Respuestas preparadas a ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas Muchos alumnos están buscando el primer orden (DEs del 1er orden son los más comunes en el entrenamiento), luego puedes analizarlos en detalle. Pero antes de proceder a la consideración de ejemplos, le recomendamos que lea atentamente un breve material teórico.
Las ecuaciones de la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, donde las funciones P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo orden, se denominan ecuación diferencial homogénea(ODR).
Esquema para resolver una ecuación diferencial homogénea
1. Primero debe aplicar la sustitución y=z*x, donde z=z(x) es una nueva función desconocida (por lo tanto, la ecuación original se reduce a una ecuación diferencial con variables separables).
2. La derivada del producto es y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z o en diferenciales dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. A continuación, sustituimos la nueva función y y su derivada y "(o dy) en DE con variables separables con respecto a x y z .
4. Habiendo decidido ecuación diferencial con variables separables, hacemos la sustitución inversa y=z*x, entonces z= y/x, y obtenemos decisión común (integral común) ecuación diferencial.
5. Si se da la condición inicial y(x 0)=y 0, entonces encontramos una solución particular al problema de Cauchy. En teoría, todo suena fácil, pero en la práctica, no todos son tan divertidos para resolver ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, para profundizar el conocimiento, considere ejemplos comunes. En las tareas fáciles, no hay mucho que enseñarte, por lo que pasaremos inmediatamente a las más complejas.
Cálculos de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden
Ejemplo 1
Solución: dividir lado derecho ecuaciones para una variable que es un factor cercano a la derivada. Como resultado, llegamos a ecuación diferencial homogénea de orden 0
Y aquí se volvió interesante para muchos, ¿Cómo determinar el orden de una función de una ecuación homogénea?
La pregunta es lo suficientemente relevante, y la respuesta es la siguiente:
en el lado derecho, sustituimos el valor t*x, t*y en lugar de la función y el argumento. Al simplificar, el parámetro "t" se obtiene en un cierto grado k, y se llama el orden de la ecuación. En nuestro caso, se reducirá "t", que equivale al grado 0 o orden cero de la ecuación homogénea.
Más adelante en el lado derecho podemos pasar a la nueva variable y=zx; z=y/x.
Al mismo tiempo, no olvides expresar la derivada de "y" a través de la derivada de la nueva variable. Por la regla de las partes, encontramos 
Ecuaciones en Diferenciales tomará la forma 
Reducimos los términos conjuntos en los lados derecho e izquierdo y pasamos a ecuación diferencial con variables separadas.
Integramos ambas partes del DE 
Para la conveniencia de futuras transformaciones, introducimos inmediatamente la constante debajo del logaritmo 
De acuerdo con las propiedades de los logaritmos, el obtenido ecuación logarítmica es equivalente a lo siguiente 
Esta entrada aún no es una solución (respuesta), debe volver al cambio de variables realizado 
Así encuentran solución general de ecuaciones diferenciales. Si lee atentamente las lecciones anteriores, entonces dijimos que debería poder aplicar el esquema para calcular ecuaciones con variables separadas libremente y dichas ecuaciones deberán calcularse para tipos de control remoto más complejos.
Ejemplo 2
Encuentra la integral de una ecuación diferencial
Solución: El esquema para calcular ED homogéneos y resumidos ahora le resulta familiar. Pasamos la variable al lado derecho de la ecuación, y también en el numerador y denominador sacamos x 2 como factor común 
Por lo tanto, obtenemos una ED homogénea de orden cero.
El siguiente paso es introducir el cambio de variables z=y/x, y=z*x , que te recordaremos constantemente que memorices
Después de eso, escribimos el DE en diferenciales 
A continuación, transformamos la dependencia a ecuación diferencial con variables separadas
y resolverlo por integración. 
Las integrales son simples, el resto de las transformaciones se basan en las propiedades del logaritmo. La última acción consiste en exponer el logaritmo. Finalmente, volvemos al reemplazo original y escribimos en el formulario 
La constante "C" toma cualquier valor. Todos los que estudian en ausencia tienen problemas en los exámenes con este tipo de ecuaciones, así que por favor miren bien y recuerden el esquema de cálculo.
Ejemplo 3
Resolver ecuación diferencial
Solución: Como se desprende de la técnica anterior, las ecuaciones diferenciales de este tipo resuelven introduciendo una nueva variable. Reescribamos la dependencia para que la derivada no tenga variable 
Además, al analizar el lado derecho, vemos que la parte -ee está presente en todas partes y se denota por la nueva incógnita
z=y/x, y=z*x.
Encontrar la derivada de y
Teniendo en cuenta el reemplazo, reescribimos el DE original en la forma 
Simplifique los mismos términos y reduzca todos los términos recibidos a DE con variables separadas
Integrando ambos lados de la igualdad 
llegamos a la solución en forma de logaritmos 
Al exponer las dependencias encontramos solución general de una ecuación diferencial
que, después de sustituir el cambio inicial de variables en él, toma la forma 
Aquí C es una constante, que se puede extender a partir de la condición de Cauchy. Si no se da el problema de Cauchy, entonces se convierte en un valor real arbitrario.
Esa es toda la sabiduría en el cálculo de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Homogéneo
En esta lección, veremos los llamados ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Así como también ecuaciones de variables separables Y ecuaciones no homogéneas lineales este tipo de control remoto se encuentra en casi cualquier trabajo de control sobre el tema de la difusión. Si ingresó a la página desde un motor de búsqueda o no tiene mucha confianza en las ecuaciones diferenciales, primero le recomiendo que desarrolle una lección introductoria sobre el tema: Ecuaciones diferenciales de primer orden. El hecho es que muchos principios para resolver ecuaciones homogéneas y las técnicas utilizadas serán exactamente las mismas que para las ecuaciones más simples con variables separables.
¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones diferenciales homogéneas y otros tipos de ED? Esto es más fácil de explicar de inmediato con un ejemplo concreto.
Ejemplo 1
Solución:
Qué ante todo debe analizarse a la hora de decidir ninguna ecuación diferencial primer orden? En primer lugar, es necesario verificar si es posible separar inmediatamente las variables utilizando acciones de "escuela". Por lo general, dicho análisis se lleva a cabo mentalmente o tratando de separar las variables en un borrador.
EN este ejemplo las variables no se pueden separar(puede intentar invertir los términos de una parte a otra, sacar factores de los paréntesis, etc.). Por cierto, en este ejemplo, el hecho de que las variables no se pueden dividir es bastante obvio debido a la presencia del factor .
Surge la pregunta: ¿cómo resolver este problema?
Necesidad de comprobar y ¿Es esta ecuación homogénea?? La verificación es simple, y el propio algoritmo de verificación se puede formular de la siguiente manera:
A la ecuación original:
en lugar de sustituto, en lugar de sustituto, no toques la derivada:
La letra lambda es un parámetro condicional, y aquí juega el siguiente papel: si, como resultado de las transformaciones, es posible "destruir" TODAS las lambdas y obtener la ecuación original, entonces esta ecuación diferencial es homogéneo.
Obviamente, las lambdas se anulan inmediatamente en el exponente: 
Ahora, en el lado derecho, quitamos la lambda entre paréntesis: 
y dividir ambas partes por esta misma lambda:
Como resultado todos las lambdas se desvanecieron como un sueño, como la niebla de la mañana, y obtuvimos la ecuación original.
Producción: Esta ecuación es homogénea.
¿Cómo resolver una ecuación diferencial homogénea?
Tengo muy buenas noticias. Absolutamente todas las ecuaciones homogéneas se pueden resolver con un solo (!) reemplazo estándar.
La función "y" debe reemplazar trabajo alguna función (también dependiente de "x") y "x":
Casi siempre escribe brevemente:
Descubrimos en qué se convertirá la derivada con tal reemplazo, usamos la regla para diferenciar un producto. Si , entonces:
Sustituir en la ecuación original:
¿Qué dará tal reemplazo? Tras esta sustitución y las simplificaciones realizadas, garantizado obtenemos una ecuación con variables separables. RECORDAR como el primer amor :) y, en consecuencia, .
Después de la sustitución, hacemos máximas simplificaciones: 
Como es una función que depende de "x", entonces su derivada se puede escribir como una fracción estándar: .
De este modo:
Separamos las variables, mientras que en el lado izquierdo solo necesita recopilar "te", y en el lado derecho, solo "x":
Se separan las variables, integramos: 
Según mi primera consejo tecnico del artículo Ecuaciones diferenciales de primer orden en muchos casos es conveniente “formular” una constante en forma de logaritmo.
Después de integrar la ecuación, es necesario llevar a cabo sustitución inversa, también es estándar y único:
si, entonces
En este caso:
En 18-19 casos de 20, la solución de la ecuación homogénea se escribe como una integral general.
Responder: integral general: 
¿Por qué la respuesta a una ecuación homogénea casi siempre se da como una integral general?
En la mayoría de los casos, es imposible expresar "y" de forma explícita (para obtener una solución general), y si es posible, la mayoría de las veces la solución general resulta ser engorrosa y torpe.
Entonces, por ejemplo, en el ejemplo considerado, la solución general se puede obtener colgando logaritmos en ambas partes de la integral general: 
- Bueno, todavía está bien. Aunque, ya ves, sigue torcido.
Por cierto, en este ejemplo, no escribí "decentemente" la integral general. no es un error, pero en un "buen" estilo, les recuerdo, se acostumbra escribir la integral general en la forma . Para ello, inmediatamente después de integrar la ecuación, se debe escribir la constante sin ningún logaritmo (¡Esa es la excepción a la regla!):
Y después del reemplazo inverso, obtenga la integral general en la forma "clásica": 
La respuesta recibida se puede comprobar. Para hacer esto, necesita derivar la integral general, es decir, encontrar derivada de una función definida implícitamente:
Deshazte de las fracciones multiplicando cada lado de la ecuación por: 
Se ha obtenido la ecuación diferencial original, lo que significa que la solución se ha encontrado correctamente.
Es recomendable comprobar siempre. Pero las ecuaciones homogéneas son desagradables porque normalmente es difícil verificar sus integrales generales; esto requiere una técnica de diferenciación muy, muy decente. En el ejemplo considerado, durante la verificación, ya no era necesario encontrar los derivados más simples (aunque el ejemplo en sí es bastante simple). Si puedes comprobarlo, ¡compruébalo!
Ejemplo 2
Verifique la homogeneidad de la ecuación y encuentre su integral general. 
Escribe la respuesta en el formulario
Este es un ejemplo para solución independiente- para que te acostumbres al algoritmo de acciones en sí. Compruebe en su tiempo libre, porque. aquí es bastante complicado, y ni siquiera comencé a traerlo, de lo contrario ya no llegarás a un maníaco :)
Y ahora lo prometido punto importante, mencionado al principio del tema,
en letras negras en negrita:
Si en el curso de las transformaciones "reiniciamos" el factor (no es una constante)al denominador, ¡entonces corremos el RIESGO de perder soluciones!
Y, de hecho, nos encontramos con esto en el primer ejemplo. lección de introducción a las ecuaciones diferenciales. En el proceso de resolver la ecuación, "y" resultó estar en el denominador: , pero, obviamente, es una solución a la ED, y como resultado de una transformación (división) no equivalente, hay muchas posibilidades de ¡perdiéndolo! Otra cosa es que entró en la solución general en el valor cero de la constante. También se puede ignorar el restablecimiento de "x" al denominador, porque no satisface la difusa original.
Una historia similar con la tercera ecuación de la misma lección, durante cuya solución "caímos" en el denominador. Estrictamente hablando, ¿aquí era necesario verificar si la difuminación dada es una solución? ¡Después de todo, lo es! Pero incluso aquí "todo salió bien", ya que esta función entró en la integral general 
en .
Y si este suele ser el caso con ecuaciones "separables";) "rueda", entonces con homogéneos y algunos otros diferenciales puede "no rodar". Con una alta probabilidad.
Analicemos los problemas ya resueltos en esta lección: Ejemplo 1 hubo un "reinicio" de x, sin embargo, no puede ser una solución a la ecuación. Pero en Ejemplo 2 dividimos por , pero esto también se salió con la nuestra: dado que , las soluciones no se podían perder, simplemente no existen aquí. Pero, por supuesto, organicé los "casos felices" a propósito, y no es un hecho que se encuentren en la práctica:
Ejemplo 3
Resolver ecuación diferencial 
¿No es un ejemplo simple? ;-)
Solución: la homogeneidad de esta ecuación es obvia, pero aun así - en el primer paso SIEMPRE compruebe si las variables se pueden separar. Porque la ecuación también es homogénea, pero las variables en ella están discretamente separadas. ¡Si hay algunos!
Después de verificar la "separabilidad", hacemos un reemplazo y simplificamos la ecuación tanto como sea posible: 
Separamos las variables, a la izquierda recogemos "te", a la derecha - "x": 
Y aquí está PARE. Al dividir por corremos el riesgo de perder dos funciones a la vez. Como , entonces estas son las funciones: 
La primera función es obviamente una solución a la ecuación . Comprobamos el segundo - sustituimos su derivado en nuestro diffur: 
- se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la función es una solución.
Y corremos el riesgo de perder estas decisiones.
Además, el denominador era "X", sin embargo, la sustitución implica que no es cero. Recuerda este hecho. ¡Pero! Asegúrese de comprobar, si es una solución a la ecuación diferencial ORIGINAL. No, no es.
Tomemos nota de todo esto y continuemos: 
Hay que decir que tuvimos suerte con la integral de la izquierda, pasa mucho peor.
Recolectamos un solo logaritmo en el lado derecho y reiniciamos los grilletes: 
Y justo ahora el reemplazo inverso:
Multiplica todos los términos por:
Ahora para comprobar - si las soluciones "peligrosas" están incluidas en la integral general. Sí, ambas soluciones están incluidas en la integral general en el valor cero de la constante: , por lo que no es necesario indicarlas adicionalmente en responder:
integral general:
Examen. Ni siquiera una prueba, sino puro placer :) 
Se ha obtenido la ecuación diferencial original, lo que significa que la solución se ha encontrado correctamente.
Para una solución independiente:
Ejemplo 4
Realice una prueba de homogeneidad y resuelva la ecuación diferencial 
La integral general se puede comprobar por diferenciación.
Solución completa y la respuesta al final de la lección.
Veamos un par de ejemplos donde ecuación homogénea conjunto con diferenciales confeccionados.
Ejemplo 5
Resolver ecuación diferencial
Esto es muy ejemplo interesante, directamente todo el thriller!
Solución Nos acostumbraremos a hacerlo más compacto. Primero, mentalmente o en un borrador, nos aseguramos de que las variables no se puedan dividir aquí, luego de lo cual verificamos la uniformidad; por lo general, no se lleva a cabo en una copia limpia (a menos que se requiera específicamente). Así, casi siempre la solución comienza con la entrada: " Esta ecuación es homogénea, hagamos un reemplazo: ...».
Si una ecuación homogénea contiene diferenciales preparados, entonces se puede resolver mediante una sustitución modificada:
Pero no aconsejo usar tal sustitución, ya que el resultado será el Gran Muralla China diferenciales, donde se necesita un ojo y un ojo. Desde un punto de vista técnico, es más ventajoso cambiar a la designación "discontinua" de la derivada, para esto dividimos todos los términos de la ecuación por: 
¡Y ya aquí hemos hecho una transformación "peligrosa"! El diferencial cero corresponde a - una familia de líneas paralelas al eje. ¿Son ellas las raíces de nuestro DU? Sustituir en la ecuación original: 
Esta igualdad es verdadera si , es decir, al dividir por corremos el riesgo de perder la solución , y lo perdimos- porque ya no satisface la ecuación resultante 
.
Cabe señalar que si nos inicialmente la ecuacion fue dada , entonces la raíz estaría fuera de discusión. Pero lo tenemos, y lo "atrapamos" a tiempo.
Continuamos la solución con una sustitución estándar:
:
Después de la sustitución, simplificamos la ecuación tanto como sea posible: 
Separación de variables:
Y aquí de nuevo STOP: al dividir por corremos el riesgo de perder dos funciones. Como , entonces estas son las funciones: 
Obviamente, la primera función es una solución a la ecuación . Comprobamos el segundo - sustituimos y su derivada: 
- recibió verdadera igualdad, por lo que la función también es una solución de la ecuación diferencial.
Y al dividir por corremos el riesgo de perder estas soluciones. Sin embargo, pueden entrar en una integral común. Pero no pueden entrar.
Tomemos nota de esto e integremos ambas partes: 
La integral del lado izquierdo se resuelve de manera estándar usando selección de un cuadrado completo, pero en difusores es mucho más cómodo de usar método de coeficientes indeterminados:
Usando el método de coeficientes indeterminados, expandimos el integrando en una suma de fracciones elementales: 
De este modo: 
Encontramos integrales: 
- como hemos dibujado solo logaritmos, también empujamos la constante debajo del logaritmo.
Antes del reemplazo vuelve a simplificar todo lo que se puede simplificar:
Caída de cadenas:
Y la sustitución inversa:
Ahora recordamos las "pérdidas": la solución entró en la integral general en , pero - "pasó volando por la caja registradora", porque apareció en el denominador. Por lo tanto, en la respuesta, se le otorga una frase separada, y sí, no se olvide de la decisión perdida, que, por cierto, también resultó estar en la parte inferior.
Responder: integral general: 
. Más soluciones:
No es tan difícil expresar la solución general aquí:
, pero esto ya es fanfarronería.
Conveniente, sin embargo, para la prueba. Hallemos la derivada:
y sustituir 
al lado izquierdo de la ecuación:
– como resultado se obtuvo el lado derecho de la ecuación, el cual se requirió verificar.
El siguiente diffur es por sí solo:
Ejemplo 6
Resolver ecuación diferencial 
Solución completa y respuesta al final de la lección. Pruebe al mismo tiempo para el entrenamiento y exprese la solución general aquí.
En la parte final de la lección, consideraremos un par de tareas más características sobre el tema:
Ejemplo 7
Resolver ecuación diferencial 
Solución: Vamos por el camino trillado. Esta ecuación es homogénea, cambiemos: 
Con "x" todo está en orden, pero esto es lo que está mal con trinomio cuadrado? Como es indescomponible en factores : , definitivamente no perdemos soluciones. ¡Siempre sería así! Seleccione el cuadrado completo del lado izquierdo e integre:
No hay nada que simplificar aquí, y por lo tanto el reemplazo inverso: 
Responder: integral general: 
Ejemplo 8
Resolver ecuación diferencial 
Este es un ejemplo de bricolaje.
entonces:
Para conversiones no equivalentes, SIEMPRE verifique (al menos verbalmente), ¡No pierdas tus decisiones!¿Cuáles son estas transformaciones? Por regla general, reducción por algo o división por algo. Entonces, por ejemplo, al dividir por, debe verificar si las funciones son soluciones de una ecuación diferencial. Al mismo tiempo, al dividir por la necesidad de tal verificación ya desaparece, debido al hecho de que este divisor no desaparece.
Aquí hay otra situación peligrosa:
Aquí, deshaciéndonos de , uno debe verificar si es una solución para el DE. A menudo, "x", "y" se encuentran como tal factor, y al reducirlos, perdemos funciones que pueden resultar soluciones.
Por otro lado, si algo está INICIALMENTE en el denominador, entonces no hay razón para tal preocupación. Entonces, en una ecuación homogénea, no tienes que preocuparte por la función, ya que está “declarada” en el denominador.
Las sutilezas enumeradas no pierden su relevancia, incluso si se requiere encontrar solo una solución particular al problema. Hay una pequeña, pero una posibilidad de que perdamos exactamente la solución particular requerida. Verdad Problema de Cauchy en tareas prácticas con ecuaciones homogéneas, se solicita muy raramente. Sin embargo, hay tales ejemplos en el artículo. Ecuaciones que se reducen a homogéneas, que recomiendo estudiar "en persecución" para consolidar tus habilidades de resolución.
También hay ecuaciones homogéneas más complejas. La dificultad no radica en el cambio de variable o simplificaciones, sino en las integrales bastante difíciles o raras que surgen como resultado de la separación de variables. Tengo ejemplos de soluciones para ecuaciones tan homogéneas: integrales feas y respuestas feas. Pero no hablaremos de ellos, porque en las próximas lecciones (vea abajo) Todavía tengo tiempo para torturarte, ¡te quiero ver fresco y optimista!
¡Promoción exitosa!
Soluciones y respuestas:
Ejemplo 2: Solución: verifique la homogeneidad de la ecuación, para esto, en la ecuación original en lugar de vamos a poner, y en lugar de sustituyamos: 
Como resultado se obtiene la ecuación original, lo que significa que esta ED es homogénea.
En la actualidad, según el nivel básico de estudio de las matemáticas, solo se brindan 4 horas para estudiar matemáticas en la escuela secundaria (2 horas de álgebra, 2 horas de geometría). En las escuelas pequeñas rurales se intenta aumentar el número de horas a expensas del componente escolar. Pero si la clase es humanitaria, entonces se agrega el componente escolar para estudiar materias humanitarias. En un pequeño pueblo, muchas veces un escolar no tiene que elegir, estudia en esa clase; lo que está disponible en la escuela. No se va a convertir en abogado, historiador o periodista (existen esos casos), pero quiere convertirse en ingeniero o economista, por lo que el examen de matemáticas debe aprobar con puntajes altos. En tales circunstancias, el profesor de matemáticas tiene que encontrar su propia salida a esta situación, además, según el libro de texto de Kolmogorov, no se proporciona el estudio del tema "ecuaciones homogéneas". En años pasados, para introducir este tema y reforzarlo, necesitaba dos lecciones dobles. Desafortunadamente, el control de supervisión educativa en nuestra escuela prohibió las lecciones dobles, por lo que la cantidad de ejercicios tuvo que reducirse a 45 minutos y, en consecuencia, el nivel de dificultad de los ejercicios se redujo a medio. Traigo a su atención un plan de lección sobre este tema en el grado 10 con un nivel básico de matemáticas en una pequeña escuela rural.
tipo de lección: tradicional.
Objetivo: aprender a resolver ecuaciones homogéneas típicas.
Tareas:
cognitivo:
Educativo:
Educativo:
- Educación de la diligencia a través del desempeño paciente de las tareas, un sentido de camaradería a través del trabajo en parejas y grupos.
durante las clases
I. Organizativo escenario(3 minutos)
II. Comprobación de los conocimientos necesarios para asimilar nuevo material (10 min.)
Identificar las principales dificultades con un mayor análisis de las tareas realizadas. Los niños tienen 3 opciones para elegir. Tareas diferenciadas por el grado de complejidad y el nivel de preparación de los niños, seguidas de una explicación en la pizarra.
1 nivel. Resuelve las ecuaciones:
- 3(x+4)=12,
- 2(x-15)=2x-30
- 5(2-x)=-3x-2(x+5)
- x 2 -10x+21=0 Respuestas: 7;3
2 nivel. Resuelve lo más simple ecuaciones trigonométricas y la ecuación bicuadrática: 
respuestas: 
b) x 4 -13x 3 +36=0 Respuestas: -2; 2; -3; 3
3er nivel Resolución de ecuaciones por el método de cambio de variables:
b) x 6 -9x 3 +8=0 Respuestas:
tercero Temas del mensaje, establecimiento de metas y objetivos.
Tema: Ecuaciones homogéneas
Objetivo: aprende a resolver ecuaciones homogéneas típicas
Tareas:
cognitivo:
- familiarícese con ecuaciones homogéneas, aprenda a resolver los tipos más comunes de tales ecuaciones.
Educativo:
- Desarrollo del pensamiento analítico.
- Desarrollo de habilidades matemáticas: aprender a resaltar las principales características por las que las ecuaciones homogéneas se diferencian de otras ecuaciones, ser capaz de establecer la similitud de las ecuaciones homogéneas en sus diversas manifestaciones.
IV. Asimilación de nuevos conocimientos (15 min.)
1. Momento de la lección.
Definición 1(Escribir en cuaderno). Una ecuación de la forma P(x;y)=0 se llama homogénea si P(x;y) es un polinomio homogéneo.
Un polinomio de dos variables x e y se llama homogéneo si el grado de cada uno de sus términos es igual al mismo número k.
Definición 2(Solo una introducción). Ecuaciones de la forma
se llama ecuación homogénea de grado n con respecto a u(x) y v(x). Al dividir ambos lados de la ecuación por (v(x))n, podemos usar la sustitución para obtener la ecuación
Esto simplifica la ecuación original. El caso v(x)=0 debe considerarse por separado, ya que es imposible dividir por 0.
2. Ejemplos de ecuaciones homogéneas:
Explique por qué son homogéneas, dé sus propios ejemplos de tales ecuaciones.
3. Tarea para la definición de ecuaciones homogéneas:
Entre las ecuaciones dadas, determine ecuaciones homogéneas y explique su elección:
Después de explicar su elección en uno de los ejemplos, muestre una forma de resolver una ecuación homogénea:
4. Decide por tu cuenta:
Responder: 
b) 2sen x - 3 cos x \u003d 0
Divida ambos lados de la ecuación por cos x, obtenemos 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Mostrar solución de ejemplo de folleto“P. V. Chulkov. Ecuaciones y desigualdades en el curso escolar de matemáticas. Universidad Pedagógica de Moscú "Primero de septiembre" 2006 p.22. Como un posible ejemplo nivel de USO DESDE.
V. Resolver para consolidar según el libro de texto de Bashmakov
P. 183 No. 59 (1.5) o según el libro de texto editado por Kolmogorov: P. 81 No. 169 (a, c)
respuestas: 
VI. Comprobación, trabajo independiente (7 min.)
| 1 opción | opcion 2 |
| Resolver ecuaciones: | |
| a) sen 2 x-5senxcosx + 6cos 2 x \u003d 0 | a) 3sen 2 x+2sen x cos x-2cos 2 x=0 |
b) cos 2 -3sen 2 \u003d 0 |
B) |
Respuestas a las tareas:
Opción 1 a) Respuesta: arctg2+πn,n € Z; b) Respuesta: ±π/2+ 3πn,n € Z; en) 
Opción 2 a) Respuesta: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Respuesta: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)
VII. Tarea
No. 169 según Kolmogorov, No. 59 según Bashmakov.
2) 3sen 2 x+2sen x cos x =2 identidad trigonométrica 2(sen 2 x + cos 2 x)
Respuesta: arctg(-1±√3) +πn ,
Referencias:
- PV Chulkov. Ecuaciones y desigualdades en el curso escolar de matemáticas. - M.: Universidad Pedagógica “Primero de Septiembre”, 2006. p.22
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometría. - M.: "AST-PRESS", 1998, pág. 389
- Álgebra para grado 8, editado por N.Ya. Vilenkin. - M .: "Ilustración", 1997.
- Álgebra para grado 9, editado por N.Ya. Vilenkin. Moscú "Ilustración", 2001.
- MI. Bashmákov. El álgebra y los comienzos del análisis. Para los grados 10-11 - M .: "Iluminación" 1993
- Kolmogorov, Abramov, Dudnitsin. El álgebra y los comienzos del análisis. Para 10-11 grados. - M .: "Ilustración", 1990.
- AG Mordkovich. El álgebra y los comienzos del análisis. Parte 1 Libro de texto 10-11 grados. - M.: "Mnemósine", 2004.
La función f(x,y) se llama función homogénea de sus argumentos de dimensión n si la identidad f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).
Por ejemplo, la función f(x,y)=x^2+y^2-xy es una función homogénea de la segunda dimensión, ya que
F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).
Para n=0 tenemos una función de dimensión cero. Por ejemplo, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) es una función homogénea de dimensión cero, ya que
(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)
Ecuación diferencial de la forma \frac(dy)(dx)=f(x,y) se dice que es homogéneo con respecto a xey si f(x,y) es una función homogénea de sus argumentos de dimensión nula. Una ecuación homogénea siempre se puede representar como
\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).
Al introducir una nueva función deseada u=\frac(y)(x), la ecuación (1) se puede reducir a una ecuación con variables de separación:
X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.
Si u=u_0 es la raíz de la ecuación \varphi(u)-u=0 , entonces la solución de la ecuación homogénea será u=u_0 o y=u_0x (la recta que pasa por el origen).
Comentario. Al resolver ecuaciones homogéneas, no es necesario reducirlas a la forma (1). Inmediatamente puede hacer la sustitución y=ux .
Ejemplo 1 Resolver una ecuación homogénea xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.
Solución. Escribimos la ecuación en la forma y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !} por lo que la ecuación dada resulta ser homogénea con respecto a xey. Pongamos u=\frac(y)(x) , o y=ux . Entonces y"=xu"+u . Sustituyendo las expresiones por y e y" en la ecuación, obtenemos x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Separación de variables: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). De aquí, por integración, encontramos
\arcsen(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), o \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).
Como C_1|x|=\pm(C_1x) , denotando \pm(C_1)=C , obtenemos \arcsen(u)=\ln(Cx), donde |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) o e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Reemplazando u con \frac(y)(x) , tendremos la integral general \arcsen(y)(x)=\ln(Cx).
Por lo tanto, la solución general: y=x\sin\ln(Cx) .
Al separar variables, dividimos ambos lados de la ecuación por el producto x\sqrt(1-u^2), por lo que podríamos perder la solución que convierte este producto en cero.
Ahora pongamos x=0 y \sqrt(1-u^2)=0 . Pero x\ne0 debido a la sustitución u=\frac(y)(x) , y de la relación \sqrt(1-u^2)=0 obtenemos que 1-\frac(y^2)(x^2)=0, de donde y=\pm(x) . Por verificación directa, nos aseguramos de que las funciones y=-x y y=x también son soluciones de esta ecuación.
Ejemplo 2 Considere la familia de curvas integrales C_\alpha de la ecuación homogénea y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Demuestre que las tangentes en los puntos correspondientes a las curvas definidas por esta ecuación diferencial homogénea son paralelas entre sí.
Nota: llamaremos pertinente aquellos puntos en las curvas C_\alpha que se encuentran en el mismo rayo a partir del origen.
Solución. Por definición de los puntos correspondientes, tenemos \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), de modo que, en virtud de la propia ecuación, y"=y"_1, donde y" e y"_1 son las pendientes de las tangentes a las curvas integrales C_\alpha y C_(\alpha_1), en los puntos M y M_1, respectivamente (Fig. 12).
Ecuaciones que se reducen a homogéneas
PERO. Considere una ecuación diferencial de la forma
\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).
donde a,b,c,a_1,b_1,c_1 son constantes y f(u) es función continua de su argumento u .
Si c=c_1=0, entonces la ecuación (3) es homogénea y se integra como arriba.
Si al menos uno de los números c,c_1 es diferente de cero, entonces se deben distinguir dos casos.
1) Determinante \Delta=\begin(vmatriz)a&b\\a_1&b_1\end(vmatriz)\ne0. Introduciendo nuevas variables \xi y \eta según las fórmulas x=\xi+h,~y=\eta+k , donde h y k siguen siendo constantes indefinidas, llevamos la ecuación (3) a la forma
\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\Correcto).
Elegir h y k como solución al sistema ecuaciones lineales
\begin(casos)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(casos)~(\Delta\ne0),
obtenemos una ecuación homogénea \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Habiendo encontrado su integral general y reemplazando \xi con x-h en ella, y \eta con y-k, obtenemos la integral general de la ecuación (3).
2) Determinante \Delta=\begin(vmatriz)a&b\\a_1&b_1\end(vmatriz)=0. El sistema (4) no tiene soluciones en el caso general, y el método anterior no es aplicable; en este caso \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, y, por lo tanto, la ecuación (3) tiene la forma \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). La sustitución z=ax+by lo lleva a una ecuación variable separable.
Ejemplo 3 resuelve la ecuación (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.
Solución. Considere un sistema de lineal ecuaciones algebraicas \begin(casos)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(casos)
El determinante de este sistema \Delta=\begin(vmatriz)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatriz)=-2\ne0.
el sistema tiene única decisión x_0=-1,~y_0=3 . Hacemos el reemplazo x=\xi-1,~y=\eta+3 . Entonces la ecuación (5) toma la forma
(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.
Esta ecuación es una ecuación homogénea. Haciendo \eta=u\xi , obtenemos
(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, donde (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.
Separación de variables \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.
Integrando, encontramos \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) o \xi^2(1+2u-u^2)=C .
Volviendo a las variables x,~y :
(x+1)^2\izquierda=C_1 o x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).
Ejemplo 4 resuelve la ecuación (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.
Solución. Sistema de ecuaciones algebraicas lineales \begin(casos)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(casos) incompatible. En este caso, el método aplicado en el ejemplo anterior no es adecuado. Para integrar la ecuación, usamos la sustitución x+y=z , dy=dz-dx . La ecuación tomará la forma
(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.
Separando las variables, obtenemos
Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 por lo tanto x-2z-3\ln|z-2|=C.
Volviendo a las variables x,~y , obtenemos la integral general de esta ecuación
X+2y+3\ln|x+y-2|=C.
B. A veces, la ecuación se puede reducir a una homogénea cambiando la variable y=z^\alpha. Este es el caso cuando todos los términos en la ecuación tienen la misma dimensión, si a la variable x se le da la dimensión 1, a la variable y se le da la dimensión \alpha, y a la derivada \frac(dy)(dx) se le da la dimensión dimensión \alpha-1 .
Ejemplo 5 resuelve la ecuación (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.
Solución. haciendo una sustitución y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, donde \alpha es un número arbitrario por ahora, que elegiremos más adelante. Sustituyendo las expresiones por y y dy en la ecuación, obtenemos
\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 o \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,
Tenga en cuenta que x^2z^(3\alpha-1) tiene la dimensión 2+3\alfa-1=3\alfa+1, z^(\alpha-1) tiene dimensión \alpha-1 , xz^(3\alpha) tiene dimensión 1+3\alpha . La ecuación resultante será homogénea si las medidas de todos los términos son iguales, es decir si se cumple la condicion 3\alfa+1=\alfa-1, o \alpha-1 .
Pongamos y=\frac(1)(z) ; la ecuación original toma la forma
\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 o (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.
vamos a poner ahora z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Entonces esta ecuación tomará la forma (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, donde u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.
Separando las variables en esta ecuación \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrando, encontramos
\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) o \frac(x(u^2+1))(u)=C.
Reemplazando u con \frac(1)(xy) , obtenemos la integral general de esta ecuación 1+x^2y^2=Cy.
La ecuación también tiene una solución obvia y=0 , que se obtiene de la integral general en C\to\infty si la integral se escribe como y=\frac(1+x^2y^2)(C), y luego salta al límite en C\to\infty . Por tanto, la función y=0 es una solución particular de la ecuación original.
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Para resolver una ecuación diferencial homogénea de 1er orden se utiliza la sustitución u=y/x, es decir, u es una nueva función desconocida que depende de x. Por lo tanto y=ux. La derivada y' se encuentra usando la regla de diferenciación del producto: y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (ya que x'=1). Para otra forma de escritura: dy=udx+xdu Después de la sustitución, simplificamos la ecuación y llegamos a una ecuación con variables separables.
Ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas de 1er orden.
1) Resuelve la ecuación
Comprobamos que esta ecuación es homogénea (ver Cómo definir una ecuación homogénea). Asegurándonos, hacemos el reemplazo u=y/x, de donde y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Sustituir: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Como el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos, ln(ux)=lnu+lnx. De aquí
u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Después de traer términos semejantes: u'x+u=u(1+lnu). Ahora expande los paréntesis
u'x+u=u+u lnu. Ambas partes contienen u, por lo tanto u'x=u·lnu. Como u es una función de x, u’=du/dx. Sustituir
Obtuvimos una ecuación con variables separables. Separamos las variables, para lo cual multiplicamos ambas partes por dx y dividimos por x u lnu, siempre que el producto x u lnu≠0
Integramos:
En el lado izquierdo hay una integral tabular. A la derecha, hacemos el reemplazo t=lnu, de donde dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Pero ya hemos discutido que en tales ecuaciones es más conveniente tomar ln│C│ en lugar de С. Luego
ln│t│=ln│x│+ln│C│. Por la propiedad de los logaritmos: ln│t│=ln│Сx│. Por lo tanto t=Cx. (por condición, x>0). Es hora de hacer la sustitución inversa: lnu=Cx. Y otra sustitución inversa:
Según la propiedad de los logaritmos:
Esta es la integral general de la ecuación.
Recuerde el producto de condición x·u·lnu≠0 (lo que significa x≠0,u≠0, lnu≠0, de donde u≠1). Pero x≠0 de la condición sigue siendo u≠1, por lo tanto, x≠y. Obviamente, y=x (x>0) están incluidos en la solución general.
2) Hallar la integral parcial de la ecuación y’=x/y+y/x que satisfaga las condiciones iniciales y(1)=2.
Primero, comprobamos que esta ecuación es homogénea (aunque la presencia de los términos y/x y x/y ya lo indica indirectamente). Entonces hacemos el reemplazo u=y/x, de donde y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Sustituimos las expresiones resultantes en la ecuación:
u'x+u=1/u+u. Simplificando:
u'x=1/u. Como u es función de x, u’=du/dx:
Obtuvimos una ecuación con variables separables. Para separar las variables, multiplicamos ambas partes por dx y u y dividimos por x (x≠0 por la condición, por lo tanto u≠0 también, lo que significa que no hay pérdida de decisiones).
Integramos:
y como hay integrales tabulares en ambas partes, inmediatamente obtenemos
Realizando una sustitución inversa:
Esta es la integral general de la ecuación. Usamos la condición inicial y(1)=2, es decir, sustituimos y=2, x=1 en la solución resultante:
3) Encuentra la integral general de la ecuación homogénea:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Cambie u=y/x, de donde y=ux, dy=xdu+udx. Sustituimos:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Sacamos x² de los paréntesis y dividimos ambas partes por él (suponiendo que x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Expande los paréntesis y simplifica:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Agrupación de términos con du y dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Sacamos los factores comunes entre paréntesis:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Separación de variables:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Para ello, dividimos ambas partes de la ecuación por xu(u²+1)≠0 (en consecuencia, sumamos los requisitos x≠0 (ya señalados), u≠0):
Integramos:
En el lado derecho de la ecuación hay una integral tabular, la fracción racional en el lado izquierdo se descompone en factores simples:
(o en la segunda integral, en lugar de subsumir bajo el signo diferencial, era posible hacer la sustitución t=1+u², dt=2udu - quien quiera de qué manera). Obtenemos:
Según las propiedades de los logaritmos:
reemplazo inverso
Recuerde la condición u≠0. Por lo tanto y≠0. Cuando C=0 y=0, entonces no hay pérdida de soluciones y y=0 se incluye en la integral general.
Comentario
Puede obtener la solución en una forma diferente si deja el término con x a la izquierda:
El significado geométrico de la curva integral en este caso es una familia de círculos centrados en el eje Oy y que pasan por el origen.
Tareas para la autoevaluación:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) Comprobamos que la ecuación es homogénea, después de lo cual hacemos la sustitución u=y/x, de donde y=ux, dy=xdu+udx. Sustituye en la condición: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Dividiendo ambos lados de la ecuación por x²≠0, obtenemos: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Por lo tanto dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Simplificando, tenemos: dx-xudu=0. Por lo tanto xudu=dx, udu=dx/x. Integramos ambas partes: