Tipo de lección: combinada.

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"Cálculos aproximados de la raíz cuadrada".

Octavo grado

Fecha:

Lección número 9.

Tema: Cálculos aproximados de la raíz cuadrada.

Objetivos: 1. Enseñar a los estudiantes a encontrar valores aproximados. raíces cuadradas.

2. Desarrollar la observación, la capacidad de analizar, comparar, sacar conclusiones.

Fomentar una actitud positiva hacia el trabajo escolar.

Tipo de lección: combinada.

Formas de organización de la lección: individual, colectiva

Equipo: tablero de proyectos, tarjetas de estado de ánimo, microcalculadora

Tres caminos conducen al conocimiento: el camino de la reflexión

Este es el camino más noble

el camino de la imitación es el camino más fácil

y el camino de la experiencia es el más amargo.

Confucio

Durante las clases.

Organizando el tiempo

Fase de verificación tarea

№ 60 - 1 estudiante actúa en la pizarra, otro estudiante verifica la exactitud de la tarea en el acto

Trabajo oral: proyectado en la pizarra

a) Encuentra el valor de la raíz:

b) ¿Tiene sentido la expresión:

c) Encuentra un número cuya raíz cuadrada aritmética sea 0; una; 3; 10; 0,6

Etapa de explicación de material nuevo.

Para calcular el valor aproximado de la raíz cuadrada, necesitas usar una micro calculadora. Para hacer esto, ingrese la expresión radical en la calculadora y presione la tecla con el signo radical. Pero no siempre hay una calculadora a mano, por lo que puede encontrar el valor aproximado de la raíz cuadrada de la siguiente manera:

Que sea necesario encontrar el significado.

Desde entonces. Ahora, entre los números ubicados en el intervalo de 1 a 2, tomamos los números vecinos 1.4 y 1.5, obtenemos :, luego tomamos los números 1.41 y 1.42, estos números satisfacen la desigualdad. Si continuamos con este proceso de elevar al cuadrado los números vecinos, obtenemos el siguiente sistema de desigualdades:

Proyectado en la pizarra.

De este sistema, comparando los dígitos después del punto decimal, obtenemos:

Se pueden tomar valores aproximados de raíces cuadradas de acuerdo con el exceso y la deficiencia, es decir, por deficiencia con una precisión de 0,0001 y por exceso.

Consolidación del material estudiado.

Nivel "A"

0.2664 0.2 - por falta

№93 (se usa la calculadora)

5. Pausa valeológica: ejercicios para la vista.

Nivel "B"

6. Antecedentes históricos sobre la necesidad de encontrar el valor de las raíces cuadradas

(Se sugiere de antemano que el alumno que lo desee prepare un mensaje sobre este tema a través de Internet)

Se propone una fórmula para encontrar el valor aproximado de la raíz cuadrada de un número irracional:

Nivel "C" No. 105

7. Reflexión.

Resumen de la lección.

Tarea: No. 102,

En la práctica, a menudo es necesario calcular las raíces cuadradas de diferentes números... Ahora, esto se puede hacer en una calculadora o usando una computadora. Consideraremos una forma de calcular la raíz cuadrada de cualquier número con la precisión requerida, sin usar una computadora, calculadora u otros medios de cálculo.

Por ejemplo, intentemos calcular la raíz del número 2, con una precisión de 0.01, es decir, hasta dos decimales.

Calcula la raíz cuadrada del número 2

Argumentaremos de la siguiente manera. El número √2 es mayor que 1 porque 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

Ahora intentemos encontrar el décimo dígito. Para hacer esto, elevaremos al cuadrado las fracciones de uno a dos hasta obtener un número mayor que dos. Tomamos el paso de división 0.1, ya que estamos buscando el número de décimas. En otras palabras, elevaremos los números al cuadrado: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Obtenga un número mayor que dos, el resto de los números ya no necesita ser elevado al cuadrado. El número 1.4 2 es menor que 2, y 1.5 2 ya es más de dos, entonces el número √2 debe pertenecer al intervalo de 1.4 a 1.5 (1.4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

• 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Ya en 1,42 obtenemos que su cuadrado es más de dos, entonces no tiene sentido elevar los números al cuadrado.

De esto obtenemos que el número √2 pertenecerá al intervalo de 1,41 a 1,42 (1,41< √2

Como necesitamos escribir √2 con una precisión de dos lugares decimales, ya podemos detenernos y no continuar con los cálculos. √2 ≈ 1,41. Esta será la respuesta. Si fuera necesario calcular un valor aún más preciso, sería necesario continuar con el cálculo, repitiendo la cadena de razonamientos una y otra vez.

Como se mencionó anteriormente, esta técnica le permite extraer la raíz con la precisión predeterminada.

Aproximación diferencial

En esta lección, veremos un problema generalizado en el cálculo aproximado del valor de una función utilizando el diferencial... De ahora en adelante, hablaremos de diferenciales de primer orden, para abreviar, a menudo diré simplemente “diferencial”. El problema de los cálculos aproximados utilizando un diferencial tiene un algoritmo de solución rígido y, por lo tanto, no debería haber dificultades especiales. Lo único es que hay pequeños escollos que también se van a limpiar. Así que siéntete libre de sumergirte de cabeza.

Además, la página contiene fórmulas para encontrar el error de cálculo absoluto y relativo. El material es muy útil, ya que los errores también deben calcularse en otros problemas. Físicos, ¿dónde está su aplauso? =)

Para dominar con éxito los ejemplos, debe poder encontrar las derivadas de funciones al menos a un nivel promedio, por lo que si no hay absolutamente ningún problema con la diferenciación, comience con la lección. ¿Cómo encuentro la derivada? También recomiendo leer el artículo. Problemas derivados más simples, a saber, párrafos encontrar la derivada en el punto y encontrar el diferencial en el punto... Desde medios técnicos, se requiere una microcalculadora con varias funciones matemáticas. Puede usar Excel, pero en este caso es menos conveniente.

El taller consta de dos partes:

- Cálculos aproximados utilizando el diferencial de una función de una variable.

- Cálculos aproximados utilizando el diferencial total de una función de dos variables.

Quién necesita qué. De hecho, fue posible dividir la riqueza en dos montones, debido a que el segundo párrafo se refiere a aplicaciones de funciones de varias variables. Pero qué hacer, me encantan los artículos largos.

Cálculos aproximados
usando el diferencial de una función de una variable

La tarea en consideración y su significado geométrico ya se tratan en la lección ¿Qué es una derivada? , y ahora nos limitaremos a la consideración formal de ejemplos, que es suficiente para aprender a resolverlos.

En el primer párrafo, una función de una variable gobierna. Como todo el mundo sabe, se denota de principio a fin. Para esta tarea, es mucho más conveniente utilizar la segunda notación. Vayamos directamente a un ejemplo popular que se encuentra a menudo en la práctica:

Ejemplo 1

Solución: Vuelva a escribir la fórmula de trabajo para un cálculo aproximado utilizando el diferencial en su computadora portátil:

Empezamos a entender, ¡aquí todo es sencillo!

El primer paso es componer una función. Según la condición, se propuso calcular la raíz cúbica del número :, por lo que la función correspondiente tiene la forma :. Necesitamos usar la fórmula para encontrar un valor aproximado.

Nosotros miramos a lado izquierdo fórmulas, y me viene a la mente la idea de que el número 67 debe estar representado en la forma. ¿Cuál es la forma más sencilla de hacer esto? Recomiendo el siguiente algoritmo: calcular valor dado en la calculadora:
- resultó 4 con cola, este es un punto de referencia importante para la solución.

Seleccionamos el valor "bueno" como para que la raíz se extraiga por completo... Naturalmente, este valor debería ser Tan cerca como sea posible a 67. En este caso :. En realidad: .

Nota: Cuando todavía hay dificultades con la selección, solo mire el valor calculado (en este caso ), tome la parte entera más cercana (en este caso 4) y súbala a la potencia requerida (en este caso). Como resultado, se realizará la selección requerida :.

Si, entonces el argumento se incrementa :.

Entonces, el número 67 se presenta como la suma

Primero, calculemos el valor de la función en el punto. En realidad, esto ya se ha hecho antes:

El diferencial en el punto se encuentra mediante la fórmula:
- también puede reescribirlo en su cuaderno.

De la fórmula se deduce que debe tomar la primera derivada:

Y encuentra su valor en el punto:

De este modo:

¡Todo está listo! Según la fórmula:

El valor aproximado encontrado es lo suficientemente cercano al valor calculado utilizando una microcalculadora.

Respuesta:

Ejemplo 2

Calcule aproximadamente, reemplazando los incrementos de la función con su diferencial.

Este es un ejemplo de decisión independiente... Un ejemplo aproximado de finalización y la respuesta al final de la lección. Para los principiantes, recomiendo calcular primero el valor exacto en una micro calculadora para saber qué número tomar y para cuál. Cabe señalar que en este ejemplo será negativo.

Algunos pueden tener una pregunta, ¿por qué es necesaria esta tarea, si puede calcular todo con calma y con mayor precisión en una calculadora? Estoy de acuerdo, la tarea es estúpida e ingenua. Pero intentaré justificarla un poco. Primero, la tarea ilustra el significado del diferencial de una función. En segundo lugar, en la antigüedad, la calculadora era una especie de helicóptero personal en los tiempos modernos. Yo mismo vi cómo una computadora del tamaño de una habitación fue arrojada del instituto politécnico local en algún lugar en 1985-86 (radioaficionados con destornilladores vinieron corriendo de toda la ciudad, y después de un par de horas solo quedó el cuerpo de la unidad ). Se encontraron antigüedades en nuestro departamento de física y matemáticas, sin embargo, era de menor tamaño, en algún lugar del escritorio. Así sufrieron nuestros antepasados ​​con los métodos de cálculo aproximado. Un carruaje tirado por caballos también es un transporte.

De una forma u otra, el problema se mantuvo en el curso estándar de matemáticas superiores y habrá que resolverlo. Esta es la respuesta principal a su pregunta =)

Ejemplo 3

en el punto. Calcule un valor más preciso de la función en un punto usando una microcalculadora, estime el valor absoluto y error relativo cálculos.

De hecho, la misma tarea, se puede reformular fácilmente de la siguiente manera: “Calcule el valor aproximado usando un diferencial "

Solución: Usamos una fórmula familiar:
En este caso, ya se proporciona una función lista para usar: ... Una vez más, me gustaría llamar su atención sobre el hecho de que es más conveniente usar en lugar de "juego" para denotar una función.

El valor debe presentarse como. Bueno, aquí es más fácil, vemos que el número 1,97 está muy cerca del "dos", por lo que se sugiere a sí mismo. Y por lo tanto:.

Usando la fórmula , calculamos el diferencial en el mismo punto.

Encuentra la primera derivada:

Y su valor en el punto:

Entonces, el diferencial en el punto:

Como resultado, según la fórmula:

La segunda parte de la tarea es encontrar el error de cálculo absoluto y relativo.

Error de cálculo absoluto y relativo

Error de cálculo absoluto se encuentra mediante la fórmula:

El signo del módulo muestra que no nos importa qué valor es mayor y cuál es menor. Importante, cuán lejos el resultado aproximado se desvió del valor exacto en una dirección u otra.

Error de cálculo relativo se encuentra mediante la fórmula:
, o lo mismo:

El error relativo muestra en que porcentaje el resultado aproximado se desvió del valor exacto. Hay una versión de la fórmula sin multiplicar por 100%, pero en la práctica casi siempre veo la opción anterior con porcentajes.

Después de una breve referencia, volvamos a nuestro problema, en el que calculamos el valor aproximado de la función usando un diferencial.

Calculemos el valor exacto de la función usando una microcalculadora:
En rigor, el valor sigue siendo aproximado, pero lo consideraremos exacto. Se encuentran tales tareas.

Calculemos el error absoluto:

Calculemos el error relativo:
, se obtienen milésimas de porcentaje, por lo que el diferencial proporcionó solo una excelente aproximación.

Respuesta: , error absoluto cálculos, error de cálculo relativo

El siguiente ejemplo es para una solución de bricolaje:

Ejemplo 4

Calcule el valor de la función aproximadamente usando el diferencial en el punto. Calcule un valor más preciso de la función en un punto dado, estime el error de cálculo absoluto y relativo.

Un ejemplo aproximado de finalización y la respuesta al final de la lección.

Muchos han notado que las raíces aparecen en todos los ejemplos considerados. Esto no es accidental; en la mayoría de los casos, las funciones con raíces se proponen de hecho en el problema en consideración.

Pero para el lector que sufre, he descubierto un pequeño ejemplo de arcoseno:

Ejemplo 5

Calcule el valor de la función aproximadamente usando el diferencial en el punto

Este breve pero informativo ejemplo también es una solución independiente. Y descansé un poco para considerar con renovado vigor una tarea especial:

Ejemplo 6

Calcule aproximadamente usando el diferencial, redondee el resultado a dos lugares decimales.

Solución:¿Qué hay de nuevo en la tarea? Por condición, se requiere redondear el resultado a dos lugares decimales. Pero este no es el punto, creo que el problema del redondeo de la escuela no presenta ninguna dificultad para usted. El caso es que tenemos una tangente con un argumento que se expresa en grados... ¿Qué hacer cuando se le pide que resuelva una función trigonométrica con grados? Por ejemplo, etc.

El algoritmo de solución se conserva fundamentalmente, es decir, es necesario, como en los ejemplos anteriores, aplicar la fórmula

Escribir una función obvia

El valor debe representarse como. Se proporcionará ayuda seria tabla de valores de funciones trigonométricas... Por cierto, quien no lo imprimió, recomiendo hacer esto, ya que tendrás que buscar allí a lo largo de todo el curso de estudios de matemáticas superiores.

Analizando la tabla, notamos un valor "bueno" de la tangente, que se acerca a los 47 grados:

De este modo:

Después analisis preliminar los grados deben convertirse a radianes... ¡Así y solo así!

En este ejemplo, directamente de la tabla trigonométrica, puede averiguarlo. Según la fórmula para convertir grados a radianes: (las fórmulas se pueden encontrar en la misma tabla).

Más calderería:

De este modo: (usamos el valor en los cálculos). El resultado, como lo requiere la condición, se redondea a dos decimales.

Respuesta:

Ejemplo 7

Calcule aproximadamente usando el diferencial, redondee el resultado a tres lugares decimales.

Este es un ejemplo de una solución de bricolaje. Solución completa y respuesta al final del tutorial.

Como puede ver, nada complicado, convertimos grados a radianes y nos adherimos al algoritmo de solución habitual.

Cálculos aproximados
utilizando el diferencial total de la función de dos variables

Todo será muy, muy parecido, por lo tanto, si ingresaste a esta página con esta tarea en particular, entonces primero te recomiendo que mires al menos un par de ejemplos del párrafo anterior.

Para estudiar un párrafo, debe poder encontrar derivadas parciales de segundo orden, donde sin ellos. En la lección anterior, denoté la función de dos variables a través de una letra. En relación con el problema en consideración, es más conveniente utilizar una notación equivalente.

Como en el caso de una función de una variable, la condición del problema se puede formular de diferentes maneras, y trataré de considerar todas las formulaciones encontradas.

Ejemplo 8

Solución: No importa cómo se escriba la condición, en la solución en sí para denotar la función, repito, es mejor usar no la letra "z", sino.

Y aquí está la fórmula de trabajo:

Ante nosotros está en realidad la hermana mayor de la fórmula del párrafo anterior. La variable simplemente se hizo más grande. ¿Qué puedo decir yo mismo? el algoritmo de solución será fundamentalmente el mismo!

Según la condición, se requiere encontrar el valor aproximado de la función en el punto.

Representamos el número 3.04 como. El propio hombre de pan de jengibre pide ser comido:
,

Representamos el número 3.95 como. Llegó el turno a la segunda mitad de Kolobok:
,

Y no mires todo tipo de trucos de zorro, hay un hombre de pan de jengibre, tienes que comértelo.

Calculemos el valor de la función en el punto:

El diferencial de la función en un punto se encuentra mediante la fórmula:

De la fórmula se deduce que necesitas encontrar Derivadas parciales primer orden y calcular sus valores en un punto.

Calculemos las derivadas parciales de primer orden en el punto:

Diferencial completo en el punto:

Así, según la fórmula, el valor aproximado de la función en el punto:

Calculemos el valor exacto de la función en el punto:

Este valor es absolutamente exacto.

Los errores se calculan mediante fórmulas estándar, que ya se han analizado en este artículo.

Error absoluto:

Error relativo:

Respuesta:, error absoluto :, error relativo:

Ejemplo 9

Calcular el valor aproximado de una función en un punto utilizando el diferencial completo, estime el error absoluto y relativo.

Este es un ejemplo de una solución de bricolaje. Cualquiera que se detenga en este ejemplo con más detalle prestará atención al hecho de que los errores de cálculo resultaron ser muy, muy notables. Esto sucedió por la siguiente razón: en el problema propuesto, los incrementos de los argumentos son lo suficientemente grandes :. Patrón general tal es - cuanto mayores sean estos incrementos en valor absoluto, menor será la precisión de los cálculos. Entonces, por ejemplo, para un punto similar, los incrementos serán pequeños: y la precisión de los cálculos aproximados será muy alta.

Esta característica también es cierto para el caso de una función de una variable (la primera parte de la lección).

Ejemplo 10

Solución: Calculemos esta expresión aproximadamente usando el diferencial total de la función de dos variables:

La diferencia con los ejemplos 8-9 es que primero necesitamos componer una función de dos variables: ... La composición de la función, creo, es intuitiva para todos.

El valor 4.9973 es cercano a cinco, por lo tanto:,.
El valor 0,9919 está cerca de "uno", por lo tanto, asumimos:,.

Calculemos el valor de la función en el punto:

El diferencial en el punto se encuentra mediante la fórmula:

Para ello, calculamos las derivadas parciales de primer orden en un punto.

Los derivados aquí no son los más fáciles, y debe tener cuidado:

;

.

Diferencial completo en el punto:

Por tanto, el valor aproximado de esta expresión:

Calculemos un valor más preciso usando una micro calculadora: 2.998899527

Encontremos el error de cálculo relativo:

Respuesta: ,

Solo una ilustración de lo anterior, en el problema considerado, los incrementos de los argumentos son muy pequeños y el error resultó ser fantásticamente escaso.

Ejemplo 11

Usando el diferencial completo de la función de dos variables, calcule el valor aproximado de esta expresión. Calcula la misma expresión con una calculadora. Estime el porcentaje del error de cálculo relativo.

Este es un ejemplo de una solución de bricolaje. Un ejemplo aproximado de terminar al final de la lección.

Como ya se señaló, el invitado más frecuente en este tipo de asignaciones es algún tipo de raíces. Pero de vez en cuando, también hay otras funciones. Y un último ejemplo simple de relajación:

Ejemplo 12

Usando el diferencial total de una función de dos variables, calcule el valor aproximado de la función si

La solución está más cerca del final de la página. Una vez más, preste atención a la redacción de las tareas de la lección, en varios ejemplos en la práctica, las formulaciones pueden ser diferentes, pero esto no cambia fundamentalmente la esencia y el algoritmo de la solución.

Para ser honesto, me cansé un poco, porque el material era aburrido. No era pedagógico decir esto al principio del artículo, pero ahora ya es posible =) En efecto, los problemas de la matemática computacional no suelen ser muy difíciles, no muy interesantes, lo más importante, quizás, es no hacer un error en los cálculos ordinarios.

¡Que no se borren las teclas de tu calculadora!

Soluciones y Respuestas:

Ejemplo 2: Solución: Usamos la fórmula:
En este caso: , ,

De este modo:
Respuesta:

Ejemplo 4: Solución: Usamos la fórmula:
En este caso: , ,