Era necesario comparar valores y cantidades para resolver problemas prácticos desde la antigüedad. Al mismo tiempo, aparecieron palabras como más y menos, más alto y más bajo, más ligero y más pesado, más silencioso y más fuerte, más barato y más caro, etc., denotando los resultados de una comparación de valores homogéneos.
Los conceptos de más y menos han surgido en relación con el conteo de objetos, la medición y la comparación de cantidades. Por ejemplo, los matemáticos de la antigua Grecia sabían que el lado de cualquier triángulo es menor que la suma de los otros dos lados y que un lado más grande se encuentra opuesto al ángulo más grande en el triángulo. Arquímedes, calculando la circunferencia, estableció que el perímetro de cualquier círculo es igual a tres veces el diámetro con un exceso que es menos de un setenta del diámetro, pero más de diez setenta y uno del diámetro.
Escribe simbólicamente la relación entre números y cantidades usando los signos> y b. Registros en los que dos números están conectados por uno de los signos:> (mayor que), se encontró con desigualdades numéricas en los grados inferiores. Sabes que las desigualdades pueden ser ciertas o no. Por ejemplo, \ (\ frac (1) (2)> \ frac (1) (3) \) es una desigualdad numérica válida, 0,23> 0,235 es una desigualdad numérica no válida.
Las desigualdades que incluyen incógnitas pueden ser verdaderas para algunos valores de incógnitas y falsas para otros. Por ejemplo, la desigualdad 2x + 1> 5 es verdadera cuando x = 3 y cuando x = -3 es incorrecta. Para una desigualdad con una incógnita, se puede plantear un problema: resolver la desigualdad. Los problemas de resolución de desigualdades en la práctica se plantean y resuelven con tanta frecuencia como los problemas de resolución de ecuaciones. Por ejemplo, muchos Problemas económicos se reducen al estudio y solución de sistemas de desigualdades lineales. En muchas áreas de las matemáticas, las desigualdades son más comunes que las ecuaciones.
Algunas desigualdades sirven como la única medios auxiliares, lo que le permite probar o refutar la existencia de un determinado objeto, por ejemplo, la raíz de una ecuación.
Desigualdades numéricas
Sabes comparar enteros decimales... Conoce las reglas de comparación fracciones comunes con los mismos denominadores, pero diferentes numeradores; con los mismos numeradores, pero diferentes denominadores... Aquí aprenderá a comparar dos números al encontrar el signo de su diferencia.
La comparación de números se utiliza ampliamente en la práctica. Por ejemplo, un economista compara los indicadores planificados con los reales, el médico compara la temperatura del paciente con la normal, el volteador compara las dimensiones de la pieza mecanizada con el estándar. En todos estos casos, se comparan algunos números. La comparación de números da como resultado desigualdades numéricas.
Definición. Numero a más números b si diferencia a-b positivo. El número a es menor que el número b si la diferencia a-b es negativa.
Si a es mayor que b, entonces escriben: a> b; si a es menor que b, entonces escriben: a Por lo tanto, la desigualdad a> b significa que la diferencia a - b es positiva, es decir a - b> 0. Desigualdad a Para dos números cualesquiera ayb de las siguientes tres relaciones a> b, a = b, a Comparar los números ayb significa averiguar cuál de los signos>, = o Teorema. Si a> byb> c, entonces a> c.
Teorema. Si se suma el mismo número a ambos lados de la desigualdad, entonces el signo de desigualdad no cambia.
Consecuencia. Cualquier término se puede transferir de una parte de la desigualdad a otra cambiando el signo de este término por el opuesto.
Teorema. Si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número positivo, entonces el signo de desigualdad no cambia. Si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo un número negativo, entonces el signo de desigualdad cambiará a lo contrario.
Consecuencia. Si ambos lados de la desigualdad se dividen por el mismo número positivo, entonces el signo de desigualdad no cambia. Si ambos lados de la desigualdad se dividen por el mismo número negativo, entonces el signo de la desigualdad cambiará al opuesto.
Sabes que las igualdades numéricas se pueden sumar y multiplicar término por término. A continuación, aprenderá a realizar acciones similares con desigualdades. Las habilidades para sumar y multiplicar desigualdades término por término a menudo se aplican en la práctica. Estas acciones le ayudarán a resolver problemas de evaluación y comparación de valores de expresiones.
Al resolver varios problemas, a menudo es necesario sumar o multiplicar los lados izquierdo y derecho término por término de las desigualdades. Al mismo tiempo, a veces se dice que las desigualdades se suman o se multiplican. Por ejemplo, si un turista caminó más de 20 km el primer día y más de 25 km el segundo, se puede argumentar que caminó más de 45 km en dos días. De manera similar, si la longitud del rectángulo es menor de 13 cm y el ancho es menor de 5 cm, entonces se puede argumentar que el área de este rectángulo es menor de 65 cm2.
Al considerar estos ejemplos, se aplicó lo siguiente teoremas sobre suma y multiplicación de desigualdades:
Teorema. Cuando se suman desigualdades del mismo signo, se obtiene una desigualdad del mismo signo: si a> byc> d, entonces a + c> b + d.
Teorema. Al multiplicar desigualdades del mismo signo, para las cuales los lados izquierdo y derecho son positivos, obtenemos una desigualdad del mismo signo: si a> b, c> d y a, b, c, d son números positivos, entonces ac> bd.
Desigualdades con el signo> (mayor que) y 1/2, 3/4 b, c Junto con los signos de desigualdades estrictas> y De manera similar, la desigualdad \ (a \ geq b \) significa que el número a es mayor que o igual ab, es decir, no menor que b.
Las desigualdades que contienen \ (\ geq \) o \ (\ leq \) se llaman laxas. Por ejemplo, \ (18 \ geq 12, \; 11 \ leq 12 \) no son desigualdades estrictas.
Todas las propiedades de las desigualdades estrictas también son válidas para las desigualdades no estrictas. Además, si los signos> se consideraron opuestos para desigualdades estrictas, y sabes que para resolver una serie de problemas aplicados, tienes que elaborar un modelo matemático en forma de ecuación o sistema de ecuaciones. A continuación, aprenderá que las desigualdades con incógnitas son modelos matemáticos para resolver muchos problemas. Se introducirá el concepto de solución a una desigualdad y se mostrará cómo comprobar si número dado solución de una desigualdad específica.
Desigualdades de la forma
\ (ax> b, \ quad ax en el que a y b se les dan números, y x es desconocido, se llaman desigualdades lineales con uno desconocido.
Definición. La solución de una desigualdad con una incógnita es el valor de la incógnita en el que esta desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica. Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones o establecer que no las hay.
Resolvió las ecuaciones reduciéndolas a las ecuaciones más simples. De manera similar, al resolver desigualdades, tienden a reducirse a la forma de las desigualdades más simples con la ayuda de propiedades.
Resolver desigualdades de segundo grado en una variable
Desigualdades de la forma
\ (ax ^ 2 + bx + c> 0 \) y \ (ax ^ 2 + bx + c donde x es una variable, a, byc son algunos números y \ (a \ neq 0 \) se llaman desigualdades de segundo grado en una variable.
Resolviendo la desigualdad
\ (ax ^ 2 + bx + c> 0 \) o \ (ax ^ 2 + bx + c se puede considerar como encontrar los intervalos en los que la función \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) toma positivo o valores negativos Para hacer esto, basta con analizar cómo se ubica la gráfica de la función \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) en el plano de coordenadas: donde se dirigen las ramas de la parábola - arriba o abajo, si la parábola se cruza con el eje x y, si lo hace, en qué puntos.
Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grado con una variable:
1) encuentre el discriminante del trinomio cuadrado \ (ax ^ 2 + bx + c \) y averigüe si el trinomio tiene raíces;
2) si el trinomio tiene raíces, márquelas en el eje xy a través de los puntos marcados dibuje una parábola esquemática, cuyas ramas se dirijan hacia arriba para un> 0 o hacia abajo para un 0 o en la parte inferior para un 3) encuentre en el eje x los intervalos para los cuales las parábolas de puntos están ubicadas sobre el eje x (si resuelven la desigualdad \ (ax ^ 2 + bx + c> 0 \)) o debajo del eje x (si resuelven la desigualdad
\ (ax ^ 2 + bx + c Resolver desigualdades por el método de intervalos
Considere la función
f (x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
El dominio de esta función es el conjunto de todos los números. Los ceros de la función son los números -2, 3, 5. Dividen el dominio de la función en los intervalos \ ((- \ infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) y \ ((5; + \ infty) \)
Averigüemos cuáles son los signos de esta función en cada uno de los intervalos indicados.
La expresión (x + 2) (x - 3) (x - 5) es el producto de tres factores. El signo de cada uno de estos factores en los intervalos considerados se indica en la tabla:
En general, dejemos que la función esté dada por la fórmula
f (x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
donde x es una variable y x 1, x 2, ..., x n no son números iguales. Los números x 1, x 2, ..., x n son los ceros de la función. En cada uno de los intervalos, en los que se divide el dominio de definición por los ceros de la función, se conserva el signo de la función y al pasar por cero cambia su signo.
Esta propiedad se usa para resolver desigualdades de la forma
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n)> 0,
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) donde x 1, x 2, ..., x n no son números iguales
El método considerado las soluciones a las desigualdades se denominan método de intervalos.
Demos ejemplos de cómo resolver desigualdades mediante el método de intervalos.
Resuelve la desigualdad:
\ (x (0,5-x) (x + 4) Obviamente, los ceros de la función f (x) = x (0,5-x) (x + 4) son los puntos \ (x = 0, \ ; x = \ frac (1) (2), \; x = -4 \)Ponemos los ceros de la función en el eje numérico y calculamos el signo en cada intervalo:
Seleccionamos aquellos intervalos donde la función es menor o igual a cero y anotamos la respuesta.
Respuesta:
\ (x \ in \ left (- \ infty; \; 1 \ right) \ cup \ left [4; \; + \ infty \ right) \)
Los libros de texto de matemáticas "USE 2017. Matemáticas" tienen como objetivo preparar a los estudiantes de secundaria para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. En esto guía de estudio Se presenta el material de preparación para resolver el problema del nivel de perfil 15.
En comparación con el año pasado, el libro se ha revisado y complementado sustancialmente.
Esta guía está dirigida a estudiantes de secundaria, profesores de matemáticas y padres.
Ejemplos.
De cinco siguiendo instrucciones Sobre los resultados del partido entre los equipos de hockey "Ugolnik" y "Tsirkul", tres son ciertos y dos no:
1) ganó el "Cuadrado";
2) "Cuadrado" marcó 5 goles;
3) el partido terminó en empate;
4) Se marcaron 11 goles en total en el partido;
5) ganó la "Brújula".
Determine con qué puntuación terminó el partido e indique el ganador (si el partido terminó con la victoria de uno de los equipos).
Encuentra el número de lados de un polígono convexo si solo tres de las siguientes cuatro afirmaciones sobre él son verdaderas:
1) la suma de los ángulos del polígono es superior a 600 °;
2) la suma de los ángulos del polígono es superior a 700 °;
3) la suma de los ángulos del polígono es superior a 800 °;
4) la suma de los ángulos del polígono es más de 900 °.
Contenido
Prefacio
Capítulo 1. Métodos comunes soluciones a las desigualdades
§1.1. Conceptos y hechos básicos
§1.2. Método de espaciado
§1.3. Factorización y agrupación
§1.4. Método para introducir una nueva variable
§1.5. Aplicar las propiedades de funciones para resolver desigualdades
§1.6. Método de factores de signo idéntico
Capítulo 2. Desigualdades totales y sistemas de desigualdades
§2.1. Lineal y desigualdades cuadradas
§2.2. Desigualdades enteras más complejas
Capítulo 3. Desigualdades fraccionales-racionales y sistemas de desigualdades
§3.1. Lo más simple desigualdades racionales fraccionarias
§3.2. Desigualdades racionales fraccionarias más complejas
Capítulo 4. Desigualdades que contienen una variable bajo un signo valor absoluto(módulo)
§4.1. Desigualdades de módulo más simples
§4.2. Más desigualdades complejas con módulo
Capítulo 5. Desigualdades irracionales
§5.1. Las desigualdades irracionales más simples
§5.2. Desigualdades irracionales más complejas
Capítulo 6. Desigualdades trigonométricas
§6.1. Lo más simple desigualdades trigonométricas
§6.2. Desigualdades trigonométricas más complejas
Capítulo 7. Desigualdades exponenciales
§7.1. Lo más simple desigualdades exponenciales
§7.2. Desigualdades exponenciales más complejas
Capítulo 8. Desigualdades logarítmicas
§8.1. Desigualdades logarítmicas más simples
§8.2. Desigualdades logarítmicas más complejas
Respuestas.
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DESIGUALDADES LOGARITMICAS EN EL USO
Sechin Mikhail Alexandrovich
Pequeña Academia de Ciencias para estudiantes de la República de Kazajstán "Buscador"
MBOU "Escuela soviética №1", grado 11, ciudad. Distrito de Sovetsky Sovetsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU "Escuela soviética №1"
Distrito soviético
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de solución desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos no estándar, identificando datos interesantes logaritmo.
Tema de estudio:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Contenido
Introducción ………………………………………………………………………… .4
Capítulo 1. Antecedentes ………………………………………………… ... 5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y generalizadas método de intervalo…………… 7
2.2. Método de racionalización ………………………………………………… 15
2.3. Sustitución no estándar ……………… ........................................ .. ..... 22
2.4. Misiones de trampas ………………………………………………… 27
Conclusión ………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el 11 ° grado y planeo ingresar a una universidad, donde la asignatura principal son las matemáticas. Y, por lo tanto, trabajo mucho con los problemas de la parte C. En la tarea C3, necesitas resolver una desigualdad no estándar o un sistema de desigualdades, como regla, asociado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me enfrenté al problema de la falta de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen, que se ofrecen en C3. Los métodos que se estudian en el currículo escolar sobre este tema no proporcionan una base para la resolución de las tareas C3. La profesora de matemáticas me invitó a trabajar con las tareas de C3 por mi cuenta, bajo su guía. Además, me interesaba la pregunta: ¿ocurren los logaritmos en nuestra vida?
Con esto en mente, se eligió el tema:
"Desigualdades logarítmicas en el examen"
Objeto del trabajo: investigación del mecanismo de resolución de problemas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes del logaritmo.
Tema de estudio:
1) Encuentre la información que necesita sobre métodos no estándar soluciones a desigualdades logarítmicas.
2) Encontrar información adicional sobre logaritmos.
3) Aprenda a resolver problemas específicos de C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Significado práctico es ampliar el aparato para resolver problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para círculos, actividades extracurriculares en matemáticas.
El producto del proyecto será la colección “Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones”.
Capítulo 1. Antecedentes
Durante el siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. La mejora de los instrumentos, el estudio de los movimientos planetarios y otros trabajos requirieron cálculos colosales, a veces muchos años. La astronomía estaba en peligro real de ahogarse en cálculos no cumplidos. Surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para diferentes significados por ciento. La principal dificultad estuvo representada por la multiplicación, división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas.
El descubrimiento de los logaritmos se basó en las conocidas propiedades de las progresiones a finales del siglo XVI. Sobre la comunicación entre miembros progresión geométrica q, q2, q3, ... y progresión aritmética sus indicadores 1, 2, 3, ... habló de nuevo en el "Salmo" Arquímedes. Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a indicadores negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, división, exponenciación y extracción de una raíz se corresponden exponencialmente en aritmética - en el mismo orden - suma, resta, multiplicación y división.
Aquí estaba la idea del logaritmo como exponente.
Han pasado varias etapas en la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos.
Nivel 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Burghi (1552-1632). Ambos querían dar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron esta tarea de diferentes maneras. Neper expresó cinemáticamente la función logarítmica y así entró en una nueva área de la teoría de funciones. Burghi se mantuvo sobre la base de considerar progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no se parece a la moderna. El término "logaritmo" (logaritmo) pertenece a Napier. Se originó a partir de la combinación Palabras griegas: logos es "relación" y ariqmo es "número" que significa "número de relaciones". Inicialmente, Napier usó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", en contraposición a numeri naturalts - "números naturales".
En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresch College de Londres, Napier sugirió tomar cero para el logaritmo de unidades y 100 para el logaritmo de diez, o, que se reduce a lo mismo. cosa, simplemente 1. Así es como logaritmos decimales y se imprimieron las primeras tablas logarítmicas. Más tarde, el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667) complementó las tablas de Briggs. Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que nadie, publicaron sus tablas más tarde que otros, en 1620. Los letreros de troncos y troncos fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659, seguido por N. Mercator en 1668, y el profesor de Londres John Speidel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 bajo el título "Nuevos logaritmos".
En ruso, las primeras tablas logarítmicas se publicaron en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas se cometieron errores en el cálculo. Las primeras tablas libres de errores se publicaron en 1857 en Berlín, procesadas por el matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos se asocia con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal. El establecimiento de una conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural se remonta a esa época. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.
El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en la composición
"Ingeniería logarítmica" (1668) da una serie que da una expansión de ln (x + 1) en
poderes de x:
Esta expresión corresponde exactamente al curso de su pensamiento, aunque, por supuesto, no utilizó los signos d, ..., sino símbolos más engorrosos. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica de cálculo de los logaritmos cambió: se empezaron a determinar mediante series infinitas. En sus conferencias " Matemáticas elementales con punto mas alto view ", leído en 1907-1908, F. Klein sugirió usar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.
Etapa 3
Definición función logarítmica en función de la inversa
exponencial, logaritmo como indicador del grado de una base dada
no fue formulado de inmediato. Escrito por Leonard Euler (1707-1783)
Una introducción al análisis del infinitesimal (1748) sirvió como un
desarrollo de la teoría de la función logarítmica. Por lo tanto,
Han pasado 134 años desde que se introdujeron por primera vez los logaritmos
(contando desde 1614) antes de que los matemáticos llegaran a la definición
el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas
2.1. Transiciones equivalentes y método generalizado de intervalos.
Transiciones equivalentes
si a> 1
si 0 <
а <
1
Método de intervalo generalizado
Este método más versátil para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El esquema de la solución se ve así:
1. Reducir la desigualdad a la forma donde se encuentra la función en el lado izquierdo 
, y a la derecha 0.
2. Encuentra el dominio de la función .
3. Encuentra los ceros de la función. , es decir, para resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).
4. Dibuja el dominio y los ceros de la función en la recta numérica.
5. Determina los signos de la función. a los intervalos obtenidos.
6. Seleccione los intervalos en los que la función toma los valores requeridos y escriba la respuesta.
Ejemplo 1.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado
dónde
Para estos valores, todas las expresiones bajo el signo de los logaritmos son positivas.
Respuesta:
Ejemplo 2.
Solución:
1er camino . ODZ está determinada por la desigualdad X> 3. Tomando el logaritmo para tal X base 10, obtenemos
La última desigualdad podría resolverse utilizando las reglas de descomposición, es decir, comparando los factores a cero. Sin embargo, en este caso, es fácil determinar los intervalos de constancia de la función
por lo tanto, se puede aplicar el método de espaciado.
Función F(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ es continuo en X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, definimos los intervalos de constancia de la función F(X):
Respuesta:
2do camino . Apliquemos las ideas del método de intervalos directamente a la desigualdad original.
Para hacer esto, recuerde que las expresiones a B - a c y ( a - 1)(B- 1) tener un letrero. Entonces nuestra desigualdad para X> 3 es equivalente a la desigualdad
o
La última desigualdad se resuelve mediante el método de intervalos.
Respuesta:
Ejemplo 3.
Solución:
Apliquemos el método de espaciado
Respuesta:
Ejemplo 4.
Solución:
Desde 2 X 2 - 3X+ 3> 0 para todo real X, luego
Para resolver la segunda desigualdad, usamos el método de intervalos
En la primera desigualdad, hacemos el reemplazo
luego llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y que satisfacen la desigualdad -0.5< y < 1.
Donde, desde
obtenemos la desigualdad
que se lleva a cabo con aquellos X para los cuales 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora, teniendo en cuenta la solución de la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos
Respuesta:
Ejemplo 5.
Solución:
La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas
o
Apliquemos el método de intervalos o
Respuesta:
Ejemplo 6.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema
Permitir
luego y > 0,
y la primera desigualdad
el sistema toma la forma
o expandiendo
trinomio cuadrado por factores,
Aplicando el método de intervalos a la última desigualdad,
vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Por tanto, la desigualdad original es equivalente al sistema:
Entonces, las soluciones a la desigualdad son todas
2.2. Método de racionalización.
Anteriormente, el método de racionalizar la desigualdad no se resolvía, no se conocía. Esto es "nuevo y moderno método efectivo soluciones de desigualdades exponenciales y logarítmicas "(cita del libro de S. I. Kolesnikova)
E incluso si el maestro lo conocía, había aprensión: ¿el examinador lo conoce y por qué no se le da en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿Dónde lo conseguiste? Siéntate - 2."
El método ahora se promueve ampliamente. Y para los expertos existen pautas asociadas a este método, y en las "Ediciones más completas de las variantes del modelo ..." en la solución C3 se utiliza este método.
¡MÉTODO MARAVILLOSO!
"Mesa mágica"
En otras fuentes
si a> 1 y b> 1, entonces log a b> 0 y (a -1) (b -1)> 0;
si a> 1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registre a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1) (b -1)> 0. El razonamiento anterior es simple, pero simplifica considerablemente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4.
log x (x 2-3)<0
Solución:
Ejemplo 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 + x) Solución: Ejemplo 6.
Para resolver esta desigualdad, en lugar del denominador, escribiremos (x-1-1) (x-1), y en lugar del numerador, escribiremos el producto (x-1) (x-3-9 + x ). Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Hagamos la sustitución y = 3 x -1; entonces esta desigualdad toma la forma Log 4 log 0,25 Porque log 0,25 Hacemos el cambio t = log 4 y y obtenemos la desigualdad t 2 -2t + ≥0, cuya solución son los intervalos - Por lo tanto, para encontrar los valores de y, tenemos un conjunto de dos desigualdades más simples Por tanto, la desigualdad original es equivalente a un conjunto de dos desigualdades exponenciales, La solución a la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8.
Solución:
La desigualdad es equivalente al sistema La solución a la segunda desigualdad, que determina la DHS, será el conjunto de aquellos X,
para quien X > 0.
Para resolver la primera desigualdad, hacemos la sustitución Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones de la última desigualdad se encuentra mediante el método intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, obtenemos o Muchos de esos X que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( X> 0), por lo tanto, es una solución al sistema y de ahí la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1.
Solución. Las desigualdades de ODZ son todas x que satisfacen la condición 0 Ejemplo 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Respuesta... (0; 0,5) U.
Respuesta :
(3;6)
.
= -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, luego reescribe la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución a este conjunto son los intervalos 0<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, los agregados 
... Por lo tanto, la desigualdad original se cumple para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Por tanto, toda x del intervalo 0
Conclusión
No fue fácil encontrar métodos especiales para resolver problemas C3 a partir de la gran abundancia de diferentes fuentes educativas. En el curso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización , sustitución no estándar , tareas con trampas en la ODZ. Estos métodos están ausentes en el plan de estudios de la escuela.
Utilizando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades propuestas en el examen de la parte C, a saber, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección "Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones", que se convirtió en un proyecto producto de mi trabajo. Se confirmó la hipótesis que planteé al inicio del proyecto: las tareas del C3 se pueden resolver eficazmente, conociendo estos métodos.
Además, encontré datos interesantes sobre logaritmos. Fue interesante para mí hacerlo. Mis productos de diseño serán útiles tanto para estudiantes como para profesores.
Conclusiones:
Por lo tanto, se ha logrado el objetivo establecido del proyecto, se ha resuelto el problema. Y obtuve la experiencia más completa y versátil en actividades de proyectos en todas las etapas del trabajo. En el curso del trabajo en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia y la actividad.
Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Me convertí en: experiencia escolar significativa, la capacidad de extraer información de varias fuentes, verificar su confiabilidad, clasificarla por importancia.
Además del conocimiento directo de la asignatura en matemáticas, amplió sus habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirió nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, estableció contactos con compañeros de clase y aprendió a cooperar con adultos. En el transcurso de las actividades del proyecto, se desarrollaron habilidades y destrezas educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas típicas C3).
2. Malkova AG Preparación para el examen de matemáticas.
3. Samarova SS Solución de desigualdades logarítmicas.
4. Matemáticas. Colección de trabajos de formación editada por A.L. Semyonov e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009 .-- 72 p. -
El artículo está dedicado al análisis de 15 tareas del perfil USE en matemáticas para 2017. En esta tarea, se ofrece a los estudiantes para resolver desigualdades, la mayoría de las veces logarítmicas. Aunque puede ser indicativo. Este artículo proporciona un análisis de ejemplos de desigualdades logarítmicas, incluidas las que contienen una variable en la base del logaritmo. Todos los ejemplos se toman de un banco abierto de tareas USE en matemáticas (perfil), por lo que es probable que tales desigualdades se encuentren en el examen como tarea 15. Ideal para aquellos que quieren aprender a resolver la tarea 15 de la segunda parte de USE el perfil en un corto período de tiempo en matemáticas para obtener más puntos en el examen.
Análisis de 15 tareas del examen de perfil en matemáticas
| Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad: |
En las tareas del 15º examen de matemáticas (perfil), a menudo se encuentran desigualdades logarítmicas. La resolución de desigualdades logarítmicas comienza con la determinación del rango de valores aceptables. En este caso, no hay una variable en la base de ambos logaritmos, solo está el número 11, lo que simplifica enormemente la tarea. Por tanto, la única restricción que tenemos aquí es que ambas expresiones bajo el signo del logaritmo son positivas:
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La primera desigualdad en el sistema es la desigualdad al cuadrado. Para resolverlo, no estaría de más tener en cuenta el lado izquierdo en factores. Creo que sabes que cualquier trinomio cuadrado de la forma 
factorizado de la siguiente manera:
donde y son las raíces de la ecuación. En este caso, el coeficiente es 1 (este es el coeficiente numérico delante de). El coeficiente también es 1, y el coeficiente es una intersección, es -20. Las raíces de un trinomio se determinan más fácilmente mediante el teorema de Vieta. La ecuación que hemos dado, entonces la suma de las raíces será igual al coeficiente con el signo opuesto, es decir, -1, y el producto de estas raíces será igual al coeficiente, es decir, -20. Es fácil adivinar que las raíces serán -5 y 4.
Ahora se puede factorizar el lado izquierdo de la desigualdad: title = "(! LANG: renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X en los puntos -5 y 4. Por tanto, la solución deseada de la desigualdad es un intervalo. Para aquellos que no entienden lo que está escrito aquí, pueden ver los detalles en el video, a partir de este momento. Allí también encontrarás una explicación detallada de cómo se resuelve la segunda desigualdad del sistema. Se está resolviendo. Además, la respuesta es exactamente la misma que para la primera desigualdad del sistema. Es decir, el conjunto escrito arriba es el rango de valores admisibles de desigualdad.
Entonces, teniendo en cuenta la factorización, la desigualdad original toma la forma:
Usando la fórmula, traemos 11 a la potencia de la expresión bajo el signo del primer logaritmo, y movemos el segundo logaritmo al lado izquierdo de la desigualdad, mientras cambiamos su signo al opuesto:
Después de la reducción obtenemos:
La última desigualdad, debido al aumento de la función, es equivalente a la desigualdad 
, cuya solución es el intervalo 
... Queda por cruzarlo con el rango de valores admisibles de desigualdad, y esta será la respuesta a toda la tarea.
Entonces, la respuesta deseada a la tarea es:
Descubrimos esta tarea, ahora pasamos al siguiente ejemplo de la tarea 15 USE en matemáticas (perfil).
| Ejemplo 2. Resuelve la desigualdad:
|
Comenzamos la solución determinando el rango de valores admisibles de esta desigualdad. En la base de cada logaritmo debe haber un número positivo que no sea igual a 1. Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo deben ser positivas. No debe haber cero en el denominador de la fracción. La última condición es equivalente a eso, ya que solo en caso contrario ambos logaritmos en el denominador desaparecen. Todas estas condiciones determinan el rango de valores admisibles de esta desigualdad, que se define por el siguiente sistema de desigualdades:
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En el rango de valores válidos, podemos usar las fórmulas de transformación de los logaritmos para simplificar el lado izquierdo de la desigualdad. Usando la fórmula 
deshacerse del denominador:
Ahora solo tenemos logaritmos base. Esto ya es más conveniente. A continuación, usamos la fórmula, así como la fórmula, para llevar la expresión digna de gloria a la siguiente forma:
En los cálculos, usamos lo que está en el rango de valores aceptables. Usando el reemplazo, llegamos a la expresión:
Usamos un reemplazo más :. Como resultado, llegamos al siguiente resultado:
Entonces, regresamos gradualmente a las variables originales. Primero a la variable: