La lección en video "Simplificación de expresiones trigonométricas" está diseñada para formar las habilidades de los estudiantes para resolver problemas trigonométricos utilizando identidades trigonométricas básicas. Durante la lección en video, se consideran tipos de identidades trigonométricas, ejemplos de cómo resolver problemas usándolos. Usando ayudas visuales, es más fácil para el maestro lograr los objetivos de la lección. Una presentación vívida del material contribuye a la memorización. puntos importantes. El uso de efectos de animación y actuación de voz le permite reemplazar completamente al maestro en la etapa de explicación del material. Por lo tanto, al usar esta ayuda visual en las lecciones de matemáticas, el maestro puede aumentar la efectividad de la enseñanza.
Al comienzo de la lección en video, se anuncia su tema. Luego se recuerdan las identidades trigonométricas estudiadas anteriormente. La pantalla muestra las igualdades sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, donde t≠π/2+πk para kϵZ, ctg t=cos t/sen t, cierto para t≠πk, donde kϵZ, tan t · ctg t=1, at t≠πk/2, donde kϵZ, llamadas identidades trigonométricas básicas. Se observa que estas identidades se utilizan a menudo en la resolución de problemas en los que es necesario probar la igualdad o simplificar la expresión.
Además, se consideran ejemplos de la aplicación de estas identidades en la resolución de problemas. En primer lugar, se propone considerar la resolución de problemas de simplificación de expresiones. En el ejemplo 1, es necesario simplificar la expresión cos 2 t- cos 4 t+ sen 4 t. Para resolver el ejemplo, primero se pone entre paréntesis el factor común cos 2 t. Como resultado de tal transformación entre paréntesis, se obtiene la expresión 1-cos 2 t, cuyo valor a partir de la identidad básica de la trigonometría es igual a sen 2 t. Después de la transformación de la expresión, es obvio que se puede quitar entre paréntesis otro factor común sen 2 t, después de lo cual la expresión toma la forma sen 2 t (sen 2 t + cos 2 t). De la misma identidad básica, deducimos el valor de la expresión entre paréntesis igual a 1. Como resultado de la simplificación, obtenemos cos 2 t- cos 4 t+ sen 4 t= sen 2 t.
En el ejemplo 2, la expresión costo/(1- sint)+ costo/(1+ sint) también debe simplificarse. Dado que la expresión costo está en los numeradores de ambas fracciones, se puede poner entre paréntesis como factor común. Las fracciones entre paréntesis luego se reducen a común denominador multiplicación (1- sint)(1+ sint). Después de la reducción de términos similares, 2 permanece en el numerador y 1 - sen 2 t en el denominador. En el lado derecho de la pantalla, se recuerda la identidad trigonométrica básica sen 2 t+cos 2 t=1. Usándolo, encontramos el denominador de la fracción cos 2 t. Después de reducir la fracción, obtenemos una forma simplificada de la expresión costo / (1- sint) + costo / (1 + sint) \u003d 2 / costo.
A continuación, consideramos ejemplos de demostración de identidades en los que se aplica el conocimiento adquirido sobre las identidades básicas de la trigonometría. En el Ejemplo 3, es necesario probar la identidad (tg 2 t-sen 2 t)·ctg 2 t=sen 2 t. El lado derecho de la pantalla muestra tres identidades que serán necesarias para la prueba: tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t y tg t=sin t/cos t con restricciones. Para probar la identidad, primero se abren los corchetes, después de lo cual se forma un producto que refleja la expresión de la identidad trigonométrica principal tg t·ctg t=1. Luego, según la identidad de la definición de cotangente, ctg 2 t se transforma. Como resultado de las transformaciones, se obtiene la expresión 1-cos 2 t. Usando la identidad básica, encontramos el valor de la expresión. Así, se prueba que (tg 2 t-sen 2 t)·ctg 2 t=sen 2 t.
En el ejemplo 4, debe encontrar el valor de la expresión tg 2 t+ctg 2 t si tg t+ctg t=6. Para evaluar la expresión, primero se elevan al cuadrado los lados derecho e izquierdo de la ecuación (tg t+ctg t) 2 =6 2. La fórmula de multiplicación abreviada se muestra en el lado derecho de la pantalla. Después de abrir los paréntesis del lado izquierdo de la expresión, se forma la suma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, para cuya transformación se puede aplicar una de las identidades trigonométricas tg t ctg t=1, cuya forma se recuerda en el lado derecho de la pantalla. Después de la transformación se obtiene la igualdad tg 2 t+ctg 2 t=34. El lado izquierdo de la igualdad coincide con la condición del problema, por lo que la respuesta es 34. El problema está resuelto.
Se recomienda utilizar el video tutorial "Simplificación de expresiones trigonométricas" en un lección de la escuela matemáticas. Asimismo, el material será de utilidad para el docente, realizando la educación a distancia. Con el fin de formar una habilidad en la resolución de problemas trigonométricos.
INTERPRETACIÓN DEL TEXTO:
"Simplificación de expresiones trigonométricas".
Igualdad
1) sen 2 t + cos 2 t = 1 (seno al cuadrado te más coseno al cuadrado te es igual a uno)
2) tgt =, en t ≠ + πk, kϵZ (la tangente de te es igual a la razón del seno de te al coseno de te cuando te no es igual a pi por dos más pi ka, ka pertenece a zet)
3) ctgt = , en t ≠ πk, kϵZ (la cotangente de te es igual a la razón del coseno de te al seno de te cuando te no es igual al pico de ka, que pertenece a z).
4) tgt ∙ ctgt = 1 para t ≠ , kϵZ
se llaman identidades trigonométricas básicas.
A menudo se utilizan para simplificar y probar expresiones trigonométricas.
Considere ejemplos del uso de estas fórmulas al simplificar expresiones trigonométricas.
EJEMPLO 1. Simplifica la expresión: cos 2 t - cos 4 t + sen 4 t. (expresión a coseno al cuadrado te menos coseno de cuarto grado de te más seno de cuarto grado de te).
Solución. cos 2 t - cos 4 t + sen 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sen 4 t = cos 2 t ∙ sen 2 t + sen 4 t = sen 2 t (cos 2 t + sen 2 t) = sen 2 t 1= sen 2 t
(sacamos el factor común coseno cuadrado te, entre paréntesis sacamos la diferencia entre la unidad y el cuadrado del coseno te, que es igual al cuadrado del seno te por la primera identidad. Obtenemos la suma del seno de la cuarta grado te del producto coseno cuadrado te y seno cuadrado te El factor común seno cuadrado te se sacará fuera de los paréntesis, entre paréntesis obtenemos la suma de los cuadrados del coseno y el seno, que, de acuerdo con la trigonometría básica identidad, es igual a 1. Como resultado, obtenemos el cuadrado del seno te).
EJEMPLO 2. Simplifica la expresión: + .
(expresión sea la suma de dos fracciones en el numerador del primer coseno te en el denominador uno menos seno te, en el numerador del segundo coseno te en el denominador del segundo más seno te).
(Sacamos el factor común coseno te de entre paréntesis, y entre paréntesis lo traemos a un denominador común, que es el producto de uno menos seno te por uno más seno te.
En el numerador obtenemos: uno más seno te más uno menos seno te, damos similares, el numerador es igual a dos después de traer similares.
En el denominador, puede aplicar la fórmula de multiplicación abreviada (diferencia de cuadrados) y obtener la diferencia entre la unidad y el cuadrado del seno te, que, de acuerdo con la identidad trigonométrica básica
es igual al cuadrado del coseno te. Después de reducir por el coseno te, obtenemos la respuesta final: dos dividido por el coseno te).
Considere ejemplos del uso de estas fórmulas en la prueba de expresiones trigonométricas.
EJEMPLO 3. Demostrar la identidad (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (el producto de la diferencia entre los cuadrados de la tangente de te y el seno de te y el cuadrado de la cotangente de te es igual al cuadrado del seno de te).
Prueba.
Transformemos el lado izquierdo de la igualdad:
(tg 2 t - sen 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sen 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sen 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sen 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sen 2 t
(Abramos los paréntesis, de la relación obtenida anteriormente se sabe que el producto de los cuadrados de la tangente de te por la cotangente de te es igual a uno. Recuerda que la cotangente de te es igual a la razón del coseno de te al seno de te, lo que significa que el cuadrado de la cotangente es la razón del cuadrado del coseno de te al cuadrado del seno de te.
Después de reducir por el seno al cuadrado de te, obtenemos la diferencia entre la unidad y el coseno del cuadrado de te, que es igual al seno del cuadrado de te). QED
EJEMPLO 4. Encuentra el valor de la expresión tg 2 t + ctg 2 t si tgt + ctgt = 6.
(la suma de los cuadrados de la tangente de te y la cotangente de te, si la suma de la tangente y la cotangente es seis).
Solución. (tgt + ctgt) 2 = 6 2
tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36
tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36
tg 2 t + ctg 2 t = 36-2
tg 2 t + ctg 2 t = 34
Elevemos al cuadrado ambas partes de la igualdad original:
(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (el cuadrado de la suma de la tangente de te y la cotangente de te es seis al cuadrado). Recuerda la fórmula de multiplicación abreviada: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera más el doble del producto de la primera y la segunda más el cuadrado de la segunda. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Obtenemos tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .
Dado que el producto de la tangente de te y la cotangente de te es igual a uno, entonces tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (la suma de los cuadrados de la tangente de te y la cotangente de te y dos es treinta y seis),
Lección 1
Tema: Grado 11 (preparación para el examen)
Simplificación de expresiones trigonométricas.
Solución de las ecuaciones trigonométricas más sencillas. (2 horas)
Objetivos:
- Sistematizar, generalizar, ampliar los conocimientos y habilidades de los estudiantes relacionados con el uso de fórmulas trigonométricas y la solución de las ecuaciones trigonométricas más sencillas.
Equipo para la lección:
Estructura de la lección:
- Orgmomento
- Pruebas en portátiles. La discusión de los resultados.
- Simplificar expresiones trigonométricas
- Solución de las ecuaciones trigonométricas más simples
- Trabajo independiente.
- Resumen de la lección. Explicación de la tarea.
1. Momento organizativo. (2 minutos.)
El maestro da la bienvenida a la audiencia, anuncia el tema de la lección, recuerda que la tarea se le dio previamente para repetir las fórmulas trigonométricas y prepara a los estudiantes para la prueba.
2. Pruebas. (15min + 3min discusión)
El objetivo es poner a prueba el conocimiento de las fórmulas trigonométricas y la capacidad para aplicarlas. Cada estudiante tiene una computadora portátil en su escritorio en la que hay una opción de prueba.
Puede haber cualquier cantidad de opciones, daré un ejemplo de una de ellas:
Yo opción.
Simplificar expresiones:
a) identidades trigonométricas básicas
1. sen 2 3y + cos 2 3y + 1;
b) fórmulas de suma
3. sin5x - sin3x;
c) convertir un producto en una suma
6. 2sen8y cos3y;
d) fórmulas de doble ángulo
7.2sen5x cos5x;
e) fórmulas de medio ángulo
f) fórmulas de triple ángulo
g) sustitución universal
h) bajar el grado
16. porque 2 (3x/7);
Los estudiantes en una computadora portátil frente a cada fórmula ven sus respuestas.
La computadora verifica instantáneamente el trabajo. Los resultados se muestran en una pantalla grande para que todos los vean.
Además, una vez finalizado el trabajo, las respuestas correctas se muestran en las computadoras portátiles de los estudiantes. Cada estudiante ve dónde se cometió el error y qué fórmulas necesita repetir.
3. Simplificación de expresiones trigonométricas. (25 minutos)
El objetivo es repetir, trabajar y consolidar la aplicación de las fórmulas básicas de la trigonometría. Resolución de problemas B7 del examen.
Sobre el este escenario es recomendable dividir la clase en grupos de alumnos fuertes (trabajan de forma independiente con verificación posterior) y alumnos débiles que trabajan con el profesor.
Tarea para estudiantes fuertes (preparada de antemano para base impresa). El énfasis principal está en las fórmulas de reducción y doble ángulo, según la USE 2011.
Simplifique las expresiones (para estudiantes fuertes):
Paralelamente, el profesor trabaja con alumnos débiles, discutiendo y resolviendo tareas en la pantalla bajo el dictado de los alumnos.
Calcular:
5) sen(270º - α) + cos(270º + α)
6) 
Simplificar:
Llegó el turno de discutir los resultados del trabajo del grupo fuerte.
Las respuestas aparecen en la pantalla, y también, con la ayuda de una cámara de video, se muestra el trabajo de 5 estudiantes diferentes (una tarea para cada uno).
El grupo débil ve la condición y el método de solución. Hay discusión y análisis. Con el uso de medios técnicos, esto sucede rápidamente.
4. Solución de las ecuaciones trigonométricas más sencillas. (30 minutos.)
El objetivo es repetir, sistematizar y generalizar la solución de las ecuaciones trigonométricas más sencillas, registrando sus raíces. Solución del problema B3.
Cualquier ecuación trigonométrica, sin importar cómo la resolvamos, conduce a la más simple.
Al completar la tarea, los estudiantes deben prestar atención a escribir las raíces de las ecuaciones de casos especiales y vista general y en la selección de raíces en la última ecuación.
Resolver ecuaciones:
Escribe la raíz positiva más pequeña de la respuesta.
5. Trabajo independiente (10 min.)
El objetivo es poner a prueba las habilidades adquiridas, identificar problemas, errores y formas de eliminarlos.
Se ofrece una variedad de trabajos a elección del estudiante.
Opción para "3"
1) Encuentra el valor de la expresión 
2) Simplifica la expresión 1 - sen 2 3α - cos 2 3α
3) Resuelve la ecuación 
Opción para "4"
1) Encuentra el valor de la expresión
2) Resuelve la ecuación 
Escribe la raíz positiva más pequeña de tu respuesta.
Opción para "5"
1) Hallar tgα si 
2) Encuentra la raíz de la ecuación 
Escribe la raíz positiva más pequeña de tu respuesta.
6. Resumen de la lección (5 min.)
El profesor resume lo que se repitió y consolidó en la lección. fórmulas trigonométricas, solución de las ecuaciones trigonométricas más simples.
La tarea se asigna (preparada de forma impresa con anticipación) con una verificación puntual en la siguiente lección.
Resolver ecuaciones:
9) 
10) 
Da tu respuesta como la raíz positiva más pequeña.
Lección 2
Tema: Grado 11 (preparación para el examen)
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. Selección de raíces. (2 horas)
Objetivos:
- Generalizar y sistematizar conocimientos sobre resolución de ecuaciones trigonométricas de diversa índole.
- Para promover el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes, la capacidad de observar, comparar, generalizar, clasificar.
- Animar a los estudiantes a superar las dificultades en el proceso. actividad mental al autocontrol, al autoanálisis de sus actividades.
Equipo para la lección: KRMu, portátiles para cada alumno.
Estructura de la lección:
- Orgmomento
- Discusión d/sy samot. el trabajo de la última lección
- Repetición de métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
- Resolver ecuaciones trigonométricas
- Selección de raíces en ecuaciones trigonométricas.
- Trabajo independiente.
- Resumen de la lección. Tarea.
1. Momento organizativo (2 min.)
El profesor saluda a la audiencia, anuncia el tema de la lección y el plan de trabajo.
2. a) Análisis tarea(5 minutos.)
El objetivo es comprobar el rendimiento. Un trabajo con la ayuda de una cámara de video se muestra en la pantalla, el resto se recopila selectivamente para que el maestro lo revise.
b) Análisis del trabajo independiente (3 min.)
El objetivo es corregir los errores, indicar formas de superarlos.
En la pantalla están las respuestas y soluciones, los alumnos han pre-emitido su trabajo. El análisis va rápido.
3. Repetición de métodos para resolver ecuaciones trigonométricas (5 min.)
El objetivo es recordar métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
Pregunte a los estudiantes qué métodos conocen para resolver ecuaciones trigonométricas. Enfatice que existen los llamados métodos básicos (de uso frecuente):
- sustitución de variables,
- factorización,
- ecuaciones homogéneas,
y hay métodos aplicados:
- de acuerdo con las fórmulas para convertir una suma en un producto y un producto en una suma,
- por las fórmulas de reducción,
- sustitución trigonométrica universal
- introducción de un ángulo auxiliar,
- multiplicación por algunos Funcion trigonometrica.
También debe recordarse que una ecuación se puede resolver de diferentes maneras.
4. Resolución de ecuaciones trigonométricas (30 min.)
El objetivo es generalizar y consolidar conocimientos y habilidades sobre este tema, para prepararse para la resolución de C1 desde el USE.
Considero conveniente resolver ecuaciones para cada método junto con los estudiantes.
El estudiante dicta la solución, el profesor anota en la tableta, todo el proceso se muestra en la pantalla. Esto le permitirá restaurar de manera rápida y eficiente el material previamente cubierto en su memoria.
Resolver ecuaciones:
1) cambio variable 6cos 2 x + 5senx - 7 = 0
2) factorización 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0
3) homogéneo ecuaciones del pecado 2x + 3cos 2x - 2sen2x = 0
4) convertir la suma al producto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)
5) convertir el producto a la suma 2senx sin2x + cos3x = 0
6) bajando el grado de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5
7) sustitución trigonométrica universal sinx + 5cosx + 5 = 0.
Al resolver esta ecuación, se debe tener en cuenta que el uso este método conduce a un estrechamiento del dominio de definición, ya que el seno y el coseno se reemplazan por tg(x/2). Por lo tanto, antes de escribir la respuesta, es necesario verificar si los números del conjunto π + 2πn, n Z son caballos de esta ecuación.
8) introducción de un ángulo auxiliar √3senx + cosx - √2 = 0
9) multiplicación por algo trigonométrico función cos x cos2x cos4x = 1/8.
5. Selección de raíces de ecuaciones trigonométricas (20 min.)
Dado que en las condiciones de competencia feroz al ingresar a las universidades, la solución de una primera parte del examen no es suficiente, la mayoría de los estudiantes deben prestar atención a las tareas de la segunda parte (C1, C2, C3).
Por lo tanto, el propósito de esta etapa de la lección es recordar el material estudiado anteriormente, para prepararse para resolver el problema C1 del USE en 2011.
Existe ecuaciones trigonométricas, en el que es necesario seleccionar las raíces al extraer la respuesta. Esto se debe a algunas restricciones, por ejemplo: el denominador de una fracción no es cero, la expresión bajo la raíz de un grado par no es negativa, la expresión bajo el signo del logaritmo es positiva, etc.
Tales ecuaciones se consideran ecuaciones de mayor complejidad y en versión del examen están en la segunda parte, a saber, C1.
Resuelve la ecuación:
La fracción es cero si entonces 
usando el círculo unitario, seleccionaremos las raíces (ver Figura 1)
Foto 1.
obtenemos x = π + 2πn, n Z
Respuesta: π + 2πn, n Z
En la pantalla, la selección de raíces se muestra en un círculo en una imagen a color.
El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero, y el arco, al mismo tiempo, no pierde su significado. Luego
Usando el círculo unitario, seleccione las raíces (vea la Figura 2)
