¿Crees que todavía hay tiempo antes del examen y tendrás tiempo para prepararte? Quizás esto sea así. Pero en cualquier caso, cuanto antes comience el estudiante a entrenar, con más éxito aprobará los exámenes. Hoy hemos decidido dedicar un artículo a las desigualdades logarítmicas. Esta es una de las tareas, lo que significa una oportunidad para obtener un punto extra.
¿Ya sabes qué es un logaritmo (log)? Realmente lo esperamos. Pero incluso si no tiene una respuesta a esta pregunta, no es un problema. Es muy fácil entender qué es un logaritmo.
¿Por qué exactamente 4? Debe elevar el número 3 a tal potencia para obtener 81. Cuando comprenda el principio, puede proceder a cálculos más complejos.
Pasaste por las desigualdades hace unos años. Y desde entonces, los encuentras constantemente en matemáticas. Si tiene problemas para resolver desigualdades, consulte la sección correspondiente.
Ahora, cuando nos hayamos familiarizado con los conceptos por separado, pasaremos a su consideración en general.
La desigualdad logarítmica más simple.
Las desigualdades logarítmicas más simples no se limitan a este ejemplo, hay tres más, solo que con signos diferentes. ¿Por qué es necesario? Para comprender mejor cómo resolver la desigualdad con logaritmos. Ahora damos un ejemplo más aplicable, todavía bastante simple, dejamos las desigualdades logarítmicas complejas para más adelante.
¿Cómo resolverlo? Todo comienza con ODZ. Deberías saber más al respecto si quieres resolver siempre fácilmente cualquier desigualdad.
¿Qué es ODZ? DPV para desigualdades logarítmicas
La abreviatura significa área valores permitidos. En las tareas para el examen, esta redacción aparece a menudo. ODZ le será útil no solo en caso desigualdades logarítmicas.
Mira de nuevo el ejemplo anterior. Consideraremos la ODZ en base a ella, para que comprenda el principio y la solución de desigualdades logarítmicas no plantee preguntas. De la definición del logaritmo se deduce que 2x+4 debe ser mayor que cero. En nuestro caso, esto significa lo siguiente.
Este número debe ser positivo por definición. Resuelva la desigualdad presentada anteriormente. Esto puede hacerse incluso oralmente, aquí se aclara que X no puede ser menor que 2. La solución de la desigualdad será la definición del rango de valores aceptables.
Ahora pasemos a resolver la desigualdad logarítmica más simple.
Descartamos los logaritmos mismos de ambas partes de la desigualdad. ¿Qué nos queda como resultado? desigualdad simple.
Es fácil de resolver. X debe ser mayor que -0,5. Ahora combinamos los dos valores obtenidos en el sistema. De este modo,
Esta será la región de valores admisibles para la desigualdad logarítmica considerada.
¿Por qué se necesita ODZ en absoluto? Esta es una oportunidad para eliminar las respuestas incorrectas e imposibles. Si la respuesta no está dentro del rango de valores aceptables, entonces la respuesta simplemente no tiene sentido. Vale la pena recordar esto durante mucho tiempo, ya que en el examen a menudo es necesario buscar ODZ, y no solo se trata de desigualdades logarítmicas.
Algoritmo para resolver la desigualdad logarítmica
La solución consta de varios pasos. Primero, es necesario encontrar el rango de valores aceptables. Habrá dos valores en la ODZ, lo consideramos anteriormente. El siguiente paso es resolver la desigualdad en sí. Los métodos de solución son los siguientes:
- método de reemplazo del multiplicador;
- descomposición;
- método de racionalización.
Dependiendo de la situación, se debe utilizar uno de los métodos anteriores. Vayamos directo a la solución. Revelaremos el método más popular que es adecuado para resolver tareas USE en casi todos los casos. A continuación, consideraremos el método de descomposición. Puede ayudar si te encuentras con una desigualdad particularmente "complicada". Entonces, el algoritmo para resolver la desigualdad logarítmica.
Ejemplos de soluciones :
¡No en vano tomamos precisamente tal desigualdad! Presta atención a la base. Recuerda: si es mayor que uno, el signo permanece igual al encontrar el rango de valores válidos; de lo contrario, se debe cambiar el signo de desigualdad.
Como resultado, obtenemos la desigualdad:
Ahora traemos el lado izquierdo a la forma de la ecuación, cero. En lugar del signo “menor que”, ponemos “igual”, resolvemos la ecuación. Así, encontraremos la ODZ. Esperamos que con la solución de tal ecuación sencilla no tendrás problema. Las respuestas son -4 y -2. Eso no es todo. Debe mostrar estos puntos en el gráfico, colocar "+" y "-". ¿Qué hay que hacer para esto? Sustituye números de los intervalos en la expresión. Donde los valores son positivos, ponemos "+" allí.
Respuesta: x no puede ser mayor que -4 ni menor que -2.
Encontramos el rango de valores válidos solo para el lado izquierdo, ahora necesitamos encontrar el rango de valores válidos para el lado derecho. Esto no es de ninguna manera más fácil. Respuesta: -2. Intersectamos ambas áreas recibidas.
Y solo ahora comenzamos a resolver la desigualdad en sí.
Vamos a simplificarlo todo lo posible para que sea más fácil decidir.
Aplicar de nuevo método de intervalo en la decisión. Saltémonos los cálculos, con él ya está todo claro del ejemplo anterior. Respuesta.
Pero este método es adecuado si la desigualdad logarítmica tiene las mismas bases.
Solución ecuaciones logarítmicas y desigualdades con motivos diferentes presupone una reducción inicial a una base. A continuación, utilice el método anterior. Pero hay más caso dificil. Considere uno de los más tipos complejos desigualdades logarítmicas.
Desigualdades logarítmicas con base variable
¿Cómo resolver desigualdades de tales características? Sí, y tal se puede encontrar en el examen. Resolver desigualdades de la siguiente manera también tendrá un efecto beneficioso en su proceso educativo. Entendamos el problema en detalle. Dejemos la teoría a un lado y vayamos directo a la práctica. Para resolver desigualdades logarítmicas, basta con familiarizarse una vez con el ejemplo.
Para resolver la desigualdad logarítmica de la forma presentada, es necesario reducir el lado derecho al logaritmo con la misma base. El principio se asemeja a transiciones equivalentes. Como resultado, la desigualdad se verá así.
En realidad, queda por crear un sistema de desigualdades sin logaritmos. Usando el método de racionalización, pasamos a un sistema equivalente de desigualdades. Comprenderá la regla en sí misma cuando sustituya los valores apropiados y siga sus cambios. El sistema tendrá las siguientes desigualdades.
Al usar el método de racionalización al resolver desigualdades, debe recordar lo siguiente: debe restar uno de la base, x, por definición del logaritmo, se resta de ambas partes de la desigualdad (la derecha de la izquierda), los dos las expresiones se multiplican y se ponen bajo el signo original relativo a cero.
La solución adicional se lleva a cabo por el método de intervalo, aquí todo es simple. Es importante que comprenda las diferencias en los métodos de solución, entonces todo comenzará a funcionar fácilmente.
Hay muchos matices en las desigualdades logarítmicas. Los más simples de ellos son bastante fáciles de resolver. ¿Cómo hacer para resolver cada uno de ellos sin problemas? Ya has recibido todas las respuestas en este artículo. Ahora tienes una larga práctica por delante. Practique constantemente la resolución de varios problemas dentro del examen y podrá obtener la puntuación más alta. ¡Buena suerte en tu difícil trabajo!
DESIGUALDADES LOGARÍTMICAS EN EL USO
Sechin Mijail Alexandrovich
Pequeña Academia de Ciencias para Estudiantes de la República de Kazajstán "Buscador"
MBOU "Escuela secundaria soviética No. 1", grado 11, ciudad. Distrito soviético de Sovietsky
Gunko Lyudmila Dmitrievna, maestra de MBOU "Escuela secundaria soviética No. 1"
distrito de sovietsky
Objetivo: estudio del mecanismo de resolución de desigualdades logarítmicas C3 por métodos no estándar, identificando datos interesantes logaritmo.
Tema de estudio:
3) Aprender a resolver desigualdades C3 logarítmicas específicas utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Contenido
Introducción…………………………………………………………………………………….4
Capítulo 1. Antecedentes…………………………………………………………...5
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos……………… 7
2.2. Método de racionalización ………………………………………………… 15
2.3. Sustitución no estándar…………………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Tareas con trampas…………………………………………………… 27
Conclusión………………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introducción
Estoy en el grado 11 y planeo ingresar a una universidad donde las matemáticas sean una materia básica. Y es por eso que trabajo mucho con las tareas de la parte C. En la tarea C3, necesitas resolver una desigualdad no estándar o un sistema de desigualdades, generalmente asociado con logaritmos. Mientras me preparaba para el examen, me encontré con el problema de la falta de métodos y técnicas para resolver las desigualdades logarítmicas del examen que se ofrecen en C3. Los métodos que se estudian en el currículo escolar sobre este tema no brindan una base para resolver las tareas C3. La maestra de matemáticas sugirió que trabajara con las tareas de C3 por mi cuenta bajo su guía. Además, me interesaba la pregunta: ¿hay logaritmos en nuestra vida?
Con esto en mente, se eligió el tema:
"Desigualdades logarítmicas en el examen"
Objetivo: estudio del mecanismo para resolver problemas C3 utilizando métodos no estándar, revelando datos interesantes sobre el logaritmo.
Tema de estudio:
1) Encuentra la información necesaria sobre métodos no estándar soluciones de desigualdades logarítmicas.
2) Encuentra información adicional sobre logaritmos.
3) Aprender a resolver problemas específicos de C3 utilizando métodos no estándar.
Resultados:
Significado práctico es ampliar el aparato para resolver los problemas C3. Este material se puede utilizar en algunas lecciones, para realizar círculos, clases opcionales de matemáticas.
El producto del proyecto será la colección "Desigualdades logarítmicas C3 con soluciones".
Capítulo 1. Antecedentes
Durante el siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. La mejora de los instrumentos, el estudio de los movimientos planetarios y otros trabajos requerían cálculos colosales, a veces muchos años. La astronomía estaba en peligro real de ahogarse en cálculos incumplidos. También surgieron dificultades en otras áreas, por ejemplo, en el negocio de seguros, se necesitaban tablas de interés compuesto para diferentes significados por ciento. La principal dificultad fue la multiplicación, división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas.
El descubrimiento de los logaritmos se basó en las conocidas propiedades de las progresiones a fines del siglo XVI. Sobre la comunicación entre los miembros progresión geométrica q, q2, q3, ... y progresión aritmética sus indicadores son 1, 2, 3, ... Arquímedes habló en el "Salmo". Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a exponentes negativos y fraccionarios. Muchos autores han señalado que la multiplicación, la división, la elevación a una potencia y la extracción de una raíz corresponden exponencialmente en aritmética -en el mismo orden- a la suma, la resta, la multiplicación y la división.
Aquí estaba la idea del logaritmo como exponente.
En la historia del desarrollo de la doctrina de los logaritmos han pasado varias etapas.
Nivel 1
Los logaritmos fueron inventados a más tardar en 1594 de forma independiente por el barón escocés Napier (1550-1617) y diez años más tarde por el mecánico suizo Burgi (1552-1632). Ambos querían proporcionar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos, aunque abordaron este problema de diferentes maneras. Napier expresó cinemáticamente la función logarítmica y así entró en un nuevo campo de la teoría de funciones. Bürgi se mantuvo sobre la base de la consideración de progresiones discretas. Sin embargo, la definición del logaritmo para ambos no es similar a la moderna. El término "logaritmo" (logarithmus) pertenece a Napier. Surgió de una combinación palabras griegas: logos - "relación" y ariqmo - "número", que significaba "número de relaciones". Inicialmente, Napier usó un término diferente: numeri artificiales - "números artificiales", en oposición a numeri naturalts - "números naturales".
En 1615, en una conversación con Henry Briggs (1561-1631), profesor de matemáticas en el Gresh College de Londres, Napier sugirió tomar cero por el logaritmo de uno y 100 por el logaritmo de diez, o lo que es lo mismo lo mismo, solo 1. Así que había logaritmos decimales y se imprimieron las primeras tablas logarítmicas. Posteriormente, las tablas de Briggs fueron complementadas por el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667). Napier y Briggs, aunque llegaron a los logaritmos antes que nadie, publicaron sus tablas más tarde que los demás, en 1620. Los signos log y Log fueron introducidos en 1624 por I. Kepler. El término "logaritmo natural" fue introducido por Mengoli en 1659, seguido por N. Mercator en 1668, y el maestro londinense John Spadel publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000 bajo el nombre de "Nuevos Logaritmos".
En ruso, las primeras tablas logarítmicas se publicaron en 1703. Pero en todas las tablas logarítmicas se cometieron errores en el cálculo. Las primeras tablas sin errores se publicaron en 1857 en Berlín en el procesamiento del matemático alemán K. Bremiker (1804-1877).
Etapa 2
Un mayor desarrollo de la teoría de los logaritmos está asociado con una aplicación más amplia de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal. En ese momento, se estableció la conexión entre la cuadratura de una hipérbola equilátera y el logaritmo natural. La teoría de los logaritmos de este período está asociada con los nombres de varios matemáticos.
El matemático, astrónomo e ingeniero alemán Nikolaus Mercator en su ensayo
"Logarithmotechnics" (1668) da una serie que da la expansión de ln(x + 1) en términos de
potencias x:
Esta expresión corresponde exactamente al curso de su pensamiento, aunque, por supuesto, no utilizó los signos d,..., sino símbolos más engorrosos. Con el descubrimiento de las series logarítmicas, la técnica de cálculo de los logaritmos cambió: comenzaron a determinarse mediante series infinitas. En sus conferencias matemáticas elementales Con punto mas alto view", leído en 1907-1908, F. Klein sugirió utilizar la fórmula como punto de partida para construir la teoría de los logaritmos.
Etapa 3
Definición función logarítmica en función de la inversa
exponencial, logaritmo como exponente de una base dada
no se formuló inmediatamente. La obra de Leonhard Euler (1707-1783)
"Introducción al análisis de los infinitesimales" (1748) sirvió como
desarrollo de la teoría de la función logarítmica. De este modo,
Han pasado 134 años desde que se introdujeron los logaritmos
(a partir de 1614) antes de que los matemáticos dieran una definición
el concepto de logaritmo, que ahora es la base del curso escolar.
Capítulo 2. Colección de desigualdades logarítmicas
2.1. Transiciones equivalentes y el método generalizado de los intervalos.
Transiciones equivalentes
si a > 1
si 0 <
а <
1
Método de intervalo generalizado
Este método más universal para resolver desigualdades de casi cualquier tipo. El esquema de solución se ve así:
1. Lleve la desigualdad a tal forma, donde la función se encuentra en el lado izquierdo 
, y 0 a la derecha.
2. Encuentra el alcance de la función .
3. Encuentra los ceros de una función , es decir, resolver la ecuación 
(y resolver una ecuación suele ser más fácil que resolver una desigualdad).
4. Dibujar el dominio de definición y los ceros de la función en una recta real.
5. Determinar los signos de la función en los intervalos recibidos.
6. Selecciona los intervalos donde la función toma los valores necesarios y anota la respuesta.
Ejemplo 1
Solución:
Aplicar el método de intervalo
donde
Para estos valores, todas las expresiones bajo los signos de los logaritmos son positivas.
Respuesta:
Ejemplo 2
Solución:
1º camino . ODZ está determinada por la desigualdad X> 3. Tomando logaritmos para tales X en base 10 obtenemos
La última desigualdad podría resolverse aplicando las reglas de descomposición, es decir Comparación de factores con cero. Sin embargo, en este caso es fácil determinar los intervalos de constancia de la función
por lo que se puede aplicar el método de intervalo.
Función F(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ es continua para X> 3 y desaparece en puntos X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Así, determinamos los intervalos de constancia de la función F(X):
Respuesta:
2do camino . Apliquemos las ideas del método de los intervalos directamente a la desigualdad original.
Para ello, recordemos que las expresiones a B- a c y ( a - 1)(B- 1) tener un signo. Entonces nuestra desigualdad para X> 3 es equivalente a la desigualdad
o
La última desigualdad se resuelve por el método del intervalo.
Respuesta:
Ejemplo 3
Solución:
Aplicar el método de intervalo
Respuesta:
Ejemplo 4
Solución:
Desde 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 para todo real X, entonces
Para resolver la segunda desigualdad, usamos el método del intervalo
En la primera desigualdad, hacemos el cambio
entonces llegamos a la desigualdad 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, que satisfacen la desigualdad -0.5< y < 1.
De donde, porque
obtenemos la desigualdad
que se lleva a cabo con X, para lo cual 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Ahora, teniendo en cuenta la solución de la segunda desigualdad del sistema, finalmente obtenemos
Respuesta:
Ejemplo 5
Solución:
La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas.
o
Aplicar el método de intervalo o
Respuesta:
Ejemplo 6
Solución:
La desigualdad equivale a un sistema
Dejar
entonces y > 0,
y la primera desigualdad
sistema toma la forma
o, expandiendo
trinomio cuadrado para multiplicadores,
Aplicando el método del intervalo a la última desigualdad,
vemos que sus soluciones satisfacen la condición y> 0 será todo y > 4.
Así, la desigualdad original es equivalente al sistema:
Entonces, las soluciones de la desigualdad son todas
2.2. método de racionalización.
Anteriormente, el método de racionalización de la desigualdad no estaba resuelto, no se conocía. Esta es la nueva modernidad metodo efectivo soluciones de desigualdades exponenciales y logarítmicas" (cita del libro de Kolesnikova S.I.)
E incluso si el maestro lo conocía, había un temor, pero ¿el experto de USE lo conoce y por qué no lo dan en la escuela? Hubo situaciones en las que el maestro le dijo al alumno: "¿De dónde lo sacaste? Siéntate - 2".
Ahora el método se está promocionando en todas partes. Y para los expertos, existen pautas asociadas a este método, y en "Las ediciones más completas de opciones estándar..." en la solución C3, se utiliza este método.
¡EL MÉTODO ES GENIAL!
"Mesa Mágica"
En otras fuentes
Si a >1 yb >1, luego log ab >0 y (a -1)(b -1)>0;
Si a >1 y 0 si 0<a<1 и b
>1, luego registra a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
si 0<a<1 и 00 y (a -1)(b -1)>0. El razonamiento anterior es simple, pero simplifica notablemente la solución de desigualdades logarítmicas. Ejemplo 4
registro x (x 2 -3)<0
Solución:
Ejemplo 5
logaritmo 2 x (2x 2 -4x +6)≤ logaritmo 2 x (x 2 +x ) Solución: Ejemplo 6
Para resolver esta desigualdad, escribimos (x-1-1) (x-1) en lugar del denominador, y el producto (x-1) (x-3-9 + x) en lugar del numerador. Ejemplo 7
Ejemplo 8
2.3. Sustitución no estándar. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
registro 4 (3 x -1) registro 0,25 Hagamos la sustitución y=3 x -1; entonces esta desigualdad toma la forma registro 4 registro 0.25 Porque registro 0.25 Hagamos un reemplazo t =log 4 y y obtengamos la desigualdad t 2 -2t +≥0, cuya solución son los intervalos - Así, para encontrar los valores de y, tenemos un conjunto de dos desigualdades más simples Por lo tanto, la desigualdad original es equivalente al conjunto de dos desigualdades exponenciales, La solución de la primera desigualdad de este conjunto es el intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Ejemplo 8
Solución:
La desigualdad equivale a un sistema La solución de la segunda desigualdad, que determina la ODZ, será el conjunto de aquellas X,
para cual X > 0.
Para resolver la primera desigualdad, hacemos el cambio Entonces obtenemos la desigualdad o El conjunto de soluciones de la última desigualdad se encuentra por el método intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, obtenemos o muchos de esos X, que satisfacen la última desigualdad pertenece a ODZ ( X> 0), por lo tanto, es una solución al sistema, y por lo tanto la desigualdad original. Respuesta: 2.4. Tareas con trampas. Ejemplo 1
Solución. La ODZ de la desigualdad es toda x que satisface la condición 0 Ejemplo 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Respuesta. (0; 0,5) U .
Respuesta :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , luego reescribimos la última desigualdad como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
La solución de esta colección son los intervalos 0<у≤2 и 8≤у<+.
es decir, agregados 
. Por lo tanto, la desigualdad original se cumple para todos los valores de x de los intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Por lo tanto, todo x del intervalo 0
Conclusión
No fue fácil encontrar métodos especiales para resolver problemas C3 a partir de una gran variedad de fuentes educativas diferentes. En el transcurso del trabajo realizado, pude estudiar métodos no estándar para resolver desigualdades logarítmicas complejas. Estos son: transiciones equivalentes y el método generalizado de intervalos, el método de racionalización , sustitución no estándar , tareas con trampas en la ODZ. Estos métodos están ausentes en el currículo escolar.
Usando diferentes métodos, resolví 27 desigualdades ofrecidas en el USE en la parte C, a saber, C3. Estas desigualdades con soluciones por métodos formaron la base de la colección "Desigualdades Logarítmicas C3 con Soluciones", que se convirtió en el proyecto producto de mi actividad. La hipótesis que planteé al comienzo del proyecto se confirmó: los problemas C3 se pueden resolver de manera efectiva si se conocen estos métodos.
Además, descubrí datos interesantes sobre los logaritmos. Fue interesante para mí hacerlo. Los productos de mi proyecto serán útiles tanto para estudiantes como para profesores.
Conclusiones:
Por lo tanto, se logra el objetivo del proyecto, se resuelve el problema. Y obtuve la experiencia más completa y versátil en actividades de proyectos en todas las etapas del trabajo. En el transcurso de trabajar en el proyecto, mi principal impacto en el desarrollo fue sobre la competencia mental, las actividades relacionadas con las operaciones mentales lógicas, el desarrollo de la competencia creativa, la iniciativa personal, la responsabilidad, la perseverancia y la actividad.
Una garantía de éxito a la hora de crear un proyecto de investigación para Me he convertido en: experiencia escolar significativa, la capacidad de extraer información de varias fuentes, verificar su confiabilidad, clasificarla según su importancia.
Además del conocimiento directo de la materia en matemáticas, amplió sus habilidades prácticas en el campo de la informática, adquirió nuevos conocimientos y experiencia en el campo de la psicología, estableció contactos con compañeros de clase y aprendió a cooperar con adultos. En el curso de las actividades del proyecto, se desarrollaron habilidades y capacidades educativas generales organizativas, intelectuales y comunicativas.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades con una variable (tareas típicas C3).
2. Malkova A. G. Preparándose para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
3. S. S. Samarova, Solución de desigualdades logarítmicas.
4. Matemáticas. Colección de trabajos de formación editada por A.L. Semionov y I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Entre toda la variedad de desigualdades logarítmicas, las desigualdades de base variable se estudian por separado. Se resuelven de acuerdo con una fórmula especial, que por alguna razón rara vez se enseña en la escuela:
iniciar sesión k (x ) f (x ) ∨ iniciar sesión k (x ) gramo (x ) ⇒ (f (x ) − gramo (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0
En lugar de una grajilla "∨", puedes poner cualquier signo de desigualdad: más o menos. Lo principal es que en ambas desigualdades los signos son iguales.
Así que nos deshacemos de los logaritmos y reducimos el problema a una desigualdad racional. Este último es mucho más fácil de resolver, pero al descartar logaritmos, pueden aparecer raíces extra. Para cortarlos, basta con encontrar el rango de valores admisibles. Si olvidó la ODZ del logaritmo, le recomiendo que la repita; consulte "¿Qué es un logaritmo?".
Todo lo relacionado con el rango de valores aceptables debe anotarse y resolverse por separado:
f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.
Estas cuatro desigualdades constituyen un sistema y deben cumplirse simultáneamente. Cuando se encuentra el rango de valores aceptables, queda cruzarlo con la solución de una desigualdad racional, y la respuesta está lista.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Primero, escribamos la ODZ del logaritmo:
Las dos primeras desigualdades se realizan automáticamente, y la última habrá que escribirla. Como el cuadrado de un número es cero si y solo si el propio número es cero, tenemos:
x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
Resulta que la ODZ del logaritmo son todos los números excepto el cero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ahora resolvemos la desigualdad principal:
Realizamos la transición de la desigualdad logarítmica a la racional. La desigualdad original tiene un signo "menor que", lo que significa que la desigualdad resultante también debe tener un signo "menor que". Tenemos:
(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.
Ceros de esta expresión: x = 3; x = -3; x = 0. Además, x = 0 es la raíz de la segunda multiplicidad, lo que significa que al pasar por ella, el signo de la función no cambia. Tenemos:
Obtenemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está completamente contenido en la ODZ del logaritmo, lo que significa que esta es la respuesta.
Transformación de desigualdades logarítmicas
A menudo, la desigualdad original difiere de la anterior. Esto es fácil de solucionar de acuerdo con las reglas estándar para trabajar con logaritmos; consulte "Propiedades básicas de los logaritmos". A saber:
- Cualquier número puede representarse como un logaritmo con una base dada;
- La suma y la diferencia de logaritmos con la misma base se pueden reemplazar por un solo logaritmo.
Por separado, quiero recordarles sobre el rango de valores aceptables. Como puede haber varios logaritmos en la desigualdad original, se requiere encontrar el DPV de cada uno de ellos. Así, el esquema general para resolver desigualdades logarítmicas es el siguiente:
- Encuentra la ODZ de cada logaritmo incluido en la desigualdad;
- Reducir la desigualdad a la estándar usando las fórmulas para sumar y restar logaritmos;
- Resuelva la desigualdad resultante de acuerdo con el esquema anterior.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
Encuentre el dominio de definición (ODZ) del primer logaritmo:
Resolvemos por el método del intervalo. Encontrar los ceros del numerador:
3x − 2 = 0;
x = 2/3.
Entonces - los ceros del denominador:
x - 1 = 0;
x = 1.
Marcamos ceros y signos en la flecha de coordenadas:
Obtenemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). El segundo logaritmo de la ODZ será el mismo. Si no me crees, puedes comprobarlo. Ahora transformamos el segundo logaritmo para que la base sea dos:
Como puedes ver, los triples en la base y antes del logaritmo se han reducido. Obtenga dos logaritmos con la misma base. Vamos a juntarlos:
registro 2 (x − 1) 2< 2;
registro 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
Hemos obtenido la desigualdad logarítmica estándar. Nos deshacemos de los logaritmos por la fórmula. Dado que hay un signo menor que en la desigualdad original, la expresión racional resultante también debe ser menor que cero. Tenemos:
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Tenemos dos conjuntos:
- ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
- Respuesta candidata: x ∈ (−1; 3).
Queda por cruzar estos conjuntos; obtenemos la respuesta real:
Estamos interesados en la intersección de conjuntos, por lo que elegimos los intervalos sombreados en ambas flechas. Obtenemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos los puntos están perforados.
A menudo, al resolver desigualdades logarítmicas, surgen problemas con una base variable del logaritmo. Entonces, una desigualdad de la forma
es una desigualdad escolar estándar. Por regla general, para resolverlo, se utiliza una transición a un conjunto equivalente de sistemas:
La desventaja de este método es la necesidad de resolver siete desigualdades, sin contar dos sistemas y un conjunto. Incluso con funciones cuadráticas dadas, la solución de la población puede requerir mucho tiempo.
Se puede proponer una forma alternativa, que consume menos tiempo, de resolver esta desigualdad estándar. Para ello, tenemos en cuenta el siguiente teorema.
Teorema 1. Sea una función creciente continua en un conjunto X. Entonces, en este conjunto, el signo del incremento de la función coincidirá con el signo del incremento del argumento, es decir , donde 
.
Nota: si una función continua decreciente en el conjunto X, entonces .
Volvamos a la desigualdad. Pasemos al logaritmo decimal (puedes ir a cualquiera con una base constante mayor que uno).
Ahora podemos usar el teorema, notando en el numerador el incremento de funciones 
y en el denominador. Por lo que es cierto
Como resultado, la cantidad de cálculos que conducen a la respuesta se reduce aproximadamente a la mitad, lo que no solo ahorra tiempo, sino que también le permite cometer menos errores aritméticos y por descuido.
Ejemplo 1
Comparando con (1) encontramos 
, 
, .
Pasando a (2) tendremos:
Ejemplo 2
Comparando con (1) encontramos , , .
Pasando a (2) tendremos:
Ejemplo 3
Como el lado izquierdo de la desigualdad es una función creciente para y 
, entonces la respuesta está establecida .
El conjunto de ejemplos en los que se puede aplicar Terme 1 se puede ampliar fácilmente si se tiene en cuenta Terme 2.
dejar en el set X las funciones , , , están definidas, y en este conjunto los signos y coinciden, es decir, entonces será justo.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Con el enfoque estándar, el ejemplo se resuelve según el esquema: el producto es menor que cero cuando los factores son de diferente signo. Aquellos. consideramos un conjunto de dos sistemas de desigualdades en los que, como se indicó al principio, cada desigualdad se descompone en siete más.
Si tenemos en cuenta el Teorema 2, entonces cada uno de los factores, teniendo en cuenta (2), puede ser reemplazado por otra función que tenga el mismo signo en este ejemplo de O.D.Z.
El método de reemplazar el incremento de una función por un incremento del argumento, teniendo en cuenta el Teorema 2, resulta muy conveniente a la hora de resolver problemas típicos de C3 USE.
Ejemplo 6
Ejemplo 7
. Denotemos. Obtener
. Nótese que la sustitución implica: . Volviendo a la ecuación, obtenemos
.
Ejemplo 8
En los teoremas que usamos, no hay restricción sobre las clases de funciones. En este artículo, como ejemplo, se aplicaron los teoremas a la solución de desigualdades logarítmicas. Los siguientes ejemplos demostrarán la promesa del método para resolver otros tipos de desigualdades.