Cuando la gente habla de alguien con convicciones, esto se percibe como una característica positiva. Pero, ¿y si nuestras creencias y nuestra visión tradicional de los acontecimientos parte trasera, ¿qué nos impide comprender claramente los procesos que tienen lugar en el mundo?

Konstantin Smygin, fundador del servicio de piratería de vida de libros MakeRight, habla sobre el aclamado libro de Stephen D. Levitt y Stephen J. Dubner "Freemind".

“Pensar como un fenómeno” significa encontrar soluciones no estándar, evitar las trampas psicológicas comunes y mirar los eventos desde una perspectiva que generalmente es inaccesible para una mente ciega.

Pocas personas son capaces de "pensar como monstruos", y este es el motivo:

1. Los estudios muestran que incluso las personas más inteligentes buscan pruebas en el mundo que las rodean para respaldar su punto de vista y no están preparadas para aceptar información nueva que vaya en contra de sus ideas sobre el mundo. Nuestra conciencia distorsiona y ajusta la realidad circundante a sí misma.
2. Además, las personas están muy influenciadas por su entorno, el entorno en el que viven. Es más fácil para una persona como animal social estar de acuerdo con el orden existente de las cosas que cuestionarlo, provocando la ira de los miembros de la tribu. Los autores llaman a este fenómeno "transferir el proceso de pensamiento a otra persona".
3. La tercera razón también se deriva de las peculiaridades de la naturaleza humana: “la gente no tiene tiempo para pensar en cómo piensa. Además, no pasan mucho tiempo pensando en absoluto ".

En su libro, Levitt y Dubner defienden la necesidad de que cada vez más personas piensen "como monstruos". Es decir, más productivo, ingenioso y racional.

El poder del "no sé" y la enfermedad de los expertos

A la mayoría de las personas les resulta vergonzoso mostrar su ignorancia y parecer ignorantes. En su opinión, es mejor intentar parecer un experto en lo que no entiendes en absoluto. En esta situación, la comunicación electrónica solo juega en las manos. Por otro lado, la falta de voluntad para admitir la propia ignorancia e incompetencia significa que la mente humana está cerrada al aprendizaje y al conocimiento real.

La investigación de los últimos años (por ejemplo, de Philip Tetlock) ha demostrado que los expertos predicen el futuro con mucha más precisión que "la elección arbitraria de los chimpancés lanzando dardos". La precisión de sus pronósticos es solo del 47,4%. Esto equivale a adivinar al azar, con la única diferencia de que no le costará nada, mientras que los pronosticadores cobrarán mucho dinero por sus servicios.

Curiosamente, el investigador Philip Tetlock caracteriza a los peores predictores como demasiado confiados, incluso si su predicción no se hace realidad.

Sin embargo, la gente sigue escuchando predicciones o sigue la tentación de predecir. ¿Por qué? Esto se debe al hecho de que (dadas las relaciones de causa y efecto extremadamente complicadas de nuestro mundo) pocas personas recuerdan los pronósticos fallidos. Pero si la predicción se cumple, entonces la persona que la hizo puede ganar la gloria de un profeta o recibir una recompensa mayor.

¿Cómo admitir no saberlo?

Los autores le instan a que no dude en admitir su ignorancia. Para no ponerte en una situación estúpida, cuenta algo que te desagrade y termina con la frase: "... pero tal vez yo pueda averiguarlo". Es más probable que las personas reaccionen positivamente a este tipo de franqueza, especialmente si se les responde con la información correcta.

¡He aquí la raíz!

Las relaciones causales son complejas, confusas, no obvias. Sin embargo, la mayoría de la gente continúa pensando y explicando las razones de ciertos fenómenos de acuerdo con los patrones formados para ellos.

Para ver verdaderas razones eventos, es necesario ir más allá de las ideas predominantes.

1. ¿Cuál es la causa de la pobreza y el hambre? Por un lado, falta dinero y comida. Por otro lado, los suministros alimentarios y ayuda material Los países hambrientos no cambian nada. El problema está en una economía inviable, cuando los que están en el poder piensan, en primer lugar, en satisfacer sus propias necesidades.
2. ¿Por qué hay tantas guerras en África? Por supuesto, hay muchas razones, pero la principal está en la división colonial de África por los europeos en el siglo XIX. Los europeos dividieron territorios simplemente mirando un mapa (razón por la cual las fronteras entre los países africanos son a menudo líneas perfectamente rectas). Como resultado, las tribus africanas amigas podrían encontrarse en lados opuestos de la frontera y en guerras, en el mismo país.
3. ¿Por qué la enfermedad cardíaca es más común entre los negros en los EE. UU.? Se encontró que los dueños de esclavos seleccionaban esclavos por la salinidad de su sudor. Dado que la sal retiene la humedad, un esclavo con sudor más salado tenía más probabilidades de sobrevivir durante el debilitador viajes por mar al Nuevo Mundo y no morir de deshidratación. La sensibilidad a la sal se hereda y las investigaciones muestran que los afroamericanos tienen un 50% más de probabilidades de tener hipertensión que los blancos (y los negros en otros países) y, como resultado, tienen un mayor riesgo de problemas cardíacos.
4. Hasta la década de 1980, se creía que las úlceras de estómago eran causadas por el estrés y la comida picante. Barry Marshall demostró que la causa de la úlcera (que luego puede provocar cáncer) es la bacteria Helicobacter Pylori. Para superar la resistencia de la comunidad médica, que no tomó en serio la hipótesis de Marshall, hizo un acto heroico: bebió un líquido que contenía bacterias, después de lo cual mostró signos de gastritis.

Piensa como un niño

El pensamiento libre a menudo implica la capacidad de pensar como un niño. Los autores señalan que este es uno de los mejores formas búsqueda soluciones no estándar y generación de ideas. Los niños son curiosos y hacen preguntas que los adultos tienen miedo de hacer. La falta de prejuicios es una gran ventaja para quien quiere llegar al fondo de las cosas.

Porque grandes problemas Por lo general, constan de muchas tareas pequeñas, por lo que es bastante razonable comenzar por prestar atención a una de ellas. La ventaja aquí también es que una pequeña tarea es más fácil de traducir en realidad.

El principal principio de vida de un monstruo.

Si quieres pensar como un fenómeno, los autores te aconsejan que siempre uses incentivos reales que actúen sobre las personas.

Hay muchos incentivos: monetarios, sociales, morales. La capacidad de reconocerlos y aplicarlos es toda una ciencia, porque distintos estímulos actúan en determinados casos y con determinadas personas.

Determinar el estímulo que actuará sobre una persona en particular no es fácil. Las personas generalmente no admiten a qué pueden ser adictas, y los autores no recomiendan tomar la palabra de nadie en este asunto.

Hay otro efecto, el llamado efecto cobra. Está relacionado con el hecho de que a menudo las manifestaciones de generosidad provocan la reacción opuesta. Recibió su nombre después de la situación en la que se metieron los colonos británicos en la India. Al decidir reducir la población de serpientes en Delhi, los colonos anunciaron una recompensa monetaria por cada cobra muerta. El resultado fue todo lo contrario: los indios comenzaron a criar y criar cobras, recibieron dinero por ellas, y cuando se cancelaron los premios, todas las cobras fueron liberadas.

Además, deben evitarse los incentivos que parezcan intentos de manipulación mal disfrazados. La gente los siente bien.

El uso de incentivos es útil desde otro punto de vista. A menudo, alguien que engaña o miente reacciona ante ellos de una manera especial. Con base en esto, los autores deducen un principio que llaman "enséñele a su jardín a desmalezar usted mismo". El caso es que es necesario prever una situación en la que una persona con malas intenciones se revelará.

Como ejemplo, los autores citan historia famosa sobre el rey Salomón. Una vez, dos mujeres con un niño acudieron a su juicio, cada una de las cuales afirmó que el niño era suyo. Salomón les anunció que decidió cortar al niño y darle la mitad a cada madre. Esto ayudó a descubrir a la verdadera madre, quien, horrorizada, dijo que sería mejor para su hijo tener otro, pero que viviría. El impostor accedió a matar al niño.

¿Cómo convencer a la gente que no quiere ser persuadida?

Es extremadamente tonto hacer pasar su propuesta como ideal; siempre pone a la gente en guardia, simplemente porque esto no sucede. Para que la persona no sienta el truco, cuéntate sobre puntos débiles tu sugerencia.

Pero convencer a otra persona es una tarea difícil debido a los efectos psicológicos. Si las creencias de una persona (que suele ser el caso) se basan en estereotipos y pensamientos de rebaño, es una pérdida de tiempo persuadirla utilizando la lógica y el sentido común. Es mejor trabajar no en la lógica de las pruebas, sino en su espectacularidad.

Otro truco es admitir fortalezas los argumentos del oponente, lo que ayudará a dar valor a sus propios argumentos.

Además, en ningún caso debes cruzar la línea, colgar etiquetas y rodar hacia abajo hasta los insultos. Esto te quitará inmediatamente todas las posiciones. Mejor estrategia persuasión - contando historias. Las historias captan la atención y te llevan a otro nivel de comprensión, lo que te ayuda a comprender mejor tu razonamiento e ideas.

Beneficios del retiro

Es importante no sucumbir a la trampa mental común: si ya hemos invertido en algo, tiempo y dinero, seguimos invirtiendo dinero y tiempo en estos proyectos, incluso cuando no aportan nada útil. Esto se denomina "error de costo hundido". Entonces, habiéndose retirado a tiempo del proyecto infructuoso para el desarrollo del "Concorde", los gobiernos de Francia y Gran Bretaña pudieron ahorrar sus presupuestos de miles de millones de dólares en gastos.

Tenemos miedo de detenernos porque será una admisión de nuestro error. Como resultado, nos vemos obligados a continuar con un negocio sin esperanza. Pero, como se señaló anteriormente, pensar como un fenómeno implica no tener miedo de admitir sus propios errores.

Una forma eficaz de evitar errores de costes irrecuperables es recordárselos. Busque siempre formas alternativas y soluciones para una situación determinada.

Pregúntese: "¿Qué haría ahora, usando el mismo tiempo, dinero y recursos?"

El filólogo ruso Dmitry Nikolaevich Ushakov en su diccionario explicativo da tal definición del concepto de "método" - una forma, una forma, una técnica investigación teórica o la implementación práctica de algo (D. N. Ushakov, 2000).

¿Cuáles son los métodos de enseñanza para la resolución de problemas en matemáticas, que consideramos en este momento no estándar? Desafortunadamente, a nadie se le ha ocurrido una receta universal, dada la singularidad de estas tareas. Algunos profesores se entrenan en ejercicios de patrones. Ocurre de la siguiente manera: el profesor muestra una forma de resolver, y luego el alumno lo repite muchas veces al resolver problemas. Esto mata el interés de los estudiantes por las matemáticas, que es, por decir lo mínimo, triste.

En matemáticas, no hay reglas generales, lo que le permite resolver cualquier tarea no estándar, ya que dichas tareas son hasta cierto punto únicas. Una tarea atípica en la mayoría de los casos se percibe como "un desafío para el intelecto, y genera la necesidad de realizarse en la superación de obstáculos, en el desarrollo de habilidades creativas".

Considere varios métodos para resolver problemas no estándar:

• · Algebraico;
• · Aritmética;
• · Método de fuerza bruta;
• · Método de razonamiento;
• · Práctico;
• · Método de adivinar.

Método algebraico la resolución de problemas desarrolla la creatividad, la capacidad de generalizar, forma el pensamiento abstracto y tiene ventajas tales como la brevedad de la escritura y el razonamiento al elaborar ecuaciones, ahorra tiempo.

Para resolver el problema por el método algebraico, debes:

• Analizar el problema para seleccionar la incógnita principal e identificar la relación entre las cantidades, así como expresar estas dependencias en lenguaje matemático en forma de dos expresiones algebraicas;
• · Encuentre una base para conectar estas expresiones con el signo "=" y haga una ecuación;
• · Encontrar soluciones a la ecuación obtenida, organizar la verificación de la solución a la ecuación.

Todas estas etapas de la solución del problema están lógicamente interconectadas. Por ejemplo, nos referimos a la búsqueda de una base para unir dos expresiones algebraicas con un signo igual como etapa especial, pero es claro que en la etapa anterior estas expresiones no se forman arbitrariamente, sino teniendo en cuenta la posibilidad de unirlas. con el signo "=".

Tanto la identificación de dependencias entre cantidades como la traducción de estas dependencias al lenguaje matemático requieren una intensa actividad de pensamiento analítico y sintético. El éxito en esta actividad depende, en particular, de si los estudiantes saben qué relaciones pueden ser estas cantidades en general, y si comprenden el significado real de estas relaciones (por ejemplo, relaciones expresadas por los términos "más tarde por ...", "más viejo por ... veces", etc.). A continuación, debe comprender qué tipo de acción matemática o propiedad de la acción o qué conexión (dependencia) entre los componentes y el resultado de la acción puede describir una relación en particular.

Démosle un ejemplo de cómo resolver un problema no estándar mediante un método algebraico.

Tarea. El pescador pescó un pez. Cuando le preguntaron: "¿Cuál es su masa?" Y la masa del cuerpo es la misma que la masa de la cabeza y la cola juntas ". ¿Cuál es la masa del pescado?

Sea x kg la masa del cuerpo; entonces (1 + 1 / 2x) kg es la masa de la cabeza. Dado que, según la condición, la masa del cuerpo es igual a la suma de las masas de la cabeza y la cola, componimos y resolvemos la ecuación:

x = 1 + 1 / 2x + 1,

4 kg es la masa del cuerpo, luego 1 + 1/2 4 = 3 (kg) es la masa de la cabeza y 3 + 4 + 1 = 8 (kg) es la masa del pescado entero;

Respuesta: 8 kg.

Método aritmético La toma de decisiones también requiere mucho estrés mental, lo que tiene un efecto positivo en el desarrollo de las habilidades mentales, la intuición matemática, en la formación de la capacidad de prever una situación de la vida real.

Considere un ejemplo de resolución de un problema no estándar utilizando el método aritmético:

Tarea. A dos pescadores se les preguntó: "¿Cuántos peces hay en sus cestas?"

“En mi canasta, la mitad de lo que tiene en la canasta, más 10 más”, respondió el primero. “Y yo tengo en la canasta todo lo que él tiene, y hasta 20”, contó el segundo. Hemos contado y ahora puedes contar.

Construyamos un diagrama para el problema. Denotemos por el primer segmento del diagrama el número de peces en el primer pescador. El segundo segmento denota el número de peces en el segundo pescador.

Debido al hecho de que una persona moderna necesita tener una idea de los principales métodos de análisis de datos y las leyes probabilísticas que juegan un papel importante en la ciencia, la tecnología y la economía, los elementos de la combinatoria, la teoría de la probabilidad y la estadística matemática se introducen en el curso de matemáticas de la escuela, que son convenientes de entender con la ayuda de fuerza bruta.

La inclusión de problemas combinatorios en el curso de matemáticas tiene un efecto positivo en el desarrollo de los escolares. “El entrenamiento con propósito en la resolución de problemas combinatorios contribuye al desarrollo de una cualidad de pensamiento matemático como la variabilidad. Por variabilidad del pensamiento entendemos la orientación de la actividad mental del alumno para buscar diversas soluciones al problema en el caso en que no existan indicios especiales de ello ”.

Los problemas combinatorios pueden resolverse mediante varios métodos. Convencionalmente, estos métodos se pueden dividir en "formales" e "informales". Con el método de solución "formal", debe determinar la naturaleza de la elección, elegir la fórmula o regla combinatoria adecuada (existen reglas para la suma y el producto), sustituir números y calcular el resultado. El resultado es la cantidad posibles opciones, las variantes en sí mismas no se forman en este caso.

Con el método de solución "informal", el proceso de elaboración en sí pasa a primer plano. diferentes opciones... Y lo principal no es cuántos, sino qué opciones se pueden obtener. Estos métodos incluyen método de fuerza bruta. Este método está disponible incluso niños de primaria, y permite acumular experiencia en la solución práctica de problemas combinatorios, lo que sirve de base para la introducción de principios y fórmulas combinatorias en el futuro. Además, en la vida, una persona no solo debe determinar la cantidad de opciones posibles, sino que también debe componer directamente todas estas opciones y, habiendo dominado las técnicas de enumeración sistemática, esto se puede hacer de manera más racional.

Según la complejidad de la enumeración, las tareas se dividen en tres grupos:

• una . Problemas en los que necesita realizar una enumeración completa de todas las opciones posibles.
• 2. Problemas en los que no es práctico utilizar el método de búsqueda exhaustiva y es necesario excluir inmediatamente algunas opciones sin considerarlas (es decir, realizar una búsqueda reducida).
• 3. Problemas en los que la operación de búsqueda se realiza varias veces y en relación con varios tipos de objetos.

Aquí están los ejemplos relevantes de tareas:

Tarea. Colocando los signos "+" y "-" entre los números dados 9 ... 2 ... 4, componga todas las expresiones posibles.

Se lleva a cabo una enumeración completa de opciones:

• a) dos signos en la expresión pueden ser iguales, entonces obtenemos:
  • 9 + 2 + 4 o 9 - 2 - 4;
• b) dos signos pueden ser diferentes, entonces obtenemos:
  • 9 + 2-4 o 9-2 + 4.

Tarea. El maestro dice que dibujó 4 figuras en una fila: cuadrados grandes y pequeños, círculos grandes y pequeños para que un círculo esté en primer lugar y las figuras de la misma forma no estén una al lado de la otra, e invita a los estudiantes a adivinar en en qué secuencia se colocan estas figuras.

Hay 24 ubicaciones diferentes para estas figuras. Y resulta impráctico componer todos ellos, y luego elegir los correspondientes a esta condición, por lo que se realiza una búsqueda abreviada.

Un círculo grande puede colocarse en primer lugar, luego el pequeño solo puede estar en tercer lugar, mientras que los cuadrados grandes y pequeños se pueden colocar de dos maneras: en el segundo y cuarto lugar.

Se lleva a cabo un razonamiento similar si en primer lugar hay un círculo pequeño y también se trazan dos opciones.

Tarea. Tres socios de una empresa guardan los valores en una caja fuerte con 3 candados. Los acompañantes quieren repartirse las llaves de las cerraduras entre ellos para que la caja fuerte solo pueda abrirse en presencia de al menos dos acompañantes, pero no uno. ¿Cómo puedo hacer eso?

Primero, se enumeran todos los casos posibles de distribución de claves. A cada acompañante se le puede dar una llave, dos llaves diferentes o tres.

Supongamos que cada compañero tiene tres claves diferentes. Entonces, un acompañante podrá abrir la caja fuerte, y esto no cumple con la condición.

Supongamos que cada compañero tiene una clave. Entonces, si vienen dos de ellos, no podrán abrir la caja fuerte.

Démosle a cada compañero dos claves diferentes. La primera - teclas 1 y 2, la segunda - teclas 1 y 3, la tercera - teclas 2 y 3. Veamos cuándo vienen dos acompañantes para ver si pueden abrir la caja fuerte.

Pueden venir los primeros y segundos acompañantes, tendrán todas las llaves (1 y 2, 1 y 3). Pueden venir los primeros y terceros acompañantes, también tendrán todas las llaves (1 y 2, 2 y 3). Finalmente, podrán venir el segundo y tercer acompañante, también tendrán todas las llaves (1 y 3, 2 y 3).

Por lo tanto, para encontrar la respuesta a este problema, debe realizar la operación de iteración varias veces.

Al seleccionar problemas combinatorios, se debe prestar atención al tema y la forma de presentación de estos problemas. Es recomendable que las tareas no se vean artificiales, sino que sean comprensibles e interesantes para los niños, despiértalos emociones positivas... Puede utilizar material práctico de la vida para componer tareas.

Hay otros problemas que pueden resolverse mediante el método de fuerza bruta.

Como ejemplo, resolvamos el problema: “El Marqués Karabas tenía 31 años, y su joven y enérgico Gato con Botas tenía 3 años cuando sucedieron los hechos conocidos del cuento de hadas. ¿Cuántos años han pasado desde entonces, si el gato ahora es tres veces más joven que su dueño? " La enumeración de opciones se presenta en una tabla.

Edad del Marqués Carabas y El Gato con Botas

14-3 = 11 (años)

Respuesta: Han pasado 11 años.

En este caso, el estudiante, por así decirlo, experimenta, observa, compara los hechos y, sobre la base de conclusiones particulares, saca ciertas conclusiones generales. En el proceso de estas observaciones, se enriquece su experiencia práctica real. Este es precisamente el valor práctico de los problemas de fuerza bruta. En este caso, la palabra "fuerza bruta" se utiliza en el sentido de analizar todos los casos posibles que satisfacen las condiciones del problema, mostrando que no puede haber otras soluciones.

Este problema se puede resolver mediante el método algebraico.

Deje que el gato tenga x años, luego el marqués 3x, según la condición del problema, componga la ecuación:

• 3x - x = 28,
• 2x = 28,

El gato tiene ahora 14 años, luego han pasado 14 - 3 = 11 (años).

Respuesta: Han pasado 11 años.

Método de razonamiento se puede utilizar para resolver sofismas matemáticos.

Los errores cometidos en sofisma generalmente se reducen a lo siguiente: realizar acciones "prohibidas", usar dibujos erróneos, uso incorrecto de palabras, redacción inexacta, generalizaciones "ilegales", aplicaciones incorrectas de teoremas.

Revelar el sofisma es indicar un error de razonamiento, sobre cuya base se creó la apariencia externa de la prueba.

El análisis de los sofismas, en primer lugar, desarrolla el pensamiento lógico, inculca las habilidades del pensamiento correcto. Descubrir un error en el sofisma significa darse cuenta de él, y la realización de un error evita que se repita en otros razonamientos matemáticos. Además de la criticidad del pensamiento matemático, este tipo de problemas no estándar revela la flexibilidad del pensamiento. ¿Será capaz el estudiante de "liberarse" de este camino aparentemente estrictamente lógico, de romper la cadena de inferencias en el mismo eslabón que es erróneo y hace que todos los razonamientos posteriores sean erróneos?

El análisis de sofismas también ayuda a la asimilación consciente del material que se estudia, desarrolla la observación y una actitud crítica hacia lo que se estudia.

a) Aquí, por ejemplo, hay un sofisma con una aplicación incorrecta del teorema.

Demostremos que 2 2 = 5.

Tome la siguiente igualdad obvia como razón inicial: 4: 4 = 5: 5 (1)

Factorizando el factor común en los lados izquierdo y derecho, obtenemos:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Los números entre paréntesis son iguales, por lo que 4 = 5 o 2 2 = 5.

En el razonamiento, al pasar de la igualdad (1) a la igualdad (2), la ilusión de verosimilitud se crea a partir de una falsa analogía con propiedad de distribución multiplicación relativa a la suma.

b) Sofismo utilizando generalizaciones "ilegales".

Hay dos familias: Ivanovs y Petrovs. Cada uno consta de 3 personas: padre, madre e hijo. El padre Ivanov no conoce al padre Petrov. La madre de Ivanov no conoce a la madre de Petrova. El único hijo de los Ivanov no conoce al único hijo de los Petrov. Conclusión: ni un solo miembro de la familia Ivanov conoce a un solo miembro de la familia Petrov. ¿Es esto cierto?

Si un miembro de la familia Ivanov no conoce a un miembro de la familia Petrov igual a él en estado civil, esto no significa que no conozca a toda la familia. Por ejemplo, el padre Ivanov puede conocer a la madre y al hijo de los Petrov.

El método de razonamiento se puede utilizar para resolver tareas lógicas... Las tareas lógicas generalmente se entienden como tareas que se resuelven utilizando solo operaciones lógicas. A veces, resolverlos requiere un razonamiento prolongado, cuya dirección necesaria no se puede prever de antemano.

Tarea. Dicen que Tortila le dio la llave de oro a Buratino no tan fácilmente, como dijo A.N. Tolstoi, sino de una manera completamente diferente. Sacó tres cajas: roja, azul y verde. En el cuadro rojo estaba escrito: "Aquí hay una llave dorada", y en el azul - "El cuadro verde está vacío", y en el verde - "Aquí hay una serpiente". Tortila leyó las inscripciones y dijo: “Efectivamente, hay una llave dorada en una caja, una serpiente en otra y la tercera está vacía, pero todas las inscripciones son incorrectas. Si adivinas qué caja contiene la llave dorada, es tuya ". ¿Dónde está la llave de oro?

Dado que todas las inscripciones en los recuadros son incorrectas, el recuadro rojo no contiene una llave dorada, el recuadro verde no está vacío y no hay ninguna serpiente en él, lo que significa que hay una llave en el recuadro verde, una serpiente en el rojo. caja, y la azul está vacía.

Al resolver problemas lógicos, se activa el pensamiento lógico, y esta es la capacidad de deducir consecuencias a partir de premisas, lo cual es extremadamente necesario para el dominio exitoso de las matemáticas.

El acertijo es un misterio, pero el misterio no es del todo común. Las palabras y los números en los acertijos matemáticos se representan mediante dibujos, asteriscos, números y varios signos. Para leer lo que está encriptado en el acertijo, debe nombrar correctamente todos los objetos representados y comprender qué signo representa qué. Las personas usaban rompecabezas incluso cuando no sabían escribir. Hicieron sus letras a partir de objetos. Por ejemplo, los líderes de una tribu una vez enviaron un pájaro, un ratón, una rana y cinco flechas a sus vecinos en lugar de una carta. Esto significaba: “¿Sabes volar como pájaros y esconderte en el suelo como ratones, saltar sobre pantanos como ranas? Si no sabe cómo, no intente pelear con nosotros. Te bombardearemos con flechas tan pronto como ingreses a nuestro país ".

A juzgar por la primera letra de la suma 1), D = 1 o 2.

Suponga que D = 1. Entonces, ¿Y? 5. Excluimos Y = 5, ya que P no puede ser igual a 0. ¿Y? 6, porque 6 + 6 = 12, es decir P = 2. Pero tal valor de P no es adecuado para una verificación adicional. ¿Igualmente, Wu? 7.

Suponga que Y = 8. Entonces, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Un cuadrado mágico (mágico) es un cuadrado en el que la suma de los números a lo largo de la vertical, la horizontal y la diagonal es la misma.

Tarea. Organiza los números del 1 al 9 de modo que vertical, horizontal y diagonalmente, obtengas la misma suma de números, igual a 15.

Aunque no existen reglas generales para resolver problemas no estándar (por lo tanto, estas tareas se denominan no estándar), tratamos de dar una serie de pautas generales, recomendaciones que deben seguirse al resolver problemas no estándar de varios tipos. .

Cada tarea no estándar es original y única en su solución. En este sentido, la metodología desarrollada para la enseñanza de la actividad de búsqueda a la hora de resolver problemas no estándar no forma las habilidades para la resolución de problemas no estándar, solo podemos hablar de practicar ciertas habilidades:

• · La capacidad de comprender la tarea, resaltar las palabras principales (fundamentales);
• · La capacidad de identificar una condición y una pregunta, conocida y desconocida en el problema;
• · La capacidad de encontrar una conexión entre los datos y el deseado, es decir, analizar el texto del problema, cuyo resultado es la elección de una operación aritmética o una operación lógica para resolver un problema no estándar;
• · La capacidad de anotar el curso de la solución y la respuesta al problema;
• La capacidad de conducir trabajo adicional sobre la tarea;
• · La capacidad de seleccionar información útil contenida en el propio problema, en el proceso de su solución, para sistematizar esta información, correlacionándola con el conocimiento ya existente.

Las tareas no estándar desarrollan el pensamiento espacial, que se expresa en la capacidad de recrear imágenes espaciales de objetos en la mente y realizar operaciones sobre ellos. El pensamiento espacial se manifiesta al resolver problemas como: “Sobre el borde de un bizcocho redondo se colocaron 5 puntos de crema a la misma distancia entre sí. Se hicieron cortes en todos los pares de puntas. ¿Cuántos trozos de pastel hay? "

Método practico se puede considerar para problemas de división no estándar.

Tarea. El palo debe cortarse en 6 pedazos. ¿Cuántos cortes se requieren?

Solución: se requieren 5 cortes.

Al estudiar problemas de división no estándar, debe comprender: para cortar un segmento en P partes, debe hacer un corte (P - 1). Este hecho debe establecerse con los niños de manera inductiva y luego usarse para resolver problemas.

Tarea. En una barra de tres metros - 300 cm. Debe cortarse en barras de 50 cm de largo cada una. ¿Cuántas incisiones se deben hacer?

Solución: Obtenemos 6 barras 300: 50 = 6 (barras)

Discutimos de esta manera: para dividir la barra por la mitad, es decir, en dos partes, debe hacer 1 corte, en 3 partes - 2 cortes, y así sucesivamente, en 6 partes - 5 cortes.

Entonces, necesitas hacer 6 - 1 = 5 (cortes).

Respuesta: 5 cortes.

Entonces, uno de los principales motivos que motivan a los estudiantes a aprender es el interés por la asignatura. El interés es un enfoque cognitivo activo de una persona sobre un tema, fenómeno y actividad en particular, creado con un actitud emocional a ellos. Uno de los medios para desarrollar el interés por las matemáticas son los problemas no estándar. Se entiende por problema no estándar aquellos problemas para los cuales no existen reglas y regulaciones generales en el curso de matemáticas que determinen el programa exacto para su solución. Resolver estos problemas permite a los estudiantes participar activamente en actividades educativas. Hay varias clasificaciones de tareas y métodos para resolverlas. Los más utilizados son algebraicos, aritméticos, métodos prácticos y fuerza bruta, razonamiento y conjeturas.

Borodich

Irina Sergeevna

Un libro de texto para un maestro en un curso electivo de matemáticas para el grado 11 (perfil de física y matemáticas)

« Métodos no estándar resolver problemas de matemáticas "

Introducción. V condiciones modernas Una modernización significativa de la educación, surge un continuo de problemas, que tiene características sociales y personales e inhibe los cambios positivos.

Educación matemática en el sistema secundario educación general ocupa uno de los lugares principales, que definitivamente se determina relevancia práctica matemáticas, sus capacidades en el desarrollo y formación del pensamiento humano, su contribución a la creación de ideas sobre metodos cientificos conocimiento de la realidad.

Según la investigación de PIZA, el nivel de competencia matemática de los estudiantes en Rusia sigue siendo muy bajo, aunque estamos acostumbrados a estar orgullosos de los logros de la ciencia académica.

El problema más importante de la educación matemática actual es la falta de desarrollo de estructuras formales - operativas de la inteligencia (pensamiento lógico) y la baja motivación para la actividad intelectual teórica en la mayoría de los escolares.

Por otro lado, los métodos autoritarios de la pedagogía, que no contribuyeron al desarrollo de la inteligencia en los niños, y los métodos colectivos de trabajo, que redujeron el interés por las matemáticas, llevaron a este déficit.

Por tanto, el aspecto más importante de la educación actual es la individualización del proceso educativo en el estudio de las matemáticas y la tutoría por parte de los profesores del desarrollo del intelecto del niño.

Relevancia. Un curso sobre métodos de solución no estándar problemas de matematicas Es relevante, en primer lugar, porque hace que la educación sea más abierta, ampliando las capacidades intelectuales de los estudiantes de secundaria. En segundo lugar, este curso proporciona más fluidez en herramientas matemáticas como parte de la certificación final. Por otro lado, la matemática, al ser un área de conocimiento super-temática, contribuye al desarrollo del pensamiento lógico, la inteligencia en general y las habilidades comunicativas que contribuyen a la autorrealización del individuo. El curso también es relevante en relación con la expansión de la aplicación aplicada del cálculo matemático en otras áreas del conocimiento.

El curso ayudará a los estudiantes a evaluar sus necesidades, capacidades y tomar decisiones informadas en el camino de su vida futura.

Comenzando a trabajar en matemáticas con adolescentes más jóvenes, en los grados 6-7, en el marco de dividir la asignatura en dos apartados, realizo una prueba de análisis de habilidades matemáticas, diferenciando los resultados obtenidos para formar paquetes de tareas: para estudiantes con un nivel bajo de creatividad - paquetes de desarrollo, con un nivel medio de creatividad - tareas de mayor complejidad, con nivel alto- Tareas creativas. Al evaluar el efecto de las actividades, repito esta prueba en los grados 8-9 y 10-11. El resultado mostró que tal diferenciación contribuye a un desarrollo más intensivo y armonioso de los estudiantes.

El propósito de la educación especializada, como una de las áreas de modernización de la educación matemática, es proporcionar un estudio en profundidad de la materia y preparar a los estudiantes para la educación continua.

El curso "Métodos no estándar de resolución de problemas en matemáticas" implica el estudio de cuestiones que no están incluidas en curso general matemáticas de la escuela secundaria, pero son necesarias para un mayor estudio de la misma, con la certificación final en forma de Examen Estatal Unificado. La aparición de problemas resueltos por métodos no estándar en los exámenes está lejos de ser accidental, ya que con su ayuda, se prueba la técnica de dominar fórmulas matemáticas elementales, métodos de resolución de ecuaciones y desigualdades, la capacidad de construir una cadena lógica de razonamiento, el nivel de pensamiento lógico de los estudiantes y su cultura matemática.

El plan de estudios escolar no presta la debida atención a la solución de problemas de este tipo, la mayoría de los estudiantes (no grupos especializados físicos y matemáticos) o no hacen frente a tales problemas en absoluto o realizan cálculos engorrosos. La razón de esto es la ausencia de un sistema de tareas sobre este tema en los libros de texto escolares. En este sentido, se hizo necesario desarrollar y realizar una asignatura optativa para estudiantes de 11 grados de perfil físico y matemático.

La variedad de problemas no estándar cubre todo el curso de matemáticas escolares, por lo tanto, dominar las técnicas para resolverlos puede considerarse un criterio para el conocimiento de las secciones principales de las matemáticas escolares, el nivel de pensamiento matemático y lógico.

El estudio de métodos no estándar para resolver problemas matemáticos proporciona un material excelente para este trabajo de investigación educativa.

El curso permitirá a los estudiantes sistematizar, ampliar y fortalecer sus conocimientos, prepararse para el estudio posterior de las matemáticas y aprender a resolver diversos problemas de diversa complejidad.

El curso ayudará al profesor a preparar a los alumnos con la mejor calidad para las olimpíadas de matemáticas, superando el examen y los exámenes de admisión a las universidades.

Novedad. El curso es innovador, ya que promueve un desarrollo más profundo. ciencia matemática en el bachillerato, tanto en grupos especializados como en el nivel básico. La novedad es la construcción de un curso sobre métodos para la resolución de problemas matemáticos y formas de implementar los conocimientos matemáticos. El curso es una especie de simulador en preparación para la certificación final y elección profesional de especialidades matemáticas.

Revisión de literatura. Este curso está dirigido a estudiantes de 11 ° grado del perfil físico y matemático. Contenido material de enseñanza corresponde a las metas y objetivos de la formación especializada. Al inicio del curso optativo se realizó un diagnóstico de creatividad matemática. Metodológicamente, me baso en la parte teórica en el trabajo de V.P. Suprun "Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para resolver problemas en matemáticas" y Olekhnik S.N. Métodos no estándar para resolver ecuaciones y desigualdades: .

El objetivo principal del curso:

Creación de condiciones para el desarrollo del pensamiento lógico, la cultura matemática y la intuición de los estudiantes mediante la resolución de problemas de mayor complejidad utilizando métodos no tradicionales;

Objetivos del curso:

formar la competencia de los estudiantes en la resolución de problemas no estándar;

el estudio del curso implica la formación del interés de los estudiantes en la materia, el desarrollo de sus habilidades matemáticas, la preparación para el examen y para continuar sus estudios en la universidad;

desarrollar actividades de investigación y cognitivas de los estudiantes;

Crear condiciones para la autorrealización de los estudiantes en el proceso. Actividades de aprendizaje.

Desarrollar la capacidad de adquirir y aplicar conocimientos de forma independiente.

Los principios generales para seleccionar el contenido del curso son:

Consistencia

Integridad

Cientificidad.

Accesibilidad, según las características psicológicas y de edad de los alumnos de clases especializadas.

El curso contiene el material necesario para lograr los objetivos planificados. Este curso es una fuente que expande y profundiza el aprendizaje, brinda la integración de la información necesaria para la formación del pensamiento matemático, la lógica y el estudio de disciplinas afines.

El lugar de este curso está determinado por la necesidad de prepararse para actividad profesional, tiene en cuenta los intereses e inclinaciones profesionales de los estudiantes de secundaria, lo que le permite obtener un mejor resultado final.

Concepto del curso.

Al cursar la asignatura de Matemáticas en el bachillerato en el nivel básico, se prosigue el estudio de los apartados: "Álgebra", "Funciones", "Ecuaciones y Desigualdades", "Geometría", "Elementos de Lógica, Combinatoria, Estadística y Teoría de Probabilidades ", se introduce la línea" Principio del análisis matemático "...

En el curso de dominar el contenido de la educación matemática, los estudiantes dominan una variedad de diferentes caminos actividades, ganar y mejorar experiencia:

construcción e investigación de modelos matemáticos para describir y resolver problemas aplicados, problemas de disciplinas afines;

implementación y compilación independiente de prescripciones e instrucciones algorítmicas basadas en material matemático; realizar cálculos de carácter práctico; el uso de fórmulas matemáticas y la compilación independiente de fórmulas basadas en la generalización de casos especiales y experimentación;

trabajo independiente con fuentes de información, generalización y sistematización de la información recibida, integrándola en la experiencia personal;

realizar razonamientos basados ​​en evidencia, justificación lógica de conclusiones, distinguir entre declaraciones probadas y no probadas, juicios razonados y emocionalmente convincentes;

actividades independientes y colectivas, incluyendo sus resultados en los resultados del trabajo del grupo, correlacionando sus opiniones con las opiniones de otros miembros del equipo educativo y la opinión de fuentes autorizadas.

En el curso de perfil, el contenido de la educación se desarrolla en las siguientes direcciones:

sistematización de información sobre el número; la formación de representaciones de conjuntos numéricos como una forma de construir un nuevo aparato matemático necesario para resolver problemas del mundo circundante y problemas internos de las matemáticas; mejora de las técnicas informáticas;

desarrollo y perfeccionamiento de la técnica de transformaciones algebraicas, solución de ecuaciones, desigualdades, sistemas;

sistematización y ampliación de información sobre funciones, mejora habilidades gráficas; conocimiento de las ideas y métodos básicos de análisis matemático en un volumen que le permite estudiar funciones elementales y resolver los problemas geométricos, físicos y otros problemas aplicados más simples;

desarrollo de ideas sobre patrones probabilísticos y estadísticos en el mundo circundante;

perfección desarrollo matemático a un nivel que le permita aplicar libremente los hechos y métodos aprendidos al resolver problemas de varias secciones del curso, así como usarlos en situaciones no estándar;

formación de la capacidad para construir y explorar los modelos matemáticos más simples al resolver problemas aplicados, problemas de disciplinas relacionadas, profundización del conocimiento sobre las características de la aplicación métodos matemáticos al estudio de procesos y fenómenos en la naturaleza y la sociedad.

en el curso de estudiar matemáticas en un curso especializado en la escuela secundaria, los estudiantes continúan dominando una variedad de formas de actividad, adquiriendo y mejorando la experiencia:

realizar razonamientos basados ​​en evidencia, razonamiento lógico de conclusiones, el uso de diferentes lenguajes matemáticos para ilustración, interpretación, argumentación y prueba;

resolución de una amplia clase de problemas de varias secciones del curso, búsqueda y actividades creativas al resolver problemas de mayor complejidad y problemas atípicos;

planificación e implementación de actividades algorítmicas: implementación y compilación independiente de prescripciones e instrucciones algorítmicas basadas en material matemático; uso y compilación independiente de fórmulas basadas en la generalización de casos especiales y resultados experimentales; realizar cálculos de carácter práctico;

construcción e investigación de modelos matemáticos para describir y resolver problemas aplicados, problemas de disciplinas relacionadas y vida real; comprobar y evaluar los resultados de su trabajo, correlacionándolos con la tarea en cuestión, con la experiencia de vida personal;

trabajo independiente con fuentes de información, análisis, generalización y sistematización de la información recibida, integrándola en la experiencia personal.

En las escuelas rusas, comienza una transición gradual a los estándares educativos del estado federal de la segunda generación de educación general (en adelante, FSES), cuya misión principal es mejorar la calidad de la educación. Una característica del año académico 2011/2012 es la introducción del Estándar Educativo del Estado Federal de educación primaria general en escuela primaria y preparación constante para la introducción del estándar educativo estatal federal para la educación general básica. Por tanto, ya ahora es necesario comprender su base teórica y metodológica, estructura y contenido.

El Estándar Educativo del Estado Federal contará con garantías estatales de que los resultados educativos se lograrán en un determinado entorno informativo y educativo, que consiste en: personal docente, material y apoyo técnico, financiero y económico de información.

Aunque el contenido de la educación matemática se presenta en forma de secciones de contenido tradicionales: "Aritmética", "Álgebra", "Geometría", "Análisis matemático", "Probabilidad y estadística", al mismo tiempo, se supone que familiarizarse con la historia de las matemáticas y dominar los siguientes conceptos y métodos matemáticos generales:

definiciones y conceptos iniciales (indefinidos), demostraciones, axiomas y teoremas, hipótesis y refutaciones, contraejemplos, errores típicos de razonamiento;

teorema directo e inverso, existencia y unicidad de un objeto, condición necesaria y suficiente para la corrección de un enunciado, prueba por contradicción, método de inducción matemática;

modelo matemático, matemáticas y problemas de física, química, biología, economía, geografía, lingüística, sociología, etc.

Con base en las posiciones anteriores, los métodos no estándar para resolver problemas en matemáticas son una herramienta para la formación tanto del pensamiento matemático como de las competencias matemáticas, es decir, disposición para aplicar métodos no estándar en la resolución de cálculos matemáticos teóricos y aplicados.

Al mismo tiempo, los modelos matemáticos de ciertos procesos de la naturaleza y la tecnología requieren un procesamiento matemático, no siempre de la manera tradicional.

Dichos enfoques a la aplicación y uso de las matemáticas contribuyen a la formación a través de acciones personales, personales (superación personal y autoestima), meta-sujeto (la formación de metas, tareas, procesos para su solución) y resultados objetivos.

Los enfoques no estándar para el desarrollo de las matemáticas como un área supra-temática hacen que la educación sea abierta y el entorno educativo se está desarrollando.

Temas de trabajo abstracto, de investigación y de diseño:

Historia de las matematicas

Matemáticos renacentistas

El número como concepto básico en matemáticas

Leer y escribir números naturales.

La relación de la conciencia con la materia: matemáticas y realidad objetiva

Intuicion matematica

Los números que transformaron el mundo

Bernoulli

Ecuaciones irracionales

Usar gráficas para resolver ecuaciones

El curso está destinado a estudiantes de 11 ° grado de física y matemáticas.

El volumen de horas es de 33 horas (1 hora por semana).

El curso se divide en módulos, de tres horas cada uno, unidos por el tema de resolución de problemas.

Plan académico-temático

Temas y secciones

Horas totales

Incluso

Formas de realización

Introducción

Personal

Mini - conferencia

1. Método de sustitución funcional

Regulador

Seminario, formación

2. Método de sustitución trigonométrica

Cognitivo, personal y regulatorio

Seminario, formación

3. Métodos basados ​​en la aplicación de desigualdades numéricas

Regulatorio y comunicativo

Seminario, formación

4. Métodos basados ​​en el uso de la monotonicidad de funciones.

Regulatorio y comunicativo

Seminario, formación

5. Métodos para resolver ecuaciones funcionales.

Seminario, formación

6. Métodos basados ​​en el uso de vectores

Personal y regulatorio

Seminario, formación

7. Métodos combinados

Cognitivo, personal y regulatorio, comunicativo

Tecnología de pensamiento crítico

8. Métodos basados ​​en el uso de funciones limitadas

Regulatorio y comunicativo

Seminario, formación

9. Métodos para resolver sistemas simétricos de ecuaciones.

Regulador

Seminario, formación

10. Métodos para resolver ecuaciones que contienen partes enteras o fraccionarias de un número.

Regulador

Seminario, formación

Lección final

Comunicativo

Lección - conferencia (defensa de trabajos de diseño, investigación y resúmenes)

Introducción: 1 hora (1 - teórico)

El valor de las matemáticas como ciencia y en la vida humana. Valor aplicado. La belleza de las formas no estándar de resolver problemas. Distribución de temas de diseño, investigación y trabajos abstractos.

1. Método de sustitución funcional: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Método de sustitución funcional. Nueva variable , su aplicación. Ecuaciones irracionales. Sistemas de ecuaciones. Ecuaciones de la forma x 2 + (ah) 2 2 = s. Ecuaciones reflexivas. Varias otras ecuaciones, cuya solución requiere la introducción de una nueva variable.

2. Método de sustitución trigonométrica: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Método de sustitución trigonométrica. Reemplazo de una variable desconocidaX Funcion trigonometrica:x = ox =... Ecuaciones irracionales. Ecuaciones racionales. Ecuaciones exponenciales... Sistemas de ecuaciones.

3. Métodos basados ​​en la aplicación de desigualdades numéricas: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos basados ​​en la aplicación de desigualdades numéricas. Desigualdad de Cauchy. La desigualdad de Bernoulli. Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky.

4. Métodos basados ​​en el uso de la monotonía de funciones: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos basados ​​en el uso de la monotonicidad de funciones. Ecuación de la forma f (x) = g (x). Investigación de funciones para la monotonicidad.

5. Métodos para resolver ecuaciones funcionales: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos para resolver ecuaciones funcionales. Ecuaciones de la forma f (f (… (f (x))…)) = x. Ecuaciones de la forma f (g (x)) = f (h (x)).

6.Métodos basados ​​en el uso de vectores: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos basados ​​en el uso de vectores. Vector en espacio tridimensional. Longitud del vector. La suma y la diferencia de dos vectores. Vectores colineales. Desigualdad triangular.

7.Métodos combinados: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos combinados. Tareas con parámetros. Ecuaciones irracionales. Ecuaciones logarítmicas... Ecuaciones y desigualdades que contienen el módulo. Sistemas de ecuaciones. Pruebas de desigualdades.

8.Métodos basados ​​en el uso de funciones limitadas: 3 horas (1 hora - taller; 2 horas - formación)

Métodos basados ​​en el uso de funciones limitadas. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas. Funciones que contienen módulo, grado e incluso raíz.

9. Métodos para resolver sistemas simétricos de ecuaciones: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos para resolver sistemas simétricos de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones con ocurrencia simétrica de términos o factores.

10. Métodos para resolver ecuaciones que contienen partes enteras o fraccionarias de un número: 3 horas (1 hora - seminario; 2 horas - formación)

Métodos para resolver ecuaciones que contienen partes enteras y fraccionarias de un número. Toda una parte Número Real... Parte fraccionaria de un número real.

11. Lección final: 2 horas (Lección - conferencia (defensa del diseño, investigación y trabajos abstractos))

Implementación de la formación de acciones educativas universales en el marco de la implementación de la generación FSES II para nivel de perfil escuela secundaria

RESULTADOS PERSONALES

Evaluar situaciones y acciones(valorar actitudes, orientación moral)

Hacer una elección en relación a las acciones, formando actitudes hacia modelos de comportamiento socialmente aprobados y morales, resolviendo las contradicciones morales sobre la base de:

Valores humanos generales y valores rusos, incluida la humanidad, el respeto por el trabajo, la cultura;

La importancia de cumplir con los roles sociales relacionados con la edad (“hijo”, “hija”, el rol de “buen estudiante”), la importancia de aprender y aprender cosas nuevas;

La importancia de respetar la salud humana y la naturaleza;

La importancia de desarrollar el potencial espiritual de una persona (distinguir entre "bello" y "feo", la necesidad de "bello" y la negación de lo "feo", el anhelo de autoconocimiento y la justicia propia);

La importancia de la educación, un estilo de vida saludable, la belleza de la naturaleza y la creatividad.

Predecir evaluaciones de las mismas situaciones desde el punto de vista de diferentes personas que difieren en nacionalidad, cosmovisión, posición en la sociedad, etc. (pensamiento y comportamiento tolerantes)

Aprenda a notar y reconocer las discrepancias entre sus acciones y sus posiciones, puntos de vista y opiniones declarados.

Explique el significado de sus evaluaciones, motivos, metas.

(autorreflexión personal, capacidad de autodesarrollo, motivación para aprender, aprender)

IMPLEMENTACIÓN

Explique las valoraciones positivas y negativas, incluidas las acciones ambiguas, desde el punto de vista de los valores cívicos humanos y rusos universales.

Explique las diferencias en las valoraciones de la misma situación, escritura. por diferentes personas(incluidos ellos mismos), como representantes de diferentes visiones del mundo, diferentes grupos de la sociedad.

Elección social propia y elección de modelos de comportamiento.

AUTOCONCIENCIA

Explícate a ti mismo:

Positivo "Yo soy el concepto"

- “lo bueno y lo malo de mí” (cualidades personales, rasgos de carácter), “lo que quiero” (metas, motivos), “lo que puedo” (resultados).

Autodeterminación en los valores de la vida(en palabras)y actuar de acuerdo con ellos, siendo responsable de sus actos(cargo personal, identidad rusa y civil)

AUTODETERMINACIÓN

Reconocerse a sí mismo como ciudadano de Rusia y una parte valiosa del mundo cambiante y multifacético, incluyendo

Explica lo que te une:

con parientes, con familia

con tus seres queridos, amigos, compañeros de clase

con compatriotas, gente

con tu patria

con toda la gente

con la naturaleza

Explica qué te conecta con la historia, la cultura, el destino de tu gente y de toda Rusia;

Sienta un sentido de orgullo por su gente, su tierra natal, empatice con ellos en alegrías y problemas y muestre estos sentimientos en buenas acciones;

Defender (dentro de sus capacidades) el orden civil democrático humano, igualitario y prevenir su violación;

Busque su posición en la diversidad de posiciones sociales y de cosmovisión, preferencias estéticas y culturales;

Luchar por el entendimiento mutuo con representantes de otras culturas, cosmovisiones, pueblos y países, basado en el interés y el respeto mutuos;

Respetar una opinión, historia y cultura diferente de otros pueblos y países, no permitir que sean insultados, ridiculizados;

Realice buenas acciones que sean útiles para otras personas, para su país, incluso renunciar a algunos de sus deseos por su bien.

Determinación de su lugar en el mundo de la naturaleza y el mundo de la cultura;

Formar un modelo de comportamiento libre de conflictos que contribuya a la superación no violenta y equitativa del conflicto.

Hacer una elección informada del modelo de comportamiento en situaciones evaluadas ambiguamente, basado en:

Cultura, gente, cosmovisión, a la que sientes tu implicación,

Valores cívicos básicos de Rusia,

Valores humanos y humanistas generales, incluidos los valores de las relaciones pacíficas de buena vecindad de personas de diferentes culturas, posiciones, cosmovisiones,

Las bien conocidas y simples reglas generalmente aceptadas de comportamiento "bueno", "seguro", "hermoso", "correcto",

Empatía en las alegrías y en los problemas de “nuestros”: familiares, amigos, compañeros de clase,

Empatía por los sentimientos de otras personas que no son como tú, capacidad de respuesta a los problemas de todos los seres vivos.

Formar una adecuada autoestima y responsabilidad por las acciones y seres queridos.

EFECTO REGULATORIO

Determinar y formular el objetivo de la actividad, elaborar un plan de acción para resolver el problema (tarea)

Determine el objetivo de la actividad educativa y el establecimiento de objetivos de la enseñanza de forma independiente, busque los medios para su implementación.

Encuentre y formule el problema y la idea educativa principal, primero junto con el maestro y luego, de forma independiente, elija el tema del proyecto con la ayuda del maestro y de forma independiente.

Elaborar un plan de realización de tareas, resolución de problemas de carácter creativo y exploratorio, realización de un proyecto junto con un profesor.

Dominar los conceptos básicos de las actividades de investigación y proyectos a través del trabajo educativo y extracurricular.

Tomar medidas para implementar el plan.

Trabajando en un proyecto, planifique sus etapas con el propósito de implementación y, si es necesario, ajuste las etapas de su implementación.

Aprender a trabajar con información, utilizándola en la implementación de planes y resolución de problemas educativos y de investigación (libros de referencia, dispositivos complejos, herramientas TIC).

Correlacione el resultado de sus actividades con el objetivo y evalúelo

En diálogo con el docente, aprender a desarrollar criterios de evaluación y determinar el grado de éxito en el desempeño del propio trabajo y el trabajo de todos, en base a los criterios existentes, mejorar los criterios de evaluación y utilizarlos en el curso de evaluación y autoevaluación. evaluación.

Durante la presentación del proyecto, aprenda a evaluar sus resultados.

Comprenda las razones de su fracaso y encuentre formas de salir de esta situación.

Extraer información, navegar por su sistema de conocimiento y darse cuenta de la necesidad de nuevos conocimientos, hacer una selección preliminar de fuentes de información para buscar nuevos conocimientos, obtener nuevos conocimientos (información) de diversas fuentes y de diferentes formas.

Asumir de forma independiente qué información se necesita para resolver un problema educativo de una asignatura que consta de varios pasos.

Seleccionar de forma independiente los diccionarios, enciclopedias, libros de referencia, discos electrónicos necesarios para la resolución de problemas educativos de la asignatura.

LUD COGNITIVO

Comparar y seleccionar información obtenida de diversas fuentes (diccionarios, enciclopedias, libros de referencia, discos electrónicos, Internet).

Forma tu propia posición en el mundo de la información

Procesar información para obtener el resultado deseado, incluso para crear un nuevo producto.

Realice acciones lógicas universales:

Realizar análisis (extracción de características),

Hacer síntesis (componer un todo a partir de partes, incluso con finalización independiente),

Elija la base para la comparación, serialización, clasificación de objetos,

Predecir el resultado esperado de la resolución de problemas educativos,

Establecer analogías y relaciones causales,

Construye una cadena lógica de razonamiento.

Asignar objetos a conceptos conocidos.

Crear modelos que resalten las características esenciales de un objeto y presentarlas en forma espacial-gráfica o de signo-simbólico, transformar modelos para identificar leyes generales que definen un área temática determinada.

Utilice la información en las actividades del proyecto bajo la guía de un profesor-consultor.

Convierta información de un formulario a otro y elija el formulario que más le convenga

Presentar información en forma de tablas, diagramas, notas de referencia, incluido el uso de herramientas TIC.

Haz un esquema simple y complejo del texto.

Ser capaz de transmitir contenido de forma comprimida, selectiva o expandida.

UUD COMUNICATIVA

Comunique su posición a los demás, dominando las técnicas del monólogo y el discurso dialógico.

Dominar la actividad efectiva del habla a través de la lengua materna y su componente emocional.

Formule sus pensamientos en forma oral y escrita, teniendo en cuenta su educación y su vida. situaciones de habla, incluso con el uso de herramientas TIC.

Si es necesario, defiende tu punto de vista, arguyéndolo. Aprenda a respaldar argumentos con hechos.

Aprenda a ser crítico con sus propias opiniones.

Comprender otras posiciones (puntos de vista, intereses)

Escuche a los demás, intente aceptar un punto de vista diferente, esté preparado para cambiar su punto de vista.

Analice el texto estudiado, mientras hace lo siguiente:

Comparándolo con su propia posición sobre este tema (problema);

Revise todo tipo de información textual (fáctica, subtexto, conceptual).

Reflexione sobre su propia actitud ante la idea del trabajo;

Negociar con las personas, acordar con ellas sus intereses y puntos de vista, para poder hacer algo juntos.

Organizar la interacción educativa en grupo (asignar roles, negociar entre ellos, etc.).

Acepta las opiniones de otras personas del grupo.

Anticipar (predecir) las consecuencias de las decisiones colectivas.

Apoyo didáctico

El curso tiene el carácter de profundizar en el estudio de las matemáticas en grupos especializados y en preparación para competiciones y olimpiadas. El curso implica un análisis adicional de las técnicas más complejas para resolver problemas matemáticos y ecuaciones. Al mismo tiempo, el curso se basa principalmente en dos formas de actividad: seminarios y capacitaciones. Los seminarios, que tienen el carácter de tutoriales, tratan los aspectos teóricos de la ciencia matemática. El propósito del estudio es dominar métodos no estándar para resolver problemas matemáticos complejos. Al mismo tiempo, debido a la complejidad y ambigüedad de los métodos, los estudiantes en el modo de formación desarrollan el pensamiento lógico y la competencia matemática.

Las clases se alinean con la participación activa de estudiantes que: rastrean soluciones, forman el pensamiento crítico y la evaluación y autoestima adecuadas. Al mismo tiempo, se forman todas las acciones educativas universales y, como resultado, competencias educativas clave:

analítica - actividad,

profético,

informativo

comunicativo

reflexivo.

Todas las clases se construyen de acuerdo con el plan desarrollado por mí en el proceso de práctica.

al familiarizarse con nuevas formas de resolver: el trabajo del maestro con demostración de ejemplos;

al mejorar;

sesiones de entrenamiento;

trabajo individual;

análisis de soluciones listas para usar;

trabajo independiente con pruebas;

En el aula, se utilizan varias formas y métodos de trabajar con los estudiantes:

Seminarios, miniconferencias, mesas redondas, clases magistrales, formaciones, trabajo individual y en pequeños grupos.

Los métodos de enseñanza están determinados por los objetivos del curso destinados a desarrollar las habilidades matemáticas de los estudiantes y las competencias básicas en la materia.

V planificación temática Se destaca la parte práctica, que se implementa sobre los conocimientos de los estudiantes obtenidos durante el curso de la formación teórica.

Al final de cada sección, se espera un control intermedio en forma de pruebas de entrenamiento y otros métodos activos.

La efectividad del curso se determina durante la lección-conferencia final, construida sobre la defensa de la búsqueda y la investigación, el diseño y los trabajos abstractos.

El material del curso se construye teniendo en cuenta el uso de métodos de enseñanza activos, y la distribución racional de las secciones del programa le permitirá obtener conocimientos de alta calidad y lograr los resultados planificados. El curso cuenta con el complejo educativo y metodológico necesario para su implementación.

En el proceso de estudio de este curso, se supone que se utilizan varios métodos para mejorar la actividad cognitiva de los escolares, así como diferentes formas organización de su trabajo independiente.

El resultado de dominar el programa del curso es la presentación por parte de los escolares de trabajos creativos individuales y grupales en la lección final.

Tecnologías utilizadas: tecnología para el desarrollo del pensamiento crítico, tecnología de problemas, tecnología para la resolución de problemas de investigación (TRIZ), tecnologías de la información y la comunicación.

Literatura para el profesor:

Azarov A.I. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos funcionales y gráficos para resolver problemas de examen / A.I. I. Azarov, S. A. Barvenov. - Minsk: Aversev, 2004.

Epifanova T.N.

formas / TN Epifanova Matemáticas en la escuela. - No. 4. - 2000.

Mukhametzyanova F.S. Metodista del Departamento de Educación Física y Matemática UIPKPRO, Profesor de Honor de la Federación de Rusia Características de la enseñanza materia académica"Matemáticas" en el curso 2011-2012. (24.02.2009).

Olekhnik S.N. Métodos no estándar para resolver ecuaciones y desigualdades: Manual / S. N. Olekhnik, M. K. Potapov, P. I. Pasichenko. - M.: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1991.

Potapov M.K., Shevkin A.V. Razonamiento con valores numéricos en la resolución de sistemas de ecuaciones / Matemáticas en la escuela. - Numero 3. - 2005.

Programa educativo básico aproximado de una institución educativa.

corresponsal de RAO A.M. Kondakov, académico de RAO L.P. Kezina)

V.P.Suprun. Matemáticas para estudiantes de secundaria. Tareas de mayor complejidad. - Minsk: "Aversev", 2002.

Literatura para estudiantes:

Suprun V.P. Métodos no estándar para la resolución de problemas en matemáticas / Suprun V.P. - Minsk: Polymya, 2000.

Álgebra y análisis matemático. Grado 10: Libro de texto para escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas / N. Ya. Vilenkin, OS Ivashev-Musatov, SI Shvartsburd. - M .: Mnemosina, 2006

Álgebra y análisis matemático. Grado 11: Libro de texto para escuelas y clases con un estudio en profundidad de las matemáticas / N. Ya. Vilenkin, OS Ivashev-Musatov, SI Shvartsburd. - M .: Mnemosina, 2006

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
Versión completa El trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF.

Introducción

La educación matemática recibida en la escuela es un componente esencial de la educación general y cultura general hombre moderno... Casi todo lo que rodea a una persona moderna está relacionado de alguna manera con las matemáticas. Y los últimos logros en física, tecnología y tecnologías de la información No deje ninguna duda de que las cosas seguirán igual en el futuro. Por tanto, la solución de muchos problemas prácticos se reduce a resolver diferentes tipos ecuaciones.

Las ecuaciones en el curso de álgebra escolar ocupan un lugar destacado. Se dedica más tiempo a su estudio que a cualquier otro tema del curso de matemáticas de la escuela. La fuerza de la teoría de las ecuaciones radica en el hecho de que no solo tiene un significado teórico para el conocimiento de las leyes naturales, sino que también tiene fines prácticos específicos.

Relevancia del tema radica en el hecho de que en las lecciones de álgebra, geometría, física, muy a menudo nos encontramos con la solución de ecuaciones cuadráticas. La mayoría de los problemas sobre formas espaciales y relaciones cuantitativas el mundo real se reduce a resolver varios tipos de ecuaciones. Al dominar las formas de resolverlos, las personas encuentran respuestas a diversas preguntas de la ciencia y la tecnología (transporte, Agricultura, industria, comunicaciones, etc.). Por tanto, cada alumno debe ser capaz de resolver correcta y racionalmente ecuaciones cuadráticas, esto también me puede ser útil a la hora de resolver más tareas difíciles, incluso en el grado 9, así como en el 10 y 11 y al aprobar los exámenes.

Objetivo: Explore estándar y no métodos estándar soluciones de ecuaciones cuadráticas

Tareas

1. Describe las formas más famosas de resolver ecuaciones.
2. Esbozar formas no estándar de resolver ecuaciones.
3. Haz una conclusión

Objeto de estudio: ecuaciones cuadráticas

Tema de estudio: formas de resolver ecuaciones cuadráticas

Métodos de búsqueda:

• Teórico: estudio de la literatura sobre el tema de investigación;
• Análisis: información obtenida del estudio de la literatura; resultados obtenidos al resolver ecuaciones cuadráticas de varias formas.
• Comparación de métodos por la racionalidad de su uso al resolver ecuaciones cuadráticas.

Capítulo 1 Ecuaciones cuadráticas y soluciones estándar

1.1 Definición ecuación cuadrática

Ecuación cuadrática se llama una ecuación de la forma ax 2 + bx + c= 0, donde X- variable , a, b y Con- algunos números, además, a≠ 0.

Números a, b y Con - coeficientes de la ecuación cuadrática. Número a llamado el primer coeficiente, el número B- el segundo coeficiente y el número C- miembro gratuito.

Ecuación cuadrática completa Es una ecuación cuadrática en la que están presentes los tres términos, es decir, los coeficientes byc son distintos de cero.

Ecuación cuadrática incompleta Es una ecuación en la que al menos uno de los coeficientes en o, c es igual a cero.

Definición 3. Por la raíz de la ecuación cuadrática Oh 2 + BX + Con= 0 es cualquier valor de la variable x para la cual trinomio cuadrado Oh 2 + BX+ Con desaparece.

Definición 4... Resolver una ecuación cuadrática significa encontrarla toda

raíces o establecer que no hay raíces.

Ejemplo: - 7 x + 3 =0

En cada una de las ecuaciones de la forma a + bx + c= 0, donde a≠ 0, el mayor grado de la variable X- cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.

Ecuación cuadrática en la que el coeficiente en X 2 es igual a 1, llamado ecuación cuadrática reducida.

Ejemplo

X 2 - 11x + 30=0, X 2 -8x = 0.

1.2 Métodos estándar para resolver ecuaciones cuadráticas

Resolver ecuaciones cuadráticas seleccionando el cuadrado del binomio

La solución de una ecuación cuadrática en la que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero. Este método de resolver la ecuación cuadrática se llama selección del cuadrado del binomio.

Factorizar el lado izquierdo de la ecuación.

Resolvamos la ecuación x 2 + 10x - 24 = 0... Factoricemos el lado izquierdo:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: (x + 12) (x - 2) = 0

Un producto de factores es cero si al menos uno de sus factores es cero.

Respuesta: -12; 2.

Resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula.

Discriminante de una ecuación cuadráticahacha 2 + bx + C= 0 expresión b 2 - 4ac = D - por cuyo signo se juzga que esta ecuación tiene raíces reales.

Casos posibles según el valor de D:

1. Si D> 0, entonces la ecuación tiene dos raíces.
2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz: x =
3. Si D< 0, entonces la ecuación no tiene raíces.

Solución de ecuaciones mediante el teorema de Vieta.

Teorema: La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al segundo coeficiente tomado de signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.

La ecuación cuadrática dada tiene la forma:

x 2 + bx + c= 0.

Denotemos el segundo coeficiente con la letra p, y el término libre con la letra q:

x 2 + px + q= 0, entonces

x 1 + x 2 = - p; x 1 x 2 = q

Capítulo 2: Formas no estándar de resolver ecuaciones cuadráticas

2.1 Solución usando las propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática

Las propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática es una forma de resolver ecuaciones cuadráticas que te ayudará a encontrar rápida y oralmente las raíces de la ecuación:

ax 2 + bx + c= 0

1. Sia + b + c = 0, entoncesX 1 = 1, X 2 =

Ejemplo. Considere la ecuación x 2 + 3x - 4 = 0.

a+ b + c = 0, entonces x 1 = 1, x 2 =

1 + 3 + (- 4) = 0, luego x 1 = 1, x 2 = = - 4

Comprobemos las raíces obtenidas encontrando el discriminante:

D = b 2- 4ac = 3 2-4 1 (-4) = 9 + 16 = 25

x 1 = = = = = - 4

Por tanto, si + b + c = 0, entonces x 1 = 1, x 2 =

1. Sib = a + C , entoncesX 1 = -1, X 2 =

x 2 + 4X+1 = 0, a = 3, b = 4, c = 1

Si b =a + C, luego x 1 = -1, x 2 =, luego 4 = 3 + 1

Raíces de ecuación: x 1 = -1, x 2 =

Entonces las raíces de esta ecuación son -1 y. Comprobemos esto encontrando el discriminante:

D = b 2- 4ac = 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4

x 1 = = = = = - 1

Por eso, b =a + C, entonces x 1 = -1, x 2 =

2.2. Método de "transferencia"

Con este método, el coeficiente a multiplicado por un término libre, como si se le "arrojara", por eso se llama por medio de "transferencia". Este método se utiliza cuando puede encontrar fácilmente las raíces de la ecuación utilizando el teorema de Vieta y, lo que es más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.

Si a± b + c≠ 0, entonces se utiliza la técnica de transferencia:

3 veces 2 +4x + 1=0; 3+4+1 ≠ 0

Aplicando el método de "transferencia", obtenemos:

X 2 + 4x + 3= 0

Así, usando el teorema de Vieta, obtenemos las raíces de la ecuación:

x 1 = - 3, x 2 = -1.

Sin embargo, las raíces de la ecuación deben dividirse por 3 (el número que se "arrojó"):

Entonces, obtenemos las raíces: x 1 = -1, x 2 =.

Respuesta: ; - una

2.3 Resolver usando la regularidad de los coeficientes

1. Si la ecuaciónax 2 + bx + c= 0, coeficienteB= (a 2 +1) y el coeficienteC = a, entonces sus raíces son iguales ax 1 = - a, x 2 =

hacha 2 +(un 2 + 1)∙ x + a = 0

Ejemplo. Considere la ecuación 3 x 2 + 10x+3 = 0.

Entonces las raíces de la ecuación son: x 1 = -3 , x 2 =

D = b 2- 4ac = 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = =; Por lo tanto, x 1 = - a, x 2 =

1. Si la ecuaciónhacha 2 - bx + c= 0, coeficienteB= (a 2 +1) y el coeficienteC = a, entonces sus raíces son iguales ax 1 = a, x 2 =

Por tanto, la ecuación a resolver debe tener la forma

hacha 2 -(un 2 + 1)∙ x + a = 0

Ejemplo. Considere la ecuación 3 x 2 - 10 veces+3 = 0.

, x 2 =

Comprobemos esta solución usando el discriminante:

D = b 2- 4ac = 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64

a, x 2 =

1. Si la ecuaciónax 2 + bx - c= 0, coeficienteB= (a 2 -1), y el coeficienteC = a, entonces sus raíces son iguales ax 1 = - a, x 2 =

Por tanto, la ecuación a resolver debe tener la forma

hacha 2 +(a 2 - 1)∙ x - a = 0

Ejemplo. Considere la ecuación 3 x 2 + 8x - 3 = 0..

Por tanto, las raíces de la ecuación: X 1 = - 3, X 2 =

Comprobemos esta solución usando el discriminante:

D = b 2- 4ac = 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 1 = = = = = - 3

x 2 = = = = =; Por lo tanto, x 1 = - a, x 2 =

1. Si la ecuaciónhacha 2 - bx - c= 0, coeficienteB= (a 2 -1), y el coeficienteC = a, entonces sus raíces son iguales ax 1 = a, x 2 =

Por tanto, la ecuación a resolver debe tener la forma

hacha 2 -(a 2 - 1)∙ x - a = 0

Ejemplo. Considere la ecuación 3 x 2 - 8x - 3 = 0..

Por tanto, las raíces de la ecuación: x 1 = 3 , x 2 = -

Comprobemos esta solución usando el discriminante:

D = b 2- 4ac = 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100

x 2 = = = = = 3; Por lo tanto, x 1 = a, x 2 = -

2.4 Solución con brújula y regla

Sugiero la siguiente forma de encontrar las raíces de una ecuación cuadrática ah 2 +Bx + c = 0 utilizando un compás y una regla (Fig. 6).

Suponga que el círculo requerido se cruza con el eje

abscisas en puntos B (x 1; 0) y D(x 2; 0), donde x 1 y x 2- las raíces de la ecuación ah 2 +Bx + c = 0, y pasa por los puntos

A (0; 1) y C (0;C/ a) en el eje de ordenadas. Entonces, por el teorema de la secante, tenemos transmisión exterior . sobredosis = OA . jefe, donde jefe = = =

El centro del círculo está en la intersección de las perpendiculares. SF y SK restaurado en los puntos medios de los acordes C.A. y BD, Es por eso

1) construya los puntos S (el centro del círculo) y A(0; 1) ;

2) dibuja un círculo con un radio SA;

3) la abscisa de los puntos de intersección de este círculo con el eje Oh son las raíces de la ecuación cuadrática original.

En este caso, son posibles tres casos.

1) El radio del círculo es mayor que la ordenada del centro (COMO > SK, oR > a + C/2 a) , el círculo se cruza con el eje del Buey en dos puntos (Figura 7a) B (x 1; 0) y D(x 2; 0), donde x 1 y x 2- las raíces de la ecuación cuadrática ah 2 +Bx + c = 0.

2) El radio del círculo es igual a la ordenada del centro (COMO = SB, oR = a + C/2 a) , el círculo toca el eje del Buey (Fig. 8b) en el punto B (x 1; 0), donde x 1 es la raíz de la ecuación cuadrática.

3) El radio del círculo es menor que la ordenada del centro COMO< S, R<

el círculo no tiene puntos en común con la abscisa (Fig. 7c), en este caso la ecuación no tiene solución.

a) AS> SB, R> B) AS = SB, R = v) COMO

Dos soluciones X 1 yX 2 Una solución X 1 No hay decisión

Ejemplo.

Resolvamos la ecuación x 2 - 2x - 3 = 0(figura 8).

Solución. Determine las coordenadas del punto central del círculo mediante las fórmulas:

X = - = - = 1,

y = = = -1

Dibujemos un círculo de radio SA, donde A (0; 1).

Respuesta: x 1 = - 1; x 2 = 3.

2.5 Método geométrico para resolver ecuaciones cuadráticas.

En la antigüedad, cuando la geometría estaba más desarrollada que el álgebra, las ecuaciones cuadráticas no se resolvían algebraicamente, sino geométricamente. Citaré un ejemplo que se ha hecho famoso gracias al Álgebra de al - Khorezmi.

Ejemplos.

1) Resuelve la ecuación x 2 + 10x = 39.

En el original, este problema se formula de la siguiente manera: "El cuadrado y diez raíces son iguales a 39" (Fig. 9).

Solución. Considere un cuadrado con lado x, los rectángulos se construyen en sus lados de modo que el otro lado de cada uno de ellos es 2.5, por lo tanto, el área de cada uno es 2.5x. La figura resultante luego se complementa con un nuevo cuadrado ABCD, completando cuatro cuadrados iguales en las esquinas, el lado de cada uno de ellos es 2.5 y el área es 6.25.

Cuadrado S cuadrado A B C D se puede representar como la suma de áreas:

plaza original x 2, cuatro rectángulos (4. 2.5x = 10x) y cuatro cuadrados adjuntos (6,25. 4 = 25) , es decir. S = x 2 + 10x + 25. Reemplazo

x 2 + 10x número 39 , lo entendemos S = 39 + 25 = 64 , de donde se sigue que el lado del cuadrado A B C D, es decir. sección AB = 8... Por el lado deseado X el cuadrado inicial obtenemos:

x = 8 - 2 - 2 = 3

2) Pero, por ejemplo, cómo los antiguos griegos resolvieron la ecuación y 2 + 6y - 16 = 0.

Solución se muestra en la Fig.10 donde

2 + 6y = 16, o 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Solución. Expresiones y 2 + 6y + 9 y 16 + 9 representar geométricamente

el mismo cuadrado, y la ecuación original y 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0- la misma ecuación. De donde obtenemos eso y + 3 = ± 5, o y 1 = 2, y 2 = - 8(arroz. .

figura 10

3) Resuelve geométricamente la ecuación 2 - 6 años - 16 = 0.

Transformando la ecuación, obtenemos

2 - 6 años = 16.

En la Fig 11. encontramos las "imágenes" de la expresión 2 - 6 años, aquellos. del área de un cuadrado con lado y, el área de un cuadrado con un lado igual a 3 ... Esto significa que si la expresión años 2 - 6 años agregar 9 , luego obtenemos el área de un cuadrado con un lado y - 3... Reemplazando la expresión años 2 - 6 años su igual número 16,

obtenemos: (y - 3) 2 = 16 + 9, aquellos. y - 3 = ± √25, o y - 3 = ± 5, donde y 1 = 8 y y 2 = - 2.

Conclusión

En el transcurso de mi trabajo de investigación, creo que cumplí con el objetivo y las tareas planteadas, logré generalizar y sistematizar el material estudiado sobre el tema anterior.

Cabe señalar que cada método para resolver ecuaciones cuadráticas es único a su manera. Algunas soluciones ayudan a ahorrar tiempo, lo cual es importante al resolver tareas para pruebas y exámenes. Mientras trabajaba en el tema, me propuse la tarea de averiguar qué métodos son estándar y cuáles no.

Entonces, métodos estándar(usado con más frecuencia al resolver ecuaciones cuadráticas):

• Solución resaltando el cuadrado de un binomio
• Factorizando el lado izquierdo
• Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula
• Solución usando el teorema de Vieta
• Solución gráfica de ecuaciones

Métodos no estándar:

• Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática
• Solución mediante transferencia de coeficientes
• Resolver usando regularidad de coeficientes
• Resolver ecuaciones cuadráticas usando un compás y una regla.
• Estudio de la ecuación sobre los intervalos del eje real
• Forma geométrica

Cabe señalar que cada método tiene sus propias características y alcance.

Resolver ecuaciones usando el teorema de Vieta

De una manera bastante fácil, permite ver inmediatamente las raíces de la ecuación, mientras que solo las raíces completas se encuentran fácilmente.

Resolver ecuaciones por el método de transferencia

En el número mínimo de pasos, puede encontrar las raíces de la ecuación, se usa junto con el método del teorema de Vieta, mientras que también es fácil encontrar solo raíces enteras.

Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática

Un método disponible para encontrar verbalmente las raíces de una ecuación cuadrática, pero solo es adecuado para algunas ecuaciones.

Solución gráfica de una ecuación cuadrática

Una forma intuitiva de resolver una ecuación cuadrática, sin embargo, puede haber errores al graficar

Resolver ecuaciones cuadráticas con un compás y una regla

Una forma clara de resolver una ecuación cuadrática, pero también pueden ocurrir errores

Manera geométrica de resolver ecuaciones cuadráticas

Una forma visual, similar a la forma de seleccionar un cuadrado completo

Resolviendo ecuaciones de diferentes maneras, llegué a la conclusión de que conociendo el complejo de métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, puedes resolver cualquier ecuación propuesta en el proceso de aprendizaje.

Al mismo tiempo, cabe señalar que una de las formas más racionales de resolver ecuaciones cuadráticas es el método de "transferir" el coeficiente. Sin embargo, la forma más universal puede considerarse la forma estándar de resolver ecuaciones mediante la fórmula, porque este método le permite resolver cualquier ecuación cuadrática, aunque a veces por un tiempo más largo. Además, soluciones como el método de "transferencia", la propiedad de los coeficientes y el teorema de Vieta ayudan a ahorrar tiempo, lo cual es muy importante a la hora de resolver tareas para exámenes y pruebas.

Creo que mi trabajo será de interés para los estudiantes de los grados 9-11, así como para aquellos que quieran aprender a resolver ecuaciones cuadráticas racionalmente y prepararse bien para los exámenes finales. También será de interés para los profesores de matemáticas, al considerar la historia de las ecuaciones cuadráticas y sistematizar las formas de resolverlas.

Bibliografía

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2. Gusev, V.A. Matemáticas. Materiales de referencia / V.A. Gusev, A.G. Mordkovich - M.: Educación, 1988, 372s.
3. Kovaleva G. I., Konkina E. V. "Método funcional para resolver ecuaciones y desigualdades", 2014
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5. M. Potapov “Ecuaciones y desigualdades. Métodos no estándar de solución "M." Avutarda ", 2012
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9. Bashmakov M.I. Álgebra: libro de texto. por 8 cl. educación general. Instituciones. - M.: Educación, 2004.- 287s.
10. Lección de Shatalova S. - Taller sobre el tema "Ecuaciones cuadráticas". - 2004.

Formas no estándar de resolver ecuaciones cuadráticas

Estudiante de noveno grado

Supervisor de trabajo:

Firsova Daria Evgenievna

profesor de matematicas

A menudo es más útil para un estudiante de álgebra resolver el mismo problema de tres formas diferentes que resolver tres o cuatro problemas. Al resolver un problema de diferentes maneras, puede, en comparación, descubrir cuál es más corto y más eficiente. Así es como se desarrolla la experiencia.

W.W. Sawyer (matemático inglés del siglo XX)

Objetivo

Explore todas las formas existentes de resolver una ecuación cuadrática. Aprenda a utilizar estos métodos.

Tareas

• Comprende lo que se llama ecuación cuadrática.
• Descubra qué tipos de ecuaciones cuadráticas existen.
• Encuentra información sobre formas de resolver una ecuación cuadrática y estúdiala.

Relevancia del tema: La gente ha estado estudiando ecuaciones cuadráticas desde la antigüedad. Quería conocer la historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.

Los libros de texto escolares proporcionan información incompleta sobre ecuaciones cuadráticas y formas de resolverlas.

Un objeto: Ecuaciones cuadráticas.

Cosa: Métodos para resolver estas ecuaciones.

Métodos de búsqueda: analítico.

Hipótesis - Si, mientras investigo este tema, puedo realizar las metas y objetivos que me propuse, entonces saldré a la implementación de la formación previa al perfil en el campo de la educación matemática.

Métodos de búsqueda:

• Trabajar con literatura científica educativa y divulgativa.
• Observación, comparación, análisis.
• Resolviendo problemas.

Resultados previstos: En el curso del estudio de este trabajo, realmente podré evaluar mi potencial intelectual y, en consecuencia, en el futuro, decidiré un perfil de capacitación, crearé un producto de proyecto sobre el tema en estudio en forma de presentación por computadora, estudiando este tema me permitirá compensar la falta de conocimiento sobre el tema señalado.

Considero que mi trabajo es prometedor, ya que en el futuro este material podrá ser utilizado tanto por los estudiantes, para aumentar la competencia matemática, como por los profesores en las clases opcionales.

Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, fue provocada por la necesidad de resolver problemas asociados con la búsqueda de áreas de tierra y con movimientos de tierra de carácter militar., así como con el desarrollo de la astronomía y las matemáticas en sí. Los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a. C. Usando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de los incompletos, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:

La regla para resolver estas ecuaciones, establecida en los textos babilónicos, coincide con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora citan solo problemas con soluciones expuestas en forma de recetas, sin indicar cómo se encontraron. A pesar del alto nivel de desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y métodos generales para resolver ecuaciones cuadráticas.

Cómo Diofanto compiló y decidió

ecuaciones cuadráticas

LA ECUACION:

"Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y el producto es 96"

Diofanto argumenta lo siguiente: de la condición del problema se deduce que los números buscados no son iguales, porque si fueran iguales, entonces su producto sería igual no a 96, sino a 100. Por lo tanto, uno de ellos será más de la mitad de su suma, es decir 10 + X , el otro es más pequeño, es decir 10-X .

La diferencia entre ellos es 2 X

De aquí X = 2 ... Uno de los números buscados es el 12, el otro 8. Solución X = -2 pues Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.

0 Una de las tareas del famoso matemático indio Bhaskara del siglo XII. Rebaño juguetón de monos Habiendo comido hasta saciarse y divirtiéndose. Su parte octava cuadró en el claro divertido. Y doce en las enredaderas ... Empezaron a saltar mientras colgaban ... ¿Cuántos monos me dices, en este rebaño ?. Ecuación correspondiente al problema: Baskara escribe bajo el disfraz: Completó el lado izquierdo en un cuadrado, "ancho =" 640 "

Ecuaciones cuadráticas en India

Los problemas para las ecuaciones cuadráticas también se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro erudito indio, Brahmagupta, describió una regla general para resolver ecuaciones cuadráticas, reducida a una sola forma canónica: hacha ² + bx = c, a0

Una de las tareas del famoso matemático indio del siglo XII Bhaskara

Juguetón bandada de monos

Comí hasta saciarme y me divertí.

Octava parte al cuadrado

Me estaba divirtiendo en el claro.

Y doce por enredaderas ...

Empezaron a saltar mientras colgaban ...

Cuantos monos habia

Me lo dices, ¿en este pack ?.

Ecuación correspondiente al problema:

Baskara escribe bajo el disfraz:

Completó el lado izquierdo a un cuadrado,

Ecuaciones cuadráticas en la antigua Asia

X 2 +10 x = 39

Así es como el científico de Asia Central al-Khorezmi resolvió esta ecuación:

Escribió: "La regla es:

bifurcar el número de raíces, x = 2x · 5

consigue cinco en este problema, 5

multiplica por este igual a él, será veinticinco, 5 5 = 25

sumarlo a treinta y nueve, 25+39

tendrá sesenta y cuatro, 64

saca la raíz de esto, serán ocho, 8

y restar de esta mitad el número de raíces, es decir, cinco, 8-5

permanecerá 3

esta será la raíz del cuadrado que estabas buscando ".

¿Y la segunda raíz? No se encontró la segunda raíz, ya que no se conocían los números negativos.

Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII-XVII.

La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica x2 + bx + c = 0 se formuló en Europa solo en 1544 Sr. Shtiefel.

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas en Europa fueron presentadas por primera vez en 1202 por un matemático italiano

Leonard Fibonacci.

La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Viet, sin embargo, Viet reconoció solo raíces positivas. Solo en el siglo XVII. gracias a las labores Descartes, Newton y otros científicos el método para resolver ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna

Sobre el teorema de Vieta

Un teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, llamado Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591 como sigue: "Si B + D multiplicado por AA es igual a BD, entonces A es igual a B e igual a D "...

Para entender a Vieta, conviene recordar que A, como cualquier letra vocal, significaba para él lo desconocido (nuestra x), mientras que las vocales B, D son los coeficientes de lo desconocido.

En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa :

Si la ecuación cuadrática reducida X 2 + px + q = 0 tiene raíces reales, entonces su suma es -pags y el producto es q, es decir X 1 + x 2 = -p, X 1 X 2 = q

(la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre).

• Factorizar el lado izquierdo de la ecuación
• Teorema de vieta
• Aplicación de las propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática.
• Resolver ecuaciones cuadráticas mediante el método de "transferir" el coeficiente senior
• Método de selección de cuadrado completo
• Manera gráfica de resolver ecuaciones cuadráticas
• Resolver ecuaciones cuadráticas con un compás y una regla
• Resolver ecuaciones cuadráticas usando un nomograma
• Manera geométrica de resolver ecuaciones cuadráticas

Método de factorización

traer una ecuación cuadrática de forma general a la forma:

A (x) B (x) = 0,

donde A (x) y B (x) son polinomios con respecto ax.

Objetivo:

Métodos:

• Sacando el factor común del paréntesis;
• Usando fórmulas de multiplicación abreviadas;
• Método de agrupación.

Ejemplo:

: X 2 + 10x - 24 = 0

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = = (x + 12) (x - 2);

(x + 12) (x - 2) = 0;

x + 12 = 0 o x - 2 = 0;

X 1 = -12 x 2 = 2 ;

Los números 12 y 2 son las raíces de esta ecuación.

Respuesta: x 1 = -12; X 2 = 2.

Resolver ecuaciones usando el teorema de Vieta

X 1 y X 2 - las raíces de la ecuación

por ejemplo :

X 2 + 3X – 10 = 0

X 1 ·X 2 = - 10, entonces las raíces tienen diferentes

señales

X 1 + X 2 = - 3, lo que significa mayor en valor absoluto

raíz - negativo

Por selección, encontramos las raíces: X 1 = - 5, X 2 = 2

Propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática

Sea una ecuación cuadrática 2 + bx + c = 0

Si a + b + c = 0 (es decir, la suma de los coeficientes

ecuación es igual a cero), entonces X 1 = 1 , X 2 = c / a

Si a - b + c = 0 , o b = a + c , entonces X 1 = – 1 , X 2 = – s / a .

Ejemplo :

137x 2 + 20x – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b + c = 137 + 20 – 157 =0.

X 1 = 1,

Respuesta: 1;

0, por un teorema inverso al teorema de Vieta, obtenemos las raíces: 5; 6, luego volvemos a las raíces de la ecuación original: 2.5; 3. "ancho =" 640 "

Resolver ecuaciones por el método de "transferencia"

Raíces de ecuaciones cuadráticas hacha 2 + bx + c = 0 y y 2 + por + ac = 0 relacionado por la razón : x = y / a .

Considere la ecuación cuadrática hacha ² + bx + c = 0 , donde a ≠ 0. Multiplicando ambas partes por a , obtenemos la ecuación a²x² + abx + ac = 0. Dejar ah = y , donde X = y / a; luego llegamos a la ecuación y² + bу + ac = 0 equivalente al dado. Sus raices en 1 y en 2 encontrar usando el teorema de Vieta. Finalmente obtenemos X 1 = y 1 / a y X 2 = y 2 / a .

Resuelve la ecuación: 2x 2 - 11 veces +15 = 0.

Lanza el coeficiente 2 a la intersección

en 2 - 11y + 30 = 0. D0, según el teorema inverso al teorema de Vieta, obtenemos las raíces: 5; 6, luego volvemos a las raíces de la ecuación original: 2.5; 3.

Método de selección de cuadrado completo

X 2 + 6x - 7 = 0

Seleccione un cuadrado completo a la izquierda. Para hacer esto, escribe la expresión X 2 + 6x en la siguiente forma:

X 2 + 6x = x 2 + 2 x 3

En la expresión resultante, el primer término es el cuadrado del número X y el segundo es el producto duplicado X sobre el 3 , por lo que para obtener un cuadrado completo, debe agregar 3 2 , porque

X 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2

Ahora transformamos el lado izquierdo de la ecuación X 2 + 6x - 7 = 0, sumando y restando 3 2 , tenemos:

X 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 – 3 2 – 7 =

= (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 – 16

Por lo tanto, esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

(x + 3) 2 –16 = 0 , es decir. (x + 3) 2 = 16 .

Por eso, x + 3-4 = 0 o x + 3 + 4 = 0

X 1 = 1 X 2 = -7

Respuesta: -7; una.

Manera gráfica de resolver una ecuación cuadrática

Sin usar fórmulas, una ecuación cuadrática se puede resolver gráficamente

camino. Resolvamos la ecuación

Para hacer esto, construyamos dos gráficos:

Las abscisas de los puntos de intersección de los gráficos serán las raíces de la ecuación.

Si las gráficas se cruzan en dos puntos, entonces la ecuación tiene dos raíces.

Si las gráficas se cruzan en un punto, entonces la ecuación tiene una raíz.

Si las gráficas no se cruzan, entonces la ecuación no tiene raíces.

Respuesta:

Resolver ecuaciones cuadráticas usando

brújula y regla

1. Elija un sistema de coordenadas.

2. Construyamos los puntos S (-b / 2 a; a + c / 2 a) - el centro del círculo y A( 0; 1 ) .

3. Dibuja un círculo con un radio. SA .

Abscisa Los puntos de intersección del círculo con el eje del Buey son raíces dada la ecuación cuadrática.

X 1

X 2

Resolver ecuaciones cuadráticas usando un nomograma

Esta es una forma antigua e inmerecidamente olvidada de resolver ecuaciones cuadráticas, colocada en la página 83 "Tablas matemáticas de cuatro dígitos" por VM Bradis.

Para la ecuación

nomograma da raíces

Cuadro XXII. Nomograma para resolver la ecuación

Este nomograma permite, sin resolver la ecuación cuadrática, por sus coeficientes determinar las raíces de la ecuación.

Manera geométrica de resolver ecuaciones cuadráticas

Un ejemplo que se ha hecho famoso a partir del Álgebra de al - Khorezmi: X 2 + 10 veces = 39... En el original, este problema se formula de la siguiente manera: "El cuadrado y diez raíces son iguales a 39".

S = x 2 + 10 x + 25 (X 2 + 10 x = 39 )

S = 39 + 25 = 64 , de donde se sigue,

cual es el lado de la plaza A B C D ,

aquellos. sección AB = 8 .

x = 8 - 2,5 - 2,5 = 3

Con base en la encuesta, se encontró que:

• Los siguientes métodos resultaron ser los más difíciles:

Factorizando el lado izquierdo de la ecuación,

Método de selección de cuadrado completo.

• Métodos de solución racional:

Resolver ecuaciones cuadráticas usando una fórmula;

Resolver ecuaciones usando el teorema de Vieta

• No tiene aplicación práctica

Manera geométrica de resolver ecuaciones cuadráticas.

• Nunca había oído hablar de formas antes:

Aplicación de las propiedades de los coeficientes de una ecuación cuadrática;

Usando un nomograma;

Resolver ecuaciones cuadráticas usando un compás y una regla;

El método de "transferencia" (este método despertó el interés de los estudiantes).

Conclusión

• estas soluciones merecen atención, ya que no todas se reflejan en los libros de texto de matemáticas escolares;

• dominar estas técnicas ayudará a los estudiantes a ahorrar tiempo y resolver ecuaciones de manera eficaz;

• la necesidad de una solución rápida se debe a la aplicación del sistema de prueba de los exámenes de ingreso;

GRACIAS POR ¡ATENCIÓN!