- La igualdad con una variable se llama ecuación.
- Resolver una ecuación significa encontrar el conjunto de sus raíces. Una ecuación puede tener una, dos, varias, muchas raíces o ninguna.
- Cada valor de la variable en el que la ecuación dada se convierte en una verdadera igualdad se denomina raíz de la ecuación.
- Las ecuaciones que tienen las mismas raíces se llaman ecuaciones equivalentes.
- Cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.
- Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.
Ejemplos. Resuelve la ecuación.
1. 1,5x+4 = 0,3x-2.
1,5x-0,3x = -2-4. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad:
1.2x = -6. Trajimos términos semejantes según la regla:
x = -6 : 1.2. Ambas partes de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que
x = -5. Dividido de acuerdo con la regla de dividir una fracción decimal por decimal:
para dividir un número por un decimal, debe mover las comas en el dividendo y el divisor tantos dígitos hacia la derecha como estén después del punto decimal en el divisor, y luego dividir por un número natural:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Responder: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Abrimos los paréntesis usando la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la resta: (ab) ∙ c = un ∙ c-b ∙ C.
6x-4x = -16+27. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.
2x \u003d 11. Trajeron términos similares de acuerdo con la regla: para traer términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por su parte de letra común (es decir, sume su parte de letra común al resultado).
X = 11 : 2. Ambas partes de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, entonces se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.
Responder: 5,5.
3. 7x-(3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Abrimos los paréntesis según la regla de apertura de paréntesis, que van precedidos de un signo "-": si hay un signo "-" delante de los corchetes, quitamos los corchetes, el signo "-" y escribimos los términos entre paréntesis con signos opuestos.
7x-2x-x \u003d -9 + 3. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.
4x = -6. Trajimos términos semejantes según la regla: para traer términos similares, debe sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por su parte de letra común (es decir, sume su parte de letra común al resultado).
x = -6 : 4. Ambas partes de la igualdad se dividieron por el coeficiente de la variable, ya que si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, entonces se obtiene una ecuación que es equivalente a esta ecuación.
Responder: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Multiplica ambos lados de la ecuación por 12 - el más pequeño común denominador para los denominadores de estas fracciones.
3x-15 = 84-8x+44. Abrimos los paréntesis usando la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la resta: para multiplicar la diferencia de dos números por el tercer número, puede multiplicar la reducción por separado y la resta por separado por el tercer número, y luego restar el segundo resultado del primer resultado, es decir,(ab) ∙ c = un ∙ c-b ∙ C.
3x+8x = 84+44+15. Recolectamos los términos que contienen la variable en el lado izquierdo de la igualdad y los miembros libres en el lado derecho de la igualdad. Se utilizó la siguiente propiedad: cualquier término de la ecuación se puede transferir de una parte de la igualdad a otra, cambiando el signo del término al opuesto.
Y así sucesivamente, es lógico familiarizarse con ecuaciones de otros tipos. Los siguientes en la fila son ecuaciones lineales, cuyo estudio con propósito comienza en lecciones de álgebra en el grado 7.
Está claro que primero debe explicar qué es una ecuación lineal, dar una definición de una ecuación lineal, sus coeficientes, mostrar su forma general. Luego, puede averiguar cuántas soluciones tiene una ecuación lineal según los valores de los coeficientes y cómo se encuentran las raíces. Esto le permitirá pasar a la resolución de ejemplos y, por lo tanto, consolidar la teoría estudiada. En este artículo haremos esto: nos detendremos en detalle en todos los puntos teóricos y prácticos relacionados con ecuaciones lineales y sus soluciones.
Digamos de inmediato que aquí consideraremos solo ecuaciones lineales con una variable, y en un artículo separado estudiaremos los principios para resolver ecuaciones lineales en dos variables.
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¿Qué es una ecuación lineal?
La definición de una ecuación lineal viene dada por la forma de su notación. Además, en diferentes libros de texto de matemáticas y álgebra, las formulaciones de las definiciones de ecuaciones lineales tienen algunas diferencias que no afectan la esencia del tema.
Por ejemplo, en un libro de texto de álgebra para el grado 7 de Yu. N. Makarycheva y otros, una ecuación lineal se define de la siguiente manera:
Definición.
Ecuación tipo hacha=b, donde x es una variable, a y b son algunos números, se llama ecuación lineal con una variable.
Demos ejemplos de ecuaciones lineales correspondientes a la definición expresada. Por ejemplo, 5 x=10 es una ecuación lineal con una variable x , aquí el coeficiente a es 5 y el número b es 10 . Otro ejemplo: −2.3 y=0 también es una ecuación lineal, pero con la variable y , donde a=−2.3 y b=0 . Y en las ecuaciones lineales x=−2 y −x=3.33 a no están explícitamente presentes y son iguales a 1 y −1, respectivamente, mientras que en la primera ecuación b=−2 y en la segunda - b=3.33 .
Y un año antes, en el libro de texto de matemáticas de N. Ya. Vilenkin, las ecuaciones lineales con una incógnita, además de las ecuaciones de la forma ax = b, también se consideraron ecuaciones que pueden reducirse a esta forma transfiriendo términos de una parte de la ecuación a otra con signo opuesto, así como reduciendo los términos semejantes. Según esta definición, las ecuaciones de la forma 5 x=2 x+6 , etc. también son lineales.
A su vez, la siguiente definición se da en el libro de texto de álgebra para 7 clases de A. G. Mordkovich:
Definición.
Ecuación lineal con una variable x es una ecuación de la forma a x+b=0 , donde a y b son algunos números, llamados coeficientes de la ecuación lineal.
Por ejemplo, ecuaciones lineales de este tipo son 2 x−12=0, aquí el coeficiente a es igual a 2, b es igual a −12, y 0.2 y+4.6=0 con coeficientes a=0.2 y b =4.6. Pero al mismo tiempo, hay ejemplos de ecuaciones lineales que tienen la forma no x+b=0, sino x=b, por ejemplo, 3 x=12.
Vamos, para que no tengamos discrepancias en el futuro, bajo una ecuación lineal con una variable x y coeficientes a y b entenderemos una ecuación de la forma a x+b=0 . Este tipo de ecuación lineal parece ser el más justificado, ya que las ecuaciones lineales son ecuaciones algebraicas primer grado. Y todas las demás ecuaciones indicadas anteriormente, así como las ecuaciones que se reducen a la forma a x+b=0 con la ayuda de transformaciones equivalentes, se llamarán ecuaciones que se reducen a ecuaciones lineales. Con este enfoque, la ecuación 2 x+6=0 es una ecuación lineal, y 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, etc. son ecuaciones lineales.
¿Cómo resolver ecuaciones lineales?
Ahora es el momento de averiguar cómo se resuelven las ecuaciones lineales a x+b=0. En otras palabras, es hora de averiguar si la ecuación lineal tiene raíces y, de ser así, cuántas y cómo encontrarlas.
La presencia de raíces de una ecuación lineal depende de los valores de los coeficientes a y b. En este caso, la ecuación lineal a x+b=0 tiene
- la única raíz en a≠0 ,
- no tiene raíces para a=0 y b≠0 ,
- tiene infinitas raíces para a=0 y b=0, en cuyo caso cualquier número es raíz de una ecuación lineal.
Expliquemos cómo se obtuvieron estos resultados.
Sabemos que para resolver ecuaciones es posible pasar de la ecuación original a ecuaciones equivalentes, es decir, a ecuaciones con las mismas raíces o, como la original, sin raíces. Para hacer esto, puede usar las siguientes transformaciones equivalentes:
- transferencia de un término de una parte de la ecuación a otra con el signo opuesto,
- y también multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número distinto de cero.
Entonces, en una ecuación lineal con una variable de la forma a x+b=0, podemos mover el término b del lado izquierdo al lado derecho con el signo opuesto. En este caso, la ecuación tomará la forma a x=−b.
Y entonces se sugiere la división de ambas partes de la ecuación por el número a. Pero hay una cosa: el número a puede ser igual a cero, en cuyo caso tal división es imposible. Para resolver este problema, primero supondremos que el número a es diferente de cero y consideraremos el caso de cero a por separado un poco más tarde.
Entonces, cuando a no es igual a cero, entonces podemos dividir ambas partes de la ecuación ax=−b por a , luego se convierte a la forma x=(−b): a , este resultado se puede escribir usando a línea continua como .
Así, para a≠0, la ecuación lineal a·x+b=0 es equivalente a la ecuación , de la que se ve su raíz.
Es fácil demostrar que esta raíz es única, es decir, la ecuación lineal no tiene otras raíces. Esto le permite hacer el método opuesto.
Denotemos la raíz como x 1 . Supongamos que hay otra raíz de la ecuación lineal, que denotamos x 2, y x 2 ≠ x 1, que, debido a definiciones de números iguales a través de la diferencia es equivalente a la condición x 1 − x 2 ≠0 . Dado que x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación lineal a x+b=0, entonces se cumplen las igualdades numéricas a x 1 +b=0 y a x 2 +b=0. Podemos restar las partes correspondientes de estas igualdades, lo que nos permiten hacer las propiedades de las igualdades numéricas, tenemos a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , de donde a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 y luego a (x 1 − x 2)=0 . Y esta igualdad es imposible, ya que tanto a≠0 como x 1 − x 2 ≠0. Entonces hemos llegado a una contradicción, que prueba la unicidad de la raíz de la ecuación lineal a·x+b=0 para a≠0.
Entonces hemos resuelto la ecuación lineal a x+b=0 con a≠0 . El primer resultado dado al comienzo de esta subsección está justificado. Hay dos más que cumplen la condición a=0.
Para a=0 la ecuación lineal a·x+b=0 se convierte en 0·x+b=0 . De esta ecuación y de la propiedad de multiplicar números por cero, se deduce que no importa qué número tomemos como x, cuando lo sustituimos en la ecuación 0 x+b=0, obtenemos la igualdad numérica b=0. Esta igualdad es verdadera cuando b=0 , y en otros casos cuando b≠0 esta igualdad es falsa.
Por lo tanto, para a=0 y b=0, cualquier número es la raíz de la ecuación lineal a x+b=0, ya que bajo estas condiciones, sustituir cualquier número en lugar de x da la igualdad numérica correcta 0=0. Y para a=0 y b≠0, la ecuación lineal a x+b=0 no tiene raíces, ya que en estas condiciones, sustituir cualquier número en lugar de x conduce a una igualdad numérica incorrecta b=0.
Las justificaciones anteriores permiten formar una secuencia de acciones que permite resolver cualquier ecuación lineal. Entonces, algoritmo para resolver una ecuacion lineal es:
- Primero, al escribir una ecuación lineal, encontramos los valores de los coeficientes a y b.
- Si a=0 y b=0, entonces esta ecuación tiene infinitas raíces, es decir, cualquier número es raíz de esta ecuación lineal.
- Si a es diferente de cero, entonces
- el coeficiente b se traslada al lado derecho con signo opuesto, mientras que la ecuación lineal se transforma a la forma a x=−b ,
- después de lo cual ambas partes de la ecuación resultante se dividen por un número a distinto de cero, lo que da la raíz deseada de la ecuación lineal original.
El algoritmo escrito es una respuesta exhaustiva a la pregunta de cómo resolver ecuaciones lineales.
Como conclusión de este párrafo, vale la pena decir que se usa un algoritmo similar para resolver ecuaciones de la forma a x=b. Su diferencia radica en que cuando a≠0, ambas partes de la ecuación se dividen inmediatamente por este número, aquí b ya está en la parte deseada de la ecuación y no necesita ser transferida.
Para resolver ecuaciones de la forma a x=b, se utiliza el siguiente algoritmo:
- Si a=0 y b=0, entonces la ecuación tiene infinitas raíces, que son números cualesquiera.
- Si a=0 y b≠0, entonces la ecuación original no tiene raíces.
- Si a es distinto de cero, entonces ambos lados de la ecuación se dividen por un número a distinto de cero, a partir del cual se encuentra la única raíz de la ecuación igual a b / a.
Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales
Pasemos a la práctica. Analicemos cómo se aplica el algoritmo para resolver ecuaciones lineales. Presentemos soluciones de ejemplos típicos correspondientes a diferentes significados coeficientes de ecuaciones lineales.
Ejemplo.
Resuelve la ecuación lineal 0 x−0=0 .
Solución.
En esta ecuación lineal, a=0 y b=−0, que es lo mismo que b=0. Por lo tanto, esta ecuación tiene infinitas raíces, cualquier número es la raíz de esta ecuación.
Responder:
x es cualquier número.
Ejemplo.
¿La ecuación lineal 0 x+2.7=0 tiene soluciones?
Solución.
En este caso, el coeficiente a cero, y el coeficiente b de esta ecuación lineal es igual a 2,7, es decir, no es cero. Por lo tanto, la ecuación lineal no tiene raíces.
Igualdad con variable f(x) = g(x) se llama una ecuación con una variable x. Cualquier valor de la variable en el que f(x) y g(x) toman valores numéricos iguales se denomina raíz de dicha ecuación. Por lo tanto, resolver una ecuación significa encontrar todas las raíces de la ecuación o probar que no hay ninguna.
La ecuación x 2 + 1 \u003d 0 no tiene raíces reales, pero tiene raíces imaginarias: en este caso, estas son las raíces x 1 \u003d i, x 2 \u003d -i. En lo que sigue, sólo nos interesaremos en las raíces reales de la ecuación.
Si las ecuaciones son raíces idénticas, entonces se dice que son equivalentes. Las ecuaciones que no tienen raíces son equivalentes.
Determinemos si las ecuaciones son equivalentes:
a) x + 2 = 5 y x + 5 = 8
1. Resuelve la primera ecuación
2. Resuelve la segunda ecuación
Las raíces de las ecuaciones son las mismas, por lo que x + 2 = 5 y x + 5 = 8 son equivalentes.
b) x 2 + 1 = 0 y 2x 2 + 5 = 0
Ambas ecuaciones no tienen raíces reales, por lo tanto, son equivalentes.
c) x - 5 \u003d 1 y x 2 \u003d 36
1. Encuentra las raíces de la primera ecuación
2. Encuentra las raíces de la segunda ecuación
x1 = 6, x2 = -6
Las raíces de las ecuaciones no coinciden, por lo que x - 5 \u003d 1 y x 2 \u003d 36 no son equivalentes.
Al resolver la ecuación, intentan reemplazarla con un equivalente, pero más ecuación sencilla. Por lo tanto, es importante saber, como resultado de qué transformaciones, esta ecuación se convierte en una ecuación equivalente a ella.
Teorema 1. Si cualquier término de una ecuación se traslada de una parte a otra, cambiando el signo, se obtendrá una ecuación equivalente a la dada.
Por ejemplo, la ecuación x 2 + 2 = 3x es equivalente a la ecuación x 2 + 2 - 3x = 0.
Teorema 2. Si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número (distinto de cero), entonces se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
Por ejemplo, la ecuación (x 2 - 1) / 3 \u003d 2x es equivalente a la ecuación x 2 - 1 \u003d 6x. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 3.
Una ecuación lineal con una variable es una ecuación de la forma ax \u003d b, donde a y b son números reales, a se denomina coeficiente de la variable y b es el término libre.
Considere tres casos para la ecuación lineal ax = b.
1. a ≠ 0. En este caso, x \u003d b / a (porque a no es cero).
2. a \u003d 0, b \u003d 0. La ecuación tomará la forma: 0 ∙ x \u003d 0. Esta ecuación es cierta para cualquier x, es decir la raíz de la ecuación es cualquier número real.
3. a \u003d 0, b ≠ 0. En este caso, la ecuación no tendrá raíces, porque la división por cero está prohibida (0 ∙ x = b).
Como resultado de las transformaciones, muchas ecuaciones se reducen a ecuaciones lineales.
Resolución de ecuaciones
a) (1/5) x + 2/15 = 0
1. Mueva el componente 2/15 del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho con el signo opuesto. Tal transformación se rige por el Teorema 1. Entonces, la ecuación tomará la forma: (1/5)x = -2/15.
2. Para deshacernos del denominador, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 15. Esto nos lo permite el teorema 2. Entonces, la ecuación tomará la forma:
(1/5)x ∙ 15= - 2/15 ∙ 15
Por lo tanto, la raíz de la ecuación es -2/3.
b) 2/3 + x / 4 + (1 - x) / 6 \u003d 5x / 12 - 1
1. Para deshacernos del denominador, multiplicamos ambas partes de la ecuación 
en 12 (por el Teorema 2). La ecuación tomará la forma:
12(2/3 + x/4 + (1 - x)/6) = 12(5x/12 - 1)
8 + 3x + 2 - 2x \u003d 5x - 12
10 + x = 5x - 12
2. Usando el Teorema 1, "reunimos" todos los números a la derecha y los componentes con x a la izquierda. La ecuación tomará la forma:
10 +12 \u003d 5x - x
Por lo tanto, la raíz de la ecuación es 5,5.
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Tomemos dos expresiones con una variable: 4x y 5x + 2. Conectándolas con un signo igual, obtenemos la oración 4x \u003d 5x + 2. Contiene una variable y, al sustituir los valores de la variable, se convierte en una declaración.
Por ejemplo, en x = -2, la oración 4x = 5x + 2 se convierte en una verdadera igualdad numérica 4-(-2) = 5-(-2) + 2, y en x = 1 - en una falsa 4-1 = 5- 1 + 2. Por lo tanto, la oración 4x = 5x + 2 es una forma proposicional. ellos la llaman ecuación con una variable.
EN vista general una ecuación variable se puede definir de la siguiente manera:
Definición.Sean f(x) y q(x) dos expresiones con variable x y dominio X. Entonces la forma proposicional de la forma f(x) =q(x) se llama una ecuación con una variable.
Valor variable X desde muchos X, en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica se llama la raíz de la ecuación (o su decisión). Resolver una ecuación significa encontrar el conjunto de sus raíces. .
Entonces, la raíz de la ecuación 4x \u003d 5x + 2, si la consideramos en el conjunto R numeros reales, es el número -2. Esta ecuación no tiene otras raíces. Entonces el conjunto de sus raíces es (-2).
Sea dada la ecuación (x-1)(x+2)=0 sobre el conjunto de números reales. Tiene dos raíces - los números 1 y -2. Por tanto, el conjunto de raíces de esta ecuación es: (-2,- 1).
La ecuación (3x + 1) × 2 = 6x + 2, dada sobre el conjunto de los números reales, se convierte en una verdadera igualdad numérica para todos los valores reales de la variable x: si abrimos los paréntesis del lado izquierdo , obtenemos 6x + 2 = 6 X+ 2. En este caso, decimos que su raíz es cualquier número real, y el conjunto de raíces es el conjunto de todos los números reales.
La ecuación (3x + 1)-2 = 6x + 1, dada sobre el conjunto de los números reales, no se convierte en verdadera igualdad numérica para ningún valor real de x: después de abrir los paréntesis del lado izquierdo, obtenemos que 6x + 2 = 6x + 1, lo cual es imposible para cualquier x. En este caso, decimos que la ecuación dada no tiene raíces y que el conjunto de sus raíces está vacío.
Para resolver cualquier ecuación, primero se transforma, reemplazándola por otra más sencilla; la ecuación resultante se vuelve a transformar, reemplazándola por una más simple, y así sucesivamente. Este proceso se continúa hasta que se obtiene una ecuación cuyas raíces se pueden encontrar de manera conocida. Pero para que estas raíces sean las raíces de una ecuación dada, es necesario que en el proceso de transformaciones se obtengan ecuaciones cuyos conjuntos de raíces coincidan. Tales ecuaciones se llaman equivalente.
Definición.Dos ecuaciones f 1 (x) =q 1 (x) y f 2 (x) =q 2 (х) se denominan equivalentes si coinciden los conjuntos de sus raíces.
Por ejemplo, ecuaciones x 2 - 9 = 0 y (2x + 6)(x - 3) = 0 son equivalentes ya que ambos tienen raíces 3 y -3. Las ecuaciones (3x + 1)-2 = 6x + 1 y x 2 + 1 también son equivalentes = 0, ya que ambos no tienen raíces, es decir los conjuntos de sus raíces son iguales.
Definición. Reemplazar una ecuación con una ecuación equivalente se llama transformación equivalente.
Veamos ahora qué transformaciones permiten obtener ecuaciones equivalentes.
Teorema 1. Sea la ecuación f(x) = q(x) sobre un conjunto y sea h(x) una expresión definida sobre el mismo conjunto. Entonces la ecuación f(x) = q(x) (1) y f(x) + h(x) = q(x) + h(x) (2) son equivalentes.
Prueba. Denotar por T 1 el conjunto de soluciones de la ecuación (1), y por T 2 el conjunto de soluciones de la ecuación (2). Entonces las ecuaciones (1) y (2) serán equivalentes si T 1 = T 2 . Para verificar esto, es necesario demostrar que cualquier raíz de T 1 es la raíz de la ecuación (2) y, a la inversa, cualquier raíz de T 2 es la raíz de la ecuación (1).
Sea el número a la raíz de la ecuación (1). Entonces a í T 1 , y al sustituir en la ecuación (1) la convierte en una verdadera igualdad numérica f(a) = q(a), y la expresión h(x) la convierte en expresión numérica h(a) que tiene sentido en el conjunto X. Añadamos a ambos lados de la verdadera igualdad f(a) = q(a) la expresión numérica h(a). Obtenemos, de acuerdo con las propiedades de las igualdades numéricas verdaderas, la igualdad numérica verdadera f (a) + h (a) \u003d q (a) + h (a), lo que indica que el número a es la raíz de la ecuación (2 ).
Entonces, se ha demostrado que cada raíz de la ecuación (1) es también una raíz de la ecuación (2), es decir T 1 Ì T 2.
Ahora sea a la raíz de la ecuación (2). Entonces a Î T 2 , y al sustituir en la ecuación (2) la convierte en una verdadera igualdad numérica f(a) + h(a) = q(a) + h(a). Agreguemos a ambas partes de esta igualdad una expresión numérica - h (a). Obtenemos la verdadera igualdad numérica f (a) \u003d q (a), que el número a es la raíz de la ecuación (1).
Entonces, se ha demostrado que cada raíz de la ecuación (2) es también una raíz de la ecuación (1), es decir T 2 Ì T 1 .
Dado que T 1 Ì T 2 y T 2 Ì T 1 , entonces por la definición de conjuntos iguales T 1 = T 2 , y por lo tanto las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes.
Este Teorema 1 se puede formular de otra manera: si sumamos a ambas partes de la ecuación con el dominio X la misma expresión con una variable definida en el mismo conjunto, entonces obtenemos una nueva ecuación equivalente a la dada.
Las consecuencias se derivan de este teorema, que se utilizan para resolver las ecuaciones:
1. Si sumamos el mismo número a ambos lados de la ecuación, obtenemos una ecuación equivalente a la dada.
2. Si cualquier término (expresión numérica o expresión con una variable) se traslada de una parte de la ecuación a otra, cambiando el signo del término al opuesto, entonces obtenemos una ecuación equivalente a esta.
Teorema 2.Sea la ecuación f(x) = q(x) sobre el conjunto X y h(x) es una expresión que está definida sobre el mismo conjunto y no desaparece para ningún valor de x del conjunto X. Entonces las ecuaciones f(x) = q(х) y f(х) × h(х) = q(х) × h(х) son equivalentes.
La demostración de este teorema es similar a la demostración del Teorema 1.
El teorema 2 se puede formular de manera diferente: si ambas partes de la ecuación con dominio X se multiplican por la misma expresión, que está definida en el mismo conjunto y no desaparece en él, entonces obtenemos una nueva ecuación equivalente a la dada.
El corolario se sigue de este teorema: si ambas partes de la ecuación se multiplican (o dividen) por el mismo número distinto de cero, entonces obtenemos una ecuación equivalente a la dada.
Resolvamos la ecuación , x О R, y justifiquemos todas las transformaciones que realizaremos en el proceso de resolución.
La ecuacion es una igualdad en la que hay una o más variables.
Consideraremos el caso cuando hay una variable en la ecuación, es decir, una numero desconocido. En esencia, una ecuación es una especie de modelo matemático. Por lo tanto, antes que nada, necesitamos ecuaciones para resolver problemas.
Recordemos cómo se compila un modelo matemático para resolver un problema.
Por ejemplo, en el nuevo año académico, se duplicó el número de estudiantes en la escuela No. 5. Luego de que 20 estudiantes fueran transferidos a otra escuela, un total de 720 estudiantes comenzaron a estudiar en la escuela No. 5. ¿Cuántos estudiantes había el año pasado?
Necesitamos expresar lo que se dice en la condición en lenguaje matemático. Sea X el número de estudiantes el año pasado. Entonces, según la condición del problema,
2X - 20 = 720. Tenemos un modelo matemático, que es una ecuación variable. Más precisamente, esta es una ecuación de primer grado con una variable. Queda por encontrar su raíz.
¿Cuál es la raíz de la ecuación?
El valor de la variable en el que nuestra ecuación se convierte en una verdadera igualdad se llama raíz de la ecuación. Hay ecuaciones que tienen muchas raíces. Por ejemplo, en la ecuación 2*X = (5-3)*X cualquier valor de X es una raíz. Y la ecuación X \u003d X + 5 no tiene ninguna raíz, ya que no importa con qué sustituyamos el valor de X, no obtendremos la igualdad correcta. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o determinar que no tiene raíces. Entonces, para responder a nuestra pregunta, debemos resolver la ecuación 2X - 20 = 720.
¿Cómo resolver ecuaciones con una variable?
Para empezar, escribamos definiciones basicas. Cada ecuación tiene un lado derecho e izquierdo. En nuestro caso, (2X - 20) es el lado izquierdo de la ecuación (está a la izquierda del signo igual) y 720 es el lado derecho de la ecuación. Los términos de los lados derecho e izquierdo de la ecuación se llaman términos de la ecuación. Nuestros términos en la ecuación son 2X, -20 y 720.
Digamos de inmediato sobre 2 propiedades de las ecuaciones:
- Cualquier término de la ecuación se puede transferir del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo y viceversa. En este caso, es necesario cambiar el signo de este término de la ecuación al opuesto. Es decir, entradas como 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X son equivalentes.
- Ambos lados de la ecuación se pueden multiplicar o dividir por el mismo número. Este número no debe ser cero. Es decir, entradas como 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 también son equivalentes.
Movamos -20 al lado derecho con el signo opuesto. Obtenemos:
2X = 720 + 20. Sumemos lo que tenemos del lado derecho. Obtenemos que 2X = 740.
Ahora divide los lados izquierdo y derecho de la ecuación por 2.
2X:2 = 740:2 o X = 370. Encontramos la raíz de nuestra ecuación y al mismo tiempo encontramos la respuesta a nuestro problema. El año pasado, había 370 estudiantes en la escuela No. 5.
Verifiquemos si nuestra raíz realmente convierte la ecuación en una verdadera igualdad. Reemplacemos X con el número 370 en la ecuación 2X - 20 = 720.
2*370-20 = 720.
Todo bien.
Entonces, para resolver una ecuación con una variable, debe reducirse a la llamada ecuación lineal de la forma ax \u003d b, donde a y b son algunos números. Luego divide las partes izquierda y derecha por el número a. Obtenemos que x = b:a.
¿Qué significa llevar una ecuación a una ecuación lineal?
Considere esta ecuación:
5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X.
Esta también es una ecuación con una variable desconocida X. Nuestra tarea es llevar esta ecuación a la forma ax = b.
Para hacer esto, primero recolectamos todos los términos que tienen a X como factor en el lado izquierdo de la ecuación, y los términos restantes en el lado derecho. Los términos que tienen la misma letra como factor se llaman términos similares.
5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.
De acuerdo a Propiedad distributiva multiplicación, podemos quitar el mismo factor entre paréntesis y sumar los coeficientes (multiplicadores para la variable x). Este proceso también se llama reducción de términos semejantes.
X(5-2+7-3) = 49.
7X = 49. Reducimos la ecuación a la forma ax = b, donde a = 7, b = 49.
Y como escribimos anteriormente, la raíz de la ecuación de la forma ax \u003d b será x \u003d b: a.
Eso es X = 49:7 = 7.
Algoritmo para encontrar las raíces de una ecuación con una variable.
- Recoja los términos semejantes en el lado izquierdo de la ecuación, los términos restantes en el lado derecho de la ecuación.
- Trae términos semejantes.
- Lleva la ecuación a la forma ax = b.
- Encuentra raíces usando la fórmula x = b:a.