Solución gráfica ecuaciones
Floreciente, 2009
- INTRODUCCIÓN -
La necesidad de decidir ecuaciones cuadráticas incluso en la antigüedad fue causado por la necesidad de resolver problemas asociados con la búsqueda de áreas parcelas de tierra y con movimiento de tierras carácter militar, así como con el desarrollo de la astronomía y la propia matemática. Los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a. C. La regla para resolver estas ecuaciones, establecida en los textos babilónicos, coincide esencialmente con las modernas, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla.
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas en euroᴨȇ se presentaron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos.
Pero regla general la solución de ecuaciones cuadráticas, con todas las combinaciones posibles de los coeficientes byc, no fue formulada en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.
En 1591 Francois Viet introdujo fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas.
En la antigua Babilonia, se podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas.
Diofanto de Alejandría y Euclides, Al-Khwarizmi y Omar Khayyam Ecuaciones resueltas geométrica y gráficamente.
En séptimo grado, estudiamos funciones. y = C, y =kx, y = kX+ metro, y =X 2 ,y =- X 2 , en octavo grado - y = vX, y =|X|, en = hacha 2 + bx+ C, y =k / X... En el libro de texto de álgebra de noveno grado, vi funciones que aún no conocía: y =X 3 , en = X 4 ,y =X 2 n, en = X - 2 n, en = 3 v X, (X - a) 2 + (y -B) 2 = r 2 y otros. Existen reglas para graficar estas funciones. Me pregunté si había más funciones que obedecieran estas reglas.
Mi trabajo es investigar gráficas de funciones y resolver ecuaciones gráficamente.
1. Cuales son las funciones
La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas, cuyas abscisas son iguales a los valores de los argumentos y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.
La función lineal viene dada por la ecuación y =kx + B, donde k y B- algunos números. La gráfica de esta función es una línea recta.
Función Proporción inversa y =k/ X, donde k 0. La gráfica de esta función se llama gyrbola.
Función (X - a) 2 + (y -B) 2 = r 2 , donde a, B y r- algunos números. La gráfica de esta función es un círculo de radio r centrado en el punto A ( a, B).
Función cuadrática y = hacha 2 + bx + C donde a,B, Con- algunos números y a 0. La gráfica de esta función es una parábola.
La ecuacion en 2 (a - X) = X 2 (a+ X) ... La gráfica de esta ecuación será una curva llamada estrofoide.
La ecuacion (X 2 + y 2 ) 2 = a (X 2 - y 2 ) ... La gráfica de esta ecuación se llama lemkata de Bernoulli.
La ecuacion. La gráfica de esta ecuación se llama astroide.
Curva (X 2 y 2 - 2 a x) 2 = 4 una 2 (X 2 + y 2 ) ... Esta curva se llama cardioide.
Funciones: y =X 3 - parábola cúbica, y =X 4 , y = 1 /X 2 .
2. El concepto de una ecuación, su solución gráfica.
La ecuacion: una expresión que contiene un temporal.
Resuelve la ecuación- Significa encontrar todas sus raíces, o demostrar que no existen.
Raíz de la ecuación es un número que, cuando se sustituye en una ecuación, da como resultado una igualdad numérica correcta.
Resolver ecuaciones gráficamente le permite encontrar el valor exacto o aproximado de las raíces, le permite encontrar el número de raíces de la ecuación.
Al construir gráficos y resolver ecuaciones, se utilizan las propiedades de la función, en este sentido, el método a menudo se llama gráfico funcional.
Para resolver la ecuación, la “dividimos” en dos partes, introducimos dos funciones, construimos sus gráficas, encontramos las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas. Las abscisas de estos puntos son las raíces de la ecuación.
3. Algoritmo para trazar un gráfico de función
Conociendo la gráfica de la función y =F(X) , puedes trazar las gráficas de las funciones y =F (X+ metro) ,y =F(X)+ l y y =F (X+ metro)+ l... Todos estos gráficos se obtienen del gráfico de funciones y =F(X) usando la transformación de ᴨȇrenos paralela: a ¦ metro¦ unidades de escala a la derecha o izquierda a lo largo del eje xy por ¦ l¦ unidades de escala hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje y.
4. Solución gráfica de una ecuación cuadrática
Por ejemplo función cuadrática veremos la solución gráfica de una ecuación cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
¿Qué sabían los antiguos griegos sobre la parábola?
El simbolismo matemático moderno se originó en el siglo XVI.
Los matemáticos griegos antiguos, por otro lado, no tenían un método de coordenadas o el concepto de función. Sin embargo, estudiaron detalladamente las propiedades de la parábola. El ingenio de los matemáticos antiguos es simplemente asombroso, porque solo podían usar dibujos y descripciones verbales de dependencias.
Parábola, gyᴨȇrbola y elipse más exploradas Apolonio de Perge que vivió en el siglo III a. C. También dio nombres a estas curvas e indicó qué condiciones satisfacen los puntos que se encuentran en una curva u otra (después de todo, ¡no había fórmulas!).
Existe un algoritmo para construir una parábola:
Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola A (x 0; y 0): X 0 =- B/2 a;
Y 0 = ax alrededor de 2 + en 0 + c;
Encuentre el eje de simetría de la parábola (línea recta x = x 0);
Elaboramos una tabla de valores para trazar puntos de control;
Construimos los puntos obtenidos y construimos puntos que son simétricos con respecto al eje de simetría.
1. Usando el algoritmo, construye una parábola y = X 2 - 2 X - 3 ... Abscisas de puntos de intersección con eje X y están las raíces de la ecuación cuadrática X 2 - 2 X - 3 = 0.
Hay cinco formas de resolver gráficamente esta ecuación.
2. Dividamos la ecuación en dos funciones: y= X 2 y y= 2 X + 3
3. Dividamos la ecuación en dos funciones: y= X 2 -3 y y =2 X... Las raíces de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la línea recta.
4. Transformamos la ecuación X 2 - 2 X - 3 = 0 por selección plaza llena en la función: y= (X -1) 2 y y=4 . Las raíces de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la línea recta.
5. Dividamos ambos lados de la ecuación término por término X 2 - 2 X - 3 = 0 sobre el X, obtenemos X - 2 - 3/ X = 0 , dividimos esta ecuación en dos funciones: y = X - 2, y = 3/ X. Las raíces de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de la línea recta y la gybola.
5. Solución gráficaecuaciones de potencianorte
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación X 5 = 3 - 2 X.
y = X 5 , y = 3 - 2 X.
Respuesta: x = 1.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 3 vX = 10 - X.
Las raíces de esta ecuación son las abscisas del punto de intersección de las gráficas de dos funciones: y = 3 vX, y = 10 - X.
Respuesta: x = 8.
- Conclusión -
Habiendo mirado las gráficas de las funciones: en = hacha 2 + bx+ C, y =k / X, y = vX, y =|X|, y =X 3 , y =X 4 ,y = 3 v X, Noté que todos estos gráficos están construidos según la regla de los ᴨȇrenos paralelos con respecto a los ejes X y y.
En el ejemplo de resolución de una ecuación cuadrática, podemos concluir que el método gráfico es aplicable a las ecuaciones de potencia n.
Los métodos gráficos para resolver ecuaciones son hermosos y comprensibles, pero no ofrecen una garantía del cien por cien de resolver ninguna ecuación. Las abscisas de los puntos de intersección de los gráficos pueden ser aproximadas.
En el noveno grado y en la escuela secundaria, me familiarizaré con otras funciones. Tengo curiosidad por saber si esas funciones obedecen las reglas de renos paralelos al trazar sus gráficos.
Sobre el el próximo año También me gustaría considerar las cuestiones de la solución gráfica de sistemas de ecuaciones y desigualdades.
Literatura
1. Álgebra. Séptimo grado. Parte 1. Libro de texto para instituciones educativas / А.G. Mordkovich. M .: Mnemosina, 2007.
2. Álgebra. Octavo grado. Parte 1. Libro de texto para instituciones educativas / А.G. Mordkovich. M .: Mnemosina, 2007.
3. Álgebra. Grado 9. Parte 1. Libro de texto para instituciones educativas / А.G. Mordkovich. M .: Mnemosina, 2007.
4. Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. Clases VII-VIII. - M.: Educación, 1982.
5. Journal of Mathematics №5 2009; Núm. 8 2007; No. 23 2008.
6. Solución gráfica de ecuaciones Sitios de Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.
Solución gráfica de ecuaciones
Floreciente, 2009
Introducción
La necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas asociados con la búsqueda de áreas de tierra y movimientos de tierra de carácter militar, así como con el desarrollo de la astronomía y las matemáticas en sí. Los babilonios pudieron resolver ecuaciones cuadráticas alrededor del año 2000 a. C. La regla para resolver estas ecuaciones, establecida en los textos babilónicos, coincide esencialmente con las modernas, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla.
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas en Europa se presentaron por primera vez en el "Libro del ábaco", escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no solo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos.
Pero la regla general para resolver ecuaciones cuadráticas, con todas las combinaciones posibles de los coeficientes byc, no fue formulada en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.
En 1591 Francois Viet introdujo fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas.
En la antigua Babilonia, se podían resolver algunos tipos de ecuaciones cuadráticas.
Diofanto de Alejandría y Euclides , Al-Khwarizmi y Omar Khayyam Ecuaciones resueltas geométrica y gráficamente.
En séptimo grado, estudiamos funciones. y = C, y = kx , y = kx + metro , y = X 2 ,y = - X 2 , en octavo grado - y = √ X , y = |X |, y = hacha 2 + bx + C , y = k / X... En el libro de texto de álgebra de noveno grado, vi funciones que aún no conocía: y = X 3 , y = X 4 ,y = X 2 n, y = X - 2 n, y = 3 √X , ( X – a ) 2 + (y - B ) 2 = r 2 y otros. Existen reglas para graficar estas funciones. Me pregunté si había más funciones que obedecieran estas reglas.
Mi trabajo es investigar gráficas de funciones y resolver ecuaciones gráficamente.
1. Cuales son las funciones
La gráfica de una función es un conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas, cuyas abscisas son iguales a los valores de los argumentos y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.
La función lineal viene dada por la ecuación y = kx + B, donde k y B- algunos números. La gráfica de esta función es una línea recta.
Función proporcional inversa y = k / X, donde k¹ 0. La gráfica de esta función se llama hipérbola.
Función ( X – a ) 2 + (y - B ) 2 = r 2 , donde a , B y r- algunos números. La gráfica de esta función es un círculo de radio r centrado en el punto A ( a , B).
Función cuadrática y = hacha 2 + bx + C donde a, B , Con- algunos números y a¹ 0. La gráfica de esta función es una parábola.
La ecuacion a las 2 ( a – X ) = X 2 ( a + X ) ... La gráfica de esta ecuación será una curva llamada estrofoide.
La ecuacion ( X 2 + y 2 ) 2 = a ( X 2 – y 2 ) ... La gráfica de esta ecuación se llama lemniscata de Bernoulli.La ecuacion. La gráfica de esta ecuación se llama astroide.
Curva (x 2 y 2 - 2 una x) 2 = 4 una 2 (x 2 + y 2)... Esta curva se llama cardioide.
Funciones: y = X 3 - parábola cúbica, y = X 4 , y = 1 / X 2 .
2. El concepto de ecuación, su solución gráfica.
La ecuacion- una expresión que contiene una variable.
Resuelve la ecuación- Significa encontrar todas sus raíces, o demostrar que no existen.
Raíz de la ecuación Es un número que, cuando se sustituye en una ecuación, da como resultado una igualdad numérica correcta.
Resolver ecuaciones gráficamente le permite encontrar el valor exacto o aproximado de las raíces, le permite encontrar el número de raíces de la ecuación.
Al construir gráficos y resolver ecuaciones, se utilizan las propiedades de la función, por lo tanto, el método se llama más a menudo funcional-gráfico.
Para resolver la ecuación, "dividimos" en dos partes, introducimos dos funciones, construimos sus gráficas, encontramos las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas. Las abscisas de estos puntos son las raíces de la ecuación.
3. Algoritmo para trazar un gráfico de función
Conociendo la gráfica de la función y = F ( X ) , puedes trazar las gráficas de las funciones y = F ( X + metro ) ,y = F ( X )+ l y y = F ( X + metro )+ l... Todos estos gráficos se obtienen del gráfico de funciones y = F ( X ) usando una transformación de transporte paralelo: para │ metro │ unidades de escala a la derecha o izquierda a lo largo del eje xy por │ l │ unidades de escala hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje y .
4. Solución gráfica de una ecuación cuadrática
Usando una función cuadrática como ejemplo, consideraremos una solución gráfica de una ecuación cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
¿Qué sabían los antiguos griegos sobre la parábola?
El simbolismo matemático moderno se originó en el siglo XVI.
Los matemáticos griegos antiguos, por otro lado, no tenían un método de coordenadas o el concepto de función. Sin embargo, estudiaron detalladamente las propiedades de la parábola. El ingenio de los matemáticos antiguos es simplemente asombroso, porque solo podían usar dibujos y descripciones verbales de dependencias.
Exploraron más a fondo la parábola, la hipérbola y la elipse. Apolonio de Perge que vivió en el siglo III a. C. También dio nombres a estas curvas e indicó qué condiciones satisfacen los puntos que se encuentran en una curva u otra (después de todo, ¡no había fórmulas!).
Existe un algoritmo para construir una parábola:
Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola A (x 0; y 0): x 0 = - B /2 a ;
Y 0 = ax alrededor de 2 + en 0 + c;
Encuentre el eje de simetría de la parábola (línea recta x = x 0);
Elaboramos una tabla de valores para trazar puntos de control;
Construimos los puntos obtenidos y construimos puntos que son simétricos con respecto al eje de simetría.
1. Usando el algoritmo, construye una parábola y = X 2 – 2 X – 3 ... Abscisas de intersección de ejes X y están las raíces de la ecuación cuadrática X 2 – 2 X – 3 = 0.
Hay cinco formas de resolver gráficamente esta ecuación.
2. Dividamos la ecuación en dos funciones: y = X 2 y y = 2 X + 3
3. Dividamos la ecuación en dos funciones: y = X 2 –3 y y =2 X... Las raíces de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la línea recta.
4. Transformamos la ecuación X 2 – 2 X – 3 = 0 seleccionando un cuadrado completo en las funciones: y = ( X –1) 2 y y =4. Las raíces de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la línea recta.
5. Dividamos ambos lados de la ecuación término por término X 2 – 2 X – 3 = 0 sobre el X, obtenemos X – 2 – 3/ X = 0 , dividimos esta ecuación en dos funciones: y = X – 2, y = 3/ X . Las raíces de la ecuación son las abscisas de los puntos de intersección de la línea recta y la hipérbola.
5. Solución gráfica de ecuaciones de grado norte
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación X 5 = 3 – 2 X .
y = X 5 , y = 3 – 2 X .
Respuesta: x = 1.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 3 √ X = 10 – X .
Las raíces de esta ecuación son la abscisa del punto de intersección de las gráficas de dos funciones: y = 3 √ X , y = 10 – X .
Respuesta: x = 8.
Conclusión
Habiendo mirado las gráficas de las funciones: y = hacha 2 + bx + C , y = k / X , y = √ X , y = |X |, y = X 3 , y = X 4 ,y = 3 √X , Noté que todos estos gráficos están construidos de acuerdo con la regla de traslación paralela relativa a los ejes. X y y .
Usando el ejemplo de resolución de una ecuación cuadrática, podemos concluir que el método gráfico también es aplicable para ecuaciones de grado n.
Los métodos gráficos para resolver ecuaciones son hermosos y comprensibles, pero no ofrecen una garantía del cien por cien de resolver ninguna ecuación. Las abscisas de los puntos de intersección de los gráficos pueden ser aproximadas.
En el noveno grado y en la escuela secundaria, me familiarizaré con otras funciones. Tengo curiosidad por saber si esas funciones obedecen las reglas de transferencia paralela al trazar sus gráficos.
El año que viene, también me gustaría considerar los problemas de la solución gráfica de sistemas de ecuaciones y desigualdades.
Literatura
1. Álgebra. Séptimo grado. Parte 1. Libro de texto para instituciones educativas / А.G. Mordkovich. M .: Mnemosina, 2007.
2. Álgebra. Octavo grado. Parte 1. Libro de texto para instituciones educativas / А.G. Mordkovich. M .: Mnemosina, 2007.
3. Álgebra. Grado 9. Parte 1. Libro de texto para instituciones educativas / А.G. Mordkovich. M .: Mnemosina, 2007.
4. Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. Clases VII-VIII. - M.: Educación, 1982.
5. Journal of Mathematics №5 2009; Núm. 8 2007; No. 23 2008.
6. Solución gráfica de ecuaciones Sitios de Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.
Solución gráfica de una ecuación cuadrática Para consolidar la capacidad de construir gráficas de varias funciones; Formar la capacidad de resolver ecuaciones cuadráticas de forma gráfica. Brdsk 2009 Institución educativa municipal - Liceo económico Lección de generalización sobre el tema "Función cuadrática", profesor de álgebra de octavo grado Fedoseeva TM
Trazar una función cuadrática Determine la dirección de las ramas: a> 0 ramas hacia arriba; a 0 ramas hacia arriba; a "> 0 se ramifica hacia arriba; a"> 0 se ramifica hacia arriba; a "title =" (! LANG: Trazar una función cuadrática Determine la dirección de las ramas: a> 0 ramas hacia arriba; a"> title="Trazar una función cuadrática Determine la dirección de las ramas: a> 0 ramas hacia arriba; a"> !}
0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encuentre el punto "title =" (! LANG: Grafiquemos la función y = x 2 -2x-3 usando el algoritmo: 1) a = 1> 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encuentra puntos" class="link_thumb"> 3 !} Construyamos una gráfica de la función y = x 2 -2x-3 usando el algoritmo: 1) a = 1> 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encuentre los puntos de intersección con el eje OX: x 1 = -1; х 2 = 3 1 forma de resolver la ecuación х 2 -2х-3 = 0 y x Resolver la ecuación х 2 + 2х-3 = 0 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encontramos que el punto "> 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) el vértice yo = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: ( 0: -3), (3; 0) y simétrico con respecto al eje x = 1 Construimos una parábola Encuentra los puntos de intersección con el eje OX: x 1 = -1; x 2 = 3 1 forma de resolver la ecuación x 2 -2x-3 = 0 yx 0 1 - 4 23 Resuelve la ecuación x 2 + 2x-3 = 0 "> 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encuentre el punto "title =" (! LANG: Tracemos la función y = x 2 -2x-3 usando el algoritmo: 1) a = 1> 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encuentra puntos"> title="Construyamos una gráfica de la función y = x 2 -2x-3 usando el algoritmo: 1) a = 1> 0 ramas se dirigen hacia arriba; 2) vértice y o = y (1) = 1-2-3 = -4 A (1; -4) x = 1 - eje de la parábola Puntos de control: (0: -3), (3; 0) y simétrico sobre el eje x = 1 Construye una parábola. Encuentra puntos"> !}
Segunda vía: a). Dividiremos la ecuación x 2 -2x-3 = 0 en partes x 2 = 2x + 3 Escribamos dos funciones y = x 2; y = 2x + 3 Construimos gráficas de estas funciones en un sistema de coordenadas. Las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación. 0 1 x y Resuelve la ecuación x 2 + 2x-3 = 0
La tercera forma: x 2-3 = 2x y = x 2-3; y = 2х Construimos gráficos de estas funciones en un sistema de coordenadas. Las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación. 0 1 x y Resuelve la ecuación x 2 + 2x-3 = 0
Trabajo de investigación de los estudiantes sobre el tema:
"Aplicación de una función lineal en la resolución de problemas"
"Aplicación de una gráfica de función lineal a la resolución de problemas"
MKOU "Promedio de Bogucharskaya escuela comprensiva No. 1 "
Trabajo de investigación en matemáticas.
Tema: "Aplicación de una gráfica de función lineal a la resolución de problemas"
7 clase "B"
Jefe: Fomenko Olga Mikhailovna
ciudad de boguchar
1. Introducción ………………………………………………………………… 2
2. Parte principal ………………………………………………………… 3-11
2.1 Técnica para resolver problemas verbales usando gráficas de funciones lineales
2.2 Resolver problemas verbales de movimiento usando gráficas
3. Conclusión ………………………………………………………………… 11
4. Literatura ………………………………………………………………… .12
INTRODUCCIÓN
"Álgebra. Grado 7" examina tareas en las que, de acuerdo con un horario determinado, es necesario responder a una serie de preguntas.
Por ejemplo:
№332 El residente de verano partió de su casa en coche al pueblo. Primero condujo por la carretera y luego por la carretera rural, mientras reducía la velocidad. El horario de movimiento del residente de verano se muestra en la figura. Responde a las preguntas:
a) cuánto tiempo condujo el residente de verano por la carretera y cuántos kilómetros condujo; cuál es la velocidad del automóvil en esta sección de la carretera;
b) cuánto tiempo condujo el residente de verano por una carretera rural y cuántos kilómetros condujo; cuál fue la velocidad del automóvil en esta sección;
c) ¿Cuánto tiempo tomó el residente de verano todo el camino desde su casa hasta el pueblo?
En el curso de la búsqueda de material sobre este tema en la literatura y en Internet, descubrí por mí mismo que en el mundo en relación lineal hay muchos fenómenos y procesos físicos, e incluso sociales y económicos, pero me detuve en el movimiento, como el más familiar y popular entre todos nosotros. En el proyecto, describí problemas verbales y cómo resolverlos usando gráficas de funciones lineales.
Hipótesis: Con la ayuda de gráficos, no solo se puede obtener una representación visual de las propiedades de una función, familiarizarse con las propiedades de una función lineal y su forma particular, la proporcionalidad directa, sino también resolver problemas de palabras.
El propósito de mi investigación fue el estudio del uso de gráficas de funciones lineales en la resolución de problemas verbales sobre el movimiento. En relación con la implementación de estos objetivos, se propusieron los siguientes Tareas:
Estudiar la técnica de resolución de problemas verbales de movimiento mediante gráficas de función lineal;
Aprenda a resolver problemas de movimiento usando este método;
Sacar conclusiones comparativas sobre las ventajas y desventajas de resolver problemas usando gráficas de funciones lineales.
Objeto de estudio: gráfico de función lineal.
Método de investigación:
Teórico (estudio y análisis), sistema de búsqueda, práctico.
Parte principal.
En mi investigación, decidí intentar dar una interpretación gráfica de los problemas de movimiento presentados en nuestro libro de texto y luego responder la pregunta del problema de acuerdo con el cronograma. Para tal solución, tomé problemas con un sencillo movimiento uniforme en una sección del camino. Resultó que muchas tareas de esta manera son más fáciles de resolver que de la manera habitual usando la ecuación. El único inconveniente de esta técnica: para obtener una respuesta precisa a la pregunta del problema, debe poder seleccionar correctamente la escala de unidades de medida en los ejes de coordenadas. Un papel importante en la elección correcta de tal escala, la experiencia de resolver juega un papel. Por lo tanto, para dominar el arte de resolver problemas usando gráficos, tuve que mirarlos en grandes cantidades.
establecer el sistema de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot y el eje de ordenadas Os. Para ello, según la condición del problema, es necesario seleccionar el punto de partida: al inicio del movimiento de un objeto o de varios objetos se selecciona el que comenzó a moverse antes o recorrió una distancia mayor. En el eje de abscisas, marque los intervalos de tiempo en sus unidades de medida, y en el eje de ordenadas, marque la distancia en la escala seleccionada de sus unidades de medida.
Los puntos en el plano de coordenadas deben marcarse de acuerdo con la escala de acuerdo con el problema, y las líneas deben dibujarse con precisión. La precisión de la resolución del problema depende de esto. Por lo tanto, es muy importante seleccionar con éxito la escala de divisiones en los ejes de coordenadas: debe seleccionarse de tal manera que las coordenadas de los puntos se determinen con mayor precisión y, si es posible, se ubiquen en los puntos nodales, es decir. en las intersecciones de las divisiones de los ejes de coordenadas. A veces es útil que un segmento unitario en la abscisa tome el número de celdas que es un múltiplo de las condiciones del problema con respecto al tiempo, y en la ordenada, el número de celdas que es un múltiplo de las condiciones del problema. Problema con respecto a la distancia. Por ejemplo, 12 minutos requieren elegir el número de celdas múltiplo de 5, porque 12 minutos es una quinta parte de una hora.
Resolver problemas verbales de movimiento usando gráficas
Respuesta: 9 km.
Solución usando la ecuación:
x / 12h. - tiempo de A a B
x / 18h. - Tiempo atras
Respuesta: 9 km
Problema 2. (No. 156 en el libro de texto "Álgebra 7" de Yu.N. Makarychev.)
Dos coches circulan por la carretera a la misma velocidad. Si el primero aumenta la velocidad en 10 km / h, y el segundo disminuye en 10 km / h, entonces el primero en 2 horas pasará tanto como el segundo en 3 horas. ¿Qué tan rápido van los autos?
Solución usando la ecuación:
Sea x km / h la velocidad de los automóviles;
(x + 10) y (x-10), respectivamente, la velocidad después de aumentar y disminuir;
2 (x + 10) = 3 (x-10)
Respuesta: 50 km / h
Solución usando un gráfico de función lineal:
1. Establezcamos el plano de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y el eje de ordenadas Os, en el que marcamos la distancia recorrida por los coches.
2. Dibujemos divisiones en una escala a lo largo del eje de abscisas - una hora en 5 celdas (en 1 celda - 12 minutos); en el eje de ordenadas ponemos divisiones, pero no indicamos la escala.
3. Construyamos una línea de movimiento del primer automóvil I: inicio del movimiento en el punto c
4. Construya la línea de movimiento del segundo automóvil II: el comienzo del movimiento en el punto con la coordenada (0; 0). A continuación, marque un punto arbitrario (3; s 1) en el plano, ya que el coche con la nueva velocidad estuvo en la carretera durante 3 horas.
4. Determinemos la rapidez de los autos v antes de su cambio. Denotemos la diferencia entre las ordenadas de los puntos que se encuentran en líneas rectas con abscisa 1 por ∆s. Por condición, este segmento corresponde a una longitud de (10 + 10) km, ya que en uno de ellos la velocidad disminuyó, mientras que en el otro la velocidad aumentó en 10 km / h. Esto significa que la línea de movimiento de los autos antes de cambiar la velocidad debe ser equidistante de las líneas I y II y ubicarse en el plano de coordenadas entre ellas. Según el gráfico Δs = 2kl. corresponde a 20 km, v = 5 celdas, lo que significa que resolveremos la proporción v = 50 km / h.
Respuesta: 50 km / h.
Problema 3
Solución usando un gráfico de función lineal:
la cuenta regresiva es el muelle M
marque el punto N (0; 162).
Respuesta: 2h 20min.
Solución usando la ecuación:
162-45 (x +0,75) -36x = 0
162-45x - 33,75 -36x = 0
81x = 128,25
2) 
Respuesta: 2h 20min.
Tarea 4.
Un ciclista dejó el punto A. Al mismo tiempo, después de él desde el punto B, que está a una distancia de 20 km de A, un motociclista salió a 16 km / h. El ciclista conducía a una velocidad de 12 km / h. ¿A qué distancia del punto A alcanzará el motociclista al ciclista?
Solución usando un gráfico de función lineal:
1.Configurar el plano de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y el eje de ordenadas Os, en el que marcamos la distancia recorrida por el motociclista y el ciclista.
2. Marquemos divisiones en la escala: a lo largo de la ordenada - en 2 celdas 8 km; en la abscisa - en 2 celdas –1 h.
3. Construyamos una línea de movimiento del motociclista II: marcamos el inicio de su movimiento en el origen de las coordenadas B (0; 0). El motociclista circulaba a una velocidad de 16 km / h, lo que significa que la línea II debe pasar por el punto con coordenadas (1; 16).
4. Construyamos una línea de movimiento del ciclista I: su inicio será en el punto A (0; 20), porque El punto B se encuentra a una distancia de 20 km del punto A, y partió al mismo tiempo que el motociclista. El ciclista circulaba a una velocidad de 12 km / h, lo que significa que la línea que debo pasar por el punto con coordenadas (1; 32).
5. Busquemos Р (5; 80) - el punto de intersección de las líneas I y II, que refleja el movimiento del motociclista y el ciclista: su ordenada mostrará la distancia desde el punto B, en el cual el motociclista alcanzará el ciclista.
P (5; 80) | = s = 80, | = 80 - 20 = 60 (km) - la distancia desde el punto A en la que el motociclista alcanzará al ciclista.
Respuesta: 60 km.
Solución usando la ecuación:
Sea x km la distancia desde el punto A hasta el punto de encuentro
x / 12 tiempo ciclista
(x +20) / 16 tiempo ciclista
x / 12 = (x +20) / 16
16x = 12x +240
4x = 240
x = 60
Respuesta: 60 km
Tarea 5.
La distancia entre las ciudades la recorrió un motociclista en 2 horas y un ciclista en 5. La velocidad de un ciclista es 18 km / h menor que la velocidad de un motociclista. Encuentre las velocidades del ciclista y el motociclista y la distancia entre ciudades.
Solución usando un gráfico de función lineal:
1. Establezcamos el plano de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y el eje de ordenadas Os, en el que marcamos la distancia.
2. Dibuje la división a lo largo de la abscisa en 2 celdas durante 1 hora. Deje la distancia a lo largo de la ordenada sin divisiones.
3. Tracemos la línea de movimiento I del ciclista en 5 horas y la línea de movimiento del motociclista II en 2 horas. El final de ambas líneas debe tener la misma ordenada.
4. Dibuja un segmento con abscisa 1 entre las líneas I y II. La longitud de este segmento refleja una distancia de 18 km. Del dibujo obtenemos que 3 celdas equivalen a 18 km, lo que significa que 1 celda equivale a 6 km.
5. Luego, de acuerdo con el horario, determinamos que la velocidad del ciclista es de 12 km / h, la velocidad del motociclista es de 30 km / h, la distancia entre ciudades es de 60 km.
Solución usando la ecuación:
Sea x km / h la velocidad del ciclista, luego (x +18) km / h la velocidad del motociclista
2 (x +18) = 5x
2x + 36 = 5x
x = 12
2) 12 + 18 = 30 (km / h) velocidad de la motocicleta
3) (km) distancia entre ciudades
Respuesta: 12 km / h; 30 km / h; 60 kilometros
Respuesta: 60 km.
Tarea 6.
Aguas abajo del río, el barco recorre una distancia de 30 km en 3 horas y 20 minutos, y río arriba en 4 horas, una distancia de 28 km. ¿Qué tan lejos cubrirá el lago el lago en 1,5 horas?
Solución usando un gráfico de función lineal:
1.Configurar el plano de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y el eje de ordenadas Os, en el que marcamos la distancia recorrida por la embarcación.
2. Dibujemos las divisiones en la escala: a lo largo de la ordenada - en dos celdas de 4 km; en el eje de abscisas - en 6 celdas - 1 hora (en 1 celda - 10 min.), porque según la condición del problema, se indica el tiempo con minutos.
3. Construyamos una línea de movimiento de botes a lo largo del río I: el comienzo de la línea estará en el punto con la coordenada (0; 0). El barco navega 30 km en 3 horas 20 minutos, lo que significa que la línea debe pasar por el punto con la coordenada (; 30), porque 3h 20min = h.
4. Construyamos una línea de movimiento del barco contra la corriente del río II: tomaremos el inicio del movimiento en un punto con una coordenada (0; 0). El barco navega 28 km en 4 horas, lo que significa que la línea recta de movimiento debe pasar por el punto con la coordenada (4; 28).
5. Construyamos una línea de movimiento del bote en el lago: tomaremos el inicio del movimiento en un punto con una coordenada (0; 0). La línea de movimiento del propio barco deberá ser equidistante y entre las líneas de movimiento del barco a lo largo del río. Esto significa que tenemos que dividir el segmento, formado por todos los puntos con abscisa 1 entre las líneas de movimiento a lo largo del río, por la mitad y marcar su centro. Dibuja un rayo desde (0; 0) a través de este punto marcado, que será la línea de movimiento a lo largo del lago.
6. De acuerdo con la condición del problema, es necesario encontrar la distancia recorrida por el bote a lo largo del lago en 1.5 horas, lo que significa que debemos determinar en esta línea la ordenada del punto con abscisas t = 1.5, | = s = 12, | = 12 km, el barco pasará por el lago durante 1,5 horas.
Respuesta: 12 km.
Solución usando un sistema de ecuaciones:
Sea x km / h la velocidad a lo largo del lago y y km / h la velocidad del río
Respuesta: 12 km.
Tarea 7.
El barco recorre 34 km por el río al mismo tiempo que 26 km río arriba. La propia velocidad del barco es de 15 km / h. Calcula la velocidad del río.
Solución usando un gráfico de función lineal:
1. Fijemos el plano de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y el eje de ordenadas Os, en el que marcamos la distancia recorrida por el barco.
2. Marquemos divisiones en la escala: a lo largo de la ordenada - en 1 celda 1 km; en el eje de abscisas dejaremos el tiempo sin divisiones.
3. Construir la línea I del movimiento del barco a lo largo del río desde 0 km hasta un punto de 34 km: el inicio de la línea estará en el punto con la coordenada (0; 0). La segunda coordenada será (x; 34 ).
4. Construya la línea II del movimiento del barco contra el caudal del río desde 0 km hasta un punto 26 km: el inicio de la línea estará en el punto con la coordenada (0; 0). La segunda coordenada será (x; 26 ).
5. Dibuje el rayo III desde el origen (0; 0) a través de la mitad de un segmento arbitrario que consta de todos los puntos con la misma abscisa entre dos líneas de movimiento I y II. Este rayo reflejará el propio movimiento del barco, porque la propia velocidad del barco es el promedio aritmético de 2 velocidades corriente arriba y corriente arriba del río. En el rayo resultante, encuentre un punto con ordenada 15, porque propia velocidad del barco 15 km / h. La abscisa del punto encontrado corresponderá a una división de 1 hora.
6. Para hallar la rapidez del río, basta con hallar la longitud del segmento con abscisa 1 desde la línea III a la línea II. La velocidad del río es de 2 km / h.
Respuesta: 2 km / h.
Solución usando la ecuación:
Velocidad del río x km / h
34 / (15 + x) = 26 / (15-x) Resolviendo la proporción, obtenemos:
Respuesta: 2 km / h.
Conclusión.
Ventajas:
Puede anotar las tareas;
Defectos:
LITERATURA.
1. Makarychev Yu. N., Mindyuk NG, Neshkov KI, Suvorova SB, Álgebra: Libro de texto para el séptimo grado de instituciones educativas, "Educación", M., 2000.
2. Bulynin V., Aplicación de métodos gráficos en la resolución de problemas verbales, periódico educativo-metódico "Matemáticas", No. 14, 2005.
3. Zvavich LI Materiales didácticos sobre álgebra para 7º grado.
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"las palabras"
En las lecciones de álgebra en el séptimo grado, me familiaricé con el tema “Función lineal. Disposición mutua de gráficos de funciones lineales ". Aprendí a construir gráficas de una función lineal, aprendí sus propiedades, aprendí a determinar la posición relativa de las gráficas usando fórmulas dadas. Noté que en el libro de texto de Yu.N. Makarychev
"Álgebra. Grado 7" examina tareas en las que, de acuerdo con un horario determinado, es necesario responder a una serie de preguntas. En la diapositiva se muestra un ejemplo de tal tarea.
De acuerdo con el cronograma dado, se puede determinar que
Y tenía una pregunta, ¿es posible resolver problemas de movimiento no mediante acciones o usando ecuaciones, sino usando gráficas de una función lineal para esto?
Las hipótesis, metas y objetivos se presentan en la diapositiva.
En mi investigación, decidí intentar dar una interpretación gráfica de los problemas de movimiento presentados en nuestro libro de texto y luego responder la pregunta del problema de acuerdo con el cronograma. Para tal solución, tomé problemas con el movimiento uniforme rectilíneo en una sección del camino.
Resultó que muchas tareas se resuelven de esta manera. El único inconveniente de esta técnica: para obtener una respuesta precisa a la pregunta del problema, debe poder seleccionar correctamente la escala de unidades de medida en los ejes de coordenadas. La experiencia en la toma de decisiones juega un papel importante en la elección correcta de esta escala. Por lo tanto, para dominar el arte de resolver problemas usando gráficos, tuve que mirarlos en grandes cantidades.
Una técnica para resolver problemas de palabras usando gráficas de funciones lineales.
Para resolver un problema de texto usando gráficas de una función lineal, necesitas:
establecer el sistema de coordenadas Para ello, según el planteamiento del problema, es necesario seleccionar el origen: se selecciona el inicio del movimiento de un objeto o de varios objetos, el que comenzó a moverse antes o ha pasado una distancia mayor. En el eje de abscisas, marque los intervalos de tiempo en sus unidades de medida, y en el eje de ordenadas, marque la distancia en la escala seleccionada de sus unidades de medida.
Dibuja las líneas de movimiento de cada uno de los objetos especificados en el enunciado del problema a través de las coordenadas de al menos dos puntos de las líneas rectas. Por lo general, la velocidad de un objeto proporciona información sobre la distancia recorrida en una unidad de tiempo desde el comienzo de su movimiento. Si el objeto comienza a moverse más tarde, entonces el punto de su inicio se desplaza un número específico de unidades hacia la derecha desde el origen a lo largo del eje de abscisas. Si el objeto comienza a moverse desde un lugar distante del origen a una cierta distancia, entonces el punto de inicio de su movimiento se desplaza hacia arriba a lo largo del eje de ordenadas.
El punto de encuentro de varios objetos en el plano de coordenadas está indicado por el punto de intersección de las líneas rectas que representan su movimiento, lo que significa que las coordenadas de este punto dan información sobre el tiempo de encuentro y la distancia del lugar de encuentro desde el origen.
La diferencia en las velocidades de movimiento de dos objetos está determinada por la longitud del segmento que consta de todos los puntos con abscisa 1 ubicados entre las líneas de movimiento de estos objetos.
Los puntos en el plano de coordenadas deben marcarse de acuerdo con la escala de acuerdo con el problema, y las líneas deben dibujarse con precisión. La precisión de la resolución del problema depende de esto.
Problema 1. (No. 673 en el libro de texto "Álgebra 7" de Yu.N. Makarychev.)
El ciclista recorrió la trayectoria AB a una velocidad de 12 km / h. Al regresar, desarrolló una velocidad de 18 km / hy pasó 15 minutos menos en el camino de regreso que en el camino de A a B. ¿Cuántos kilómetros de A a B.
Solución usando la ecuación:
Sea x km la distancia de A a B.
x / 12h. - tiempo de A a B
x / 18h. - Tiempo atras
Como pasó 15 minutos menos en el camino de regreso, compondremos la ecuación
Respuesta: 9 km
Solución usando un gráfico de función lineal:
1. Fijemos el plano de coordenadas sOtc por el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y por el eje de ordenadas Os, en el que marcamos la distancia.
2. Marquemos divisiones en la escala: a lo largo de la ordenada - 3 km en una celda; en el eje de abscisas - una hora en 4 celdas (en 1 celda - 15 min).
3. Dibuje una línea de movimiento allí: marque el inicio del movimiento con un punto (0; 0). El ciclista circulaba a una velocidad de 12 km / h, lo que significa que la recta debe pasar por el punto (1; 12).
4. Dibuja una línea de movimiento hacia atrás: marca el final de la línea con un punto (; 0), ya que el ciclista tardó 15 minutos menos en el camino de regreso. Conducía a una velocidad de 18 km / h, lo que significa que el siguiente punto de la recta tiene la coordenada (; 18).
5. Note (; 9) - el punto de intersección de las líneas: su ordenada mostrará la distancia: s = 9
Respuesta: 9 km.
Tarea 2 (No. 757 en el libro de texto de Yu.N. Makarychev "Álgebra 7")
La distancia entre los muelles M y N es de 162 km. El barco de motor partió del muelle M a una velocidad de 45 km / h. Después de 45 minutos, otro barco de motor partió desde el muelle N hacia él, cuya velocidad era de 36 km / h. ¿Cuántas horas después de la salida del primer barco se encontrarán?
Solución usando la ecuación:
Deje entrar x horas habrá una reunión
162-45 (x +0,75) -36x = 0
162-45x - 33,75 -36x = 0
81x = 128,25
2) 
Respuesta: 2h 20min.
Solución usando un gráfico de función lineal:
1. Establezcamos el plano de coordenadas sOt con el eje de abscisas Ot, en el que marcamos los intervalos de tiempo de movimiento, y el eje de ordenadas Os, en el que
tenga en cuenta la distancia del muelle M al muelle N, igual a 162 km. El principio
la cuenta regresiva es el muelle M
2. Marquemos las divisiones en la escala: a lo largo de la ordenada - en dos celdas de 18 km; en el eje de abscisas - una hora en 6 celdas (en 1 celda - 10 min.), porque el tiempo en minutos se indica en el enunciado del problema.
marque el punto N (0; 162).
3. Construyamos una línea de movimiento del primer barco motor I: el inicio de su movimiento será en el punto de coordenadas (0; 0). El primer barco de motor navegó a una velocidad de 45 km / h, lo que significa que la línea recta debe pasar por el punto con coordenadas (1; 45).
4. Construyamos una línea de movimiento del segundo barco a motor II: el inicio del movimiento será en el punto c
coordenadas (; 162), desde que salió del punto N, 162 km de M, 45 minutos. más tarde que el primero, y 45min. = h. El segundo barco de motor navegó a una velocidad de 36 km / h, lo que significa que la línea recta debe pasar por el punto (; 126), ya que el segundo barco de motor partió en dirección al punto M: 162 - 36 = 126 (km).
5. El punto de intersección de las líneas I y II es el punto A (; 108). La abscisa del punto muestra el tiempo tras el cual, tras la salida del primer barco motor, se encontraron: t =, | = h = 2h20min. - la hora de encuentro de dos barcos de motor después de que sale el primer barco de motor.
Respuesta: 2h 20min.
Conclusión.
Al final de la investigación, pude identificar las ventajas y desventajas de resolver problemas gráficamente.
Ventajas:
Puede anotar las tareas;
Es bastante fácil trabajar con números pequeños.
Defectos:
Es difícil trabajar con un gran número de personas.
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