Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

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Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Se mantuvo última vista – ecuaciones fraccionarias . O también se les llama mucho más sólidos: ecuaciones racionales fraccionarias. Esto es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones necesariamente contienen fracciones. Pero no solo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en el denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte, si en los denominadores solamente números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de eso, la ecuación, con mayor frecuencia, se convierte en lineal o cuadrática. Y luego sabemos qué hacer... En algunos casos, puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. A continuación lo mencionaré.

Pero, ¿cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando todas las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que todos los denominadores disminuyan! Todo será inmediatamente más fácil. Lo explico con un ejemplo. Digamos que necesitamos resolver la ecuación:

¿Cómo se enseñaban en la escuela primaria? Transferimos todo en una dirección, lo reducimos a un denominador común, etc. olvida como horrible sueño! Esto es lo que necesitas hacer cuando sumas o restas expresiones fraccionarias. O trabajar con desigualdades. Y en las ecuaciones, inmediatamente multiplicamos ambas partes por una expresión que nos dará la oportunidad de reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, para reducir el denominador, necesitas multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere la multiplicación por 2. Entonces, la ecuación debe multiplicarse por 2(x+2). Multiplicamos:

Esta es la multiplicación habitual de fracciones, pero escribiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no estoy abriendo el paréntesis. (x + 2)! Entonces, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo, se reduce por completo (x+2), y en el derecho 2. ¡Según se requiera! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:

¡Cualquiera puede resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1 se puede escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta, de las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador con x, es necesario multiplicar la fracción por (x - 2). Y las unidades no son un obstáculo para nosotros. Bueno, vamos a multiplicar. Todos lado izquierdo y todos lado derecho:

Corchetes de nuevo (x - 2) No revelo. Trabajo con el soporte como un todo, ¡como si fuera un solo número! Esto siempre debe hacerse, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción, cortamos (x - 2)¡y obtenemos la ecuación sin fracciones, en una regla!

Y ahora abrimos los paréntesis:

Damos similares, transferimos todo al lado izquierdo y obtenemos:

Pero antes de eso, aprenderemos a resolver otros problemas. Por interés Esos rastrillos, por cierto!

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

T. Kosyakova,
escuela N№ 80, Krasnodar

Solución de ecuaciones cuadráticas y fraccionarias-racionales que contienen parámetros

Lección 4

Tema de la lección:

El propósito de la lección: para formar la capacidad de resolver ecuaciones fraccionarias-racionales que contienen parámetros.

Tipo de lección: introducción de nuevo material.

1. (Oral.) Resuelve las ecuaciones:

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución.

Buscar valores no válidos a:

Responder. Si si a = – 19 , entonces no hay raíces.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Solución.

Buscar valores de parámetros no válidos a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Responder. Si a = 5 a № 5 , luego x=10– a .

Ejemplo 3. ¿A qué valores del parámetro B la ecuacion Tiene:

a) dos raíces b) la única raíz?

Solución.

1) Buscar valores de parámetros no válidos B :

x= B, B 2 (B 2 – 1) – 2B 3 + B 2 = 0, B 4 – 2B 3 = 0,
B= 0 o B = 2;
x = 2, 4( B 2 – 1) – 4B 2 + B 2 = 0, B 2 – 4 = 0, (B – 2)(B + 2) = 0,
B= 2 o B = – 2.

2) Resuelve la ecuación x2 ( B 2 – 1) – 2B 2x+ B 2 = 0:

D=4 B 4 – 4B 2 (B 2 – 1), re = 4 B 2 .

pero)

Exclusión de valores de parámetros no válidos B , obtenemos que la ecuación tiene dos raíces, si B № – 2, B № – 1, B № 0, B № 1, B № 2 .

B) 4B 2 = 0, B = 0, pero este es un valor de parámetro no válido B ; si B 2 –1=0 , es decir. B=1 o.

Respuesta: a) si B № –2 , B № –1, B № 0, B № 1, B № 2 , luego dos raíces; b) si B=1 o b=-1 , entonces la única raíz.

Trabajo independiente

Opción 1

Resuelve las ecuaciones:

opcion 2

Resuelve las ecuaciones:

respuestas

EN 1. y si a=3 , entonces no hay raíces; si b) si si a № 2 , entonces no hay raíces.

EN 2. Si a=2 , entonces no hay raíces; si a=0 , entonces no hay raíces; si
b) si a=– 1 , entonces la ecuación pierde su significado; si entonces no hay raíces;
si

Asignación de tareas.

Resuelve las ecuaciones:

Respuestas: a) Si a № –2 , luego x= a ; si a=–2 , entonces no hay soluciones; b) si a № –2 , luego x=2; si a=–2 , entonces no hay soluciones; c) si a=–2 , luego X- cualquier número que no sea 3 ; si a № –2 , luego x=2; d) si a=–8 , entonces no hay raíces; si a=2 , entonces no hay raíces; si

Lección 5

Tema de la lección:"Solución de ecuaciones fraccionarias-racionales que contienen parámetros".

Objetivos de la lección:

aprender a resolver ecuaciones con una condición no estándar;
asimilación consciente por parte de los estudiantes de los conceptos algebraicos y las relaciones entre ellos.

Tipo de lección: sistematización y generalización.

Comprobación de la tarea.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

a) relativo a x; b) con respecto a y.

Solución.

a) Encontrar valores inválidos y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valor de parámetro no válido y.

Si y№ 0 , luego x=y-2; si y=0, entonces la ecuación pierde su significado.

b) Encontrar valores de parámetros no válidos X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valor de parámetro no válido X; y(2+x-y)=0, y=0 o y=2+x;

y=0 no satisface la condición y(y–x)№ 0 .

Respuesta: a) si y=0, entonces la ecuación pierde su significado; si y№ 0 , luego x=y-2; b) si x=0 X№ 0 , luego y=2+x .

Ejemplo 2. Para qué valores enteros del parámetro a son las raíces de la ecuación pertenecen al intervalo

re = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

re = ( a + 2) 2 .

Si a № 0 o a № – 1 , luego

Responder: 5 .

Ejemplo 3. Encuentra relativamente X soluciones enteras de la ecuacion

Responder. Si y=0, entonces la ecuación no tiene sentido; si y=–1, luego X- cualquier número entero distinto de cero; si y# 0, y# – 1, entonces no hay soluciones.

Ejemplo 4 Resuelve la ecuación con parámetros a Y B .

Si a№ - B , luego

Responder. Si un = 0 o b= 0 , entonces la ecuación pierde su significado; si a№ 0,b№ 0, a=-b , luego X- cualquier número distinto de cero; si a№ 0,b№ 0, un№ -B luego x=-a, x=-b .

Ejemplo 5. Demuestre que para cualquier valor distinto de cero del parámetro n, la ecuación tiene una sola raíz igual a – norte .

Solución.

es decir. x=-n, que debía probarse.

Asignación de tareas.

1. Encuentra soluciones enteras de la ecuación

2. ¿A qué valores del parámetro? C la ecuacion Tiene:
a) dos raíces b) la única raíz?

3. Encuentra todas las raíces enteras de la ecuación si a SOBRE norte .

4. Resuelve la ecuación 3xy - 5x + 5y = 7: una relativamente y; b) relativamente X .

1. La ecuación es satisfecha por cualquier número entero igual a valores de x e y distinto de cero.
2. a) Cuando
b) en o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Si entonces no hay raíces; si
b) si entonces no hay raíces; si

Prueba

Opción 1

1. Determinar el tipo de ecuación 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 en: a) c=-3; B) c=2; en) c=4 .

2. Resuelve las ecuaciones: a) x2 –bx=0; B) cx 2 –6x+1=0; en)

3. Resuelve la ecuación 3x-xy-2y=1:

una relativamente X ;
b) relativamente y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, sabiendo que el parámetro n toma solo valores enteros.

5. ¿Para qué valores de b la ecuación Tiene:

a) dos raíces
b) la única raíz?

opcion 2

1. Determinar el tipo de ecuación 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 en: a) c=-4 ; B) c=7; en) c=1 .

2. Resuelve las ecuaciones: a) y2+cy=0; B) ny2 –8y+2=0; en)

3. Resuelve la ecuación 6x-xy+2y=5:

una relativamente X ;
b) relativamente y .

4. Encuentra las raíces enteras de la ecuación nx 2 -22x+2n=0 , sabiendo que el parámetro n toma solo valores enteros.

5. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación? Tiene:

a) dos raíces
b) la única raíz?

respuestas

EN 1. 1. a) Ecuación lineal;
b) ecuación cuadrática incompleta; c) una ecuación cuadrática.
2. a) Si b=0, luego x=0; si b#0, luego x=0, x=b;
B) si cО (9;+Ґ ), entonces no hay raíces;
c) si a=–4 , entonces la ecuación pierde su significado; si a№ –4 , luego x=- a .
3. a) Si y=3, entonces no hay raíces; si);
B) a=–3, a=1.

Tareas adicionales

Resuelve las ecuaciones:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Sobre los parámetros desde el principio. - Tutor, nº 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein PI, Polonsky V.B., Yakir M.S. las condiciones necesarias en tareas con parámetros. – Kvant, nº 11/1991, pág. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. resolución de problemas, que contiene parámetros. Parte 2. - M., Perspectiva, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Quinientas catorce tareas con parámetros. - Volgogrado, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Tareas con parámetros. - M., Educación, 1986.

§ 1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias

En esta lección, analizaremos conceptos tales como una ecuación racional, una expresión racional, una expresión entera, una expresión fraccionaria. Considere la solución de ecuaciones racionales.

Una ecuación racional es una ecuación en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales.

Las expresiones racionales son:

Fraccionario.

Una expresión entera se compone de números, variables, potencias enteras utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división por un número distinto de cero.

Por ejemplo:

EN expresiones fraccionarias hay una división por una variable o una expresión con una variable. Por ejemplo:

Una expresión fraccionaria no tiene sentido para todos los valores de las variables incluidas en ella. Por ejemplo, la expresión

en x = -9 no tiene sentido, porque en x = -9 el denominador tiende a cero.

Esto significa que una ecuación racional puede ser entera y fraccionaria.

Una ecuación racional entera es una ecuación racional en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones enteras.

Por ejemplo:

Una ecuación racional fraccionaria es una ecuación racional en la que los lados izquierdo o derecho son expresiones fraccionarias.

Por ejemplo:

§ 2 Solución de una ecuación racional completa

Considere la solución de una ecuación racional completa.

Por ejemplo:

Multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones incluidas en ella.

Para esto:

1. encontrar un denominador común para los denominadores 2, 3, 6. Es igual a 6;

2. encontrar un factor adicional para cada fracción. Para hacer esto, divide el común denominador 6 por cada denominador

multiplicador adicional para la fracción

multiplicador adicional para la fracción

3. multiplicar los numeradores de las fracciones por los factores adicionales que les corresponden. Así, obtenemos la ecuación

que es equivalente a esta ecuación

Abramos los paréntesis de la izquierda, movamos la parte derecha hacia la izquierda, cambiando el signo del término durante la transferencia al opuesto.

Damos términos similares del polinomio y obtenemos

Vemos que la ecuación es lineal.

Resolviéndolo, encontramos que x = 0.5.

§ 3 Solución de una ecuación racional fraccionaria

Considere la solución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo:

1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones racionales incluidas en ella.

Encuentra el denominador común para los denominadores x + 7 y x - 1.

Es igual a su producto (x + 7)(x - 1).

2. Busquemos un factor adicional para cada fracción racional.

Para hacer esto, dividimos el común denominador (x + 7) (x - 1) por cada denominador. Multiplicador adicional para fracciones

es igual a x - 1,

multiplicador adicional para la fracción

es igual a x+7.

3. Multiplicar los numeradores de fracciones por sus correspondientes factores adicionales.

Obtenemos la ecuación (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), que es equivalente a esta ecuación

4.Izquierda y derecha multiplican el binomio por el binomio y obtienen la siguiente ecuación

5. Pasamos la parte derecha a la izquierda, cambiando el signo de cada término al pasar al contrario:

6. Presentamos miembros similares del polinomio:

7. Puedes dividir ambas partes por -1. Obtenemos una ecuación cuadrática:

8. Una vez resuelto, encontraremos las raíces.

Ya que en la ecuación

las partes izquierda y derecha son expresiones fraccionarias, y en expresiones fraccionarias, para algunos valores de las variables, el denominador puede desaparecer, entonces es necesario verificar si el común denominador no desaparece cuando se encuentran x1 y x2.

En x = -27 el común denominador (x + 7)(x - 1) no desaparece, en x = -1 el común denominador tampoco cero.

Por lo tanto, ambas raíces -27 y -1 son raíces de la ecuación.

Al resolver una ecuación racional fraccionaria, es mejor indicar inmediatamente el área valores permitidos. Elimina aquellos valores en los que el común denominador tiende a cero.

Considere otro ejemplo de resolución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación

Descomponemos el denominador de la fracción del lado derecho de la ecuación en factores

Obtenemos la ecuación

Encuentra un denominador común para los denominadores (x - 5), x, x (x - 5).

Será la expresión x (x - 5).

ahora busquemos el rango de valores admisibles de la ecuacion

Para hacer esto, igualamos el denominador común a cero x (x - 5) \u003d 0.

Obtenemos una ecuación, resolviéndola, encontramos que en x \u003d 0 o en x \u003d 5, el denominador común se desvanece.

Entonces x = 0 o x = 5 no pueden ser las raíces de nuestra ecuación.

Ahora puedes encontrar multiplicadores adicionales.

Multiplicador adicional para fracciones racionales

multiplicador adicional para fracciones

será (x - 5),

y el factor adicional de la fracción

Multiplicamos los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

Obtenemos la ecuación x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Abramos los corchetes a la izquierda y a la derecha, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Movamos los términos de derecha a izquierda cambiando el signo de los términos a mover:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Y después de traer términos similares, obtenemos la ecuación cuadrática x2 - 3x - 10 \u003d 0. Habiéndola resuelto, encontramos las raíces x1 \u003d -2; x2 = 5.

Pero ya hemos descubierto que en x = 5 el común denominador x(x - 5) desaparece. Por lo tanto, la raíz de nuestra ecuación

será x = -2.

§ 4 Breve resumen lección

Importante recordar:

Al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, debe hacer lo siguiente:

1. Encuentra el denominador común de las fracciones incluidas en la ecuación. Además, si los denominadores de las fracciones se pueden descomponer en factores, entonces descompóngalos en factores y luego encuentre el denominador común.

2. Multiplique ambos lados de la ecuación por un denominador común: encuentre factores adicionales, multiplique numeradores por factores adicionales.

3. Resuelva la ecuación completa resultante.

4. Excluir de sus raíces aquellas que lleven el común denominador a cero.

Lista de literatura usada:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Bajo la dirección editorial de Telyakovsky S.A. Álgebra: libro de texto. para 8 celdas. educación general instituciones - M.: Educación, 2013.
2. Mordkovich A.G. Álgebra. Grado 8: En dos partes. Parte 1: Proc. para educación general instituciones - M.: Mnemósine.
3. Rurukin A. N. Desarrollos de lecciones en álgebra: Grado 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Álgebra grado 8: planes de lecciones según el libro de texto de Yu.N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T. L. Afanasiev, Los Ángeles Tapilina. - Volgogrado: Profesor, 2005.

Familiaricémonos con las ecuaciones racionales y fraccionarias racionales, demos su definición, demos ejemplos y también analicemos los tipos de problemas más comunes.

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Ecuación racional: definición y ejemplos

El conocimiento de las expresiones racionales comienza en el octavo grado de la escuela. En este momento, en las lecciones de álgebra, los estudiantes comienzan cada vez más a enfrentar tareas con ecuaciones que contienen expresiones racionales en sus notas. Refresquemos nuestra memoria de lo que es.

Definición 1

ecuación racional es una ecuación en la que ambos lados contienen expresiones racionales.

En varios manuales, puede encontrar otra redacción.

Definición 2

ecuación racional- esta es una ecuación, cuyo registro del lado izquierdo contiene una expresión racional, y el lado derecho contiene cero.

Las definiciones que hemos dado para las ecuaciones racionales son equivalentes, ya que significan lo mismo. La corrección de nuestras palabras se confirma por el hecho de que para cualquier expresión racional PAGS Y q ecuaciones P = Q Y PAG - Q = 0 serán expresiones equivalentes.

Ahora pasemos a los ejemplos.

Ejemplo 1

Ecuaciones racionales:

x = 1 , 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0 , xx 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - un (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Las ecuaciones racionales, al igual que las ecuaciones de otros tipos, pueden contener cualquier número de variables de 1 a varias. Para empezar, consideraremos ejemplos simples, en el que las ecuaciones contendrán una sola variable. Y luego comenzamos a complicar gradualmente la tarea.

Las ecuaciones racionales se dividen en dos grandes grupos: enteras y fraccionarias. Veamos qué ecuaciones se aplicarán a cada uno de los grupos.

Definición 3

Una ecuación racional será un número entero si el registro de sus partes izquierda y derecha contiene expresiones racionales completas.

Definición 4

Una ecuación racional será fraccionaria si una o ambas partes contienen una fracción.

Las ecuaciones fraccionalmente racionales necesariamente contienen división por una variable, o la variable está presente en el denominador. No existe tal división al escribir ecuaciones enteras.

Ejemplo 2

3 x + 2 = 0 Y (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 son ecuaciones racionales enteras. Aquí ambas partes de la ecuación están representadas por expresiones enteras.

1 x - 1 = x 3 y x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 son ecuaciones fraccionariamente racionales.

Las ecuaciones racionales completas incluyen ecuaciones lineales y cuadráticas.

Resolviendo ecuaciones enteras

La solución de tales ecuaciones generalmente se reduce a su transformación en ecuaciones algebraicas equivalentes. Esto se puede lograr realizando transformaciones equivalentes de las ecuaciones de acuerdo con el siguiente algoritmo:

• primero obtenemos cero en el lado derecho de la ecuación, para esto es necesario trasladar la expresión que está en el lado derecho de la ecuación a su lado izquierdo y cambiar el signo;
• luego transformamos la expresión del lado izquierdo de la ecuación en un polinomio vista estándar.

Tenemos que obtener una ecuación algebraica. Esta ecuación será equivalente con respecto a la ecuación original. Los casos fáciles nos permiten resolver el problema reduciendo toda la ecuación a una lineal o cuadrática. En el caso general, resolvemos una ecuación algebraica de grado norte.

Ejemplo 3

Es necesario encontrar las raíces de toda la ecuación. 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Solución

Transformemos la expresión original para obtener una ecuación algebraica equivalente a ella. Para ello, trasladaremos la expresión contenida en el lado derecho de la ecuación al lado izquierdo y cambiaremos el signo al contrario. Como resultado, obtenemos: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Ahora transformaremos la expresión del lado izquierdo en un polinomio de la forma estándar y realizaremos las acciones necesarias con este polinomio:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Conseguimos reducir la solución de la ecuación original a la solución ecuación cuadrática tipo X 2 − 5 X − 6 = 0. El discriminante de esta ecuación es positivo: re = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49 . Esto significa que habrá dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 o x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 o x 2 = - 1

Verifiquemos la corrección de las raíces de la ecuación que encontramos en el curso de la solución. Para este número, que recibimos, sustituimos en la ecuación original: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Y 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. En el primer caso 63 = 63 , en el segundo 0 = 0 . Raíces x=6 Y x = − 1 son de hecho las raíces de la ecuación dada en la condición del ejemplo.

Responder: 6 , − 1 .

Veamos qué significa "poder de toda la ecuación". A menudo nos encontraremos con este término en aquellos casos en los que necesitemos representar una ecuación completa en forma algebraica. Definamos el concepto.

Definición 5

Grado de una ecuación entera es el grado ecuación algebraica, que es equivalente a la ecuación entera original.

Si observa las ecuaciones del ejemplo anterior, puede establecer: el grado de toda esta ecuación es el segundo.

Si nuestro curso se limitara a resolver ecuaciones de segundo grado, entonces la consideración del tema podría completarse aquí. Pero no todo es tan simple. Resolver ecuaciones de tercer grado está plagado de dificultades. Y para ecuaciones por encima del cuarto grado, no existe en absoluto. fórmulas generales raíces. En este sentido, la solución de ecuaciones enteras de tercer, cuarto y otros grados nos obliga a utilizar una serie de otras técnicas y métodos.

El método más utilizado para resolver ecuaciones racionales completas se basa en el método de factorización. El algoritmo de acciones en este caso es el siguiente:

• trasladamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo para que el cero quede en el lado derecho del registro;
• representamos la expresión del lado izquierdo como un producto de factores y luego pasamos a un conjunto de varias ecuaciones más simples.

Ejemplo 4

Encuentra la solución a la ecuación (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Solución

Movemos la expresión del lado derecho del registro a la izquierda con signo opuesto: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Convertir el lado izquierdo en un polinomio de la forma estándar no es práctico debido al hecho de que esto nos dará una ecuación algebraica de cuarto grado: X 4 − 12 X 3 + 32 X 2 − 16 X − 13 = 0. La facilidad de transformación no justifica todas las dificultades para resolver tal ecuación.

Es mucho más fácil ir al revés: sacamos el factor común X 2 - 10 X + 13 . Así llegamos a una ecuación de la forma (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Ahora reemplazamos la ecuación resultante con un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas X 2 − 10 X + 13 = 0 Y X 2 − 2 X − 1 = 0 y encontrar sus raíces a través del discriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Responder: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

De manera similar, podemos usar el método de introducir una nueva variable. Este método nos permite pasar a ecuaciones equivalentes con potencias inferiores a las de la ecuación entera original.

Ejemplo 5

¿La ecuación tiene raíces? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Solución

Si ahora tratamos de reducir una ecuación racional completa a una algebraica, obtendremos una ecuación de grado 4, que no tiene raíces racionales. Por tanto, nos será más fácil ir por el otro lado: introducir una nueva variable y, que sustituirá a la expresión en la ecuación x 2 + 3 x.

Ahora trabajaremos con la ecuación completa. (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Pasamos el lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con signo contrario y realizamos las transformaciones necesarias. Obtenemos: y 2 + 4 y + 3 = 0. Encontremos las raíces de la ecuación cuadrática: y = − 1 Y y = − 3.

Ahora vamos a hacer la sustitución inversa. Obtenemos dos ecuaciones X 2 + 3 X = − 1 Y X 2 + 3 X = - 3 . Reescribámoslos como x 2 + 3 x + 1 = 0 y x 2 + 3 x + 3 = 0. Usamos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática para encontrar las raíces de la primera ecuación obtenida: - 3 ± 5 2 . El discriminante de la segunda ecuación es negativo. Esto significa que la segunda ecuación no tiene raíces reales.

Responder:- 3 ± 5 2

ecuaciones enteras grados altos se encuentran en las tareas con bastante frecuencia. No hay necesidad de tenerles miedo. Debe estar listo para aplicar método no estándar sus soluciones, incluyendo una serie de transformaciones artificiales.

Solución de ecuaciones fraccionariamente racionales

Comenzamos nuestra consideración de este subtema con un algoritmo para resolver ecuaciones fraccionariamente racionales de la forma p (x) q (x) = 0 , donde p(x) Y q(x) son expresiones racionales enteras. La solución de otras ecuaciones fraccionariamente racionales siempre se puede reducir a la solución de ecuaciones de la forma indicada.

El método más utilizado para resolver las ecuaciones p (x) q (x) = 0 se basa en la siguiente declaración: fracción numérica tu v, donde v es un número que es diferente de cero, igual a cero sólo en los casos en que el numerador de la fracción es igual a cero. Siguiendo la lógica del enunciado anterior, podemos afirmar que la solución de la ecuación p (x) q (x) = 0 puede reducirse al cumplimiento de dos condiciones: p(x)=0 Y q(x) ≠ 0. Sobre esto se construye un algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de la forma p (x) q (x) = 0:

• encontramos la solución de toda la ecuación racional p(x)=0;
• comprobamos si la condición se cumple para las raíces encontradas durante la solución q(x) ≠ 0.

Si esta condición se cumple, entonces la raíz encontrada, si no, entonces la raíz no es una solución al problema.

Ejemplo 6

Encuentra las raíces de la ecuación 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Solución

Estamos ante una ecuación racional fraccionaria de la forma p (x) q (x) = 0 , en la que p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Empecemos a resolver la ecuación lineal. 3 x - 2 = 0. La raíz de esta ecuación será X = 2 3.

Verifiquemos la raíz encontrada, si cumple la condición 5x2 - 2 ≠ 0. Para hacer esto, sustituya un valor numérico en la expresión. Obtenemos: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

La condición se cumple. Esto significa que X = 2 3 es la raíz de la ecuación original.

Responder: 2 3 .

Existe otra opción para resolver ecuaciones racionales fraccionarias p (x) q (x) = 0 . Recuerda que esta ecuación es equivalente a la ecuación completa p(x)=0 sobre el rango de valores admisibles de la variable x de la ecuación original. Esto nos permite usar el siguiente algoritmo para resolver las ecuaciones p(x) q(x) = 0:

• resuelve la ecuación p(x)=0;
• encontrar el rango de valores aceptables para la variable x;
• tomamos las raíces que se encuentran en la región de valores admisibles de la variable x como las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original.

Ejemplo 7

Resuelve la ecuación x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Solución

Primero, resolvamos la ecuación cuadrática X 2 − 2 X − 11 = 0. Para calcular sus raíces, usamos la fórmula de la raíz para un segundo coeficiente par. Obtenemos re 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, y x = 1 ± 2 3 .

Ahora podemos encontrar el ODV de x para la ecuación original. Estos son todos los números para los cuales X 2 + 3 X ≠ 0. es lo mismo que x (x + 3) ≠ 0, de donde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Ahora vamos a comprobar si las raíces x = 1 ± 2 3 obtenidas en la primera etapa de la solución están dentro del rango de valores aceptables de la variable x. Vemos lo que entra. Esto significa que la ecuación racional fraccionaria original tiene dos raíces x = 1 ± 2 3 .

Responder: x = 1 ± 2 3

El segundo método de solución descrito es más sencillo que el primero en los casos en que se encuentra fácilmente el área de valores admisibles de la variable x, y las raíces de la ecuación p(x)=0 irracional. Por ejemplo, 7 ± 4 26 9 . Las raíces pueden ser racionales, pero con un gran numerador o denominador. Por ejemplo, 127 1101 Y − 31 59 . Esto ahorra tiempo para verificar la condición. q(x) ≠ 0: es mucho más fácil excluir raíces que no encajan, según la ODZ.

Cuando las raíces de la ecuación p(x)=0 son números enteros, es más conveniente usar el primero de los algoritmos descritos para resolver ecuaciones de la forma p (x) q (x) = 0 . Encontrar las raíces de una ecuación completa más rápido p(x)=0 y luego verifique si la condición se cumple para ellos q(x) ≠ 0, y no encuentre la ODZ, y luego resuelva la ecuación p(x)=0 en esta ODZ. Esto se debe al hecho de que, en tales casos, suele ser más fácil realizar una comprobación que encontrar la ODZ.

Ejemplo 8

Encuentra las raíces de la ecuación (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Solución

Comenzamos considerando la ecuación completa (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 y encontrar sus raíces. Para ello, aplicamos el método de resolución de ecuaciones mediante factorización. Resulta que la ecuación original es equivalente a un conjunto de cuatro ecuaciones 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, de las cuales tres son lineales y uno es cuadrado. Encontramos las raíces: de la primera ecuación X = 1 2, del segundo x=6, del tercero - x \u003d 7, x \u003d - 2, del cuarto - x = − 1.

Comprobemos las raíces obtenidas. Nos resulta difícil determinar la ODZ en este caso, ya que para ello tendremos que resolver una ecuación algebraica de quinto grado. Será más fácil verificar la condición según la cual el denominador de la fracción, que está en el lado izquierdo de la ecuación, no debe desaparecer.

A su vez, sustituya las raíces en lugar de la variable x en la expresión x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 y calcula su valor:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

La verificación realizada nos permite establecer que las raíces de la ecuación racional fraccionaria original son 1 2 , 6 y − 2 .

Responder: 1 2 , 6 , - 2

Ejemplo 9

Encuentra las raíces de la ecuación racional fraccionaria 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Solución

Empecemos con la ecuación. (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Encontremos sus raíces. Es más fácil para nosotros representar esta ecuación como una combinación de cuadrado y ecuaciones lineales 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Y x - 2 = 0.

Usamos la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática para encontrar las raíces. Obtenemos dos raíces x = 7 ± 69 10 de la primera ecuación, y de la segunda x=2.

Sustituir el valor de las raíces en la ecuación original para comprobar las condiciones nos resultará bastante difícil. Será más fácil determinar el LPV de la variable x. En este caso, el DPV de la variable x son todos los números, excepto aquellos para los que se cumple la condición x 2 + 5 x − 14 = 0. Obtenemos: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Ahora vamos a comprobar si las raíces que encontramos pertenecen al rango de valores aceptables para la variable x.

Las raíces x = 7 ± 69 10 - pertenecen, por lo tanto, son las raíces de la ecuación original, y x=2- no pertenece, por lo tanto, es una raíz extraña.

Responder: x = 7 ± 69 10 .

Examinemos por separado los casos en que el numerador de una ecuación racional fraccionaria de la forma p (x) q (x) = 0 contiene un número. En tales casos, si el numerador contiene un número distinto de cero, entonces la ecuación no tendrá raíces. Si este número es igual a cero, entonces la raíz de la ecuación será cualquier número de la ODZ.

Ejemplo 10

Resuelve la ecuación racional fraccionaria - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Solución

Esta ecuación no tendrá raíces, ya que el numerador de la fracción del lado izquierdo de la ecuación contiene un número distinto de cero. Esto significa que para cualquier valor de x el valor de la fracción dada en la condición del problema no será igual a cero.

Responder: sin raíces

Ejemplo 11

Resuelve la ecuación 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Solución

Dado que el numerador de la fracción es cero, la solución a la ecuación será cualquier valor de x de la variable ODZ x.

Ahora vamos a definir la ODZ. Incluirá todos los valores de x para los que x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluciones de ecuaciones x 4 + 5 x 3 = 0 están 0 Y − 5 , ya que esta ecuación es equivalente a la ecuación x 3 (x + 5) = 0, y éste, a su vez, es equivalente al conjunto de dos ecuaciones x 3 = 0 y x + 5 = 0 donde estas raíces son visibles. Llegamos a la conclusión de que el rango deseado de valores aceptables son cualquier x, excepto x=0 Y x = -5.

Resulta que la ecuación racional fraccionaria 0 x 4 + 5 x 3 = 0 tiene un número infinito de soluciones, que son cualquier número excepto cero y - 5.

Responder: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Ahora hablemos de ecuaciones racionales fraccionarias tipo arbitrario y métodos para su solución. Se pueden escribir como r(x) = s(x), donde r(x) Y s(x) son expresiones racionales, y al menos una de ellas es fraccionaria. La solución de tales ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones de la forma p (x) q (x) = 0 .

Ya sabemos que podemos obtener una ecuación equivalente trasladando la expresión del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo con el signo opuesto. Esto significa que la ecuación r(x) = s(x) es equivalente a la ecuación r (x) − s (x) = 0. También hemos discutido ya cómo convertir una expresión racional en una fracción racional. Gracias a esto, podemos transformar fácilmente la ecuación r (x) − s (x) = 0 en su fracción racional idéntica de la forma p (x) q (x) .

Así que pasamos de la ecuación racional fraccionaria original r(x) = s(x) a una ecuación de la forma p (x) q (x) = 0 , que ya hemos aprendido a resolver.

Cabe señalar que al realizar transiciones de r (x) − s (x) = 0 a p (x) q (x) = 0 y luego a p(x)=0 es posible que no tengamos en cuenta la ampliación del rango de valores válidos de la variable x.

Es bastante realista que la ecuación original r(x) = s(x) y ecuación p(x)=0 como resultado de las transformaciones, dejarán de ser equivalentes. Entonces la solución de la ecuación p(x)=0 puede darnos raíces que serán ajenas a r(x) = s(x). En este sentido, en cada caso es necesario realizar una comprobación por cualquiera de los métodos descritos anteriormente.

Para facilitarle el estudio del tema, hemos generalizado toda la información en un algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria de la forma r(x) = s(x):

• transferimos la expresión del lado derecho con el signo opuesto y obtenemos cero a la derecha;
• transformamos la expresión original en una fracción racional p (x) q (x) realizando secuencialmente acciones con fracciones y polinomios;
• resuelve la ecuación p(x)=0;
• revelamos raíces extrañas comprobando su pertenencia a la ODZ o sustituyéndolas en la ecuación original.

Visualmente, la cadena de acciones se verá así:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandono r o n d e r o o n s

Ejemplo 12

Resolver la ecuación racional fraccionaria x x + 1 = 1 x + 1 .

Solución

Pasemos a la ecuación x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Transformemos la expresión racional fraccionaria en el lado izquierdo de la ecuación a la forma p (x) q (x) .

Para hacer esto, tenemos que reducir las fracciones racionales a un denominador común y simplificar la expresión:

xx + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - xx (x + 1) = - 2x - 1x (x + 1)

Para encontrar las raíces de la ecuación - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, necesitamos resolver la ecuación − 2 x − 1 = 0. Obtenemos una raíz x = - 1 2.

Nos queda realizar la verificación por cualquiera de los métodos. Considerémoslos a ambos.

Sustituye el valor resultante en la ecuación original. Obtenemos - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Hemos llegado a la igualdad numérica correcta. − 1 = − 1 . Esto significa que x = − 1 2 es la raíz de la ecuación original.

Ahora vamos a comprobar a través de la ODZ. Definamos el rango de valores aceptables para la variable x. Este será el conjunto completo de números, excepto − 1 y 0 (cuando x = − 1 y x = 0, los denominadores de las fracciones desaparecen). La raíz que obtuvimos x = − 1 2 pertenece a la ODZ. Esto significa que es la raíz de la ecuación original.

Responder: − 1 2 .

Ejemplo 13

Encuentra las raíces de la ecuación x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Solución

Estamos tratando con una ecuación racional fraccionaria. Por lo tanto, actuaremos de acuerdo con el algoritmo.

Movamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo con el signo opuesto: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Realicemos las transformaciones necesarias: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

llegamos a la ecuacion x=0. La raíz de esta ecuación es cero.

Comprobemos si esta raíz es extraña a la ecuación original. Sustituye el valor en la ecuación original: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Como puede ver, la ecuación resultante no tiene sentido. Esto significa que 0 es una raíz extraña y que la ecuación racional fraccionaria original no tiene raíces.

Responder: sin raíces

Si no hemos incluido otras transformaciones equivalentes en el algoritmo, esto no significa en absoluto que no se puedan utilizar. El algoritmo es universal, pero está diseñado para ayudar, no para limitar.

Ejemplo 14

Resuelve la ecuación 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Solución

La forma más fácil es resolver la ecuación racional fraccionaria dada de acuerdo con el algoritmo. Pero hay otra manera. Considerémoslo.

Reste de las partes derecha e izquierda 7, obtenemos: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

De esto podemos concluir que la expresión en el denominador del lado izquierdo debe ser igual al número número recíproco del lado derecho, es decir, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Resta de ambas partes 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Por analogía 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de donde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, y más 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Comprobemos para establecer si las raíces encontradas son las raíces de la ecuación original.

Responder: x = ± 2

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