Este artículo es una recopilación de información detallada relacionada con el tema de las propiedades raíz. Teniendo en cuenta el tema, comenzaremos con las propiedades, estudiaremos todas las formulaciones y proporcionaremos pruebas. Para reforzar el tema, consideraremos las propiedades del enésimo grado.
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Propiedades de la raíz
Hablaremos de propiedades.
- Propiedad números multiplicados a y B, que se representa como la igualdad a b = a b. Se puede representar como factores, positivos o iguales a cero. a 1, a 2,…, a k como 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
- del cociente a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0, también se puede escribir de esta forma a b = a b;
- Propiedad de una potencia de un número a con un exponente par a 2 m = a m para cualquier número a, por ejemplo, una propiedad del cuadrado del número a 2 = a.
En cualquiera de las ecuaciones presentadas, puede intercambiar las partes antes y después del guión en lugares, por ejemplo, la igualdad a b = a b se transforma como a b = a b. Las propiedades de igualdad se utilizan a menudo para simplificar ecuaciones complejas.
La prueba de las primeras propiedades se basa en la definición de la raíz cuadrada y las propiedades de las potencias con tasa natural... Para fundamentar la tercera propiedad, es necesario hacer referencia a la definición del módulo de un número.
El primer paso es demostrar las propiedades de la raíz cuadrada a b = a b. Según la definición, es necesario considerar que a b es un número, positivo o igual a cero, que será igual a a b al erigir en un cuadrado. El valor de la expresión a b es positivo o igual a cero como producto de números no negativos. La propiedad del grado de los números multiplicados le permite representar la igualdad en la forma (a b) 2 = a 2 b 2. Según la definición de la raíz cuadrada a 2 = a y b 2 = b, entonces a b = a 2 b 2 = a b.
De manera similar, se puede probar que a partir del producto k multiplicadores a 1, a 2,…, a k será igual al producto raíces cuadradas de estos factores. De hecho, a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.
De esta igualdad se sigue que a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.
Veamos algunos ejemplos para solidificar el tema.
Ejemplo 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 y 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).
Es necesario demostrar la propiedad de la raíz cuadrada aritmética del cociente: a: b = a: b, a ≥ 0, b> 0. La propiedad le permite escribir la igualdad a: b 2 = a 2: b 2 y a 2: b 2 = a: b, siendo a: b un número positivo o igual a cero. Esta expresión y se convertirá en la prueba.
Por ejemplo, 0: 16 = 0: 16, 80: 5 = 80: 5 y 3 0, 121 = 3 0, 121.
Considere la propiedad de la raíz cuadrada del cuadrado de un número. Se puede escribir como una igualdad como a 2 = a Para probar esta propiedad, es necesario considerar en detalle varias igualdades para a ≥ 0 y en a< 0 .
Obviamente, para a ≥ 0, la igualdad a 2 = a es verdadera. En a< 0 la igualdad a 2 = - a será verdadera. De hecho, en este caso - a> 0 y (- a) 2 = a 2. Se puede concluir que a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 2
5 2 = 5 = 5 y - 0.36 2 = - 0.36 = 0.36.
La propiedad probada ayudará a justificar a 2 m = a m, donde a- real y metro-número natural. De hecho, la propiedad de elevar un poder le permite reemplazar el poder a 2 m expresión (a m) 2, entonces a 2 m = (a m) 2 = a m.
Ejemplo 3
3 8 = 3 4 = 3 4 y (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.
Propiedades de la raíz enésima
Primero, debe considerar las propiedades principales de las raíces del enésimo grado:
- Propiedad del producto de números a y B, que son positivos o iguales a cero, se pueden expresar como la igualdad a b n = a n b n, esta propiedad es válida para el producto k números a 1, a 2,…, a k como 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
- desde numero fraccional posee la propiedad a b n = a n b n, donde a- cualquier número real que sea positivo o igual a cero, y B- número real positivo;
- Para cualquier a e incluso indicadores n = 2 m a 2 m 2 m = a, y para impares n = 2 m - 1 la igualdad a 2 m - 1 2 m - 1 = a se cumple.
- Propiedad de extracción de a m n = a n m, donde a- cualquier número, positivo o igual a cero, norte y metro- números naturales, esta propiedad también se puede representar como. ... ... una norte k norte 2 norte 1 = una norte 1 norte 2. ... ... · N k;
- Para cualquier a no negativo y arbitrario norte y metro, que son naturales, también puede determinar la igualdad justa a m n · m = a n;
- Grado de propiedad norte del poder del número a, que es positivo o igual a cero, en grado natural metro definido por la igualdad a m n = a n m;
- Propiedad de comparación que tienen los mismos indicadores: para cualquier número positivo a y B tal que a< b , la desigualdad a n< b n ;
- Propiedad de comparación que tiene los mismos números debajo de la raíz: si metro y n - números naturales que m> n, luego en 0 < a < 1 la desigualdad a m> a n es verdadera, y para a> 1 soy< a n .
Las igualdades dadas anteriormente son válidas si se intercambian las partes antes y después del signo igual. Pueden utilizarse como tales. Esto se usa a menudo al simplificar o convertir expresiones.
La prueba de las propiedades anteriores de la raíz se basa en la definición, las propiedades del grado y la definición del módulo de un número. Estas propiedades deben probarse. Pero todo está en orden.
- En primer lugar, probamos las propiedades de la raíz n-ésima del producto a b n = a n b n. Para a y b que son positivo o igual a cero , el valor a n · b n también es positivo o igual a cero, ya que es consecuencia de la multiplicación de números no negativos. La propiedad del producto en grado natural nos permite escribir la igualdad a n b n n = a n n b n n. Por definición de la raíz norte-ésimo grado a n n = a y b n n = b, por lo tanto, a n b n n = a b. La igualdad resultante es exactamente lo que se requería para demostrar.
Esta propiedad se prueba de manera similar para el producto. k factores: para números no negativos a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.
A continuación, se muestran algunos ejemplos del uso de la propiedad raíz. norte-th grado del producto: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 y 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.
- Demostremos la propiedad de la raíz del cociente a b n = a n b n. En a ≥ 0 y b> 0 la condición a n b n ≥ 0 se cumple, y a n b n n = a n n b n n = a b.
Muestremos ejemplos:
Ejemplo 4
8 27 3 = 8 3 27 3 y 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Para el siguiente paso, es necesario demostrar las propiedades del enésimo grado desde el número hasta el grado norte... Representamos esto como la igualdad a 2 m 2 m = ay a 2 m - 1 2 m - 1 = a para cualquier real a y natural metro... En a ≥ 0 obtenemos a = ay a 2 m = a 2 m, lo que prueba la igualdad a 2 m 2 m = a, y la igualdad a 2 m - 1 2 m - 1 = a es obvia. En a< 0 obtenemos, respectivamente, a = - ay a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. La última transformación del número es justa según la propiedad del grado. Esto es lo que prueba la igualdad a 2 m 2 m = a, y a 2 m - 1 2 m - 1 = a será verdadera, ya que para un grado impar consideramos - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 para cualquier número C, positivo o igual a cero.
Para consolidar la información recibida, considere varios ejemplos utilizando la propiedad:
Ejemplo 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 y (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Demostremos la siguiente igualdad a m n = a n · m. Para hacer esto, necesita cambiar los números antes del signo igual y después en lugares a n · m = a m n. Esto significará una entrada correcta. Para a, que es positivo o igual a cero , de la forma a m n es un número positivo o igual a cero... Pasemos a la propiedad de elevar un grado a un exponente y su definición. Se pueden usar para transformar igualdades en la forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Esto prueba la propiedad de la raíz de la raíz en cuestión.
Otras propiedades se prueban de manera similar. En realidad, . ... ... a n k n 2 n 1 n 1 n 2 ... ... · N k =. ... ... a n k n 3 n 2 n 2 n 3 ... ... · N k =. ... ... a n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · N k =. ... ... = una norte k norte k = una.
Por ejemplo, 7 3 5 = 7 5 3 y 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.
- Demostremos la siguiente propiedad a m n · m = a n. Para ello, es necesario demostrar que an es un número, positivo o igual a cero. Cuando se eleva a la potencia n m es igual a soy... Si el numero a es positivo o igual a cero, entonces norte-th grado de entre a es un número positivo o igual a cero En este caso, a n · m n = a n n m, según se requiera.
Para consolidar los conocimientos adquiridos, considere algunos ejemplos.
- Demostremos la siguiente propiedad: la propiedad de una raíz de un grado de la forma a m n = a n m. Obviamente, para a ≥ 0 el grado a n m es un número no negativo. Además, su norte-th grado es soy, de hecho, a n m n = a n m · n = a n n m = a m. Esto prueba la propiedad del título en cuestión.
Por ejemplo, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Es necesario demostrar que para cualquier número positivo a yb la condición a< b ... Considere la desigualdad a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b ... Por lo tanto, una n< b n при a< b .
Por ejemplo, demos 12 4< 15 2 3 4 .
- Considere la propiedad raíz norte-th grado. Primero, necesitamos mirar la primera parte de la desigualdad. En m> n y 0 < a < 1 verdadero a m> a n. Suponga que a m ≤ a n. Las propiedades simplificarán la expresión a n m · n ≤ a m m · n. Entonces, según las propiedades de un grado con exponente natural, se satisface la desigualdad a n m n m n ≤ a m m n m n, es decir, una n ≤ una m... El valor obtenido en m> n y 0 < a < 1 no coincide con las propiedades anteriores.
Del mismo modo, se puede demostrar que para m> n y a> 1 la condición a m< a n .
Para consolidar las propiedades anteriores, considere varias ejemplos concretos... Considere las desigualdades usando números específicos.
Ejemplo 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
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Grado de raíz norte de un número real a, donde norte- un número natural, ese número real se llama X, norte-th grado del cual es a.
Grado de raíz norte del numero a denotado por el símbolo. Según esta definición.
Encontrar la raíz norte-th grado de entre a se llama extracción de raíces. Número a llamado número radical (expresión), norte- un indicador de raíz. Impar norte hay una raiz norte-ésima potencia para cualquier número real a... Incluso con norte hay una raiz norte-th grado solo para un número no negativo a... Para eliminar la ambigüedad de la raíz. norte-th grado de entre a, se introduce el concepto de raíz aritmética norte-th grado de entre a.
El concepto de raíz aritmética de grado N
Si norte- número natural, mayor 1 , entonces hay, y solo uno, no numero negativo X, tal que la igualdad se mantenga. Este número X llamada raíz aritmética norte el grado de un número no negativo a y está indicado por. Número a llamado el número radical, norte- un indicador de raíz.
Entonces, de acuerdo con la definición, el registro, dónde, significa, en primer lugar, qué y, en segundo lugar, qué, es decir ...
El concepto de grado con exponente racional.
Grado con indicador natural: deje a es un número real, y norte- un número natural mayor que uno, norte-ésima potencia del número a llamar al trabajo norte factores, cada uno de los cuales es igual a a, es decir. ... Número a- la base del título, norte- exponente. Un grado con exponente cero: se asume por definición, si, entonces. Potencia cero de un número 0 no tiene sentido. Grado con entero negativo: se asume por definición si y norte es un número natural, entonces. Grado con exponente fraccionario: se asume por definición si y norte- número natural, metro es un número entero, entonces.
Operaciones de raíz.
En todas las fórmulas siguientes, el símbolo significa raíz aritmética(la expresión radical es positiva).
1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:
2. La raíz de la razón es igual a la razón de las raíces del dividendo y el divisor:
3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número raíz a esta potencia: 
4. Si aumentamos el grado de la raíz n veces y al mismo tiempo aumentamos el número de la raíz a la n-ésima potencia, entonces el valor de la raíz no cambiará: 
5. Si disminuimos el grado de la raíz n veces y al mismo tiempo extraemos la raíz n-ésima del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:
Ampliación del concepto de titulación. Hasta ahora, hemos considerado grados solo con un exponente natural; pero las acciones con potencias y raíces también pueden conducir a exponentes negativos, cero y fraccionarios. Todos estos indicadores de grado requieren una definición adicional.
Grado con exponente negativo. La potencia de un número con un exponente negativo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual a valor absoluto indicador negativo: 
Ahora, la fórmula a m: a n = a m - n puede usarse no solo para m mayor que n, sino también para m menor que n.
EJEMPLO un 4: un 7 = un 4 - 7 = un -3.
Si queremos que la fórmula a m: a n = a m - n sea válida para m = n, necesitamos la definición del grado cero.
Grado cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es 1.
EJEMPLO 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.
Exponente fraccional. Para elevar un número real a a la potencia de m / n, necesitas extraer la raíz n-ésima de la potencia m-ésima de este número a:
Sobre expresiones que no tienen sentido. Hay varias expresiones de este tipo.
Caso 1.
Donde no existe un ≠ 0.
De hecho, si asumimos que x es un número, entonces, de acuerdo con la definición de la operación de división, tenemos: a = 0 x, es decir, a = 0, que contradice la condición: a ≠ 0
Caso 2.
Cualquier número.
De hecho, si asumimos que esta expresión es igual a algún número x, entonces, de acuerdo con la definición de la operación de división, tenemos: 0 = 0 x. Pero esta igualdad es válida para cualquier número x, según sea necesario.
En realidad,
Solución. Considere tres casos principales:
1) x = 0 - este valor no satisface la ecuación dada
2) para x> 0 obtenemos: x / x = 1, es decir 1 = 1, de donde se sigue que x es cualquier número; pero teniendo en cuenta que en nuestro caso x> 0, la respuesta es x> 0;
3) para x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
en este caso no hay solución. Por tanto, x> 0.
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Felicitaciones: hoy examinaremos las raíces, uno de los temas más importantes del octavo grado. :)
Muchos están confundidos acerca de las raíces, no porque sean complejas (lo cual es muy difícil, un par de definiciones y un par de propiedades), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se determinan a través de una jungla tal que solo los autores de los libros de texto ellos mismos pueden descifrar este garabato. E incluso entonces solo con una botella de buen whisky. :)
Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de la raíz, la única que realmente debería recordar. Y solo entonces explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.
Pero primero recuerda uno punto importante, sobre el cual muchos compiladores de libros de texto por alguna razón "olvidan":
Las raíces pueden ser de grado par (nuestro querido $ \ sqrt (a) $, así como todo tipo de $ \ sqrt (a) $ e incluso $ \ sqrt (a) $) y grados impares (todo tipo de $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $, etc.). Y la definición de raíz de un grado impar es algo diferente de una par.
Aquí en este puto "algo diferente" escondido, probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces. Por lo tanto, tratemos la terminología de una vez por todas:
Definición. Incluso la raíz norte de $ a $ es cualquiera no negativo un número $ b $ tal que $ ((b) ^ (n)) = a $. Y la raíz impar del mismo número $ a $ es generalmente cualquier número $ b $ para el que se cumple la misma igualdad: $ ((b) ^ (n)) = a $.
En cualquier caso, la raíz se indica así:
\ (a) \]
El número $ n $ en dicho registro se llama exponente de la raíz y el número $ a $ se llama expresión radical. En particular, para $ n = 2 $ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz par), y para $ n = 3 $ - cúbico (grado impar), que también se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.
Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ end (alinear) \]
Por cierto, $ \ sqrt (0) = 0 $ y $ \ sqrt (1) = 1 $. Esto es bastante lógico, ya que $ ((0) ^ (2)) = 0 $ y $ ((1) ^ (2)) = 1 $.
Las raíces cúbicas también son comunes, no les tengas miedo:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ end (alinear) \]
Bueno, y un par de "ejemplos exóticos":
\ [\ begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ end (alinear) \]
Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par y un grado impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!
Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por lo que necesitábamos introducir una definición separada para indicadores pares e impares.
¿Por qué necesitamos raíces en absoluto?
Después de leer la definición, muchos estudiantes preguntarán: "¿Qué fumaron los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" De hecho: ¿por qué necesitamos todas estas raíces?
Para responder a esta pregunta, retrocedamos un minuto a clases primarias... Recuerda: esos tiempos lejanos cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar los números correctamente. Bueno, algo así como "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero después de todo, puedes multiplicar números no en pares, sino en triples, cuatros y, en general, conjuntos enteros:
\ [\ begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (align) \]
Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son personas vagas, por lo que tenían que escribir la multiplicación de diez por cinco de esta manera:
Entonces se les ocurrió grados. ¿Por qué no sobrescribir el número de factores en lugar de una cadena larga? Como esto:
¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino en cuadernos para anotar unas 5.183. Tal registro se llamó el grado de número, encontraron un montón de propiedades en él, pero la felicidad resultó ser de corta duración.
Después de un gran trago, que se organizó justo sobre el "descubrimiento" de grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: "¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero no sabemos el número en sí?" Ahora, realmente, si sabemos que cierto número $ b $, por ejemplo, en la quinta potencia da 243, entonces ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $ b $?
Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los grados "listos" no existen tales números "iniciales". Juzga por ti mismo:
\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ end (alinear) \]
¿Qué pasa si $ ((b) ^ (3)) = $ 50? Resulta que necesitas encontrar un cierto número, el cual, multiplicado tres veces por sí mismo, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es. este número se encuentra en algún lugar entre tres y cuatro, pero a lo que es igual: higos, lo entenderá.
Es por esto que los matemáticos inventaron las raíces del $ n $ -ésimo grado. Por eso se introdujo el símbolo radical $ \ sqrt (*) $. Para designar el mismo número $ b $, que, en la medida especificada, nos dará un valor previamente conocido
\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Flecha derecha ((b) ^ (n)) = a \]
No discuto: estas raíces a menudo se cuentan fácilmente; hemos visto varios ejemplos de este tipo anteriormente. Aún así, en la mayoría de los casos, si adivinas un número arbitrario y luego intentas extraer una raíz arbitraria de él, te espera un cruel fastidio.
¡Lo que está ahí! Incluso el $ \ sqrt (2) $ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual, como un número entero o una fracción. Y si escribe este número en una calculadora, verá esto:
\ [\ sqrt (2) = 1.414213562 ... \]
Como ves, después de la coma hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puede redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:
\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ aproximadamente 1.4 \ lt 1.5 \]
O aquí hay otro ejemplo:
\ [\ sqrt (3) = 1.73205 ... \ aproximadamente 1.7 \ gt 1.5 \]
Pero todos estos redondeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no evidentes (por cierto, la habilidad de comparación y redondeo es obligatoriamente verificada en el examen de perfil).
Por lo tanto, en matemáticas serias, no puede prescindir de raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $ \ mathbb (R) $, así como fracciones y números enteros que nos son familiares durante mucho tiempo.
La imposibilidad de representar una raíz como una fracción de la forma $ \ frac (p) (q) $ significa que esta raíz no es número racional... Estos números se denominan irracionales y no pueden representarse con precisión de otro modo que con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas (logaritmos, grados, límites, etc.). Pero más sobre eso en otro momento.
Considere algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales todavía permanecerán en la respuesta.
\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ approx 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ approx -1.2599 ... \\ \ end (align) \]
Naturalmente, según aspecto externo root es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puede contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fecha más perfecta nos da solo unos pocos primeros dígitos numero irracional... Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $ \ sqrt (5) $ y $ \ sqrt (-2) $.
Por eso se inventaron. Para registrar convenientemente las respuestas.
¿Por qué se necesitan dos definiciones?
El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos se derivan de números positivos. Bueno, como último recurso desde cero. Pero las raíces cúbicas se extraen con calma de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.
¿Por qué está pasando esto? Observa la gráfica de la función $ y = ((x) ^ (2)) $:
Calendario función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa Intentemos calcular $ \ sqrt (4) $ usando este gráfico. Para hacer esto, se traza una línea horizontal $ y = 4 $ en el gráfico (marcado en rojo), que se cruza con la parábola en dos puntos: $ ((x) _ (1)) = 2 $ y $ ((x ) _ (2)) = -2 $. Esto es bastante lógico, ya que
Todo está claro con el primer número: es positivo, por lo tanto, es la raíz:
Pero entonces, ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Como si los cuatro tuvieran dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos el número −2 al cuadrado, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribimos $ \ sqrt (4) = - 2 $? ¿Y por qué los profesores miran esos registros como si quisieran devorarte? :)
El problema es que si no se imponen condiciones adicionales, los cuatro tendrán dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos. Pero los números negativos no tendrán raíces en absoluto; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje y, es decir. no acepta valores negativos.
Un problema similar ocurre para todas las raíces con un exponente par:
- Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con un exponente par $ n $;
- De los números negativos, la raíz incluso con $ n $ no se extrae en absoluto.
Es por eso que en la definición de la raíz de una potencia par de $ n $ se estipula especialmente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.
Pero por $ n $ impares no existe tal problema. Para verificar esto, echemos un vistazo a la gráfica de la función $ y = ((x) ^ (3)) $:
Una parábola cúbica toma cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se extrae de cualquier número Se pueden extraer dos conclusiones de este gráfico:
- Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de la habitual, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, a cualquier altura que dibujemos una línea horizontal, esta línea necesariamente se intersecará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede extraer de absolutamente cualquier número;
- Además, dicha intersección siempre será la única, por lo que no es necesario pensar en qué número considerar la raíz "correcta" y qué número puntuar. Es por eso que la definición de raíces para un grado impar es más simple que para uno par (no hay requisito de no negatividad).
Es una pena que estas cosas simples no se expliquen en la mayoría de los libros de texto. En cambio, el cerebro comienza a flotar hacia nosotros con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.
Sí, no discuto: ¿qué es una raíz aritmética? También necesitas saberlo. Y cubriré esto en detalle en un tutorial separado. Hoy también hablaremos de eso, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $ n $ -ésima estarían incompletos.
Pero primero, debe comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, comenzará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada en absoluto.
Todo lo que necesita hacer es comprender la diferencia entre indicadores pares e impares. Así que, una vez más, recopilemos todo lo que realmente necesita saber sobre las raíces:
- Una raíz par existe solo a partir de un número no negativo y en sí misma siempre es un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
- Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí misma cualquier número: para los números positivos es positivo, y para los negativos, como sugiere el límite, negativo.
¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Claro? Sí, en general, ¡es obvio! Entonces ahora vamos a practicar algunos cálculos.
Limitaciones y propiedades básicas
Las raíces tienen muchas propiedades y limitaciones extrañas; habrá una lección separada sobre esto. Por lo tanto, ahora consideraremos solo el "truco" más importante, que se aplica solo a las raíces con un exponente par. Escribamos esta propiedad en forma de fórmula:
\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ left | x \ derecha | \]
En otras palabras, si eleva un número a una potencia par y luego extrae la raíz de la misma potencia de esto, no obtenemos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que se puede demostrar fácilmente (basta con considerar por separado los $ x $ no negativos, y luego por separado, los negativos). Los profesores hablan constantemente de ello, lo dan en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen el signo radical), los estudiantes olvidan amigablemente esta fórmula.
Para entender la pregunta en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos contar dos números de frente:
\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]
Esto es muy ejemplos sencillos... El primer ejemplo lo resolverá la mayoría de la gente, pero en el segundo, muchos se mantendrán. Para resolver cualquier basura sin problemas, siempre tenga en cuenta el orden de las acciones:
- Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es bastante fácil. Obtendrá un nuevo número, que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
- Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la cuarta raíz. Aquellos. no se produce una "reducción" de raíces y grados; se trata de acciones secuenciales.
Trabajamos con la primera expresión: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Obviamente, primero debe calcular la expresión debajo de la raíz:
\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]
Luego extrae la cuarta raíz del número 81:
Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, para lo cual necesitamos multiplicarlo por sí mismo 4 veces:
\ [((\ left (-3 \ right)) ^ (4)) = \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot \ izquierda (-3 \ derecha) = 81 \]
Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de menos en el trabajo es de 4 piezas, y todas se destruirán mutuamente (después de todo, menos por menos da un más). Luego extraemos la raíz nuevamente:
En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta será la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" las desventajas, y en este sentido el resultado es indistinguible del módulo habitual:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ derecha | = 3; \\ & \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) = \ left | -3 \ derecha | = 3. \\ \ end (alinear) \]
Estos cálculos concuerdan bien con la definición de una raíz par: el resultado siempre es no negativo y bajo el signo del radical siempre hay un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.
Nota de procedimiento
- La notación $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ significa que primero elevamos al cuadrado el número $ a $ y luego extraemos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que un número no negativo siempre se encuentra debajo del signo de la raíz, ya que $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ en cualquier caso;
- Pero el registro $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, por el contrario, significa que primero extraemos la raíz de un cierto número $ a $ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $ a $ no puede en ningún caso ser negativo; este es un requisito obligatorio en la definición.
Por lo tanto, en ningún caso debe reducir sin pensar las raíces y los grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si hay un número negativo debajo de la raíz y su exponente es par, tenemos un montón de problemas.
Sin embargo, todos estos problemas son relevantes solo para indicadores pares.
Eliminar el signo menos del signo raíz
Naturalmente, las raíces con indicadores impares también tienen su propio contador, que, en principio, no existe para los pares. A saber:
\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]
En resumen, puede quitar el signo menos debajo del signo de las raíces de un grado impar. Esto es muy propiedad útil, que le permite "descartar" todas las desventajas:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ end (alinear) \]
Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no hay necesidad de preocuparse: de repente, una expresión negativa se ha deslizado debajo de la raíz y el grado en la raíz resulta ser uniforme. Basta con "tirar" todas las desventajas fuera de las raíces, después de lo cual se pueden multiplicar entre sí, dividir y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", están garantizadas para llevarnos a un error.
Y aquí entra en juego otra definición, la misma con la que en la mayoría de las escuelas comienza el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Bienvenido por favor!
Raíz aritmética
Supongamos por un momento que solo puede haber números positivos debajo del signo de la raíz, o como máximo cero. Olvidémonos de los indicadores pares / impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?
Y luego obtenemos la raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.
Definición. Una raíz aritmética del $ n $ ésimo grado de un número no negativo $ a $ es un número no negativo $ b $ tal que $ ((b) ^ (n)) = a $.
Como puede ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, ha aparecido una nueva restricción: la expresión radical ahora es siempre no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.
Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a los gráficos de parábola cuadrada y cúbica ya familiares:
Área de búsqueda de raíz aritmética: números no negativos Como puede ver, a partir de ahora solo nos interesan aquellas partes de los gráficos que se encuentran en el primer trimestre de coordenadas, donde las coordenadas $ x $ y $ y $ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a enraizar un número negativo o no. Porque los números negativos ya no se consideran en principio.
Puede preguntar: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan castrada?" O: "¿Por qué no puede arreglárselas con la definición estándar dada anteriormente?"
Bueno, daré solo una propiedad, por lo que la nueva definición se vuelve apropiada. Por ejemplo, la regla para la exponenciación es:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay unos ejemplos:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (align) \]
¿Así que cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos haber hecho esto antes? Este es el por qué. Considere una expresión simple: $ \ sqrt (-2) $ - este número es bastante normal en nuestro sentido clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos transformarlo:
$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (align) $
Como puede ver, en el primer caso, eliminamos el menos de debajo del radical (tenemos todos los derechos, ya que el indicador es impar), y en el segundo, usamos la fórmula anterior. Aquellos. desde el punto de vista de las matemáticas, todo se hace según las reglas.
¡¿WTF?! ¿Cómo puede el mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Es solo que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para números positivos y cero, comienza a ser una herejía cuando se trata de números negativos.
Para deshacerse de tal ambigüedad, idearon raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que ahora no nos detendremos en ellos: la lección ya resultó ser demasiado larga.
Raíz algebraica: para los que quieren saber más
Pensé durante mucho tiempo si poner este tema en un párrafo separado o no. Al final, decidí irme de aquí. Este material está destinado a aquellos que quieran comprender las raíces aún mejor, no a un nivel de "escuela" promedio, sino a un nivel cercano al nivel de la Olimpiada.
Entonces: además de la definición "clásica" de la raíz $ n $ -ésima de un número y la división asociada en indicadores pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas . A esto se le llama raíz algebraica.
Definición. La raíz algebraica del $ n $ ésimo grado de cualquier $ a $ es el conjunto de todos los números $ b $ tales que $ ((b) ^ (n)) = a $. No existe una designación bien establecida para tales raíces, por lo que solo ponemos un guión en la parte superior:
\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]
La diferencia fundamental de definición estándar, dado al comienzo de la lección, es que una raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con numeros reales, este conjunto es de solo tres tipos:
- Conjunto vacio. Ocurre cuando se requiere encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
- Un conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de grados impares, así como las raíces de grados pares desde cero, entran en esta categoría;
- Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: el mismo $ ((x) _ (1)) $ y $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, que vimos en la función cuadrática gráfica. En consecuencia, tal alineación es posible solo cuando se extrae una raíz par de un número positivo.
Este último caso merece una consideración más detallada. Contamos un par de ejemplos para entender la diferencia.
Ejemplo. Evaluar expresiones:
\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]
Solución. La primera expresión es simple:
\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]
Son dos números los que componen el conjunto. Porque cada uno de ellos en el cuadrado da un cuatro.
\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]
Aquí vemos un conjunto que consta de un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.
Finalmente, la última expresión:
\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]
Tenemos un juego vacío. Porque no hay un solo número real, que cuando se eleva al cuarto (¡es decir, par!) Grado nos dará un número negativo -16.
Comentario final. Tenga en cuenta: no fue por casualidad que noté en todas partes que trabajamos con números reales. Debido a que también hay números complejos, allí es muy posible contar $ \ sqrt (-16) $ y muchas otras cosas extrañas.
Sin embargo, en el curso de matemáticas de la escuela moderna, los números complejos casi nunca se encuentran. Fueron eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran este tema "demasiado difícil de entender".
- Una raíz aritmética de grado natural n> = 2 de un número no negativo a es un cierto número no negativo, cuando se eleva a la potencia n, se obtiene el número a.
Se puede demostrar que para cualquier a no negativo y n natural, la ecuación x ^ n = a tendrá una única raíz no negativa. Es esta raíz la que se llama raíz aritmética n-ésima del número a.
La raíz n-ésima del número a se denota como n√a. El número a en este caso se llama expresión radical.
La raíz aritmética del segundo grado se llama raíz cuadrada y la raíz aritmética del tercer grado se llama raíz cúbica.
Propiedades básicas de la raíz aritmética n-ésima
- 1. (n√a) ^ n = a.
Por ejemplo, (5√2) ^ 5 = 2.
Esta propiedad se deriva directamente de la definición de una raíz aritmética del n-ésimo grado.
Si a es mayor que libor es igual a cero, b es mayor que cero yn, m son algunos números naturales tales que n es mayor o igual que 2 ym es mayor o igual que 2, entonces las siguientes propiedades son verdaderas :
- 2.n√ (a * b) = n√a * n√b.
Por ejemplo, 4√27 * 4√3 = 4√ (27 * 3) = 4√81 = 4√ (3 ^ 4) = 3.
- 3.n√ (a / b) = (n√a) / (n√b).
Por ejemplo, 3√ (256/625): 3√ (4/5) = 3√ ((256/625): (4/5)) = (3√ (64)) / (3√ (125)) = 4/5.
- 4. (n√a) ^ m = n√ (a ^ m).
Por ejemplo, 7√ (5 ^ 21) = 7√ ((5 ^ 7) ^ 3)) = (7√ (5 ^ 7)) ^ 3 = 5 ^ 3 = 125.
- 5.m√ (n√a) = (n * m) √a.
Por ejemplo, 3√ (4√4096) = 12√4096 = 12√ (2 ^ 12) = 2.
Tenga en cuenta que en la propiedad 2, el número b puede ser igual a cero, y en la propiedad 4, el número m puede ser cualquier número entero, siempre que a> 0.
Prueba de la segunda propiedad
Las últimas cuatro propiedades se prueban de manera similar, por lo que nos limitamos a probar solo la segunda: n√ (a * b) = n√a * n√b.
Usando la definición de una raíz aritmética, probamos que n√ (a * b) = n√a * n√b.
Para ello, probamos dos hechos que n√a * n√b. Es mayor o igual que cero, y que (n√a * n√b.) ^ N = ab.
- 1. n√a * n√b es mayor o igual que cero, ya que tanto a como b son mayores o iguales que cero.
- 2. (n√a * n√b) ^ n = a * b, porque (n√a * n√b) ^ n = (n√a) ^ n * (n√b) ^ n = a * b .
Q.E.D. La propiedad significa que es verdadera. Estas propiedades a menudo tendrán que usarse al simplificar expresiones que contienen raíces aritméticas.