Ecuación homogénea de primer orden. Ecuaciones diferenciales homogéneas

Respuestas preparadas a ejemplos para homogéneo ecuaciones diferenciales Muchos alumnos están buscando el primer orden (DEs del 1er orden son los más comunes en el entrenamiento), luego puedes analizarlos en detalle. Pero antes de proceder a la consideración de ejemplos, le recomendamos que lea atentamente un breve material teórico.
Las ecuaciones de la forma P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, donde las funciones P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo orden, se denominan ecuación diferencial homogénea(ODR).

Esquema para resolver una ecuación diferencial homogénea

1. Primero debe aplicar la sustitución y=z*x, donde z=z(x) es una nueva función desconocida (por lo tanto, la ecuación original se reduce a una ecuación diferencial con variables separables).
2. La derivada del producto es y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z o en diferenciales dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. A continuación, sustituimos la nueva función y y su derivada y "(o dy) en DE con variables separables con respecto a x y z .
4. Habiendo resuelto la ecuación diferencial con variables separables, haremos un reemplazo inverso y=z*x, por lo tanto z= y/x, y obtenemos decisión común(integral general) de la ecuación diferencial.
5. Si se da la condición inicial y(x 0)=y 0, entonces encontramos una solución particular al problema de Cauchy. En teoría, todo suena fácil, pero en la práctica, no todos son tan divertidos para resolver ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, para profundizar el conocimiento, considere ejemplos comunes. En las tareas fáciles, no hay mucho que enseñarte, por lo que pasaremos inmediatamente a las más complejas.

Cálculos de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden

Ejemplo 1

Solución: dividir lado derecho ecuaciones para una variable que es un factor cercano a la derivada. Como resultado, llegamos a ecuación diferencial homogénea de orden 0

Y aquí se volvió interesante para muchos, ¿Cómo determinar el orden de una función de una ecuación homogénea?
La pregunta es lo suficientemente relevante, y la respuesta es la siguiente:
en el lado derecho, sustituimos el valor t*x, t*y en lugar de la función y el argumento. Al simplificar, el parámetro "t" se obtiene en un cierto grado k, y se llama el orden de la ecuación. En nuestro caso, se reducirá "t", que equivale al grado 0 o orden cero de la ecuación homogénea.
Más adelante en el lado derecho podemos pasar a la nueva variable y=zx; z=y/x.
Al mismo tiempo, no olvides expresar la derivada de "y" a través de la derivada de la nueva variable. Por la regla de las partes, encontramos

Ecuaciones en Diferenciales tomará la forma

Reducimos los términos conjuntos en los lados derecho e izquierdo y pasamos a ecuación diferencial con variables separadas.

Integramos ambas partes del DE

Para la conveniencia de futuras transformaciones, introducimos inmediatamente la constante debajo del logaritmo

De acuerdo con las propiedades de los logaritmos, el obtenido ecuación logarítmica es equivalente a lo siguiente

Esta entrada aún no es una solución (respuesta), debe volver al cambio de variables realizado

Así encuentran solución general de ecuaciones diferenciales. Si lee atentamente las lecciones anteriores, entonces dijimos que debería poder aplicar el esquema para calcular ecuaciones con variables separadas libremente y dichas ecuaciones deberán calcularse para tipos de control remoto más complejos.

Ejemplo 2 Encuentra la integral de una ecuación diferencial

Solución: El esquema para calcular ED homogéneos y resumidos ahora le resulta familiar. Pasamos la variable al lado derecho de la ecuación, y también en el numerador y denominador sacamos x 2 como factor común

Por lo tanto, obtenemos una ED homogénea de orden cero.
El siguiente paso es introducir el cambio de variables z=y/x, y=z*x , que te recordaremos constantemente que memorices

Después de eso, escribimos el DE en diferenciales

A continuación, transformamos la dependencia a ecuación diferencial con variables separadas

y resolverlo por integración.

Las integrales son simples, el resto de las transformaciones se basan en las propiedades del logaritmo. La última acción consiste en exponer el logaritmo. Finalmente, volvemos al reemplazo original y escribimos en el formulario

La constante "C" toma cualquier valor. Todos aquellos que estudian en ausencia tienen problemas en los exámenes con este tipo de ecuaciones, así que por favor miren con atención y recuerden el esquema de cálculo.

Ejemplo 3 Resolver ecuación diferencial

Solución: Como se desprende de la técnica anterior, las ecuaciones diferenciales de este tipo resuelven introduciendo una nueva variable. Reescribamos la dependencia para que la derivada no tenga variable

Además, al analizar el lado derecho, vemos que la parte -ee está presente en todas partes y se denota por la nueva incógnita
z=y/x, y=z*x.
Encontrar la derivada de y

Teniendo en cuenta el reemplazo, reescribimos el DE original en la forma

Simplifique los mismos términos y reduzca todos los términos recibidos a DE con variables separadas

Integrando ambos lados de la igualdad

llegamos a la solución en forma de logaritmos

Al exponer las dependencias encontramos solución general de una ecuación diferencial

que, después de sustituir el cambio inicial de variables en él, toma la forma

Aquí C es una constante, que se puede extender a partir de la condición de Cauchy. Si no se da el problema de Cauchy, entonces se convierte en un valor real arbitrario.
Esa es toda la sabiduría en el cálculo de ecuaciones diferenciales homogéneas.

Creo que deberíamos comenzar con la historia de una herramienta matemática tan gloriosa como las ecuaciones diferenciales. Como todo cálculo diferencial e integral, estas ecuaciones fueron inventadas por Newton a fines del siglo XVII. Consideró este mismo descubrimiento suyo tan importante que incluso cifró el mensaje, que hoy se puede traducir más o menos así: "Todas las leyes de la naturaleza se describen mediante ecuaciones diferenciales". Esto puede parecer una exageración, pero es cierto. Cualquier ley de la física, química, biología puede ser descrita por estas ecuaciones.

Los matemáticos Euler y Lagrange hicieron una gran contribución al desarrollo y la creación de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Ya en el siglo XVIII descubrieron y desarrollaron lo que ahora estudian en los cursos superiores de las universidades.

Un nuevo hito en el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó gracias a Henri Poincaré. Creó una "teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales", que, en combinación con la teoría de funciones de una variable compleja, hizo una contribución significativa a la base de la topología: la ciencia del espacio y sus propiedades.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Mucha gente tiene miedo de una frase.Sin embargo, en este artículo detallaremos toda la esencia de este aparato matemático muy útil, que en realidad no es tan complicado como parece por el nombre. Para comenzar a hablar sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, primero debe familiarizarse con los conceptos básicos que están inherentemente relacionados con esta definición. Comencemos con el diferencial.

Diferencial

Mucha gente conoce este concepto de la escuela. Sin embargo, echemos un vistazo más de cerca. Imagina la gráfica de una función. Podemos aumentarlo hasta tal punto que cualquiera de sus segmentos tome la forma de una línea recta. En él tomamos dos puntos que están infinitamente cerca uno del otro. La diferencia entre sus coordenadas (x o y) será un valor infinitesimal. Se llama diferencial y se denota con los signos dy (diferencial de y) y dx (diferencial de x). Es muy importante entender que el diferencial no es un valor finito, y este es su significado y función principal.

Y ahora es necesario considerar el siguiente elemento, que nos será útil para explicar el concepto de ecuación diferencial. Este es un derivado.

Derivado

Probablemente todos escuchamos este concepto en la escuela. Se dice que la derivada es la tasa de crecimiento o decrecimiento de una función. Sin embargo, gran parte de esta definición se vuelve incomprensible. Intentemos explicar la derivada en términos de diferenciales. Volvamos a un segmento infinitesimal de una función con dos puntos que están a una distancia mínima entre sí. Pero incluso para esta distancia, la función logra cambiar en cierta medida. Y para describir este cambio, idearon una derivada, que de otro modo se puede escribir como una relación de diferenciales: f (x) "=df / dx.

Ahora vale la pena considerar las propiedades básicas de la derivada. Solo hay tres de ellos:

1. La derivada de la suma o diferencia se puede representar como la suma o diferencia de las derivadas: (a+b)"=a"+b" y (a-b)"=a"-b".
2. La segunda propiedad está relacionada con la multiplicación. La derivada de un producto es la suma de los productos de una función y la derivada de otra: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. La derivada de la diferencia se puede escribir como la siguiente igualdad: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Todas estas propiedades nos serán útiles para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.

También hay derivadas parciales. Digamos que tenemos una función z que depende de las variables x e y. Para calcular la derivada parcial de esta función, digamos, con respecto a x, necesitamos tomar la variable y como una constante y simplemente derivar.

Integral

Otro concepto importante- integral. De hecho, este es el opuesto directo de la derivada. Hay varios tipos de integrales, pero para resolver las ecuaciones diferenciales más simples, necesitamos las más triviales.

Entonces, digamos que tenemos alguna dependencia de f en x. Tomamos la integral y obtenemos la función F (x) (a menudo llamada antiderivada), cuya derivada es igual a la función original. Así F(x)"=f(x). También se sigue que la integral de la derivada es igual a la función original.

Al resolver ecuaciones diferenciales, es muy importante entender el significado y la función de la integral, ya que tendrás que tomarlas muy a menudo para encontrar una solución.

Las ecuaciones son diferentes dependiendo de su naturaleza. En la siguiente sección, consideraremos los tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y luego aprenderemos cómo resolverlas.

Clases de ecuaciones diferenciales

"Diffura" se dividen de acuerdo con el orden de los derivados involucrados en ellos. Así, existe el primer, segundo, tercer y más orden. También se pueden dividir en varias clases: derivadas ordinarias y parciales.

En este artículo, consideraremos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. También discutiremos ejemplos y formas de resolverlos en las siguientes secciones. Consideraremos solo las ODE, porque estos son los tipos de ecuaciones más comunes. Las ordinarias se dividen en subespecies: con variables separables, homogéneas y heterogéneas. A continuación, aprenderá en qué se diferencian entre sí y cómo resolverlos.

Además, estas ecuaciones se pueden combinar, de manera que después obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. También consideraremos tales sistemas y aprenderemos cómo resolverlos.

¿Por qué estamos considerando sólo el primer orden? Porque necesita comenzar con uno simple, y es simplemente imposible describir todo lo relacionado con las ecuaciones diferenciales en un artículo.

Ecuaciones de variables separables

Estas son quizás las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples. Estos incluyen ejemplos que se pueden escribir así: y "=f (x) * f (y). Para resolver esta ecuación, necesitamos una fórmula para representar la derivada como una relación de diferenciales: y" = dy / dx. Usándolo, obtenemos la siguiente ecuación: dy/dx=f(x)*f(y). Ahora podemos pasar al método para resolver ejemplos estándar: dividiremos las variables en partes, es decir, transferiremos todo lo que tenga la variable y a la parte donde se encuentra dy, y haremos lo mismo con la variable x. Obtenemos una ecuación de la forma: dy/f(y)=f(x)dx, que se resuelve tomando las integrales de ambas partes. No te olvides de la constante, que debe establecerse después de tomar la integral.

La solución de cualquier "diferencia" es una función de la dependencia de x con y (en nuestro caso) o, si hay una condición numérica, entonces la respuesta tiene forma de número. echemos un vistazo a ejemplo específico todo el curso de la solución:

Transferimos variables en diferentes direcciones:

Ahora tomamos integrales. Todos ellos se pueden encontrar en una tabla especial de integrales. Y obtenemos:

log(y) = -2*cos(x) + C

Si es necesario, podemos expresar "y" como una función de "x". Ahora podemos decir que nuestra ecuación diferencial se resuelve si no se da ninguna condición. Se puede dar una condición, por ejemplo, y(n/2)=e. Luego simplemente sustituimos el valor de estas variables en la solución y encontramos el valor de la constante. En nuestro ejemplo, es igual a 1.

Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden

Ahora pasemos a la parte más difícil. Las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden se pueden escribir en vista general entonces: y"=z(x,y). Cabe señalar que la función correcta de dos variables es homogénea, y no se puede dividir en dos dependencias: z en x y z en y. Comprobando si la ecuación es homogénea o No es bastante simple: hacemos el reemplazo x=k*x y y=k*y. Ahora cancelamos todas las k. Si todas estas letras se han reducido, entonces la ecuación es homogénea y puedes proceder con seguridad a resolverla. Buscando adelante, digamos: el principio de resolver estos ejemplos también es muy simple.

Necesitamos hacer un reemplazo: y=t(x)*x, donde t es una función que también depende de x. Entonces podemos expresar la derivada: y"=t"(x)*x+t. Sustituyendo todo esto en nuestra ecuación original y simplificándola, obtenemos un ejemplo con variables separables t y x. Lo resolvemos y obtenemos la dependencia t(x). Cuando lo tengamos, simplemente sustituimos y=t(x)*x en nuestro reemplazo anterior. Entonces obtenemos la dependencia de y de x.

Para que quede más claro, veamos un ejemplo: x*y"=y-x*e y/x .

Al consultar con un reemplazo, todo se reduce. Así que la ecuación es realmente homogénea. Ahora hacemos otro reemplazo del que hablamos: y=t(x)*x y y"=t"(x)*x+t(x). Después de la simplificación, obtenemos la siguiente ecuación: t "(x) * x \u003d -et. Resolvemos el ejemplo resultante con variables separadas y obtenemos: e -t \u003d ln (C * x). Solo necesitamos reemplazar t con y / x (porque si y \u003d t * x, entonces t \u003d y / x), y obtenemos la respuesta: e -y / x \u003d ln (x * C).

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Es hora de considerar otro tema amplio. Analizaremos ecuaciones diferenciales no homogéneas de primer orden. ¿En qué se diferencian de los dos anteriores? Averigüémoslo. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma general se pueden escribir de la siguiente manera: y " + g (x) * y \u003d z (x). Vale la pena aclarar que z (x) y g (x) pueden ser valores constantes .

Y ahora un ejemplo: y" - y*x=x 2 .

Hay dos formas de resolver, y analizaremos ambas en orden. El primero es el método de variación de constantes arbitrarias.

Para poder resolver la ecuación de esta forma, primero debes igualar el lado derecho a cero y resolver la ecuación resultante, que tras trasladar las partes tomará la forma:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Ahora necesitamos reemplazar la constante C 1 con la función v(x), que tenemos que encontrar.

Cambiemos la derivada:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Sustituyamos estas expresiones en la ecuación original:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Se puede ver que dos términos se cancelan en el lado izquierdo. Si en algún ejemplo esto no sucedió, entonces hiciste algo mal. Continuemos:

v"*e x2/2 = x2.

Ahora resolvemos la ecuación habitual en la que necesitamos separar las variables:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Para extraer la integral, tenemos que aplicar aquí la integración por partes. Sin embargo, este no es el tema de nuestro artículo. Si está interesado, puede aprender cómo realizar tales acciones usted mismo. No es difícil, y con suficiente habilidad y cuidado, no toma mucho tiempo.

Pasemos al segundo método para resolver ecuaciones no homogéneas: el método de Bernoulli. Qué enfoque es más rápido y más fácil depende de usted.

Entonces, al resolver la ecuación por este método, necesitamos hacer un reemplazo: y=k*n. Aquí k y n son algunas funciones dependientes de x. Entonces la derivada se verá así: y"=k"*n+k*n". Sustituimos ambos reemplazos en la ecuación:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Agrupamiento:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ahora necesitamos igualar a cero lo que está entre paréntesis. Ahora, si combinamos las dos ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que necesita ser resuelto:

Resolvemos la primera igualdad como una ecuación ordinaria. Para hacer esto, necesitas separar las variables:

Tomamos la integral y obtenemos: ln(n)=x 2 /2. Entonces, si expresamos n:

Ahora sustituimos la igualdad resultante en la segunda ecuación del sistema:

k "*e x2/2 \u003d x2.

Y transformando, obtenemos la misma igualdad que en el primer método:

dk=x 2 /e x2/2 .

Tampoco analizaremos más acciones. Vale la pena decir que, al principio, la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden presenta importantes dificultades. Sin embargo, con una inmersión más profunda en el tema, comienza a mejorar cada vez más.

¿Dónde se usan las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales se usan de forma muy activa en física, ya que casi todas las leyes básicas están escritas en forma diferencial, y las fórmulas que vemos son la solución de estas ecuaciones. En química, se utilizan por la misma razón: las leyes básicas se derivan de ellos. En biología, las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de los sistemas, como depredador-presa. También se pueden utilizar para crear modelos de reproducción de, por ejemplo, una colonia de microorganismos.

¿Cómo ayudarán las ecuaciones diferenciales en la vida?

La respuesta a esta pregunta es simple: de ninguna manera. Si no es científico o ingeniero, es poco probable que le sean útiles. Sin embargo, por desarrollo general No está de más saber qué es una ecuación diferencial y cómo se resuelve. Y luego la pregunta de un hijo o hija "¿qué es una ecuación diferencial?" no te confundirá. Bueno, si eres científico o ingeniero, entonces tú mismo comprendes la importancia de este tema en cualquier ciencia. Pero lo más importante es que ahora la pregunta "¿cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden?" siempre puedes responder. De acuerdo, siempre es bueno cuando entiendes lo que la gente incluso teme entender.

Principales problemas en el aprendizaje.

El principal problema para comprender este tema es la poca habilidad para integrar y diferenciar funciones. Si eres malo tomando derivadas e integrales, entonces probablemente deberías aprender más, dominar diferentes métodos integración y diferenciación, y solo luego proceder al estudio del material que se describió en el artículo.

Algunas personas se sorprenden cuando se enteran de que dx se puede transferir, porque anteriormente (en la escuela) se dijo que la fracción dy / dx es indivisible. Aquí debe leer la literatura sobre la derivada y comprender que es la relación de cantidades infinitesimales que se pueden manipular al resolver ecuaciones.

Muchos no se dan cuenta de inmediato de que la solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden es a menudo una función o una integral que no se puede tomar, y este engaño les causa muchos problemas.

¿Qué más se puede estudiar para una mejor comprensión?

Lo mejor es iniciar una mayor inmersión en el mundo del cálculo diferencial con libros de texto especializados, por ejemplo, Análisis matemático para estudiantes de especialidades no matemáticas. Luego puede pasar a literatura más especializada.

Vale la pena decir que, además de las ecuaciones diferenciales, también existen las ecuaciones integrales, por lo que siempre tendrás algo por lo que esforzarte y algo que estudiar.

Conclusión

Esperamos que después de leer este artículo tengas una idea de qué son las ecuaciones diferenciales y cómo resolverlas correctamente.

En cualquier caso, las matemáticas son de alguna manera útiles para nosotros en la vida. Desarrolla la lógica y la atención, sin las cuales cada persona es como si no tuviera manos.

En algunos problemas de física no se puede establecer una conexión directa entre las cantidades que describen el proceso. Pero existe la posibilidad de obtener una igualdad que contenga las derivadas de las funciones en estudio. Es así como surgen las ecuaciones diferenciales y la necesidad de resolverlas para encontrar una función desconocida.

Este artículo está dirigido a aquellos que se enfrentan al problema de resolver una ecuación diferencial en la que la función desconocida es función de una variable. La teoría está construida de tal manera que con una comprensión cero de las ecuaciones diferenciales, puede hacer su trabajo.

Cada tipo de ecuaciones diferenciales está asociado con un método de solución con explicaciones detalladas y soluciones de ejemplos y problemas típicos. Solo tienes que determinar el tipo de ecuación diferencial de tu problema, encontrar un ejemplo analizado similar y realizar acciones similares.

Para resolver con éxito ecuaciones diferenciales por tu parte, también necesitarás la habilidad de encontrar conjuntos de antiderivadas ( Integrales indefinidas) Varias funciones. Si es necesario, le recomendamos que consulte la sección.

Primero, considere los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se pueden resolver con respecto a la derivada, luego pasaremos a las EDO de segundo orden, luego nos detendremos en las ecuaciones de orden superior y terminaremos con los sistemas de ecuaciones diferenciales.

Recuerde que si y es una función del argumento x .

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Las ecuaciones diferenciales más simples de primer orden de la forma .

Escribamos varios ejemplos de tal DE .

Ecuaciones diferenciales se puede resolver con respecto a la derivada dividiendo ambos lados de la igualdad por f(x) . En este caso llegamos a la ecuación , que será equivalente a la original para f(x) ≠ 0 . Ejemplos de tales ODE son .

Si hay valores del argumento x para los cuales las funciones f(x) y g(x) desaparecen simultáneamente, aparecen soluciones adicionales. Soluciones adicionales a la ecuación dado x son las funciones definidas para esos valores de argumento. Ejemplos de tales ecuaciones diferenciales son .

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Lineales de Segundo Orden con Coeficientes Constantes.

LODE con coeficientes constantes es un tipo muy común de ecuaciones diferenciales. Su solución no es particularmente difícil. Primero, se encuentran las raíces de la ecuación característica . Para p y q diferentes, son posibles tres casos: las raíces de la ecuación característica pueden ser reales y diferentes, reales y coincidentes o complejo conjugado. Dependiendo de los valores de las raíces de la ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial se escribe como , o , o respectivamente.

Por ejemplo, considere una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes. Las raíces de su ecuación característica son k 1 = -3 y k 2 = 0. Las raíces son reales y diferentes, por lo tanto, la solución general de la LDE con coeficientes constantes es


Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución general de la LIDE de segundo orden con coeficientes constantes y se busca como la suma de la solución general de la LODE correspondiente y una solución particular de la ecuación no homogénea original, es decir, . El párrafo anterior está dedicado a encontrar una solución general a una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Y una solución particular se determina ya sea por el método de coeficientes indefinidos en cierta forma función f(x), colocándose en el lado derecho de la ecuación original, o por el método de variación de constantes arbitrarias.

Como ejemplos de LIDE de segundo orden con coeficientes constantes, presentamos


Para comprender la teoría y familiarizarse con las soluciones detalladas de los ejemplos, le ofrecemos en la página ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales homogéneas lineales (LODE) y ecuaciones diferenciales no homogéneas lineales de segundo orden (LNDE).

Un caso especial de ecuaciones diferenciales de este tipo son LODE y LODE con coeficientes constantes.

La solución general de la LODE en un cierto intervalo está representada por una combinación lineal de dos soluciones particulares linealmente independientes y 1 y y 2 de esta ecuación, es decir, .

La principal dificultad radica precisamente en encontrar soluciones parciales linealmente independientes de este tipo de ecuaciones diferenciales. Por lo general, las soluciones particulares se eligen de los siguientes sistemas de funciones linealmente independientes:


Sin embargo, las soluciones particulares no siempre se presentan de esta forma.

Un ejemplo de LODU es .

La solución general de la LIDE se busca en la forma , donde es la solución general de la LODE correspondiente, y es una solución particular de la ecuación diferencial original. Acabamos de hablar de encontrar, pero se puede determinar usando el método de variación de constantes arbitrarias.

Un ejemplo de LNDE es .

Ecuaciones diferenciales de orden superior.

Ecuaciones diferenciales que admiten reducción de orden.

Orden de la ecuación diferencial , que no contiene la función deseada y sus derivadas hasta el orden k-1, se puede reducir a n-k reemplazando .

En este caso, y la ecuación diferencial original se reduce a . Después de encontrar su solución p(x), queda volver al reemplazo y determinar la función desconocida y .

Por ejemplo, la ecuación diferencial después del reemplazo se convierte en una ecuación separable, y su orden se reduce del tercero al primero.

Por ejemplo, la función
es una función homogénea de la primera dimensión, ya que

es una función homogénea de la tercera dimensión, ya que

es una función homogénea de dimensión cero, ya que

, es decir.
.

Definición 2. Ecuación diferencial de primer orden y" = F(X, y) se llama homogénea si la función F(X, y) es una función homogénea de dimensión cero con respecto a X Y y, o, como dicen, F(X, y) es una función homogénea de grado cero.

Se puede representar como

lo que nos permite definir una ecuación homogénea como una ecuación diferencial que puede transformarse a la forma (3.3).

Reemplazo
reduce una ecuación homogénea a una ecuación con variables separables. De hecho, después de la sustitución y=xz obtenemos
,
Separando las variables e integrando, encontramos:

,

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación.

Δ Suponemos y=zx,
Sustituimos estas expresiones y Y dy en esta ecuación:
o
Separación de variables:
e integrar:
,

reemplazando z sobre el , obtenemos
.

Ejemplo 2 Encuentre la solución general de la ecuación.

Δ En esta ecuación PAGS (X,y) =X 2 -2y 2 ,q(X,y) =2xy son funciones homogéneas de la segunda dimensión, por lo tanto, esta ecuación es homogénea. Se puede representar como
y resuelve de la misma manera que arriba. Pero usamos una notación diferente. Pongamos y = zx, donde dy = zdx + xdz. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original, tendremos

dx+2 zxdz = 0 .

Separamos las variables, contando

.

Integramos término a término esta ecuación

, donde

es decir
. Volviendo a la función anterior
encontrar una solución general


Ejemplo 3 . Encuentre una solución general a la ecuación
.

Δ Cadena de transformaciones: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Conferencia 8

4. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma

Aquí, está el término libre, también llamado el lado derecho de la ecuación. De esta forma, consideraremos la ecuación lineal en lo que sigue.

Si
0, entonces la ecuación (4.1a) se llama lineal no homogénea. Si
0, entonces la ecuación toma la forma

y se llama homogénea lineal.

El nombre de la ecuación (4.1a) se explica por el hecho de que la función desconocida y y su derivado ingréselo linealmente, es decir en primer grado.

En una ecuación homogénea lineal, las variables están separadas. Reescribiéndolo en la forma
donde
e integrando, obtenemos:
,esos.

cuando se divide por perdemos la decisión
. Sin embargo, puede incluirse en la familia de soluciones encontrada (4.3) si asumimos que DESDE también puede tomar el valor 0.

Hay varios métodos para resolver la ecuación (4.1a). De acuerdo a método Bernoulli, la solución se busca como producto de dos funciones de X:

Una de estas funciones se puede elegir arbitrariamente, ya que solo el producto ultravioleta debe satisfacer la ecuación original, la otra se determina sobre la base de la ecuación (4.1a).

Derivando ambos lados de la igualdad (4.4), encontramos
.

Sustituyendo la expresión derivada resultante , así como el valor en en la ecuación (4.1a), obtenemos
, o

esos. como una función v tome la solución de la ecuación lineal homogénea (4.6):

(Aquí C es obligatorio escribir, de lo contrario no obtendrá una solución general, sino particular).

Así, vemos que como resultado de la sustitución (4.4) utilizada, la ecuación (4.1a) se reduce a dos ecuaciones con variables separables (4.6) y (4.7).

Sustituyendo
Y v(x) en la fórmula (4.4), finalmente obtenemos

,

.

Ejemplo 1 Encuentre una solución general a la ecuación

 Ponemos
, luego
. Sustitución de expresiones Y en la ecuación original, obtenemos
o
(*)

Igualamos a cero el coeficiente en :

Separando las variables en la ecuación resultante, tenemos


(Constante arbitraria C no escribir), por lo tanto v= X. Valor encontrado v sustituir en la ecuación (*):

,
,
.

Como consecuencia,
solución general de la ecuación original.

Tenga en cuenta que la ecuación (*) podría escribirse en una forma equivalente:

.

Elegir aleatoriamente una función tu, pero no v, podríamos suponer
. Esta forma de resolver difiere de la considerada solo en reemplazar v sobre el tu(y por lo tanto tu sobre el v), de modo que el valor final en resulta ser el mismo.

Con base en lo anterior, obtenemos un algoritmo para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Nótese además que a veces una ecuación de primer orden se vuelve lineal si en ser considerada una variable independiente, y X- dependiente, es decir cambiar los roles X Y y. Esto se puede hacer siempre que X Y dx introduzca la ecuación linealmente.

Ejemplo 2 . resuelve la ecuación
.

En apariencia, esta ecuación no es lineal con respecto a la función en.

Sin embargo, si consideramos X como una función de en, entonces, dado que
, se puede llevar a la forma

(4.1 B)

reemplazando sobre el , obtenemos
o
. Dividiendo ambos lados de la última ecuación por el producto ydy, llevarlo a la forma

, o
. (**)

Aquí P(y)=,
. Esta es una ecuación lineal con respecto a X. Creemos
,
. Sustituyendo estas expresiones en (**), obtenemos

o
.

Elegimos v para que
,
, donde
;
. Entonces nosotros tenemos
,
,
.

Porque
, entonces llegamos a la solución general de esta ecuación en la forma

.

Nótese que en la ecuación (4.1a) PAGS(X) Y q (X) puede ocurrir no sólo como funciones de X, sino también constantes: PAGS= a,q= B. Ecuación lineal

también se puede resolver usando la sustitución y= ultravioleta y separación de variables:

;
.

De aquí
;
;
; donde
. Deshaciéndonos del logaritmo, obtenemos la solución general de la ecuación

(aquí
).

En B= 0 llegamos a la solución de la ecuación

(ver ecuación de crecimiento exponencial (2.4) para
).

Primero, integramos la ecuación homogénea correspondiente (4.2). Como se indicó anteriormente, su solución tiene la forma (4.3). Consideraremos el factor DESDE en (4.3) por una función de X, es decir. esencialmente haciendo un cambio de variable

de donde, integrando, encontramos

Nótese que, de acuerdo con (4.14) (ver también (4.9)), la solución general de la ecuación lineal no homogénea es igual a la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (4.3) y la solución particular de la ecuación no homogénea determinada por el segundo término en (4.14) (y en (4.9)).

Al resolver ecuaciones específicas, se deben repetir los cálculos anteriores y no usar la engorrosa fórmula (4.14).

Aplicamos el método de Lagrange a la ecuación considerada en Ejemplo 1 :

.

Integramos la ecuación homogénea correspondiente
.

Separando las variables, obtenemos
y más allá
. Resolver una expresión por una fórmula y = Cx. La solución de la ecuación original se busca en la forma y = C(X)X. Sustituyendo esta expresión en la ecuación dada, obtenemos
;
;
,
. La solución general de la ecuación original tiene la forma

.

En conclusión, observamos que la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal

, ( )

que se puede escribir como

.

reemplazo
se reduce a una ecuación lineal:

,
,
.

Las ecuaciones de Bernoulli también se resuelven mediante los métodos descritos anteriormente.

Ejemplo 3 . Encuentre una solución general a la ecuación
.

 Cadena de transformaciones:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


La función f(x,y) se llama función homogénea de sus argumentos de dimensión n si la identidad f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Por ejemplo, la función f(x,y)=x^2+y^2-xy es una función homogénea de la segunda dimensión, ya que

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Para n=0 tenemos una función de dimensión cero. Por ejemplo, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) es una función homogénea de dimensión cero, ya que

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Ecuación diferencial de la forma \frac(dy)(dx)=f(x,y) se dice que es homogéneo con respecto a xey si f(x,y) es una función homogénea de sus argumentos de dimensión nula. Una ecuación homogénea siempre se puede representar como

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Al introducir una nueva función deseada u=\frac(y)(x), la ecuación (1) se puede reducir a una ecuación con variables de separación:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Si u=u_0 es la raíz de la ecuación \varphi(u)-u=0 , entonces la solución de la ecuación homogénea será u=u_0 o y=u_0x (la recta que pasa por el origen).

Comentario. Al resolver ecuaciones homogéneas, no es necesario reducirlas a la forma (1). Inmediatamente puede hacer la sustitución y=ux .

Ejemplo 1 Resolver una ecuación homogénea xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Solución. Escribimos la ecuación en la forma y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !} por lo que la ecuación dada resulta ser homogénea con respecto a xey. Pongamos u=\frac(y)(x) , o y=ux . Entonces y"=xu"+u . Sustituyendo las expresiones por y e y" en la ecuación, obtenemos x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Separación de variables: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). De aquí, por integración, encontramos

\arcsen(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), o \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Como C_1|x|=\pm(C_1x) , denotando \pm(C_1)=C , obtenemos \arcsen(u)=\ln(Cx), donde |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) o e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Reemplazando u con \frac(y)(x) , tendremos la integral general \arcsen(y)(x)=\ln(Cx).

Por lo tanto, la solución general: y=x\sin\ln(Cx) .

Al separar variables, dividimos ambos lados de la ecuación por el producto x\sqrt(1-u^2), por lo que podríamos perder la solución que convierte este producto en cero.

Ahora pongamos x=0 y \sqrt(1-u^2)=0 . Pero x\ne0 debido a la sustitución u=\frac(y)(x) , y de la relación \sqrt(1-u^2)=0 obtenemos que 1-\frac(y^2)(x^2)=0, de donde y=\pm(x) . Por verificación directa, nos aseguramos de que las funciones y=-x y y=x también son soluciones de esta ecuación.

Ejemplo 2 Considere la familia de curvas integrales C_\alpha de la ecuación homogénea y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Demuestre que las tangentes en los puntos correspondientes a las curvas definidas por esta ecuación diferencial homogénea son paralelas entre sí.

Nota: llamaremos pertinente aquellos puntos en las curvas C_\alpha que se encuentran en el mismo rayo a partir del origen.

Solución. Por definición de los puntos correspondientes, tenemos \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), de modo que, en virtud de la propia ecuación, y"=y"_1, donde y" e y"_1 son las pendientes de las tangentes a las curvas integrales C_\alpha y C_(\alpha_1), en los puntos M y M_1, respectivamente (Fig. 12).

Ecuaciones que se reducen a homogéneas

PERO. Considere una ecuación diferencial de la forma

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

donde a,b,c,a_1,b_1,c_1 son constantes y f(u) es función continua de su argumento u .

Si c=c_1=0, entonces la ecuación (3) es homogénea y se integra como arriba.

Si al menos uno de los números c,c_1 es diferente de cero, entonces se deben distinguir dos casos.

1) Determinante \Delta=\begin(vmatriz)a&b\\a_1&b_1\end(vmatriz)\ne0. Introduciendo nuevas variables \xi y \eta mediante las fórmulas x=\xi+h,~y=\eta+k , donde h y k siguen siendo constantes indefinidas, llevamos la ecuación (3) a la forma

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\Correcto).

Elegir h y k como solución al sistema ecuaciones lineales

\begin(casos)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(casos)~(\Delta\ne0),

obtenemos una ecuación homogénea \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Habiendo encontrado su integral general y reemplazando \xi con x-h en ella, y \eta con y-k, obtenemos la integral general de la ecuación (3).

2) Determinante \Delta=\begin(vmatriz)a&b\\a_1&b_1\end(vmatriz)=0. El sistema (4) no tiene soluciones en el caso general, y el método anterior no es aplicable; en este caso \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, y, por lo tanto, la ecuación (3) tiene la forma \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). La sustitución z=ax+by lo lleva a una ecuación variable separable.

Ejemplo 3 resuelve la ecuación (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Solución. Considere un sistema de lineal ecuaciones algebraicas \begin(casos)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(casos)

El determinante de este sistema \Delta=\begin(vmatriz)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatriz)=-2\ne0.

el sistema tiene única decisión x_0=-1,~y_0=3 . Hacemos el reemplazo x=\xi-1,~y=\eta+3 . Entonces la ecuación (5) toma la forma

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Esta ecuación es una ecuación homogénea. Haciendo \eta=u\xi , obtenemos

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, donde (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Separación de variables \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Integrando, encontramos \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) o \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Volviendo a las variables x,~y :

(x+1)^2\izquierda=C_1 o x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Ejemplo 4 resuelve la ecuación (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Solución. Sistema de ecuaciones algebraicas lineales \begin(casos)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(casos) incompatible. En este caso, el método aplicado en el ejemplo anterior no es adecuado. Para integrar la ecuación, usamos la sustitución x+y=z , dy=dz-dx . La ecuación tomará la forma

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Separando las variables, obtenemos

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 por lo tanto x-2z-3\ln|z-2|=C.

Volviendo a las variables x,~y , obtenemos la integral general de esta ecuación

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

B. A veces, la ecuación se puede reducir a una homogénea cambiando la variable y=z^\alpha. Este es el caso cuando todos los términos en la ecuación tienen la misma dimensión, si a la variable x se le da la dimensión 1, a la variable y se le da la dimensión \alpha, y a la derivada \frac(dy)(dx) se le da la dimensión dimensión \alpha-1 .

Ejemplo 5 resuelve la ecuación (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Solución. haciendo una sustitución y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, donde \alpha es un número arbitrario por ahora, que elegiremos más adelante. Sustituyendo las expresiones por y y dy en la ecuación, obtenemos

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 o \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Tenga en cuenta que x^2z^(3\alpha-1) tiene la dimensión 2+3\alfa-1=3\alfa+1, z^(\alpha-1) tiene dimensión \alpha-1 , xz^(3\alpha) tiene dimensión 1+3\alpha . La ecuación resultante será homogénea si las medidas de todos los términos son iguales, es decir si se cumple la condicion 3\alfa+1=\alfa-1, o \alpha-1 .

Pongamos y=\frac(1)(z) ; la ecuación original toma la forma

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 o (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

vamos a poner ahora z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Entonces esta ecuación tomará la forma (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, donde u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Separando las variables en esta ecuación \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Integrando, encontramos

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) o \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Reemplazando u con \frac(1)(xy) , obtenemos la integral general de esta ecuación 1+x^2y^2=Cy.

La ecuación tiene otra solución obvia y=0 , que se obtiene de integral común para C\to\infty , si la integral se escribe como y=\frac(1+x^2y^2)(C), y luego salta al límite en C\to\infty . Por tanto, la función y=0 es una solución particular de la ecuación original.

Javascript está deshabilitado en su navegador.
¡Los controles ActiveX deben estar habilitados para poder hacer cálculos!