Resolver problemas y algunas expresiones no siempre conduce a respuestas numéricas limpias. Incluso en el caso de cálculos triviales, uno puede llegar a cierta construcción, llamada expresión con una variable.
Por ejemplo, considere dos problemas prácticos. En el primer caso, tenemos una planta que produce 5 toneladas de leche al día. Es necesario encontrar cuánta leche produce la planta en p días.
En el segundo caso, se tiene un rectángulo cuyo ancho es de 5 cm y largo p cm, encuentra el área de la figura.
Por supuesto, si una fábrica produce cinco toneladas por día, entonces en p días, según la lógica matemática más simple, producirá 5r toneladas de leche. Por otro lado, el área de un rectángulo es igual al producto de sus lados, es decir, en este caso es 5p. En otras palabras, en dos problemas triviales con diferentes condiciones, la respuesta es una expresión completa - 5p. Tales monomios se llaman expresión con variable, ya que además de la parte numérica contienen alguna letra, llamada incógnita o variable. Este elemento se designa minúscula el alfabeto latino, más a menudo, x o y, aunque esto no importa.
Una característica de una variable es que puede tomar cualquier valor en la práctica. Sustituyendo números diferentes, obtendremos la solución final para nuestras tareas, por ejemplo, para la primera:
p = 2 días, la planta produce 5p = 10 toneladas de leche;
p = 4 días, la planta produce 5p = 20 toneladas de leche;
O para el segundo:
p \u003d 10 cm, el área de la figura es 5p \u003d 50 cm2
p \u003d 20 cm, el área de la figura es 5p \u003d 100 cm2
Es importante entender que p no es un conjunto de algunos valores individuales, sino el conjunto completo que corresponderá matemáticamente a la condición del problema. La función principal de una variable es reemplazar el elemento que falta en una condición. Ninguna problema matematico debe incluir algunas construcciones y mostrar la relación entre estas construcciones en la condición. Si el valor de cualquier objeto no es suficiente, se introduce una variable en su lugar. Al mismo tiempo, es una sustitución abstracta del elemento mismo de la condición (la cantidad de algo representada por un número o expresión), y no por conexiones funcionales.
Si consideramos una expresión de la forma 5p como un objeto neutral e independiente, entonces el valor de p en ella puede tomar cualquier valor, de hecho, p aquí es igual al conjunto de todos numeros reales.
Pero en nuestros problemas, se imponen ciertas restricciones matemáticas a la respuesta en forma de 5p, que se derivan de las condiciones. Por ejemplo, days y days no pueden ser negativos, por lo que p en ambos problemas siempre es cero o más de eso. Además, los días no pueden ser fraccionarios: para la primera tarea, solo son válidos los valores p que son números enteros positivos.
En el primer problema: p es igual al conjunto finito de todos los enteros positivos;
En el segundo problema: p es igual al conjunto finito de todos los números positivos.
Las expresiones pueden incluir dos variables a la vez, por ejemplo:
En este caso, el binomio está representado por dos monomios, cada uno de los cuales tiene una variable en su composición, y estas variables son diferentes, es decir, independientes entre sí. El valor de esta expresión se puede calcular completamente solo si el valor de ambas variables está presente. Por ejemplo, si x = 2 y y = 4, entonces:
2x + 3y \u003d 4 + 12 \u003d 16 (para x \u003d 2, y \u003d 4)
Vale la pena señalar que en esta expresión no hay restricciones matemáticas o lógicas sobre los valores de la variable: tanto x como y pertenecen al conjunto completo de números reales.
En términos generales, el conjunto de todos los números, al sustituir una variable, la expresión conserva significado y validez, se denomina dominio de definición (o valor) de la variable.
En ejemplos abstractos que no están relacionados con problemas reales, el alcance de una variable suele ser igual al conjunto completo de números reales o está limitado por algunas construcciones, por ejemplo, una fracción. Como sabes, cuando el divisor es cero, la fracción entera pierde su significado. Por lo tanto, una variable en una expresión de la forma:
no puede ser igual a cinco, porque entonces:
7x / (x - 5) \u003d 7x / 0 (para x \u003d 5)
Y la fracción perderá su significado. Por lo tanto, para esta expresión, la variable x tiene un dominio de definición: el conjunto de todos los números excepto el 5.
En nuestro videotutorial, también se observa un caso especial de uso de variables, cuando denotan un número del mismo orden. Por ejemplo, los números 54, 30, 78 se pueden especificar a través de la variable a, o a través de la construcción ab (con una barra horizontal en la parte superior, para distinguirlos del producto), donde b especifica unidades (4, 0, 8, respectivamente ), y decenas (respectivamente, 5, 3, 7).
Consideremos un pequeño problema que a menudo se encuentra en varias revistas y trucos de magia.
El mago te pide que adivines un cierto número. Luego pide multiplicarlo por tres y sumar seis al resultado. Luego pide dividir la cantidad recibida por tres y restar el número resultante del resultado. Luego te dice la respuesta correcta.
¿Cómo sucede esto, es realmente mágico?
No, en realidad es más fácil. Pensemos en el número 5. Ahora realizaremos todas las acciones que nos ofreció el mago.
- 1. 5*3=15.
- 2. 15+6=21.
- 3. 21:3=7.
- 4. 7-5=2.
Recibimos dos en respuesta. Podríamos escribir la misma solución como una expresión numérica (5 * 3 + 6): 3 - 5. Y su valor sería el número 2.
Ahora, digamos que concebimos el número 3. El resultado sería una expresión numérica (3 * 3 + 6): 3 - 3. Y su valor sería el número 2.
Dos de nuevo. Surge la idea de que aquí no hay truco, y en cualquier caso se obtendrá el número 2. Intentemos verificar esto. Denotemos el número que hemos concebido con la letra x, y escribamos todas las acciones que el mago pidió hacer en el orden requerido.
- Obtenemos (x * 3 + 6): 3 -x.
- (x * 3 + 6): 3 - x \u003d x + 2-x \u003d 2.
Resulta que el número concebido por nosotros no juega ningún papel en absoluto, se reducirá en cualquier caso.
En el análisis del problema, obtuvimos la expresión (x * 3 + 6): 3 -x, que se escribe usando una letra que denota cualquier número, los números 3 y 6, corchetes y signos de acción. Tal expresión se llama expresión algebraica o expresión con una variable.
Definición de una expresión con una variable
- Una expresión algebraica o una expresión con una variable se llama cualquier notación significativa que consiste en letras que denotan cualquier número, números y signos de acción.
Por ejemplo, las siguientes entradas serían expresiones algebraicas:
- 2*(x+y),
- 34*a-13*a*x,
- (123-65*a): 3+4.
Si en lugar de cada letra que se incluye en la expresión algebraica, sustituimos un cierto valor numérico y luego realizamos todas las acciones, entonces el resultado será un cierto número. Este número se llama sentido expresión algebraica.
Por ejemplo, el valor de la expresión algebraica 5*a+2*x-7 con a=2 y x=3 será el número 9, ya que 5*2+2*3 -7 = 9.
En el problema que planteamos al principio, el valor de la expresión algebraica (x * 3 + 6): 3 - x será el número 2, para cualquier valor de la variable x.
Las expresiones formadas por números, signos de acción y corchetes se denominan expresiones numéricas. El número que es el resultado de realizar todas las acciones en una expresión numérica se llama el valor de una expresión numérica. SOBRE expresiones numéricas que no importa dicen que son no tiene sentido.
Los signos se usan para comparar números. 
,
,
,
,
. En este caso, las desigualdades dobles de la forma 
etc Desigualdades que usan signos 
Y 
, llamado estricto, que utilizan signos 
Y 
,
–no estricto.
Las expresiones formadas por números, letras, signos de acción y corchetes se denominan expresiones literales o expresiones variables o con variables. El conjunto de valores de variables para los cuales la expresión con la variable tiene un valor numérico (tiene sentido) se llama rango válido variable de esta expresión.
Las expresiones variables se utilizan para escribir números. cierto tipo. Por ejemplo, la entrada 
significa cualquier número de tres dígitos que tiene 
cientos 
docenas y 
unidades, es decir 
. Usando expresiones literales, es conveniente escribir reglas matemáticas, leyes, definiciones. Por ejemplo, definicion de modulo(valor absoluto) números
se puede escribir asi: 
.
Elementos de la estadística
Una serie de números obtenidos como resultado de un estudio estadístico se llama muestra estadística o simplemente muestreo, y cada número en esta serie es opción muestras. El número de números en una fila se llama volumen muestras Grabar una muestra cuando la siguiente opción no es menor que la anterior se llama serie ordenada de datos(o serie variacional).
Media aritmética de la muestra se llama el cociente de la suma de todas las variantes de la muestra y el número de variantes (es decir, el cociente de la suma de todas las variantes y volumen muestras). El número de ocurrencias de la misma variante en la muestra se llama frecuencia esta opción. La muestra con la frecuencia más alta se llama muestras de moda. La diferencia entre la muestra más grande y la más pequeña se llama a gran escala muestras. Si hay un número impar de variantes en la serie de datos ordenados, el promedio de la puntuación de las variantes se llama mediana. Si hay un número par de variantes en la serie ordenada, entonces la media aritmética de los dos promedios de la variante se llama mediana.
opción preparatoria
Escribir las condiciones de los problemas usando la notación aceptada en matemáticas conduce a la aparición de las llamadas expresiones matemáticas, que simplemente se denominan expresiones. En este artículo, hablaremos en detalle sobre expresiones numéricas, literales y variables: daremos definiciones y daremos ejemplos de expresiones de cada tipo.
Navegación de página.
Expresiones numéricas: ¿qué es?
El conocimiento de las expresiones numéricas comienza casi desde las primeras lecciones de matemáticas. Pero su nombre, expresiones numéricas, adquieren oficialmente un poco más tarde. Por ejemplo, si sigue el curso de M. I. Moro, esto sucede en las páginas de un libro de texto de matemáticas para el grado 2. Allí, la representación de las expresiones numéricas se da de la siguiente manera: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - esto es todo expresiones numéricas, y si realizamos las acciones indicadas en la expresión, entonces encontraremos valor de expresión.
Se puede concluir que en esta etapa del estudio de las matemáticas, las expresiones numéricas se denominan registros que tienen significado matemático, compuestos por números, corchetes y signos de suma y resta.
Un poco más tarde, después de familiarizarse con la multiplicación y la división, las entradas de las expresiones numéricas comienzan a contener los signos "·" y ":". Estos son algunos ejemplos: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 etc.
Y en la escuela secundaria, la variedad de entradas para expresiones numéricas crece como una bola de nieve que rueda montaña abajo. parecen ordinarios y decimales, Numeros mezclados Y números negativos, grados, raíces, logaritmos, senos, cosenos, etc.
Resumamos toda la información en la definición de una expresión numérica:
Definición.
expresión numérica es una combinación de números, signos de operaciones aritméticas, trazos fraccionarios, signos de raíces (radicales), logaritmos, notación de funciones trigonométricas, trigonométricas inversas y otras funciones, así como corchetes y otros símbolos matemáticos especiales, compilados de acuerdo con las reglas aceptadas en matemáticas.
Expliquemos todas las partes constituyentes de la definición sonora.
Absolutamente cualquier número puede participar en expresiones numéricas: de natural a real, e incluso complejo. Es decir, en expresiones numéricas se puede encontrar
Con los signos de las operaciones aritméticas, todo está claro: estos son los signos de suma, resta, multiplicación y división, respectivamente, que tienen la forma "+", "−", "·" y ":". En las expresiones numéricas puede estar presente uno de estos caracteres, algunos de ellos, o todos a la vez, y más de una vez. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.
En cuanto a los corchetes, existen tanto expresiones numéricas en las que hay corchetes como expresiones sin ellos. Si hay corchetes en una expresión numérica, entonces son básicamente
Y a veces los corchetes en expresiones numéricas tienen algún propósito especial específico, indicado por separado. Por ejemplo, puedes conocer corchetes que denota la parte entera del número, por lo que la expresión numérica +2 significa que el número 2 se suma a la parte entera del número 1,75.
A partir de la definición de una expresión numérica, también queda claro que la expresión puede contener , , log , ln , lg , designaciones, etc. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 y 
.
La división en expresiones numéricas se puede denotar con . En este caso, hay expresiones numéricas con fracciones. Estos son ejemplos de tales expresiones: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 y 
.
Como símbolos y notaciones matemáticas especiales que se pueden encontrar en expresiones numéricas, damos. Por ejemplo, mostremos una expresión numérica con un módulo 
.
¿Qué son las expresiones literales?
El concepto de expresiones literales se da casi inmediatamente después de familiarizarse con las expresiones numéricas. Se ingresa así. En cierta expresión numérica no se escribe uno de los números, sino que se pone en su lugar un círculo (o un cuadrado, o algo similar), y se dice que cierto número puede sustituir al círculo. Tomemos la entrada como ejemplo. Si pones, por ejemplo, el número 2 en lugar de un cuadrado, obtienes una expresión numérica 3 + 2. Así que en lugar de círculos, cuadrados, etc. acordó escribir cartas, y tales expresiones con letras se llamaron expresiones literales. Volvamos a nuestro ejemplo, si en esta entrada en lugar de un cuadrado ponemos la letra a, entonces obtenemos una expresión literal de la forma 3+a.
Entonces, si permitimos la presencia de letras en una expresión numérica, que denotan algunos números, entonces obtenemos la llamada expresión literal. Demos una definición adecuada.
Definición.
Una expresión que contiene letras que denotan algunos números se llama expresión literal.
Desde esta definición está claro que fundamentalmente una expresión literal difiere de una expresión numérica en que puede contener letras. Por lo general, en las expresiones literales se utilizan minúsculas del alfabeto latino (a, b, c,...), y cuando se denotan ángulos, minúsculas del alfabeto griego (α, β, γ,...).
Entonces, las expresiones literales pueden estar compuestas de números, letras y contener todos los símbolos matemáticos que se pueden encontrar en las expresiones numéricas, como paréntesis, signos de raíz, logaritmos, funciones trigonométricas y otras, etc. Por separado, enfatizamos que una expresión literal contiene al menos una letra. Pero también puede contener varias letras iguales o diferentes.
Ahora damos algunos ejemplos de expresiones literales. Por ejemplo, a+b es una expresión literal con las letras a y b. Aquí hay otro ejemplo de la expresión literal 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. Y damos un ejemplo de una expresión literal tipo complejo: 
.
Expresiones con variables
Si en una expresión literal una letra denota un valor que no toma ningún valor específico, pero puede tomar varios significados, entonces esta letra se llama variable y la expresión se llama expresión variable.
Definición.
Expresión con variables es una expresión literal en la que las letras (todas o algunas) denotan cantidades que toman diferentes valores.
Por ejemplo, supongamos que en la expresión x 2 −1 la letra x puede tomar cualquier valor natural del intervalo de 0 a 10, entonces x es una variable y la expresión x 2 −1 es una expresión con la variable x .
Vale la pena señalar que puede haber varias variables en una expresión. Por ejemplo, si consideramos x e y como variables, entonces la expresión 
es una expresión con dos variables x e y .
En general, la transición del concepto de expresión literal a una expresión con variables se da en el 7° grado, cuando comienzan a estudiar álgebra. Hasta este punto, las expresiones literales han modelado algunas tareas específicas. En álgebra, comienzan a ver la expresión de manera más general, sin estar atados a una tarea específica, entendiendo que expresión dada adecuado para una amplia gama de tareas.
Para concluir este párrafo, prestemos atención a un punto más: según apariencia expresión literal, es imposible saber si las letras que contiene son variables o no. Por tanto, nada nos impide considerar estas letras como variables. En este caso desaparece la diferencia entre los términos "expresión literal" y "expresión con variables".
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