Para factorizar es necesario simplificar las expresiones. Esto es necesario para poder reducir aún más. La descomposición de un polinomio tiene sentido cuando su grado es al menos dos. Un polinomio con el primer grado se llama lineal.
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El artículo cubrirá todos los conceptos de descomposición, bases teóricas y métodos para factorizar el polinomio.
Teoría
Teorema 1Cuando cualquier polinomio de grado n, tiene la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, se representan como un producto con un factor constante de mayor potencia an y n factores lineales (x - xi), i = 1, 2, ..., n, entonces P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) ... ... · (X - x 1), donde x i, i = 1, 2,…, n - estas son las raíces del polinomio.
El teorema está diseñado para raíces de tipo complejo x i, i = 1, 2,…, ny para coeficientes complejos a k, k = 0, 1, 2,…, n. Ésta es la base de cualquier descomposición.
Cuando los coeficientes de la forma a k, k = 0, 1, 2, ..., n son numeros reales, luego raíces complejas que se encontrarán en pares conjugados. Por ejemplo, las raíces x 1 y x 2 se refieren a un polinomio de la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 se consideran conjugados complejos, entonces las otras raíces son reales, por lo que obtenemos que el polinomio toma la forma P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) · . ... ... (X - x 3) x 2 + p x + q, donde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Comentario
Las raíces del polinomio se pueden repetir. Considere la demostración del teorema del álgebra, un corolario del teorema de Bezout.
El teorema principal del álgebra
Teorema 2Cualquier polinomio de grado n tiene al menos una raíz.
Teorema de bezout
Después de realizar la división de un polinomio de la forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 en (x - s), luego obtenemos el resto, que es igual al polinomio en el punto s, luego obtenemos
P norte x = una norte x norte + una norte - 1 x norte - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s), donde Q n - 1 (x) es un polinomio de grado n - 1.
Corolario del teorema de Bezout
Cuando la raíz del polinomio P n (x) se considera s, entonces P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + una 1 x + una 0 = (x - s) Q norte - 1 (x). Este corolario es suficiente cuando se usa para describir una solución.
Factorizar un trinomio cuadrado
Un trinomio cuadrado de la forma a x 2 + b x + c se puede descomponer en factores lineales... entonces obtenemos que a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2), donde x 1 y x 2 son raíces (complejas o reales).
De esto queda claro que la expansión en sí se reduce a la solución ecuación cuadrática después.
Ejemplo 1
Factoriza un trinomio cuadrado.
Solución
Encuentra las raíces de la ecuación 4 x 2-5 x + 1 = 0. Para hacer esto, necesitas encontrar el valor del discriminante por la fórmula, luego obtenemos D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Por lo tanto tenemos que
x 1 = 5-9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
De esto obtenemos que 4 x 2-5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Los corchetes deben expandirse para realizar la verificación. Entonces obtenemos una expresión de la forma:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2-5 x + 1
Después de comprobarlo, llegamos a la expresión original. Es decir, podemos concluir que la descomposición es correcta.
Ejemplo 2
Factoriza un trinomio cuadrado de la forma 3 x 2-7 x - 11.
Solución
Obtenemos que es necesario calcular la ecuación cuadrática resultante de la forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Para encontrar las raíces, debe determinar el valor del discriminante. Lo entendemos
3 x 2-7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2-4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
De esto obtenemos que 3 x 2-7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Ejemplo 3
Factoriza el polinomio 2 x 2 + 1.
Solución
Ahora necesitas resolver la ecuación cuadrática 2 x 2 + 1 = 0 y encontrar sus raíces. Lo entendemos
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 yo x 2 = - 1 2 = - 1 2 yo
Estas raíces se denominan conjugadas complejas, lo que significa que la descomposición en sí se puede representar como 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Ejemplo 4
Descompón el trinomio cuadrado x 2 + 1 3 x + 1.
Solución
Primero necesitas resolver una ecuación cuadrática de la forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 y encontrar sus raíces.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2-4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 ix 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 yo 2 = - 1 - 35 yo 6 = - 1 6 - 35 6 yo
Habiendo recibido las raíces, escribimos.
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 yo x - - 1 6 - 35 6 yo = = x + 1 6 - 35 6 yo x + 1 6 + 35 6 yo
Comentario
Si el valor del discriminante es negativo, entonces los polinomios siguen siendo polinomios de segundo orden. De ahí se deduce que no los descompondremos en factores lineales.
Métodos para factorizar polinomios de grado superior a dos
La descomposición asume método universal... La mayoría de los casos se basan en un corolario del teorema de Bezout. Para hacer esto, debe seleccionar el valor de la raíz x 1 y reducir su grado dividiendo por un polinomio por 1 dividiendo por (x - x 1). El polinomio resultante necesita encontrar la raíz x 2, y el proceso de búsqueda es cíclico hasta que obtengamos una descomposición completa.
Si no se encuentra la raíz, se utilizan otros métodos de factorización: agrupación, términos adicionales. Este tema asume la solución de ecuaciones con grados superiores y coeficientes enteros.
Sacando el factor común entre paréntesis
Considere el caso en el que el término libre es igual a cero, entonces la forma del polinomio se convierte en P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x.
Se puede ver que la raíz de dicho polinomio será igual ax 1 = 0, entonces el polinomio se puede representar como la expresión P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + una 1 x = = x (una norte x norte - 1 + una norte - 1 x norte - 2 + ... + una 1)
Se considera que este método elimina el factor común entre paréntesis.
Ejemplo 5
Factoriza el polinomio de tercer grado 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Solución
Vemos que x 1 = 0 es la raíz del polinomio dado, entonces podemos sacar x fuera de los corchetes de toda la expresión. Obtenemos:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Pasamos a encontrar las raíces del trinomio cuadrado 4 x 2 + 8 x - 1. Encontremos el discriminante y las raíces:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Entonces sigue que
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Para empezar, consideremos el método de descomposición que contiene coeficientes enteros de la forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, donde el coeficiente a la mayor potencia es 1.
Cuando un polinomio tiene raíces integrales, se consideran divisores del término libre.
Ejemplo 6
Expande la expresión f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2-9 x - 18.
Solución
Considere si hay raíces enteras. Es necesario anotar los divisores del número - 18. Obtenemos que ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. De ello se deduce que este polinomio tiene raíces integrales. Puede consultar el esquema de Horner. Es muy conveniente y le permite obtener rápidamente los coeficientes de expansión de un polinomio:
De ello se deduce que x = 2 y x = - 3 son las raíces del polinomio original, que se puede representar como un producto de la forma:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2-9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Pasamos a la descomposición de un trinomio cuadrado de la forma x 2 + 2 x + 3.
Dado que el discriminante es negativo, significa que no hay raíces reales.
Respuesta: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2-9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Comentario
Se permite utilizar la selección de raíces y la división de un polinomio por un polinomio en lugar del esquema de Horner. Procedemos a considerar la expansión de un polinomio que contiene coeficientes enteros de la forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. ... ... + a 1 x + a 0, el más antiguo de los cuales es igual a uno.
Este caso ocurre para fracciones fraccionarias racionales.
Ejemplo 7
Factoriza f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.
Solución
Es necesario cambiar la variable y = 2 x, ir a un polinomio con coeficientes iguales a 1 en el grado más alto. Debes comenzar multiplicando la expresión por 4. Lo entendemos
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Cuando la función resultante de la forma g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 tiene raíces enteras, entonces búscalas entre los divisores del término libre. La entrada tomará la forma:
± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60
Procedamos a calcular la función g (y) en estos puntos para obtener como resultado cero. Lo entendemos
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Obtenemos que y = - 5 es la raíz de una ecuación de la forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, lo que significa que x = y 2 = - 5 2 es la raíz de la función original.
Ejemplo 8
Es necesario dividir con una columna 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 por x + 5 2.
Solución
Escribamos y obtengamos:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Verificar los divisores llevará mucho tiempo, por lo que es más rentable tomar la factorización del trinomio cuadrado resultante de la forma x 2 + 7 x + 3. Igualar a cero y encontrar el discriminante.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
De ahí se sigue que
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2-37 2 x + 7 2 + 37 2
Trucos artificiales para factorizar un polinomio
Las raíces racionales no son inherentes a todos los polinomios. Para hacer esto, necesita usar métodos especiales para encontrar los multiplicadores. Pero no todos los polinomios se pueden expandir o representar como un producto.
Método de agrupación
Hay ocasiones en las que puedes agrupar los términos de un polinomio para encontrar el factor común y colocarlo fuera de los corchetes.
Ejemplo 9
Factoriza el polinomio x 4 + 4 x 3 - x 2-8 x - 2.
Solución
Debido a que los coeficientes son números enteros, las raíces, presumiblemente, también pueden ser números enteros. Para comprobarlo, tome los valores 1, - 1, 2 y - 2 para calcular el valor del polinomio en estos puntos. Lo entendemos
1 4 + 4 1 3-1 2-8 1-2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2-8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2-8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
A partir de esto, queda claro que no hay raíces, es necesario utilizar un método diferente de descomposición y solución.
Es necesario agrupar:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Después de agrupar el polinomio original, es necesario representarlo como el producto de dos trinomios cuadrados... Para hacer esto, necesitamos hacer la factorización. lo entendemos
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2-3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2-3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2-3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2-3 x + 2 + 3
Comentario
La simplicidad de la agrupación no significa que sea bastante fácil elegir los términos. No hay una solución definitiva, por lo que es necesario utilizar teoremas y reglas especiales.
Ejemplo 10
Factoriza el polinomio x 4 + 3 x 3 - x 2-4 x + 2.
Solución
El polinomio dado no tiene raíces integrales. Es necesario agrupar los términos. Lo entendemos
x 4 + 3 x 3 - x 2-4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Después de factorizar, obtenemos que
x 4 + 3 x 3 - x 2-4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1-3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Usar fórmulas de multiplicación abreviadas y el binomio de Newton para factorizar un polinomio
La apariencia a menudo no siempre deja claro qué método debe usarse durante la descomposición. Una vez realizadas las transformaciones, puede construir una línea que consista en el triángulo de Pascal; de lo contrario, se denominan binomio de Newton.
Ejemplo 11
Factoriza el polinomio x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Solución
Es necesario convertir la expresión a la forma
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3
La expresión x + 1 4 indica la secuencia de la suma de coeficientes entre paréntesis.
Por lo tanto, tenemos x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3 = x + 1 4-3.
Después de aplicar la diferencia de cuadrados, obtenemos
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3 = x + 1 4-3 = = x + 1 4-3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Considere la expresión en el segundo paréntesis. Está claro que allí no hay caballos, por lo que se debe aplicar nuevamente la fórmula para la diferencia de cuadrados. Obtenemos una expresión de la forma
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1-3 = x + 1 4-3 = = x + 1 4-3 = x + 1 2-3 x + 1 2 + 3 = = x + 1-3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Ejemplo 12
Factoriza x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.
Solución
Hagamos la transformación de la expresión. Lo entendemos
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Es necesario aplicar la fórmula para la multiplicación abreviada de la diferencia de cubos. Obtenemos:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Una forma de reemplazar una variable al factorizar un polinomio
Al cambiar una variable, el grado se reduce y el polinomio se descompone en factores.
Ejemplo 13
Factoriza un polinomio de la forma x 6 + 5 x 3 + 6.
Solución
Según la condición, está claro que es necesario hacer el reemplazo y = x 3. Obtenemos:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Las raíces de la ecuación cuadrática resultante son iguales ay = - 2 y y = - 3, entonces
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Es necesario aplicar la fórmula para la multiplicación abreviada de la suma de cubos. Obtenemos expresiones de la forma:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2-3 3 x + 9 3
Es decir, obtuvimos la descomposición requerida.
Los casos discutidos anteriormente ayudarán a considerar y factorizar un polinomio de diferentes maneras.
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La factorización de polinomios es una transformación de identidad, como resultado de la cual un polinomio se transforma en un producto de varios factores: polinomios o monomios.
Hay varias formas de factorizar polinomios.
Método 1. Sacando el factor común del paréntesis.
Esta transformación se basa en la ley de la multiplicación distributiva: ac + bc = c (a + b). La esencia de la transformación es seleccionar el factor común en los dos componentes considerados y "sacarlo" de los corchetes.
Factoriza el polinomio 28x 3 - 35x 4.
Solución.
1. Encuentra los elementos 28x 3 y 35x 4 común divisor... Para 28 y 35 esto será 7; para x 3 y x 4 - x 3. En otras palabras, nuestro factor común es 7x 3.
2. Cada uno de los elementos se representa como un producto de factores, uno de los cuales
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.
3. Factoriza el factor común
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).
Método 2. Usando fórmulas de multiplicación abreviadas. La "habilidad" para dominar este método es notar en la expresión una de las fórmulas para la multiplicación abreviada.
Factoriza el polinomio x 6 - 1.
Solución.
1 A esta expresión podemos aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados. Para hacer esto, representamos x 6 como (x 3) 2 y 1 como 1 2, es decir 1. La expresión tomará la forma:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).
2. A la expresión resultante, podemos aplicar la fórmula para la suma y diferencia de cubos:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Entonces,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Método 3. Agrupación. El método de agrupamiento consiste en combinar los componentes de un polinomio de tal forma que sea fácil realizar acciones sobre ellos (suma, resta, remoción de un factor común).
Factoriza el polinomio x 3 - 3x 2 + 5x - 15.
Solución.
1. Agrupemos los componentes de esta manera: el primero con el segundo y el tercero con el cuarto
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).
2. En la expresión resultante, coloque los factores comunes fuera de los corchetes: x 2 en el primer caso y 5 - en el segundo.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).
3. Factoriza el factor común x - 3 y obtén:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).
Entonces,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Arreglemos el material.
Factoriza el polinomio a 2 - 7ab + 12b 2.
Solución.
1. Representemos el monomio 7ab como la suma 3ab + 4ab. La expresión tomará la forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Abramos los corchetes y obtengamos:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.
2. Agrupemos los componentes del polinomio de la siguiente manera: 1º con 2º y 3º con 4º. Obtenemos:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).
3. Saquemos los factores comunes de los corchetes:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).
4. Factoriza el factor común (a - 3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
Entonces,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).
sitio, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
¿Qué hacer si, en el proceso de resolver un problema del examen o en el examen de ingreso en matemáticas, recibió un polinomio que no se puede factorizar usando los métodos estándar que aprendió en la escuela? En este artículo, un tutor de matemáticas le informará sobre una forma efectiva, que está fuera del alcance del plan de estudios de la escuela, pero con la que no será difícil factorizar un polinomio en factores. Lea este artículo hasta el final y vea el video tutorial adjunto. El conocimiento que adquiera le ayudará en el examen.
Factorización de polinomios por división
En el caso de que haya recibido un polinomio mayor que el segundo grado y haya podido adivinar el valor de la variable en la que este polinomio se convierte en igual a cero(por ejemplo, este valor es igual), ¡tenga en cuenta! Este polinomio se puede dividir por.
Por ejemplo, es fácil ver que el polinomio de cuarto grado desaparece en. Entonces se puede dividir sin resto entre, obteniendo así un polinomio de tercer grado (menos por uno). Es decir, representarlo en la forma:
dónde A, B, C y D- algunos números. Expandamos los corchetes:
Dado que los coeficientes en los mismos grados deben ser los mismos, obtenemos:
Entonces, tenemos:
Siga adelante. Es suficiente iterar sobre algunos pequeños enteros para ver que el polinomio de tercer grado es divisible por nuevamente. Esto da un polinomio de segundo grado (menos en uno). Luego pasemos a la nueva entrada:
dónde mi, F y GRAMO- algunos números. Abrimos de nuevo los corchetes y llegamos a la siguiente expresión:
Nuevamente, a partir de la condición de igualdad de los coeficientes en los mismos grados, obtenemos:
Entonces obtenemos:
Es decir, el polinomio original se puede factorizar de la siguiente manera:
En principio, si se desea, utilizando la fórmula de la diferencia de cuadrados, el resultado también se puede presentar de la siguiente forma:
Tan simple y método efectivo factorización de polinomios. Recuérdelo, puede ser útil para un examen o una Olimpiada de matemáticas. Compruebe si ha aprendido a utilizar este método. Intente resolver el siguiente problema usted mismo.
Factorizar el polinomio:
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Preparado por Sergey Valerievich
En este artículo encontrarás todos Información necesaria respondiendo la pregunta cómo factorizar un número en factores primos... Dado primero Idea general sobre la descomposición de un número en factores primos, se dan ejemplos de descomposiciones. A continuación se muestra la forma canónica de la factorización de un número en factores primos. Después de eso, se da un algoritmo para descomponer números arbitrarios en factores primos y se dan ejemplos de descomposición de números usando este algoritmo. También considerado formas alternativas que le permiten descomponer rápidamente números enteros pequeños en factores primos utilizando criterios de divisibilidad y tablas de multiplicar.
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¿Qué significa factorizar un número en factores primos?
Primero, averigüemos qué son los factores primos.
Está claro que dado que la palabra "factores" está presente en esta frase, entonces hay un producto de algunos números, y la palabra calificativa "simple" significa que cada factor es un número primo. Por ejemplo, en un producto de la forma 2 · 7 · 7 · 23 hay cuatro factores primos: 2, 7, 7 y 23.
¿Qué significa factorizar un número en factores primos?
Esto significa que número dado debe representarse como un producto de factores primos y el valor de este producto debe ser igual al número original. Como ejemplo, considere el producto de tres primos 2, 3 y 5, es igual a 30, por lo que la factorización de 30 en factores primos es 2 · 3 · 5. Por lo general, la descomposición de un número en factores primos se escribe como una igualdad, en nuestro ejemplo será así: 30 = 2 · 3 · 5. Destacamos por separado que los factores primos de la expansión pueden repetirse. Esto se ilustra claramente con el siguiente ejemplo: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Pero la representación de la forma 45 = 3 · 15 no es una factorización prima, ya que el número 15 es compuesto.
Surge la siguiente pregunta: "¿Qué números en general se pueden descomponer en factores primos"?
En busca de una respuesta, presentamos el siguiente razonamiento. Los números primos se encuentran, por definición, entre los más grandes que uno. Considerando este hecho y, se puede argumentar que el producto de varios factores primos es un entero positivo mayor que uno. Por lo tanto, la factorización se lleva a cabo solo para números enteros positivos mayores que 1.
Pero, ¿todos los números enteros mayores que un factor se convierten en factores primos?
Está claro que no hay forma de descomponer los números primos en factores primos. Esto se debe a que los números primos tienen solo dos divisores positivos: uno y ellos mismos, por lo que no pueden representarse como un producto de dos o más números primos. Si el entero z pudiera representarse como un producto de los números primos ayb, entonces la noción de divisibilidad nos permitiría concluir que z es divisible por ayb, lo cual es imposible debido a la simplicidad del número z. Sin embargo, se cree que cualquier número primo en sí mismo es su expansión.
¿Qué pasa con los números compuestos? ¿Se descomponen los números compuestos en factores primos y todos los números compuestos están sujetos a tal descomposición? Varias de estas preguntas se responden afirmativamente mediante el teorema principal de la aritmética. El teorema principal de la aritmética establece que cualquier número entero a que sea mayor que 1 puede descomponerse en el producto de los factores primos p 1, p 2, ..., pn, y la descomposición tiene la forma a = p 1 p 2 .. .la descomposición es única, si no se tiene en cuenta el orden de los factores
Factorización canónica de un número en factores primos
En la expansión de un número, los factores primos pueden repetirse. Los factores primos duplicados se pueden escribir de forma más compacta utilizando. Suponga que en la expansión de un número, un factor primo p 1 ocurre s 1 veces, un factor primo p 2 - s 2 veces, y así sucesivamente, p n - s n veces. Entonces, la factorización prima del número a se puede escribir como a = p 1 s 1 p 2 s 2… p n s n... Esta forma de grabación es la llamada factorización prima canónica.
Démosle un ejemplo de la factorización canónica de un número en factores primos. Háganos saber la descomposición 609840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, su notación canónica es 609840 = 2 4 3 2 5 7 11 2.
La factorización canónica de un número en factores primos le permite encontrar todos los divisores de un número y el número de divisores de un número.
Algoritmo para factorizar un número en factores primos
Para hacer frente con éxito al problema de factorizar un número en factores primos, necesita conocer muy bien la información del artículo sobre números primos y compuestos.
La esencia del proceso de descomposición de un número entero positivo y mayor que un número a se desprende de la demostración del teorema principal de la aritmética. La idea es encontrar secuencialmente los divisores primos más pequeños p 1, p 2, ..., pn de los números a, a 1, a 2, ..., a n-1, lo que nos permite obtener una serie de igualdades a = p 1 a 1, donde a 1 = a: p 1, a = p 1 a 1 = p 1 p 2 a 2, donde a 2 = a 1: p 2,…, a = p 1 p 2… = a n-1: pn. Cuando obtenemos a n = 1, entonces la igualdad a = p 1 · p 2 ·… · p n nos dará la descomposición requerida del número a en factores primos. Cabe señalar aquí que p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤… ≤p n.
Queda por descubrir cómo encontrar los factores primos más pequeños en cada paso, y tendremos un algoritmo para factorizar el número en factores primos. La tabla de números primos nos ayudará a encontrar factores primos. Demostremos cómo usarlo para obtener el divisor primo más pequeño del número z.
Secuencialmente tomamos números primos de la tabla de números primos (2, 3, 5, 7, 11, etc.) y dividimos el número dado z por ellos. El primer número primo z se divide por un entero que será su divisor primo más pequeño. Si el número z es primo, entonces su divisor primo más pequeño será el mismo número z. Debe recordarse aquí que si z no es número primo, entonces su divisor primo más pequeño no excede el número, donde es de z. Por lo tanto, si entre los números primos que no exceden, no hubo un solo divisor del número z, entonces podemos concluir que z es un número primo (para más detalles, vea la sección de teoría bajo el encabezado este número es primo o compuesto) .
Como ejemplo, le mostraremos cómo encontrar el divisor primo más pequeño de 87. Cogemos el número 2. Dividimos 87 entre 2, obtenemos 87: 2 = 43 (resto 1) (si es necesario, consulte el artículo). Es decir, dividir 87 entre 2 da como resultado un resto de 1, por lo que 2 no es un divisor de 87. Tomamos el siguiente número primo de la tabla de primos, que es 3. Dividimos 87 entre 3, obtenemos 87: 3 = 29. Por lo tanto, 87 es uniformemente divisible por 3, por lo que 3 es el divisor primo más pequeño de 87.
Tenga en cuenta que en el caso general, para factorizar un número a en factores primos, necesitamos una tabla de números primos hasta un número no menor que. Tendremos que consultar esta tabla en cada paso, por lo que debe tenerla a mano. Por ejemplo, para factorizar 95 en factores primos, una tabla de números primos hasta 10 será suficiente (ya que 10 es mayor que). Y para descomponer el número 846653, ya necesitará una tabla de números primos hasta 1,000 (ya que 1,000 es más que).
Ahora tenemos suficiente información para escribir algoritmo de factorización prima... El algoritmo de descomposición para el número a es el siguiente:
- Repasando secuencialmente los números de la tabla de primos, encontramos el divisor primo más pequeño p 1 del número a, después de lo cual calculamos a 1 = a: p 1. Si a 1 = 1, entonces el número a es primo y él mismo es su factorización prima. Si un 1 no es igual a 1, entonces tenemos a = p 1 · a 1 y vamos al siguiente paso.
- Encuentre el divisor primo más pequeño p 2 del número a 1, para esto iteramos secuencialmente sobre los números de la tabla de primos, comenzando con p 1, y luego calculamos a 2 = a 1: p 2. Si a 2 = 1, entonces la factorización requerida del número a en factores primos tiene la forma a = p 1 · p 2. Si a 2 no es igual a 1, entonces tenemos a = p 1 · p 2 · a 2 y vamos al siguiente paso.
- Repasando los números de la tabla de primos, comenzando con p 2, encontramos el divisor primo más pequeño p 3 del número a 2, después de lo cual calculamos a 3 = a 2: p 3. Si a 3 = 1, entonces la factorización requerida del número a en factores primos tiene la forma a = p 1 · p 2 · p 3. Si un 3 no es igual a 1, entonces tenemos a = p 1 · p 2 · p 3 · a 3 y vamos al siguiente paso.
- Encuentre el divisor primo más pequeño p n de a n-1 pasando por los números primos, comenzando con p n-1, y también a n = a n-1: p n, y a n es igual a 1. Este paso es el último paso del algoritmo, aquí obtenemos la descomposición requerida del número a en factores primos: a = p 1 · p 2 ·… · p n.
Para mayor claridad, todos los resultados obtenidos en cada paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos se presentan en la forma de la siguiente tabla, en la que, a la izquierda de la línea vertical, los números a, a 1, a 2 , ..., an se escriben secuencialmente en una columna, ya la derecha de la línea - los correspondientes divisores primos mínimos p 1, p 2,…, pn.
Solo queda considerar algunos ejemplos de la aplicación del algoritmo obtenido para la descomposición de números en factores primos.
Ejemplos de factorización prima
Ahora analizaremos en detalle ejemplos de factorización de números en factores primos... En la descomposición aplicaremos el algoritmo del párrafo anterior. Empecemos por casos sencillos, y poco a poco los vamos complicando para afrontar todos los posibles matices que surgen al factorizar números en factores primos.
Ejemplo.
Divide 78 en factores primos.
Solución.
Comenzamos a buscar el primer divisor primo más pequeño p 1 del número a = 78. Para hacer esto, comenzamos a iterar secuencialmente sobre los números primos de la tabla de números primos. Tomamos el número 2 y dividimos 78 por él, obtenemos 78: 2 = 39. El número 78 se dividió por 2 sin dejar residuo, por lo que p 1 = 2 es el primer factor primo encontrado para 78. En este caso, a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Entonces llegamos a la igualdad a = p 1 · a 1 que tiene la forma 78 = 2 · 39. Obviamente, un 1 = 39 es diferente de 1, por lo que pasamos al segundo paso del algoritmo.
Ahora buscamos el divisor primo más pequeño p 2 del número a 1 = 39. Comenzamos a iterar sobre los números de la tabla de números primos, comenzando con p 1 = 2. Dividiendo 39 entre 2, obtenemos 39: 2 = 19 (resto 1). Dado que 39 no es divisible entre 2, 2 no es un divisor de él. Entonces tomamos siguiente numero de la tabla de números primos (número 3) y dividir por 39, obtenemos 39: 3 = 13. Por lo tanto, p 2 = 3 es el divisor primo más pequeño de 39, mientras que a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Tenemos la igualdad a = p 1 p 2 a 2 en la forma 78 = 2 3 13. Dado que 2 = 13 es diferente de 1, vaya al siguiente paso del algoritmo.
Aquí necesitamos encontrar el divisor primo más pequeño del número a 2 = 13. En la búsqueda del divisor primo más pequeño p 3 de 13, iteraremos secuencialmente sobre los números de la tabla de primos, comenzando con p 2 = 3. El número 13 no es divisible entre 3, ya que 13: 3 = 4 (resto 1), además 13 no es divisible entre 5, 7 y 11, ya que 13: 5 = 2 (resto 3), 13: 7 = 1 (descanso 6) y 13:11 = 1 (descanso 2). El siguiente número primo es 13, y 13 es divisible por él sin residuo, por lo tanto, el divisor primo más pequeño p 3 de 13 es el número 13 en sí mismo, y a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Dado que a 3 = 1, entonces este paso del algoritmo es el último, y la descomposición requerida de 78 en factores primos tiene la forma 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3).
Respuesta:
78 = 2 3 13.
Ejemplo.
Presente el número 83.006 como un producto de factores primos.
Solución.
En el primer paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos, encontramos p 1 = 2 y a 1 = a: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, de donde 83 006 = 2 · 41 503.
En el segundo paso, encontramos que 2, 3 y 5 no son divisores primos del número a 1 = 41 503, y el número 7 es, ya que 41 503: 7 = 5 929. Tenemos p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Por lo tanto, 83 006 = 2 7 5 929.
El factor primo más pequeño de a 2 = 5929 es 7, ya que 5929: 7 = 847. Por lo tanto, p 3 = 7, a 3 = a 2: p 3 = 5 929: 7 = 847, de donde 83 006 = 2 7 7 847.
Luego encontramos que el divisor primo más pequeño p 4 del número a 3 = 847 es 7. Entonces a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, por lo tanto 83006 = 2 7 7 7 7 121.
Ahora encontramos el divisor primo más pequeño del número a 4 = 121, es el número p 5 = 11 (ya que 121 es divisible por 11 y no divisible por 7). Entonces a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, y 83006 = 2 7 7 7 11 11.
Finalmente, el factor primo más pequeño de a 5 = 11 es p 6 = 11. Entonces a 6 = a 5: p 6 = 11:11 = 1. Dado que a 6 = 1, entonces este paso del algoritmo para descomponer un número en factores primos es el último, y la descomposición requerida tiene la forma 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.
El resultado obtenido se puede escribir como la factorización canónica de un número en factores primos 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.
Respuesta:
83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 991 es un número primo. De hecho, no tiene un solo divisor primo que no exceda (se puede estimar aproximadamente como, ya que es obvio que 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Respuesta:
897 924 289 = 937 967 991.
Usar criterios de divisibilidad para la factorización prima
En casos simples, puede descomponer un número en factores primos sin usar el algoritmo de descomposición del primer párrafo de este artículo. Si los números no son grandes, entonces, para su descomposición en factores primos, a menudo es suficiente conocer los criterios de divisibilidad. A continuación se muestran algunos ejemplos para aclarar.
Por ejemplo, necesitamos factorizar 10 en factores primos. De la tabla de multiplicar, sabemos que 2 · 5 = 10, y los números 2 y 5 son obviamente primos, entonces la factorización prima de 10 es 10 = 2 · 5.
Otro ejemplo. Usando la tabla de multiplicar, expanda el número 48 en factores primos. Sabemos que seis ocho son cuarenta y ocho, es decir, 48 = 6 · 8. Sin embargo, ni el 6 ni el 8 son números primos. Pero sabemos que dos veces tres es seis, y dos veces cuatro es ocho, es decir, 6 = 2 · 3 y 8 = 2 · 4. Entonces 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Queda por recordar que dos por dos es cuatro, entonces obtenemos la descomposición requerida en factores primos 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Escribimos esta descomposición en la forma canónica: 48 = 2 4 · 3.
Pero al descomponer el número 3400 en factores primos, puede utilizar los criterios de divisibilidad. La divisibilidad por 10, 100 nos permite afirmar que 3400 es divisible por 100, mientras que 3400 = 34100 y 100 es divisible por 10, mientras que 100 = 1010, por lo tanto, 3400 = 341010. Y sobre la base del criterio de divisibilidad por 2, se puede argumentar que cada uno de los factores 34, 10 y 10 es divisible por 2, obtenemos 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5... Todos los factores de la descomposición resultante son primos, por lo que esta descomposición es la deseada. Solo queda reordenar los factores para que vayan en orden ascendente: 3400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. También escribimos la factorización canónica de este número en factores primos: 3 400 = 2 3 · 5 2 · 17.
Al descomponer un número dado en factores primos, puede usar a su vez tanto el criterio de divisibilidad como la tabla de multiplicar. Representemos el número 75 como un producto de factores primos. La divisibilidad entre 5 nos permite afirmar que 75 es divisible entre 5, y obtenemos que 75 = 5 15. Y de la tabla de multiplicar sabemos que 15 = 3 · 5, por lo tanto, 75 = 5 · 3 · 5. Esta es la factorización prima requerida de 75.
Bibliografía.
- Vilenkin N.Ya. y otras Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.
- Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teoría de los números.
- Kulikov L.Ya. y otros Colección de problemas de álgebra y teoría de números: un libro de texto para estudiantes de física y matemáticas. especialidades de los institutos pedagógicos.