decimal.
• Se aplica la regla: el número de lugares decimales en el producto es igual a la suma de los lugares decimales en todos los factores.

por ejemplo:

La suma de los números de lugares decimales en los factores es: 2+1=3. Ahora necesita contar 3 dígitos desde el final del número resultante y poner un punto decimal: 0.675.

División de decimales. Dividir un decimal por un entero: si el dividendo es menor que el divisor, entonces debes escribir cero en la parte entera del cociente y poner un punto decimal después. Luego, sin tener en cuenta el punto decimal del dividendo, sume el siguiente dígito de la parte fraccionaria a su parte entera y vuelva a comparar la parte entera resultante del dividendo con el divisor. Si el nuevo número es nuevamente menor que el divisor, se debe repetir la operación. Este proceso se repite hasta que el dividendo resultante sea mayor que el divisor. Después de eso, la división se realiza como para números enteros. Si el dividendo es mayor o igual que el divisor, primero dividimos su parte entera, escribimos el resultado de la división en el cociente y ponemos punto decimal. Después de eso, la división continúa, como en el caso de los números enteros.

Dividir una fracción decimal en otra: primero, los puntos decimales en el dividendo y el divisor se transfieren por el número de decimales en el divisor, es decir, hacemos que el divisor sea un número entero y se realizan las acciones descritas anteriormente.

Para convertir una fracción decimal en una ordinaria, es necesario tomar el número después del punto decimal como numerador, y tomar la k-ésima potencia de diez como denominador (k es el número de lugares decimales). La parte entera distinta de cero se conserva en la fracción común; se omite la parte entera cero.
Por ejemplo:

Para convertir una fracción ordinaria a un decimal, es necesario dividir el numerador por el denominador de acuerdo con las reglas de división.

Un porcentaje es la centésima parte de una unidad, por ejemplo: 5% significa 0,05. Una razón es el cociente de dividir un número por otro. La proporción es la igualdad de dos razones.

Por ejemplo:

La propiedad principal de la proporción: el producto de los miembros extremos de la proporción es igual al producto de sus miembros medios, es decir, 5x30 = 6x25. Dos cantidades mutuamente dependientes se llaman proporcionales si la relación de sus cantidades permanece sin cambios (coeficiente de proporcionalidad).

Así, se revelan las siguientes operaciones aritméticas.
Por ejemplo:

El conjunto de los números racionales incluye los números positivos y negativos (enteros y fraccionarios) y el cero. Más definición precisa números racionales, aceptados en matemáticas, los siguientes: un número se llama racional si se puede representar como una fracción irreducible ordinaria de la forma:, donde a y b son números enteros.

Para numero negativo valor absoluto(módulo) es un número positivo que se obtiene cambiando su signo de "-" a "+"; para un número positivo y cero, el propio número. Para designar el módulo de un número se utilizan dos rectas, dentro de las cuales se escribe dicho número, por ejemplo: |–5|=5.

Propiedades de valor absoluto

Sea el módulo de un número , para el cual las propiedades son válidas:

Un monomio es el producto de dos o más factores, cada uno de los cuales es un número, una letra o la potencia de una letra: 3 x a x b. El coeficiente se llama más a menudo sólo un factor numérico. Se dice que los monomios son similares si son iguales o difieren solo en los coeficientes. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras. Si hay similares entre la suma de monomios, entonces la suma se puede reducir a más vista simple: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Esta operación se denomina coerción de términos semejantes o paréntesis.

Un polinomio es una suma algebraica de monomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios incluidos en el polinomio dado.

Existen las siguientes fórmulas para la multiplicación abreviada:

Métodos de factorización:

Una fracción algebraica es una expresión de la forma , donde A y B pueden ser un número, un monomio, un polinomio.

Si dos expresiones (numérica y alfabética) están conectadas por el signo "=", se dice que forman la igualdad. Toda igualdad verdadera, válida para todos los valores numéricos admisibles de las letras incluidas en ella, se denomina identidad.

Una ecuación es una igualdad literal que es válida para ciertos valores de las letras incluidas en ella. Estas letras se denominan incógnitas (variables) y sus valores, en los que la ecuación dada se convierte en identidad, se denominan raíces de la ecuación.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces. Se dice que dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas raíces.

• cero era la raíz de la ecuación;
• La ecuación solo tiene un número finito de raíces.

Principales tipos de ecuaciones algebraicas:

La ecuación lineal tiene ax + b = 0:

• si a x 0, hay una sola raíz x = -b/a;
• si a = 0, b ≠ 0, sin raíces;
• si a = 0, b = 0, la raíz es cualquier número real.

Ecuación xn = a, n N:

• si n es un número impar, tiene una raíz real igual a/n para cualquier a;
• si n es un número par, entonces para un 0, entonces tiene dos raíces.

Transformaciones idénticas básicas: reemplazo de una expresión por otra, idénticamente igual a ella; transferencia de los términos de la ecuación de un lado al otro con signos opuestos; multiplicación o división de ambas partes de la ecuación por la misma expresión (número) distinta de cero.

Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la forma: ax+b=0, donde a y b son números conocidos yx es un valor desconocido.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen la forma:

Donde a, b, c, d, e, f son números dados; x, y son desconocidos.

Números a, b, c, d - coeficientes para incógnitas; e, f - miembros libres. La solución a este sistema de ecuaciones se puede encontrar por dos métodos principales: el método de sustitución: de una ecuación expresamos una de las incógnitas a través de los coeficientes y la otra incógnita, y luego la sustituimos en la segunda ecuación, resolviendo la última ecuación , primero encontramos una incógnita, luego sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación y encontramos la segunda incógnita; método de sumar o restar una ecuación de otra.

Operaciones con raíces:

Aritmética la raiz de la enésima grado de un número no negativo a se llama número no negativo, enésimo grado que es igual a a. raíz algebraica enésimo grado desde número dado se llama el conjunto de todas las raices de este numero.

Los números irracionales, a diferencia de los racionales, no pueden representarse como una fracción irreducible ordinaria de la forma m/n, donde m y n son números enteros. Estos son números de un nuevo tipo que se pueden calcular con cierta precisión, pero no se pueden reemplazar número racional. Pueden aparecer como resultado de medidas geométricas, por ejemplo: la relación entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y la longitud de su lado es igual.

Hay una ecuación cuadrática ecuación algebraica segundo grado ax2+bx+c=0, donde a, b, c - coeficientes numéricos o alfabéticos dados, x - desconocido. Si dividimos todos los términos de esta ecuación por a, obtenemos como resultado x2+px+q=0 - la ecuación reducida p=b/a, q=c/a. Sus raíces se encuentran por la fórmula:

Si b2-4ac>0 entonces hay dos raíces distintas, b2-4ac=0 entonces hay dos raíces iguales; b2-4ac Ecuaciones que contienen módulos

Principales tipos de ecuaciones que contienen módulos:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, donde f(x), g(x), fk(x), gk(x) son funciones dadas.