Informe sobre el profesor de matemáticas OGM MBOU escuela secundaria No. 9
Molchanova Elena Vladimirovna
"Preparación para el Examen de Estado Unificado en Matemáticas: Problemas con Parámetros".
Dado que no existe una definición del parámetro en los libros de texto escolares, sugiero tomar como base la siguiente versión simple.
Definición . Un parámetro es una variable independiente, cuyo valor en el problema se considera fijo o arbitrario. Número Real, o un número perteneciente a un conjunto predeterminado.
¿Qué significa "resolver un problema con un parámetro"?
Naturalmente, depende de la pregunta del problema. Si, por ejemplo, se requiere resolver una ecuación, una desigualdad, su sistema o combinación, entonces esto significa presentar una respuesta razonable ya sea para cualquier valor de parámetro, o para un valor de parámetro perteneciente a un conjunto predeterminado.
Si se requiere encontrar los valores de los parámetros para los cuales el conjunto de soluciones de la ecuación, desigualdad, etc. satisface la condición declarada, entonces, obviamente, la solución del problema consiste en encontrar los valores de los parámetros especificados.
Una comprensión más transparente de lo que significa resolver un problema con un parámetro, el lector se formará después de leer los ejemplos de resolución de problemas en las siguientes páginas.
¿Cuáles son los principales tipos de tareas con parámetros?
Tipo 1. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y conjuntos, que deben resolverse ya sea para cualquier valor del parámetro (parámetros), o para valores de parámetros que pertenecen a un conjunto predeterminado.
Este tipo de problema es básico a la hora de dominar el tema "Problemas con parámetros", ya que el trabajo invertido predetermina el éxito en la resolución de problemas de todos los demás tipos básicos.
Tipo 2. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y conjuntos, para lo cual se requiere determinar el número de soluciones según el valor del parámetro (parámetros).
Llamo su atención sobre el hecho de que al resolver problemas de este tipo no hay necesidad de resolver ecuaciones dadas, desigualdades, sus sistemas y agregados, etc., ni dar estas soluciones; dicho trabajo extra en la mayoría de los casos es un error táctico, que conduce a una pérdida de tiempo injustificada. Sin embargo, esto no debe tomarse como un absoluto, ya que a veces una solución directa de acuerdo con el tipo 1 es la única forma razonable de obtener una respuesta cuando se resuelve un problema de tipo 2.
Tipo 3. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y colecciones, para lo cual se requiere encontrar todos aquellos valores del parámetro para el cual las ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y colecciones indicadas tienen un número dado de soluciones (en particular, no tienen o tener un número infinito de soluciones).
Es fácil ver que los problemas del tipo 3 son, en cierto sentido, el inverso de los problemas del tipo 2.
Tipo 4. Ecuaciones, desigualdades, sus sistemas y colecciones, para las cuales, para los valores deseados del parámetro, el conjunto de soluciones satisface las condiciones dadas en el dominio de definición.
Por ejemplo, encuentre los valores de los parámetros para los cuales:
1) la ecuación se cumple para cualquier valor de la variable del intervalo dado;
2) el conjunto de soluciones de la primera ecuación es un subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda ecuación, y así sucesivamente.
Un comentario. La variedad de problemas con un parámetro abarca todo el curso de matemáticas escolares (tanto de álgebra como de geometría), pero la gran mayoría de ellos en los exámenes finales y de acceso pertenecen a alguno de los cuatro tipos enumerados, que por ello se denominan básicos.
La clase más popular de problemas con un parámetro son los problemas con una incógnita y un parámetro. El siguiente párrafo indica las principales formas de resolver problemas de esta clase en particular.
¿Cuáles son las principales formas (métodos) para resolver problemas con un parámetro?
Método I (analítico). Este es un método de la llamada solución directa, que repite los procedimientos estándar para encontrar una respuesta en problemas sin un parámetro. A veces dicen que esta es una forma de fuerza, en juicio decisión "descarada".
Un comentario. Método analítico resolver problemas con el parámetro es lo más el camino difícil, que requiere una alta alfabetización y el mayor esfuerzo para dominarla.
Método II (gráfico). Según la tarea (con variable x y parámetroa ) los gráficos se consideran en el plano de coordenadas (x; y) o en el plano de coordenadas (x;a ).
Un comentario. La excepcional claridad y belleza del método gráfico de resolución de problemas con un parámetro cautiva tanto a quienes estudian el tema “Problemas con un parámetro” que comienzan a ignorar otros métodos de resolución, olvidando el hecho bien conocido: para cualquier clase de problemas, sus autores pueden formular uno que se resuelve brillantemente por este método y con dificultades colosales de otras maneras. Por lo tanto, en etapa inicial Es peligroso comenzar a estudiar con métodos gráficos para resolver problemas con un parámetro.
Método III (decisión de parámetro). Al resolver de esta manera, las variables x y a se toman iguales, y se elige la variable con respecto a la cual la solución analítica se reconoce como más simple. Después de simplificaciones naturales, volvemos al significado original de las variables x y a y completamos la solución.
Ahora procederé a demostrar los métodos indicados para resolver problemas con un parámetro, ya que este es mi método favorito para resolver problemas de este tipo.
Después de analizar todas las tareas con parámetros resueltos por el método gráfico, comienzo a familiarizarme con los parámetros con las tareas del Examen Estatal Unificado B7 de 2002:
En qué valor entero a la ecuación 45x - 3x 2 - X 3 + 3k = 0 tiene exactamente dos raíces?
Estas tareas permiten, en primer lugar, recordar cómo construir gráficos utilizando la derivada y, en segundo lugar, explicar el significado de la línea recta y \u003d k.
En lecciones posteriores, utilizo una selección de tareas competitivas de nivel ligero y medio con parámetros para prepararme para el examen, ecuaciones con un módulo. Estas tareas se pueden recomendar a los profesores de matemáticas como un conjunto inicial de ejercicios para enseñar a trabajar con un parámetro encerrado bajo el signo del módulo. La mayoría de los números se deciden gráficamente y proporcionar al maestro plan listo lección (o dos lecciones) con un estudiante fuerte. Preparación inicial para el examen de matemáticas sobre ejercicios de complejidad cercana a los números C5 reales. Muchas de las tareas propuestas están tomadas de materiales para la preparación de la USE en 2009, y algunas de Internet de la experiencia de colegas.
1) Especificar todos los valores de los parámetrospags
, para lo cual la ecuación tiene 4 raices?
Responder:
2) ¿A qué valores del parámetro?pero
la ecuacion no tiene soluciones?
Responder:
3) Encuentra todos los valores de a, para cada uno de los cuales la ecuación tiene exactamente 3 raíces?
Respuesta: a=2
4) ¿A qué valores del parámetro?B la ecuacion Tiene única decisión? Responder:
5) Encuentra todos los valoresmetro
, para lo cual la ecuación no tiene soluciones.
Responder:
6) Encuentra todos los valores de a para los cuales la ecuación tiene exactamente 3 raíces distintas. (Si hay más de un valor de a, entonces escribe su suma en la respuesta).
Respuesta: 3
7) ¿A qué valoresB
la ecuacion tiene exactamente 2 soluciones?
Responder:
8) Especificar tales parámetrosk
, para lo cual la ecuación tiene al menos dos soluciones.
Responder:
9) ¿A qué valores del parámetropags
la ecuacion tiene una sola solución?
Responder:
10) Encuentre todos los valores de a, para cada uno de los cuales la ecuación (x + 1)tiene exactamente 2 raíces? Si hay varios valores de a, escriba su suma en respuesta.
Respuesta: - 3
11) Encuentra todos los valores de a para los cuales la ecuación tiene exactamente 3 raíces? (Si hay más de un valor de a, escriba su suma en respuesta).
Respuesta: 4
12) ¿En cuál es el valor natural más pequeño del parámetro a la ecuación – = 11 solo tiene raíces positivas?
Respuesta: 19
13) Encuentra todos los valores de a, para cada uno de los cuales la ecuación = 1 tiene exactamente 3 raíces? (Si hay más de un valor de a, anote su suma en la respuesta).
Respuesta:- 3
14) Especificar dichos valores de parámetrost , para lo cual la ecuación tiene 4 varias soluciones. Responder:
15) Encuentra tales parámetrosmetro , para lo cual la ecuación tiene dos soluciones diferentes. Responder:
16) ¿A qué valores del parámetropags la ecuacion tiene exactamente 3 extremos? Responder:
17) Indicar todos los posibles parámetros n para los cuales la función tiene exactamente un punto mínimo. Responder:
Yo uso regularmente el conjunto publicado para trabajar con un estudiante capaz, pero no el más fuerte, que, sin embargo, afirma tener un puntaje USE alto al resolver el número C5. El maestro prepara a dicho estudiante en varias etapas, asignando lecciones separadas para entrenar las habilidades individuales necesarias para encontrar e implementar soluciones largas. Esta selección es adecuada para la etapa de formación de ideas sobre figuras flotantes, según el parámetro. Los números 16 y 17 están modelados en una ecuación real con un parámetro para el USE 2011. Las tareas se organizan en orden ascendente de su complejidad.
Tarea C5 en matemáticas USE 2012
Aquí tenemos un problema tradicional con un parámetro, que requiere un conocimiento moderado del material y la aplicación de varias propiedades y teoremas. Esta tarea es una de las más tareas dificiles Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Está diseñado, en primer lugar, para quienes van a continuar su formación en universidades con mayores exigencias para la preparación matemática de los aspirantes. Para resolver con éxito el problema, es importante operar libremente con las definiciones, propiedades, teoremas estudiados, aplicarlos en Diferentes situaciones, analice la condición y encuentre formas posibles soluciones
En el sitio de preparación para el Examen de Estado Unificado, Alexander Larin, del 11/05/2012, se ofrecieron las opciones de capacitación No. 1 - 22 con tareas de nivel "C", C5 de algunas de ellas eran similares a aquellas tareas que fueron en el examen real. Por ejemplo, encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales la función graficaF(x) = Ygramo(x) = a(x + 5) + 2 no tienen puntos comunes?
Analicemos la solución de la tarea C5 del examen de 2012.
Tarea C5 del USE-2012
Para qué valores del parámetro a la ecuación tiene al menos dos raíces.
Resolvamos este problema gráficamente. Tracemos el lado izquierdo de la ecuación: y el gráfico del lado derecho:y formule la pregunta del problema de la siguiente manera: para qué valores del parámetro a las gráficas de funciones Ytienen dos o más puntos en común.
No hay ningún parámetro en el lado izquierdo de la ecuación original, por lo que podemos trazar la función.
Construiremos este gráfico usando funciones:
1. Desplaza la gráfica de la función3 unidades hacia abajo a lo largo del eje OY, obtenemos la gráfica de la función:
2. Grafica la función . Para esta parte de la gráfica de la función , ubicado debajo del eje OX, se mostrará simétricamente con respecto a este eje:
Entonces la gráfica de la funciónparece:
Gráfico de función
1. Tarea.
¿A qué valores del parámetro a la ecuacion ( a - 1)X 2 + 2X + a- 1 = 0 tiene exactamente una raíz?
1. Decisión.
En a= 1 ecuación tiene la forma 2 X= 0 y obviamente tiene una sola raíz X= 0. Si a No. 1, entonces esta ecuación es cuadrática y tiene una sola raíz para aquellos valores del parámetro para el cual el discriminante trinomio cuadrado es igual a cero Igualando el discriminante a cero, obtenemos una ecuación para el parámetro a
4a 2 - 8a= 0, de donde a= 0 o a = 2.
1. Respuesta: la ecuación tiene una sola raíz en a O(0; 1; 2).
2. Tarea.
Buscar todos los valores de los parámetros a, para la cual la ecuación tiene dos raíces diferentes X 2 +4hacha+8a+3 = 0.
2. Decisión.
La ecuacion X 2 +4hacha+8a+3 = 0 tiene dos raíces distintas si y solo si D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Obtenemos (después de la reducción por un factor común de 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, de donde
2. Respuesta:
| a O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) Y (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Tarea.
Se sabe que
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Graficar la función F 1 (X) en a = 1.
b) ¿A qué valor a gráficas de funciones F 1 (X) Y F 2 (X) tienen un único punto en común?
3. Solución.
3.a. vamos a transformar F 1 (X) de la siguiente manera
La gráfica de esta función a= 1 se muestra en la figura de la derecha.
3.b. Inmediatamente notamos que la función grafica y =
kx+B Y y = hacha 2 +bx+C
(a 0) se intersecan en un solo punto si y solo si ecuación cuadrática kx+B =
hacha 2 +bx+C tiene una sola raíz. Uso de la vista F 1 de 3.a, igualamos el discriminante de la ecuación a = 6X-X 2 -6 a cero. De la Ecuación 36-24-4 a= 0 obtenemos a= 3. Haciendo lo mismo con la ecuación 2 X-a = 6X-X 2 -6 encontrar a= 2. Es fácil comprobar que estos valores de los parámetros satisfacen las condiciones del problema. Responder: a= 2 o a = 3.
4. Tarea.
Encuentra todos los valores a, bajo el cual el conjunto de soluciones de la desigualdad X 2 -2hacha-3a i 0 contiene el segmento .
4. Solución.
La primera coordenada del vértice de la parábola. F(X) =
X 2 -2hacha-3a es igual a X 0 =
a. De propiedades función cuadrática condición F(X) i 0 en el intervalo es equivalente a la totalidad de tres sistemas
tiene exactamente dos soluciones?
5. Decisión.
Reescribamos esta ecuación en la forma X 2 + (2a-2)X - 3a+7 = 0. Esta es una ecuación cuadrática, tiene exactamente dos soluciones si su discriminante es estrictamente mayor que cero. Calculando el discriminante, obtenemos que la condición para tener exactamente dos raíces es el cumplimiento de la desigualdad a 2 +a-6 > 0. Resolviendo la desigualdad, encontramos a < -3 или a> 2. La primera de las desigualdades es obviamente soluciones en números naturales no tiene, y la solución natural más pequeña de la segunda es el número 3.
5. Respuesta: 3.
6. Tarea (10 celdas)
Encuentra todos los valores a, para lo cual la gráfica de la función o, después de transformaciones obvias, a-2 = |
2-a| . La última ecuación es equivalente a la desigualdad a yo 2
6. Respuesta: a SOBRE
tiene exactamente cuatro soluciones.
(USE 2018, ola principal)
La segunda ecuación del sistema se puede reescribir como \(y=\pm x\) . Por lo tanto, considere dos casos: cuando \(y=x\) y cuando \(y=-x\) . Entonces el número de soluciones del sistema será igual a la suma del número de soluciones en el primer y segundo caso.
1) \(y=x\) . Sustituimos en la primera ecuación y obtenemos: \
(nota que en el caso de \(y=-x\) haremos lo mismo y también obtendremos una ecuación cuadrática)
Para que el sistema original tenga 4 soluciones diferentes es necesario que en cada uno de los dos casos se obtengan 2 soluciones.
Una ecuación cuadrática tiene dos raíces cuando es \(D>0\) . Encontremos el discriminante de la ecuación (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Discriminante mayor que cero: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).
2) \(y=-x\) . Obtenemos una ecuación cuadrática: \
El discriminante es mayor que cero: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , de donde \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).
Es necesario verificar si las soluciones en el primer caso son las mismas que las soluciones en el segundo caso.
Sea \(x_0\) decisión común ecuaciones (1) y (2), entonces \
De aquí obtenemos que \(x_0=0\) o \(a=0\) .
Si \(a=0\) , entonces las ecuaciones (1) y (2) resultan ser iguales, por lo tanto, tienen raíces idénticas. Este caso no nos conviene.
Si \(x_0=0\) es su raíz común, entonces \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), de donde \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , de donde \(a=-1\) o \(a=-0,6\) . Entonces todo el sistema original tendrá 3 soluciones diferentes, lo que no nos conviene.
Ante todo esto, la respuesta será:
Responder:
\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \Correcto)\)
Tarea 2 #4032
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores \(a\) , para cada uno de los cuales el sistema \[\begin(casos) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(casos)\ ]
tiene una solución única.
Reescribamos el sistema como: \[\begin(casos) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(casos)\] Considere tres funciones: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Del sistema se sigue que \(y\leqslant g\) , pero \(y\geqslant h\) . Por tanto, para que el sistema tenga soluciones, la gráfica \(y\) debe estar en el área, que viene dada por las condiciones: “encima” de la gráfica \(h\), pero “debajo” de la gráfica \(g\ ) :
(a la región "izquierda" la llamaremos región I, a la región "derecha" - región II)
Tenga en cuenta que para cada gráfico \(a\ne 0\) fijo \(y\) hay una parábola cuyo vértice está en el punto \((-1;0)\) , y cuyas ramas están hacia arriba o hacia abajo. Si \(a=0\) , entonces la ecuación se ve como \(y=0\) y el gráfico es una línea recta que coincide con el eje x.
Nótese que para que el sistema original tenga solución única, es necesario que la gráfica \(y\) tenga exactamente un punto común con la región I o con la región II (esto significa que la gráfica \(y\) debe tener un único punto común con la frontera de una de estas regiones).
Consideremos varios casos por separado.
1) \(a>0\) . Entonces las ramas de la parábola \(y\) se giran hacia arriba. Para que el sistema original tenga solución única es necesario que la parábola \(y\) toque el borde de la región I o el borde de la región II, es decir, toque la parábola \(g\), y la abscisa del punto tangente debe ser \(\leqslant -3\) o \(\geqslant 2\) (es decir, la parábola \(y\) debe tocar el borde de una de las regiones que está por encima de la x- eje, ya que la parábola \(y\) se encuentra por encima del eje x).
\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Condiciones para que las gráficas \(y\) y \(g\) se toquen en el punto con abscisas \(x_0\leqslant -3\) o \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin(casos) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(recolectado)\begin(alineado) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(alineado)\end(reunidos)\right. \end(casos) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(casos) \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(alineados)\end(reunidos) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(casos)\] Del sistema dado \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Obtuvimos el primer valor del parámetro \(a\) .
2) \(a=0\) . Entonces \(y=0\) y es claro que la recta tiene infinitos puntos en común con la región II. Por lo tanto, este valor de parámetro no nos conviene.
3) \(un<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
Encuentra \(a\) para la cual la parábola \(y\) pasa por el punto \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Nos aseguramos que con este valor del parámetro, el segundo punto de intersección de la parábola \(y=-\frac34(x+1)^2\) con la recta \(h=-2x-1\) es un punto con coordenadas \(\izquierda(-\frac13; -\frac13\derecha)\).
Por lo tanto, obtuvimos un valor de parámetro más.
Como hemos considerado todos los casos posibles para \(a\) , la respuesta final es: \
Responder:
\(\izquierda\(-\frac34; \frac43\derecha\)\)
Tarea 3 #4013
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales el sistema de ecuaciones \[\begin(casos) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(casos)\]
tiene exactamente dos soluciones.
1) Considere la primera ecuación del sistema como cuadrática con respecto a \(x\) : \ El discriminante es igual a \(D=9y^2\) , por lo tanto, \
Entonces la ecuación se puede reescribir como \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Por lo tanto, todo el sistema se puede reescribir como \[\begin(casos) \left[\begin(recopilados)\begin(alineados) &y=2x\\ &y=0.5x\end(alineados)\end(reunidos)\right.\\ (xa)^2 + (ya)^2=5a^4\end(casos)\] El conjunto define dos rectas, la segunda ecuación del sistema define un círculo con centro \((a;a)\) y radio \(R=\sqrt5a^2\) . Para que la ecuación original tenga dos soluciones, el círculo debe intersecar el gráfico de población exactamente en dos puntos. Aquí está el dibujo cuando, por ejemplo, \(a=1\) : 
Tenga en cuenta que dado que las coordenadas del centro del círculo son iguales, el centro del círculo "corre" a lo largo de la línea recta \(y=x\) .
2) Dado que la línea \(y \u003d kx\) tiene la tangente del ángulo de inclinación de esta línea a la dirección positiva del eje \(Ox\) es \(k\), entonces la tangente de la pendiente de la recta \(y=0.5x\) es igual a \(0,5\) (llamémosle \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), la recta \(y=2x\) es igual a \(2\) (llamémoslo \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). Darse cuenta de \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), Como consecuencia, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Por lo tanto \(\alpha=90^\circ-\beta\) , de donde \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Esto significa que el ángulo entre \(y=2x\) y la dirección positiva \(Oy\) es igual al ángulo entre \(y=0.5x\) y la dirección positiva \(Ox\) : 
Y dado que la línea \(y=x\) es la bisectriz del ángulo coordenado I (es decir, los ángulos entre ella y las direcciones positivas \(Ox\) y \(Oy\) son iguales en \(45^\ circ\) ), entonces los ángulos entre \(y=x\) y las líneas \(y=2x\) y \(y=0.5x\) son iguales.
Necesitábamos todo esto para poder decir que las líneas \(y=2x\) y \(y=0.5x\) son simétricas entre sí con respecto a \(y=x\), por lo tanto, si el círculo toca uno de ellos, entonces necesariamente toca la segunda línea.
Tenga en cuenta que si \(a=0\) , entonces el círculo degenera en el punto \((0;0)\) y tiene solo un punto de intersección con ambas líneas. Es decir, este caso no nos conviene.
Así, para que la circunferencia tenga 2 puntos de intersección con las rectas, debe ser tangente a estas rectas: 
Vemos que el caso cuando el círculo se ubica en el tercer cuarto es simétrico (con respecto al origen de coordenadas) al caso cuando se ubica en el primer cuarto. Es decir, en el primer cuarto \(a>0\) , y en el tercero \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Por lo tanto, consideraremos solo el primer trimestre. 
Darse cuenta de \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Luego luego \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\] Pero de otra manera, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\] Como consecuencia, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm \ dfrac15\] Por lo tanto, ya obtuvimos inmediatamente un valor positivo y negativo para \(a\) . Por lo tanto, la respuesta es: \
Responder:
\(\{-0,2;0,2\}\)
Tarea 4 #3278
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \
tiene una solución única.
(USE 2017, juicio oficial 21/04/2017)
Hagamos el reemplazo \(t=5^x, t>0\) y movamos todos los términos en una sola parte: \
Hemos obtenido una ecuación cuadrática cuyas raíces, según el teorema de Vieta, son \(t_1=a+6\) y \(t_2=5+3|a|\) . Para que la ecuación original tenga una raíz, es suficiente que la ecuación resultante con \(t\) también tenga una raíz (¡positiva!).
Notamos de inmediato que \(t_2\) para todo \(a\) será positivo. Así, tenemos dos casos:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(alineado) \end(reunidos) \right.\]
2) Como \(t_2\) siempre es positivo, \(t_1\) debe ser \(\leqslant 0\) : \
Responder:
\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)
Tarea 5 #3252
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
\[\raíz cuadrada(x^2-a^2)=\raíz cuadrada(3x^2-(3a+1)x+a)\]
tiene exactamente una raíz en el intervalo \(\) .
(Examen Estatal Unificado 2017, día de reserva)
La ecuación se puede reescribir como: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\] Por lo tanto, tenga en cuenta que \(x=a\) es la raíz de la ecuación para cualquier \(a\) , ya que la ecuación se convierte en \(0=0\) . Para que esta raíz pertenezca al segmento \(\) , necesita \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
La segunda raíz de la ecuación se encuentra a partir de \(x+a=3x-1\) , es decir, \(x=\frac(a+1)2\) . Para que este número sea la raíz de la ecuación, debe satisfacer la ODZ de la ecuación, es decir: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Para que esta raíz pertenezca al segmento \(\) , es necesario que \
Así, para que la raíz \(x=\frac(a+1)2\) exista y pertenezca al segmento \(\) , es necesario que \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Tenga en cuenta que entonces para \(0\leqslant a\leqslant 1\) ambas raíces \(x=a\) y \(x=\frac(a+1)2\) pertenecen al segmento \(\) (es decir , la ecuación tiene dos raíces en este segmento), excepto en el caso de que coincidan: \
Así que encajamos \(a\en \izquierda[-\frac13; 0\derecha)\) y \(a=1\) .
Responder:
\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)
Tarea 6 #3238
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \
tiene una sola raíz en el segmento \(.\)
(Examen Estatal Unificado 2017, día de reserva)
La ecuación es equivalente: \ ecuación odz: \[\begin(casos) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(casos)\] En la ODZ, la ecuación se reescribirá en la forma: \
1) Sea \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ No coincide con \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) Sea \(a=0\) . Entonces la ecuación ODZ es: \(x\geqslant 0\) . La ecuación se reescribirá como: \ La raíz resultante cabe debajo de la ODZ y se incluye en el segmento \(\) . Por lo tanto, \(a=0\) es adecuado.
3) Sea \(a>0\) . Entonces ODZ: \(x\geqslant a\) y \(x\leqslant 1\) . Por lo tanto, si \(a>1\) , entonces la ODZ es un conjunto vacío. Así, \(0
La derivada es \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Determinemos de qué signo puede ser la derivada. Para ello, hallar el discriminante de la ecuación \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a( a-9)\) Por lo tanto, para \(a\in (0;1]\) el discriminante \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\). Por lo tanto \(y\) es creciente. Así, por la propiedad de una función creciente, la ecuación \(y(x)=0\) puede tener como máximo una raíz.
Por lo tanto, para que la raíz de la ecuación (el punto de intersección de la gráfica \(y\) con el eje x) esté en el segmento \(\) , es necesario que \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \] Considerando que inicialmente en el caso bajo consideración \(a\in (0;1]\) , entonces la respuesta es \(a\in (0;1]\) . Note que la raíz \(x_1\) satisface \( (1) \) , las raíces \(x_2\) y \(x_3\) satisfacen \((2)\) . También tenga en cuenta que la raíz \(x_1\) pertenece al segmento \(\) .
Considere tres casos:
1) \(a>0\) . Entonces \(x_2>3\) , \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\) satisface \((2)\) , \(x_3\) no satisface \((1)\) , o coincide con \(x_1\) , o satisface \((1)\) , pero no incluido en el segmento \(\) (es decir, menor que \(0\) );
- \(x_1\) no satisface \((2)\) , \(x_3\) satisface \((1)\) y no es igual a \(x_1\) .
Tenga en cuenta que \(x_3\) no puede ser menor que cero y satisfacer \((1)\) (es decir, mayor que \(\frac35\) ). Dada esta observación, los casos se registran en el siguiente conjunto: \[\left[ \begin(recolectado)\begin(alineado) &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(casos)\\ &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Resolviendo esta colección y teniendo en cuenta que \(a>0\) , obtenemos: \
2) \(a=0\) . Entonces \(x_2=x_3=3\in .\) Note que en este caso \(x_1\) satisface \((2)\) y \(x_2=3\) satisface \((1)\) , luego hay es una ecuación que tiene dos raíces en \(\) . Este valor \(a\) no nos conviene.
3) \(un<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) y \(x_3\notin\) . Argumentando de manera similar al párrafo 1), debe resolver el conjunto: \[\left[ \begin(reunidos)\begin(alineados) &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(casos)\\ &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(casos) \end(alineado) \end(reunidos)\right.\] Resolviendo esta colección y teniendo en cuenta que \(a<0\) , получим: \\]
Responder:
\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)
1. Sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro
Los sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro se resuelven mediante los mismos métodos básicos que los sistemas de ecuaciones convencionales: el método de sustitución, el método de suma de ecuaciones y método gráfico. Conocer la interpretación gráfica de los sistemas lineales facilita responder a la pregunta sobre el número de raíces y su existencia.
Ejemplo 1
Encuentre todos los valores para el parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones no tiene soluciones.
(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.
Solución.
Veamos varias formas de resolver este problema.
1 manera Usamos la propiedad: el sistema no tiene soluciones si la razón de los coeficientes delante de x es igual a la razón de los coeficientes delante de y, pero no igual a la razón de los términos libres (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Entonces nosotros tenemos:
1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 o un sistema
(y 2 - 3 = 1,
(un ≠ 2.
De la primera ecuación a 2 \u003d 4, por lo tanto, teniendo en cuenta la condición de que a ≠ 2, obtenemos la respuesta.
Respuesta: a = -2.
2 vías. Resolvemos por el método de sustitución.
(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,
((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
Después de sacar el factor común y fuera de paréntesis en la primera ecuación, obtenemos:
((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.
El sistema no tiene soluciones si la primera ecuación no tiene soluciones, es decir
(y 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.
Es obvio que a = ±2, pero teniendo en cuenta la segunda condición, solo se da la respuesta con un menos.
Responder: a = -2.
Ejemplo 2
Encuentre todos los valores para el parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.
(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.
Solución.
Por propiedad, si la relación de los coeficientes en x e y es la misma, y es igual a la relación de los miembros libres del sistema, entonces tiene un número infinito de soluciones (es decir, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Por lo tanto 8/a = a/2 = 2/1. Resolviendo cada una de las ecuaciones obtenidas, encontramos que a \u003d 4 es la respuesta en este ejemplo.
Responder: un = 4
2. Sistemas de ecuaciones racionales con un parámetro
Ejemplo 3
(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.
Solución.
Multiplica la primera ecuación del sistema por 2:
(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.
Restamos la segunda ecuación de la primera, obtenemos 5|x| = 4 – a. Esta ecuación tendrá solución única para a = 4. En otros casos, esta ecuación tendrá dos soluciones (para a< 4) или ни одного (при а > 4).
Respuesta: a = 4.
Ejemplo 4
Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene una solución única.
(x + y = un,
(y - x 2 \u003d 1.
Solución.
Resolveremos este sistema usando el método gráfico. Entonces, la gráfica de la segunda ecuación del sistema es una parábola, levantada a lo largo del eje Oy por un segmento unitario. La primera ecuación define el conjunto de rectas paralelas a la recta y = -x (Foto 1). La figura muestra claramente que el sistema tiene solución si la recta y = -x + a es tangente a la parábola en el punto de coordenadas (-0.5; 1.25). Sustituyendo estas coordenadas en lugar de x e y en la ecuación, encontramos el valor del parámetro a: 
1,25 = 0,5 + a;
Respuesta: a = 0,75.
Ejemplo 5
Usando el método de sustitución, averigüe en qué valor del parámetro a, el sistema tiene una solución única.
(hacha - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.
Solución.
Exprese y de la primera ecuación y sustitúyala en la segunda:
(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.
Llevamos la segunda ecuación a la forma kx = b, que tendrá solución única para k ≠ 0. Tenemos:
hacha + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;
a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.
El trinomio cuadrado a 2 + 3a + 2 se puede representar como un producto de paréntesis
(a + 2)(a + 1), y a la izquierda quitamos x entre paréntesis:
(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).
Obviamente, un 2 + 3a no debería ser cero, es por eso,
a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, lo que significa a ≠ 0 y ≠ -3.
Responder: a ≠ 0; ≠ -3.
Ejemplo 6
Usando el método de solución gráfica, determine en qué valor del parámetro a, el sistema tiene una solución única.
(x2 + y2 = 9,
(y - |x| = a.
Solución.
En base a la condición construimos una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y un radio de 3 segmentos unitarios, es esta circunferencia la que establece la primera ecuación del sistema
x 2 + y 2 = 9. La segunda ecuación del sistema (y = |x| + a) es una línea discontinua. Vía Figura 2 consideramos todos los casos posibles de su ubicación en relación con el círculo. Es fácil ver que a = 3. 
Respuesta: a = 3.
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