Vídeo lección 2: Grado con indicador natural y sus propiedades
Conferencia:
Grado con indicador natural
Bajo la licenciatura algún número "pero" con algún indicador "norte" entender el producto de un número "pero" por sí mismo "norte" una vez.
Cuando se habla de un título con indicador natural, esto significa que el número "norte" debe ser entero y no negativo.
pero- la base del grado, que muestra qué número se debe multiplicar por sí mismo,
norte- exponente: indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma.
Por ejemplo:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
En este caso, la base del grado es el número "8", el exponente es el número "4", el valor del grado es el número "4096".
El error más grande y común al calcular el grado es multiplicar el exponente por la base. ¡ESTO NO ES CIERTO!
Cuando se trata de un grado con exponente natural, significa que sólo el exponente (norte) debería ser número natural.
Cualquier número en la recta numérica se puede usar como base.
Por ejemplo,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
La operación matemática que se realiza sobre la base y el exponente se llama exponenciación.
La suma/resta es la operación matemática de la primera etapa, la multiplicación/división es la operación de la segunda etapa, la potenciación es la operación matemática de la tercera etapa, es decir, una de las más altas.
Esta jerarquía de operaciones matemáticas determina el orden en el cálculo. Si esta acción ocurre en tareas entre las dos anteriores, entonces se realiza primero.
Por ejemplo:
15 + 6 *2 2 = 39
EN este ejemplo primero debes elevar 2 a la potencia, es decir
luego multiplica el resultado por 6, es decir
Un grado con un indicador natural se usa no solo para cálculos específicos, sino también para facilitar la notación. números grandes. En este caso, también se utiliza el concepto "forma de número estándar". Esta entrada implica la multiplicación de un determinado número del 1 al 9 por una potencia base igual a 10 con algún exponente.
Por ejemplo, para escribir el radio de la Tierra en forma estándar use la siguiente notación:
6400000 m = 6,4 * 10 6 m,
y la masa de la Tierra, por ejemplo, se escribe así:
propiedades de grado
Para la comodidad de resolver ejemplos con grados, es necesario conocer sus principales propiedades:
1. Si necesita multiplicar dos potencias que tienen la misma base, en este caso, la base debe dejarse sin cambios y agregar los indicadores.
un norte * un metro = un n+m
Por ejemplo:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. Si es necesario dividir dos grados que tienen la misma base, entonces en este caso la base debe dejarse sin cambios y los indicadores se restan. Tenga en cuenta que para operaciones con potencias con exponente natural, el exponente del dividendo debe ser mayor que el exponente del divisor. De lo contrario, el cociente de esta acción será un número con exponente negativo.
un n / un metro = un n-m
Por ejemplo,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. Si es necesario elevar una potencia a otra, la base del resultado sigue siendo el mismo número y los exponentes se multiplican.
(un norte) m = un Nuevo Méjico
Por ejemplo,
4. Si es necesario elevar el producto de números arbitrarios a una cierta potencia, entonces podemos usar una cierta ley de distribución, bajo la cual obtenemos el producto de diferentes bases en el mismo grado.
(un * segundo) metro = un metro * segundo metro
Por ejemplo,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. Una propiedad similar se puede utilizar para dividir potencias, es decir, para elevar un doble ordinario a una potencia.
(un / segundo) metro = un metro / segundo metro
6. Cualquier número elevado a un exponente igual a uno, igual al número original.
un 1 = un
Por ejemplo,
7. Al elevar cualquier número a una potencia con exponente cero, el resultado de este cálculo siempre será uno.
y 0 = 1
Por ejemplo,
| | |
I. Trabajo norte factores, cada uno de los cuales es igual a pero llamado norte-ésima potencia de un número pero y denotado peronorte.
Ejemplos. Escribe el producto como un grado.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Solución.
1) mmmm=m 4, ya que, por definición de grado, el producto de cuatro factores, cada uno de los cuales es igual a metro, voluntad la cuarta potencia de m.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .
II. La operación por la cual se encuentra el producto de varios factores iguales se llama exponenciación. El número elevado a una potencia se llama base de la potencia. El número que indica a qué potencia está elevada la base se llama exponente. Entonces, peronorte- la licenciatura, pero- base de grado norte- exponente. Por ejemplo:
2 3 — es un grado Número 2 - la base del grado, el exponente es igual a 3 . Valor de grado 2 3 es igual 8, porque 2 3 = 2 2 2 = 8.
Ejemplos. Escribe las siguientes expresiones sin el exponente.
5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .
Solución.
5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) un 3 segundo 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
tercero y 0 = 1 Cualquier número (excepto el cero) elevado a cero es igual a uno. Por ejemplo, 25 0 =1.
IV. un 1 = unCualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo.
v. soy∙ un= soy + norte Al multiplicar potencias con los mismos motivos la base se deja igual, y los indicadores agregar.
Ejemplos. Simplificar:
9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) do 2 do 0 do do 4 .
Solución.
9) un 3 un 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) segundo 0 + segundo 2 segundo 3 = 1+b 2+3 = 1+b 5 ;
11) do 2 do 0 do do 4 = 1 do 2 do do 4 \u003d do 2+1+4 \u003d do 7 .
VI. soy: un= soy - norteAl dividir potencias con la misma base, se deja la base igual, y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor.
Ejemplos. Simplificar:
12) un 8: un 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .
12) un 8: un 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7 ; catorce ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.
VIII. (soy) norte= amén Al elevar una potencia a otra potencia, la base sigue siendo la misma y los exponentes se multiplican.
Ejemplos. Simplificar:
15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.
15) (un 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .
Nota, que, dado que el producto no cambia a partir de una permutación de factores, luego:
15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
VI Yo. (a ∙ segundo) norte =a norte ∙ segundo norte Al elevar un producto a una potencia, cada uno de los factores se eleva a esa potencia.
§ 1 Grado con exponente natural
Recordemos una operación que conocemos como la suma de varios términos idénticos. Por ejemplo, 5 + 5 + 5. El matemático reemplazará esa entrada por una más corta:
5 ∙ 3. O 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 se escribirá como 7 ∙ 6
Y escribiendo a + a + a + ... + a (donde n términos a) - no se escribirá en absoluto, sino que escribirá a ∙ n. De la misma manera, un matemático no escribirá extensamente el producto de varios factores idénticos. El producto 2 ∙ 2 ∙ 2 se escribirá como 23 (2 elevado a la tercera potencia). Y el producto 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 es 46(4 a la sexta potencia). Pero si es necesario, puede reemplazar una entrada corta por una más larga. Por ejemplo, 74 (7 a la cuarta potencia) se escribe como 7∙7∙7∙7. Ahora vamos a dar una definición.
La notación an (donde n es un número natural) es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a.
El registro an en sí mismo se llama el grado del número a, el número a es la base del grado, el número n es el exponente.
La notación an se puede leer como "a elevado a la n-ésima potencia" o como "a elevado a la potencia de en". Las entradas a2 (a elevada a la segunda potencia) se pueden leer como "a al cuadrado", y la entrada a3 (a elevada a la tercera potencia) se puede leer como "a al cubo". Otro caso especial es un grado con exponente 1. Aquí es necesario tener en cuenta lo siguiente:
El grado de un número a con exponente 1 es el número mismo. Esos. a1 = a.
Cualquier potencia de 1 es 1.
Ahora veamos algunas potencias con base 10.
¿Has notado que las potencias de diez son una con tantos ceros como el exponente? En general, 10n = 100..0 (donde hay n ceros en la notación).
§ 2 Ejemplos sobre el tema de la lección
Ejemplo 1. Escribe el producto (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) como una potencia.
Como hay 4 factores idénticos, cada uno de los cuales es igual a -2, tenemos la notación (-2)4.
Ejemplo2. Calcula 1.52.
El índice 2 dice que necesitamos encontrar el producto de dos factores idénticos, cada uno de los cuales es igual a 1.5. Esos. calcula el producto 1.5∙1.5 = 2.25.
Ejemplo 3. Calcular el producto 102 ∙ (-1)3.
Primero calculamos 102 = 100. Luego calculamos (-1)3 = -1. Y finalmente, multiplica 100 y -1. Obtenemos -100.
Lista de literatura usada:
- Mordkovich A.G., Álgebra grado 7 en 2 partes, Parte 1, Libro de texto para instituciones educativas / A.G. Mordkovich. - 10ª ed., revisada - Moscú, "Mnemosyne", 2007
- Mordkovich A.G., Álgebra grado 7 en 2 partes, Parte 2, Libro de tareas para instituciones educativas / [A.G. Mordkovich y otros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edición, revisada - Moscú, "Mnemosyne", 2007
- SU. Tulchinskaya, Álgebra Grado 7. Encuesta relámpago: una guía para estudiantes de instituciones educativas, 4ª edición, revisada y complementada, Moscú, "Mnemozina", 2008
- Alexandrova L.A., Álgebra Grado 7. Temático trabajo de verificación en nueva forma para estudiantes de instituciones educativas, editado por A.G. Mordkovich, Moscú, "Mnemósine", 2011
- Aleksandrova L.A. Álgebra 7º grado. Trabajo independiente para estudiantes de instituciones educativas, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edición, estereotipada, Moscú, "Mnemosyne", 2010
Después de determinar el grado del número, es lógico hablar de propiedades de grado. En este artículo, daremos las propiedades básicas del grado de un número, mientras tocamos todos los exponentes posibles. Aquí daremos pruebas de todas las propiedades del grado y también mostraremos cómo se aplican estas propiedades al resolver ejemplos.
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Propiedades de grados con indicadores naturales
Por definición de potencia con exponente natural, la potencia de a n es el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a . A partir de esta definición y utilizando propiedades de multiplicación numeros reales , podemos obtener y justificar lo siguiente propiedades de grado con exponente natural:
- la propiedad principal del grado a m ·a n =a m+n , su generalización ;
- la propiedad de las potencias parciales con las mismas bases a m:a n =a m−n ;
- producto grado propiedad (a b) n =a n b n , su extensión ;
- cociente propiedad en especie (a:b) n =a n:b n ;
- exponenciación (a m) n =a m n , su generalización (((un 1) norte 2) ...) norte k = un norte 1 norte 2 ... norte k;
- comparando grado con cero:
- si a>0, entonces a n >0 para cualquier n natural;
- si a=0 , entonces a n =0 ;
- si un<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 si un<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- si a y b son números positivos y a
- si m y n son números naturales tales que m>n , entonces en 0
- si m y n son números naturales tales que m>n , entonces en 0
Inmediatamente notamos que todas las igualdades escritas son idéntico bajo las condiciones especificadas, y sus partes derecha e izquierda pueden intercambiarse. Por ejemplo, la propiedad principal de la fracción a m a n = a m + n con simplificación de expresiones a menudo se usa en la forma a m+n = a m a n .
Ahora veamos cada uno de ellos en detalle.
Comencemos con la propiedad del producto de dos potencias con las mismas bases, que se llama la propiedad principal del grado: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la igualdad a m ·a n =a m+n es verdadera.
Probemos la propiedad principal del grado. Por la definición de un grado con exponente natural, el producto de potencias con las mismas bases de la forma a m a n se puede escribir como un producto. Debido a las propiedades de la multiplicación, la expresión resultante se puede escribir como 
, y este producto es la potencia de a con exponente natural m+n , es decir, a m+n . Esto completa la demostración.
Pongamos un ejemplo que confirma la propiedad principal del grado. Tomemos grados con las mismas bases 2 y potencias naturales 2 y 3, según la propiedad principal del grado, podemos escribir la igualdad 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Comprobemos su validez, para lo cual calculamos los valores de las expresiones 2 2 ·2 3 y 2 5 . Realizando la exponenciación, tenemos 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 y 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, dado que se obtienen valores iguales, entonces la igualdad 2 2 2 3 \u003d 2 5 es correcta y confirma la propiedad principal del grado.
La propiedad principal de un grado basada en las propiedades de la multiplicación se puede generalizar al producto de tres o más potencias con las mismas bases y exponentes naturales. Así que para cualquier número k de números naturales n 1 , n 2 , …, n k la igualdad un norte 1 un norte 2 un norte k =un norte 1 +n 2 +…+n k.
Por ejemplo, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Puede pasar a la siguiente propiedad de grados con un indicador natural: la propiedad de los poderes parciales con las mismas bases: para cualquier número real distinto de cero a y números naturales arbitrarios m y n que satisfagan la condición m>n , la igualdad a m:a n =a m−n es verdadera.
Antes de dar la prueba de esta propiedad, analicemos el significado de las condiciones adicionales en la formulación. La condición a≠0 es necesaria para evitar la división por cero, ya que 0 n =0, y cuando nos familiarizamos con la división, acordamos que es imposible dividir por cero. La condición m>n se introduce para que no vayamos más allá de los exponentes naturales. De hecho, para m>n, el exponente a m−n es un número natural, de lo contrario, será cero (lo que sucede para m−n) o numero negativo(que pasa cuando m Prueba. La propiedad principal de una fracción nos permite escribir la igualdad un metro−n un norte =un (m−n)+n =un metro. De la igualdad obtenida a m−n ·a n =a m y de ello se sigue que a m−n es cociente de potencias de a m y a n . Esto prueba la propiedad de las potencias parciales con las mismas bases. Tomemos un ejemplo. Tomemos dos grados con las mismas bases π y exponentes naturales 5 y 2, la propiedad considerada del grado corresponde a la igualdad π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Ahora considera propiedad de grado de producto: el grado natural n del producto de dos números reales cualesquiera a y b es igual al producto de los grados a n y b n , es decir, (a b) n =a n b n . De hecho, por definición de un grado con un exponente natural, tenemos Aquí hay un ejemplo: Esta propiedad se extiende al grado del producto de tres o más factores. Es decir, la propiedad de potencia natural n del producto de k factores se escribe como (un 1 un 2 ... un k) norte = un 1 norte un 2 norte ... un k norte. Para mayor claridad, mostramos esta propiedad con un ejemplo. Para el producto de tres factores elevado a 7, tenemos . La siguiente propiedad es propiedad natural: el cociente de los números reales a y b , b≠0 a la potencia natural n es igual al cociente de las potencias a n y b n , es decir, (a:b) n =a n:b n . La demostración se puede realizar utilizando la propiedad anterior. Entonces (a:b) norte segundo norte =((a:b) b) norte =un norte, y la igualdad (a:b) n b n =a n implica que (a:b) n es el cociente de a n dividido por b n . Escribamos esta propiedad usando el ejemplo de números específicos: Ahora vamos a voz propiedad de exponenciación: para cualquier número real a y cualquier número natural m y n, la potencia de a m elevada a n es igual a la potencia de a con exponente m·n , es decir, (a m) n =a m·n . Por ejemplo, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . La prueba de la propiedad de potencia en un grado es la siguiente cadena de igualdades: La propiedad considerada puede extenderse a grado dentro de grado dentro de grado, y así sucesivamente. Por ejemplo, para cualquier número natural p, q, r y s, la igualdad Queda por detenerse en las propiedades de comparar grados con un exponente natural. Comenzamos demostrando la propiedad de comparación del cero y la potencia con un exponente natural. Primero, justifiquemos que a n >0 para cualquier a>0 . El producto de dos números positivos es un número positivo, como se deduce de la definición de multiplicación. Este hecho y las propiedades de la multiplicación nos permiten afirmar que el resultado de multiplicar cualquier número de números positivos también será un número positivo. Y la potencia de a con exponente natural n es, por definición, el producto de n factores, cada uno de los cuales es igual a a. Estos argumentos nos permiten afirmar que para cualquier base positiva a el grado de a n es un número positivo. En virtud de la propiedad probada 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 y Es bastante obvio que para cualquier n natural con a=0 el grado de a n es cero. En efecto, 0 n =0·0·…·0=0 . Por ejemplo, 0 3 =0 y 0 762 =0 . Pasemos a las bases negativas. Comencemos con el caso en que el exponente es un número par, lo denotamos como 2 m , donde m es un número natural. Luego Finalmente, cuando la base de a es un número negativo y el exponente es un número impar 2 m−1, entonces Pasamos a la propiedad de comparar grados con los mismos exponentes naturales, que tiene la siguiente formulación: de dos grados con los mismos exponentes naturales, n es menor que el de base menor, y mayor que el de base mayor. Demostrémoslo. Desigualdad propiedades de las desigualdades demostrándose la desigualdad de la forma a n . Queda por demostrar la última de las propiedades enumeradas de las potencias con exponentes naturales. Vamos a formularlo. De los dos grados con indicadores naturales y las mismas bases positivas, menos de uno, es mayor el grado cuyo indicador es menor; y de dos grados con indicadores naturales y las mismas bases mayores que uno, es mayor el grado cuyo indicador es mayor. Pasamos a la demostración de esta propiedad. Probemos que para m>n y 0 Queda por probar la segunda parte de la propiedad. Probemos que para m>n y a>1, a m >a n es verdadera. La diferencia a m −a n después de quitar a n entre paréntesis toma la forma a n ·(a m−n −1) . Este producto es positivo, ya que para a>1 el grado de an es un número positivo, y la diferencia am−n−1 es un número positivo, ya que m−n>0 en virtud de la condición inicial, y para a>1 el grado de am−n es mayor que uno. Por lo tanto, a m − a n > 0 ya m > a n , lo cual debía probarse. Esta propiedad se ilustra con la desigualdad 3 7 >3 2 .
. El último producto, basado en las propiedades de la multiplicación, se puede reescribir como 
, que es igual a a n b n .
.
.
.
. Para mayor claridad, aquí hay un ejemplo con números específicos: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Porque cada uno de los productos de la forma a·a es igual al producto de los módulos de los números aya, por tanto, es un número positivo. Por lo tanto, el producto también será positivo. 
y grado a 2 m . Estos son algunos ejemplos: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 y .
. Todos los productos a·a son números positivos, el producto de estos números positivos también es positivo, y su multiplicación por el número negativo restante a da como resultado un número negativo. Debido a esta propiedad (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Propiedades de grados con exponentes enteros
Dado que los números enteros positivos son números naturales, entonces todas las propiedades de las potencias con exponentes enteros positivos coinciden exactamente con las propiedades de las potencias con exponentes naturales enumeradas y demostradas en el párrafo anterior.
El grado con exponente entero negativo, así como el grado con exponente cero, lo definimos de tal manera que todas las propiedades de los grados con exponentes naturales expresadas por igualdades siguen siendo válidas. Por lo tanto, todas estas propiedades son válidas tanto para exponentes nulos como para exponentes negativos, mientras que, por supuesto, las bases de los grados son distintas de cero.
Entonces, para cualquier número real y distinto de cero a y b, así como para cualquier número entero m y n, lo siguiente es cierto propiedades de grados con exponentes enteros:
- a m a n \u003d a m + n;
- un metro: un norte = un metro−n;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n = a n:b n ;
- (un metro) norte = un metro norte;
- si n es un entero positivo, a y b son números positivos y a b-n;
- si m y n son números enteros, y m>n, entonces en 0
Para a=0, las potencias am y an tienen sentido solo cuando tanto m como n son números enteros positivos, es decir, números naturales. Por lo tanto, las propiedades que acabamos de escribir también son válidas para los casos en que a=0 y los números m y n son números enteros positivos.
No es difícil demostrar cada una de estas propiedades, para ello basta utilizar las definiciones del grado con exponente natural y entero, así como las propiedades de las acciones con números reales. Como ejemplo, demostremos que la propiedad de la potencia se cumple tanto para los números enteros positivos como para los números enteros no positivos. Para hacer esto, necesitamos mostrar que si p es cero o un número natural y q es cero o un número natural, entonces las igualdades (ap) q =ap q , (a −p) q =a (−p) q , (ap ) −q =ap (−q) y (a−p)−q =a (−p) (−q). Vamos a hacerlo.
Para p yq positivas, la igualdad (a p) q =a p·q se demostró en el apartado anterior. Si p=0 , entonces tenemos (a 0) q =1 q =1 y a 0 q =a 0 =1 , de donde (a 0) q =a 0 q . De manera similar, si q=0, entonces (a p) 0 =1 y a p 0 =a 0 =1, de donde (a p) 0 =a p 0 . Si tanto p=0 como q=0, entonces (a 0) 0 =1 0 =1 y a 0 0 =a 0 =1, de donde (a 0) 0 =a 0 0 .
Probemos ahora que (a −p) q =a (−p) q . Por definición de un grado con un exponente entero negativo, entonces 
. Por la propiedad del cociente en el grado, tenemos 
. Como 1 p =1·1·…·1=1 y , entonces . La última expresión es, por definición, una potencia de la forma a −(p q) , que, en virtud de las reglas de la multiplicación, puede escribirse como a (−p) q .
similar 
.
Y 
.
Por el mismo principio, se pueden probar todas las demás propiedades de un grado con un exponente entero, escrito en forma de igualdades.
En la penúltima de las propiedades anotadas, vale la pena detenerse en la demostración de la desigualdad a −n >b −n , que es cierta para cualquier entero negativo −n y para cualquier a y b positivos para los cuales la condición a . Ya que por condición a 0 El producto a n ·b n también es positivo como el producto de números positivos a n y b n . Entonces la fracción resultante es positiva como cociente de números positivos b n − a n y a n b n . Por tanto, de donde a −n >b −n , lo que había que demostrar.
La última propiedad de los grados con exponentes enteros se demuestra de la misma manera que la propiedad análoga de los grados con exponentes naturales.
Propiedades de potencias con exponentes racionales
Definimos el grado con un exponente fraccionario extendiendo las propiedades de un grado con un exponente entero. En otras palabras, los grados con exponentes fraccionarios tienen las mismas propiedades que los grados con exponentes enteros. A saber:
La demostración de las propiedades de los grados con exponente fraccionario se basa en la definición de un grado con exponente fraccionario, sobre y en las propiedades de un grado con exponente entero. Demos prueba.
Por definición del grado con un exponente fraccionario y , entonces 
. Las propiedades de la raíz aritmética nos permiten escribir las siguientes igualdades. Además, usando la propiedad del grado con un exponente entero, obtenemos , de donde, por la definición de un grado con un exponente fraccionario, tenemos 
, y el exponente del grado obtenido se puede convertir de la siguiente manera: . Esto completa la prueba.
La segunda propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios se demuestra exactamente de la misma manera: 
El resto de las igualdades se prueban por principios similares: 
Pasamos a la demostración de la siguiente propiedad. Probemos que para cualquier positivo a y b , a b p . Escribimos el número racional p como m/n, donde m es un número entero y n es un número natural. Condiciones pag<0 и p>0 en este caso será equivalente a las condiciones m<0 и m>0 respectivamente. Para m>0 y a
Del mismo modo, para m<0 имеем a m >b m , de donde , es decir, y a p > b p .
Queda por probar la última de las propiedades enumeradas. Probemos que para números racionales p y q , p>q para 0 
Y 
. Y la definición de grado con exponente racional nos permite pasar a las desigualdades y, respectivamente. De esto sacamos la conclusión final: para p>q y 0
Propiedades de grados con exponentes irracionales
De cómo se define un grado con exponente irracional, se puede concluir que tiene todas las propiedades de los grados con exponente racional. Entonces, para cualquier a>0, b>0 y los números irracionales p y q, lo siguiente es cierto propiedades de grados con exponentes irracionales:
- un pag un q = un pag + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- para cualquier número positivo a y b , a 0 la desigualdad a p bp;
- para números irracionales p y q , p>q en 0
De esto podemos concluir que las potencias con cualquier exponente real p y q para a>0 tienen las mismas propiedades.
Bibliografía.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Libro de texto de Matemáticas Zh para 5 celdas. Instituciones educacionales.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: un libro de texto para 7 celdas. Instituciones educacionales.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para 8 celdas. Instituciones educacionales.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: un libro de texto para 9 celdas. Instituciones educacionales.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los comienzos del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas generales.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para aspirantes a escuelas técnicas).
La siguiente fórmula será la definición. grados con un indicador natural(a es la base del exponente y el factor repetido, y n es el exponente, que muestra cuántas veces se repite el factor):
Esta expresión significa que la potencia de un número con exponente natural n es el producto de n factores, dado que cada uno de los factores es igual a a.
17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857
17 - la base del grado,
5 - exponente,
1419857 es el valor del grado.
El exponente con exponente cero es 1 , siempre que a \neq 0 :
un ^ 0 = 1 .
Por ejemplo: 2^0=1
Cuando necesita escribir un número grande, generalmente se usa la potencia de 10.
Por ejemplo, uno de los dinosaurios más antiguos de la Tierra vivió hace unos 280 millones de años. Su edad se escribe de la siguiente manera: 2.8 \cdot 10^8 .
Todo número mayor que 10 se puede escribir como \cdot 10^n , siempre que 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют forma estándar de número.
Ejemplos de tales números: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.
Puedes decir tanto "a elevado a la n-ésima potencia", como "enésima potencia del número a" y "a elevado a la n".
4^5 - "cuatro a la potencia de 5" o "4 a la quinta potencia" o también puedes decir "quinta potencia del número 4"
En este ejemplo, 4 es la base del grado, 5 es el exponente.
Ahora damos un ejemplo con fracciones y números negativos. Para evitar confusiones, se acostumbra escribir entre paréntesis bases distintas de los números naturales:
(7,38)^2 , \izquierda(\frac 12 \derecha)^7, (-1)^4 etc
Note también la diferencia:
(-5)^6 - significa la potencia de un número negativo −5 con exponente natural 6.
5^6 - corresponde al número opuesto de 5^6.
Propiedades de los grados con exponente natural
La propiedad principal del grado.
a^n \cdot a^k = a^(n+k)
La base sigue siendo la misma, pero se suman los exponentes.
Por ejemplo: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5
Propiedad de los poderes parciales con las mismas bases
a^n: a^k=a^(n-k) si n > k .
Los exponentes se restan, pero la base sigue siendo la misma.
Esta restricción n > k se introduce para no ir más allá de los exponentes naturales. De hecho, para n > k, el exponente a^(n-k) será un número natural, de lo contrario será un número negativo (k< n ), либо нулем (k-n ).
Por ejemplo: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1
Propiedad de exponenciación de potencia
(a^n)^k=a^(nk)
La base sigue siendo la misma, solo se multiplican los exponentes.
Por ejemplo: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)
Propiedad de exponenciación del producto
Cada factor se eleva a la potencia de n.
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Por ejemplo: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3
La propiedad de exponenciación de una fracción.
\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0
Tanto el numerador como el denominador de una fracción están elevados a una potencia. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)