Definición de ecuaciones de potencia. Solución de ecuaciones exponenciales. Ejemplos

Solución de ecuaciones exponenciales. Ejemplos.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

Qué ha pasado ecuación exponencial? Esta es una ecuación en la que las incógnitas (x) y las expresiones con ellas están en indicadores algunos grados. ¡Y sólo allí! Es importante.

Ahí tienes ejemplos ecuaciones exponenciales :

3x2x = 8x + 3

¡Nota! En las bases de grados (abajo) - sólo números. V indicadores grados (arriba) - una amplia variedad de expresiones con x. Si, de repente, aparece una x en la ecuación en algún lugar que no sea el indicador, por ejemplo:

esta sera la ecuacion tipo mixto. Tales ecuaciones no tienen reglas claras para resolver. No los consideraremos por ahora. Aquí nos ocuparemos solución de ecuaciones exponenciales en su forma más pura.

De hecho, incluso las ecuaciones exponenciales puras no siempre se resuelven con claridad. Pero hay ciertos tipos de ecuaciones exponenciales que pueden y deben resolverse. Estos son los tipos que veremos.

Solución de las ecuaciones exponenciales más simples.

Comencemos con algo muy básico. Por ejemplo:

Incluso sin ninguna teoría, por simple selección es claro que x = 2. Nada más, ¿verdad? No hay otros rollos de valor x. Y ahora veamos la solución de esta complicada ecuación exponencial:

¿Qué hemos hecho? Nosotros, de hecho, tiramos los mismos fondos (triples). Completamente descartado. Y, lo que gusta, ¡da en el blanco!

De hecho, si en la ecuación exponencial de la izquierda y de la derecha son lo mismo números en cualquier grado, estos números se pueden quitar y exponentes iguales. Las matemáticas lo permiten. Queda por resolver una ecuación mucho más sencilla. es bueno, ¿verdad?)

Sin embargo, recordemos irónicamente: puede eliminar las bases solo cuando los números de base a la izquierda y a la derecha estén en un espléndido aislamiento. Sin vecinos ni coeficientes. Digamos en las ecuaciones:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , o

¡No puedes eliminar los dobles!

Bueno, hemos dominado lo más importante. Cómo pasar de expresiones exponenciales malvadas a ecuaciones más simples.

"¡Aquí están esos tiempos!" - tu dices. "¿¡Quién va a dar tal primitivo en el control y los exámenes!?"

Obligado a estar de acuerdo. Nadie lo hará. Pero ahora ya sabes a dónde ir para resolver ejemplos confusos. Es necesario recordarlo, cuando el mismo número base está a la izquierda, a la derecha. Entonces todo será más fácil. En realidad, se trata de los clásicos de las matemáticas. Tomamos el ejemplo original y lo transformamos al deseado nosotros mente. De acuerdo con las reglas de las matemáticas, por supuesto.

Considere ejemplos que requieran un esfuerzo adicional para simplificarlos. llamémoslos ecuaciones exponenciales simples.

Solución de ecuaciones exponenciales simples. Ejemplos.

Al resolver ecuaciones exponenciales, las reglas principales son acciones con poderes. Sin el conocimiento de estas acciones, nada funcionará.

A las acciones con grados hay que añadir la observación personal y el ingenio. Nosotros necesitamos mismos numeros- motivos? Así que los estamos buscando en el ejemplo de forma explícita o encriptada.

Veamos cómo se hace esto en la práctica.

Pongamos un ejemplo:

2 2x - 8x+1 = 0

primer vistazo a jardines. Ellos... ¡Son diferentes! Dos y ocho. Pero es demasiado pronto para desanimarse. Es hora de recordar que

Dos y ocho son parientes en grado.) Es muy posible escribir:

8 x+1 = (2 3) x+1

Si recordamos la fórmula de acciones con poderes:

(un n) m = un nm ,

generalmente funciona muy bien:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

El ejemplo original se ve así:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transferimos 2 3 (x+1) a la derecha (¡nadie canceló las acciones elementales de las matemáticas!), obtenemos:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Eso es prácticamente todo. Eliminación de bases:

Resolvemos este monstruo y obtenemos

Esta es la respuesta correcta.

En este ejemplo, conocer las potencias de dos nos ayudó. Nosotros identificado en el ocho, el dos encriptado. Esta técnica (cifrado de terrenos comunes bajo números diferentes) es una técnica muy popular en ecuaciones exponenciales. Sí, incluso en logaritmos. Uno debe ser capaz de reconocer los poderes de otros números en números. Esto es extremadamente importante para resolver ecuaciones exponenciales.

El hecho es que elevar cualquier número a cualquier potencia no es un problema. Multiplique, incluso en una hoja de papel, y eso es todo. Por ejemplo, todos pueden elevar 3 a la quinta potencia. 243 resultará si conoce la tabla de multiplicar). Pero en las ecuaciones exponenciales, con mucha más frecuencia es necesario no elevar a una potencia, sino viceversa ... qué número en qué medida se esconde detrás del número 243, o, digamos, 343... Ninguna calculadora te ayudará aquí.

Necesitas saber las potencias de algunos números a simple vista, sí... ¿Practicamos?

Determina qué potencias y qué números son números:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Respuestas (¡en un lío, por supuesto!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si miras de cerca, puedes ver un hecho extraño. ¡Hay más respuestas que preguntas! Bueno, sucede... Por ejemplo, 2 6 , 4 3 , 8 2 es todo 64.

Supongamos que ha tomado nota de la información sobre el conocimiento de los números). Permítame recordarle que para resolver ecuaciones exponenciales, aplicamos El conjunto acervo de conocimientos matemáticos. Incluso de las clases medias-bajas. No fuiste directo a la escuela secundaria, ¿verdad?

Por ejemplo, al resolver ecuaciones exponenciales, poner el factor común fuera de paréntesis muy a menudo ayuda (¡hola al grado 7!). Veamos un ejemplo:

3 2x+4 -11 9x = 210

Y de nuevo, la primera mirada: ¡en los terrenos! Las bases de los grados son diferentes... Tres y nueve. Y queremos que sean iguales. Bueno, en este caso, ¡el deseo es bastante factible!) Porque:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Según las mismas reglas para las acciones con grados:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Eso es genial, puedes escribir:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Hemos dado un ejemplo de los mismos motivos. Entonces, ¿qué sigue? Los tres no se pueden tirar... ¿Callejón sin salida?

Para nada. Recordando la regla de decisión más universal y poderosa todo tareas matematicas:

Si no sabes qué hacer, ¡haz lo que puedas!

Se mira, todo se forma).

¿Qué hay en esta ecuación exponencial? poder¿hacer? ¡Sí, el lado izquierdo pide directamente paréntesis! El factor común de 3 2x claramente sugiere esto. Intentemos, y luego veremos:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

¡El ejemplo sigue mejorando y mejorando!

Recordamos que para eliminar bases necesitamos un grado puro, sin coeficientes. El número 70 nos molesta. Entonces dividimos ambos lados de la ecuación por 70, obtenemos:

Op-pa! ¡Todo ha estado bien!

Esta es la respuesta final.

Sucede, sin embargo, que se obtiene el rodaje por las mismas causales, pero no su liquidación. Esto sucede en ecuaciones exponenciales de otro tipo. Consigamos este tipo.

Cambio de variable en la resolución de ecuaciones exponenciales. Ejemplos.

Resolvamos la ecuación:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primero - como de costumbre. Pasemos a la base. Al demonio.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Obtenemos la ecuación:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Y aquí colgaremos. Los trucos anteriores no funcionarán, no importa cómo lo gire. Tendremos que sacar del arsenal de otro modo potente y polivalente. Se llama sustitución de variables.

La esencia del método es sorprendentemente simple. En lugar de un ícono complejo (en nuestro caso, 2 x), escribimos otro más simple (por ejemplo, t). ¡Un reemplazo aparentemente sin sentido conduce a resultados sorprendentes!) ¡Todo se vuelve claro y comprensible!

Entonces deja

Entonces 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Reemplazamos en nuestra ecuación todas las potencias con x por t:

Bueno, ¿amanece?) ¿Aún no has olvidado las ecuaciones cuadráticas? Resolvemos a través del discriminante, obtenemos:

Aquí, lo principal es no detenerse, como sucede... Esta no es la respuesta todavía, necesitamos x, no t. Volvemos a Xs, es decir haciendo un reemplazo. Primero para t 1:

Es decir,

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo, de t 2:

Um... Izquierda 2 x, Derecha 1... ¿Un problema? ¡Sí, en absoluto! Basta recordar (de acciones con grados, sí...) que una unidad es ningún número a cero. Ningún. Lo que necesites, nosotros te lo ponemos. Necesitamos un dos. Medio:

Ahora eso es todo. Tiene 2 raíces:

Esta es la respuesta.

En resolver ecuaciones exponenciales al final, a veces se obtiene alguna expresión torpe. Escribe:

De los siete, dos a través grado simple No funciona. No son parientes... ¿Cómo puedo estar aquí? Alguien puede estar confundido ... Pero la persona que lee en este sitio el tema "¿Qué es un logaritmo?" , solo sonríe con moderación y escribe con mano firme respuesta absolutamente correcta:

No puede haber tal respuesta en las tareas "B" en el examen. Hay un número específico requerido. Pero en tareas "C" - fácilmente.

Esta lección proporciona ejemplos de cómo resolver las ecuaciones exponenciales más comunes. Destaquemos la principal.

Consejos prácticos:

1. En primer lugar, nos fijamos en jardines grados A ver si no se pueden hacer lo mismo. Intentemos hacer esto usando activamente acciones con poderes.¡No olvides que los números sin x también se pueden convertir en grados!

2. Tratamos de llevar la ecuación exponencial a la forma cuando la izquierda y la derecha son lo mismo números en cualquier grado. Usamos acciones con poderes y factorización. Lo que se puede contar en números: contamos.

3. Si el segundo consejo no funcionó, tratamos de aplicar la sustitución de variables. El resultado puede ser una ecuación que se resuelve fácilmente. Más a menudo - cuadrado. O fraccionario, que también se reduce a un cuadrado.

4. Para resolver con éxito ecuaciones exponenciales, necesitas conocer los grados de algunos números "a simple vista".

Como de costumbre, al final de la lección se le invita a resolver un poco.) Por su cuenta. De lo simple a lo complejo.

Resolver ecuaciones exponenciales:

Más difícil:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Encuentre el producto de las raíces:

2 3-x + 2x = 9

¿Sucedió?

Bien entonces el ejemplo mas dificil(decidido, sin embargo, en la mente ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

¿Qué es más interesante? Entonces aquí hay un mal ejemplo para ti. Tirando bastante en mayor dificultad. Sugeriré que en este ejemplo, se salva el ingenio y la regla más universal para resolver todas las tareas matemáticas).

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un ejemplo es más simple, para relajarse):

9 2 x - 4 3 x = 0

Y de postre. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

¡Sí Sí! ¡Esta es una ecuación de tipo mixto! Lo cual no consideramos en esta lección. ¡Y qué considerarlos, deben resolverse!) Esta lección es suficiente para resolver la ecuación. Bueno, se necesita ingenio... Y sí, el séptimo grado te ayudará (¡esto es una pista!).

Respuestas (en desorden, separadas por punto y coma):

una; 2; 3; 4; no hay soluciones; 2; -2; -5; 4; 0.

¿Todo es exitoso? Multa.

¿Hay un problema? ¡No hay problema! En la Sección Especial 555, todas estas ecuaciones exponenciales se resuelven con explicaciones detalladas. Qué, por qué y por qué. Y, por supuesto, hay información valiosa adicional sobre cómo trabajar con todo tipo de ecuaciones exponenciales. No solo con estos.)

Una última pregunta divertida a considerar. En esta lección, trabajamos con ecuaciones exponenciales. ¿Por qué no dije una palabra sobre ODZ aquí? En ecuaciones, esto es algo muy importante, por cierto...

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Primer nivel

ecuaciones exponenciales. Guía completa (2019)

¡Oye! Hoy discutiremos con usted cómo resolver ecuaciones que pueden ser tanto elementales (y espero que después de leer este artículo, casi todas lo sean para usted), y las que generalmente se dan "relleno". Aparentemente, para conciliar el sueño por completo. Pero intentaré hacerlo lo mejor posible para que ahora no te metas en líos ante este tipo de ecuaciones. Ya no me andaré por las ramas, sino que inmediatamente abriré pequeño secreto: hoy vamos a trabajar ecuaciones exponenciales.

Antes de proceder a un análisis de las formas de resolverlos, le delinearé inmediatamente un círculo de preguntas (bastante pequeño) que debe repetir antes de apresurarse a atacar este tema. Entonces, para obtener mejor resultado, por favor, repetir:

propiedades y
Solución y Ecuaciones

¿Repetido? ¡Maravilloso! Entonces no te será difícil notar que la raíz de la ecuación es un número. ¿Estás seguro de que entiendes cómo lo hice? ¿Verdad? Luego continuamos. Ahora respóndeme a la pregunta, ¿qué es igual a la tercera potencia? Estás absolutamente en lo correcto: . ¿Ocho es qué potencia de dos? Así es, ¡el tercero! Porque. Bueno, ahora intentemos resolver el siguiente problema: Permítanme multiplicar el número por sí mismo una vez y obtener el resultado. La pregunta es, ¿cuántas veces he multiplicado por sí mismo? Por supuesto, puede verificar esto directamente:

\begin(alinear) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinear)

Entonces puedes concluir que multipliqué por sí mismo. ¿De qué otra manera se puede verificar esto? Y así es como: directamente por la definición del grado: . Pero, debes admitirlo, si te preguntara cuántas veces hay que multiplicar dos por sí mismo para obtener, digamos, me dirías: no me engañaré y multiplicaré por mí mismo hasta que esté azul en la cara. Y tendría toda la razón. porque como puedes escribir todas las acciones brevemente(y la brevedad es hermana del talento)

donde - este es el mismo "veces" cuando se multiplica por sí mismo.

Creo que sabes (¡y si no sabes, urgente, muy urgente repite los grados!) que entonces mi problema quedará escrito en la forma:

¿Cómo puede concluir razonablemente que:

Entonces, en silencio, anoté el más simple ecuación exponencial:

E incluso lo encontré raíz. ¿No crees que todo es bastante trivial? Eso es exactamente lo que pienso yo también. Aquí hay otro ejemplo para ti:

¿Pero qué hacer? Después de todo, no se puede escribir como el grado de un número (razonable). No nos desesperemos y notemos que ambos números están perfectamente expresados en términos de la potencia del mismo número. ¿Qué? Derecha: . Entonces la ecuación original se transforma a la forma:

De donde, como ya entendiste, . No tiremos más y anotemos definición:

En nuestro caso contigo: .

Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a la forma:

con la subsiguiente solución de la ecuación

Nosotros, de hecho, hicimos esto en el ejemplo anterior: lo conseguimos. Y resolvimos la ecuación más simple contigo.

Parece que no es nada complicado, ¿verdad? Practiquemos primero con lo más simple. ejemplos:

Nuevamente vemos que los lados derecho e izquierdo de la ecuación deben representarse como una potencia de un número. Es cierto que esto ya se ha hecho a la izquierda, pero a la derecha hay un número. Pero está bien, después de todo, y mi ecuación se transforma milagrosamente en esto:

¿Qué tenía que hacer aquí? ¿Qué regla? Regla de poder a poder que dice:

Y si:

Antes de responder a esta pregunta, completemos la siguiente tabla con usted:

No es difícil para nosotros notar que cuanto más pequeño, menor es el valor, pero sin embargo, todos estos valores son mayores que cero. Y SIEMPRE SERÁ ASI!!! ¡La misma propiedad es cierta PARA CUALQUIER BASE CON CUALQUIER ÍNDICE! (para cualquier y). Entonces, ¿qué podemos concluir acerca de la ecuación? Y aquí hay uno: es no tiene raices! Al igual que cualquier ecuación no tiene raíces. Ahora practiquemos y Resolvamos algunos ejemplos sencillos:

Vamos a revisar:

1. Aquí no se requiere nada de ti, excepto conocer las propiedades de los poderes (¡que, por cierto, te pedí que repitieras!) Como regla, todo conduce a la base más pequeña: , . Entonces la ecuación original será equivalente a lo siguiente: Todo lo que necesito es usar las propiedades de las potencias: al multiplicar números con la misma base se suman los exponentes, y al dividir se restan. Entonces obtendré: Bueno, ahora con la conciencia tranquila pasaré de la ecuación exponencial a la lineal: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinear)

2. En el segundo ejemplo, debes tener más cuidado: el problema es que en el lado izquierdo, no podremos representar el mismo número como una potencia. En este caso, a veces es útil representar números como un producto de potencias con diferentes bases, pero los mismos exponentes:

El lado izquierdo de la ecuación tomará la forma: ¿Qué nos dio esto? Y esto es lo que: Se pueden multiplicar números con bases diferentes pero con el mismo exponente.En este caso, las bases se multiplican, pero el exponente no cambia:

Aplicado a mi situación, esto dará:

\begin(alinear)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinear)

No está mal, ¿verdad?

3. No me gusta cuando tengo dos términos en un lado de la ecuación y ninguno en el otro (a veces, por supuesto, esto está justificado, pero este no es el caso ahora). Mueva el término menos a la derecha:

Ahora, como antes, escribiré todo a través de los poderes del triple:

Sumo las potencias de la izquierda y obtengo una ecuación equivalente

Puedes encontrar fácilmente su raíz:

4. Como en el ejemplo tres, el término con un signo menos: ¡un lugar en el lado derecho!

A la izquierda, casi todo está bien para mí, excepto ¿qué? Sí, me molesta el “grado equivocado” del deuce. Pero puedo arreglar esto fácilmente escribiendo: . Eureka: a la izquierda, todas las bases son diferentes, ¡pero todos los grados son iguales! ¡Nos multiplicamos rápidamente!

Aquí nuevamente, todo está claro: (si no entendiste cómo mágicamente obtuve la última igualdad, tómate un descanso por un minuto, tómate un descanso y lee las propiedades del grado nuevamente con mucho cuidado. ¿Quién dijo que puedes saltarte el grado con exponente negativo? Bueno, aquí estoy casi igual que nadie). Ahora obtendré:

\begin(alinear)
& ((2)^(4\izquierda((x) -9 \derecha)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(alinear)

Aquí están las tareas para que practiques, a las que solo daré las respuestas (pero en forma "mixta"). ¡Resuélvalos, compruébelo y continuaremos nuestra investigación!

¿Listo? respuestas como estos:

cualquier número

Vale, vale, ¡estaba bromeando! Aquí están los esquemas de las soluciones (¡algunas son bastante breves!)

¿No crees que no es casualidad que una fracción de la izquierda sea otra "invertida"? Sería un pecado no usar esto:

Esta regla se usa muy a menudo al resolver ecuaciones exponenciales, ¡recuérdala bien!

Entonces la ecuación original se convierte en:

resolverlo ecuación cuadrática, obtendrás las siguientes raíces:

2. Otra solución: dividir ambas partes de la ecuación por la expresión de la izquierda (o de la derecha). Dividiré por lo que está a la derecha, luego obtendré:

¡¿Donde porque?!)

3. Ni siquiera quiero repetirme, todo ya se ha "masticado" tanto.

4. equivalente a una ecuación cuadrática, las raíces

5. Debe usar la fórmula dada en la primera tarea, luego obtendrá eso:

La ecuación se ha convertido en una identidad trivial, lo cual es cierto para cualquiera. Entonces la respuesta es cualquier número real.

Bueno, aquí estás y practicaste para decidir las ecuaciones exponenciales más simples. Ahora quiero darte un poco ejemplos de vida, lo que le ayudará a comprender por qué son necesarios en principio. Aquí daré dos ejemplos. Uno de ellos es bastante cotidiano, pero el otro tiene un interés más científico que práctico.

Ejemplo 1 (mercantil) Deja que tengas rublos, pero quieres convertirlos en rublos. El banco le ofrece tomar este dinero de usted a una tasa de interés anual con una capitalización mensual de intereses (devengo mensual). La pregunta es, ¿durante cuántos meses necesitas abrir un depósito para cobrar la cantidad final deseada? Una tarea bastante mundana, ¿no? Sin embargo, su solución está relacionada con la construcción de la ecuación exponencial correspondiente: Sea - la cantidad inicial, - la cantidad final, - la tasa de interés para el período, - el número de períodos. Entonces:

En nuestro caso (si la tasa es anual, entonces se calcula por mes). ¿Por qué se divide en? Si no sabe la respuesta a esta pregunta, ¡recuerde el tema ""! Entonces obtenemos la siguiente ecuación:

Esta ecuación exponencial ya se puede resolver solo con una calculadora (su apariencia sugiere esto, y esto requiere el conocimiento de los logaritmos, que nos familiarizaremos un poco más adelante), lo cual haré: ... Por lo tanto, para recibir un millón, necesitaremos hacer un depósito por un mes ( no muy rápido, ¿verdad?).

Ejemplo 2 (más bien científico). A pesar de su cierto "aislamiento", te recomiendo que le prestes atención: regularmente "se mete en el examen!! (la tarea está tomada de la versión “real”) Durante la desintegración de un isótopo radiactivo, su masa disminuye según la ley, donde (mg) es la masa inicial del isótopo, (min.) es el tiempo transcurrido desde la momento inicial, (min.) es la vida media. En el momento inicial de tiempo, la masa del isótopo es mg. Su vida media es min. ¿En cuántos minutos la masa del isótopo será igual a mg? Está bien: simplemente tomamos y sustituimos todos los datos en la fórmula que se nos propone:

Dividamos ambas partes por, "con la esperanza" de que a la izquierda obtengamos algo digerible:

¡Pues somos muy afortunados! Se encuentra a la izquierda, luego pasemos a la ecuación equivalente:

donde mín.

Como puedes ver, las ecuaciones exponenciales tienen una aplicación muy real en la práctica. Ahora quiero discutir con ustedes otra forma (sencilla) de resolver ecuaciones exponenciales, que se basa en sacar el factor común entre paréntesis y luego agrupar los términos. No tengas miedo de mis palabras, ya te encontraste con este método en el séptimo grado cuando estudiaste polinomios. Por ejemplo, si necesitara factorizar la expresión:

Agrupemos: el primer y tercer término, así como el segundo y cuarto. Es claro que el primero y el tercero son la diferencia de los cuadrados:

y el segundo y el cuarto tienen un factor común de tres:

Entonces la expresión original es equivalente a esto:

De dónde sacar el factor común ya no es difícil:

Por eso,

Así es aproximadamente como actuaremos al resolver ecuaciones exponenciales: buscar "comunalidad" entre los términos y sacarlo de los corchetes, y luego, pase lo que pase, creo que tendremos suerte =)) Por ejemplo:

A la derecha está lejos de la potencia de siete (¡lo comprobé!) Y a la izquierda, un poco mejor, puede, por supuesto, "cortar" el factor a del primer término y del segundo, y luego tratar con lo que tienes, pero hagámoslo más prudentemente contigo. No quiero lidiar con las fracciones que son inevitablemente producidas por la "selección", entonces, ¿no debería ser mejor si aguanto? Entonces no tendré fracciones: como dicen, tanto los lobos están llenos como las ovejas están a salvo:

Cuenta la expresión entre paréntesis. Mágicamente, mágicamente, resulta que (sorprendentemente, aunque ¿qué más podemos esperar?).

Luego reducimos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos: dónde.

Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):

¡Aquí está el problema! ¡Aquí no tenemos puntos en común! No está del todo claro qué hacer ahora. Y hagamos lo que podamos: primero, moveremos los “cuatro” en una dirección, y los “cinco” en la otra:

Ahora saquemos el "común" a la izquierda y a la derecha:

¿Y ahora qué? ¿Cuál es el beneficio de una agrupación tan estúpida? A primera vista, no es visible en absoluto, pero veamos más profundamente:

Bueno, ahora hagamos que a la izquierda solo tengamos la expresión c, ya la derecha, todo lo demás. ¿Como podemos hacerlo? Y así es como: divide ambos lados de la ecuación primero por (para que nos deshagamos del exponente de la derecha), y luego divida ambos lados por (para que nos deshagamos del factor numérico de la izquierda). Finalmente obtenemos:

¡Increíble! A la izquierda tenemos una expresión, ya la derecha, solo. Entonces concluimos inmediatamente que

Aquí hay otro ejemplo para reforzar:

Daré su breve solución (sin molestarme realmente en explicar), trate de descubrir todas las "sutilezas" de la solución usted mismo.

Ahora la consolidación final del material cubierto. Intenta resolver los siguientes problemas por tu cuenta. Solo daré breves recomendaciones y consejos para solucionarlos:

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:
Representamos la primera expresión en la forma: , dividimos ambas partes por y obtenemos que
, luego la ecuación original se convierte a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡busca dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
Imagina cómo, cómo, ah, bueno, luego divide ambas partes por, para obtener la ecuación exponencial más simple.
Sácalo de los corchetes.
Sácalo de los corchetes.

ECUACIONES EXPOSICIONALES. NIVEL PROMEDIO

Supongo que después de leer el primer artículo, que decía ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas? has dominado mínimo necesario conocimientos necesarios para resolver ejemplos sencillos.

Ahora analizaré otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es

"método de introducción de una nueva variable" (o sustitución). Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles", sobre el tema de las ecuaciones exponenciales (y no solo las ecuaciones). Este método es uno de los más utilizados en la práctica. Primero, te recomiendo que te familiarices con el tema.

Como ya entendiste por el nombre, la esencia de este método es introducir tal cambio de variable que tu ecuación exponencial se transformará milagrosamente en una que ya puedas resolver fácilmente. Todo lo que te queda después de resolver esta misma "ecuación simplificada" es hacer un "reemplazo inverso": es decir, volver de lo reemplazado a lo reemplazado. Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy simple:

Ejemplo 1:

Esta ecuación se resuelve mediante una "sustitución simple", como la llaman despectivamente los matemáticos. De hecho, la sustitución aquí es la más obvia. Solo hay que ver que

Entonces la ecuación original se convierte en:

Si además imaginamos cómo, entonces está bastante claro qué debe reemplazarse: por supuesto, . ¿Cuál se convierte entonces en la ecuación original? Y esto es lo que:

Puede encontrar fácilmente sus raíces por su cuenta:. ¿Qué debemos hacer ahora? Es hora de volver a la variable original. ¿Qué olvidé incluir? A saber: al reemplazar un cierto grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar un tipo), me interesará ¡Solo raíces positivas! Usted mismo puede responder fácilmente por qué. Por lo tanto, no estamos interesados en usted, pero la segunda raíz es bastante adecuada para nosotros:

Entonces dónde.

Respuesta:

Como puede ver, en el ejemplo anterior, el reemplazo estaba pidiendo nuestras manos. Por desgracia, este no es siempre el caso. Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, pero practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple

Ejemplo 2

Está claro que muy probablemente será necesario reemplazar (esta es la menor de las potencias incluidas en nuestra ecuación), sin embargo, antes de introducir un reemplazo, nuestra ecuación necesita estar “preparada” para ello, a saber: , . Luego puede reemplazar, como resultado obtendré la siguiente expresión:

Oh horror: una ecuación cúbica con fórmulas absolutamente terribles para su solución (bueno, hablando en vista general). Pero no nos desesperemos de inmediato, sino pensemos en lo que debemos hacer. Sugeriré hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta "hermosa", necesitamos obtener una potencia de tres (¿por qué sería eso, eh?). Y tratemos de adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (comenzaré a adivinar a partir de las potencias de tres).

Primera suposición. no es una raíz. Ay y ah...

.
El lado izquierdo es igual.
Parte derecha: !
¡Hay! Adivinó la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!

¿Conoces el esquema de división de "esquina"? Por supuesto que lo sabes, lo usas cuando divides un número por otro. Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con polinomios. Hay un teorema maravilloso:

Aplicable a mi situación me dice lo que es divisible sin resto por. ¿Cómo se lleva a cabo la división? Así es como:

Observo qué monomio debo multiplicar para obtener Clear, luego:

Resto la expresión resultante de, obtengo:

Ahora, ¿qué necesito multiplicar para obtener? Está claro que encendido, luego obtendré:

y de nuevo restamos la expresión resultante de la restante:

Bueno, el último paso, lo multiplico y resto de la expresión restante:

¡Hurra, la división ha terminado! ¿Qué hemos acumulado en privado? Por sí mismo: .

Entonces obtuvimos la siguiente expansión del polinomio original:

Resolvamos la segunda ecuación:

Tiene raíces:

Entonces la ecuación original:

tiene tres raíces:

Por supuesto, descartamos la última raíz, ya que es menor que cero. Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:

Respuesta: ..

Con este ejemplo, no quería asustarte en absoluto, sino que me propuse mostrar que, aunque teníamos un reemplazo bastante simple, sin embargo, conducía a una ecuación bastante compleja, cuya solución requería algunas habilidades especiales de nuestra parte. . Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el cambio en este caso fue bastante obvio.

Aquí hay un ejemplo con una sustitución un poco menos obvia:

No está nada claro lo que debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos diferentes bases y un fundamento no se obtiene de otro elevándolo a ningún grado (razonable, naturalmente). Sin embargo, ¿qué vemos? Ambas bases difieren solo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:

Definición:

Así, los números que son bases en nuestro ejemplo son conjugados.

En ese caso, el movimiento inteligente sería multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.

Por ejemplo, encendido, entonces el lado izquierdo de la ecuación se volverá igual y el lado derecho. Si hacemos un reemplazo, entonces nuestra ecuación original contigo será así:

sus raíces, entonces, pero recordando eso, lo entendemos.

Respuesta: , .

Como regla general, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales de la "escuela". Las siguientes tareas se toman del USE C1 ( nivel elevado dificultades). Ya eres lo suficientemente alfabetizado para resolver estos ejemplos por tu cuenta. Solo daré el reemplazo requerido.

Resuelve la ecuación:
Encuentra las raíces de la ecuación:
Resuelve la ecuación: . Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:

Ahora, algunas explicaciones y respuestas rápidas:

Aquí basta señalar que y. Entonces la ecuación original será equivalente a esta: Esta ecuación se resuelve reemplazando Haz los siguientes cálculos tú mismo. Al final, tu tarea se reducirá a resolver la trigonometría más simple (dependiendo del seno o coseno). Discutiremos la solución de tales ejemplos en otras secciones.
Aquí incluso puede prescindir de un reemplazo: simplemente mueva el sustraendo a la derecha y represente ambas bases mediante potencias de dos: y luego vaya inmediatamente a la ecuación cuadrática.
La tercera ecuación también se resuelve de una forma bastante estándar: imagina cómo. Entonces, reemplazando obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,
¿Ya sabes lo que es un logaritmo? ¿No? ¡Entonces lea urgentemente el tema!

La primera raíz, obviamente, no pertenece al segmento, ¡y la segunda es incomprensible! ¡Pero lo descubriremos muy pronto! Ya que, entonces (¡esta es una propiedad del logaritmo!) comparemos:

Restamos de ambas partes, luego obtenemos:

El lado izquierdo se puede representar como:

multiplica ambos lados por:

puede ser multiplicado por, entonces

Entonces comparemos:

desde entonces:

Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo deseado

Respuesta:

Como ves, la selección de las raíces de las ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento bastante profundo de las propiedades de los logaritmos, por lo que te aconsejo que seas lo más cuidadoso posible al resolver ecuaciones exponenciales. Como sabes, en matemáticas ¡todo está interconectado! Como solía decir mi profesor de matemáticas: "No puedes leer matemáticas como historia de la noche a la mañana".

Por regla general, todos la dificultad para resolver los problemas C1 es precisamente la selección de las raíces de la ecuación. Practiquemos con otro ejemplo:

Está claro que la ecuación en sí se resuelve de manera bastante simple. Habiendo hecho la sustitución, reducimos nuestra ecuación original a la siguiente:

Veamos primero la primera raíz. Comparar y: desde entonces. (propiedad función logarítmica, en). Entonces está claro que la primera raíz tampoco pertenece a nuestro intervalo. Ahora la segunda raíz: . Está claro que (ya que la función es creciente). Queda por comparar y

ya que, entonces, al mismo tiempo. Por lo tanto, puedo "clavar una clavija" entre y. Esta clavija es un número. La primera expresión es menor que y la segunda es mayor que. Entonces la segunda expresión es mayor que la primera y la raíz pertenece al intervalo.

Respuesta: .

En conclusión, veamos otro ejemplo de una ecuación en la que el reemplazo no es estándar:

Comencemos de inmediato con lo que puede hacer y lo que, en principio, puede, pero es mejor no hacerlo. Es posible: representar todo a través de los poderes de tres, dos y seis. ¿Adónde lleva? Sí, y no conducirá a nada: una mezcolanza de grados, algunos de los cuales serán bastante difíciles de eliminar. ¿Qué se necesita entonces? Notemos que a ¿Y qué nos dará? ¡Y el hecho de que podamos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple! Primero, reescribamos nuestra ecuación como:

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación resultante en:

¡Eureka! Ahora que podemos reemplazar, obtenemos:

Bueno, ahora es tu turno de resolver problemas para demostración, ¡y solo les daré breves comentarios para que no te desvíes! ¡Buena suerte!

1. ¡Lo más difícil! Ver un reemplazo aquí es ¡ay, qué feo! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando asignación cuadrado completo . Para solucionarlo, basta señalar que:

Así que aquí está tu reemplazo:

(Tenga en cuenta que aquí, con nuestro reemplazo, no podemos descartar la raíz negativa! ¿Y por qué, qué opinan?)

Ahora, para resolver el ejemplo, tienes que resolver dos ecuaciones:

Ambos se resuelven con el "reemplazo estándar" (¡pero el segundo en un ejemplo!)

2. Observe eso y haga una sustitución.

3. Expande el número en factores coprimos y simplifica la expresión resultante.

4. Divide el numerador y el denominador de la fracción entre (o si lo prefieres) y realiza la sustitución o.

5. Tenga en cuenta que los números y son conjugados.

ECUACIONES EXPOSICIONALES. NIVEL AVANZADO

Además, veamos otra forma: solución de ecuaciones exponenciales por el método del logaritmo. No puedo decir que la solución de ecuaciones exponenciales por este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a decisión correcta nuestra ecuación. Especialmente a menudo se usa para resolver los llamados " ecuaciones mixtas': es decir, aquellos donde hay funciones de diferente tipo.

Por ejemplo, una ecuación como:

en el caso general, solo se puede resolver tomando el logaritmo de ambas partes (por ejemplo, en base), en la que la ecuación original se convierte en la siguiente:

Consideremos el siguiente ejemplo:

Está claro que solo nos interesa la ODZ de la función logarítmica. Sin embargo, esto se deduce no solo de la ODZ del logaritmo, sino por otra razón. Creo que no te será difícil adivinar cuál.

Llevemos el logaritmo de ambos lados de nuestra ecuación a la base:

Como puede ver, tomar el logaritmo de nuestra ecuación original nos llevó rápidamente a la respuesta correcta (¡y hermosa!). Practiquemos con otro ejemplo:

Aquí tampoco hay de qué preocuparse: tomamos el logaritmo de ambos lados de la ecuación en términos de la base, luego obtenemos:

Hagamos un reemplazo:

Sin embargo, ¡nos perdimos algo! ¿Notaste dónde cometí un error? Después de todo, entonces:

que no cumple con el requisito (¡piense de dónde vino!)

Respuesta:

Trate de escribir la solución de las siguientes ecuaciones exponenciales:

Ahora comprueba tu solución con esto:

1. Logaritmamos ambas partes a la base, dado que:

(la segunda raíz no nos conviene debido al reemplazo)

2. Logaritmo a la base:

Transformemos la expresión resultante a la siguiente forma:

ECUACIONES EXPOSICIONALES. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULA BÁSICA

ecuación exponencial

Tipo ecuación:

llamado la ecuación exponencial más simple.

Propiedades de grado

Enfoques de solución

Reducción a la misma base
Reducción al mismo exponente
Sustitución de variables
Simplifica la expresión y aplica una de las anteriores.

Al canal de youtube de nuestro sitio web para estar al tanto de todas las nuevas lecciones en video.

Primero, recordemos las fórmulas básicas de los grados y sus propiedades.

producto de un numero a ocurre sobre sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. un norte un metro = un norte + metro

4. (un n) m = un nm

5. un norte segundo norte = (ab) norte

7. a n / a m \u003d a n - m

Ecuaciones de potencia o exponenciales- estas son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes), y la base es un número.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

V este ejemplo el número 6 es la base, siempre está en la parte inferior, y la variable X grado o medida.

Demos más ejemplos de ecuaciones exponenciales.
2 x * 5 = 10
16x-4x-6=0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x = 2 3

Tal ejemplo se puede resolver incluso en la mente. Se puede ver que x=3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debe colocar el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo se debe tomar esta decisión:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver esta ecuación, eliminamos mismos motivos(es decir, doses) y anotó lo que sobraba, estos son grados. Tenemos la respuesta que estábamos buscando.

Ahora resumamos nuestra solución.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesito verificar lo mismo si las bases de la ecuación a la derecha ya la izquierda. Si los motivos no son los mismos, estamos buscando opciones para resolver este ejemplo.
2. Después de que las bases sean iguales, equiparar grado y resolver la nueva ecuación resultante.

Ahora resolvamos algunos ejemplos:

Comencemos de forma sencilla.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus grados.

x+2=4 Ha resultado la ecuación más simple.
x=4 - 2
x=2
Respuesta: x=2

En el siguiente ejemplo, puedes ver que las bases son diferentes, estas son 3 y 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Para empezar, trasladamos el nueve al lado derecho, obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9=3 2 . Usemos la fórmula de la potencia (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2)x + 8

Obtenemos 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ahora puedes ver que a la izquierda y lado derecho las bases son iguales e iguales a tres, lo que significa que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x=2x+16 obtuvo la ecuación más simple
3x-2x=16
x=16
Respuesta: x=16.

Veamos el siguiente ejemplo:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

En primer lugar, nos fijamos en las bases, las bases son diferentes dos y cuatro. Y tenemos que ser iguales. Transformamos el cuádruple según la fórmula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Y también usamos una fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Añadir a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dimos un ejemplo por las mismas razones. Pero nos interfieren otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si observa de cerca, puede ver que en el lado izquierdo repetimos 2 2x, aquí está la respuesta: podemos poner 2 2x fuera de paréntesis:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda la ecuación por 6:

Imagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases son iguales, descartarlas e igualar los grados.
2x \u003d 2 resultó ser la ecuación más simple. Lo dividimos por 2, obtenemos
X = 1
Respuesta: x = 1.

Resolvamos la ecuación:

9x - 12*3x +27= 0

Transformemos:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nuestras bases son iguales, igual a 3. En este ejemplo, es claro que el primer triple tiene un grado dos veces (2x) que el segundo (solo x). En este caso, puede decidir método de sustitución. El número de menor grado se reemplaza por:

Entonces 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Reemplazamos todos los grados con x en la ecuación con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolvemos a través del discriminante, obtenemos:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Volver a variables X.

Tomamos t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Es decir,

3x = 9
3 x = 3 2
x1 = 2

Se encontró una raíz. Buscamos el segundo, de t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x2 = 1
Respuesta: x 1 \u003d 2; x2 = 1.

En el sitio puede en la sección AYUDAR A DECIDIR para hacer preguntas de interés, definitivamente le responderemos.

Únete a un grupo

1º. ecuaciones exponenciales nombrar ecuaciones que contienen una variable en el exponente.

La solución de ecuaciones exponenciales se basa en la propiedad de las potencias: dos potencias con la misma base son iguales si y solo si sus exponentes son iguales.

2º. Maneras básicas de resolver ecuaciones exponenciales:

1) la ecuación más simple tiene solución;

2) una ecuación de la forma por logaritmo a la base a recordar;

3) la ecuación de la forma es equivalente a la ecuación ;

4) una ecuación de la forma es equivalente a la ecuación.

5) una ecuación de la forma a través de un reemplazo se reduce a una ecuación, y luego se resuelve un conjunto de ecuaciones exponenciales más simples;

6) ecuación con cantidades recíprocas por reemplazo, reduzca a la ecuación y luego resuelva el conjunto de ecuaciones;

7) ecuaciones homogéneas con respecto a una g(x) y b g (x) previsto amable a través de la sustitución reducir a la ecuación, y luego resolver el conjunto de ecuaciones.

Clasificación de ecuaciones exponenciales.

1. Ecuaciones resueltas por transición a una base.

Ejemplo 18. Resuelve la ecuación .

Solución: Aprovechemos que todas las bases de potencias son potencias de 5: .

2. Ecuaciones resueltas pasando a un exponente.

Estas ecuaciones se resuelven transformando la ecuación original a la forma , que se reduce a su forma más simple usando la propiedad de la proporción.

Ejemplo 19. Resuelve la ecuación:

3. Ecuaciones resueltas poniendo entre paréntesis el factor común.

Si en la ecuación cada exponente difiere del otro en algún número, entonces las ecuaciones se resuelven poniendo entre paréntesis el grado con el exponente más pequeño.

Ejemplo 20. Resuelve la ecuación.

Solución: Pongamos el grado con el menor exponente entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación:

Ejemplo 21. Resuelve la ecuación

Solución: Agrupamos por separado en el lado izquierdo de la ecuación los términos que contienen grados con base 4, en el lado derecho - con base 3, luego ponemos los grados con el menor exponente entre paréntesis:

4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas (o cúbicas).

Las siguientes ecuaciones se reducen a una ecuación cuadrática con respecto a la nueva variable y:

a) el tipo de sustitución, mientras que;

b) el tipo de sustitución , mientras que .

Ejemplo 22. Resuelve la ecuación .

Solución: Hagamos un cambio de variable y resolvamos la ecuación cuadrática:

Respuesta: 0; una.

5. Ecuaciones homogéneas con respecto a funciones exponenciales.

La ecuación de vista es ecuación homogénea segundo grado relativo a desconocido una x y b x. Tales ecuaciones se reducen mediante la división preliminar de ambas partes y la subsiguiente sustitución a ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 23. Resuelve la ecuación.

Solución: Divide ambos lados de la ecuación por:

Poniendo , obtenemos una ecuación cuadrática con raíces .

Ahora el problema se reduce a resolver el conjunto de ecuaciones . De la primera ecuación, encontramos que . La segunda ecuación no tiene raíces, ya que para cualquier valor X.

Respuesta: -1/2.

6. Ecuaciones racionales con respecto a funciones exponenciales.

Ejemplo 24. Resuelve la ecuación.

Solución: Divide el numerador y el denominador de la fracción por 3x y obtener en lugar de dos - uno funcion exponencial:

7. Ecuaciones de la forma .

Tales ecuaciones con un conjunto valores permitidos(ODZ), determinada por la condición , al tomar el logaritmo de ambas partes de la ecuación se reducen a una ecuación equivalente , que a su vez son equivalentes a la combinación de dos ecuaciones o .

Ejemplo 25. Resuelve la ecuación:.

material didáctico.

Resuelve las ecuaciones:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Encuentra el producto de las raíces de la ecuación .

27. Encuentra la suma de las raíces de la ecuación .

Encuentre el valor de la expresión:

28. , donde x0- raíz de la ecuación;

29. , donde x0 es la raíz de la ecuación .

Resuelve la ecuación:

31. ; 32. .

Respuestas: 10; 2.-2/9; 3. 1/36; 4,0, 0,5; 50; 6,0; 7.-2; 8.2; 9.1, 3; 10,8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16.-2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20.-1, 0; 21.-2, 2; 22.-2, 2; 23,4; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28,11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31.; 32. .

Tema número 8.

desigualdades exponenciales.

1º. Una desigualdad que contiene una variable en el exponente se llama desigualdad ejemplar.

2º. Solución desigualdades exponenciales especie basada en las siguientes declaraciones:

si , entonces la desigualdad es equivalente a ;

si , entonces la desigualdad es equivalente a .

Al resolver desigualdades exponenciales, se utilizan las mismas técnicas que al resolver ecuaciones exponenciales.

Ejemplo 26. Resuelve la desigualdad (método de transición a una base).

Solución: porque , entonces la desigualdad dada se puede escribir como: . Como , esta desigualdad es equivalente a la desigualdad .

Resolviendo la última desigualdad, obtenemos .

Ejemplo 27. Resuelve la desigualdad: ( el método de sacar el factor común fuera de paréntesis).

Solución: Quitamos los paréntesis del lado izquierdo de la desigualdad, del lado derecho de la desigualdad y dividimos ambos lados de la desigualdad por (-2), cambiando el signo de la desigualdad al contrario:

Dado que , luego en la transición a la desigualdad de indicadores, el signo de la desigualdad cambia nuevamente al contrario. Obtenemos . Así, el conjunto de todas las soluciones de esta desigualdad es el intervalo .

Ejemplo 28. Resuelve la desigualdad ( método de introducción de una nueva variable).

Solución: Sea . Entonces esta desigualdad toma la forma: o , cuya solución es el intervalo .

De aquí. Como la función es creciente, entonces .

material didáctico.

Especifique el conjunto de soluciones a la desigualdad:

1. ; 2. ; 3. ;

6. ¿A qué valores X¿Están los puntos de la gráfica de la función debajo de la línea?

7. ¿A qué valores X¿Los puntos de la gráfica de la función no están debajo de la línea?

Resuelve la desigualdad:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Indica la solución entera más grande de la desigualdad .

14. Encuentra el producto de las soluciones enteras más grandes y las más pequeñas de la desigualdad .

Resuelve la desigualdad:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Encuentre el alcance de la función:

27. ; 28. .

29. Encuentra el conjunto de valores de argumentos para los cuales los valores de cada una de las funciones son mayores que 3:

y .

Respuestas: 11,3; 12,3; 13.-3; 14,1; 15. (0; 0,5); dieciséis. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20.(0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0.5; +∞); 23.(0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) obtenemos que \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Además, usando la propiedad de grado \((a^b)^c=a^(bc)\), obtenemos \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3\cdot\frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

También sabemos que \(a^b a^c=a^(b+c)\). Aplicando esto al lado izquierdo, obtenemos: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Ahora recuerda que: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Esta fórmula también se puede usar a la inversa: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Entonces \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

Aplicando la propiedad \((a^b)^c=a^(bc)\) al lado derecho, obtenemos: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

Y ahora tenemos las bases iguales y no hay coeficientes de interferencia, etc. Entonces podemos hacer la transición.

Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Solución:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Nuevamente usamos la propiedad de grado \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) en la dirección opuesta.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Ahora recuerda que \(4=2^2\).
\((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Usando las propiedades del grado, transformamos: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\)		Observamos cuidadosamente la ecuación y vemos que el reemplazo \(t=2^x\) se sugiere aquí.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Sin embargo, encontramos los valores \(t\), y necesitamos \(x\). Volvemos a la X, haciendo la sustitución inversa.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Transforme la segunda ecuación usando la propiedad de potencia negativa...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...y resolver hasta la respuesta.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Respuesta : \(-1; 1\).

La pregunta sigue siendo: ¿cómo entender cuándo aplicar qué método? Viene con la experiencia. Mientras tanto, si no lo ha resuelto, use la recomendación general para resolver problemas complejos: "si no sabe qué hacer, haga lo que pueda". Es decir, busca cómo puedes transformar la ecuación en principio, e intenta hacerlo, ¿y si sale? Lo principal es hacer solo transformaciones matemáticamente justificadas.

ecuaciones exponenciales sin soluciones

Veamos dos situaciones más que a menudo desconciertan a los estudiantes:
- un número positivo elevado a cero, por ejemplo, \(2^x=0\);
- un número positivo a la potencia es igual a un número negativo, por ejemplo, \(2^x=-4\).

Tratemos de resolverlo por la fuerza bruta. Si x es un número positivo, a medida que x crece, la potencia entera \(2^x\) solo crecerá:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

También pasado. Hay x negativas. Recordando la propiedad \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificamos:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

A pesar de que el número se vuelve más pequeño con cada paso, nunca llegará a cero. Así que el grado negativo tampoco nos salvó. Llegamos a una conclusión lógica:

Un número positivo elevado a cualquier potencia seguirá siendo un número positivo.

Por lo tanto, ambas ecuaciones anteriores no tienen solución.

ecuaciones exponenciales con diferentes bases

En la práctica, a veces hay ecuaciones exponenciales con diferentes bases que no son reducibles entre sí, y al mismo tiempo con los mismos exponentes. Se ven así: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), donde \(a\) y \(b\) son números positivos.

Por ejemplo:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Tales ecuaciones se pueden resolver fácilmente dividiendo por cualquiera de las partes de la ecuación (generalmente dividiendo por el lado derecho, es decir, por \ (b ^ (f (x))) \). Puede dividir de esta manera, porque un positivo número es positivo en cualquier grado (es decir, no se divide por cero). Obtenemos:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Solución:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Aquí no podemos convertir un cinco en un tres, o viceversa (al menos sin usar). Entonces no podemos llegar a la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Al mismo tiempo, los indicadores son los mismos. Dividamos la ecuación por el lado derecho, es decir, por \(3^(x+7)\) (podemos hacer esto, porque sabemos que el triple no será cero en ningún grado).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Ahora recuerda la propiedad \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) y utilízala desde la izquierda en la dirección opuesta. A la derecha, simplemente reducimos la fracción.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		No parecía mejorar. Pero recuerda otra propiedad del grado: \(a^0=1\), en otras palabras: "cualquier número elevado a cero es igual a \(1\)". Lo contrario también es cierto: "una unidad puede representarse como cualquier número elevado a la potencia de cero". Usamos esto haciendo que la base de la derecha sea igual a la de la izquierda.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		¡Voila! Nos deshacemos de los cimientos.
		Escribimos la respuesta.

Respuesta : \(-7\).

A veces, la "igualdad" de los exponentes no es obvia, pero el uso hábil de las propiedades del grado resuelve este problema.

Ejemplo . Resuelve la ecuación exponencial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Solución:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		La ecuación se ve bastante triste... No solo las bases no se pueden reducir al mismo número (siete no será igual a \(\frac(1)(3)\)), sino que además los indicadores son diferentes... Sin embargo, usemos el exponente izquierdo dos.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Teniendo en cuenta la propiedad \((a^b)^c=a^(b c)\) , transforme a la izquierda: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Ahora, recordando la propiedad de la potencia negativa \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformamos a la derecha: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		¡Aleluya! ¡Las puntuaciones son las mismas! Actuando de acuerdo con el esquema que ya nos es familiar, decidimos antes de la respuesta.

Respuesta : \(2\).