Ahora pasaremos a los paréntesis de apertura en expresiones en las que la expresión entre paréntesis se multiplica por un número o expresión. Formulemos la regla para abrir corchetes precedidos por un signo menos: se omiten los corchetes junto con el signo menos, y los signos de todos los términos entre paréntesis se reemplazan por signos opuestos.
Un tipo de transformación de expresión es la expansión de paréntesis. Las expresiones numéricas, alfabéticas y variables se componen mediante corchetes, que pueden indicar el orden en que se realizan las acciones, contienen un numero negativo etc Supongamos que en las expresiones descritas anteriormente, en lugar de números y variables, puede haber cualquier expresión.
Y prestemos atención a un punto más sobre las peculiaridades de escribir la solución al abrir los corchetes. En el párrafo anterior, tratamos con lo que se llama expansión de paréntesis. Para hacer esto, existen reglas para abrir corchetes, que ahora revisamos. Esta regla está dictada por el hecho de que es costumbre escribir números positivos sin corchetes, los corchetes en este caso son innecesarios. La expresión (−3.7)−(−2)+4+(−9) se puede escribir sin paréntesis como −3.7+2+4−9.
Finalmente, la tercera parte de la regla se debe simplemente a las peculiaridades de escribir números negativos a la izquierda de la expresión (que mencionamos en la sección de paréntesis para escribir números negativos). Puede encontrar expresiones formadas por un número, signos menos y varios pares de paréntesis. Si expande los corchetes, moviéndose de adentro hacia afuera, entonces la solución será: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.
¿Cómo abrir paréntesis?
Aquí hay una explicación: −(−2 x) es +2 x, y dado que esta expresión viene primero, entonces +2 x se puede escribir como 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x y −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La primera parte de la regla escrita para abrir corchetes se deriva directamente de la regla para multiplicar números negativos. La segunda parte es consecuencia de la regla para multiplicar números con diferentes signos. Pasemos a ejemplos de paréntesis expansivos en productos y cocientes de dos números con signos diferentes.
Apertura de corchetes: reglas, ejemplos, soluciones.
La regla anterior tiene en cuenta toda la cadena de estas acciones y acelera significativamente el proceso de apertura de paréntesis. La misma regla permite abrir paréntesis en expresiones que son productos y expresiones privadas con signo menos que no son sumas y diferencias.
Considere ejemplos de la aplicación de esta regla. Damos la regla correspondiente. Arriba, ya hemos encontrado expresiones de la forma −(a) y −(−a), que sin paréntesis se escriben como −a y a, respectivamente. Por ejemplo, −(3)=3, y. Estos son casos especiales de la regla enunciada. Ahora considere ejemplos de paréntesis de apertura cuando las sumas o las diferencias están encerradas en ellos. Mostraremos ejemplos del uso de esta regla. Denote la expresión (b1+b2) como b, después de lo cual usamos la regla para multiplicar el paréntesis por la expresión del párrafo anterior, tenemos (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1b+a2b)=a1b+a2b.
Por inducción, este enunciado se puede extender a un número arbitrario de términos en cada paréntesis. Queda por abrir los corchetes en la expresión resultante, usando las reglas de los párrafos anteriores, como resultado, obtenemos 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.
La regla en matemáticas es la apertura de paréntesis si hay (+) y (-) delante de los paréntesis, una regla muy necesaria
Esta expresión es el producto de tres factores (2+4), 3 y (5+7 8). Los corchetes deben abrirse secuencialmente. Ahora usamos la regla para multiplicar un paréntesis por un número, tenemos ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Potencias cuya base son unas expresiones escritas entre paréntesis, con indicadores naturales puede pensarse como un producto de varios paréntesis.
Por ejemplo, transformemos la expresión (a+b+c)2. Primero, lo escribimos como producto de dos paréntesis (a + b + c) (a + b + c), ahora multiplicamos paréntesis por paréntesis, obtenemos a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.
También decimos que para elevar las sumas y diferencias de dos números a una potencia natural, es recomendable utilizar la fórmula del binomio de Newton. Por ejemplo, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. No es menos conveniente reemplazar preliminarmente la división con la multiplicación y luego usar la regla apropiada para abrir corchetes en el producto.
Queda por averiguar el orden de los corchetes de apertura usando ejemplos. Toma la expresión (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Sustituye estos resultados en la expresión original: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Solo queda completar la apertura de los corchetes, como resultado tenemos −5+3 2:4+6 7. Esto quiere decir que al pasar del lado izquierdo de la igualdad al lado derecho, se abrieron los paréntesis.
Tenga en cuenta que en los tres ejemplos, simplemente eliminamos los paréntesis. Primero, suma 445 a 889. Esta acción mental se puede realizar, pero no es muy fácil. Abramos los paréntesis y veamos que el cambio en el orden de las operaciones simplificará enormemente los cálculos.
Cómo abrir paréntesis en un grado diferente
Ejemplo ilustrativo y regla. Considere un ejemplo: . Puedes encontrar el valor de la expresión sumando 2 y 5, y luego tomando el número resultante con signo opuesto. La regla no cambia si no hay dos, sino tres o más términos entre paréntesis. Comentario. Los signos se invierten solo delante de los términos. Para abrir los paréntesis, en este caso, necesitamos recordar la propiedad distributiva.
Números únicos entre paréntesis
¿Tu error no está en los signos, sino en el mal trabajo con las fracciones? En sexto grado nos familiarizamos con los números positivos y negativos. ¿Cómo resolveremos ejemplos y ecuaciones?
¿Cuánto es entre paréntesis? ¿Qué se puede decir de estas expresiones? Por supuesto, el resultado del primer y segundo ejemplo es el mismo, así que puedes poner un signo igual entre ellos: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Entonces, ¿qué hicimos con los corchetes?
Demostración de la diapositiva 6 con las reglas para abrir corchetes. Por lo tanto, las reglas para abrir corchetes nos ayudarán a resolver ejemplos, simplificar expresiones. A continuación, se invita a los estudiantes a trabajar en parejas: es necesario conectar con flechas la expresión que contiene corchetes con la expresión correspondiente sin corchetes.
Diapositiva 11 Una vez en Sunny City, Znayka y Dunno discutieron cuál de ellos resolvió la ecuación correctamente. Luego, los estudiantes resuelven la ecuación de forma independiente, aplicando las reglas para abrir corchetes. Resolución de ecuaciones ”Objetivos de la lección: educativo (fijación de ZUN sobre el tema:“ Corchetes de apertura.
Tema de la lección: “Paréntesis de apertura. En este caso, debe multiplicar cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis y luego sumar los resultados. En primer lugar, se toman los dos primeros factores, encerrados en un paréntesis más, y dentro de estos paréntesis se abren los paréntesis según una de las reglas ya conocidas.
rawalan.freezeet.ru
Apertura de brackets: reglas y ejemplos (Grado 7)
La función principal de los corchetes es cambiar el orden de las acciones al calcular valores expresiones numéricas . Por ejemplo, en en términos numéricos\(5 3+7\) se calculará primero la multiplicación y luego la suma: \(5 3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Sin embargo, si estamos ante expresión algebraica que contiene variable- por ejemplo, así: \ (2 (x-3) \) - entonces es imposible calcular el valor en el paréntesis, la variable interfiere. Por lo tanto, en este caso, los paréntesis se “abre”, utilizando las reglas adecuadas para ello.
Reglas de expansión de soporte
Si hay un signo más antes del corchete, simplemente se elimina el corchete, la expresión permanece sin cambios. En otras palabras:
Aquí es necesario aclarar que en matemáticas, para reducir entradas, se acostumbra no escribir el signo más si es el primero en la expresión. Por ejemplo, si sumamos dos números positivos, por ejemplo, siete y tres, no escribimos \(+7+3\), sino simplemente \(7+3\), a pesar de que siete también es un número positivo. . De manera similar, si ve, por ejemplo, la expresión \((5+x)\) - sepa que hay un signo más delante del corchete, que no está escrito.
Ejemplo
. Abra el paréntesis y dé los términos semejantes: \((x-11)+(2+3x)\).
Solución
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Si hay un signo menos delante del corchete, cuando se quita el corchete, cada miembro de la expresión dentro cambia de signo al opuesto:
Aquí es necesario aclarar que a, mientras estaba entre paréntesis, tenía un signo más (simplemente no lo escribieron), y después de quitar el corchete, este más cambió a menos.
Ejemplo
: Simplifique la expresión \(2x-(-7+x)\).
Solución
: hay dos términos dentro del corchete: \(-7\) y \(x\), y hay un signo menos antes del corchete. Esto significa que los signos cambiarán, y el siete ahora tendrá un signo más y la x un signo menos. abra el soporte y traer términos semejantes .
Ejemplo.
Expande el paréntesis y da los términos similares \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solución
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Si hay un factor delante del paréntesis, entonces cada miembro del paréntesis se multiplica por él, es decir:
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Solución
: Tenemos \(3\) y \(-x\) entre paréntesis, y un cinco delante del paréntesis. Esto quiere decir que cada miembro del paréntesis se multiplica por \(5\) - les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis en matemáticas no se escribe para reducir el tamaño de los registros.
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Solución
: Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:
Ejemplo.
Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solución
: Tenemos un producto de paréntesis y se puede abrir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Eliminamos el primer corchete: cada uno de sus miembros se multiplica por el segundo corchete:
Paso 2. Expande los productos del soporte por el factor como se describe arriba:
- el primero primero...
Paso 3. Ahora multiplicamos y traemos términos semejantes:
No es necesario pintar todas las transformaciones en detalle, puedes multiplicarlas inmediatamente. Pero si solo está aprendiendo a abrir corchetes, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de cometer un error.
Nota para toda la sección. De hecho, no necesitas recordar las cuatro reglas, solo necesitas recordar una, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.
paréntesis dentro de paréntesis
A veces, en la práctica, hay problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. He aquí un ejemplo de tal tarea: simplificar la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).
Para tener éxito en estas tareas, necesita:
- comprenda cuidadosamente el anidamiento de los soportes: cuál está en cuál;
- abra los paréntesis secuencialmente, empezando, por ejemplo, por el más interior.
Es importante al abrir uno de los soportes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.
Ejemplo.
Abre los paréntesis y da los términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solución:
Comencemos la tarea abriendo el soporte interior (el que está dentro). Al abrirlo, solo nos ocupamos del hecho de que está directamente relacionado con él: este es el corchete en sí y el signo menos delante de él (resaltado en verde). Todo lo demás (no seleccionado) se reescribe como estaba.
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Simplificación de polinomios.
Multiplicación de polinomios.
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Mientras se ejecuta el programa:
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Un poco de teoría.
El producto de un monomio y un polinomio. El concepto de polinomio
Entre las diversas expresiones que se consideran en álgebra, las sumas de monomios ocupan un lugar importante. Aquí hay ejemplos de tales expresiones:
La suma de monomios se llama polinomio. Los términos de un polinomio se llaman miembros del polinomio. Los mononomios también se conocen como polinomios, considerando un monomio como un polinomio que consta de un miembro.
Representamos todos los términos en forma de monomios vista estándar:
Damos términos similares en el polinomio resultante:
El resultado es un polinomio, cuyos miembros son monomios de la forma estándar, y entre ellos no hay otros similares. Tales polinomios se llaman polinomios de forma estándar.
Detrás grado polinomial tomará de forma estándar la mayor de las facultades de sus integrantes. Entonces, un binomio tiene un tercer grado y un trinomio tiene un segundo.
Por lo general, los términos de los polinomios de forma estándar que contienen una variable se organizan en orden descendente de sus exponentes. Por ejemplo:
La suma de varios polinomios se puede convertir (simplificar) en un polinomio de forma estándar.
A veces, los miembros de un polinomio deben dividirse en grupos, encerrando cada grupo entre paréntesis. Dado que los paréntesis son lo opuesto a los paréntesis, es fácil formular reglas de apertura de paréntesis:
Si el signo + se coloca antes de los corchetes, los términos encerrados entre paréntesis se escriben con los mismos signos.
Si se coloca un signo "-" delante de los corchetes, los términos encerrados entre paréntesis se escriben con signos opuestos.
Transformación (simplificación) del producto de un monomio y un polinomio
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, uno puede transformar (simplificar) el producto de un monomio y un polinomio en un polinomio. Por ejemplo:
El producto de un monomio y un polinomio es idénticamente igual a la suma de los productos de este monomio y cada uno de los términos del polinomio.
Este resultado suele formularse como una regla.
Para multiplicar un monomio por un polinomio, hay que multiplicar este monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Hemos usado repetidamente esta regla para multiplicar por una suma.
El producto de polinomios. Transformación (simplificación) del producto de dos polinomios
En general, el producto de dos polinomios es idénticamente igual a la suma del producto de cada término de un polinomio y cada término del otro.
Usualmente usa la siguiente regla.
Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro y sumar los productos resultantes.
Fórmulas de multiplicación abreviadas. Cuadrados de suma, diferencia y diferencia
Algunas expresiones en transformaciones algebraicas deben tratarse con más frecuencia que otras. Quizás las expresiones más comunes son y, es decir, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y la diferencia de cuadrados. Has notado que los nombres de estas expresiones parecen estar incompletos, así que, por ejemplo, esto, por supuesto, no es solo el cuadrado de la suma, sino el cuadrado de la suma de a y b. Sin embargo, el cuadrado de la suma de a y b no es tan común, por regla general, en lugar de las letras a y b, contiene varias expresiones, a veces bastante complejas.
Las expresiones son fáciles de convertir (simplificar) en polinomios de la forma estándar, de hecho, ya se ha encontrado con esa tarea al multiplicar polinomios:
Las identidades resultantes son útiles para recordar y aplicar sin cálculos intermedios. Las formulaciones verbales breves ayudan en esto.
- el cuadrado de la suma es igual a la suma de los cuadrados y el doble del producto.
- el cuadrado de la diferencia es igual a la suma de los cuadrados sin el doble producto.
- la diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia por la suma.
Estas tres identidades permiten en las transformaciones reemplazar sus partes izquierdas por las derechas y viceversa, las partes derechas por las izquierdas. Lo más difícil en este caso es ver las expresiones correspondientes y comprender qué reemplazan las variables a y b en ellas. Veamos algunos ejemplos del uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.
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Expansión de soporte
Seguimos estudiando las bases del álgebra. En esta lección, aprenderemos cómo abrir paréntesis en expresiones. Expandir corchetes significa eliminar la expresión de estos corchetes.
Para abrir corchetes, debe aprender de memoria solo dos reglas. Con la práctica regular, puede abrir los corchetes con los ojos cerrados, y las reglas que necesita memorizar pueden olvidarse con seguridad.
La primera regla de expansión de paréntesis
Considere la siguiente expresión:
El valor de esta expresión es 2 . Abramos los paréntesis en esta expresión. Expandir paréntesis significa deshacerse de ellos sin afectar el significado de la expresión. Es decir, después de eliminar los corchetes, el valor de la expresión 8+(−9+3) todavía debe ser igual a dos.
La regla de expansión del primer paréntesis se ve así:
Al abrir corchetes, si hay un signo más antes de los corchetes, este signo más se omite junto con los corchetes.
Entonces vemos que en la expresión 8+(−9+3) hay un signo más delante de los corchetes. Este signo más debe omitirse junto con los paréntesis. En otras palabras, los corchetes desaparecerán junto con el signo más que estaba frente a ellos. Y lo que estaba entre paréntesis se escribirá sin cambios:
8−9+3 . Esta expresión es igual 2 , como la expresión anterior entre paréntesis era igual a 2 .
8+(−9+3) Y 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Ejemplo 2 Expandir corchetes en una expresión 3 + (−1 − 4)
Hay un signo más delante de los corchetes, por lo que este signo más se omite junto con los corchetes. Lo que estaba entre paréntesis permanecerá sin cambios:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Ejemplo 3 Expandir corchetes en una expresión 2 + (−1)
EN este ejemplo la apertura de paréntesis se ha convertido en una especie de operación inversa de sustitución de la resta por la suma. ¿Qué significa?
en la expresión 2−1 ocurre la resta, pero puede ser reemplazada por la suma. Entonces obtienes la expresión 2+(−1) . Pero si en la expresión 2+(−1) abre los paréntesis, obtienes el original 2−1 .
Por lo tanto, la regla de expansión del primer paréntesis se puede usar para simplificar expresiones después de algunas transformaciones. Es decir, líbralo de corchetes y hazlo más fácil.
Por ejemplo, simplifiquemos la expresión 2a+a−5b+b .
Para simplificar esta expresión, podemos agregar términos semejantes. Recuerda que para reducir términos semejantes, debes sumar los coeficientes de los términos semejantes y multiplicar el resultado por la parte común de las letras:
Tengo una expresión 3a+(−4b). En esta expresión, abra los corchetes. Hay un signo más antes de los corchetes, así que usamos la primera regla para abrir corchetes, es decir, omitimos los corchetes junto con el signo más que viene antes de estos corchetes:
Entonces la expresión 2a+a−5b+b simplificado a 3a−4b .
Habiendo abierto un paréntesis, otros pueden encontrarse en el camino. Les aplicamos las mismas reglas que al primero. Por ejemplo, expandamos los corchetes en la siguiente expresión:
Hay dos lugares donde necesita expandir los soportes. En este caso, se aplica la primera regla para expandir los corchetes, es decir, omitir los corchetes junto con el signo más que viene antes de estos corchetes:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Ejemplo 3 Expandir corchetes en una expresión 6+(−3)+(−2)
En ambos lugares donde hay corchetes, van precedidos por un signo más. Aquí nuevamente, se aplica la regla de expansión del primer paréntesis:
A veces, el primer término entre paréntesis se escribe sin signo. Por ejemplo, en la expresión 1+(2+3−4) primer término entre paréntesis 2 escrito sin signo. Surge la pregunta, ¿qué signo vendrá antes del dos después de omitir los corchetes y el signo más delante de los corchetes? La respuesta se sugiere sola: habrá una ventaja frente al dos.
De hecho, aun estando entre paréntesis, hay un más delante del dos, pero no lo vemos por el hecho de que no está anotado. Ya hemos dicho que la notación completa de números positivos se parece a +1, +2, +3. Pero las ventajas no se escriben tradicionalmente, por lo que vemos los números positivos que nos son familiares. 1, 2, 3 .
Por lo tanto, para abrir paréntesis en una expresión 1+(2+3−4) , debe omitir los corchetes como de costumbre junto con el signo más delante de estos corchetes, pero escriba el primer término que estaba entre paréntesis con un signo más:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Ejemplo 4 Expandir corchetes en una expresión −5 + (2 − 3)
Hay un signo más delante de los corchetes, por lo que aplicamos la primera regla para abrir corchetes, es decir, omitimos los corchetes junto con el signo más que viene antes de estos corchetes. Pero el primer término, que se escribe entre paréntesis con un signo más:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Ejemplo 5 Expandir corchetes en una expresión (−5)
Hay un signo más antes de los corchetes, pero no está escrito porque no había otros números o expresiones antes. Nuestra tarea es eliminar los corchetes aplicando la primera regla para expandir los corchetes, es decir, omitir los corchetes junto con este signo más (incluso si es invisible)
Ejemplo 6 Expandir corchetes en una expresión 2a + (−6a + b)
Hay un signo más delante de los corchetes, por lo que este signo más se omite junto con los corchetes. Lo que estaba entre paréntesis se escribirá sin cambios:
2a + (−6a + segundo) = 2a −6a + segundo
Ejemplo 7 Expandir corchetes en una expresión 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
En esta expresión, hay dos lugares en los que debe abrir los corchetes. En ambas secciones, hay un signo más delante de los corchetes, lo que significa que este signo más se omite junto con los corchetes. Lo que estaba entre paréntesis se escribirá sin cambios:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
La segunda regla para abrir paréntesis
Ahora veamos la regla de expansión del segundo paréntesis. Se usa cuando hay un signo menos antes de los paréntesis.
Si hay un menos antes de los corchetes, entonces este menos se omite junto con los corchetes, pero los términos que estaban entre paréntesis cambian su signo al contrario.
Por ejemplo, expandamos los corchetes en la siguiente expresión
Vemos que hay un menos antes de los corchetes. Por lo tanto, debe aplicar la segunda regla de expansión, es decir, omitir los corchetes junto con el signo menos delante de estos corchetes. En este caso, los términos que estaban entre paréntesis cambiarán de signo al contrario:
Tenemos una expresión sin paréntesis 5+2+3 . Esta expresión es igual a 10, al igual que la expresión anterior entre paréntesis era igual a 10.
Así, entre expresiones 5−(−2−3) Y 5+2+3 puedes poner un signo igual, ya que son iguales al mismo valor:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Ejemplo 2 Expandir corchetes en una expresión 6 − (−2 − 5)
Hay un signo menos antes de los corchetes, por lo que aplicamos la segunda regla para abrir corchetes, es decir, omitimos los corchetes junto con el signo menos que viene antes de estos corchetes. En este caso, los términos que estaban entre paréntesis se escriben con signos opuestos:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Ejemplo 3 Expandir corchetes en una expresión 2 − (7 + 3)
Hay un signo menos antes de los corchetes, por lo que aplicamos la segunda regla para abrir corchetes:
Ejemplo 4 Expandir corchetes en una expresión −(−3 + 4)
Ejemplo 5 Expandir corchetes en una expresión −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Hay dos lugares donde necesita expandir los soportes. En el primer caso, debe aplicar la segunda regla para abrir corchetes, y cuando llegue el turno de la expresión +(−9−2) necesitas aplicar la primera regla:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Ejemplo 6 Expandir corchetes en una expresión −(−a−1)
Ejemplo 7 Expandir corchetes en una expresión −(4a + 3)
Ejemplo 8 Expandir corchetes en una expresión a −(4b + 3) + 15
Ejemplo 9 Expandir corchetes en una expresión 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Hay dos lugares donde necesita expandir los soportes. En el primer caso, debe aplicar la primera regla para expandir corchetes, y cuando llegue el turno de la expresión −(3c+5) necesitas aplicar la segunda regla:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b - segundo - 3c - 5
Ejemplo 10 Expandir corchetes en una expresión -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Hay tres lugares donde necesita expandir los soportes. Primero debe aplicar la segunda regla para expandir corchetes, luego la primera y luego nuevamente la segunda:
-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15
Mecanismo de expansión de paréntesis
Las reglas para abrir corchetes, que ahora hemos considerado, se basan en la ley distributiva de la multiplicación:
Realmente paréntesis de apertura llamar al procedimiento cuando el factor común se multiplica por cada término entre paréntesis. Como resultado de tal multiplicación, los paréntesis desaparecen. Por ejemplo, expandamos los paréntesis en la expresión 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Por lo tanto, si necesita multiplicar un número por una expresión entre paréntesis (o multiplicar una expresión entre paréntesis por un número), debe decir abrir los soportes.
Pero, ¿cómo se relaciona la ley distributiva de la multiplicación con las reglas para abrir corchetes que consideramos antes?
El hecho es que antes de cualquier paréntesis hay un factor común. en el ejemplo 3×(4+5) factor común es 3 . Y en el ejemplo a(b+c) factor común es una variable un.
Si no hay números o variables antes de los paréntesis, entonces el factor común es 1 o −1 , según el carácter que esté antes de los corchetes. Si hay un signo más delante de los corchetes, entonces el factor común es 1 . Si hay un menos antes de los paréntesis, entonces el factor común es −1 .
Por ejemplo, expandamos los paréntesis en la expresión −(3b−1). Hay un signo menos antes de los corchetes, por lo que debe usar la segunda regla para abrir corchetes, es decir, omitir los corchetes junto con el signo menos antes de los corchetes. Y la expresión que estaba entre paréntesis, escríbala con signos opuestos:
Expandimos los paréntesis usando la regla de expansión de paréntesis. Pero estos mismos paréntesis se pueden abrir usando la ley distributiva de la multiplicación. Para hacer esto, primero escribimos el factor común 1 delante de los paréntesis, que no estaba escrito:
El menos que solía pararse frente a los soportes se refiere a esta unidad. Ahora puedes abrir los paréntesis aplicando la ley distributiva de la multiplicación. Para esto, el factor común −1 necesita multiplicar por cada término entre paréntesis y sumar los resultados.
Por conveniencia, reemplazamos la diferencia entre paréntesis con la suma:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Como la última vez, tenemos la expresión −3b+1. Todos estarán de acuerdo en que esta vez se dedicó más tiempo a resolver un ejemplo tan simple. Por lo tanto, es más razonable usar las reglas preparadas para abrir corchetes, que consideramos en esta lección:
Pero no está de más saber cómo funcionan estas reglas.
En esta lección, aprendimos otra transformación idéntica. Junto con abrir los corchetes, sacar lo general de los corchetes y traer términos similares, es posible ampliar ligeramente la gama de tareas a resolver. Por ejemplo:
Aquí debe realizar dos acciones: primero abra los corchetes y luego traiga términos similares. Entonces, en orden:
1) Ampliar los corchetes:
2) Damos términos semejantes:
En la expresión resultante −10b+(−1) puedes abrir los paréntesis:
Ejemplo 2 Abra los paréntesis y agregue términos similares en la siguiente expresión:
1) Ampliar los corchetes:
2) Presentamos términos similares. Esta vez, para ahorrar tiempo y espacio, no escribiremos cómo se multiplican los coeficientes por la parte común de las letras
Ejemplo 3 Simplificar expresión 8m+3m y encuentre su valor en m=−4
1) Primero simplifiquemos la expresión. Para simplificar la expresión 8m+3m, puedes sacarle el factor común metro para corchetes:
2) Encuentra el valor de la expresión m(8+3) en m=−4. Para ello, en la expresión m(8+3) en lugar de una variable metro sustituye el numero −4
m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
La función principal de los corchetes es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. Por ejemplo, en la expresión numérica \(5 3+7\) se calculará primero la multiplicación, y luego la suma: \(5 3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\), primero se calculará la suma entre paréntesis, y solo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Ejemplo.
Expanda el corchete: \(-(4m+3)\).
Solución
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Ejemplo.
Expande el paréntesis y da los términos similares \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solución
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Solución
: Tenemos \(3\) y \(-x\) entre paréntesis, y cinco delante del paréntesis. Esto quiere decir que cada miembro del paréntesis se multiplica por \(5\) - les recuerdo que el signo de multiplicación entre un número y un paréntesis en matemáticas no se escribe para reducir el tamaño de los registros.
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Solución
: Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).
Ejemplo.
Simplifica la expresión: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solución
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:
\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)
Ejemplo.
Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solución
: Tenemos un producto de paréntesis y se puede abrir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Retire el primer soporte: cada uno de sus miembros se multiplica por el segundo soporte:
Paso 2. Expande los productos del soporte por el factor como se describe arriba:
- el primero primero...
Luego el segundo.
Paso 3. Ahora multiplicamos y traemos términos semejantes:
No es necesario pintar todas las transformaciones en detalle, puedes multiplicarlas inmediatamente. Pero si solo está aprendiendo a abrir corchetes, escriba en detalle, habrá menos posibilidades de cometer un error.
Nota para toda la sección. De hecho, no necesitas recordar las cuatro reglas, solo necesitas recordar una, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.
paréntesis dentro de paréntesis
A veces, en la práctica, hay problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. He aquí un ejemplo de tal tarea: simplificar la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).
Para tener éxito en estas tareas, necesita:
- comprenda cuidadosamente el anidamiento de los soportes: cuál está en cuál;
- abra los paréntesis secuencialmente, empezando, por ejemplo, por el más interior.
Es importante al abrir uno de los soportes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Tomemos la tarea anterior como ejemplo.
Ejemplo.
Abre los paréntesis y da los términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solución:
Ejemplo.
Expande los paréntesis y da términos semejantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solución
:
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\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Esta es una anidación triple de paréntesis. Comenzamos con el más interno (resaltado en verde). Hay un signo más delante del paréntesis, por lo que simplemente se elimina. |
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\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Ahora necesitas abrir el segundo soporte, intermedio. Pero antes de eso, simplificaremos la expresión ocultando términos similares en este segundo paréntesis. |
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\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Ahora abrimos el segundo corchete (resaltado en azul). Hay un multiplicador delante del paréntesis, por lo que cada término del paréntesis se multiplica por él. |
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\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
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Y abre el último paréntesis. Antes del corchete menos, por lo que todos los signos están invertidos. |
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La apertura de corchetes es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible tener una calificación superior a tres en los grados 8 y 9. Por lo tanto, recomiendo una buena comprensión de este tema.
"Corchetes de apertura" - Libro de texto de Matemáticas Grado 6 (Vilenkin)
Breve descripción:
En esta sección, aprenderá cómo abrir paréntesis en ejemplos. ¿Para qué sirve? Todo por lo mismo que antes: para que sea cada vez más fácil para usted contar, para permitirle menos errores, e idealmente (el sueño de tu profesor de matemáticas) para poder resolver todo sin errores en general.
Ya sabes que los corchetes en notación matemática se establecen si dos signos matemáticos van seguidos, si queremos mostrar la unión de números, su reordenamiento. Expandir corchetes significa deshacerse de caracteres adicionales. Por ejemplo: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. ¿Recuerdas la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma? De hecho, en ese ejemplo, también eliminamos los corchetes para simplificar los cálculos. La propiedad nombrada de la multiplicación también se puede aplicar a cuatro, tres, cinco o más términos. Por ejemplo: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. ¿Has notado que al abrir paréntesis, los números en ellos no cambian de signo si el número delante de los paréntesis es positivo? Después de todo, quince es un número positivo. Y si resuelves este ejemplo: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Teníamos un número negativo menos quince delante de los corchetes, cuando abrimos los corchetes todos los números comenzaron a cambiar su signo a otro, al contrario, de más a menos.
Con base en los ejemplos anteriores, se pueden expresar dos reglas básicas para abrir corchetes:
1. Si tiene un número positivo delante de los corchetes, luego de abrir los corchetes, todos los signos de los números en los corchetes no cambian, sino que permanecen exactamente iguales a como eran.
2. Si tiene un número negativo delante de los corchetes, luego de abrir los corchetes, el signo menos ya no se escribe, y los signos de todos los números absolutos en los corchetes se invierten bruscamente.
Por ejemplo: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Compliquemos un poco nuestros ejemplos: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Notaste que al abrir los segundos corchetes, multiplicamos por 2, pero los signos quedaron igual que antes. Y aquí hay un ejemplo: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, en este ejemplo el número dos es negativo, es está delante de los soportes con un signo menos, por lo tanto, al abrirlos, cambiamos los signos de los números a los opuestos (nueve estaba con un más, se convirtió en un menos, ocho estaba en un menos, se convirtió en un más ).
Los paréntesis se utilizan para indicar el orden en que se realizan las acciones en expresiones numéricas y alfabéticas, así como en expresiones con variables. Es conveniente pasar de una expresión entre paréntesis a idénticamente expresión igual sin paréntesis. Esta técnica se llama apertura de paréntesis.
Expandir corchetes significa eliminar la expresión de estos corchetes.
Otro punto merece especial atención, que se refiere a las peculiaridades de escribir soluciones al abrir corchetes. Podemos escribir la expresión inicial entre paréntesis y el resultado obtenido tras abrir los paréntesis como igualdad. Por ejemplo, después de abrir los paréntesis, en lugar de la expresión
3−(5−7) obtenemos la expresión 3−5+7. Podemos escribir ambas expresiones como la igualdad 3−(5−7)=3−5+7.
y uno mas punto importante. En matemáticas, para reducir las entradas, se acostumbra no escribir un signo más si es el primero de una expresión o entre paréntesis. Por ejemplo, si sumamos dos números positivos, por ejemplo, siete y tres, no escribimos +7 + 3, sino simplemente 7 + 3, a pesar de que siete también es un número positivo. Del mismo modo, si ve, por ejemplo, la expresión (5 + x), sepa que hay un signo más delante del corchete, que no está escrito, y hay un signo más + (+5 + x) delante del cinco.
Regla de expansión de paréntesis para la suma
Al abrir corchetes, si hay un signo más antes de los corchetes, este signo más se omite junto con los corchetes.
Ejemplo. Abra los paréntesis en la expresión 2 + (7 + 3) Antes de los paréntesis más, entonces los caracteres delante de los números entre paréntesis no cambian.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
La regla para expandir corchetes al restar
Si hay un menos antes de los corchetes, entonces este menos se omite junto con los corchetes, pero los términos que estaban entre paréntesis cambian su signo al contrario. La ausencia de un signo antes del primer término entre paréntesis implica un signo +.
Ejemplo. Abra los corchetes en la expresión 2 − (7 + 3)
Hay un signo menos antes de los corchetes, por lo que debe cambiar los signos antes de los números de los corchetes. No hay ningún signo entre paréntesis antes del número 7, lo que significa que el siete es positivo, se considera que el signo + está delante de él.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Al abrir los corchetes, eliminamos el signo menos del ejemplo, que estaba antes de los corchetes, y los corchetes mismos 2 − (+ 7 + 3), y cambiamos los signos que estaban entre paréntesis por los opuestos.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Expansión de paréntesis al multiplicar
Si hay un signo de multiplicación delante de los paréntesis, entonces cada número dentro de los paréntesis se multiplica por el factor delante de los paréntesis. Al mismo tiempo, multiplicar un menos por un menos da un más, y multiplicar un menos por un más, como multiplicar un más por un menos, da un menos.
Así, los paréntesis en las obras se amplían de acuerdo con Propiedad distributiva multiplicación.
Ejemplo. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Al multiplicar paréntesis por paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo paréntesis.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
De hecho, no es necesario recordar todas las reglas, basta con recordar solo una, esta: c(a−b)=ca−cb. ¿Por qué? Porque si sustituimos uno en lugar de c, obtenemos la regla (a−b)=a−b. Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla −(a−b)=−a+b. Bueno, si sustituyes otro paréntesis en lugar de c, puedes obtener la última regla.
Expandir paréntesis al dividir
Si hay un signo de división después de los paréntesis, entonces cada número dentro de los paréntesis es divisible por el divisor después de los paréntesis y viceversa.
Ejemplo. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Cómo expandir paréntesis anidados
Si la expresión contiene paréntesis anidados, se expanden en orden, comenzando con externo o interno.
Al mismo tiempo, al abrir uno de los corchetes, es importante no tocar los otros corchetes, simplemente volver a escribirlos tal como están.
Ejemplo. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b