El propósito de este trabajo es estudiar diferentes caminos resolución de problemas con parámetros. La capacidad y la capacidad para resolver problemas con parámetros demuestran competencia en métodos para resolver ecuaciones y desigualdades, una comprensión significativa de la información teórica, el nivel pensamiento lógico estimular actividad cognitiva... Se requieren esfuerzos a largo plazo para desarrollar estas habilidades, por lo que en grados especializados 10-11 con estudio en profundidad Ciencias Exactas Introdujo el curso: "Taller de Matemáticas", parte del cual es la solución de ecuaciones y desigualdades con parámetros. El curso es una de las disciplinas incluidas en el componente del plan de estudios escolar.
El aprendizaje exitoso de métodos para resolver problemas con parámetros puede ser ayudado por optativas o cursos electivos, o un componente detrás de la cuadrícula sobre el tema: "Tareas con parámetros".
Considere cuatro grandes clases de problemas con parámetros:
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, que deben resolverse para cualquier valor de parámetro, o para valores de parámetro pertenecientes a un determinado conjunto.
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, para lo cual se requiere determinar el número de soluciones en función del valor del parámetro.
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, para lo cual se requiere encontrar todos aquellos valores del parámetro para los que las ecuaciones indicadas (sistemas, desigualdades) tienen un número determinado de soluciones.
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, para los cuales, para los valores buscados del parámetro, el conjunto de soluciones satisface las condiciones especificadas en el dominio de definición.
Métodos de resolución de problemas con parámetros.
1. Método analítico.
Este es un método de solución directa, que repite los procedimientos estándar para encontrar una respuesta en problemas sin un parámetro.
Ejemplo 1. Encontrar todos los valores de los parámetros a, para lo cual la ecuación:
(2a - 1) x 2 + ax + (2a - 3) = 0 tiene como máximo una raíz.
A las 2 a- 1 = 0 esta ecuación no es cuadrática, por lo tanto el caso a= 1/2 desmontamos por separado.
Si a= 1/2, entonces la ecuación toma la forma 1/2 X- 2 = 0, tiene una raíz.
Si a≠ 1/2, entonces la ecuación es cuadrática; para que tenga como máximo una raíz es necesario y suficiente que el discriminante sea no positivo:
D= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;
Para escribir la respuesta final, debe comprender
2. Método gráfico.
Dependiendo de la tarea (con la variable X y parámetro a), las parcelas se consideran en el plano de coordenadas ( x; y) o en el avión ( x; a).
Ejemplo 2. Para cada valor de parámetro a determinar el número de soluciones de la ecuación 
.
Tenga en cuenta que el número de soluciones de la ecuación es igual al número de puntos de intersección de las gráficas de funciones 
y y = a.
Gráfico de función 
mostrado en la Fig.1.
y = a Es una línea horizontal. Según el cronograma, es fácil establecer el número de puntos de intersección en función de a(por ejemplo, para a= 11 - dos puntos de intersección; en a= 2 - ocho puntos de intersección).
Respuesta: en a < 0 – решений нет; при a= 0 y a= 25/4 - cuatro soluciones; en 0< a < 6 – восемь решений; при a= 6 - siete soluciones; en
6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 - dos soluciones.
3. Método de resolución con respecto a un parámetro.
Al resolver de esta manera, las variables X y a se aceptan como iguales y se elige la variable para la cual la solución analítica se vuelve más simple. Después de las simplificaciones, debe volver al significado original de las variables. X y a y terminar la solución.
Ejemplo 3. Encontrar todos los valores de los parámetros a, para cada uno de los cuales la ecuación = - hacha +3a+2 tiene una sola solución.
Resolveremos esta ecuación cambiando variables. Deje = t , t≥ 0, entonces X = t 2 + 8 y la ecuación se convierte en en 2 +t + 5a- 2 = 0. Ahora el desafío es encontrarlo todo a para lo cual la ecuación en 2 +t + 5a- 2 = 0 tiene una única solución no negativa. Este es el caso en los siguientes casos.
1) Si a= 0, entonces la ecuación tiene una solución única t = 2.
Solución de algunos tipos de ecuaciones y desigualdades con parámetros.
Las tareas con parámetros ayudan en la formación del pensamiento lógico, en la adquisición de habilidades de investigación.
La solución a cada problema es única y requiere un enfoque individual y no estándar, ya que no existe una forma única de resolver dichos problemas.
... Ecuaciones lineales.Problema n. ° 1. ¿Para qué valores del parámetro B la ecuación no tiene raíces?
Problema número 2. Encuentra todos los valores de los parámetros a para lo cual el conjunto de soluciones a la desigualdad:
contiene el número 6, y también contiene dos segmentos de línea de longitud 6 que no tienen puntos comunes.
Transformamos ambos lados de la desigualdad.
Para que el conjunto de soluciones de la desigualdad contenga el número 6, es necesario y suficiente para satisfacer la condición: 
Figura 4
En a> 6 el conjunto de soluciones a la desigualdad: 
.
El intervalo (0; 5) no puede contener ningún segmento de longitud 6. Por tanto, dos segmentos disjuntos de longitud 6 deben estar contenidos en el intervalo (5; a).
. Ecuaciones exponenciales, desigualdades y sistemas.Problema número 3. En el campo de la definición de la función 
tomó todos los números enteros positivos y los sumó. Encuentre todos los valores para los que dicha suma sea mayor que 5 pero menor que 10.
1) La gráfica de una función fraccionaria lineal 
es una hipérbole. Por condición X> 0. Con un aumento ilimitado X la fracción disminuye monótonamente y se acerca a cero, y los valores de la función z aumentar y aproximarse a 5. Además, z (0) = 1.
2) Por definición de la titulación, el dominio de definición D (y) consta de soluciones a la desigualdad. En a= 1, obtenemos una desigualdad que no tiene soluciones. Por lo tanto, la función en no definido en ninguna parte.
3) A 0< a< 1 funcion exponencial con la fundación a disminuye y la desigualdad es equivalente a la desigualdad. Porque X> 0, entonces z(X) > z(0) = 1. Por lo tanto, cada valor positivo X es una solución a la desigualdad. Por lo tanto, para tal a no se puede encontrar la cantidad especificada en la condición.
4) Cuando a> 1 función exponencial con base a aumenta y la desigualdad es equivalente a la desigualdad. Si a≥ 5, entonces cualquier número positivo es su solución y no se puede encontrar la suma indicada en la condición. Si 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;X 0), donde a = z(X 0) .
5) Los números enteros se ubican en este intervalo en una fila, comenzando desde 1. Calculemos las sumas de números naturales consecutivos, comenzando desde 1: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; ... Por lo tanto, la cantidad indicada será mayor que 5 y menor que 10, solo si el número 3 se encuentra en el intervalo (0; X 0), y el número 4 no se encuentra en este intervalo. Por lo tanto, 3< X 0 ≤ 4. Dado que aumenta en, entonces z(3) < z(X 0) ≤ z(4) .
La solución de ecuaciones y desigualdades irracionales, así como las ecuaciones, desigualdades y sistemas que contienen módulos, se consideran en Apéndice 1.
Los problemas de parámetros son difíciles porque no existe un algoritmo único para resolverlos. La especificidad de tales problemas es que, junto con las cantidades desconocidas, incluyen parámetros cuyos valores numéricos no se especifican específicamente, pero se consideran conocidos y se dan en un determinado conjunto numérico. En este caso, los valores de los parámetros afectan significativamente el curso lógico y técnico de la resolución del problema y la forma de la respuesta.
Según las estadísticas, muchos de los graduados no comienzan a resolver problemas con los parámetros del examen. Según el FIPI, solo el 10% de los graduados comienzan a resolver este tipo de problemas, y el porcentaje de su solución correcta es bajo: 2-3%, por lo tanto, la adquisición de habilidades para resolver tareas difíciles, no estándar, incluidos problemas con parámetros, sigue siendo relevante para los escolares.
Ecuación de la forma F(X; a) = 0 se llama ecuación variable X y parámetro a.
Resolver ecuación con parámetro a- esto significa, para cada valor a encontrar valores X satisfaciendo esta ecuación.
Ejemplo 1. Oh= 0
Ejemplo 2. Oh = a
Ejemplo 3.
x + 2 = ah
x - ah = -2
x (1 - a) = -2
Si 1 - a= 0, es decir a= 1, entonces X 0 = -2 sin raíces
Si 1 - a 0, es decir a 1, luego X =
Ejemplo 4.
(a 2 – 1) X = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)X = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)X = (1a – 3)(a – 1)
Si a= 1, luego 0 X = 0
X- ningún Número Real
Si a= -1, luego 0 X = -2
Sin raíces
Si a 1, a-1, entonces X= (única solución).
Esto significa que cada valor válido a coincide con un solo valor X.
Por ejemplo:
Si a= 5, entonces X = = ;
Si a= 0, entonces X= 3, etc.
Material didáctico
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. a = +
en a= 1 sin raíces.
en a= 3 raíces no.
en a = 1 X- cualquier número real, excepto X = 1
en a = -1, a= 0 no hay soluciones.
en a = 0, a= 2 sin soluciones.
en a = -3, a = 0, 5, a= -2 sin soluciones
en a = -Con, Con= 0 no hay soluciones.
Ecuaciones cuadráticas con parámetro
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación
(a – 1)X 2 = 2(2a + 1)X + 4a + 3 = 0
En a = 1 6X + 7 = 0
Cuándo a 1 seleccionemos aquellos valores del parámetro para los que D desaparece.
D = (2 (2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Si a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Si a> -4/5 y a 1, luego D > 0,
X = 
Si a= 4/5, entonces D = 0,
Ejemplo 2.¿Para qué valores del parámetro a la ecuación
x 2 + 2 ( a + 1)X + 9a- 5 = 0 tiene 2 raíces negativas diferentes?
D = 4 ( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
por el camarada Vieta: X 1 + X 2 = -2(a + 1)
X 1 X 2 = 9a – 5
Por condición X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Finalmente | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Arroz. una) < a < 1, либо a > 6 |
Ejemplo 3. Encuentra los valores a para lo cual esta ecuación tiene solución.
x 2 - 2 ( a – 1)X + 2a + 1 = 0
D = 4 ( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 o a – 4 = 0
a = 4
(Arroz. 2)
Respuesta: a 0 y a 4
Material didáctico
1. ¿A qué valor? a la ecuacion Oh 2 – (a + 1) X + 2a- 1 = 0 tiene una raíz?
2. ¿A qué valor? a la ecuacion ( a + 2) X 2 + 2(a + 2)X+ 2 = 0 tiene una raíz?
3. ¿Para qué valores de a la ecuación ( a 2 – 6a + 8) X 2 + (a 2 – 4) X + (10 – 3a – a 2) = 0 tiene más de dos raíces?
4. ¿Para qué valores de una ecuación 2 X 2 + X – a= 0 tiene al menos una raíz común con la ecuación 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. ¿Para qué valores de a las ecuaciones X 2 +Oh+ 1 = 0 y X 2 + X + a= 0 tiene al menos una raíz común?
1. Cuando a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. Cuando a = 0
3. Cuando a = 2
4. Cuando a = 10
5. Cuando a = - 2
Ecuaciones exponenciales con parámetro
Ejemplo 1.Buscar todos los valores a para lo cual la ecuación
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a* 3 -2 / x = 0 (1) tiene exactamente dos raíces.
Solución. Multiplicando ambos lados de la ecuación (1) por 3 2 / x, obtenemos la ecuación equivalente
3 2 (x + 1 / x) - ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Sea 3 x + 1 / x = en, entonces la ecuación (2) toma la forma en 2 – (a + 2)en + 2a= 0, o
(en – 2)(en – a) = 0, de donde en 1 =2, en 2 = a.
Si en= 2, es decir 3 x + 1 / x = 2 entonces X + 1/X= log 3 2, o X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Esta ecuación no tiene raíces reales, ya que su D= log 2 3 2 - 4< 0.
Si en = a, es decir. 3 x + 1 / x = a entonces X + 1/X= log 3 a, o X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
La ecuación (3) tiene exactamente dos raíces si y solo si
D = log 2 3 2 - 4> 0, o | log 3 a | > 2.
Si log 3 a> 2, entonces a> 9, y si log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
Respuesta: 0< a < 1/9, a > 9.
Ejemplo 2... ¿A qué valores de a está la ecuación 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a= 0 tiene soluciones?
Con el fin de ecuación dada tiene solución, es necesario y suficiente que la ecuación t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 tenía al menos una raíz positiva. Encontremos las raíces por el teorema de Vieta: X 1 = -3, X 2 = a = >
a es un número positivo.
Respuesta: en a > 0
Material didáctico
1. Encuentra todos los valores de a para los cuales la ecuación
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2 / x = 0 tiene exactamente 2 soluciones.
2. ¿Para qué valores de a la ecuación
2 (a-1) x? +2 (a + 3) x + a = 1/4 tiene una sola raíz?
3. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación
4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 tiene la única solución?
Ecuaciones logarítmicas con parámetro
Ejemplo 1. Encuentra todos los valores a para lo cual la ecuación
log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)
tiene una sola solución.
Solución. La ecuación (1) es equivalente a la ecuación
1 + Oh = 2X en X > 0, X 1/4 (3)
X = en
ay 2 - en + 1 = 0 (4)
No se cumple la condición (2) de (3).
Dejar a 0, entonces ay 2 – 2en+ 1 = 0 tiene raíces reales si y solo si D = 4 – 4a 0, es decir en a 1.Para resolver la desigualdad (3), construimos gráficas de las funciones Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudio en profundidad del curso de álgebra y análisis matemático. - M.: Educación, 1990
1. Problema.
¿A qué valores del parámetro a la ecuacion ( a - 1)X 2 + 2X + a- 1 = 0 tiene exactamente una raíz?
1. Solución.
En a= 1 la ecuación tiene la forma 2 X= 0 y obviamente tiene una raíz única X= 0. Si a No. 1, entonces esta ecuación es cuadrada y tiene una sola raíz para aquellos valores del parámetro para el cual el discriminante trinomio cuadrado es cero... Al igualar el discriminante a cero, obtenemos una ecuación para el parámetro a
4a 2 - 8a= 0, de donde a= 0 o a = 2.
1. Respuesta: la ecuación tiene una sola raíz en a O (0; 1; 2).
2. La tarea.
Encuentra todos los valores de los parámetros a para lo cual la ecuación X 2 +4hacha+8a+3 = 0.
2. Solución.
La ecuacion X 2 +4hacha+8a+3 = 0 tiene dos raíces distintas si y solo si D =
16a 2 -4(8a+3)> 0. Obtenemos (después de la reducción por un factor común de 4) 4 a 2 -8a-3> 0, de donde
2. Respuesta:
| a O (-Ґ; 1 - | C 7 2 |
) Y (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. El desafío.
Se sabe que
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Grafica la función F 1 (X) en a = 1.
b) A que valor a gráficos de funciones F 1 (X) y F 2 (X) tienen un solo punto en común?
3. Solución.
3.a. Nos transformamos F 1 (X) de la siguiente manera
La gráfica de esta función en a= 1 se muestra en la figura de la derecha.
3.b. Notamos de inmediato que las gráficas de las funciones y =
kx+B y y = hacha 2 +bx+C
(a No. 0) se intersecan en un solo punto si y solo si la ecuación cuadrática kx+B =
hacha 2 +bx+C tiene una sola raíz. Usando la vista F 1 de 3.a, equiparamos el discriminante de la ecuación a = 6X-X 2-6 a cero. De la ecuación 36-24-4 a= 0 obtenemos a= 3. Haciendo lo mismo con la ecuación 2 X-a = 6X-X 2-6 encontrar a= 2. Es fácil verificar que estos valores del parámetro satisfacen las condiciones del problema. Respuesta: a= 2 o a = 3.
4. El desafío.
Encuentra todos los valores a para lo cual el conjunto de soluciones a la desigualdad X 2 -2hacha-3aі 0 contiene un segmento.
4. Solución.
La primera coordenada del vértice de la parábola F(X) =
X 2 -2hacha-3a es igual a X 0 =
a... De propiedades función cuadrática condición F(X) і 0 en un intervalo es equivalente a un conjunto de tres sistemas
tiene exactamente dos soluciones?
5. Solución.
Reescribimos esta ecuación como X 2 + (2a-2)X - 3a+7 = 0. Esta es una ecuación cuadrática, tiene exactamente dos soluciones si su discriminante es estrictamente mayor que cero. Calculando el discriminante, encontramos que la condición para la presencia de exactamente dos raíces es el cumplimiento de la desigualdad a 2 +a-6> 0. Resolviendo la desigualdad, encontramos a < -3 или a> 2. La primera de las desigualdades, obviamente, soluciones en números naturales no tiene, y la solución natural más pequeña para el segundo es el número 3.
5. Respuesta: 3.
6. Problema (10 grados)
Encuentra todos los valores a en el que la gráfica de la función o, después de transformaciones obvias, a-2 = |
2-a| ... La última ecuación es equivalente a la desigualdad a yo 2.
6. Respuesta: a O.
Resumiendo los resultados. La restricción en el parámetro da solo la segunda condición de la ODZ: a∈ [−4; 4], y el requisito de desajuste de raíz se cumple si excluimos el a= ± 3.
Respuesta: a ∈[−4;−3)∪(−3; 3)∪(3; 4]
Como puede ver, los coeficientes aquí se eligen para que las operaciones algebraicas no sean difíciles y no tomen mucho tiempo. Pero, si te olvidaste de las funciones raíces cuadradas y ha pasado por alto la condición 2) de la ODZ, entonces no obtendrá una solución en absoluto.
Espero que, no obstante, muchos graduados hayan superado esta tarea y les deseo que sigan teniendo éxito en sus exámenes electivos.
Tarea 2
Encuentra todos los significados a , para cada uno de los cuales la ecuación
X − 2a _____ X + 2 + X − 1 ____ X − a = 1
Tiene una sola raíz.
Solución.
Empezamos, por supuesto, con la ODZ: X≠ −2 y X ≠ a
.
Vamos a transformar:
Fracciones reducidas a común denominador e inmediatamente dejó caer el denominador. La nueva ecuación será equivalente a la dada solo teniendo en cuenta las limitaciones del LDO.
¿Por qué puedes hacer esto?
- Porque las fracciones con denominadores iguales son iguales cuando sus numeradores son iguales.
¿Cuándo está mal hacer esto?
- Cuando no se ha verificado la desigualdad del denominador a cero o si se olvidó de pregrabar la ODZ.
¿Quién puede y quién no puede hacer esto?
- Se permiten estudiantes prolijos y atentos, no desatentos. Este último necesita transferir todo al lado izquierdo de la igualdad, simplificar la expresión en forma de fracción completa, luego proceder al conjunto de condiciones: "la fracción es igual a cero si su numerador es igual a cero, y el el denominador no es igual a cero ".
Después de abrir los corchetes y reducir términos similares, obtenemos
X 2 − 2hacha + 2a 2 − X − 2 = −2a.
Finalmente lo llevaremos a la forma típica de ecuación cuadrática:
X 2 − (2a+ 1) X + (2a 2 + 2a − 2) = 0.
El discriminante de esta ecuación
D = (2a+ 1) 2 - 4 (2 a 2 + 2a − 2) = −4a 2 − 4a + 9.
La ecuación especificada en el enunciado del problema puede tener una solución única en dos casos. Primero, cuando el discriminante de la ecuación cuadrática resultante es cero y su única raíz no coincide con las restricciones de la ODZ. De lo contrario, será necesario descartarlo y no habrá ninguna solución. En segundo lugar, cuando la ecuación cuadrática tiene dos raíces diferentes (el discriminante es mayor que cero), pero una y solo una de ellas no satisface la ODV.
Identificación del caso = 0.
−4a 2 − 4a + 9 = 0 en a= (−1 ± √10 __ )/2.Además, la raíz de la ecuación X = (2a + 1)/2 = a + 0,5
... Obviamente, para los valores obtenidos a tampoco coincide a ni con −2.
Así, se obtienen dos valores deseados del parámetro.
Caso II.
Definamos esos valores a X = a.
a 2 − (2a+ 1) a + (2a 2 + 2a − 2) = 0.
a 2 + a − 2 = 0.
a= 1 y a = −2.
Definamos esos valores a para lo cual la raíz de la ecuación cuadrática es X = −2.
(−2) 2 − (2a+ 1) (−2) + (2 a 2 + 2a − 2) = 0.
a 2 + 3a + 2 = 0.
a= −1 y a = −2.
Para estos valores del parámetro a podemos continuar el estudio del discriminante y la segunda raíz de la ecuación cuadrática. Pero es más fácil verificarlos sustituyéndolos en la ecuación original de la condición del problema.
a = 1X- 2 1 _______ X + 2 + X − 1 ____ X − 1 = 1; X − 2 _____ X + 2 + 1 = 1; X − 2 _____ X + 2 = 0; X = 2.
a = −1X- 2 (−1) _________ X + 2 + X − 1 _______ X − (−1) = 1; X + 2 ____ X + 2 + X − 1 ____ X + 1 = 1; 1 + X − 1 ____ X + 1 = 1; X − 1 ____ X + 1 = 0; X = 1.
a = −2X- 2 (−2) _________ X + 2 + X − 1 _______ X − (−2) = 1; X + 4 ____ X + 2 + X − 1 ____ X + 2 = 1; X + 4 + X − 1 = X + 2; X = −1.
Por tanto, los tres valores satisfacen la condición del problema.
Respuesta: a ∈{(−1 − √10__ )/2; −2; −1; 1; (−1 + √10__ )/2.}
Atención: Si encuentra un error o un error tipográfico, infórmelo por correo electrónico.