Matemáticas es un símbolo de la sabiduría de la ciencia,
un modelo de rigor científico y sencillez,
el estándar de excelencia y belleza en la ciencia.
El filósofo ruso, profesor A.V. Voloshinov
Desigualdades del módulo
Los problemas de matemáticas escolares más difíciles de resolver son las desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito estas desigualdades, es necesario conocer bien las propiedades del módulo y tener las habilidades para utilizarlas.
Conceptos y propiedades básicos
Módulo ( valor absoluto) Número Real denotado y se define de la siguiente manera:
Las propiedades simples de un módulo incluyen las siguientes proporciones:
Y .
Nota, que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado par.
Además, si, dónde, entonces
Propiedades de módulo más complejas, que se puede utilizar eficazmente para resolver ecuaciones y desigualdades con módulos, se formulan mediante los siguientes teoremas:
Teorema 1.Para cualquier función analítica y la desigualdad es verdadera.
Teorema 2. Igualdad equivalente a la desigualdad.
Teorema 3. Igualdad equivalente a la desigualdad.
Las desigualdades más comunes en las matemáticas escolares, que contiene variables desconocidas bajo el signo del módulo, son desigualdades de la forma y donde alguna constante positiva.
Teorema 4. Desigualdad es equivalente a la doble desigualdad, y la solución a la desigualdadse reduce a resolver el conjunto de desigualdades y .
Este teorema es un caso especial de los teoremas 6 y 7.
Desigualdades más complejas, que contienen el módulo son desigualdades de la forma, y .
Los métodos para resolver tales desigualdades se pueden formular utilizando los siguientes tres teoremas.
Teorema 5. Desigualdad es equivalente a la combinación de dos sistemas de desigualdades
Y 1)
Prueba. Desde entonces
Esto implica la validez de (1).
Teorema 6. Desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades
Prueba. Porque , luego de la desigualdad sigue que ... Bajo esta condición, la desigualdady en este caso el segundo sistema de desigualdades (1) resulta inconsistente.
Se demuestra el teorema.
Teorema 7. Desigualdad es equivalente a una combinación de una desigualdad y dos sistemas de desigualdades
Y (3)
Prueba. Desde entonces la desigualdad siempre ejecutado, Si .
Dejar , luego la desigualdadserá equivalente a la desigualdad, del cual sigue el conjunto de dos desigualdades y .
Se demuestra el teorema.
Consideremos ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema “Desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo ".
Resolver desigualdades con módulo
Más método simple solución de desigualdades con módulo es el método, basado en la expansión de módulos. Este método es versátil, sin embargo, en general, su aplicación puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. Por lo tanto, los estudiantes deben conocer otros métodos y técnicas (más efectivos) para resolver tales desigualdades. En particular, necesitas tener habilidades para aplicar teoremas, dado en este artículo.
Ejemplo 1.Resuelve la desigualdad
. (4)
Solución.La desigualdad (4) se resolverá mediante el método "clásico": el método de expansión de los módulos. Para ello, dividimos el eje numérico puntos y en intervalos y considere tres casos.
1. Si, entonces ,,, y la desigualdad (4) toma la forma o .
Dado que el caso se considera aquí, es una solución a la desigualdad (4).
2. Si, entonces de la desigualdad (4) obtenemos o ... Desde la intersección de intervalos y esta vacio, luego, en el intervalo considerado, no hay soluciones para la desigualdad (4).
3. Si, entonces la desigualdad (4) toma la forma o . Es obvio que también es una solución a la desigualdad (4).
Respuesta: , .
Ejemplo 2. Resuelve la desigualdad.
Solución. Suponer que. Porque , entonces la desigualdad dada toma la forma o . Desde entonces y de ahí sigue o .
Sin embargo, por lo tanto, o.
Ejemplo 3. Resuelve la desigualdad
. (5)
Solución. Porque , entonces la desigualdad (5) es equivalente a desigualdades o . Por eso, según el teorema 4, tenemos un conjunto de desigualdades y .
Respuesta: , .
Ejemplo 4.Resuelve la desigualdad
. (6)
Solución. Denotemos. Entonces de la desigualdad (6) obtenemos las desigualdades ,, o.
Por eso, usando el método de espaciado, obtenemos. Porque , entonces aquí tenemos un sistema de desigualdades
La solución a la primera desigualdad del sistema (7) es la unión de dos intervalos y , y la solución de la segunda desigualdad es la doble desigualdad... Esto implica , que la solución al sistema de desigualdades (7) es la unión de dos intervalos y .
Respuesta: ,
Ejemplo 5.Resuelve la desigualdad
. (8)
Solución. Transformamos la desigualdad (8) de la siguiente manera:
O .
Aplicar el método de espaciado, obtenemos una solución a la desigualdad (8).
Respuesta: .
Nota. Si ponemos y en la condición del teorema 5, obtenemos.
Ejemplo 6. Resuelve la desigualdad
. (9)
Solución. La desigualdad (9) implica... Transformamos la desigualdad (9) de la siguiente manera:
O
Desde entonces o.
Respuesta: .
Ejemplo 7.Resuelve la desigualdad
. (10)
Solución. Desde y, luego o.
A este respecto y la desigualdad (10) toma la forma
O
. (11)
De ahí se sigue que o. Dado que, entonces la desigualdad (11) también implica o.
Respuesta: .
Nota. Si aplicamos el teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (10), entonces obtenemos ... De esto y la desigualdad (10) se sigue, eso o. Porque , entonces la desigualdad (10) toma la forma o .
Ejemplo 8. Resuelve la desigualdad
. (12)
Solución. Desde entonces y la desigualdad (12) implica o . Sin embargo, por lo tanto, o. De aquí obtenemos o.
Respuesta: .
Ejemplo 9. Resuelve la desigualdad
. (13)
Solución. Según el teorema 7, la solución de la desigualdad (13) es o.
Vamos ahora. En este caso y la desigualdad (13) toma la forma o .
Si combina los intervalos y , entonces obtenemos una solución a la desigualdad (13) de la forma.
Ejemplo 10. Resuelve la desigualdad
. (14)
Solución. Reescribamos la desigualdad (14) en una forma equivalente :. Si aplicamos el teorema 1 al lado izquierdo de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad.
De esto y del Teorema 1 se sigue, que la desigualdad (14) se cumple para cualquier valor.
Respuesta: cualquier número.
Ejemplo 11. Resuelve la desigualdad
. (15)
Solución. Aplicar el teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (15), obtenemos ... Esto y la desigualdad (15) producen la ecuación, que tiene la forma.
Según el teorema 3, la ecuacion equivalente a la desigualdad... De esto obtenemos.
Ejemplo 12.Resuelve la desigualdad
. (16)
Solución... De la desigualdad (16), según el Teorema 4, obtenemos el sistema de desigualdades
Al resolver la desigualdadusamos el teorema 6 y obtenemos el sistema de desigualdadesde lo que sigue.
Considere la desigualdad... Según el teorema 7, obtenemos el conjunto de desigualdades y . La segunda desigualdad poblacional es válida para cualquier.
Por eso , la solución a la desigualdad (16) es.
Ejemplo 13.Resuelve la desigualdad
. (17)
Solución. Según el Teorema 1, podemos escribir
(18)
Teniendo en cuenta la desigualdad (17), concluimos que ambas desigualdades (18) se convierten en igualdades, es decir el sistema de ecuaciones es válido
Por el teorema 3, este sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de desigualdades
o
Ejemplo 14.Resuelve la desigualdad
. (19)
Solución. Desde entonces. Multiplicamos ambos lados de la desigualdad (19) por una expresión que, para cualquier valor, solo toma valores positivos... Entonces obtenemos una desigualdad, que es equivalente a la desigualdad (19), de la forma
De aquí llegamos o, dónde. Desde y, entonces la solución a la desigualdad (19) es y .
Respuesta: , .
Para un estudio más profundo de los métodos para resolver desigualdades con un módulo, puede recomendar consultar los tutoriales., enumerados en la lista de lecturas recomendadas.
1. Recopilación de problemas en matemáticas para aspirantes a colegios técnicos / Ed. MI. Skanavi. - M.: Paz y Educación, 2013.- 608 p.
2. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos para resolver y probar desigualdades. - M.: Lenand / URSS, 2018.- 264 p.
3. Suprun V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar resolviendo problemas. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 296 p.
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Los métodos (reglas) para revelar desigualdades con módulos consisten en la revelación secuencial de módulos, mientras se utilizan los intervalos de constancia de signos de funciones submodulares. En la versión final se obtienen varias desigualdades a partir de las cuales se encuentran intervalos o intervalos que satisfacen la condición del problema.
Pasemos a la resolución de ejemplos comunes en la práctica.
Desigualdades lineales con módulos
Por lineal nos referimos a ecuaciones en las que la variable entra en la ecuación de forma lineal.
Ejemplo 1. Encuentra una solución a la desigualdad
Solución:
Se deduce del enunciado del problema que los módulos se vuelven cero en x = -1 y x = -2. Estos puntos dividen el eje numérico en intervalos.
En cada uno de estos intervalos, resolvemos la desigualdad dada. Para hacer esto, en primer lugar, elaboramos dibujos gráficos de las áreas de constancia de las funciones submodulares. Se representan como áreas con signos de cada una de las funciones.
o intervalos con signos de todas las funciones. 
En el primer intervalo, abrimos los módulos.
Multiplicamos ambos lados por menos uno, y el signo de la desigualdad cambiará al opuesto. Si le resulta difícil acostumbrarse a esta regla, puede mover cada una de las partes por el signo para deshacerse del signo menos. En la versión final, recibirá
La intersección del conjunto x> -3 con el área en la que se resolvieron las ecuaciones será el intervalo (-3; -2). Para aquellos a quienes les resulta más fácil buscar soluciones, pueden dibujar gráficamente la intersección de estas áreas.
La intersección común de áreas será la solución. Con desniveles estrictos, los bordes no están incluidos. Si no es estricto, verifique por sustitución.
En el segundo intervalo, obtenemos 
La sección será el intervalo (-2; -5/3). Gráficamente, la solución se verá así
En el tercer intervalo, obtenemos
Esta condición no da soluciones en la zona deseada.
Dado que dos soluciones encontradas (-3; -2) y (-2; -5/3) bordean el punto x = -2, también lo comprobamos.
Entonces el punto x = -2 es la solución. Decisión común con esto en mente, se verá como (-3; 5/3).
Ejemplo 2. Encuentra una solución a la desigualdad
| x-2 | - | x-3 |> = | x-4 |
Solución:
Los puntos x = 2, x = 3, x = 4 son los ceros de las funciones submodulares. Para argumentos menores que estos puntos, las funciones submodulares son negativas y para las grandes, positivas.
Los puntos dividen el eje real en cuatro intervalos. Expandimos los módulos según los intervalos de constancia y resolvemos las desigualdades.
1) En el primer intervalo, todas las funciones submodulares son negativas, por lo tanto, al expandir los módulos, cambiamos el signo al contrario.
La intersección de los valores encontrados de x con el intervalo en consideración será el conjunto de puntos
2) En el intervalo entre los puntos x = 2 y x = 3, la primera función submodular es positiva, la segunda y la tercera son negativas. Ampliando los módulos, obtenemos
una desigualdad que, en la intersección con el intervalo en el que resolvemos, da una solución - x = 3.
3) En el intervalo entre los puntos x = 3 y x = 4, las funciones del primer y segundo submódulo son positivas y la tercera es negativa. Basado en esto, obtenemos
Esta condición muestra que todo el intervalo satisfará la desigualdad con módulos.
4) Para valores x> 4, todas las funciones son de signo positivo. Al expandir los módulos, no cambiamos su signo.
La condición encontrada en la intersección con un intervalo da el siguiente conjunto de soluciones
Dado que la desigualdad se resuelve en todos los intervalos, queda por encontrar el común de todos los valores encontrados de x. La solución serían dos intervalos. 
Esto resuelve el ejemplo.
Ejemplo 3. Encuentra una solución a la desigualdad
|| x-1 | -5 |> 3-2x
Solución:
Tenemos una desigualdad con módulo de módulo. Estas desigualdades se revelan a medida que los módulos se anidan, comenzando por los que se encuentran más profundos.
La función del submódulo x-1 se convierte a cero en el punto x = 1. Para valores más pequeños de 1, es negativo y positivo para x> 1. Basado en esto, revelamos módulo interior y considere la desigualdad en cada uno de los intervalos.
Primero, considere el intervalo de menos infinito a uno 
La función submodular es igual a cero en el punto x = -4. A valores más bajos, es positivo, a valores más altos, es negativo. Expanda el módulo para x<-4:
En la intersección con la región en la que estamos considerando obtenemos el conjunto de soluciones
El siguiente paso es abrir el módulo en el intervalo (-4; 1) 
Teniendo en cuenta el área de divulgación del módulo, obtenemos el intervalo de solución
RECUERDE: si tiene dos intervalos que bordean un punto común en tales irregularidades con módulos, entonces, como regla, también es una solución.
Para hacer esto, solo necesita verificar.
En este caso, sustituya el punto x = -4.
Entonces x = -4 es la solución.
Abramos el módulo interno para x> 1
Función de submódulo negativa para x<6.
Ampliando el módulo, obtenemos
Esta condición en la sección con el intervalo (1; 6) da un conjunto vacío de soluciones.
Para x> 6 obtenemos la desigualdad
Además, la resolución tiene un conjunto vacío.
Considerando todo lo anterior, la única solución la desigualdad con módulos será el siguiente intervalo.
Desigualdades con módulos que contienen ecuaciones cuadráticas
Ejemplo 4. Encuentra una solución a la desigualdad
| x ^ 2 + 3x |> = 2-x ^ 2 
Solución:
La función del submódulo desaparece en los puntos x = 0, x = -3. Sustitución simple de menos unos 
establecemos que es menor que cero en el intervalo (-3; 0) y positivo fuera de él.
Expandamos el módulo en áreas donde la función submodular es positiva 
Queda por determinar las áreas donde función cuadrada positivo. Para hacer esto, determinamos las raíces de la ecuación cuadrática. 
Por conveniencia, sustituimos el punto x = 0, que pertenece al intervalo (-2; 1/2). La función es negativa en este intervalo, por lo que la solución serán los siguientes conjuntos x 
Aquí, los corchetes indican los bordes de las áreas con soluciones, esto se hizo deliberadamente, teniendo en cuenta la siguiente regla.
RECUERDA: Si la desigualdad con módulos, o una desigualdad simple es estricta, entonces las aristas de las áreas encontradas no son soluciones, si las desigualdades no son estrictas () entonces las aristas son soluciones (denotadas por corchetes).
Muchos profesores utilizan esta regla: si se especifica una desigualdad estricta, y durante los cálculos se escribe un corchete ([,]) en la solución, la contarán automáticamente como una respuesta incorrecta. Además, al probar, si se especifica una desigualdad no estricta con módulos, entre las soluciones busque áreas con corchetes.
En el intervalo (-3; 0), abriendo el módulo, cambie el signo de la función al opuesto 
Teniendo en cuenta el área de divulgación de la desigualdad, la solución tendrá la forma
Junto con el área anterior, esto dará dos medios intervalos.
Ejemplo 5. Encuentra una solución a la desigualdad
9x ^ 2- | x-3 |> = 9x-2 
Solución:
Se da una desigualdad flexible, cuya función submodular es igual a cero en el punto x = 3. A valores más bajos, es negativo, a valores más altos, es positivo. Expanda el módulo en el intervalo x<3.
Encuentra el discriminante de la ecuación
y raíces 
Sustituyendo el punto cero, encontramos que en el intervalo [-1/9; 1] la función cuadrática es negativa, por lo tanto, el intervalo es una solución. A continuación, expanda el módulo para x> 3 
Por el módulo del número este número en sí se llama si no es negativo, o el mismo número con signo opuesto si es negativo.
Por ejemplo, el módulo del número 6 es 6, el módulo del número -6 también es 6.
Es decir, el valor absoluto de un número se entiende como el valor absoluto, el valor absoluto de este número sin importar su signo.
Se designa como sigue: | 6 |, | X|, |a| etc.
(Para más detalles, consulte la sección "Módulo numérico").
Ecuaciones con módulo.
Ejemplo 1 ... Resuelve la ecuación|10 X - 5| = 15.
Solución.
Según la regla, una ecuación equivale a una combinación de dos ecuaciones:
10X - 5 = 15
10X - 5 = -15
Nosotros decidimos:
10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10
X = 20: 10
X = -10: 10
X = 2
X = -1
Respuesta: X 1 = 2, X 2 = -1.
Ejemplo 2 ... Resuelve la ecuación|2 X + 1| = X + 2.
Solución.
Dado que el módulo es un número no negativo, entonces X+ 2 ≥ 0. En consecuencia:
X ≥ -2.
Componemos dos ecuaciones:
2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)
Nosotros decidimos:
2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2
2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1
X = 1
X = -1
Ambos números son mayores que -2. Por tanto, ambos son las raíces de la ecuación.
Respuesta: X 1 = -1, X 2 = 1.
Ejemplo 3
... Resuelve la ecuación
|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1
Solución.
La ecuación tiene sentido si el denominador no es es cero- significa si X≠ 1. Tengamos en cuenta esta condición. Nuestra primera acción es simple: no solo nos deshacemos de la fracción, sino que la transformamos para obtener el módulo en su forma pura:
|X+ 3 | - 1 = 4 ( X - 1),
|X + 3| - 1 = 4X - 4,
|X + 3| = 4X - 4 + 1,
|X + 3| = 4X - 3.
Ahora solo tenemos la expresión debajo del módulo en el lado izquierdo de la ecuación. Avanzar.
El módulo de un número es un número no negativo, es decir, debe ser mayor o igual a cero. En consecuencia, resolvemos la desigualdad:
4X - 3 ≥ 0
4X ≥ 3
X ≥ 3/4
Por lo tanto, tenemos una segunda condición: la raíz de la ecuación debe ser al menos 3/4.
De acuerdo con la regla, componimos un conjunto de dos ecuaciones y las resolvemos:
X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)
X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3
X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3
X = 2
X = 0
Recibimos dos respuestas. Comprobemos si son las raíces de la ecuación original.
Teníamos dos condiciones: la raíz de la ecuación no puede ser igual a 1 y debe ser al menos 3/4. Es decir X ≠ 1, X≥ 3/4. Solo una de las dos respuestas recibidas cumple ambas condiciones: el número 2. Esto significa que solo es la raíz de la ecuación original.
Respuesta: X = 2.
Desigualdades con el módulo.
Ejemplo 1 ... Resuelve la desigualdad| X - 3| < 4
Solución.
La regla del módulo dice:
|a| = a, Si a ≥ 0.
|a| = -a, Si a < 0.
El módulo puede tener números negativos y no negativos. Por tanto, debemos considerar ambos casos: X- 3 ≥ 0 y X - 3 < 0.
1) Cuando X- 3 ≥ 0, nuestra desigualdad original permanece como está, solo que sin el signo del módulo:
X - 3 < 4.
2) Cuando X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(X - 3) < 4.
Ampliando los corchetes, obtenemos:
-X + 3 < 4.
Así, a partir de estas dos condiciones, llegamos a la unión de dos sistemas de desigualdades:
X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4
X - 3 < 0
-X + 3 < 4
Vamos a resolverlos:
X ≥ 3
X < 7
X < 3
X > -1
Entonces, tenemos en nuestra respuesta la unión de dos conjuntos:
3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.
Determine los valores más pequeños y más grandes. Estos son -1 y 7. Al mismo tiempo X mayor que -1, pero menor que 7.
Es más, X≥ 3. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el conjunto completo de números de -1 a 7, excluyendo estos números extremos.
Respuesta: -1 < X < 7.
O: X ∈ (-1; 7).
Suplementos.
1) Existe una forma más simple y corta de resolver nuestra desigualdad: una forma gráfica. Para hacer esto, necesita dibujar un eje horizontal (Fig. 1).
Expresión | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X al punto 3 es menos de cuatro unidades. Marcamos el número 3 en el eje y contamos 4 divisiones a la izquierda y a la derecha desde él. A la izquierda llegaremos al punto -1, a la derecha - al punto 7. Así, los puntos X acabamos de ver sin calcularlos.
Además, según la condición de desigualdad, -1 y 7 en sí mismos no se incluyen en el conjunto de soluciones. Por lo tanto, obtenemos la respuesta:
1 < X < 7.
2) Pero hay otra solución, que es incluso más sencilla forma grafica... Para hacer esto, nuestra desigualdad debe estar representada de la siguiente forma:
4 < X - 3 < 4.
Después de todo, así es según la regla del módulo. El número no negativo 4 y el número negativo similar -4 son los límites para resolver la desigualdad.
4 + 3 < X < 4 + 3
1 < X < 7.
Ejemplo 2 ... Resuelve la desigualdad| X - 2| ≥ 5
Solución.
Este ejemplo es significativamente diferente al anterior. El lado izquierdo es mayor que 5 o igual a 5. Desde un punto de vista geométrico, la solución a la desigualdad son todos los números que están a una distancia de 5 unidades o más del punto 2 (Fig. 2). El gráfico muestra que todos estos son números que son menores o iguales que -3 y mayores o iguales que 7. Entonces, ya hemos recibido la respuesta.
Respuesta: -3 ≥ X ≥ 7.
En el camino, resolvemos la misma desigualdad permutando el término libre a la izquierda y a la derecha con el signo opuesto:
5 ≥ X - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2
La respuesta es la misma: -3 ≥ X ≥ 7.
O: X ∈ [-3; 7]
Ejemplo resuelto.
Ejemplo 3 ... Resuelve la desigualdad 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Solución.
Número X puede ser positivo, negativo o cero. Por lo tanto, debemos tener en cuenta las tres circunstancias. Como sabes, se tienen en cuenta en dos desigualdades: X≥ 0 y X < 0. При X≥ 0 simplemente reescribimos nuestra desigualdad original tal como es, solo que sin el signo del módulo:
6x 2 - X - 2 ≤ 0.
Ahora sobre el segundo caso: si X < 0. Модулем numero negativo es el mismo número con el signo opuesto. Es decir, escribimos el número debajo del módulo con el signo opuesto y, nuevamente, nos deshacemos del signo del módulo:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Ampliando los corchetes:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
Por lo tanto, obtuvimos dos sistemas de ecuaciones:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Es necesario resolver desigualdades en sistemas, lo que significa que es necesario encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. Para hacer esto, equiparamos los lados izquierdos de las desigualdades a cero.
Empecemos por el primero:
6X 2 - X - 2 = 0.
Como se resuelve ecuación cuadrática- ver la sección "Ecuación cuadrática". Inmediatamente nombraremos la respuesta:
X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
A partir del primer sistema de desigualdades, encontramos que la solución de la desigualdad original es el conjunto completo de números de -1/2 a 2/3. Redactamos la unión de soluciones para X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Ahora resolvamos la segunda ecuación cuadrática:
6X 2 + X - 2 = 0.
Sus raices:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Conclusión: en X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Combinemos las dos respuestas y obtengamos la respuesta final: la solución es el conjunto completo de números de -2/3 a 2/3, incluidos estos números extremos.
Respuesta: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
O: X ∈ [-2/3; 2/3].
Hoy, amigos, no habrá mocos y sentimentalismos. En cambio, te enviaré a la batalla con uno de los oponentes más formidables en el curso de álgebra de grados 8-9 sin ninguna pregunta.
Sí, entendiste todo correctamente: estamos hablando de desigualdades con módulo. Veremos cuatro técnicas básicas con las que aprenderá a resolver aproximadamente el 90% de estos problemas. ¿Y el otro 10%? Bueno, hablaremos de ellos en una lección separada. :)
Sin embargo, antes de analizar cualquiera de las técnicas, me gustaría recordarle dos hechos que ya necesita conocer. De lo contrario, corre el riesgo de no comprender en absoluto el material de la lección de hoy.
Lo que necesitas saber ya
Captain Obvious está insinuando que se deben saber dos cosas para resolver desigualdades con módulo:
- Cómo se resuelven las desigualdades;
- Qué es un módulo.
Empecemos por el segundo punto.
Definición de módulo
Aquí todo es sencillo. Hay dos definiciones: algebraica y gráfica. Para empezar, algebraico:
Definición. El módulo del número $ x $ es este número en sí mismo, si no es negativo, o el número opuesto a él, si el $ x $ original sigue siendo negativo.
Está escrito así:
\ [\ left | x \ right | = \ left \ (\ begin (align) & x, \ x \ ge 0, \\ & -x, \ x \ lt 0. \\\ end (align) \ right. \]
Discurso lenguaje simple, el módulo es "un número sin menos". Y es precisamente en esta dualidad (en algún lugar con el número inicial no se necesita hacer nada, pero en algún lugar hay que eliminar algún tipo de menos) donde radica toda la dificultad para los estudiantes novatos.
También hay una definición geométrica. También es útil conocerlo, pero nos referiremos a él solo en casos complejos y algunos especiales, donde el enfoque geométrico es más conveniente que el algebraico (spoiler: hoy no).
Definición. Deje que el punto $ a $ esté marcado en la recta numérica. Luego, el módulo $ \ left | x-a \ right | $ es la distancia desde el punto $ x $ al punto $ a $ en esta línea.
Si haces un dibujo, obtienes algo como esto:
Definición de módulo gráfico De una forma u otra, su propiedad clave se deriva inmediatamente de la definición de un módulo: el módulo de un número siempre es no negativo... Este hecho será un hilo conductor a lo largo de toda nuestra historia de hoy.
Resolver desigualdades. Método de espaciado
Ahora tratemos con las desigualdades. Hay muchos de ellos, pero nuestra tarea ahora es poder resolver al menos el más simple de ellos. Los que se reducen a desigualdades lineales, así como el método de intervalos.
Sobre este tema, tengo dos lecciones geniales (por cierto, muy, MUY útiles, recomiendo estudiar):
- Método de intervalo para desigualdades(especialmente mira el video);
- Desigualdades racionales fraccionales- una lección muy voluminosa, pero después de ella no tendrá ninguna pregunta en absoluto.
Si sabes todo esto, si la frase "pasemos de la desigualdad a una ecuación" no te hace vagamente querer suicidarte contra la pared, entonces estás listo: bienvenido al infierno al tema principal de la lección. :)
1. Desigualdades de la forma "Módulo menos que función"
Esta es una de las tareas más comunes con los módulos. Se requiere resolver una desigualdad de la forma:
\ [\ left | f \ right | \ lt g \]
Las funciones $ f $ y $ g $ pueden ser cualquier cosa, pero normalmente son polinomios. Ejemplos de tales desigualdades:
\ [\ begin (align) & \ left | 2x + 3 \ right | \ lt x + 7; \\ & \ left | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0; \\ & \ left | ((x) ^ (2)) - 2 \ izquierda | x \ derecha | -3 \ derecha | \ lt 2. \\\ end (align) \]
Todos ellos se resuelven literalmente en una línea según el esquema:
\ [\ left | f \ right | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g \ quad \ left (\ Rightarrow \ left \ (\ begin (align) & f \ lt g, \\ & f \ gt -g \\\ end (align) \ bien bien) \]
Es fácil ver que nos deshacemos del módulo, pero en cambio obtenemos una doble desigualdad (o, lo que es lo mismo, un sistema de dos desigualdades). Pero esta transición tiene en cuenta absolutamente todo Posibles problemas: si el número bajo el módulo es positivo, el método funciona; si es negativo, todavía funciona; e incluso con la función más inadecuada en lugar de $ f $ o $ g $, el método seguirá funcionando.
Naturalmente, surge la pregunta: ¿no podría ser más fácil? Desafortunadamente, no puedes. Esta es la característica completa del módulo.
Sin embargo, deja de filosofar. Resolvamos un par de problemas:
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | 2x + 3 \ right | \ lt x + 7 \]
Solución. Entonces, tenemos ante nosotros una desigualdad clásica de la forma "el módulo es menor", ni siquiera hay nada que transformar. Trabajamos según el algoritmo:
\ [\ begin (align) & \ left | f \ right | \ lt g \ Rightarrow -g \ lt f \ lt g; \\ & \ left | 2x + 3 \ right | \ lt x + 7 \ Rightarrow - \ left (x + 7 \ right) \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \\\ end (align) \]
No se apresure a abrir el paréntesis delante del cual hay un menos: es muy posible que de prisa cometa un error ofensivo.
\ [- x-7 \ lt 2x + 3 \ lt x + 7 \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & -x-7 \ lt 2x + 3 \\ & 2x + 3 \ lt x + 7 \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & -3x \ lt 10 \\ & x \ lt 4 \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ gt - \ frac (10) (3) \\ & x \ lt 4 \\ \ end (align) \ right. \]
El problema se redujo a dos desigualdades elementales. Marquemos sus soluciones en rectas numéricas paralelas:
Intersección de muchos
La intersección de estos conjuntos será la respuesta.
Respuesta: $ x \ in \ left (- \ frac (10) (3); 4 \ right) $
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | +3 \ left (x + 1 \ right) \ lt 0 \]
Solución. Esta tarea ya es un poco más difícil. Para empezar, aislemos el módulo moviendo el segundo término hacia la derecha:
\ [\ left | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ lt -3 \ left (x + 1 \ right) \]
Obviamente, nos encontramos nuevamente ante una desigualdad de la forma "el módulo es menor", por lo que nos deshacemos del módulo según el algoritmo ya conocido:
\ [- \ left (-3 \ left (x + 1 \ right) \ right) \ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3 \ left (x + 1 \ right) \]
Ahora atención: alguien dirá que soy un poco pervertido con todos estos paréntesis. Pero déjame recordarte una vez más que nuestro objetivo clave es resuelve de manera competente la desigualdad y obtén una respuesta... Más tarde, cuando hayas dominado perfectamente todo lo que se describe en esta lección, tú mismo puedes pervertirte como quieras: abrir paréntesis, agregar menos, etc.
Para empezar, simplemente nos desharemos del doble menos a la izquierda:
\ [- \ left (-3 \ left (x + 1 \ right) \ right) = \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (x + 1 \ right) = 3 \ left (x + 1 \ right) \]
Ahora expandamos todos los paréntesis en la doble desigualdad:
Pasamos a la doble desigualdad. Esta vez los cálculos serán más serios:
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -3x-3 \\ & 3x + 3 \ lt ((x) ^ (2)) + 2x -3 \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 5x \ lt 0 \\ & ((x) ^ (2)) - x-6 \ gt 0 \\ \ end ( alinear) \ right. \]
Ambas desigualdades son cuadradas y se resuelven por el método de los intervalos (por eso digo: si no sabes qué es, es mejor no tomar módulos por ahora). Pasamos a la ecuación en la primera desigualdad:
\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 5x = 0; \\ & x \ left (x + 5 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = 0; ((x) _ (2)) = - 5. \\\ end (alinear) \]
Como puede ver, la salida es una ecuación cuadrática incompleta, que se puede resolver de forma elemental. Ahora tratemos con la segunda desigualdad del sistema. Allí tienes que aplicar el teorema de Vieta:
\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) - x-6 = 0; \\ & \ left (x-3 \ right) \ left (x + 2 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = 3; ((x) _ (2)) = - 2. \\\ end (alinear) \]
Marcamos los números obtenidos en dos líneas paralelas (una para la primera desigualdad y otra separada para la segunda):
Nuevamente, dado que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, nos interesa la intersección de los conjuntos sombreados: $ x \ in \ left (-5; -2 \ right) $. Esta es la respuesta.
Respuesta: $ x \ in \ left (-5; -2 \ right) $
Creo que después de estos ejemplos, el esquema de solución es muy claro:
- Resuelve el módulo transfiriendo todos los demás términos al lado opuesto de la desigualdad. Por lo tanto, obtenemos una desigualdad de la forma $ \ left | f \ right | \ lt g $.
- Resuelva esta desigualdad deshaciéndose del módulo como se describe arriba. En algún momento será necesario pasar de la doble desigualdad a un sistema de dos expresiones independientes, cada una de las cuales ya se puede resolver por separado.
- Finalmente, solo queda cruzar las soluciones de estas dos expresiones independientes, y eso es todo, obtendremos la respuesta final.
También existe un algoritmo similar para las desigualdades siguiente tipo cuando el modulo más función... Sin embargo, hay un par de "peros" serios. Ahora hablaremos de estos "pero".
2. Desigualdades de la forma "Un módulo es más que una función"
Se ven así:
\ [\ left | f \ right | \ gt g \]
¿Similar al anterior? Parece. Y, sin embargo, tales tareas se resuelven de una manera completamente diferente. Formalmente, el esquema es el siguiente:
\ [\ left | f \ right | \ gt g \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & f \ gt g, \\ & f \ lt -g \\\ end (align) \ right. \]
En otras palabras, estamos considerando dos casos:
- Primero, simplemente ignoramos el módulo: resolvemos la desigualdad habitual;
- Luego, de hecho, expandimos el módulo con un signo menos, y luego multiplicamos ambos lados de la desigualdad por −1, conmigo el signo.
En este caso, las opciones se combinan corchete, es decir. Tenemos ante nosotros una combinación de dos requisitos.
Note nuevamente: tenemos ante nosotros no un sistema, sino un agregado, por lo tanto en la respuesta, los conjuntos se combinan, pero no se cruzan... Esta diferencia fundamental desde el punto anterior!
En general, muchos estudiantes tienen una completa confusión con las uniones y las intersecciones, así que averigüemos esto de una vez por todas:
- "∪" es el signo de unión. De hecho, esta es una letra "U" estilizada que nos llegó de en Inglés y es una abreviatura de "Unión", es decir "Asociaciones".
- "∩" es una señal de intersección. Esta basura no salió de la nada, simplemente apareció como una oposición a "∪".
Para que sea aún más fácil de recordar, simplemente agregue patas a estos letreros para hacer anteojos (simplemente no me culpe ahora por promover la adicción a las drogas y el alcoholismo: si está estudiando seriamente esta lección, entonces ya es un adicto a las drogas):
Diferencia entre intersección y unión de conjuntos Traducido al ruso, esto significa lo siguiente: una unión (conjunto) incluye elementos de ambos conjuntos, por lo tanto, no menos que cada uno de ellos; pero la intersección (sistema) incluye solo aquellos elementos que están simultáneamente en el primer conjunto y en el segundo. Por lo tanto, la intersección de conjuntos nunca es mayor que los conjuntos fuente.
¿Entonces quedó más claro? Eso es grandioso. Pongámonos a practicar.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | 3x + 1 \ derecha | \ gt 5-4x \]
Solución. Actuamos según el esquema:
\ [\ left | 3x + 1 \ derecha | \ gt 5-4x \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & 3x + 1 \ gt 5-4x \\ & 3x + 1 \ lt - \ left (5-4x \ right) \\\ end (align) \ derecho. \]
Resuelve cada desigualdad en la población:
\ [\ left [\ begin (align) & 3x + 4x \ gt 5-1 \\ & 3x-4x \ lt -5-1 \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left [\ begin (align) & 7x \ gt 4 \\ & -x \ lt -6 \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left [\ begin (align) & x \ gt 4/7 \ \\ & x \ gt 6 \\ \ end (align) \ right. \]
Marcamos cada conjunto resultante en la recta numérica y luego los combinamos:
Unión de conjuntos
Obviamente, la respuesta es $ x \ in \ left (\ frac (4) (7); + \ infty \ right) $
Respuesta: $ x \ in \ left (\ frac (4) (7); + \ infty \ right) $
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gt x \]
Solución. ¿Bien? Nada, todo es igual. Pasamos de una desigualdad con módulo a un conjunto de dos desigualdades:
\ [\ left | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ right | \ gt x \ Rightarrow \ left [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x \\ & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x \\\ end (alinear) \ right. \]
Resolvemos cada desigualdad. Desafortunadamente, las raíces no serán muy buenas allí:
\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ gt x; \\ & ((x) ^ (2)) + x-3 \ gt 0; \\ & D = 1 + 12 = 13; \\ & x = \ frac (-1 \ pm \ sqrt (13)) (2). \\\ end (alinear) \]
En la segunda desigualdad, también hay un pequeño juego:
\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \ lt -x; \\ & ((x) ^ (2)) + 3x-3 \ lt 0; \\ & D = 9 + 12 = 21; \\ & x = \ frac (-3 \ pm \ sqrt (21)) (2). \\\ end (alinear) \]
Ahora debe marcar estos números en dos ejes: un eje para cada desigualdad. Sin embargo, debe marcar los puntos en orden correcto: cómo mas numero, cuanto más se desplaza el punto hacia la derecha.
Y aquí nos espera un montaje. Si los números $ \ frac (-3- \ sqrt (21)) (2) \ lt \ frac (-1- \ sqrt (13)) (2) $ son claros (los términos en el numerador de la primera fracción son menor que los términos en el numerador del segundo, por lo que la suma también es menor), con los números $ \ frac (-3- \ sqrt (13)) (2) \ lt \ frac (-1+ \ sqrt (21 )) (2) $ tampoco habrá dificultades (número positivo obviamente más negativo), entonces con la última pareja no todo es tan simple. ¿Cuál es más: $ \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) $ o $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) $? La disposición de los puntos en las rectas numéricas y, de hecho, la respuesta dependerá de la respuesta a esta pregunta.
Así que comparemos:
\ [\ begin (matriz) \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ vee \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \\ -1+ \ sqrt (13) \ ve -3+ \ sqrt (21) \\ 2+ \ sqrt (13) \ vee \ sqrt (21) \\\ end (matriz) \]
Aislamos la raíz, obtuvimos números no negativos en ambos lados de la desigualdad, por lo que tengo derecho a cuadrar ambos lados:
\ [\ begin (matriz) ((\ left (2+ \ sqrt (13) \ right)) ^ (2)) \ vee ((\ left (\ sqrt (21) \ right)) ^ (2)) \ \ 4 + 4 \ sqrt (13) +13 \ vee 21 \\ 4 \ sqrt (13) \ vee 3 \\\ end (matriz) \]
Creo que es obvio que $ 4 \ sqrt (13) \ gt 3 $, entonces $ \ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2) \ gt \ frac (-3+ \ sqrt (21) ) (2) $, finalmente los puntos en los ejes se colocarán así:
Un caso de raíces feas
Permítanme recordarles que estamos resolviendo una colección, por lo que la respuesta será una unión, no una intersección de los conjuntos sombreados.
Respuesta: $ x \ in \ left (- \ infty; \ frac (-3+ \ sqrt (21)) (2) \ right) \ bigcup \ left (\ frac (-1+ \ sqrt (13)) (2 ); + \ infty \ right) $
Como puede ver, nuestro esquema funciona muy bien tanto para tareas simples, y para los muy duros. La única cosa " debilidad»En este enfoque, debe comparar correctamente Numeros irracionales(y créanme: no son solo las raíces). Pero se dedicará una lección separada (y muy seria) a los problemas de comparación. Y seguimos adelante.
3. Desigualdades con "colas" no negativas
Así que llegamos a lo más interesante. Estas son desigualdades de la forma:
\ [\ left | f \ right | \ gt \ left | g \ derecha | \]
En general, el algoritmo del que vamos a hablar ahora solo es válido para un módulo. Funciona en todas las desigualdades donde la izquierda y la derecha son expresiones no negativas garantizadas:
¿Qué hacer con estas tareas? Solo recuerda:
En desigualdades con "colas" no negativas, ambos lados se pueden elevar a cualquier grado natural... No habrá restricciones adicionales.
En primer lugar, nos interesará la cuadratura: quema módulos y raíces:
\ [\ begin (align) & ((\ left (\ left | f \ right | \ right)) ^ (2)) = ((f) ^ (2)); \\ & ((\ left (\ sqrt (f) \ right)) ^ (2)) = f. \\\ end (alinear) \]
Simplemente no confunda esto con la extracción de raíz cuadrada:
\ [\ sqrt (((f) ^ (2))) = \ left | f \ right | \ ne f \]
¡Se cometieron innumerables errores en el momento en que el alumno olvidó instalar el módulo! Pero esta es una historia completamente diferente (estas son, por así decirlo, ecuaciones irracionales), por lo que no profundizaremos en esto ahora. Resolvamos mejor un par de problemas:
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | x + 2 \ right | \ ge \ left | 1-2x \ derecha | \]
Solución. Notemos inmediatamente dos cosas:
- Esta es una desigualdad imprecisa. Los puntos de la recta numérica serán eliminados.
- Ambos lados de la desigualdad son ciertamente no negativos (esta es una propiedad del módulo: $ \ left | f \ left (x \ right) \ right | \ ge 0 $).
Por lo tanto, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad para deshacernos del módulo y resolver el problema usando el método de intervalo habitual:
\ [\ begin (align) & ((\ left (\ left | x + 2 \ right | \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (\ left | 1-2x \ right | \ right) ) ^ (2)); \\ & ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ ge ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)). \\\ end (alinear) \]
En el último paso, hice un poco de trampa: cambié la secuencia de términos usando la paridad del módulo (de hecho, multipliqué la expresión $ 1-2x $ por -1).
\ [\ begin (align) & ((\ left (2x-1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (x + 2 \ right)) ^ (2)) \ le 0; \\ & \ left (\ left (2x-1 \ right) - \ left (x + 2 \ right) \ right) \ cdot \ left (\ left (2x-1 \ right) + \ left (x + 2 \ derecha) \ derecha) \ le 0; \\ & \ left (2x-1-x-2 \ right) \ cdot \ left (2x-1 + x + 2 \ right) \ le 0; \\ & \ left (x-3 \ right) \ cdot \ left (3x + 1 \ right) \ le 0. \\\ end (align) \]
Resolvemos por el método de intervalos. Pasamos de la desigualdad a la ecuación:
\ [\ begin (align) & \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = 3; ((x) _ (2)) = - \ frac (1) (3). \\\ end (alinear) \]
Marcamos las raíces encontradas en la recta numérica. Una vez más: ¡todos los puntos están llenos, ya que la desigualdad original no es estricta!
Deshacerse del signo del módulo
Permítanme recordarles para los especialmente obstinados: tomamos los signos de la última desigualdad, que se anotó antes de proceder a la ecuación. Y pintar sobre las áreas requeridas en la misma desigualdad. En nuestro caso, esto es $ \ left (x-3 \ right) \ left (3x + 1 \ right) \ le 0 $.
Está bien, todo ha terminado. Ahora. El problema ha sido resuelto.
Respuesta: $ x \ in \ left [- \ frac (1) (3); 3 \ right] $.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ le \ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \]
Solución. Hacemos todos lo mismo. No comentaré, solo mire la secuencia de acciones.
Cuadratura:
\ [\ begin (align) & ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + x + 1 \ right | \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (\ left | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right | \ right)) ^ (2)); \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) \ le ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ derecha)) ^ (2)); \\ & ((\ left (((x) ^ (2)) + x + 1 \ right)) ^ (2)) - ((\ left (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ derecha)) ^ (2)) \ le 0; \\ & \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 - ((x) ^ (2)) - 3x-4 \ right) \ times \\ & \ times \ left (((x) ^ (2)) + x + 1 + ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \ right) \ le 0; \\ & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) \ le 0. \\\ end (align) \]
Método de espaciado:
\ [\ begin (align) & \ left (-2x-3 \ right) \ left (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \ right) = 0 \\ & -2x-3 = 0 \ Flecha derecha x = -1,5; \\ & 2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 = 0 \ Rightarrow D = 16-40 \ lt 0 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (alinear) \]
Solo una raíz en la recta numérica:
La respuesta es un intervalo completo
Respuesta: $ x \ in \ left [-1,5; + \ infty \ right) $.
Una nota rápida sobre la última tarea. Como señaló con precisión uno de mis estudiantes, ambas expresiones de submódulo en esta desigualdad son obviamente positivas, por lo que el signo del módulo se puede omitir sin dañar la salud.
Pero este es un nivel de pensamiento completamente diferente y un enfoque diferente; se puede llamar condicionalmente el método de las consecuencias. Sobre él, en una lección separada. Ahora pasemos a la parte final de la lección de hoy y consideremos un algoritmo universal que siempre funciona. Incluso cuando todos los enfoques anteriores fueron impotentes. :)
4. Método de enumeración de opciones
Pero, ¿y si todas estas técnicas no funcionan? Si la desigualdad no se reduce a colas no negativas, si el módulo no puede aislarse, si acaso, ¿dolor-tristeza-anhelo?
Entonces entra en escena la "artillería pesada" de todas las matemáticas: el método de fuerza bruta. Con respecto a las desigualdades con el módulo, se ve así:
- Escriba todas las expresiones de los submódulos y ajústelas a cero;
- Resuelva las ecuaciones obtenidas y marque las raíces encontradas en una recta numérica;
- La línea recta se dividirá en varios tramos, dentro de los cuales cada módulo tiene un signo fijo y, por tanto, se despliega sin ambigüedades;
- Resuelva la desigualdad en cada uno de esos sitios (puede considerar por separado los límites de raíces obtenidos en el párrafo 2, para mayor confiabilidad). Combine los resultados, esta será la respuesta. :)
¿Cómo es? ¿Débil? ¡Fácil! Solo por mucho tiempo. Veamos en la práctica:
Tarea. Resuelve la desigualdad:
\ [\ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x- \ frac (3) (2) \]
Solución. Esta basura no se reduce a desigualdades como $ \ left | f \ right | \ lt g $, $ \ left | f \ right | \ gt g $ o $ \ left | f \ right | \ lt \ left | g \ right | $, así que seguimos recto.
Escribimos expresiones de submódulo, las equiparamos a cero y encontramos las raíces:
\ [\ begin (align) & x + 2 = 0 \ Rightarrow x = -2; \\ & x-1 = 0 \ Flecha derecha x = 1. \\\ end (alinear) \]
En total, tenemos dos raíces, que dividen la recta numérica en tres secciones, dentro de las cuales cada módulo se revela inequívocamente:
Partición de una línea numérica por ceros de funciones submodulares
Consideremos cada sitio por separado.
1. Sea $ x \ lt -2 $. Entonces ambas expresiones de submódulo son negativas y la desigualdad original se puede reescribir de la siguiente manera:
\ [\ begin (align) & - \ left (x + 2 \ right) \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1,5 \\ & -x-2 \ lt -x + 1 + x-1,5 \\ & x \ gt 1,5 \\\ end (align) \]
Tenemos una limitación bastante simple. Crucémoslo con la suposición original de que $ x \ lt -2 $:
\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ lt -2 \\ & x \ gt 1,5 \\\ end (align) \ right. \ Rightarrow x \ in \ varnothing \]
Obviamente, la variable $ x $ no puede ser simultáneamente menor que -2, sino mayor que 1.5. No hay decisiones en este sitio.
1.1. Consideremos por separado el caso límite: $ x = -2 $. Simplemente sustituimos este número en la desigualdad original y comprobamos: ¿es cierto?
\ [\ begin (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1,5 \ right |) _ (x = -2) ) \\ & 0 \ lt \ left | -3 \ right | -2-1.5; \\ & 0 \ lt 3-3.5; \\ & 0 \ lt -0.5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (alinear) \]
Obviamente, la cadena de cálculos nos llevó a la desigualdad equivocada. Por lo tanto, la desigualdad original también es incorrecta y $ x = -2 $ no se incluye en la respuesta.
2. Ahora sea $ -2 \ lt x \ lt 1 $. El módulo de la izquierda ya se abrirá con un "más", pero el de la derecha todavía tiene un "menos". Tenemos:
\ [\ begin (align) & x + 2 \ lt - \ left (x-1 \ right) + x-1,5 \\ & x + 2 \ lt -x + 1 + x-1,5 \\ & x \ lt -2.5 \\\ end (alinear) \]
Volvemos a cruzar con el requisito original:
\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ lt -2.5 \\ & -2 \ lt x \ lt 1 \\\ end (align) \ right. \ Rightarrow x \ in \ varnothing \]
Y nuevamente, el conjunto vacío de soluciones, ya que no hay números que sean simultáneamente menores que -2.5, sino mayores que -2.
2.1. Y nuevamente un caso especial: $ x = 1 $. Sustituimos en la desigualdad original:
\ [\ begin (align) & ((\ left. \ left | x + 2 \ right | \ lt \ left | x-1 \ right | + x-1,5 \ right |) _ (x = 1)) \\ & \ left | 3 \ right | \ lt \ left | 0 \ right | + 1-1.5; \\ & 3 \ lt -0,5; \\ & 3 \ lt -0.5 \ Rightarrow \ varnothing. \\\ end (alinear) \]
Al igual que en el "caso especial" anterior, el número $ x = 1 $ claramente no está incluido en la respuesta.
3. La última parte de la línea recta: $ x \ gt 1 $. Aquí todos los módulos se expanden con un signo más:
\ [\ begin (align) & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x + 2 \ lt x-1 + x-1.5 \\ & x \ gt 4.5 \\ \ end (align) \ ]
Y nuevamente intersecamos el conjunto encontrado con la restricción original:
\ [\ left \ (\ begin (align) & x \ gt 4,5 \\ & x \ gt 1 \\\ end (align) \ right. \ Rightarrow x \ in \ left (4,5; + \ infty \ derecho) \]
¡Por fin! Encontramos el intervalo, que será la respuesta.
Respuesta: $ x \ in \ left (4,5; + \ infty \ right) $
Finalmente, un comentario que puede salvarlo de errores estúpidos al resolver problemas reales:
Las soluciones a las desigualdades con módulos suelen ser conjuntos sólidos en la recta numérica: intervalos y segmentos. Los puntos aislados son mucho menos comunes. E incluso con menos frecuencia sucede que los límites de la solución (el final del segmento) coinciden con el límite del rango considerado.
En consecuencia, si los límites (esos "casos especiales") no se incluyen en la respuesta, es casi seguro que las áreas a la izquierda y derecha de estos límites no se incluirán en la respuesta. Y por el contrario: la frontera entró en la respuesta, lo que significa que algunas áreas a su alrededor también serán las respuestas.
Tenga esto en cuenta cuando pruebe sus soluciones.