Solución de ecuaciones con seno. Seno (sin x) y coseno (cos x) - propiedades, gráficos, fórmulas

El concepto de resolución de ecuaciones trigonométricas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, conviértala en una o más ecuaciones trigonométricas básicas. Resolver la ecuación trigonométrica en última instancia se reduce a resolver las cuatro ecuaciones trigonométricas básicas.

Solución de ecuaciones trigonométricas básicas.

Hay 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas:
sen x = a; porque x = un
bronceado x = a; ctg x = un
Resolver ecuaciones trigonométricas básicas implica mirar las distintas posiciones x en el círculo unitario, así como usar una tabla de conversión (o calculadora).
Ejemplo 1. sen x = 0,866. Usando una tabla de conversión (o calculadora), obtienes la respuesta: x = π/3. El círculo unitario da otra respuesta: 2π/3. Recuerda: todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten. Por ejemplo, la periodicidad de sen x y cos x es 2πn, y la periodicidad de tg x y ctg x es πn. Así que la respuesta se escribe así:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Ejemplo 2 cos x = -1/2. Usando una tabla de conversión (o calculadora), obtienes la respuesta: x = 2π/3. El círculo unitario da otra respuesta: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Ejemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
Respuesta: x \u003d π / 4 + πn.
Ejemplo 4. ctg 2x = 1.732.
Respuesta: x \u003d π / 12 + πn.

Transformaciones utilizadas en la resolución de ecuaciones trigonométricas.

Para transformar ecuaciones trigonométricas se utilizan transformaciones algebraicas (factorización, reducción miembros homogéneos etc) y identidades trigonométricas.
Ejemplo 5. Usando identidades trigonométricas, ecuación del pecado x + sen 2x + sen 3x = 0 se convierte en la ecuación 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. Por lo tanto, la siguiente base ecuaciones trigonométricas: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hallar ángulos a partir de valores conocidos de funciones.
- Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debe aprender a encontrar ángulos a partir de valores conocidos de funciones. Esto se puede hacer usando una tabla de conversión o una calculadora.
- Ejemplo: cos x = 0,732. La calculadora dará la respuesta x = 42,95 grados. El círculo unitario dará ángulos adicionales, cuyo coseno también es igual a 0.732.
Reserva la solución en el círculo unitario.
- Puedes poner soluciones a la ecuación trigonométrica en el círculo unitario. Las soluciones de la ecuación trigonométrica en el círculo unitario son los vértices de un polígono regular.
- Ejemplo: Las soluciones x = π/3 + πn/2 en el círculo unitario son los vértices del cuadrado.
- Ejemplo: Las soluciones x = π/4 + πn/3 en el círculo unitario son los vértices de un hexágono regular.
Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas.
- Si la ecuación trigonométrica dada contiene solo una función trigonométrica, resuelve esta ecuación como una ecuación trigonométrica básica. Si una ecuación dada incluye dos o más funciones trigonométricas, existen 2 métodos para resolver dicha ecuación (dependiendo de la posibilidad de su transformación).
  - Método 1
- Transforme esta ecuación en una ecuación de la forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, donde f(x), g(x), h(x) son las ecuaciones trigonométricas básicas.
- Ejemplo 6. 2cos x + sen 2x = 0. (0< x < 2π)
- Solución. Usando la fórmula del ángulo doble sin 2x = 2*sin x*cos x, reemplaza sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Ahora resuelve dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos x = 0 y (sin x + 1) = 0.
- Ejemplo 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Ahora resuelve dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2cos x + 1) = 0.
- Ejemplo 8. sen x - sen 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Solución: Usando identidades trigonométricas, transforma esta ecuación en una ecuación de la forma: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Ahora resuelve dos ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0 y (2sen x + 1) = 0.
  - Método 2
- Convierta la ecuación trigonométrica dada en una ecuación que contenga solo una función trigonométrica. Luego reemplace esta función trigonométrica con alguna incógnita, por ejemplo, t (sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, etc.).
- Ejemplo 9. 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0< x < 2π).
- Solución. En esta ecuación, reemplaza (cos^2 x) con (1 - sen^2 x) (según la identidad). La ecuación transformada se ve como:
- 3sen^2 x - 2 + 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Reemplace sen x con t. Ahora la ecuación es: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esto es ecuación cuadrática, que tiene dos raíces: t1 = -1 y t2 = 9/5. La segunda raíz t2 no satisface el rango de la función (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Ejemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Solución. Reemplace tg x con t. Reescribe la ecuación original de la siguiente manera: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Ahora encuentra t y luego encuentra x para t = tg x.

¡Puede pedir una solución detallada a su problema!

Una igualdad que contiene una incógnita bajo el signo de una función trigonométrica (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) se llama ecuación trigonométrica, y consideraremos sus fórmulas más adelante.

Las ecuaciones más simples son `sen x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, donde `x` es el ángulo que se va a encontrar, `a` es cualquier número. Escribamos las fórmulas de raíz para cada uno de ellos.

1. Ecuación `sen x=a`.

Para `|a|>1` no tiene soluciones.

Con '|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=(-1)^n arcsen a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuación `cos x=a`

Cuando `|a|>1` - como en el caso del seno, las soluciones entre numeros reales no tiene.

Con '|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiales para seno y coseno en grafos.

3. Ecuación `tg x=a`

Tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de `a`.

Fórmula raíz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuación `ctg x=a`

También tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de `a`.

Fórmula raíz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para las raíces de ecuaciones trigonométricas en la tabla

Para seno:
Para coseno:
Para tangente y cotangente:
Fórmulas para resolver ecuaciones que contienen funciones trigonométricas inversas:

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas

La solución de cualquier ecuación trigonométrica consta de dos etapas:

usando para convertirlo al más simple;
resuelve la ecuación simple resultante usando las fórmulas anteriores para las raíces y las tablas.

Consideremos los principales métodos de solución usando ejemplos.

método algebraico.

En este método se realiza el reemplazo de una variable y su sustitución en la igualdad.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

hacer un reemplazo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, luego `2y^2-3y+1=0`,

encontramos las raíces: `y_1=1, y_2=1/2`, de donde se siguen dos casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Respuesta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorización.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `sen x+cos x=1`.

Solución. Mover a la izquierda todos los términos de igualdad: `sin x+cos x-1=0`. Usando , transformamos y factorizamos el lado izquierdo:

`sen x - 2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 cos x/2-2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

`sen x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Respuesta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducción a una ecuación homogénea

Primero, debe llevar esta ecuación trigonométrica a una de dos formas:

`a sen x+b cos x=0` ( ecuación homogénea primer grado) o `a sen^2 x + b sen x cos x +c cos^2 x=0` (ecuación homogénea de segundo grado).

Luego divide ambas partes por `cos x \ne 0` para el primer caso, y por `cos^2 x \ne 0` para el segundo. Obtenemos ecuaciones para `tg x`: `a tg x+b=0` y `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que deben resolverse usando métodos conocidos.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1`.

Solución. Escribamos el lado derecho como `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sen^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `sen^2 x+cos^2 x`,

`2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x -` ` sen^2 x - cos^2 x=0`

`sen^2 x+sen x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Esta es una ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado, dividiendo sus partes izquierda y derecha por `cos^2 x \ne 0`, obtenemos:

`\frac (sen^2 x)(cos^2 x)+\frac(sen x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduzcamos el reemplazo `tg x=t`, como resultado `t^2 + t - 2=0`. Las raíces de esta ecuación son `t_1=-2` y `t_2=1`. Luego:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Ir a Media Esquina

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solución. Aplicando las fórmulas del doble ángulo, el resultado es: `22 sen (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sen^2 x/2=` `10 sen^2 x /2 +10 porque^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando lo anterior método algebraico, obtenemos:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducción de un ángulo auxiliar

En la ecuación trigonométrica `a sen x + b cos x =c`, donde a,b,c son coeficientes y x es una variable, dividimos ambas partes por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(raíz cuadrada (a^2+b^2)) sen x +` `\frac b(raíz cuadrada (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(raíz cuadrada (a^2) +b^2))`.

Los coeficientes del lado izquierdo tienen las propiedades del seno y el coseno, es decir, la suma de sus cuadrados es 1 y su módulo es como máximo 1. Denotemos como sigue: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(raíz cuadrada (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(raíz cuadrada (a^2+b^2))=C` , luego:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Echemos un vistazo más de cerca al siguiente ejemplo:

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación por `sqrt (3^2+4^2)`, obtenemos:

`\frac (3 sen x) (raíz cuadrada (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(raíz cuadrada (3^2+4^2))=` `\frac 2(raíz cuadrada (3^2+4^2))`

`3/5 sen x+4/5 cos x=2/5`.

Indica `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Como `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como ángulo auxiliar. Entonces escribimos nuestra igualdad en la forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando la fórmula de la suma de ángulos para el seno, escribimos nuestra igualdad de la siguiente forma:

`pecado(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsen 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsen 2/5-` `arcsen 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Responder. `x=(-1)^n arcsen 2/5-` `arcsen 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuaciones trigonométricas fraccionarias-racionales

Estas son igualdades con fracciones, en cuyos numeradores y denominadores hay funciones trigonométricas.

Ejemplo. Resuelve la ecuación. `\frac (sen x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solución. Multiplica y divide el lado derecho de la ecuación por `(1+cos x)`. Como resultado, obtenemos:

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)-` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sen x-sen^2 x)(1+cos x)=0`

Dado que el denominador no puede ser cero, obtenemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Iguala el numerador de la fracción a cero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Entonces `sin x=0` o `1-sin x=0`.

`sen x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sen x=0`, `sen x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, las soluciones son `x=2\pi n, n \in Z` y `x=\pi /2+2\pi n` , `n\en Z`.

Responder. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonometría, y las ecuaciones trigonométricas en particular, se utilizan en casi todas las áreas de la geometría, la física y la ingeniería. El estudio comienza en el décimo grado, siempre hay tareas para el examen, así que trata de recordar todas las fórmulas de las ecuaciones trigonométricas. ¡Definitivamente te serán útiles!

Sin embargo, ni siquiera necesita memorizarlos, lo principal es comprender la esencia y poder deducir. No es tan difícil como parece. Compruébelo usted mismo viendo el video.

Las ecuaciones trigonométricas no son el tema más fácil. Dolorosamente son diversos.) Por ejemplo, estos:

sen2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

senx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Pero estos (y todos los demás) monstruos trigonométricos tienen dos características comunes y obligatorias. Primero - no lo vas a creer - hay funciones trigonométricas en las ecuaciones.) Segundo: todas las expresiones con x son dentro de estas mismas funciones.¡Y sólo allí! Si x aparece en alguna parte fuera de, por ejemplo, sen2x + 3x = 3, esta sera la ecuacion tipo mixto. Tales ecuaciones requieren un enfoque individual. Aquí no los consideraremos.

Tampoco resolveremos ecuaciones malvadas en esta lección.) Aquí trataremos con las ecuaciones trigonométricas más simples.¿Por qué? Sí, porque la decisión ninguna Las ecuaciones trigonométricas consta de dos etapas. En la primera etapa, la ecuación del mal se reduce a una simple mediante varias transformaciones. En el segundo, se resuelve esta ecuación más simple. Ninguna otra manera.

Entonces, si tiene problemas en la segunda etapa, la primera etapa no tiene mucho sentido).

¿Cómo son las ecuaciones trigonométricas elementales?

senx = a

cos x = a

tgx = un

ctgx = un

Aquí pero representa cualquier número. Ninguna.

Por cierto, dentro de la función puede que no haya una x pura, sino algún tipo de expresión, como por ejemplo:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc Esto complica la vida, pero no afecta el método de resolución de la ecuación trigonométrica.

¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas?

Las ecuaciones trigonométricas se pueden resolver de dos maneras. La primera forma: usando la lógica y un círculo trigonométrico. Exploraremos este camino aquí. La segunda forma, usando memoria y fórmulas, se considerará en la próxima lección.

La primera forma es clara, confiable y difícil de olvidar). Es buena para resolver ecuaciones trigonométricas, desigualdades y todo tipo de ejemplos engañosos no estándar. ¡La lógica es más fuerte que la memoria!

Resolvemos ecuaciones usando un círculo trigonométrico.

Incluimos lógica elemental y la habilidad de usar un círculo trigonométrico. ¿No puedes? Sin embargo... Te será difícil en trigonometría...) Pero no importa. Eche un vistazo a las lecciones "Círculo trigonométrico ... ¿Qué es?" y "Contar ángulos en un círculo trigonométrico". Allí todo es sencillo. A diferencia de los libros de texto...)

Ah, ¿sabes? ¿¡E incluso dominó "Trabajo práctico con un círculo trigonométrico"!? Acepta felicitaciones. Este tema será cercano y comprensible para usted). Lo que es especialmente agradable es que al círculo trigonométrico no le importa qué ecuación resuelva. Seno, coseno, tangente, cotangente: todo es igual para él. El principio de solución es el mismo.

Así que tomamos cualquier ecuación trigonométrica elemental. Al menos esto:

cos x = 0,5

necesito encontrar x. Hablando en lenguaje humano, necesitas encuentra el ángulo (x) cuyo coseno es 0.5.

¿Cómo usamos el círculo antes? Le dibujamos una esquina. En grados o radianes. Y inmediatamente visto funciones trigonométricas de este ángulo. Ahora hagamos lo contrario. Dibuja un coseno igual a 0.5 en el círculo e inmediatamente ya veremos inyección. Solo queda escribir la respuesta.) ¡Sí, sí!

Dibujamos un círculo y marcamos el coseno igual a 0,5. En el eje del coseno, por supuesto. Me gusta esto:

Ahora dibujemos el ángulo que nos da este coseno. Pase el mouse sobre la imagen (o toque la imagen en una tableta) y ver este mismo rincón X.

¿Qué ángulo tiene un coseno de 0.5?

x \u003d π / 3

porque 60°= porque( π /3) = 0,5

Algunas personas gruñirán con escepticismo, sí... Dicen, ¿valió la pena cerrar el círculo, cuando todo está claro de todos modos... Puedes, por supuesto, gruñir...) Pero el hecho es que esto es un error. responder. O mejor dicho, insuficiente. Los conocedores del círculo entienden que todavía hay un montón de ángulos que también dan un coseno igual a 0,5.

Si giras el lado móvil OA por una vuelta completa, el punto A volverá a su posición original. Con el mismo coseno igual a 0,5. Esos. el ángulo cambiará 360° o 2π radianes, y el coseno no lo es. El nuevo ángulo 60° + 360° = 420° también será una solución a nuestra ecuación, porque

Hay un número infinito de tales rotaciones completas... Y todos estos nuevos ángulos serán soluciones a nuestra ecuación trigonométrica. Y todos ellos necesitan ser escritos de alguna manera. Todo. De lo contrario, la decisión no se considera, sí ...)

Las matemáticas pueden hacer esto simple y elegantemente. En una respuesta corta, escribe conjunto infinito soluciones Así es como se ve para nuestra ecuación:

x = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z

voy a descifrar. Todavía escribe significativamente mejor que dibujar estúpidamente algunas letras misteriosas, ¿verdad?)

π /3 es el mismo ángulo que nosotros vio en el círculo y identificado según la tabla de cosenos.

2π es una vuelta completa en radianes.

norte - este es el número de completo, es decir entero revoluciones Está claro que norte puede ser 0, ±1, ±2, ±3.... y así sucesivamente. Como lo indica la entrada breve:

norte ∈ Z

norte pertenece ( ∈ ) al conjunto de enteros ( Z ). Por cierto, en lugar de la letra norte se pueden usar letras k, m, t etc

Esta notación significa que puede tomar cualquier número entero norte . Al menos -3, al menos 0, al menos +55. Qué quieres. Si conecta ese número en su respuesta, obtiene un ángulo específico, que seguramente será la solución a nuestra dura ecuación).

O, en otras palabras, x \u003d π / 3 es la única raíz de un conjunto infinito. Para obtener todas las demás raíces, basta con sumar cualquier número de vueltas completas a π / 3 ( norte ) en radianes. Esos. 2πn radián.

¿Todo? No. Específicamente estiro el placer. Para recordar mejor.) Recibimos solo una parte de las respuestas a nuestra ecuación. Escribiré esta primera parte de la solución de la siguiente manera:

x 1 = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z

x1 - no una raíz, es toda una serie de raíces, escritas en forma abreviada.

¡Pero hay otros ángulos que también dan un coseno igual a 0,5!

Volvamos a nuestra imagen, según la cual escribimos la respuesta. Aqui esta ella:

Mueva el mouse sobre la imagen y ver otro rincón que también da un coseno de 0.5.¿A qué crees que equivale? Los triángulos son iguales... ¡Sí! es igual al ángulo X , solo graficada en la dirección negativa. esta es la esquina -X. Pero ya hemos calculado x. π /3 o 60°. Por lo tanto, podemos escribir con seguridad:

x 2 \u003d - π / 3

Y, por supuesto, sumamos todos los ángulos que se obtienen mediante giros completos:

x 2 = - π /3 + 2π norte, norte ∈ Z

Eso es todo ahora.) En un círculo trigonométrico, vio(que entienda, por supuesto)) todosángulos que dan un coseno igual a 0.5. Y anotó estos ángulos en breve forma matemática. La respuesta es dos series infinitas de raíces:

x 1 = π /3 + 2π norte, norte ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π norte, norte ∈ Z

Esta es la respuesta correcta.

Esperar, principio general para resolver ecuaciones trigonométricas con la ayuda de un círculo es comprensible. Marcamos el coseno (seno, tangente, cotangente) de la ecuación dada en el círculo, dibujamos los ángulos correspondientes y escribimos la respuesta. Por supuesto, debes averiguar qué tipo de esquinas somos. vio en el circulo A veces no es tan obvio. Bueno, como dije, aquí se requiere lógica).

Por ejemplo, analicemos otra ecuación trigonométrica:

¡Tenga en cuenta que el número 0.5 no es el único número posible en las ecuaciones!) Simplemente es más conveniente para mí escribirlo que raíces y fracciones.

Trabajamos según el principio general. Dibujamos un círculo, marcamos (¡en el eje del seno, por supuesto!) 0.5. Dibujamos a la vez todos los ángulos correspondientes a este seno. Obtenemos esta imagen:

Tratemos primero con el ángulo. X en el primer trimestre. Recordamos la tabla de senos y determinamos el valor de este ángulo. El asunto es sencillo:

x \u003d π / 6

Recordamos turnos completos y, con la conciencia tranquila, anotamos la primera serie de respuestas:

x 1 = π /6 + 2π norte, norte ∈ Z

La mitad del trabajo está hecho. Ahora tenemos que definir segunda esquina... Esto es más complicado que en cosenos, sí... ¡Pero la lógica nos salvará! Cómo determinar el segundo ángulo a través de x? ¡Sí, fácil! Los triángulos en la imagen son iguales y la esquina roja X igual al ángulo X . Solo se cuenta a partir del ángulo π en sentido negativo. Por eso es rojo). Y para nuestra respuesta, necesitamos un ángulo medido correctamente desde el semieje positivo OX, es decir desde un ángulo de 0 grados.

Pase el cursor sobre la imagen y vea todo. Eliminé la primera esquina para no complicar la imagen. El ángulo que nos interesa (dibujado en verde) será igual a:

π - x

x lo sabemos π /6 . Entonces el segundo ángulo será:

π - π /6 = 5π /6

Nuevamente, recordamos la adición de revoluciones completas y escribimos la segunda serie de respuestas:

x 2 = 5π /6 + 2π norte, norte ∈ Z

Eso es todo. Una respuesta completa consta de dos series de raíces:

x 1 = π /6 + 2π norte, norte ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π norte, norte ∈ Z

Las ecuaciones con tangente y cotangente se pueden resolver fácilmente usando el mismo principio general para resolver ecuaciones trigonométricas. A menos, por supuesto, que sepas dibujar la tangente y la cotangente en un círculo trigonométrico.

En los ejemplos anteriores, utilicé el valor tabular de seno y coseno: 0,5. Esos. uno de esos significados que el estudiante conoce deber. Ahora ampliemos nuestras capacidades para todos los demás valores.¡Decide, entonces decide!)

Entonces, digamos que necesitamos resolver la siguiente ecuación trigonométrica:

No existe tal valor del coseno en las tablas cortas. Fríamente ignoramos este terrible hecho. Dibujamos un círculo, marcamos 2/3 en el eje del coseno y dibujamos los ángulos correspondientes. Obtenemos esta imagen.

Nos entendemos, para empezar, con un ángulo en el primer cuarto. ¡Para saber a qué es igual x, inmediatamente escribirían la respuesta! No sabemos... ¿¡Fracaso!? ¡Tranquilo! ¡Las matemáticas no dejan a los suyos en apuros! Ella inventó el arco coseno para este caso. ¿No lo sé? En vano. Descúbrelo, es mucho más fácil de lo que piensas. En este enlace, ni un solo hechizo complicado sobre "reverse funciones trigonométricas“No… Es superfluo en este tema.

Si lo sabes, solo dite a ti mismo: "X es un ángulo cuyo coseno es 2/3". E inmediatamente, puramente por definición del arcocoseno, podemos escribir:

Recordamos sobre giros adicionales y escribimos con calma la primera serie de raíces de nuestra ecuación trigonométrica:

x 1 = arccos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z

La segunda serie de raíces también se escribe casi automáticamente, para el segundo ángulo. Todo es igual, solo x (arccos 2/3) estará con un menos:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π norte, norte ∈ Z

¡Y todas las cosas! Esta es la respuesta correcta. Incluso más fácil que con valores tabulares. No necesitas recordar nada). Por cierto, los más atentos notarán que esta imagen con la solución a través del arco coseno esencialmente no es diferente de la imagen para la ecuación cosx = 0.5.

¡Exactamente! Principio general por eso es común! Dibujé específicamente dos imágenes casi idénticas. El círculo nos muestra el ángulo. X por su coseno. Es un coseno tabular, o no, el círculo no lo sabe. Qué tipo de ángulo es este, π / 3, o qué tipo de arco coseno depende de nosotros decidir.

Con un seno la misma canción. Por ejemplo:

Nuevamente dibujamos un círculo, marcamos el seno igual a 1/3, dibujamos las esquinas. Resulta esta imagen:

Y nuevamente, la imagen es casi la misma que para la ecuación. senx = 0,5. De nuevo partimos desde el córner en el primer cuarto. ¿A qué es igual x si su seno es 1/3? ¡No hay problema!

Entonces el primer paquete de raíces está listo:

x 1 = arcosen 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Echemos un vistazo al segundo ángulo. En el ejemplo con un valor de tabla de 0,5, era igual a:

π - x

¡Así que aquí será exactamente igual! Sólo x es diferente, arcsen 1/3. ¿¡Así que lo que!? Puede escribir con seguridad el segundo paquete de raíces:

x 2 = π - arcosen 1/3 + 2π norte, norte ∈ Z

Esta es una respuesta completamente correcta. Aunque no parece muy familiar. Pero es comprensible, espero.)

Así es como se resuelven las ecuaciones trigonométricas usando un círculo. Este camino es claro y comprensible. Es él quien ahorra en ecuaciones trigonométricas con la selección de raíces en un intervalo dado, en desigualdades trigonométricas- por lo general se resuelven casi siempre en círculo. En definitiva, en cualquier tarea un poco más complicada que las estándar.

¿Poniendo el conocimiento en práctica?

Resolver ecuaciones trigonométricas:

Al principio es más simple, directamente en esta lección.

Ahora es más difícil.

Pista: aquí tienes que pensar en el círculo. Personalmente.)

Y ahora aparentemente sin pretensiones ... También se les llama casos especiales.

senx = 0

senx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugerencia: aquí debe averiguar en un círculo dónde hay dos series de respuestas y dónde hay una ... Y cómo escribir una en lugar de dos series de respuestas. ¡Sí, para que no se pierda ni una sola raíz de un número infinito!)

Bueno, bastante simple):

senx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Pista: aquí necesitas saber que es el arcoseno, arcocoseno? ¿Qué es arco tangente, arco tangente? Más definiciones simples. ¡Pero no necesita recordar ningún valor tabular!)

Las respuestas están, por supuesto, en desorden):

x1= arcosen0,3 + 2πn, n ∈ Z
x2= π - arcosen0.3 + 2

¿No todo sale bien? Sucede. Lee la lección de nuevo. Solamente pensativamente(hay tal palabra obsoleta...) Y sigue los enlaces. Los enlaces principales son sobre el círculo. Sin él en trigonometría: cómo cruzar la calle con los ojos vendados. A veces funciona.)

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

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