Al medir cualquier valor, invariablemente hay alguna desviación del valor real, debido al hecho de que ningún instrumento puede dar un resultado exacto. Para determinar tolerancias de los datos obtenidos a partir del valor exacto, se utilizan las representaciones de los errores relativos e incondicionales.
Necesitará
- – resultados de las mediciones;
- - calculadora.
Instrucción
1. En primer lugar, realice varias mediciones con un dispositivo del mismo valor para poder calcular el valor real. Cuanto más grandes sean las medidas, más preciso será el resultado. Digamos, pesa una manzana en una balanza electrónica. Es posible que hayas obtenido totales de 0,106, 0,111, 0,098 kg.
2. Ahora calcule el valor real del valor (válido, por el hecho de que no es realista detectar la verdad). Para hacer esto, sume los resultados y divídalos por el número de mediciones, es decir, encuentre la media aritmética. En el ejemplo, el valor real sería (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.
3. Para calcular el error incondicional de la primera medición, reste el valor real del total: 0,106-0,105=0,001. De la misma manera, calcule los errores incondicionales de las medidas restantes. Tenga en cuenta que independientemente de si el resultado es menos o más, el signo del error es invariablemente positivo (es decir, se toma el módulo del valor).
4. Para obtener el error relativo de la primera medición, divida el error incondicional por el valor real: 0,001/0,105=0,0095. Tenga en cuenta que, por lo general, el error relativo se mide como un porcentaje, por lo tanto, multiplique el número resultante por 100%: 0.0095x100% \u003d 0.95%. De la misma manera, considere los errores relativos de las medidas restantes.
5. Si se conoce mejor el valor verdadero, pase inmediatamente al cálculo de errores, excluyendo la búsqueda de la media aritmética de los resultados de la medición. Resta inmediatamente el total del valor verdadero y encontrarás un error incondicional.
6. Después de eso, divida el error incondicional por el valor real y multiplíquelo por 100%; este será el error relativo. Digamos que el número de estudiantes es 197, pero se redondeó a 200. En este caso, calcule el error de redondeo: 197-200=3, error relativo: 3/197x100%=1.5%.
Error es un valor que determina las desviaciones permitidas de los datos recibidos del valor exacto. Hay representaciones de errores relativos e incondicionales. Encontrarlos es una de las tareas del repaso matemático. Sin embargo, en la práctica es más significativo calcular el error de dispersión de algún indicador medido. Los dispositivos físicos tienen sus propios posible error. Pero no solo se debe considerar al determinar el indicador. Para calcular el error de dispersión σ, es necesario realizar varias mediciones de esta cantidad.
Necesitará
- Dispositivo para medir el valor requerido
Instrucción
1. Mida con un dispositivo u otra herramienta de medición el valor que necesita. Repita las mediciones varias veces. Cuanto mayores sean los valores obtenidos, mayor será la precisión de determinar el error de dispersión. Tradicionalmente, se toman de 6 a 10 mediciones. Escriba el conjunto resultante de valores de la cantidad medida.
2. Si todos los valores obtenidos son iguales, por lo tanto, el error de dispersión es cero. Si hay diferentes valores en la serie, calcule el error de dispersión. Para determinarlo, existe una fórmula especial.
3. De acuerdo con la fórmula, primero calcula valor promedio <х>de los valores recibidos. Para hacer esto, sume todos los valores y divida su suma por el número de medidas n.
4. Determinar a su vez la diferencia entre el valor total obtenido y el valor medio<х>. Anote los totales de las diferencias obtenidas. Luego eleva al cuadrado todas las diferencias. Encuentra la suma de los cuadrados dados. Guarda el importe final recibido.
5. Calcula la expresión n(n-1), donde n es el número de medidas que tomas. Divide el total de la suma del cálculo anterior por el valor resultante.
6. Saca la raíz cuadrada de la división. Este será el error en la dispersión de σ, el valor que mediste.
Al realizar mediciones, es imposible garantizar su precisión, cada dispositivo da un cierto error. Para averiguar la precisión de las mediciones o la clase de precisión del dispositivo, es necesario determinar el incondicional y relativo error .
Necesitará
- - varios resultados de mediciones u otra muestra;
- - calculadora.
Instrucción
1. Tome medidas al menos 3-5 veces para poder calcular el valor real del parámetro. Sume los resultados y divídalos por el número de mediciones, obtendrá el valor real, que se usa en las tareas en lugar del verdadero (no es realista determinarlo). Digamos que si las medidas dieron un total de 8, 9, 8, 7, 10, entonces el valor real será (8+9+8+7+10)/5=8.4.
2. Detectar incondicional error toda la medida. Para hacer esto, reste el valor real del resultado de la medición, desprecie los signos. Obtendrá 5 errores incondicionales, uno para cada medición. En el ejemplo, serán iguales a 8-8.4 \u003d 0.4, 9-8.4 \u003d 0.6, 8-8.4 \u003d 0.4, 7-8.4 \u003d 1.4, 10-8.4 =1.6 (se toman módulos de resultados).
3. Para saber el familiar error de cualquier dimensión, dividir lo incondicional error al valor real (verdadero). Después de eso, multiplique el resultado por 100%, tradicionalmente este valor se mide en porcentaje. En el ejemplo, detecte el relativo error así: ?1=0.4/8.4=0.048 (o 4.8%), ?2=0.6/8.4=0.071 (o 7.1%), ?3=0.4/ 8.4=0.048 (o 4.8%), ?4=1.4/8.4 =0,167 (o 16,7%), ?5=1,6/8,4=0,19 (o 19 %).
4. En la práctica, para una visualización particularmente precisa del error, se utiliza la desviación estándar. Para encontrarlo, eleva al cuadrado todos los errores de medición incondicionales y súmalos. Luego divida este número por (N-1), donde N es el número de mediciones. Al calcular la raíz del total resultante, obtendrá la desviación estándar que caracteriza error mediciones.
5. Con el fin de descubrir el último incondicional error, encuentre el número mínimo que se sabe que es mayor que el incondicional error o igual a ella. En el ejemplo considerado, seleccione primitivamente el valor más grande: 1.6. Ocasionalmente también es necesario encontrar el relativo limitante error, luego encuentre un número que sea mayor o igual al error relativo, en el ejemplo es 19%.
Una parte inseparable de cualquier medida es alguna error. Representa una buena revisión de la precisión de la encuesta. Según la forma de presentación, puede ser incondicional y relativa.
Necesitará
- - calculadora.
Instrucción
1. Los errores de las medidas físicas se dividen en sistemáticos, aleatorios y atrevidos. Los primeros son causados por factores que actúan de manera idéntica cuando las mediciones se repiten muchas veces. Son continuas o legítimamente cambiantes. Pueden ser causados por una instalación incorrecta del dispositivo o la imperfección del método de medición elegido.
2. Los segundos surgen del poder de las causas y de la disposición sin causa. Estos incluyen redondeo incorrecto al contar testimonios y poder. ambiente. Si tales errores son mucho más pequeños que las divisiones de la escala de este instrumento de medición, entonces es apropiado tomar la mitad de una división como un error incondicional.
3. señorita o atrevida error representa el resultado del seguimiento, uno que es marcadamente diferente de todos los demás.
4. Incondicional error valor numérico aproximado es la diferencia entre el total obtenido durante la medición y el valor real del valor medido. Un valor verdadero o real refleja con especial precisión la cantidad física en estudio. Esta error es la medida cuantitativa de error más sencilla. Se puede calcular mediante la siguiente fórmula: ?X = Hisl - Hist. Puede tomar significados positivos y negativos. Para una mejor comprensión, veamos un ejemplo. La escuela tiene 1205 estudiantes, cuando se redondea a 1200 incondicionales error es igual a: ? = 1200 - 1205 = 5.
5. Hay ciertas reglas para calcular el error de los valores. Primero, incondicional error la suma de 2 valores independientes es igual a la suma de sus errores incondicionales: ?(X+Y) = ?X+?Y. Un enfoque similar es aplicable para la diferencia de 2 errores. Se permite utilizar la fórmula: ?(X-Y) = ?X+?Y.
6. La enmienda es incondicional. error, tomado con el signo opuesto: ?p = -?. Se utiliza para eliminar el error sistemático.
mediciones Las cantidades físicas van invariablemente acompañadas de una u otra. error. Representa la desviación de los resultados de la medición del valor real del valor medido.
Necesitará
- -dispositivo de medición:
- -calculadora.
Instrucción
1. Los errores pueden aparecer como resultado del poder de varios factores. Entre ellos, se permite señalar la imperfección de los medios o métodos de medición, imprecisiones en su fabricación, incumplimiento condiciones especiales al realizar una encuesta.
2. Hay varias clasificaciones de errores. Según la forma de presentación, pueden ser incondicionales, relativas y reducidas. Los primeros son la diferencia entre el valor calculado y real de la cantidad. Se expresan en unidades del fenómeno medido y se encuentran mediante la fórmula: ?x = hisl-hist. Estos últimos están determinados por la relación de errores incondicionales al valor del valor real del indicador.La fórmula de cálculo se ve así:? = ?х/hist. Se mide en porcentajes o acciones.
3. El error reducido del dispositivo de medición se encuentra como una relación? x al valor de normalización xn. Dependiendo del tipo de dispositivo, se toma igual al límite de medición o se refiere a su rango específico.
4. Según las condiciones de origen, hay básicos y adicionales. Si las mediciones se realizaron en condiciones típicas, aparece el primer tipo. Las desviaciones debidas a la salida de valores fuera de los límites típicos son adicionales. Para evaluarlo, la documentación suele establecer las normas dentro de las cuales el valor puede cambiar si se violan las condiciones de medición.
5. Asimismo, los errores de las medidas físicas se dividen en sistemáticos, aleatorios y atrevidos. Los primeros son causados por factores que actúan sobre la repetición repetida de mediciones. Los segundos surgen del poder de las causas y de la disposición sin causa. Un error es el resultado del seguimiento, uno que es drásticamente diferente de todos los demás.
6. Dependiendo de la naturaleza de la cantidad medida, diferentes métodos medición de errores El primero de ellos es el método de Kornfeld. Se basa en el cálculo de un intervalo de confianza que va desde el total más pequeño hasta el más grande. El error en este caso será la mitad de la diferencia entre estos totales: ?x = (xmax-xmin)/2. Otro método es el cálculo de la raíz del error cuadrático medio.
Las medidas se pueden tomar con grados variables exactitud. Al mismo tiempo, incluso los instrumentos de precisión ciertamente no son exactos. incondicional y error relativo pueden ser pequeños, pero en realidad prácticamente no han cambiado. La diferencia entre los valores aproximados y exactos de cierta cantidad se llama incondicional. error. En este caso, la desviación puede ser tanto grande como pequeña.
Necesitará
- - medicion de datos;
- - calculadora.
Instrucción
1. Antes de calcular el error incondicional, tome varios postulados como datos iniciales. Elimina los errores atrevidos. Acepte que las correcciones necesarias ya han sido calculadas y agregadas al total. Tal corrección puede ser, por ejemplo, la transferencia del punto de partida de las mediciones.
2. Se toma como ubicación inicial lo que se conoce y se tienen en cuenta los errores aleatorios. Esto implica que son menos sistemáticos, es decir, incondicionales y relativos, característicos de este particular dispositivo.
3. Los errores aleatorios afectan el resultado incluso de las mediciones de alta precisión. En consecuencia, todo resultado será más o menos cercano al incondicional, pero siempre habrá discrepancias. Defina este intervalo. Puede expresarse mediante la fórmula (Xism-?X)?Chism? (Hizm+?X).
4. Determine el valor más cercano al valor verdadero. En las medidas reales se toma la media aritmética, que se puede hallar mediante la fórmula que se muestra en la figura. Toma el total como el valor verdadero. En muchos casos, la lectura de un instrumento de referencia se toma como precisa.
5. Conociendo el valor real de la medición, puede encontrar el error absoluto, que debe tenerse en cuenta en todas las mediciones posteriores. Encuentre el valor de X1: los datos de una medición específica. Determine la diferencia X restando el número más pequeño del número más grande. Al determinar el error, solo se tiene en cuenta el módulo de esta diferencia.
¡Nota!
Como de costumbre, en la práctica es imposible realizar una medición incondicionalmente precisa. En consecuencia, se toma como valor de referencia el error marginal. ella representa valor más alto módulo de error incondicional.
Aviso util
En mediciones utilitarias, el valor del error incondicional generalmente se toma como la mitad el precio más bajo división. Cuando se opera con números, el error incondicional se toma como la mitad del valor del dígito, que está más allá números exactos descarga. Para determinar la clase de precisión del dispositivo, lo principal es la relación entre el error incondicional y el resultado de las mediciones o la longitud de la escala.
Los errores de medición están asociados a la imperfección de instrumentos, herramientas, metodología. La precisión también depende de la observación y del estado del experimentador. Los errores se dividen en incondicionales, relativos y reducidos.
Instrucción
1. Deje que una sola medida del valor dé un total de x. El valor verdadero se denota por x0. Entonces el incondicional error?x=|x-x0|. Estima el error de medida incondicional. Incondicional error consta de 3 componentes: errores aleatorios, errores sistemáticos y fallos. Por lo general, cuando se mide con un instrumento, la mitad del valor de la división se toma como un error. Para una regla milimétrica, esto sería 0,5 mm.
2. El verdadero valor del valor medido está en el intervalo (x-?x; x+?x). En resumen, esto se escribe como x0=x±?x. Lo principal es medir x y ?x en las mismas unidades de medida y escribir los números en el mismo formato, digamos, una parte entera y tres dígitos después del punto decimal. Resulta, incondicional error da los límites del intervalo en el que el valor verdadero se encuentra con alguna probabilidad.
3. Relativo error expresa la relación entre el error incondicional y el valor real de la cantidad: ?(x)=?x/x0. Esta es una cantidad adimensional, también se puede escribir como un porcentaje.
4. Las mediciones son directas o indirectas. En las mediciones directas, el valor deseado se mide inmediatamente con un instrumento adecuado. Digamos que la longitud del cuerpo se mide con una regla, el voltaje se mide con un voltímetro. Con mediciones indirectas, el valor se encuentra de acuerdo con la fórmula de la relación entre este y los valores medidos.
5. Si el resultado es una conexión de 3 cantidades fáciles de medir con errores ?x1, ?x2, ?x3, entonces error medición indirecta?F=?[(?x1 ?F/?x1)?+(?x2 ?F/?x2)?+(?x3 ?F/?x3)?]. Aquí?F/?x(i) son las derivadas parciales de la función con respecto a cualquiera de las cantidades libremente medibles.
Aviso util
Los fallos son inexactitudes imprudentes de medición que ocurren cuando los instrumentos funcionan mal, la falta de atención del experimentador y la violación de la metodología experimental. Para reducir la probabilidad de tales errores, tenga cuidado al tomar medidas y describa el resultado en detalle.
El resultado de cualquier medición está inevitablemente acompañado por una desviación del valor real. Es posible calcular el error de medida por varios métodos, dependiendo de su tipo, por ejemplo, métodos estadísticos para determinar el intervalo de confianza, desviación estándar, etc.
Instrucción
1. Hay varias razones por las que hay errores mediciones. Estas son imprecisiones instrumentales, imperfección de la metodología, así como errores causados por la falta de atención del operador que toma las medidas. Además, el verdadero valor de un parámetro a menudo se toma como su valor real, lo que de hecho solo es particularmente posible, en base a una revisión de una muestra estadística de los resultados de una serie de experimentos.
2. Un error es una medida de la desviación de un parámetro medido de su valor real. Según el método de Kornfeld, se determina un intervalo de confianza que garantiza un cierto grado de seguridad. Al mismo tiempo, se encuentran los llamados límites de confianza, en los que el valor fluctúa, y el error se calcula como la mitad de la suma de estos valores:? = (xmáx – xmín)/2.
3. Esta es una estimación de intervalo. errores, que tiene sentido llevar a cabo con una pequeña cantidad de muestreo estadístico. La estimación puntual consiste en calcular la expectativa matemática y la desviación estándar.
4. La expectativa matemática es la suma integral de una serie de productos de 2 parámetros de seguimiento. Estos son, de hecho, los valores de la cantidad medida y sus probabilidades en estos puntos: М = ?xi pi.
5. La fórmula clásica para calcular la desviación estándar asume el cálculo del valor promedio de la secuencia analizada de valores del valor medido, y también considera el volumen de una serie de experimentos realizados: = ?(?(xi – xav)?/(n – 1)).
6. Según el método de expresión, también se distinguen errores incondicionales, relativos y reducidos. El error incondicional se expresa en las mismas unidades que el valor medido, y es igual a la diferencia entre su valor calculado y el verdadero: x = x1 - x0.
7. El error de medida relativo está relacionado con el incondicional, sin embargo, es más eficiente. No tiene dimensión, a veces se expresa en porcentaje. Su valor es igual a la razón de la incondicional errores al valor verdadero o calculado del parámetro medido: ?x = ?x/x0 o ?x = ?x/x1.
8. El error reducido se expresa como la relación entre el error incondicional y algún valor x convencionalmente aceptado, que es constante para todo mediciones y está determinado por la graduación de la escala del instrumento. Si la escala parte de cero (unilateral), entonces este valor normalizador es igual a su límite superior, y si es bilateral, el ancho de cada uno de sus rangos:? = ?x/xn.
El autocontrol de la diabetes se considera un componente importante del tratamiento. Un glucómetro se usa para medir el azúcar en la sangre en el hogar. El posible error de este dispositivo es mayor que el de los analizadores de glucemia de laboratorio.
La medición del azúcar en la sangre es necesaria para evaluar la eficacia del tratamiento de la diabetes y para ajustar la dosis de los medicamentos. Depende de la terapia prescrita cuántas veces al mes necesita medir el azúcar. Ocasionalmente, la toma de muestras de sangre para revisión es necesaria repetidamente durante el día, en ocasiones bastante 1-2 veces por semana. El autocontrol es necesario exclusivamente para mujeres embarazadas y pacientes con diabetes tipo 1.
Error permisible para un glucómetro según estándares internacionales
El glucómetro no se considera un instrumento de precisión. Se prepara solo para una determinación aproximada de la concentración de azúcar en la sangre. El posible error de un glucómetro según los estándares mundiales es del 20% con una glucemia superior a 4,2 mmol/l. Por ejemplo, si se fija un nivel de azúcar de 5 mmol/l durante el autocontrol, entonces el valor real de la concentración está en el rango de 4 a 6 mmol/l. Posible error en el glucómetro en condiciones estándar medido como un porcentaje, no mmol/l. Cuanto más altos son los indicadores, mayor es el error en números incondicionales. Digamos, si el azúcar en la sangre alcanza alrededor de 10 mmol/l, entonces el error no excede los 2 mmol/l, y si el azúcar es de alrededor de 20 mmol/l, entonces la diferencia con el total medición de laboratorio puede ser de hasta 4 mmol / l. En la mayoría de los casos, el glucómetro sobreestima la glucemia, los estándares permiten superar el error de medición indicado en un 5% de los casos. Esto significa que cualquier vigésima encuesta puede distorsionar significativamente los resultados.
Error permisible para glucómetros de varias empresas.
Los glucómetros están sujetos a certificación obligatoria. Los documentos que acompañan al dispositivo suelen indicar las cifras del posible error de medición. Si este artículo no está en las instrucciones, entonces el error corresponde al 20%. Algunos fabricantes de medidores ponen especial énfasis en la precisión de la medición. Hay dispositivos de empresas europeas que tienen un posible error inferior al 20%. El mejor indicador hoy es 10-15%.
El error del glucómetro durante el autocontrol.
El error de medición permisible caracteriza el funcionamiento del dispositivo. Varios otros factores también afectan la precisión de la encuesta. Piel anormalmente preparada, gota de sangre recibida demasiado pequeña o demasiado grande, inaceptable régimen de temperatura- todo esto puede conducir a errores. Solo si se observan todas las reglas de autocontrol, se permite confiar en el posible error declarado de la encuesta. Las reglas de autocontrol con el apoyo de un glucómetro se pueden obtener del médico tratante.La precisión del glucómetro se puede verificar en centro de servicio. Las garantías de los fabricantes incluyen consultas gratis y resolución de problemas.
Sea alguna variable aleatoria a Medido norte veces en las mismas condiciones. Los resultados de la medición dieron un conjunto norte varios numeros
Error absoluto- valor dimensional. Entre norte los valores de los errores absolutos cumplen necesariamente tanto los positivos como los negativos.
Para el valor más probable de la cantidad pero suele tomar promedio el significado de los resultados de la medición
.
Cuanto mayor sea el número de mediciones, más cerca estará el valor medio del valor real.
Error absolutoI
.
Error relativoI a dimensión se le llama cantidad
El error relativo es una cantidad adimensional. Usualmente, el error relativo se expresa como un porcentaje, para esto yo multiplicar por 100%. El valor del error relativo caracteriza la precisión de la medición.
Error absoluto promedio se define así:
.
Hacemos hincapié en la necesidad de sumar los valores absolutos (módulos) de las cantidades D y yo . De lo contrario, se obtendrá el resultado cero idéntico.
Error relativo promedio se llama la cantidad
.
Para un gran número de medidas.
El error relativo se puede considerar como el valor del error por unidad de la cantidad medida.
La precisión de las mediciones se juzga sobre la base de una comparación de los errores de los resultados de la medición. Por lo tanto, los errores de medida se expresan de tal forma que, para evaluar la precisión, sería suficiente comparar solo los errores de los resultados, sin comparar los tamaños de los objetos medidos o conocer estos tamaños de forma muy aproximada. Se sabe por la práctica que el error absoluto de medir el ángulo no depende del valor del ángulo, y el error absoluto de medir la longitud depende del valor de la longitud. Cuanto mayor sea el valor de la longitud, este método y las condiciones de medición, el error absoluto será mayor. Por lo tanto, según el error absoluto del resultado, es posible juzgar la precisión de la medición del ángulo, pero es imposible juzgar la precisión de la medición de la longitud. La expresión del error en forma relativa permite comparar, en ciertos casos, la precisión de las medidas angulares y lineales.
Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Error al azar.
Error al azar llamado componente del error de medición, que cambia aleatoriamente con mediciones repetidas de la misma cantidad.
Cuando se realizan mediciones repetidas de la misma cantidad constante e invariable con el mismo cuidado y en las mismas condiciones, obtenemos resultados de medición: algunos difieren entre sí y otros coinciden. Tales discrepancias en los resultados de la medición indican la presencia de componentes de error aleatorio en ellos.
El error aleatorio surge de la acción simultánea de muchas fuentes, cada una de las cuales tiene un efecto imperceptible en el resultado de la medición, pero el efecto total de todas las fuentes puede ser bastante fuerte.
Los errores aleatorios son una consecuencia inevitable de cualquier medición y se deben a:
a) lecturas inexactas en la escala de instrumentos e instrumentos;
b) condiciones no idénticas para mediciones repetidas;
c) cambios aleatorios Condiciones externas(temperatura, presión, campo de fuerza etc.) que no se pueden controlar;
d) todas las demás influencias sobre las mediciones, cuyas causas desconocemos. La magnitud del error aleatorio se puede minimizar mediante la repetición repetida del experimento y el procesamiento matemático apropiado de los resultados.
El error aleatorio puede tomar varias valor absoluto valores que no se pueden predecir para un determinado acto de medición. este error en Igualmente puede ser tanto positivo como negativo. Los errores aleatorios siempre están presentes en un experimento. En ausencia de errores sistemáticos, provocan que las mediciones repetidas se dispersen sobre el valor real.
Supongamos que con la ayuda de un cronómetro medimos el período de oscilación del péndulo, y la medición se repite muchas veces. Errores al iniciar y detener el cronómetro, un error en el valor de la referencia, un pequeño movimiento irregular del péndulo: todo esto provoca una dispersión en los resultados de mediciones repetidas y, por lo tanto, puede clasificarse como errores aleatorios.
Si no hay otros errores, algunos resultados se sobreestimarán un poco, mientras que otros se subestimarán ligeramente. Pero si, además de esto, el reloj también está atrasado, entonces todos los resultados serán subestimados. Esto ya es un error sistemático.
Algunos factores pueden causar errores sistemáticos y aleatorios al mismo tiempo. Entonces, al encender y apagar el cronómetro, podemos crear una pequeña dispersión irregular en los momentos de iniciar y detener el reloj en relación con el movimiento del péndulo y, por lo tanto, introducir un error aleatorio. Pero si, además, cada vez que nos apresuramos a encender el cronómetro y tardamos un poco en apagarlo, entonces esto conducirá a un error sistemático.
Los errores aleatorios son causados por un error de paralaje al leer las divisiones de la escala del instrumento, sacudidas de los cimientos del edificio, la influencia de un ligero movimiento de aire, etc.
Aunque es imposible excluir los errores aleatorios de las mediciones individuales, teoría matemática los fenómenos aleatorios nos permiten reducir la influencia de estos errores en el resultado final de la medición. A continuación se demostrará que para ello es necesario realizar no una, sino varias medidas, y cuanto menor sea el valor de error que queramos obtener, más medidas habrá que realizar.
Debido al hecho de que la ocurrencia de errores aleatorios es inevitable e inevitable, la tarea principal de cualquier proceso de medición es reducir al mínimo los errores.
La teoría de los errores se basa en dos supuestos principales, confirmados por la experiencia:
1. Con un gran número de mediciones, errores aleatorios de la misma magnitud, pero signo diferente, es decir, los errores en la dirección de aumento y disminución del resultado son bastante comunes.
2. Los errores absolutos grandes son menos comunes que los pequeños, por lo que la probabilidad de un error disminuye a medida que aumenta su valor.
El comportamiento de las variables aleatorias se describe mediante regularidades estadísticas, que son el tema de la teoría de la probabilidad. Definición estadística probabilidades yo desarrollos I es la actitud
donde norte- número total de experimentos, n yo- el número de experimentos en los que el evento I sucedió. En este caso, el número total de experimentos debe ser muy grande ( norte®¥). Con un gran número de medidas, los errores aleatorios obedecen a una distribución normal (distribución gaussiana), cuyas principales características son las siguientes:
1. Cuanto mayor sea la desviación del valor del valor medido del valor real, menor será la probabilidad de tal resultado.
2. Las desviaciones en ambas direcciones del valor real son igualmente probables.
De las suposiciones anteriores, se deduce que para reducir la influencia de los errores aleatorios, es necesario medir esta cantidad varias veces. Supongamos que estamos midiendo algún valor x. dejar producido norte mediciones: x 1 , x 2 , ... x norte- por el mismo método y con el mismo cuidado. Se puede esperar que el número dn resultados obtenidos, que se encuentran en un intervalo bastante estrecho de X antes de x + dx, debe ser proporcional a:
El valor del intervalo tomado dx;
Número total de mediciones norte.
Probabilidad dw(X) que algún valor X se encuentra en el intervalo de X antes de x+dx, definido de la siguiente manera :
(con el número de medidas norte ®¥).
Función F(X) se denomina función de distribución o densidad de probabilidad.
Como postulado de la teoría de los errores, se supone que los resultados de las medidas directas y sus errores aleatorios, en un gran número de ellos, obedecen a la ley de la distribución normal.
La función de distribución de una variable aleatoria continua encontrada por Gauss X tiene la siguiente forma:
, donde mis -
parámetros de distribución .
El parámetro m de la distribución normal es igual al valor medio á Xñ una variable aleatoria que, para una función de distribución arbitraria conocida, está determinada por la integral
.
De este modo, m es lo mas valor probable cantidad medida x, es decir su mejor estimación.
El parámetro s 2 de la distribución normal es igual a la varianza D de la variable aleatoria, que generalmente está determinada por la siguiente integral
.
Raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar de la variable aleatoria.
La desviación media (error) de la variable aleatoria ásñ se determina usando la función de distribución de la siguiente manera
El error de medición promedio ásñ, calculado a partir de la función de distribución gaussiana, está relacionado con el valor de la desviación estándar s de la siguiente manera:
< s > = 0,8 s.
Los parámetros s y m están relacionados de la siguiente manera:
.
Esta expresión le permite encontrar la desviación estándar s si existe una curva de distribución normal.
La gráfica de la función Gaussiana se muestra en las figuras. Función F(X) es simétrica con respecto a la ordenada trazada en el punto x= metro; pasa por el máximo en el punto x= my tiene una inflexión en los puntos m ±s. Por lo tanto, la dispersión caracteriza el ancho de la función de distribución, o muestra cuán ampliamente se dispersan los valores de una variable aleatoria en relación con su valor real. Cuanto más precisas sean las mediciones, más se acercarán al valor real los resultados de las mediciones individuales, es decir, el valor de s es menor. La figura A muestra la función F(X) para tres valores s .
Area de una figura limitada por una curva F(X) y líneas verticales dibujadas desde puntos X 1 y X 2 (figura B) , es numéricamente igual a la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre dentro del intervalo D x = x 1 -X 2, que se denomina nivel de confianza. Área bajo toda la curva F(X) es igual a la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo de 0 a ¥, es decir
,
ya que la probabilidad de un cierto evento es igual a uno.
Usando la distribución normal, la teoría del error plantea y resuelve dos problemas principales. El primero es una evaluación de la precisión de las mediciones. El segundo es una estimación de la precisión de la media. valor aritmético resultados de medición.5. Intervalo de confianza. Coeficiente de estudiante.
La teoría de la probabilidad le permite determinar el tamaño del intervalo en el que con una probabilidad conocida w son los resultados de mediciones individuales. Esta probabilidad se llama nivel de confianza, y el intervalo correspondiente (<X>±D X)w llamado intervalo de confianza. El nivel de confianza también es igual a la proporción relativa de resultados que se encuentran dentro del intervalo de confianza.
Si el número de medidas norte es lo suficientemente grande, entonces la probabilidad de confianza expresa la proporción del número total norte aquellas mediciones en las que el valor medido se encontraba dentro del intervalo de confianza. Cada nivel de confianza w corresponde a su intervalo de confianza w 2 80%. Cuanto más amplio sea el intervalo de confianza, más probable es obtener un resultado dentro de ese intervalo. En la teoría de la probabilidad, se establece una relación cuantitativa entre el valor del intervalo de confianza, la probabilidad de confianza y el número de mediciones.
Si elegimos como intervalo de confianza el intervalo correspondiente al error medio, es decir, D un = ANUNCIO peroñ, entonces para un número suficientemente grande de medidas corresponde a la probabilidad de confianza w 60%. A medida que disminuye el número de mediciones, la probabilidad de confianza correspondiente a dicho intervalo de confianza (á peroñ ± ANUNCIO peroñ) disminuye.
Así, para estimar el intervalo de confianza de una variable aleatoria, se puede utilizar el valor del error medioáD peroñ .
Para caracterizar la magnitud de un error aleatorio, es necesario establecer dos números, a saber, la magnitud del intervalo de confianza y la magnitud de la probabilidad de confianza . Especificar solo la magnitud del error sin la probabilidad de confianza correspondiente carece en gran medida de sentido.
Si se conoce el error de medición promedio ásñ, el intervalo de confianza se escribe como (<X> ±asñ) w, determinado con probabilidad de confianza w= 0,57.
Si se conoce la desviación estándar s distribución de los resultados de las mediciones, el intervalo indicado tiene la forma (<X>± dos s) w, donde dos- coeficiente en función del valor de la probabilidad de confianza y calculado según la distribución gaussiana.
Las cantidades más utilizadas D X se muestran en la tabla 1.
Condiciones Error de medición Y Error de medición se usan como sinónimos). Solo es posible estimar la magnitud de esta desviación, por ejemplo, usando métodos estadísticos. Al mismo tiempo, por verdadero valor se toma el valor estadístico promedio obtenido por procesamiento estadístico de los resultados de una serie de mediciones. Este valor obtenido no es exacto, sino sólo el más probable. Por lo tanto, es necesario indicar en las mediciones cuál es su precisión. Para ello, junto con el resultado obtenido, se indica el error de medida. Por ejemplo, la entrada T=2,8±0,1 C. significa que el verdadero valor de la cantidad T se encuentra en el intervalo de 2,7 s. antes de 2,9 s. alguna probabilidad especificada (ver intervalo de confianza, probabilidad de confianza, error estándar).
En 2006, a nivel internacional se adoptó nuevo documento, dictando las condiciones para llevar a cabo las mediciones y estableciendo nuevas reglas para comparar los estándares estatales. El concepto de "error" quedó obsoleto, en su lugar se introdujo el concepto de "incertidumbre de medición".
Definición de error
Dependiendo de las características de la cantidad medida, se utilizan varios métodos para determinar el error de medición.
- El método de Kornfeld consiste en elegir un intervalo de confianza que va desde el resultado de medición mínimo hasta el máximo, y un error como la mitad de la diferencia entre el resultado de medición máximo y mínimo:
- Error cuadrático medio de la raíz:
- El error cuadrático medio de la media aritmética:
Clasificación de errores
Según la forma de presentación
- Error absoluto - Δ X es una estimación del error de medición absoluto. El valor de este error depende del método de su cálculo, que, a su vez, está determinado por la distribución de la variable aleatoria X metromias . En este caso, la igualdad:
Δ X = | X trtumi − X metromias | ,
donde X trtumi es el valor verdadero y X metromias - el valor medido, debe realizarse con alguna probabilidad cercana a 1. Si la variable aleatoria X metromias distribuida de acuerdo con la ley normal, entonces, por lo general, su desviación estándar se toma como un error absoluto. El error absoluto se mide en las mismas unidades que el valor mismo.
- Error relativo- la relación entre el error absoluto y el valor que se toma como verdadero:
El error relativo es una cantidad adimensional o se mide en porcentaje.
- error reducido- error relativo, expresado como la relación entre el error absoluto del instrumento de medición y el condicionalmente valor aceptado valor, constante en todo el rango de medición o en parte del rango. Calculado según la fórmula
donde X norte- valor de normalización, que depende del tipo de escala del instrumento de medición y está determinado por su graduación:
Si la escala del dispositivo es unilateral, es decir, límite de medición inferior cero, luego X norte se determina igual al límite superior de las medidas;
- si la escala del dispositivo es de dos caras, entonces el valor de normalización es igual al ancho del rango de medición del dispositivo.
El error dado es un valor adimensional (se puede medir como un porcentaje).
Debido a la ocurrencia
- Errores instrumentales / instrumentales- errores que están determinados por los errores de los instrumentos de medición utilizados y son causados por la imperfección del principio de funcionamiento, la inexactitud de la graduación de la escala y la falta de visibilidad del dispositivo.
- Errores metodológicos- errores debidos a la imperfección del método, así como simplificaciones subyacentes a la metodología.
- Subjetivo / operador / errores personales- errores debidos al grado de atención, concentración, preparación y otras cualidades del operador.
En ingeniería, los instrumentos se utilizan para medir solo con una cierta precisión predeterminada: el principal error permitido por la norma en condiciones normales funcionamiento de este instrumento.
Si el dispositivo funciona en condiciones distintas a las normales, se produce un error adicional que aumenta el error general del dispositivo. Los errores adicionales incluyen: temperatura, causada por la desviación de la temperatura ambiente de la normal, instalación, debido a la desviación de la posición del dispositivo de la posición normal de funcionamiento, etc. 20°C se toma como temperatura ambiente normal, Presión atmosférica 01,325 kPa.
Una característica generalizada de los instrumentos de medición es una clase de precisión determinada por los valores límite de los errores básicos y adicionales permisibles, así como otros parámetros que afectan la precisión de los instrumentos de medición; el valor de los parámetros lo establecen las normas para determinados tipos de instrumentos de medida. La clase de precisión de los instrumentos de medición caracteriza sus propiedades de precisión, pero no es un indicador directo de la precisión de las mediciones realizadas con estos instrumentos, ya que la precisión también depende del método de medición y las condiciones para su implementación. A los instrumentos de medición, cuyos límites del error básico permisible se dan en forma de errores básicos (relativos) reducidos, se les asignan clases de precisión seleccionadas de la serie siguientes numeros: (1; 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 4.0; 5.0; 6.0) * 10n, donde n = 1; 0; -una; -2 etc
Según la naturaleza de la manifestación.
- error al azar- error, cambio (en magnitud y en signo) de medida en medida. Los errores aleatorios pueden estar asociados con la imperfección de los dispositivos (fricción en dispositivos mecánicos, etc.), sacudidas en condiciones urbanas, con la imperfección del objeto de medición (por ejemplo, al medir el diámetro de un cable delgado, que puede no tener una sección transversal completamente redonda como resultado de la imperfección del proceso de fabricación), con características de la propia cantidad medida (por ejemplo, al medir la cantidad partículas elementales pasando por minuto a través de un contador Geiger).
- Error sistematico- un error que cambia con el tiempo de acuerdo con cierta ley (un caso especial es un error constante que no cambia con el tiempo). Los errores sistemáticos pueden estar asociados a errores del instrumento (escala incorrecta, calibración, etc.) no tenidos en cuenta por el experimentador.
- Error progresivo (deriva) es un error impredecible que cambia lentamente con el tiempo. Es un proceso aleatorio no estacionario.
- Gran error (error)- un error resultante de un descuido del experimentador o un mal funcionamiento del equipo (por ejemplo, si el experimentador leyó incorrectamente el número de división en la escala del dispositivo, si hubo un cortocircuito en el circuito eléctrico).
En la práctica, normalmente los números sobre los que se realizan los cálculos son valores aproximados de determinadas cantidades. Por brevedad, el valor aproximado de una cantidad se llama número aproximado. El verdadero valor de una cantidad se llama número exacto. Un número aproximado tiene valor práctico solo cuando podemos determinar con qué grado de precisión se da, es decir evaluar su error. Recuerda los conceptos básicos de curso general matemáticas.
Denotar: X- número exacto (valor verdadero de la cantidad), pero- número aproximado (valor aproximado de una cantidad).
Definición 1. El error (o error verdadero) de un número aproximado es la diferencia entre el número X y su valor aproximado pero. error aproximado pero denotaremos. Entonces,
Numero exacto X la mayoría de las veces es desconocido, por lo que no es posible encontrar los errores verdaderos y absolutos. Por otro lado, puede ser necesario estimar el error absoluto, es decir indicar un número que el error absoluto no puede exceder. Por ejemplo, al medir la longitud de un objeto con esta herramienta, debemos estar seguros de que el error del valor numérico obtenido no superará un número determinado, por ejemplo, 0,1 mm. En otras palabras, debemos conocer el límite del error absoluto. Este límite se denominará error absoluto límite.
Definición 3. El error absoluto límite del número aproximado pero se llama un número positivo tal que , i.e.
Medio, X por deficiencia, por exceso. También se utiliza la siguiente entrada:
| . | (2.5) |
Está claro que el error absoluto límite se determina de manera ambigua: si un cierto número es el error absoluto límite, entonces cualquier más también hay un error absoluto marginal. En la práctica, intentan elegir el registro más pequeño y simple posible (de 1 a 2 personajes importantes) es un número que satisface la desigualdad (2.3).
Ejemplo.Determine los errores absolutos verdaderos, absolutos y limitantes del número a \u003d 0.17, tomado como un valor aproximado del número.
Verdadero error: 
Error absoluto: 
Para el error absoluto limitante, puede tomar un número y cualquier número mayor. En notación decimal tendremos: Reemplazando este número por un registro grande y posiblemente más simple, aceptaremos:
Comentario. Si pero es el valor aproximado del número X, y el error absoluto límite es igual a h, entonces dicen que pero es el valor aproximado del número X hasta H.
Conocer el error absoluto no es suficiente para caracterizar la calidad de una medición o cálculo. Deje, por ejemplo, que tales resultados se obtengan al medir la longitud. Distancia entre dos ciudades S1=500 1 km y la distancia entre dos edificios en la ciudad S2=10 1 kilómetro. Aunque los errores absolutos de ambos resultados son los mismos, sin embargo, es esencial que en el primer caso el error absoluto de 1 km caiga en 500 km, en el segundo, en 10 km. La calidad de la medición en el primer caso es mejor que en el segundo. La calidad de un resultado de medición o cálculo se caracteriza por un error relativo.
Definición 4. Error relativo de valor aproximado pero números X es la razón del error absoluto del número pero al valor absoluto del número X:
Definición 5. El error relativo límite del número aproximado pero se llama un número positivo tal que .
Como , se sigue de la fórmula (2.7) que se puede calcular a partir de la fórmula
| . | (2.8) |
Por brevedad, en los casos en que esto no cause malentendidos, en lugar de “limitar el error relativo”, simplemente dicen “error relativo”.
El error relativo límite a menudo se expresa como un porcentaje.
Ejemplo 1. . Suponiendo que podemos aceptar = . Al dividir y redondear (necesariamente hacia arriba), obtenemos = 0.0008 = 0.08%.
Ejemplo 2Al pesar el cuerpo se obtuvo el resultado: p=23.4 0.2 g Tenemos = 0.2. . Al dividir y redondear, obtenemos = 0,9%.
La fórmula (2.8) determina la relación entre errores absolutos y relativos. De la fórmula (2.8) se sigue:
| . | (2.9) |
Usando las fórmulas (2.8) y (2.9), podemos, si se conoce el número pero, según el error absoluto dado, encuentre el error relativo y viceversa.
Tenga en cuenta que las fórmulas (2.8) y (2.9) a menudo deben aplicarse incluso cuando aún no conocemos el número aproximado pero con la precisión requerida, pero sabemos el valor aproximado aproximado pero. Por ejemplo, se requiere medir la longitud de un objeto con un error relativo de no más del 0,1%. La pregunta es: ¿es posible medir la longitud con la precisión requerida utilizando un pie de rey que permita medir la longitud con un error absoluto de hasta 0,1 mm? Aunque todavía no hemos medido un objeto con un instrumento preciso, sabemos que un valor aproximado aproximado de la longitud es de aproximadamente 12 cm. Por la fórmula (1.9) encontramos el error absoluto:
De esto se puede ver que con la ayuda de un calibrador es posible realizar una medición con la precisión requerida.
En el proceso de trabajo computacional, a menudo es necesario cambiar de error absoluto a relativo, y viceversa, lo que se hace usando las fórmulas (1.8) y (1.9).
En el proceso de medir algo hay que tener en cuenta que el resultado obtenido aún no es definitivo. Para calcular con mayor precisión el valor deseado, es necesario tener en cuenta el error. Calcularlo es bastante simple.
Cómo encontrar el error - cálculo
Tipos de errores:
- relativo;
- absoluto.
Lo que necesitas para calcular:
- calculadora;
- resultados de varias mediciones de la misma cantidad.
Cómo encontrar un error: una secuencia de acciones
- Mida el valor 3-5 veces.
- Sume todos los resultados y divida el número resultante por su número. número dado es un valor válido.
- Calcule el error absoluto restando el valor obtenido en el paso anterior de los resultados de la medición. Fórmula: ∆X = Hisl - Hist. Durante los cálculos, puede obtener valores tanto positivos como negativos. En cualquier caso, se toma el módulo del resultado. Si es necesario conocer el error absoluto de la suma de dos cantidades, entonces los cálculos se realizan de acuerdo con la siguiente fórmula: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. También funciona cuando es necesario calcular el error de la diferencia entre dos cantidades: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
- Averigüe el error relativo para cada una de las medidas. En este caso, debe dividir el error absoluto obtenido por el valor real. Luego multiplica el cociente por 100%. ε(x)=Δx/x0*100%. El valor puede o no convertirse a un porcentaje.
- Para obtener un valor más preciso del error, es necesario encontrar la desviación estándar. Se busca de manera bastante simple: calcule los cuadrados de todos los valores del error absoluto y luego encuentre su suma. El resultado obtenido debe dividirse por el número (N-1), en el que N es el número de todas las mediciones. El último paso es extraer la raíz del resultado. Después de tales cálculos, se obtendrá la desviación estándar, que generalmente caracteriza el error de medición.
- Para encontrar el error absoluto límite, es necesario encontrar el número más pequeño, que en su valor sea igual o mayor que el valor del error absoluto.
- El error relativo limitante se busca por el mismo método, solo que es necesario encontrar un número que sea mayor o igual al valor del error relativo.
Los errores de medición surgen por varias razones y afectan la precisión del valor obtenido. Sabiendo a qué equivale el error, puede encontrar un valor más preciso de la medición.