Usando el método de la suma, las ecuaciones del sistema se suman término a término, mientras que 1 o ambas (varias) ecuaciones se pueden multiplicar por cualquier número. Como resultado, llegan a un SLE equivalente, donde una de las ecuaciones tiene solo una variable.
Para resolver el sistema suma (resta) término por término sigue los siguientes pasos:
1. Seleccionamos una variable para la cual se harán los mismos coeficientes.
2. Ahora necesitas sumar o restar las ecuaciones y obtener una ecuación con una variable.
solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de la función.
Veamos ejemplos.
Ejemplo 1
sistema dado:
Después de analizar este sistema, puedes ver que los coeficientes de la variable son iguales en valor absoluto y diferentes en signo (-1 y 1). En este caso, las ecuaciones se pueden sumar fácilmente término por término:
Las acciones que están encerradas en un círculo rojo se realizan en la mente.
El resultado de la suma por términos fue la desaparición de la variable y. Está en esto y Este, de hecho, es el significado del método: deshacerse de la primera de las variables.
-4 - y + 5 = 0 → y = 1,
Como sistema, la solución se ve así:
Responder: X = -4 , y = 1.
Ejemplo 2
sistema dado:
En este ejemplo, puede usar el método de la "escuela", pero tiene un gran inconveniente: cuando expresa cualquier variable de cualquier ecuación, obtendrá una solución en fracciones ordinarias. Y resolver fracciones lleva bastante tiempo y aumenta la probabilidad de cometer errores.
Por lo tanto, es mejor usar sumas (restas) de ecuaciones término por término. Analicemos los coeficientes de las variables correspondientes:
Encuentre un número que se pueda dividir por 3 y en 4 , si bien es necesario que este número sea lo más pequeño posible. Esta minimo común multiplo. Si le resulta difícil encontrar el número correcto, entonces puede multiplicar los coeficientes:.
Próximo paso:
Multiplica la primera ecuación por ,
Multiplica la tercera ecuación por ,
Con este video, comienzo una serie de lecciones sobre sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas ecuaciones lineales método de adición- es uno de los más maneras simples pero también uno de los más efectivos.
El método de adición consiste en tres simples pasos:
- Observa el sistema y elige una variable que tenga coeficientes iguales (u opuestos) en cada ecuación;
- Realice restas algebraicas (para números opuestos - suma) de ecuaciones entre sí, y luego traiga términos similares;
- Resuelva la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.
Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una sola ecuación con una variable- No será difícil de resolver. Luego solo queda sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.
Sin embargo, en la práctica no es tan sencillo. Hay varias razones para esto:
- Resolver ecuaciones por adición implica que todas las filas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué pasa si no se cumple este requisito?
- No siempre después de sumar/restar ecuaciones de esta manera, obtenemos bonito diseño, que se resuelve fácilmente. ¿Es posible de alguna manera simplificar los cálculos y acelerar los cálculos?
Para obtener una respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, tratar algunas sutilezas adicionales con las que muchos estudiantes "se caen", mira mi video tutorial:
Con esta lección, comenzamos una serie de conferencias sobre sistemas de ecuaciones. Y comenzaremos con los más simples de ellos, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.
Sistemas es un material de 7º grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran refrescar sus conocimientos sobre este tema.
En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:
- método de adición;
- Un método de expresar una variable en términos de otra.
Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para esto necesitas entender el siguiente hecho: una vez que tienes dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas. Se agregan término por término, es decir, "Xs" se agregan a "Xs" y se dan similares, "juegos" a "juegos": se agregan nuevamente los similares, y lo que está a la derecha del signo igual también se agrega entre sí, y los similares son también se da allí.
El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación, que, si tiene raíces, seguramente estarán entre las raíces de la ecuación original. Así que nuestra tarea es hacer la resta o la suma de tal manera que desaparezca $x$ o $y$.
Cómo lograr esto y qué herramienta usar para esto: hablaremos de esto ahora.
Resolver problemas fáciles usando el método de suma
Entonces, estamos aprendiendo a aplicar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.
Tarea 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la cantidad resultante, los "juegos" se aniquilarán mutuamente. Sumamos y obtenemos:
Resolvemos la construcción más simple:
Genial, encontramos la X. ¿Qué hacer con él ahora? Podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Pongámoslo en el primero:
\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]
Respuesta: $\izquierda(2;-3\derecha)$.
Tarea 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Aquí, la situación es completamente similar, solo que con las X. Vamos a juntarlos:
Obtuvimos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:
Ahora busquemos $x$:
Respuesta: $\izquierda(-3;3\derecha)$.
Puntos importantes
Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Una vez más los puntos clave:
- Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables en la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
- Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
- El registro final de la respuesta se puede presentar de diferentes maneras. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo más importante que debe recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
- La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede usar cuando el rol de las variables no es $x$ y $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.
En los siguientes problemas, consideraremos la técnica de resta cuando los coeficientes no son opuestos.
Resolver problemas fáciles usando el método de resta
Tarea 1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por lo tanto, restamos la segunda ecuación de la primera ecuación:
Ahora sustituimos el valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. vamos primero:
Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.
Tarea 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Volvemos a ver el mismo coeficiente $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuaciones. Por lo tanto, es lógico suponer que necesita restar el segundo de la primera ecuación:
Hemos calculado una variable. Ahora busquemos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor de $y$ en la segunda construcción:
Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.
Matices de la solución.
Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no es diferente de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo restas algebraicas.
En otras palabras, tan pronto como vea un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debe observar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se aplica el método de suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final que queda después de la resta, solo quedaría una variable.
Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Esos. no hay tales variables en ellos que sean iguales u opuestas. En este caso, para resolver tales sistemas, recepción adicional, es decir, la multiplicación de cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver tales sistemas en general, ahora hablaremos de esto.
Resolver problemas multiplicando por un coeficiente
Ejemplo 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no solo son opuestos entre sí, sino que en general no se correlacionan de ninguna manera con otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por lo tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente de $y$ de la primera ecuación, sin cambiar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Veámoslo: para $y$, coeficientes opuestos. En tal situación, es necesario aplicar el método de adición. Agreguemos:
Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:
\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]
Respuesta: $\izquierda(4;-2\derecha)$.
Ejemplo #2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Nuevamente, los coeficientes para ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes en $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, pero los coeficientes en $y$ son opuestos entre sí, y por lo tanto es fácil aplicar aquí el método de la suma:
Ahora encuentra $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:
Respuesta: $\izquierda(-2;1\derecha)$.
Matices de la solución.
La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplique solo por números positivos; esto lo salvará de errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante simple:
- Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
- Si vemos que ni para $y$ ni para $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son ni iguales ni opuestas, entonces hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que nos deshacemos y luego miramos los coeficientes en estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y multiplicamos la segunda, correspondiente, por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes en $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones están dirigidas únicamente a obtener una variable en una ecuación.
- Encontramos una variable.
- Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
- Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos, si tenemos variables $x$ e $y$.
Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes de $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos puede actuar de una manera ligeramente diferente a la del algoritmo estándar.
Resolver problemas con números fraccionarios
Ejemplo 1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Primero, tenga en cuenta que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Obtenemos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Restamos las ecuaciones entre sí:
$n$ encontramos, ahora calculamos $m$:
Respuesta: $n=-4;m=5$
Ejemplo #2
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Correcto.\]
Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, sin embargo, para ninguna de las variables, los coeficientes no encajan entre sí por un número entero de veces. Por lo tanto, usamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]
Usemos el método de la resta:
Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:
Respuesta: $p=-4;k=-2$.
Matices de la solución.
Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, y la segunda ecuación se multiplicó por $5$. Como resultado, hemos obtenido una ecuación consistente y uniforme para la primera variable. En el segundo sistema, actuamos de acuerdo con el algoritmo estándar.
Pero, ¿cómo encontrar los números por los que necesitas multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicas por números fraccionarios, obtenemos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones se deben multiplicar por un número que daría un nuevo entero, y luego las variables se deben multiplicar por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.
En conclusión, me gustaría llamar su atención sobre el formato del registro de respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ y $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:
Resolver sistemas complejos de ecuaciones
Como acorde final al video tutorial de hoy, veamos un par de sistemas complejos. Su complejidad consistirá en que contendrán variables tanto a la izquierda como a la derecha. Por tanto, para solucionarlos, tendremos que aplicar preprocesamiento.
Sistema #1
\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \derecha)-1=5\izquierda(2x-1 \derecha)+8 \\\end(alinear) \derecha.\]
Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, con cada expresión, hagamos como con una construcción lineal normal.
En total, obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe dos veces en $6$, así que multiplicamos la primera ecuación por $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, entonces restamos el segundo de la primera ecuación: $$
Ahora busquemos $y$:
Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Sistema #2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\izquierda(a-5 \derecha)+b \\\end(alinear) \derecha.\]
Transformemos la primera expresión:
Vamos a tratar con el segundo:
\[-3\izquierda(b-2a \derecha)-12=2\izquierda(a-5 \derecha)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Restamos la segunda de la primera construcción:
Ahora encuentra $a$:
Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, a saber, resolver sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema más adelante: analizaremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables, y las propias ecuaciones ya serán no lineales. ¡Nos vemos pronto!
OGBOU "Centro de Educación para Niños con Necesidades Educativas Especiales en Smolensk"
Centro de Educación a Distancia
Lección de álgebra en 7mo grado
Tema de la lección: El método de la suma algebraica.
- Tipo de lección: Lección de presentación primaria de nuevos conocimientos.
El propósito de la lección: controlar el nivel de asimilación de conocimientos y habilidades para resolver sistemas de ecuaciones por sustitución; formación de destrezas y habilidades para la resolución de sistemas de ecuaciones por el método de la suma.
Objetivos de la lección:
Materia: aprender a resolver sistemas de ecuaciones con dos método variable adición.
Metasujeto: UUD cognitivo: analizar (resaltar lo principal), definir conceptos, generalizar, sacar conclusiones. UUD reglamentario: definir el objetivo, problema en Actividades de aprendizaje. UUD comunicativo: expresa tu opinión, argumentándola. UUD personal: f formar una motivación positiva para el aprendizaje, crear un ambiente positivo actitud emocional estudiante a la lección y el tema.
Forma de trabajo: individual
Pasos de la lección:
1) Etapa organizativa.
organizar el trabajo del estudiante sobre el tema a través de la creación de una actitud hacia la integridad del pensamiento y la comprensión de este tema.
2. Interrogar al alumno sobre el material entregado en casa, actualizando conocimientos.
Propósito: probar los conocimientos adquiridos por el estudiante durante la implementación tarea, identificar errores, trabajar sobre errores. Repasa el material de la lección anterior.
3. Aprender material nuevo.
una). formar la habilidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales sumando;
2). desarrollar y mejorar los conocimientos existentes en situaciones nuevas;
3). educar las habilidades de control y autocontrol, desarrollar la independencia.
http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
Propósito: preservación de la visión, eliminación de la fatiga de los ojos mientras se trabaja en la lección.
5. Consolidación del material estudiado
Propósito: poner a prueba los conocimientos, habilidades y destrezas adquiridas en la lección
6. Resumen de la lección, información sobre tarea, reflexión.
Progreso de la lección (trabajo en documento electronico Google):
1. Hoy quería comenzar la lección con el acertijo filosófico de Walter.
¿Cuál es el más rápido, pero también el más lento, el más grande, pero también el más pequeño, el más largo y el más corto, el más caro, pero también el más barato para nosotros?
Hora
Recordemos los conceptos básicos sobre el tema:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones.
Recordemos cómo resolvimos los sistemas de ecuaciones en la última lección.
Método de sustitución
Una vez más presta atención al sistema resuelto y dime ¿por qué no podemos resolver cada ecuación del sistema sin recurrir al método de sustitución?
Porque estas son las ecuaciones de un sistema con dos variables. Podemos resolver una ecuación con una sola variable.
Solo al obtener una ecuación con una variable logramos resolver el sistema de ecuaciones.
3. Procedemos a resolver el siguiente sistema:
Elegimos una ecuación en la que sea conveniente expresar una variable en términos de otra.
No existe tal ecuación.
Esos. en esta situación, el método previamente estudiado no nos conviene. ¿Cuál es la salida de esta situación?
Encuentra un nuevo método.
Tratemos de formular el propósito de la lección.
Aprende a resolver sistemas de una manera nueva.
¿Qué necesitamos hacer para aprender a resolver sistemas con un nuevo método?
conocer las reglas (algoritmo) para resolver un sistema de ecuaciones, realizar tareas prácticas
Comencemos a derivar un nuevo método.
Presta atención a la conclusión que hicimos después de resolver el primer sistema. Logramos resolver el sistema solo después de obtener una ecuación lineal con una variable.
Mire el sistema de ecuaciones y piense en cómo obtener una ecuación con una variable de las dos ecuaciones dadas.
Agregar ecuaciones.
¿Qué significa sumar ecuaciones?
Por separado, haga la suma de las partes izquierdas, la suma de las partes derechas de las ecuaciones e iguale las sumas resultantes.
Intentemos. trabajamos conmigo
13x+14x+17y-17y=43+11
Obtuvimos una ecuación lineal con una variable.
¿Has resuelto el sistema de ecuaciones?
La solución del sistema es un par de números.
¿Cómo encontrarte?
Sustituye el valor encontrado de x en la ecuación del sistema.
¿Importa en qué ecuación ponemos el valor de x?
Así que el valor encontrado de x se puede sustituir en...
cualquier ecuación del sistema.
Nos familiarizamos con un nuevo método: el método de la suma algebraica.
Al resolver el sistema, discutimos el algoritmo para resolver el sistema por este método.
Hemos revisado el algoritmo. Ahora vamos a aplicarlo a la resolución de problemas.
La capacidad de resolver sistemas de ecuaciones puede ser útil en la práctica.
Considere el problema:
La finca tiene gallinas y ovejas. ¿Cuántos de esos y otros si tienen 19 cabezas y 46 patas juntas?
Sabiendo que hay 19 pollos y ovejas en total, componemos la primera ecuación: x + y \u003d 19
4x es el número de patas de oveja
2y - el número de patas en pollos
Sabiendo que solo hay 46 patas, componemos la segunda ecuación: 4x + 2y \u003d 46
Hagamos un sistema de ecuaciones:
Resolvamos el sistema de ecuaciones usando el algoritmo para resolver por el método de suma.
¡Problema! ¡Los coeficientes delante de x e y no son ni iguales ni opuestos! ¿Qué hacer?
¡Veamos otro ejemplo!
Agreguemos un paso más a nuestro algoritmo y colóquelo en primer lugar: si los coeficientes frente a las variables no son iguales ni opuestos, ¡entonces debemos igualar los módulos para alguna variable! Y luego actuaremos de acuerdo con el algoritmo.
4. Educación física electrónica para los ojos: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
5. Completamos el problema por el método de la suma algebraica, fijando nuevo material y averiguar cuántos pollos y ovejas había en la granja.
Tareas adicionales:
6. 
Reflexión.
Doy calificaciones por mi trabajo en clase...
6. Recursos utilizados-Internet:
Servicios de Google para la educación
Profesor de matemáticas Sokolova N. N.
En esta lección, continuaremos estudiando el método de resolución de sistemas de ecuaciones, a saber: el método de la suma algebraica. Primero, considere la aplicación de este método en el ejemplo de ecuaciones lineales y su esencia. Recordemos también cómo igualar coeficientes en ecuaciones. Y vamos a resolver una serie de problemas sobre la aplicación de este método.
Tema: Sistemas de Ecuaciones
Lección: método de suma algebraica
1. Método de suma algebraica en el ejemplo de sistemas lineales.
Considerar método de suma algebraica en el ejemplo de los sistemas lineales.
Ejemplo 1. Resuelve el sistema
Si sumamos estas dos ecuaciones, entonces las y se anulan y la ecuación para x permanece.
Si restamos la segunda ecuación de la primera ecuación, x se cancelará entre sí y obtendremos una ecuación para y. Este es el significado del método de la suma algebraica.
Resolvimos el sistema y recordamos el método de la suma algebraica. Para repetir su esencia: podemos sumar y restar ecuaciones, pero debemos asegurarnos de obtener una ecuación con una sola incógnita.
2. Método de suma algebraica con ajuste preliminar de coeficientes
Ejemplo 2. Resuelve el sistema
El término está presente en ambas ecuaciones, por lo que el método de suma algebraica es conveniente. Resta el segundo de la primera ecuación.
Respuesta: (2; -1).
Así, después de analizar el sistema de ecuaciones, se puede ver que es conveniente para el método de la suma algebraica, y aplicarlo.
Considere otro sistema lineal.
3. Solución de sistemas no lineales
Ejemplo 3. Resuelve el sistema
Queremos deshacernos de y, pero las dos ecuaciones tienen diferentes coeficientes para y. Los igualamos, para esto multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 4.
Ejemplo 4. Resuelve el sistema 
Igualar los coeficientes en x
Puede hacerlo de manera diferente: iguale los coeficientes en y.
Resolvimos el sistema aplicando dos veces el método de la suma algebraica.
El método de la suma algebraica también es aplicable para resolver sistemas no lineales.
Ejemplo 5. Resuelve el sistema
Sumemos estas ecuaciones y nos desharemos de y.
El mismo sistema se puede resolver aplicando dos veces el método de la suma algebraica. Sumar y restar de una ecuación a otra.
Ejemplo 6. Resuelve el sistema 
Responder: 
Ejemplo 7. Resuelve el sistema 
Usando el método de la suma algebraica, nos deshacemos del término xy. Multiplica la primera ecuación por .
La primera ecuación permanece sin cambios, en lugar de la segunda escribimos la suma algebraica.
Responder: 
Ejemplo 8. Resuelve el sistema
Multiplica la segunda ecuación por 2 para encontrar un cuadrado perfecto.
Nuestra tarea se redujo a resolver cuatro sistemas simples.
4. Conclusión
Consideramos el método de la suma algebraica usando el ejemplo de resolver sistemas lineales y no lineales. En la próxima lección, consideraremos el método de introducción de nuevas variables.
1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9º grado: Proc. Para la educación general Instituciones.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.
2. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9.º grado: Cuaderno de tareas para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4.ª ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.
3. Yu. N. Makarychev, Álgebra. Grado 9: libro de texto. para estudiantes de educación general. instituciones / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª ed., rev. y adicional - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin y Yu. V. Sidorov, Álgebra. Grado 9 16ª edición. - M., 2011. - 287 págs.
5. Mordkovich A. G. Álgebra. Grado 9 A las 2 pm Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., borrado. — M.: 2010. — 224 p.: il.
6. Álgebra. Grado 9 A las 2 horas Parte 2. Libro de tareas para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina y otros; ed. A.G. Mordkovich. - 12ª ed., rev. — M.: 2010.-223 p.: il.
1. Sección universitaria. ru en matemáticas.
2. Proyecto de Internet "Tareas".
3. portal educativo"RESOLVERÉ EL USO".
1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9.º grado: Cuaderno de tareas para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4.ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo. Nº 125 - 127.
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método de suma algebraica
Puedes resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas diferentes caminos- método gráfico o método de sustitución de variables.
En esta lección, nos familiarizaremos con otra forma de resolver sistemas que seguramente te gustará: este es el método de la suma algebraica.
¿Y de dónde vino la idea de poner algo en los sistemas? Al resolver sistemas problema principal es la presencia de dos variables, porque no podemos resolver ecuaciones con dos variables. Entonces, es necesario excluir a uno de ellos de alguna manera legal. Y tales formas legítimas son las reglas y propiedades matemáticas.
Una de estas propiedades suena así: la suma de los números opuestos es cero. Esto significa que si hay coeficientes opuestos para una de las variables, su suma será igual a cero y podremos excluir esta variable de la ecuación. Está claro que no tenemos derecho a sumar sólo los términos con la variable que necesitemos. Es necesario sumar las ecuaciones como un todo, es decir agregue por separado términos similares en el lado izquierdo, luego en el derecho. Como resultado, obtendremos una nueva ecuación que contiene solo una variable. Echemos un vistazo a ejemplos específicos.
Vemos que en la primera ecuación hay una variable y, y en la segunda numero opuesto-y. Entonces esta ecuación se puede resolver por el método de la suma.
Una de las ecuaciones se deja como está. Cualquiera que más te guste.
Pero la segunda ecuación se obtendrá sumando estas dos ecuaciones término por término. Esos. Agregue 3x a 2x, agregue y a -y, agregue 8 a 7.
Obtenemos un sistema de ecuaciones.
La segunda ecuación de este sistema es una ecuación simple con una variable. A partir de él encontramos x \u003d 3. Sustituyendo el valor encontrado en la primera ecuación, encontramos y \u003d -1.
Respuesta: (3; - 1).
Muestra de diseño:
Resolver el sistema de ecuaciones por suma algebraica
No hay variables con coeficientes opuestos en este sistema. Pero sabemos que ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar por el mismo número. Multipliquemos la primera ecuación del sistema por 2.
Entonces la primera ecuación tomará la forma:
Ahora vemos que con la variable x hay coeficientes opuestos. Entonces, haremos lo mismo que en el primer ejemplo: dejaremos una de las ecuaciones sin cambios. Por ejemplo, 2y + 2x \u003d 10. Y obtenemos el segundo sumando.
Ahora tenemos un sistema de ecuaciones:
Hallamos fácilmente a partir de la segunda ecuación y = 1, y luego a partir de la primera ecuación x = 4.
Muestra de diseño:
Resumamos:
Hemos aprendido a resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método de la suma algebraica. Por lo tanto, ahora conocemos tres métodos principales para resolver tales sistemas: el método gráfico, el método de cambio de variable y el método de adición. Casi cualquier sistema se puede resolver utilizando estos métodos. En mas casos dificiles utilizando una combinación de estos métodos.
Lista de literatura usada:
- Mordkovich A.G., Álgebra grado 7 en 2 partes, Parte 1, Libro de texto para instituciones educativas / A.G. Mordkovich. - 10ª ed., revisada - Moscú, "Mnemosyne", 2007.
- Mordkovich A.G., Álgebra grado 7 en 2 partes, Parte 2, Libro de tareas para instituciones educativas / [A.G. Mordkovich y otros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edición, revisada - Moscú, Mnemosyne, 2007.
- SU. Tulchinskaya, Álgebra Grado 7. Encuesta relámpago: una guía para estudiantes de instituciones educativas, 4ª edición, revisada y complementada, Moscú, Mnemozina, 2008.
- Alexandrova L.A., Álgebra Grado 7. Temático trabajo de verificación en nueva forma para estudiantes de instituciones educativas, editado por A.G. Mordkovich, Moscú, "Mnemosyne", 2011.
- Aleksandrova L.A. Álgebra 7º grado. Trabajo independiente para estudiantes de instituciones educativas, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edición, estereotipada, Moscú, "Mnemosyne", 2010.