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Las matemáticas son un pozo a través del cual la mente lógica puede espiar el mundo ideal.
Krotov Viktor
En la escuela, el lugar principal en el curso de álgebra lo ocupan las ecuaciones racionales. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema. Esto se debe principalmente al hecho de que las ecuaciones no solo son de gran importancia teórica, sino que también sirven para muchos propósitos prácticos. Gran cantidad de tareas mundo real bajar a la decisión varias ecuaciones, y solo después de dominar las formas de resolverlos, encontrará respuestas a varias preguntas de ciencia y tecnología.
Para la formación de la capacidad de resolver ecuaciones racionales, el trabajo independiente del estudiante es de gran importancia. Sin embargo, antes de pasar al trabajo independiente, es necesario conocer claramente y poder poner en práctica todos los métodos posibles para resolver problemas. ecuaciones racionales.
Veamos ejemplos en detalle. método de cambio de variable para resolver ecuaciones racionales.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.
Solución.
Reescribimos la ecuación en la forma
(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. Hagamos un cambio. Sea 2x 2 - 3x \u003d t, entonces la ecuación tomará la forma:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Ahora abrimos los paréntesis y damos similares, obtenemos:
t2 + 2t + 1 = 11t + 1;
En el resultado incompleto ecuación cuadrática sacamos el factor común entre paréntesis, tendremos:
t = 0 o t = 9.
Ahora necesitas hacer un reemplazo inverso y resolver cada una de las ecuaciones resultantes:
2x 2 - 3x = 0 o 2x 2 - 3x = 9
x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0
x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2
Respuesta: -1.5; 0; 1,5; 3.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación (x 2 - 6x) 2 - 2(x - 3) 2 = 81.
Solución.
Apliquemos la fórmula del cuadrado de la diferencia (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Escribimos la ecuación original en la forma
(x 2 - 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. Ahora puedes hacer un reemplazo.
Sea x 2 - 6x \u003d t, entonces la ecuación se verá así:
t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.
t2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t2 - 2t - 99 = 0.
Según el teorema de Vieta, las raíces de la ecuación resultante serán los números -9 y 11.
Hagamos la sustitución inversa:
x 2 - 6x = -9 o x 2 - 6x = 11
x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.
Respuesta: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 y encuentra el producto de sus raíces.
Solución.
Busquemos una forma "rentable" de agrupar los factores y abrir los pares de corchetes:
((x - 1)(x + 5))((x - 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Hagamos el cambio x 2 + 4x = t, luego la ecuación se verá así:
(t - 5)(t - 21) = 297.
Abramos los paréntesis, demos términos semejantes:
t2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t2 - 26t - 192 = 0.
Según el teorema de Vieta, determinamos que las raíces de la ecuación resultante serán los números -6 y 32.
Después de la sustitución inversa tendremos:
x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
re = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Sin raíces x 1 = -8; ×2 = 4
Encontremos el producto de las raíces: -8 4 = -32.
Respuesta: -32.
Ejemplo 4
Encuentra la suma de las raíces de la ecuación (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x(x 2 - 2x + 2) = 10x 2.
Solución.
Sea x 2 - 2x + 2 \u003d t, entonces la ecuación tomará la forma:
t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.
Considere la ecuación resultante como cuadrática con respecto a t.
D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤
t1 = (-3x - 7x) / 2 y t2 = (-3x + 7x) / 2;
t1 = -5x yt2 = 2x.
Como t \u003d x 2 - 2x + 2, entonces
x 2 - 2x + 2 = -5x o x 2 - 2x + 2 = 2x. Resolvamos cada una de las ecuaciones obtenidas.
x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 - 4x + 2 = 0.
Ambas ecuaciones tienen raíces, porque D > 0.
Usando el teorema de Vieta, podemos concluir que la suma de las raíces de la primera ecuación es -3 y la segunda ecuación es 4. Obtenemos que la suma de las raíces de la ecuación original es -3 + 4 = 1
Respuesta 1.
Ejemplo 5
Encuentra la raíz de la ecuación (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, perteneciente al intervalo [-5; 10].
Solución.
Sea x = t - 3, luego x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 y la ecuación original se convierte en:
(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. Para elevar las expresiones a la cuarta potencia, puede usar el triángulo de Pascal (Fig. 1); 
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 .
Después de reducir los términos semejantes, obtenemos:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t4 + 24t2 + 16 = 16;
t4 + 24t2 = 0;
t2 (t2 + 24) = 0;
t \u003d 0 o t 2 \u003d -24.
La segunda ecuación no tiene raíces, lo que significa que t = 0 y después de la sustitución inversa
x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. La raíz de la ecuación -3 pertenece al intervalo [-5; 10].
Respuesta: -3.
Como puede ver, al resolver ecuaciones racionales, necesita conocer las fórmulas anteriores y poder contar correctamente. Los errores ocurren con mayor frecuencia al elegir un reemplazo y al volver a sustituir. Para evitar esto, debe describir en detalle cada acción, luego no habrá errores en sus decisiones.
blog.site, con copia total o parcial del material, se requiere un enlace a la fuente.
Las matemáticas son un pozo a través del cual la mente lógica puede espiar el mundo ideal.
Krotov Viktor
En la escuela, el lugar principal en el curso de álgebra lo ocupan las ecuaciones racionales. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema. Esto se debe principalmente al hecho de que las ecuaciones no solo son de gran importancia teórica, sino que también sirven para muchos propósitos prácticos. Una gran cantidad de problemas en el mundo real se reducen a resolver varias ecuaciones, y solo después de dominar los métodos para resolverlos, encontrará respuestas a varias preguntas de ciencia y tecnología.
Para la formación de la capacidad de resolver ecuaciones racionales, el trabajo independiente del estudiante es de gran importancia. Sin embargo, antes de pasar al trabajo independiente, es necesario conocer claramente y poder aplicar en la práctica todos los métodos posibles para resolver ecuaciones racionales.
Veamos ejemplos en detalle. método de cambio de variable para resolver ecuaciones racionales.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación (2x 2 - 3x + 1) 2 = 22x 2 - 33x + 1.
Solución.
Reescribimos la ecuación en la forma
(2x 2 - 3x + 1) 2 = 11(2x 2 - 3x) + 1. Hagamos un cambio. Sea 2x 2 - 3x \u003d t, entonces la ecuación tomará la forma:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Ahora abrimos los paréntesis y damos similares, obtenemos:
t2 + 2t + 1 = 11t + 1;
En la ecuación cuadrática incompleta resultante, sacamos el factor común entre paréntesis, tendremos:
t = 0 o t = 9.
Ahora necesitas hacer un reemplazo inverso y resolver cada una de las ecuaciones resultantes:
2x 2 - 3x = 0 o 2x 2 - 3x = 9
x(2x - 3) = 0 2x 2 - 3x - 9 = 0
x = 0 o x = 3/2 x = 3 o x = -3/2
Respuesta: -1.5; 0; 1,5; 3.
Ejemplo 2
Resuelve la ecuación (x 2 - 6x) 2 - 2(x - 3) 2 = 81.
Solución.
Apliquemos la fórmula del cuadrado de la diferencia (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 . Escribimos la ecuación original en la forma
(x 2 - 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. Ahora puedes hacer un reemplazo.
Sea x 2 - 6x \u003d t, entonces la ecuación se verá así:
t 2 - 2 (t + 9) \u003d 81.
t2 - 2t - 18 - 81 = 0;
t2 - 2t - 99 = 0.
Según el teorema de Vieta, las raíces de la ecuación resultante serán los números -9 y 11.
Hagamos la sustitución inversa:
x 2 - 6x = -9 o x 2 - 6x = 11
x 2 - 6x + 9 = 0 x 2 - 6x - 11 = 0
(x - 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5.
Respuesta: 3 - 2√5; 3; 3 + 2√5.
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297 y encuentra el producto de sus raíces.
Solución.
Busquemos una forma "rentable" de agrupar los factores y abrir los pares de corchetes:
((x - 1)(x + 5))((x - 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x - x - 5) (x 2 + 7x - 3x - 21) = 297;
(x 2 + 4x - 5) (x 2 + 4x - 21) = 297.
Hagamos el cambio x 2 + 4x = t, luego la ecuación se verá así:
(t - 5)(t - 21) = 297.
Abramos los paréntesis, demos términos semejantes:
t2 - 21t - 5t + 105 = 297;
t2 - 26t - 192 = 0.
Según el teorema de Vieta, determinamos que las raíces de la ecuación resultante serán los números -6 y 32.
Después de la sustitución inversa tendremos:
x 2 + 4x = -6 o x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x - 32 = 0
re = 16 - 24< 0 D = 16 + 128 > 0
Sin raíces x 1 = -8; ×2 = 4
Encontremos el producto de las raíces: -8 4 = -32.
Respuesta: -32.
Ejemplo 4
Encuentra la suma de las raíces de la ecuación (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x(x 2 - 2x + 2) = 10x 2.
Solución.
Sea x 2 - 2x + 2 \u003d t, entonces la ecuación tomará la forma:
t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0.
Considere la ecuación resultante como cuadrática con respecto a t.
D \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤
t1 = (-3x - 7x) / 2 y t2 = (-3x + 7x) / 2;
t1 = -5x yt2 = 2x.
Como t \u003d x 2 - 2x + 2, entonces
x 2 - 2x + 2 = -5x o x 2 - 2x + 2 = 2x. Resolvamos cada una de las ecuaciones obtenidas.
x 2 + 3x + 2 = 0 o x 2 - 4x + 2 = 0.
Ambas ecuaciones tienen raíces, porque D > 0.
Usando el teorema de Vieta, podemos concluir que la suma de las raíces de la primera ecuación es -3 y la segunda ecuación es 4. Obtenemos que la suma de las raíces de la ecuación original es -3 + 4 = 1
Respuesta 1.
Ejemplo 5
Encuentra la raíz de la ecuación (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32 perteneciente al intervalo [-5; 10].
Solución.
Sea x = t - 3, luego x + 1 = t - 2; x + 5 = t + 2 y la ecuación original se convierte en:
(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. Para elevar las expresiones a la cuarta potencia, puede usar el triángulo de Pascal (Fig. 1);
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 .
Después de reducir los términos semejantes, obtenemos:
2t 4 – 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;
t4 + 24t2 + 16 = 16;
t4 + 24t2 = 0;
t2 (t2 + 24) = 0;
t \u003d 0 o t 2 \u003d -24.
La segunda ecuación no tiene raíces, lo que significa que t = 0 y después de la sustitución inversa
x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3. La raíz de la ecuación -3 pertenece al intervalo [-5; 10].
Respuesta: -3.
Como puede ver, al resolver ecuaciones racionales, necesita conocer las fórmulas anteriores y poder contar correctamente. Los errores ocurren con mayor frecuencia al elegir un reemplazo y al volver a sustituir. Para evitar esto, debe describir en detalle cada acción, luego no habrá errores en sus decisiones.
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Sustitución de variables en integral indefinida. Fórmula para transformar diferenciales. Ejemplos de integración. Ejemplos de sustituciones lineales.
Método de reemplazo de variables
Con la ayuda de un cambio de variable, puedes calcular integrales simples y, en algunos casos, simplificar el cálculo de otras más complejas.
El método de reemplazo de variables es que pasamos de la variable de integración original, sea x, a otra variable, que denotamos como t. Al mismo tiempo, suponemos que las variables x y t están relacionadas por alguna relación x = x (t), o t = t (X). Por ejemplo x = registro t, x = pecado t, t = 2x + 1, etc Nuestra tarea es elegir tal relación entre x y t de modo que la integral original se reduzca a una tabular o se vuelva más simple.
Fórmula básica de cambio de variable
Considere la expresión que está bajo el signo integral. Consiste en el producto del integrando, que denotaremos como f (X) y diferencial dx : . Pasemos a una nueva variable t eligiendo alguna relación x = x (t). Entonces tenemos que expresar la función f (X) y el diferencial dx en función de la variable t.
Para expresar el integrando f (X) a través de la variable t, solo necesita sustituir la relación elegida x = x en lugar de la variable x (t).
La transformación diferencial se hace así:
.
Es decir, la diferencial dx es igual al producto de la derivada de x con respecto a ty la diferencial dt.
Luego
.
En la práctica, el caso más común es cuando realizamos un reemplazo eligiendo una nueva variable en función de la anterior: t = t (X). Si supusiéramos que el integrando se puede representar como
,
donde T' (X) es la derivada de t con respecto a x, entonces
.
Entonces, la fórmula básica de cambio de variable se puede representar de dos formas.
(1)
,
donde x es una función de t.
(2)
,
donde t es una función de x .
Nota IMPORTANTE
En las tablas de integrales, la variable de integración se suele denotar como x. Sin embargo, vale la pena considerar que la variable de integración puede ser denotada por cualquier letra. Además, se puede utilizar cualquier expresión como variable de integración.
Como ejemplo, considere la integral de tabla
.
Aquí x puede ser reemplazada por cualquier otra variable o una función de una variable. Estos son ejemplos de posibles opciones:
;
;
.
EN último ejemplo se debe tener en cuenta que al pasar a la variable de integración x , el diferencial se transforma de la siguiente manera:
.
Luego
.
Este ejemplo es la esencia de la integración por sustitución. Es decir, debemos suponer que
.
Después de eso, la integral se reduce a una tabular.
.
Puedes calcular esta integral mediante un cambio de variable, aplicando la fórmula (2)
. Sea t = x 2+x. Luego
;
;
.
Ejemplos de integración por cambio de variable
1)
Calculamos la integral
.
Notamos que (sen x)′ = cos x. Luego
.
Aquí hemos aplicado la sustitución t = pecado x.
2)
Calculamos la integral
.
Notamos que . Luego
.
Aquí hemos realizado la integración cambiando la variable t = arco x.
3)
integremos
.
Notamos que . Luego
. Aquí, durante la integración, el cambio de variable t = x 2 + 1
.
sustituciones lineales
Quizás las más comunes son las sustituciones lineales. Esta es una sustitución de la variable de forma
t = hacha + b
donde a y b son constantes. Bajo tal cambio, los diferenciales están relacionados por la relación
.
Ejemplos de integración por sustituciones lineales
A) Calcular integral
.
Solución.
.
B) Encuentra la integral
.
Solución.
Usemos las propiedades de la función exponencial.
.
en 2- es una constante. Calculamos la integral.
.
C) Calcular integral
.
Solución.
Traemos el polinomio cuadrado en el denominador de una fracción a la suma de cuadrados.
.
Calculamos la integral.
.
D) Encuentra la integral
.
Solución.
Transformamos el polinomio debajo de la raíz.
.
Integramos usando el método de cambio de variable. 
.
Hemos obtenido previamente la fórmula
.
De aquí
.
Sustituyendo esta expresión, obtenemos la respuesta final.
Lección y presentación sobre el tema: "Método de sustitución de variables. Ejemplos"
Materiales adicionales
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Este método es bastante común a la hora de resolver ecuaciones, y lo hemos utilizado más de una vez, se puede utilizar en los siguientes casos:
- Si la ecuación original $f(x)=0$ tiene vista compleja, pero logramos convertirlo en una ecuación de la forma $h(g(x))=0$.
- Es necesario hacer un cambio de variable $u=g(x)$.
- Resuelve la ecuación $h(u)=0$, encuentra las raíces $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Introduce la sustitución inversa $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Resuelve cada una de las ecuaciones $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Las raíces de cada una de las ecuaciones serán las soluciones de la ecuación original.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $8x^6+7x^3-1=0$.
Solución.
Presentemos el reemplazo $y=x^3$. Entonces nuestra ecuación se reduce a una ecuación cuadrática:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac(1)(8)$ y $y_2=-1$.
Sobre el este escenario al resolver mas ecuaciones complejas las raíces deben ser revisadas.
Introduzcamos la sustitución inversa: $x^3=\frac(1)(8)$ y $x^3=-1$.
Las raíces de estas ecuaciones son fáciles de encontrar: $x_1=\frac(1)(2)$ y $x_2=-1$.
Respuesta: $x=0.5$ y $x=-1$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))+4\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=4$.
Solución.
Realicemos transformaciones equivalentes:
$\sqrt(\frac(2x-1)(2x+3))=(\frac(2x-1)(2x+3))^(\frac(1)(2))=(\frac(2x+ 3 )(2x-1))^(-\frac(1)(2))=((\frac(2x+3)(2x-1))^(\frac(1)(2)))^( - 1)=\frac(1)(\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1)))$.
Introducimos el reemplazo: $u=\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))$, luego nuestra ecuación se reduce a $u+\frac(4)(u)=4$. $u^2-4u+4=0$, de donde $u=2$.
Introduzcamos la sustitución inversa: $\sqrt(\frac(2x+3)(2x-1))=2$.
$2x+3=4(2x-1)$ al decidir ecuación lineal$x=1\frac(1)(6)$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $2^x+2^(1-x)=3$.
Solución.
Nuestra ecuación se reduce a una ecuación equivalente: $2^x+\frac(2)(2^x)=3$.
Introducimos un reemplazo: $t=2^x$.
$t+\frac(2)(t)=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ y $t_2=1$.
Introduzcamos la sustitución inversa: $2^x=2$ y $2^x=1$. De: $x=1$ y $x=0$.
Respuesta: $x=1$ y $x=0$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Solución.
Cambiemos nuestra ecuación.
$largo^2(x^2)=(largo(x^2))^2=(2largo(x))^2=4largo^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
La ecuación original es equivalente a la ecuación: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Introducimos un reemplazo: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Introduzcamos la sustitución inversa: $lgx=-1.25$ y $lgx=1$.
Respuesta: $x=10^(-\frac(5)(4))$ y $x=10$.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Solución.
Introduzcamos un reemplazo: $cos(x)-sin(x)=y$.
Entonces: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sen(x)cos(x)=\frac(1-y^2)(2)$.
La ecuación original es equivalente a:
$\frac(1-y^2)(2)+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Introduzcamos una sustitución inversa: $cos(x)-sin(x)=13$ - es obvio que no hay soluciones, ya que el coseno y el seno están limitados en valor absoluto a uno.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\frac(\sqrt(2))(2)cos(x)-\frac(\sqrt(2))(2)sin(x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$sen(\frac(π)(4)-x)=-\frac(\sqrt(2))(2)$.
$\begin (casos) \frac(π)(4)-x=-\frac(π)(4)+2πn, \\ \frac(π)(4)-x=-\frac(3π)(4 )+2πn. \end(casos)$
$\begin (casos) x=\frac(π)(2)+2πn, \\ x=π+2πn. \end(casos)$
Respuesta: $x=\frac(π)(2)+2πn$ y $π+2πn$.
Tareas para solución independiente
Resuelve las siguientes ecuaciones:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt(\frac(5x-1)(x+3))+5\sqrt(\frac(x+3)(5x-1))=6$.
3. $5^x+5^(2x+1)=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sen(2x)-11sen(x)=11cos(x)-7$.