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Las ecuaciones trigonométricas no son el tema más fácil. Dolorosamente son diversos). Por ejemplo, tales:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
senx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etc ...
Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos características comunes y obligatorias. El primero, no lo creerá, hay funciones trigonométricas en las ecuaciones. Segundo: todas las expresiones con x se encuentran dentro de estas mismas funciones.¡Y solo ahí! Si aparece x en cualquier lugar fuera de, Por ejemplo, sin2x + 3x = 3, esto ya será una ecuación tipo mixto... Tales ecuaciones requieren un enfoque individual. No los consideraremos aquí.
Tampoco resolveremos ecuaciones malignas en esta lección.) Aquí nos ocuparemos de las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Si, porque la solucion ningún Las ecuaciones trigonométricas tienen dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante varias transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.
Entonces, si tiene problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).
¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Aquí a denota cualquier número. Alguien.
Por cierto, dentro de la función puede que no haya una x pura, sino algún tipo de expresión, como por ejemplo:
cos (3x + π / 3) = 1/2
etc. Esto complica la vida, pero no afecta el método de resolver la ecuación trigonométrica.
¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?
Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos formas. Primera forma: utilizando la lógica y el círculo trigonométrico. Consideraremos este camino aquí. La segunda forma, usar memoria y fórmulas, se discutirá en la próxima lección.
La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos engañosos no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!)
Resolver ecuaciones usando el círculo trigonométrico.
Incluimos lógica elemental y la capacidad de utilizar el círculo trigonométrico. ¡¿No sabes cómo ?! Sin embargo ... es difícil para ti en trigonometría ...) Pero no importa. Eche un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico ... ¿Qué es?" y "Contar ángulos en un círculo trigonométrico". Allí todo es sencillo. A diferencia de los tutoriales ...)
Oh tú sabes !? ¿¡E incluso dominaste el "Trabajo práctico con el círculo trigonométrico"!? Felicidades. Este tema será cercano y comprensible para usted.) Lo que es especialmente agradable, al círculo trigonométrico no le importa qué ecuación resuelva. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es uno para él. Solo hay un principio de solución.
Entonces tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:
cosx = 0,5
Necesitamos encontrar la X. En términos humanos, necesitas encuentre el ángulo (x), cuyo coseno es 0.5.
¿Cómo usamos el círculo antes? Trazamos una esquina. En grados o radianes. Y inmediatamente visto funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibujemos un coseno igual a 0.5 en el círculo e inmediatamente ver inyección. Todo lo que queda es escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!
Dibuja un círculo y marca un coseno de 0,5. En el eje del coseno, por supuesto. Como esto:
Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Mueva el cursor del mouse sobre el dibujo (o toque la imagen en la tableta) y ver este mismo rincón X.
¿Qué ángulo es el coseno 0.5?
x = π / 3
porque 60 °= cos ( π / 3) = 0,5
Alguien se reirá escépticamente, sí ... Dicen, valió la pena el círculo, cuando ya todo está claro ... Puedes, por supuesto, reír ...) Pero el caso es que esta es una respuesta errónea. O mejor dicho, insuficiente. Los conocedores del círculo entienden que todavía hay un montón de ángulos aquí, que también dan un coseno igual a 0.5.
Si gira el lado móvil del OA giro completo, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Aquellos. el ángulo cambiará 360 ° o 2π radianes, y el coseno no lo es. El nuevo ángulo 60 ° + 360 ° = 420 ° también será la solución a nuestra ecuación, ya que
Puede enrollar un número infinito de vueltas tan completas ... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones a nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos de alguna manera deben escribirse en respuesta. Todo. De lo contrario, la decisión no cuenta, sí ...)
Las matemáticas saben cómo hacer esto de una manera sencilla y elegante. En una respuesta corta, escribe conjunto sin fin soluciones. Así es como se ve para nuestra ecuación:
x = π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
Voy a descifrar. Todavía escribo significativamente más agradable que dibujar estúpidamente algunas letras misteriosas, ¿verdad?)
π / 3 - esta es la misma esquina que nosotros vio en el círculo y identificado según la tabla de coseno.
2π es una revolución completa en radianes.
norte es el número de llenos, es decir entero revoluciones. Está claro que norte puede ser 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... y así sucesivamente. Como lo indica una breve nota:
n ∈ Z
norte pertenece ∈ ) al conjunto de números enteros ( Z ). Por cierto, en lugar de la letra norte las letras bien pueden usarse k, m, t etc.
Esta entrada significa que puede tomar cualquier norte ... Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Lo que quieras. Si inserta ese número en su respuesta, obtendrá un ángulo específico que definitivamente resolverá nuestra dura ecuación).
O, en otras palabras, x = π / 3 es la única raíz del conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, es suficiente agregar cualquier número de revoluciones completas a π / 3 ( norte ) en radianes. Aquellos. 2π n radián.
¿Todo? No. Deliberadamente estiro el placer. Para recordarlo mejor. Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución de la siguiente manera:
x 1 = π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
x 1 - no una raíz, es una serie completa de raíces, escrita en forma abreviada.
¡Pero también hay ángulos que también dan un coseno de 0,5!
Volvamos a nuestra imagen, que se usó para escribir la respuesta. Ahí está ella:
Pase el mouse sobre la imagen y ver otro rincón que también da un coseno de 0,5.¿A qué crees que es igual? Los triángulos son iguales ... ¡Sí! Es igual a la esquina X , solo vuelva a colocarlo en la dirección negativa. Esta es la esquina -X. Pero ya hemos descubierto la x. π / 3 o 60 °. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:
x 2 = - π / 3
Pues claro, sumamos todos los ángulos que se obtienen a través de revoluciones completas:
x 2 = - π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo). En el círculo trigonométrico, vio(que entiende, por supuesto)) todoángulos que dan un coseno igual a 0,5. Y escribí estos ángulos en breve forma matemática... La respuesta produjo dos series interminables de raíces:
x 1 = π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π norte, norte ∈ Z
Esta es la respuesta correcta.
Esperanza, principio general de resolución de ecuaciones trigonométricas usar un círculo es claro. Marcamos en el círculo el coseno (seno, tangente, cotangente) de ecuación dada, dibuja las esquinas que le corresponden y escribe la respuesta. Por supuesto, necesitas averiguar qué tipo de rincones somos. vio en el círculo. A veces no es tan obvio. Bueno, entonces dije que aquí se requiere lógica).
Por ejemplo, veamos otra ecuación trigonométrica:
¡Tenga en cuenta que el número 0.5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Es más conveniente para mí escribirlo que raíces y fracciones.
Trabajamos según el principio general. Dibuja un círculo, marca (¡en el eje del seno, por supuesto!) 0.5. Dibujamos a la vez todos los ángulos correspondientes a este seno. Consigamos la siguiente imagen:
Lidiar con el ángulo primero X en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. Es un asunto sencillo:
x = π / 6
Recordamos los giros completos y, con la conciencia tranquila, anotamos la primera serie de respuestas:
x 1 = π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
Medio hecho. Pero ahora necesitamos definir segunda esquina ... Esto es más astuto que en los cosenos, sí ... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos de la imagen son iguales y la esquina roja X igual al ángulo X ... Solo se mide desde el ángulo π en la dirección negativa. Por lo tanto, es rojo.) Y para la respuesta necesitamos un ángulo, medido correctamente, del semieje OX positivo, es decir, desde un ángulo de 0 grados.
Pase el cursor sobre la imagen y vea todo. Quité la primera esquina para no complicar el cuadro. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:
π - x
X lo sabemos π / 6 ... Por tanto, el segundo ángulo será:
π - π / 6 = 5π / 6
Recordamos nuevamente la suma de revoluciones completas y anotamos la segunda serie de respuestas:
x 2 = 5π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
Eso es todo. La respuesta completa consta de dos series de raíces:
x 1 = π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π norte, norte ∈ Z
Las ecuaciones con tangente y cotangente se pueden resolver fácilmente usando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. Si, por supuesto, sabe cómo dibujar tangente y cotangente en un círculo trigonométrico.
En los ejemplos anteriores, utilicé el valor de seno y coseno de la tabla: 0.5. Aquellos. uno de esos significados que el alumno conoce deber. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, así que decide!)
Entonces, digamos que necesitamos resolver esta ecuación trigonométrica:
No existe tal valor de coseno en tablas cortas. Ignoramos este terrible hecho a sangre fría. Dibuja un círculo, marca 2/3 en el eje del coseno y dibuja los ángulos correspondientes. Tenemos una imagen así.
Vamos a resolverlo, para empezar, con un ángulo en el primer trimestre. Si hubiera sabido qué era la X, ¡habrían escrito la respuesta de inmediato! No sabemos ... ¿¡Fracaso !? ¡Calma! ¡Las matemáticas no abandonan a los suyos en problemas! Ella ideó arcosenos para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que piensas. En este enlace, no hay ni un solo hechizo engañoso sobre "revertir funciones trigonométricas"No ... Es superfluo en este hilo.
Si está al tanto, basta con decirse a sí mismo: "X es el ángulo, cuyo coseno es 2/3". Y de inmediato, simplemente por la definición del arcocoseno, puede escribir:
Recordamos giros adicionales y escribimos con calma la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:
x 1 = arcos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
La segunda serie de raíces también se registra casi automáticamente para el segundo ángulo. Todo es igual, solo x (arccos 2/3) estará con un signo menos:
x 2 = - arcos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z
¡Y eso es todo! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con los valores de la tabla. No necesitas recordar nada.) Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen con la solución a través del coseno inverso en esencia, no difiere de la imagen de la ecuación cosx = 0.5.
¡Exactamente! Principio general por eso y en general! Especialmente hice dos dibujos casi idénticos. El círculo nos muestra el ángulo X por su coseno. La mesa es un coseno, o no, el círculo no lo sabe. ¿Cuál es este ángulo, π / 3, o qué tipo de coseno inverso? Eso depende de nosotros.
Con seno la misma canción. Por ejemplo:
Dibuja el círculo nuevamente, marca el seno igual a 1/3, dibuja las esquinas. La imagen se ve así:
Y de nuevo, la imagen es casi la misma que para la ecuación. senx = 0,5. Nuevamente, comience en la esquina en el primer cuarto. ¿Qué es x si su seno es 1/3? ¡No hay problema!
Entonces el primer paquete de raíces está listo:
x 1 = arcos en 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Nos ocupamos de la segunda esquina. En el ejemplo con un valor de tabla de 0.5, fue:
π - x
¡Así que aquí será exactamente lo mismo! Solo x es diferente, arcos en 1/3. ¿¡Y qué!? Puede escribir con seguridad el segundo paquete de raíces:
x 2 = π - arcos en 1/3 + 2π norte, n ∈ Z
Esta es una respuesta absolutamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero es comprensible, espero.)
Así es como se resuelven las ecuaciones trigonométricas usando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien guarda en ecuaciones trigonométricas con la selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas- Generalmente se resuelven casi siempre en círculo. En definitiva, en aquellas tareas que sean un poco más difíciles que las estándar.
¿Apliquemos nuestro conocimiento en la práctica?)
Resolver ecuaciones trigonométricas:
Al principio es más simple, desde esta lección.
Ahora más difícil.
Pista: aquí es donde tienes que reflexionar sobre el círculo. Personalmente.)
Y ahora son aparentemente sin pretensiones ... También se les llama casos especiales.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugerencia: aquí debe averiguar en un círculo dónde hay dos series de respuestas, y dónde está una ... Y cómo escribir una en lugar de dos series de respuestas. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz del número infinito!)
Bueno, muy simples):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Pista: aquí necesita saber qué es arcoseno, arcocoseno? ¿Qué es arco tangente, arco cotangente? El mas definiciones simples... ¡Pero no es necesario que recuerde ningún valor de la tabla!)
Las respuestas son, por supuesto, un desastre):
x 1= arcosen0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcosen0,3 + 2
¿No todo sale bien? Sucede. Lea la lección nuevamente. Solo pensativamente(hay tal palabra obsoleta...) Y sigue los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin ella, en trigonometría, es como cruzar la calle con una venda en los ojos. A veces funciona.)
Si te gusta este sitio ...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Una vez fui testigo de una conversación entre dos solicitantes:
- ¿Cuándo debe agregar 2πn y cuándo - πn? ¡No puedo recordar!
- Y tengo el mismo problema.
Así que quería decirles: "¡No necesitas memorizar, pero entender!"
Este artículo está dirigido principalmente a estudiantes de secundaria y, espero, les ayudará a "comprender" cómo resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:
Círculo numérico
Junto con el concepto de recta numérica, también existe el concepto de círculo numérico. Como la conocemos, v sistema rectangular El círculo de coordenadas, centrado en el punto (0; 0) y el radio 1, se llama unidad. Imagine una línea recta numérica con un hilo delgado y enrolle alrededor de este círculo: el origen (punto 0), lo unimos al punto "derecho" del círculo unitario, enrollamos el semieje positivo en sentido antihorario y el negativo, en la dirección (Figura 1). Este círculo unitario se llama círculo numérico.
Propiedades del círculo numérico
- Cada número real está ubicado en un punto del círculo numérico.
- En cada punto del círculo numérico hay infinitos numeros reales... Dado que la longitud del círculo unitario es 2π, la diferencia entre dos números cualesquiera en un punto del círculo es igual a uno de los números ± 2π; ± 4π; ± 6π; ...
Concluyamos: conociendo uno de los números del punto A, podemos encontrar todos los números del punto A.
Dibujemos el diámetro del altavoz (Fig. 2). Dado que x_0 es uno de los números del punto A, los números x_0 ± π; x_0 ± 3π; x_0 ± 5π; ... y solo serán los números del punto C. Elijamos uno de estos números, digamos, x_0 + π, y usémoslo para escribir todos los números del punto C: x_C = x_0 + π + 2πk, k∈ Z. Tenga en cuenta que los números en los puntos A y C se pueden combinar en una fórmula: x_ (A; C) = x_0 + πk, k∈Z (para k = 0; ± 2; ± 4; ... obtenemos los números de punto A, y para k = ± 1; ± 3; ± 5;… - números del punto C).
Concluyamos: conociendo uno de los números en uno de los puntos A o C del diámetro AC, podemos encontrar todos los números en estos puntos.
- Dos números opuestos están ubicados en puntos de un círculo que son simétricos con respecto al eje de abscisas.
Dibujemos una cuerda vertical AB (Fig. 2). Dado que los puntos A y B son simétricos con respecto al eje Ox, el número -x_0 está en el punto B y, por lo tanto, todos los números del punto B están dados por la fórmula: x_B = -x_0 + 2πk, k∈Z. Escribimos los números en los puntos A y B usando la misma fórmula: x_ (A; B) = ± x_0 + 2πk, k∈Z. Concluyamos: conociendo uno de los números en uno de los puntos A o B de la cuerda vertical AB, podemos encontrar todos los números en estos puntos. Considere la cuerda horizontal AD y encuentre los números del punto D (Fig. 2). Dado que BD es el diámetro y el número -x_0 pertenece al punto B, entonces -x_0 + π es uno de los números del punto D y, por lo tanto, todos los números de este punto están dados por la fórmula x_D = -x_0 + π + 2πk , k∈Z. Los números en los puntos A y D se pueden escribir usando una fórmula: x_ (A; D) = (- 1) ^ k ∙ x_0 + πk, k∈Z. (para k = 0; ± 2; ± 4;… obtenemos los números del punto A, y para k = ± 1; ± 3; ± 5;… - los números del punto D).
Concluyamos: conociendo uno de los números en uno de los puntos A o D de la cuerda horizontal AD, podemos encontrar todos los números en estos puntos.
Dieciséis puntos principales del círculo numérico
En la práctica, la solución de la mayoría de las ecuaciones trigonométricas más simples se asocia con dieciséis puntos del círculo (Fig. 3). ¿Cuáles son estos puntos? Los puntos rojos, azules y verdes dividen el círculo en 12 partes iguales. Dado que la longitud del semicírculo es π, la longitud del arco A1A2 es π / 2, la longitud del arco A1B1 es π / 6 y la longitud del arco A1C1 es π / 3.
Ahora podemos indicar un número a la vez: 
π / 3 en C1 y
Los vértices del cuadrado naranja son los puntos medios de los arcos de cada cuarto; por tanto, la longitud del arco A1D1 es igual a π / 4 y, por tanto, π / 4 es uno de los números del punto D1. Usando las propiedades del círculo numérico, podemos escribir con la ayuda de fórmulas todos los números en todos los puntos marcados de nuestro círculo. La figura también muestra las coordenadas de estos puntos (omitiremos la descripción de cómo se obtuvieron).
Habiendo dominado lo anterior, ahora tenemos suficiente preparación para resolver casos especiales (para nueve valores del número a) ecuaciones más simples.
Resolver ecuaciones
1)sinx = 1⁄ (2).
- ¿Qué se requiere de nosotros?
– Halla todos los números x cuyo seno es 1/2.
Recordemos la definición de seno: sinx - ordenada del punto del círculo numérico en el que se encuentra el número x... Tenemos dos puntos en el círculo cuya ordenada es 1/2. Estos son los extremos de la cuerda horizontal B1B2. Por lo tanto, el requisito de “resolver la ecuación senx = 1⁄2” es equivalente al requisito de “encontrar todos los números en el punto B1 y todos los números en el punto B2”.
2)sinx = -√3⁄2 .
Necesitamos encontrar todos los números en los puntos C4 y C3.
3) sinx = 1... En el círculo tenemos solo un punto con ordenada 1 - el punto A2 y, por lo tanto, necesitamos encontrar solo todos los números de este punto.
Respuesta: x = π / 2 + 2πk, k∈Z.
4)sinx = -1 .
Solo el punto A_4 tiene ordenadas -1. Todos los números de este punto serán los caballos de la ecuación.
Respuesta: x = -π / 2 + 2πk, k∈Z.
5) sinx = 0 .
En el círculo tenemos dos puntos con ordenada 0: los puntos A1 y A3. Puede especificar los números en cada uno de los puntos por separado, pero, dado que estos puntos son diametralmente opuestos, es mejor combinarlos en una fórmula: x = πk, k∈Z.
Respuesta: x = πk, k∈Z .
6)cosx = √2⁄2 .
Recordemos la definición de coseno: cosx - abscisa del punto del círculo numérico en el que se encuentra el número x. En el círculo tenemos dos puntos con abscisas √2⁄2 - los extremos de la cuerda horizontal D1D4. Necesitamos encontrar todos los números en estos puntos. Escribámoslos combinándolos en una fórmula.
Respuesta: x = ± π / 4 + 2πk, k∈Z.
7) cosx = -1⁄2 .
Es necesario encontrar los números en los puntos C_2 y C_3.
Respuesta: x = ± 2π / 3 + 2πk, k∈Z .
10) cosx = 0 .
Solo los puntos A2 y A4 tienen abscisa 0, lo que significa que todos los números en cada uno de estos puntos serán soluciones de la ecuación. 
.
Las soluciones a la ecuación del sistema son los números en los puntos B_3 y B_4. Desigualdad cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Respuesta: x = -5π / 6 + 2πk, k∈Z.
Tenga en cuenta que para cualquier valor admisible de x, el segundo factor es positivo y, por lo tanto, la ecuación es equivalente al sistema
Las soluciones de la ecuación del sistema son el número de puntos D_2 y D_3. Los números del punto D_2 no satisfacen la desigualdad sinx≤0.5, y los números del punto D_3 sí.
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Muchos problemas de matematicas, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Tales problemas incluyen, por ejemplo, ecuaciones lineales y cuadráticas, desigualdades lineales y cuadráticas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a cuadráticas. El principio de solución exitosa de cada uno de los problemas mencionados es el siguiente: es necesario establecer qué tipo de problema se debe resolver, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán al resultado deseado, es decir. responda y siga estos pasos.
Es obvio que el éxito o el fracaso en la resolución de un problema particular depende principalmente de cuán correctamente se determine el tipo de ecuación que se resuelve, cuán correctamente se reproduzca la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, es necesario tener habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.
La situación es diferente con ecuaciones trigonométricas. Establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica no es nada difícil. Surgen dificultades para determinar la secuencia de acciones que conducirían a la respuesta correcta.
La apariencia de una ecuación a veces puede resultar difícil para determinar su tipo. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la deseada entre varias decenas de fórmulas trigonométricas.
Para resolver la ecuación trigonométrica, se debe intentar:
1. Traiga todas las funciones incluidas en la ecuación a "ángulos iguales";
2. llevar la ecuación a "las mismas funciones";
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.
Considerar métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.
I.Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples
Esquema de solución
Paso 1. Exprese una función trigonométrica en términos de componentes conocidos.
Paso 2. Encuentra el argumento de una función mediante las fórmulas:
cos x = a; x = ± arcos a + 2πn, n ЄZ.
sen x = a; x = (-1) n arcos en a + πn, n Є Z.
tg x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Paso 3. Encuentra variable desconocida.
Ejemplo.
2 cos (3x - π / 4) = -√2.
Solución.
1) cos (3x - π / 4) = -√2 / 2.
2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;
3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;
x = ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;
x = ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.
Respuesta: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.
II. Sustitución variable
Esquema de solución
Paso 1. Lleva la ecuación a una forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.
Paso 2. Denote la función resultante por la variable t (si es necesario, introduzca restricciones sobre t).
Paso 3. Escribe y resuelve la ecuación algebraica resultante.
Etapa 4. Realice un reemplazo inverso.
Paso 5. Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.
Ejemplo.
2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.
Solución.
1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0;
2 pecado 2 (x / 2) + 5 pecado (x / 2) + 3 = 0.
2) Sea sin (x / 2) = t, donde | t | ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 o e = -3/2, no satisface la condición | t | ≤ 1.
4) sin (x / 2) = 1.
5) x / 2 = π / 2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Método de reducción de orden de ecuación
Esquema de solución
Paso 1. Reemplaza la ecuación dada por una lineal, usando las fórmulas de reducción de grados para esto:
sin 2 x = 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Paso 2. Resuelva la ecuación resultante usando los métodos I y II.
Ejemplo.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Solución.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ± π / 3 + 2πn, n Є Z;
x = ± π / 6 + πn, n Є Z.
Respuesta: x = ± π / 6 + πn, n Є Z.
IV. Ecuaciones homogéneas
Esquema de solución
Paso 1. Trae esta ecuación a la forma
a) a sin x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)
o a la mente
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).
Paso 2. Divide ambos lados de la ecuación por
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
y obtén la ecuación para tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctan x + c = 0.
Paso 3. Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.
Ejemplo.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Solución.
1) 5 sen 2 x + 3 sen x cos x - 4 (sen 2 x + cos 2 x) = 0;
5sen 2 x + 3sen x · cos x - 4sen² x - 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3 sin x cos x - 4cos 2 x = 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Sea tg x = t, entonces
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 o t = -4, entonces
tg x = 1 o tg x = -4.
De la primera ecuación x = π / 4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Respuesta: x = π / 4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V.Método para transformar una ecuación usando fórmulas trigonométricas
Esquema de solución
Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, lleve esta ecuación a la ecuación resuelta por los métodos I, II, III, IV.
Paso 2. Resuelve la ecuación resultante por métodos conocidos.
Ejemplo.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Solución.
1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sen 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;
De la primera ecuación 2x = π / 2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.
Tenemos x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.
Como resultado, x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.
Respuesta: x = π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.
La capacidad para resolver ecuaciones trigonométricas es muy 
importante, su desarrollo requiere de importantes esfuerzos, tanto por parte del alumno como por parte del docente.
Muchos problemas de estereometría, física, etc. están relacionados con la solución de ecuaciones trigonométricas El proceso de resolver tales problemas, por así decirlo, contiene muchos conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.
Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de enseñanza de las matemáticas y el desarrollo de la personalidad en general.
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