En la actualidad, según el nivel básico de estudio de las matemáticas, solo se brindan 4 horas para estudiar matemáticas en la escuela secundaria (2 horas de álgebra, 2 horas de geometría). En las escuelas pequeñas rurales se intenta aumentar el número de horas a expensas del componente escolar. Pero si la clase es humanitaria, entonces se agrega el componente escolar para estudiar materias humanitarias. En un pequeño pueblo, muchas veces un escolar no tiene que elegir, estudia en esa clase; lo que está disponible en la escuela. No se va a convertir en abogado, historiador o periodista (existen esos casos), pero quiere convertirse en ingeniero o economista, por lo que el examen de matemáticas debe aprobar con puntajes altos. En tales circunstancias, el profesor de matemáticas tiene que encontrar su propia salida a esta situación, además, según el libro de texto de Kolmogorov, no se proporciona el estudio del tema "ecuaciones homogéneas". En años pasados, para introducir este tema y reforzarlo, necesitaba dos lecciones dobles. Desafortunadamente, el control de supervisión educativa en nuestra escuela prohibió las lecciones dobles, por lo que la cantidad de ejercicios tuvo que reducirse a 45 minutos y, en consecuencia, el nivel de dificultad de los ejercicios se redujo a medio. Traigo a su atención un plan de lección sobre este tema en el grado 10 con un nivel básico de matemáticas en una escuela rural, pobremente equipada.
tipo de lección: tradicional.
Objetivo: aprender a resolver ecuaciones homogéneas típicas.
Tareas:
cognitivo:
Educativo:
Educativo:
- Educación de la diligencia a través del desempeño paciente de las tareas, un sentido de camaradería a través del trabajo en parejas y grupos.
durante las clases
I. Organizativo escenario(3 minutos)
II. Comprobación de los conocimientos necesarios para asimilar nuevo material (10 min.)
Identificar las principales dificultades con un mayor análisis de las tareas realizadas. Los niños tienen 3 opciones para elegir. Tareas diferenciadas por el grado de complejidad y el nivel de preparación de los niños, seguidas de una explicación en la pizarra.
1 nivel. Resuelve las ecuaciones:
- 3(x+4)=12,
- 2(x-15)=2x-30
- 5(2-x)=-3x-2(x+5)
- x 2 -10x+21=0 Respuestas: 7;3
2 nivel. Resuelve lo más simple ecuaciones trigonométricas y bi ecuación cuadrática: 
respuestas: 
b) x 4 -13x 3 +36=0 Respuestas: -2; 2; -3; 3
3er nivel Resolución de ecuaciones por el método de cambio de variables:
b) x 6 -9x 3 +8=0 Respuestas:
tercero Temas del mensaje, establecimiento de metas y objetivos.
Tema: Ecuaciones homogéneas
Objetivo: aprende a resolver ecuaciones homogéneas típicas
Tareas:
cognitivo:
- familiarícese con ecuaciones homogéneas, aprenda a resolver los tipos más comunes de tales ecuaciones.
Educativo:
- Desarrollo del pensamiento analítico.
- Desarrollo de habilidades matemáticas: aprender a resaltar las principales características por las que las ecuaciones homogéneas se diferencian de otras ecuaciones, ser capaz de establecer similitudes ecuaciones homogéneas en sus diversas manifestaciones.
IV. Asimilación de nuevos conocimientos (15 min.)
1. Momento de la lección.
Definición 1(Escribir en cuaderno). Una ecuación de la forma P(x;y)=0 se llama homogénea si P(x;y) es un polinomio homogéneo.
Un polinomio de dos variables x e y se llama homogéneo si el grado de cada uno de sus términos es igual al mismo número k.
Definición 2(Solo una introducción). Ecuaciones de la forma
se llama ecuación homogénea de grado n con respecto a u(x) y v(x). Al dividir ambos lados de la ecuación por (v(x))n, podemos usar la sustitución para obtener la ecuación
Esto simplifica la ecuación original. El caso v(x)=0 debe considerarse por separado, ya que es imposible dividir por 0.
2. Ejemplos de ecuaciones homogéneas:
Explique por qué son homogéneas, dé sus propios ejemplos de tales ecuaciones.
3. Tarea para la definición de ecuaciones homogéneas:
Entre las ecuaciones dadas, determine ecuaciones homogéneas y explique su elección:
Después de explicar su elección en uno de los ejemplos, muestre una forma de resolver una ecuación homogénea:
4. Decide por tu cuenta:
Responder: 
b) 2sen x - 3 cos x \u003d 0
Divida ambos lados de la ecuación por cos x, obtenemos 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Mostrar solución de ejemplo de folleto“P. V. Chulkov. Ecuaciones y desigualdades en el curso escolar de matemáticas. Universidad Pedagógica de Moscú "Primero de septiembre" 2006 p.22. Como un posible ejemplo nivel de USO DESDE.
V. Resolver para consolidar según el libro de texto de Bashmakov
P. 183 No. 59 (1.5) o según el libro de texto editado por Kolmogorov: P. 81 No. 169 (a, c)
respuestas: 
VI. Comprobación, trabajo independiente (7 min.)
| 1 opción | opcion 2 |
| Resolver ecuaciones: | |
| a) sen 2 x-5senxcosx + 6cos 2 x \u003d 0 | a) 3sen 2 x+2sen x cos x-2cos 2 x=0 |
b) cos 2 -3sen 2 \u003d 0 |
B) |
Respuestas a las tareas:
Opción 1 a) Respuesta: arctg2+πn,n € Z; b) Respuesta: ±π/2+ 3πn,n € Z; en) 
Opción 2 a) Respuesta: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Respuesta: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)
VII. Tarea
No. 169 según Kolmogorov, No. 59 según Bashmakov.
2) 3sen 2 x+2sen x cos x =2 Nota: en el lado derecho usa la identidad trigonométrica básica 2(sen 2 x + cos 2 x)
Respuesta: arctg(-1±√3) +πn ,
Referencias:
- PV Chulkov. Ecuaciones y desigualdades en el curso escolar de matemáticas. - M.: Universidad Pedagógica “Primero de Septiembre”, 2006. p.22
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometría. - M.: "AST-PRESS", 1998, pág. 389
- Álgebra para grado 8, editado por N.Ya. Vilenkin. - M .: "Ilustración", 1997.
- Álgebra para grado 9, editado por N.Ya. Vilenkin. Moscú "Ilustración", 2001.
- MI. Bashmákov. El álgebra y los comienzos del análisis. Para los grados 10-11 - M .: "Iluminación" 1993
- Kolmogorov, Abramov, Dudnitsin. El álgebra y los comienzos del análisis. Para 10-11 grados. - M .: "Ilustración", 1990.
- AG Mordkovich. El álgebra y los comienzos del análisis. Parte 1 Libro de texto 10-11 grados. - M.: "Mnemósine", 2004.
¡Detener! Tratemos de todos modos de entender esta fórmula engorrosa.
En primer lugar debe ser la primera variable en el grado con algún coeficiente. En nuestro caso, este
En nuestro caso lo es. Como descubrimos, significa que aquí converge el grado de la primera variable. Y la segunda variable en primer grado está en su lugar. Coeficiente.
Lo tenemos.
La primera variable es exponencial, y la segunda variable está al cuadrado, con un coeficiente. Este es el último término de la ecuación.
Como puede ver, nuestra ecuación se ajusta a la definición en forma de fórmula.
Veamos la segunda parte (verbal) de la definición.
Tenemos dos incógnitas y. Aquí converge.
Consideremos todos los términos. En ellos, la suma de los grados de las incógnitas debe ser la misma.
La suma de las potencias es igual.
La suma de las potencias es igual a (at y at).
La suma de las potencias es igual.
Como puedes ver, ¡todo encaja!
Ahora practiquemos la definición de ecuaciones homogéneas.
Determina cuáles de las ecuaciones son homogéneas:
Ecuaciones homogéneas - ecuaciones con números:
Consideremos la ecuación por separado.
Si dividimos cada término expandiendo cada término, obtenemos
Y esta ecuación cae completamente bajo la definición de ecuaciones homogéneas.
¿Cómo resolver ecuaciones homogéneas?
Ejemplo 2
Dividamos la ecuación por.
Según nuestra condición, y no puede ser igual. Por lo tanto, podemos dividir con seguridad por
Sustituyendo, obtenemos una ecuación cuadrática simple:
Como esta es una ecuación cuadrática reducida, usamos el teorema de Vieta:
Haciendo la sustitución inversa, obtenemos la respuesta
Responder:
Ejemplo 3
Divide la ecuación entre (por condición).
Responder:
Ejemplo 4
Encuentra si.
Aquí no necesitas dividir, sino multiplicar. Multiplica toda la ecuación por:
Hagamos un reemplazo y resolvamos la ecuación cuadrática:
Haciendo la sustitución inversa, obtenemos la respuesta:
Responder:
Solución de ecuaciones trigonométricas homogéneas.
La solución de ecuaciones trigonométricas homogéneas no es diferente de los métodos de solución descritos anteriormente. Solo que aquí, entre otras cosas, necesitas saber un poco de trigonometría. Y ser capaz de resolver ecuaciones trigonométricas (para ello puedes leer el apartado).
Consideremos tales ecuaciones en ejemplos.
Ejemplo 5
Resuelve la ecuación.
Vemos una típica ecuación homogénea: y son incógnitas, y la suma de sus potencias en cada término es igual.
Las ecuaciones homogéneas similares no son difíciles de resolver, pero antes de dividir las ecuaciones, considere el caso cuando
En este caso, la ecuación tomará la forma: Pero el seno y el coseno no pueden ser iguales al mismo tiempo, porque de acuerdo con las principales identidad trigonométrica. Por lo tanto, podemos dividirlo con seguridad en:
Dado que la ecuación se reduce, entonces de acuerdo con el teorema de Vieta:
Responder:
Ejemplo 6
Resuelve la ecuación.
Como en el ejemplo, necesitas dividir la ecuación por. Considere el caso cuando:
Pero el seno y el coseno no pueden ser iguales al mismo tiempo, porque de acuerdo con la identidad trigonométrica básica. Es por eso.
Hagamos una sustitución y resolvamos la ecuación cuadrática:
Hagamos la sustitución inversa y encontremos y:
Responder:
Solución de ecuaciones exponenciales homogéneas.
Las ecuaciones homogéneas se resuelven de la misma manera que las consideradas anteriormente. Si olvidaste cómo decidir ecuaciones exponenciales- ver la sección correspondiente ()!
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 7
Resuelve la ecuación
Imagina cómo:
Vemos una típica ecuación homogénea, con dos variables y una suma de potencias. Dividamos la ecuación en:
Como puede ver, después de hacer el reemplazo, obtenemos la ecuación cuadrática dada (en este caso, no hay necesidad de tener miedo de dividir por cero, siempre es estrictamente mayor que cero):
Según el teorema de Vieta:
Responder: .
Ejemplo 8
Resuelve la ecuación
Imagina cómo:
Dividamos la ecuación en:
Hagamos un reemplazo y resolvamos la ecuación cuadrática:
La raíz no cumple la condición. Hacemos la sustitución inversa y encontramos:
Responder:
ECUACIONES HOMOGÉNEAS. NIVEL PROMEDIO
Primero, usando un ejemplo de un problema, déjame recordarte que son ecuaciones homogeneas y cual es la solucion de ecuaciones homogeneas.
Resolver el problema:
Encuentra si.
Aquí puedes notar una cosa curiosa: si dividimos cada término por, obtenemos:
Es decir, ahora no hay separado y, ahora el valor deseado es la variable en la ecuación. Y esta es una ecuación cuadrática ordinaria, que es fácil de resolver usando el teorema de Vieta: el producto de las raíces es igual, y la suma es los números y.
Responder:
Ecuaciones de la forma
llamado homogéneo. Es decir, esta es una ecuación con dos incógnitas, en cada término de los cuales existe la misma suma de las potencias de estas incógnitas. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, esta cantidad es igual a. La solución de ecuaciones homogéneas se realiza dividiendo por una de las incógnitas en este grado:
Y el posterior cambio de variables: . Así, obtenemos una ecuación de grado con una incógnita:
La mayoría de las veces, encontraremos ecuaciones de segundo grado (es decir, cuadráticas) y podemos resolverlas:
Tenga en cuenta que dividir (y multiplicar) la ecuación completa por una variable solo es posible si estamos convencidos de que esta variable no puede ser igual a cero. Por ejemplo, si se nos pide encontrar, inmediatamente lo entendemos, ya que es imposible dividir. En los casos en que esto no sea tan obvio, es necesario verificar por separado el caso cuando esta variable es igual a cero. Por ejemplo:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Vemos aquí una típica ecuación homogénea: y son incógnitas, y la suma de sus potencias en cada término es igual.
Pero, antes de dividir y obtener la ecuación cuadrática con respecto, debemos considerar el caso cuando. En este caso, la ecuación tomará la forma: , por lo tanto, . Pero el seno y el coseno no pueden ser iguales a cero al mismo tiempo, porque de acuerdo con la identidad trigonométrica básica:. Por lo tanto, podemos dividirlo con seguridad en:
Espero que esta solución sea completamente clara. Si no, lea la sección. Si no está claro de dónde vino, debe regresar incluso antes, a la sección.
Decide por ti mismo:
- Encuentra si.
- Encuentra si.
- Resuelve la ecuación.
Aquí escribiré brevemente directamente la solución de ecuaciones homogéneas:
Soluciones:
Responder: .
Y aquí es necesario no dividir, sino multiplicar:
Responder:
Si aún no ha repasado las ecuaciones trigonométricas, puede omitir este ejemplo.
Como aquí tenemos que dividir por, primero nos aseguraremos de que no cero:
Y esto es imposible.
Responder: .
ECUACIONES HOMOGÉNEAS. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES
La solución de todas las ecuaciones homogéneas se reduce a la división por una de las incógnitas en el grado y posterior cambio de variables.
Algoritmo:
Ecuación diferencial homogénea de primer orden
es una ecuación de la forma
, donde f es una función.
Cómo definir una ecuación diferencial homogénea
Para determinar si una ecuación diferencial de primer orden es homogénea, se debe introducir una constante t y reemplazar y con ty yx con tx : y → ty , x → tx . Si t se reduce, entonces esto ecuación diferencial homogénea. La derivada y′ no cambia bajo tal transformación.
.
Ejemplo
Determinar si la ecuación dada es homogénea
Solución
Hacemos el cambio y → ty, x → tx.
dividir por t 2
.
.
La ecuación no contiene t . Por lo tanto, esta es una ecuación homogénea.
Método para resolver una ecuación diferencial homogénea
Una ecuación diferencial homogénea de primer orden se reduce a una ecuación con variables separables usando la sustitución y = ux. Mostrémoslo. Considere la ecuación:
(I)
Hacemos una sustitución:
y = ux
donde u es una función de x . Diferenciar con respecto a x:
y' =
Sustituimos en la ecuación original (I).
,
,
(ii) .
Variables separadas. Multiplicar por dx y dividir por x ( f(u) - tu ).
para f (u) - tu ≠ 0 y x ≠ 0
obtenemos:
Integramos:
Así, hemos obtenido la integral general de la ecuación (I) en cuadrados:
Sustituimos la constante de integración C por registro C, luego
Omitimos el signo del módulo, ya que el signo deseado está determinado por la elección del signo de la constante C. Entonces la integral general tomará la forma:
A continuación, considere el caso f (u) - u = 0.
Si esta ecuación tiene raíces, entonces son una solución a la ecuación (ii). Dado que la ecuación (ii) no coincide con la ecuación original, entonces debe asegurarse de que las soluciones adicionales satisfagan la ecuación original (I).
Siempre que, en el proceso de transformaciones, dividimos cualquier ecuación por alguna función, que denotamos como g (x, y), entonces las transformaciones posteriores son válidas para g (x, y) ≠ 0. Por lo tanto, el caso g (x, y) = 0.
Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial homogénea de primer orden
resuelve la ecuación
Solución
Comprobemos si esta ecuación es homogénea. Hacemos el cambio y → ty, x → tx. En este caso, y′ → y′.
,
,
.
Reducimos en t.
La constante t se ha reducido. Por lo tanto, la ecuación es homogénea.
Hacemos una sustitución y = ux, donde u es una función de x.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Sustituir en la ecuación original.
,
,
,
.
Para x ≥ 0
, |x| = x. Para x ≤ 0
, |x| = - x . Escribimos |x| = x lo que significa que el signo superior se refiere a valores x ≥ 0
, y el inferior - a los valores x ≤ 0
.
,
Multiplique por dx y divida por .
Para ti 2 - 1 ≠ 0
tenemos:
Integramos:
integrales de tabla,
.
Apliquemos la fórmula:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Sea a = u , .
.
Tome ambas partes módulo y logaritmo,
.
De aquí
.
Así tenemos:
,
.
Omitimos el signo del módulo, ya que el signo requerido se obtiene eligiendo el signo de la constante C.
Multiplique por x y sustituya ux = y.
,
.
Vamos a cuadrarlo.
,
,
.
Ahora considere el caso, u 2 - 1 = 0
.
Las raíces de esta ecuación
.
Es fácil ver que las funciones y = x satisfacen la ecuación original.
Responder
,
,
.
Referencias:
NUEVO MÉJICO. Gunther, RO Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, Lan, 2003.
Respuestas preparadas a ejemplos para homogéneo ecuaciones diferenciales
Muchos alumnos están buscando el primer orden (DEs del 1er orden son los más comunes en el entrenamiento), luego puedes analizarlos en detalle. Pero antes de proceder a la consideración de ejemplos, le recomendamos que lea atentamente un breve material teórico.
Las ecuaciones de la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, donde las funciones P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo orden, se denominan ecuación diferencial homogénea(ODR).
Esquema para resolver una ecuación diferencial homogénea
1. Primero debe aplicar la sustitución y=z*x, donde z=z(x) es una nueva función desconocida (por lo tanto, la ecuación original se reduce a una ecuación diferencial con variables separables).
2. La derivada del producto es y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z o en diferenciales dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. A continuación, sustituimos la nueva función y y su derivada y "(o dy) en DE con variables separables con respecto a x y z .
4. Habiendo resuelto la ecuación diferencial con variables separables, haremos la sustitución inversa y=z*x, por lo tanto z= y/x, y obtenemos decisión común(integral general) de la ecuación diferencial.
5. Si se da la condición inicial y(x 0)=y 0, entonces encontramos una solución particular al problema de Cauchy. En teoría, todo suena fácil, pero en la práctica, no todos son tan divertidos para resolver ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, para profundizar el conocimiento, considere ejemplos comunes. En las tareas fáciles, no hay mucho que enseñarte, por lo que pasaremos inmediatamente a las más complejas.
Cálculos de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden
Ejemplo 1
Solución: dividir lado derecho ecuaciones para una variable que es un factor cercano a la derivada. Como resultado, llegamos a ecuación diferencial homogénea de orden 0
Y aquí se volvió interesante para muchos, ¿Cómo determinar el orden de una función de una ecuación homogénea?
La pregunta es lo suficientemente relevante, y la respuesta es la siguiente:
en el lado derecho, sustituimos el valor t*x, t*y en lugar de la función y el argumento. Al simplificar, el parámetro "t" se obtiene en un cierto grado k, y se llama el orden de la ecuación. En nuestro caso, se reducirá "t", que equivale al grado 0 o orden cero de la ecuación homogénea.
Más adelante en el lado derecho podemos pasar a la nueva variable y=zx; z=y/x.
Al mismo tiempo, no olvides expresar la derivada de "y" a través de la derivada de la nueva variable. Por la regla de las partes, encontramos 
Ecuaciones en Diferenciales tomará la forma 
Reducimos los términos conjuntos en los lados derecho e izquierdo y pasamos a ecuación diferencial con variables separadas.
Integramos ambas partes del DE 
Para la conveniencia de futuras transformaciones, introducimos inmediatamente la constante debajo del logaritmo 
De acuerdo con las propiedades de los logaritmos, el obtenido ecuación logarítmica es equivalente a lo siguiente 
Esta entrada aún no es una solución (respuesta), debe volver al cambio de variables realizado 
Así encuentran solución general de ecuaciones diferenciales. Si lee atentamente las lecciones anteriores, entonces dijimos que debería poder aplicar el esquema para calcular ecuaciones con variables separadas libremente y dichas ecuaciones deberán calcularse para tipos de control remoto más complejos.
Ejemplo 2
Encuentra la integral de una ecuación diferencial
Solución: El esquema para calcular ED homogéneos y resumidos ahora le resulta familiar. Pasamos la variable al lado derecho de la ecuación, y también en el numerador y denominador sacamos x 2 como factor común 
Por lo tanto, obtenemos una ED homogénea de orden cero.
El siguiente paso es introducir el cambio de variables z=y/x, y=z*x , que te recordaremos constantemente que memorices
Después de eso, escribimos el DE en diferenciales 
A continuación, transformamos la dependencia a ecuación diferencial con variables separadas
y resolverlo por integración. 
Las integrales son simples, el resto de las transformaciones se basan en las propiedades del logaritmo. La última acción consiste en exponer el logaritmo. Finalmente, volvemos al reemplazo original y escribimos en el formulario 
La constante "C" toma cualquier valor. Todos los que estudian en ausencia tienen problemas en los exámenes con este tipo de ecuaciones, así que por favor miren con atención y recuerden el esquema de cálculo.
Ejemplo 3
Resolver ecuación diferencial
Solución: Como se desprende de la técnica anterior, las ecuaciones diferenciales de este tipo resuelven introduciendo una nueva variable. Reescribamos la dependencia para que la derivada no tenga variable 
Además, al analizar el lado derecho, vemos que la parte -ee está presente en todas partes y se denota por la nueva incógnita
z=y/x, y=z*x.
Encontrar la derivada de y
Teniendo en cuenta el reemplazo, reescribimos el DE original en la forma 
Simplifique los mismos términos y reduzca todos los términos recibidos a DE con variables separadas
Integrando ambos lados de la igualdad 
llegamos a la solución en forma de logaritmos 
Al exponer las dependencias encontramos solución general de una ecuación diferencial
que, después de sustituir el cambio inicial de variables en él, toma la forma 
Aquí C es una constante, que se puede extender a partir de la condición de Cauchy. Si no se da el problema de Cauchy, entonces se convierte en un valor real arbitrario.
Esa es toda la sabiduría en el cálculo de ecuaciones diferenciales homogéneas.
La función f(x,y) se llama función homogénea de sus argumentos de dimensión n si la identidad f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).
Por ejemplo, la función f(x,y)=x^2+y^2-xy es una función homogénea de la segunda dimensión, ya que
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).
Para n=0 tenemos una función de dimensión cero. Por ejemplo, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) es una función homogénea de dimensión cero, ya que
(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)
Ecuación diferencial de la forma \frac(dy)(dx)=f(x,y) se dice que es homogéneo con respecto a xey si f(x,y) es una función homogénea de sus argumentos de dimensión nula. Una ecuación homogénea siempre se puede representar como
\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).
Al introducir una nueva función deseada u=\frac(y)(x), la ecuación (1) se puede reducir a una ecuación con variables de separación:
X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.
Si u=u_0 es la raíz de la ecuación \varphi(u)-u=0 , entonces la solución de la ecuación homogénea será u=u_0 o y=u_0x (la recta que pasa por el origen).
Comentario. Al resolver ecuaciones homogéneas, no es necesario reducirlas a la forma (1). Inmediatamente puede hacer la sustitución y=ux .
Ejemplo 1 Resolver una ecuación homogénea xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.
Solución. Escribimos la ecuación en la forma y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !} por lo que la ecuación dada resulta ser homogénea con respecto a xey. Pongamos u=\frac(y)(x) , o y=ux . Entonces y"=xu"+u . Sustituyendo las expresiones por y e y" en la ecuación, obtenemos x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Separación de variables: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). De aquí, por integración, encontramos
\arcsen(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), o \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).
Como C_1|x|=\pm(C_1x) , denotando \pm(C_1)=C , obtenemos \arcsen(u)=\ln(Cx), donde |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) o e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Reemplazando u con \frac(y)(x) , tendremos la integral general \arcsen(y)(x)=\ln(Cx).
Por lo tanto, la solución general: y=x\sin\ln(Cx) .
Al separar variables, dividimos ambos lados de la ecuación por el producto x\sqrt(1-u^2), por lo que podríamos perder la solución que convierte este producto en cero.
Ahora pongamos x=0 y \sqrt(1-u^2)=0 . Pero x\ne0 debido a la sustitución u=\frac(y)(x) , y de la relación \sqrt(1-u^2)=0 obtenemos que 1-\frac(y^2)(x^2)=0, de donde y=\pm(x) . Por verificación directa, estamos convencidos de que las funciones y=-x y y=x también son soluciones de esta ecuación.
Ejemplo 2 Considere la familia de curvas integrales C_\alpha de la ecuación homogénea y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Demuestre que las tangentes en los puntos correspondientes a las curvas definidas por esta ecuación diferencial homogénea son paralelas entre sí.
Nota: llamaremos pertinente aquellos puntos en las curvas C_\alpha que se encuentran en el mismo rayo a partir del origen.
Solución. Por definición de los puntos correspondientes, tenemos \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), de modo que, en virtud de la propia ecuación, y"=y"_1, donde y" e y"_1 son las pendientes de las tangentes a las curvas integrales C_\alpha y C_(\alpha_1), en los puntos M y M_1, respectivamente (Fig. 12).
Ecuaciones que se reducen a homogéneas
PERO. Considere una ecuación diferencial de la forma
\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).
donde a,b,c,a_1,b_1,c_1 son constantes y f(u) es función continua de su argumento u .
Si c=c_1=0, entonces la ecuación (3) es homogénea y se integra como arriba.
Si al menos uno de los números c,c_1 es diferente de cero, entonces se deben distinguir dos casos.
1) Determinante \Delta=\begin(vmatriz)a&b\\a_1&b_1\end(vmatriz)\ne0. Introduciendo nuevas variables \xi y \eta mediante las fórmulas x=\xi+h,~y=\eta+k , donde h y k siguen siendo constantes indefinidas, llevamos la ecuación (3) a la forma
\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\Correcto).
Elegir h y k como solución al sistema de ecuaciones lineales
\begin(casos)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(casos)~(\Delta\ne0),
obtenemos una ecuación homogénea \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Habiendo encontrado su integral general y reemplazando \xi con x-h en ella, y \eta con y-k, obtenemos la integral general de la ecuación (3).
2) Determinante \Delta=\begin(vmatriz)a&b\\a_1&b_1\end(vmatriz)=0. El sistema (4) no tiene soluciones en el caso general, y el método anterior no es aplicable; en este caso \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, y, por lo tanto, la ecuación (3) tiene la forma \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). La sustitución z=ax+by lo lleva a una ecuación variable separable.
Ejemplo 3 resuelve la ecuación (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.
Solución. Considere un sistema de lineal ecuaciones algebraicas \begin(casos)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(casos)
El determinante de este sistema \Delta=\begin(vmatriz)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatriz)=-2\ne0.
el sistema tiene única decisión x_0=-1,~y_0=3 . Hacemos el reemplazo x=\xi-1,~y=\eta+3 . Entonces la ecuación (5) toma la forma
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.
Esta ecuación es una ecuación homogénea. Haciendo \eta=u\xi , obtenemos
(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, donde (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.
Separación de variables \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.
Integrando, encontramos \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) o \xi^2(1+2u-u^2)=C .
Volviendo a las variables x,~y :
(x+1)^2\izquierda=C_1 o x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).
Ejemplo 4 resuelve la ecuación (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.
Solución. Sistema de ecuaciones algebraicas lineales \begin(casos)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(casos) incompatible. En este caso, el método aplicado en el ejemplo anterior no es adecuado. Para integrar la ecuación, usamos la sustitución x+y=z , dy=dz-dx . La ecuación tomará la forma
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.
Separando las variables, obtenemos
Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 por lo tanto x-2z-3\ln|z-2|=C.
Volviendo a las variables x,~y , obtenemos la integral general de esta ecuación
X+2y+3\ln|x+y-2|=C.
B. A veces, la ecuación se puede reducir a una homogénea cambiando la variable y=z^\alpha. Este es el caso cuando todos los términos en la ecuación tienen la misma dimensión, si a la variable x se le da la dimensión 1, a la variable y se le da la dimensión \alpha, y a la derivada \frac(dy)(dx) se le da la dimensión dimensión \alpha-1 .
Ejemplo 5 resuelve la ecuación (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.
Solución. haciendo una sustitución y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, donde \alpha es un número arbitrario por ahora, que elegiremos más adelante. Sustituyendo las expresiones por y y dy en la ecuación, obtenemos
\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 o \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,
Tenga en cuenta que x^2z^(3\alpha-1) tiene la dimensión 2+3\alfa-1=3\alfa+1, z^(\alpha-1) tiene dimensión \alpha-1 , xz^(3\alpha) tiene dimensión 1+3\alpha . La ecuación resultante será homogénea si las medidas de todos los términos son iguales, es decir si se cumple la condicion 3\alfa+1=\alfa-1, o \alpha-1 .
Pongamos y=\frac(1)(z) ; la ecuación original toma la forma
\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 o (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.
vamos a poner ahora z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Entonces esta ecuación tomará la forma (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, donde u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.
Separando las variables en esta ecuación \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrando, encontramos
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) o \frac(x(u^2+1))(u)=C.
Reemplazando u con \frac(1)(xy) , obtenemos la integral general de esta ecuación 1+x^2y^2=Cy.
La ecuación tiene otra solución obvia y=0 , que se obtiene de integral común para C\to\infty , si la integral se escribe como y=\frac(1+x^2y^2)(C), y luego salta al límite en C\to\infty . Por tanto, la función y=0 es una solución particular de la ecuación original.
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