Consideremos el tema de la transformación de expresiones con potencias, pero primero nos detendremos en una serie de transformaciones que se pueden llevar a cabo con cualquier expresión, incluidas las exponenciales. Aprenderemos a abrir paréntesis, traer dichos términos, trabajar con la base y el exponente y usar las propiedades de los grados.

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¿Qué son las expresiones exponenciales?

En el curso de la escuela, pocas personas usan la frase "expresiones exponenciales", pero este término se encuentra constantemente en las colecciones para prepararse para el examen. En la mayoría de los casos, una frase denota expresiones que contienen grados en sus registros. Reflejaremos esto en nuestra definición.

Definición 1

Expresión exponencial Es una expresión que contiene grados.

Aquí hay algunos ejemplos de expresiones exponenciales, comenzando con un grado de tasa natural y terminando con un grado con un exponente válido.

Las expresiones de potencia más simples se pueden considerar potencias de un número con un exponente natural: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3-1, (a 2) 3. Y también grados con exponente cero: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Y grados con potencias enteras negativas: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Es un poco más difícil trabajar con un título que tiene indicadores racionales e irracionales: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

El indicador puede ser la variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o el logaritmo x 2 l g x - 5 x l g x.

Con la pregunta de qué son las expresiones de poder, nos dimos cuenta. Ahora vayamos a convertirlos.

Tipos básicos de transformaciones de expresiones de poder.

En primer lugar, veremos las transformaciones de identidad básicas de expresiones que se pueden realizar con expresiones exponenciales.

Ejemplo 1

Calcula el valor de la expresión exponencial 2 3 (4 2 - 12).

Solución

Realizaremos todas las transformaciones de acuerdo con el orden de actuación. En este caso, comenzaremos por realizar las acciones entre paréntesis: reemplazar el grado con un valor digital y calcular la diferencia entre los dos números. Tenemos 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Nos queda reemplazar el grado 2 3 su definicion 8 y calcula el producto 8 4 = 32... Esta es nuestra respuesta.

Respuesta: 2 3 (4 2 - 12) = 32.

Ejemplo 2

Simplifica la expresión con poderes. 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Solución

La expresión que se nos da en el enunciado del problema contiene términos similares, que podemos dar: 3 a 4 segundo - 7-1 + 2 a 4 segundo - 7 = 5 a 4 segundo - 7-1.

Respuesta: 3 una 4 segundo - 7-1 + 2 una 4 segundo - 7 = 5 una 4 segundo - 7-1.

Ejemplo 3

Presenta una expresión con potencias de 9 - b 3 · π - 1 2 como un producto.

Solución

Representemos el número 9 como una potencia 3 2 y aplique la fórmula de multiplicación abreviada:

9 - segundo 3 π - 1 2 = 3 2 - segundo 3 π - 1 2 = = 3 - segundo 3 π - 1 3 + segundo 3 π - 1

Respuesta: 9 - segundo 3 π - 1 2 = 3 - segundo 3 π - 1 3 + segundo 3 π - 1.

Y ahora pasemos al análisis de transformaciones idénticas que se pueden aplicar precisamente en relación con las expresiones de poder.

Trabajando con base y exponente

El grado en la base o exponente puede tener números, variables y algunas expresiones. Por ejemplo, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 y ... Es difícil trabajar con esos registros. Es mucho más fácil reemplazar una expresión en la base de una potencia o una expresión en un exponente con la misma igual expresión.

Las conversiones de grado y exponente se llevan a cabo de acuerdo con las reglas que conocemos por separado. Lo más importante es que como resultado de las transformaciones se obtiene una expresión idéntica a la original.

El propósito de las transformaciones es simplificar la expresión original u obtener una solución a un problema. Por ejemplo, en el ejemplo que dimos anteriormente, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7, puedes seguir los pasos para ir al grado 4 , 1 1 , 3 ... Ampliando los corchetes, podemos dar términos similares en la base de la titulación (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) y obtener exponencial más tipo simple a 2 (x + 1).

Usar propiedades de grado

Las propiedades de potencia, escritas como igualdades, son una de las principales herramientas para transformar las expresiones de potencia. Estos son los principales, teniendo en cuenta que a y B¿Son números positivos y r y s- números reales arbitrarios:

Definición 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

En aquellos casos en los que se trata de exponentes naturales, enteros y positivos, las restricciones sobre los números ayb pueden ser mucho menos estrictas. Entonces, por ejemplo, si consideramos la igualdad una m una n = una m + n, dónde metro y norte Son números naturales, entonces será cierto para cualquier valor de a, tanto positivo como negativo, así como para a = 0.

Es posible aplicar las propiedades de los grados sin restricciones en los casos en que las bases de los grados sean positivas o contengan variables, el área valores aceptables que es tal que en él los motivos son sólo valores positivos... De hecho, dentro del plan de estudios de matemáticas de la escuela, la tarea del estudiante es seleccionar la propiedad apropiada y aplicarla correctamente.

Al prepararse para la admisión a las universidades, puede haber problemas en los que el uso incorrecto de las propiedades conducirá a un estrechamiento de la ODZ y otras dificultades con la solución. En esta sección, analizaremos solo dos de esos casos. Puede encontrar más información sobre el tema en el tema "Transformación de expresiones usando propiedades de energía".

Ejemplo 4

Imagina la expresion a 2.5 (a 2) - 3: a - 5.5 como un grado con una base a.

Solución

Primero, usamos la propiedad de exponenciación y transformamos el segundo factor por ella (a 2) - 3... Luego usamos las propiedades de multiplicación y división de potencias con sobre la misma base:

a 2, 5 a - 6: a - 5, 5 = a 2, 5 - 6: a - 5, 5 = a - 3, 5: a - 5, 5 = a - 3, 5 - (- 5, 5 ) = a 2.

Respuesta: a 2.5 (a 2) - 3: a - 5.5 = a 2.

La transformación de expresiones exponenciales según la propiedad de los grados se puede realizar tanto de izquierda a derecha como en sentido contrario.

Ejemplo 5

Halla el valor de la expresión exponencial 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Solución

Si aplicamos la igualdad (a b) r = a r b r, de derecha a izquierda, obtenemos un producto de la forma 3 · 7 1 3 · 21 2 3 y más 21 1 3 · 21 2 3. Sumamos los exponentes al multiplicar grados con las mismas bases: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Hay una forma más de realizar transformaciones:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Respuesta: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Ejemplo 6

Se da la expresión exponencial un 1, 5 - un 0, 5 - 6, ingrese una nueva variable t = a 0.5.

Solución

Imagina el grado a 1, 5 cómo a 0.5 3... Usamos la propiedad de grado a grado (a r) s = a r s de derecha a izquierda y obtenemos (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Puede ingresar fácilmente una nueva variable en la expresión resultante. t = a 0.5: obtenemos t 3 - t - 6.

Respuesta: t 3 - t - 6.

Convertir fracciones que contienen potencias

Normalmente tratamos con dos variantes de expresiones exponenciales con fracciones: la expresión es una fracción con una potencia o contiene dicha fracción. Todas las transformaciones básicas de fracciones son aplicables a tales expresiones sin restricciones. Se pueden reducir, reducir a un nuevo denominador y trabajar por separado con el numerador y el denominador. Ilustremos esto con ejemplos.

Ejemplo 7

Simplifica la expresión exponencial 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2.

Solución

Estamos ante una fracción, por lo que realizaremos transformaciones tanto en el numerador como en el denominador:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Coloca un menos delante de la fracción para cambiar el signo del denominador: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Respuesta: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Las fracciones que contienen potencias se reducen a un nuevo denominador de la misma forma que las fracciones racionales. Para hacer esto, necesitas encontrar un factor adicional y multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por él. Es necesario seleccionar un factor adicional de tal manera que no desaparezca para ningún valor de las variables de las variables ODZ para la expresión original.

Ejemplo 8

Reducir fracciones al nuevo denominador: a) a + 1 a 0, 7 al denominador a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 al denominador x + 8 y 1 2.

Solución

a) Elijamos un factor que nos permitirá hacer una reducción a un nuevo denominador. a 0.7 a 0, 3 = a 0.7 + 0, 3 = a, por lo tanto, como factor adicional, tomamos a 0, 3... El rango de valores permitidos de la variable a incluye el conjunto de todos los valores positivos. numeros reales... En esta área, el grado a 0, 3 no desaparece.

Multipliquemos el numerador y denominador de la fracción por a 0, 3:

una + 1 una 0, 7 = una + 1 una 0, 3 una 0, 7 una 0, 3 = una + 1 una 0, 3 una

b) Preste atención al denominador:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplica esta expresión por x 1 3 + 2 y 1 6, obtenemos la suma de los cubos x 1 3 y 2 y 1 6, es decir x + 8 y 1 2. Este es nuestro nuevo denominador, al que debemos reducir la fracción original.

Entonces encontramos un factor adicional x 1 3 + 2 · y 1 6. Sobre el rango de valores admisibles de variables. X y y la expresión x 1 3 + 2 y 1 6 no desaparece, por lo que podemos multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por ella:
1 x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3-2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Respuesta: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.

Ejemplo 9

Reducir la fracción: a) 30 x 3 (x 0.5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0.5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Solución

a) Usamos el más grande común denominador(MCD), por el cual se pueden reducir el numerador y el denominador. Para los números 30 y 45, esto es 15. También podemos reducir por x 0,5 + 1 y en x + 2 x 1 1 3 - 5 3.

Obtenemos:

30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0,5 + 1)

b) Aquí, la presencia de los mismos factores no es obvia. Tendrás que realizar algunas transformaciones para obtener los mismos factores en el numerador y denominador. Para hacer esto, expandimos el denominador usando la fórmula para la diferencia de cuadrados:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 una 1 4 + b 1 4

Respuesta: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 X 3 3 (x 0, 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Las operaciones básicas con fracciones incluyen la conversión a un nuevo denominador y la reducción de fracciones. Ambas acciones se realizan de acuerdo con una serie de reglas. Al sumar y restar fracciones, primero las fracciones se llevan a un denominador común, después de lo cual se realizan acciones (suma o resta) con los numeradores. El denominador sigue siendo el mismo. El resultado de nuestras acciones es una nueva fracción, cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo 10

Siga los pasos x 1 2 + 1 x 1 2-1 - x 1 2-1 x 1 2 + 1 1 x 1 2.

Solución

Comencemos por restar las fracciones que están entre paréntesis. Llevémoslos a un denominador común:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Resta los numeradores:

x 1 2 + 1 x 1 2-1 - x 1 2-1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2-1 x 1 2 + 1 - x 1 2-1 x 1 2-1 x 1 2 + 1 x 1 2-1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2-1 2 x 1 2-1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Ahora multiplicamos las fracciones:

4 x 1 2 x 1 2-1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2-1 x 1 2 + 1 x 1 2

Reducir por el grado x 1 2, obtenemos 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1.

Además, puedes simplificar la expresión exponencial en el denominador usando la fórmula de diferencia de cuadrados: cuadrados: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Respuesta: x 1 2 + 1 x 1 2-1 - x 1 2-1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Ejemplo 11

Simplifica la expresión exponencial x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Solución

Podemos reducir la fracción por (x 2, 7 + 1) 2... Obtenemos la fracción x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Continuemos la transformación de los grados de x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Ahora puedes usar la propiedad de división de potencias con las mismas bases: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Pasamos del último producto a la fracción x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Respuesta: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

En la mayoría de los casos, es más conveniente transferir multiplicadores con exponentes negativos del numerador al denominador y viceversa, cambiando el signo del exponente. Esta acción le permite simplificar la solución adicional. Aquí hay un ejemplo: la expresión exponencial (x + 1) - 0, 2 3 x - 1 se puede reemplazar por x 3 (x + 1) 0, 2.

Conversión de expresiones con raíces y potencias

En los problemas, hay expresiones de potencia que contienen no solo potencias con exponentes fraccionarios, sino también raíces. Es deseable reducir tales expresiones solo a raíces o solo a grados. Es preferible la transición a grados, ya que es más fácil trabajar con ellos. Esta transición es especialmente preferible cuando el ODV de las variables para la expresión original permite reemplazar las raíces con potencias sin la necesidad de hacer referencia al módulo o dividir el ODV en varios intervalos.

Ejemplo 12

Imagina la expresión x 1 9 x x 3 6 como una potencia.

Solución

Rango variable X está definido por dos desigualdades x ≥ 0 y x x 3 ≥ 0, que definen el conjunto [ 0 , + ∞) .

En este set, tenemos derecho a pasar de las raíces a los poderes:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x x 1 3 1 6

Usando las propiedades de los grados, simplificamos la expresión exponencial resultante.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 X 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Respuesta: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

Conversión de potencias con variables exponentes

Estas transformaciones son bastante sencillas de realizar si se utilizan correctamente las propiedades de la titulación. Por ejemplo, 5 2 x + 1-3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Podemos reemplazar el producto del grado, en términos del cual existe la suma de una variable y un número. En el lado izquierdo, esto se puede hacer con el primer y último término en el lado izquierdo de la expresión:

5 2 x 5 1-3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0.5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Ahora dividimos ambos lados de la igualdad por 7 2 x... Esta expresión en la ODZ de la variable x solo toma valores positivos:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0.5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Reduciendo las fracciones con potencias, obtenemos: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0.

Finalmente, la razón de las potencias con los mismos exponentes se reemplaza por las potencias de las razones, lo que conduce a la ecuación 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, que es equivalente a 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Introduce una nueva variable t = 5 7 x, que reduce la solución de la ecuación exponencial original a la solución ecuación cuadrática 5 t 2-3 t - 2 = 0.

Convertir expresiones con potencias y logaritmos

Las expresiones que contienen grados y logaritmos también se encuentran en los problemas. Un ejemplo de tales expresiones son: 1 4 1 - 5 · log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. La transformación de tales expresiones se lleva a cabo utilizando los enfoques y propiedades de los logaritmos discutidos anteriormente, que discutimos en detalle en el tema "Conversión de expresiones logarítmicas".

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Calculadora de matemáticas en línea v.1.0

La calculadora realiza las siguientes operaciones: suma, resta, multiplicación, división, trabajo con decimal, extracción de raíz, exponenciación, cálculo de porcentaje y otras operaciones.

Solución:

Cómo trabajar con una calculadora matemática

Llave	Designacion	Explicación
5	números 0-9	Números arábigos. Entrada de enteros naturales, cero. Para obtener un número entero negativo, presione la tecla +/-
.	punto y coma)	Separador de fracción decimal. Si no hay ningún dígito delante del punto (coma), la calculadora sustituirá automáticamente el cero delante del punto. Por ejemplo: .5 - 0.5 se escribirá
+	Signo de más	Suma de números (enteros, fracciones decimales)
-	signo menos	Resta de números (enteros, fracciones decimales)
÷	signo de división	División de números (enteros, fracciones decimales)
NS	signo de multiplicación	Multiplicación de números (enteros, fracciones decimales)
√	raíz	Extrayendo la raíz de un número. Cuando presiona el botón "raíz" nuevamente, la raíz se calcula a partir del resultado. Por ejemplo: raíz de 16 = 4; raíz de 4 = 2
x 2	cuadratura	Elevar un número al cuadrado. Cuando presiona el botón "cuadrado" de nuevo, el resultado se eleva al cuadrado, por ejemplo: cuadrado 2 = 4; cuadrado 4 = 16
1 / x	fracción	Salida en fracciones decimales. En el numerador 1, en el denominador el número ingresado
%	por ciento	Obtener un porcentaje de un número. Para trabajar, debe ingresar: el número a partir del cual se calculará el porcentaje, el signo (más, menos, dividir, multiplicar), cuánto porcentaje en forma numérica, el botón "%"
(	paréntesis abierto	Un paréntesis abierto para establecer la prioridad del cálculo. Se requiere un paréntesis cerrado. Ejemplo: (2 + 3) * 2 = 10
)	paréntesis cerrado	Un paréntesis cerrado para establecer la prioridad del cálculo. Se requiere un paréntesis abierto
±	mas menos	Signo inverso
=	es igual a	Muestra el resultado de la solución. Además, encima de la calculadora, en el campo "Solución", se muestran los cálculos intermedios y el resultado.
←	borrar personaje	Elimina el último carácter
CON	descarga	Botón de reinicio. Restablece la calculadora completamente a la posición "0".

Algoritmo de la calculadora en línea por ejemplos

Adición.

Agregar totalidades números naturales { 5 + 7 = 12 }

Adición de naturales enteros y números negativos { 5 + (-2) = 3 }

Sumando decimal números fraccionarios { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Sustracción.

Resta de números naturales enteros (7-5 ​​= 2)

Resta de números enteros positivos y números enteros negativos (5 - (-2) = 7)

Resta de fracciones decimales (6.5 - 1.2 = 4.3)

Multiplicación.

Producto de números naturales enteros (3 * 7 = 21)

Producto de enteros positivos y enteros negativos (5 * (-3) = -15)

Producto de números fraccionarios decimales (0.5 * 0.6 = 0.3)

División.

División de números naturales enteros (27/3 = 9)

División de enteros y números negativos (15 / (-3) = -5)

División de números fraccionarios decimales (6.2 / 2 = 3.1)

Extrayendo la raíz de un número.

Extraer la raíz de un número entero (raíz (9) = 3)

Extrayendo la raíz de fracciones decimales(raíz (2.5) = 1.58)

Extraer la raíz de la suma de números (raíz (56 + 25) = 9)

Extraer la raíz de la diferencia de números (raíz (32 - 7) = 5)

Elevar un número al cuadrado.

Cuadrar un número entero ((3) 2 = 9)

Elevar al cuadrado los decimales ((2.2) 2 = 4.84)

Conversión a fracciones decimales.

Calcular el porcentaje de un número

Incrementar el número 230 en un 15% (230 + 230 * 0.15 = 264.5)

Disminuir el número 510 en un 35% (510 - 510 * 0.35 = 331.5)

18% de 140 es (140 * 0,18 = 25,2)

Expresiones, conversión de expresiones

Expresiones de poder (expresiones con poderes) y su conversión

En este artículo, hablaremos sobre la conversión de expresiones de poder. Primero, nos centraremos en las transformaciones que se realizan con expresiones de cualquier tipo, incluidas expresiones exponenciales, como la expansión de paréntesis, la conversión de términos similares. Y luego analizaremos las transformaciones inherentes precisamente a las expresiones con potencias: trabajando con la base y el exponente, usando las propiedades de los grados, etc.

Navegación de página.

¿Qué son las expresiones exponenciales?

El término "expresiones exponenciales" prácticamente no se encuentra en los libros de texto de matemáticas escolares, pero a menudo aparece en colecciones de problemas, especialmente aquellos destinados a la preparación para el examen y el examen, por ejemplo. Después de analizar las tareas en las que necesita realizar alguna acción con expresiones exponenciales, queda claro que las expresiones se entienden como expresiones que contienen grados en sus registros. Por lo tanto, usted mismo puede aceptar la siguiente definición:

Definición.

Expresiones exponenciales Son expresiones que contienen grados.

Vamos a dar ejemplos de expresiones exponenciales... Además, los representaremos en función de cómo se produzca el desarrollo de opiniones sobre desde un grado con indicador natural hasta un grado con indicador real.

Como sabes, primero hay un conocimiento de la potencia de un número con un exponente natural, en esta etapa las primeras expresiones de potencia más simples como 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, etc.

Un poco más tarde se estudia la potencia de un número con exponente entero, lo que lleva a la aparición de expresiones de potencia con potencias enteras negativas, como las siguientes: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

En la escuela secundaria, vuelven a graduarse. Allí se introduce un grado con exponente racional, lo que conlleva la aparición de las correspondientes expresiones de potencia: , , etc. Finalmente, se consideran grados con indicadores irracionales y expresiones que los contienen:,.

El asunto no se limita a las expresiones de potencia enumeradas: la variable penetra más en el exponente y, por ejemplo, tales expresiones 2 x 2 +1 o ... Y después de familiarizarse con, las expresiones con potencias y logaritmos comienzan a aparecer, por ejemplo, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Entonces, resolvimos la pregunta de qué son las expresiones exponenciales. A continuación, aprenderemos cómo transformarlos.

Tipos básicos de transformaciones de expresiones de poder.

Con expresiones exponenciales, puede realizar cualquiera de las transformaciones idénticas básicas de expresiones. Por ejemplo, puede expandir paréntesis, reemplazar expresiones numéricas sus valores, dan términos similares, etc. Naturalmente, en este caso es necesario seguir el procedimiento aceptado para realizar acciones. Aquí hay unos ejemplos.

Ejemplo.

Evalúa el valor de la expresión exponencial 2 3 · (4 2 −12).

Solución.

Según el orden de realización de las acciones, primero realizamos las acciones entre paréntesis. Allí, en primer lugar, reemplazamos el grado 4 2 con su valor 16 (ver si es necesario), y en segundo lugar, calculamos la diferencia 16−12 = 4. Tenemos 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

En la expresión resultante, reemplace la potencia 2 3 con su valor 8, después de lo cual calculamos el producto 8 4 = 32. Este es el valor deseado.

Entonces, 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Respuesta:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Ejemplo.

Simplifique las expresiones de poder 3 a 4 segundo −7 −1 + 2 a 4 segundo −7.

Solución.

Obviamente, esta expresión contiene términos similares 3 · a 4 · b −7 y 2 · a 4 · b −7, y podemos traerlos :.

Respuesta:

3 a 4 segundo −7 −1 + 2 a 4 segundo −7 = 5 a 4 segundo −7 −1.

Ejemplo.

Imagina una expresión con poderes como producto.

Solución.

Para hacer frente a la tarea, la representación del número 9 en forma de potencia de 3 2 y el uso posterior de la fórmula para la multiplicación abreviada es la diferencia de cuadrados:

Respuesta:

También hay una serie de transformaciones idénticas inherentes a las expresiones de poder. Luego los analizaremos.

Trabajando con base y exponente

Hay grados, cuya base y / o exponente no son solo números o variables, sino algunas expresiones. Como ejemplo, presentamos las entradas (2 + 0.37) 5-3.7 y (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Al trabajar con tales expresiones, puede reemplazar tanto la expresión basada en el grado como la expresión en el exponente con una expresión idénticamente igual en el ODZ de sus variables. En otras palabras, podemos, de acuerdo con las reglas que conocemos, transformar por separado la base del grado y, por separado, el exponente. Está claro que como resultado de esta transformación se obtendrá una expresión idénticamente igual a la original.

Tales transformaciones nos permiten simplificar expresiones con poderes o lograr otros objetivos que necesitamos. Por ejemplo, en la expresión exponencial anterior (2 + 0.3 · 7) 5-3.7, puedes realizar acciones con los números en la base y el exponente, lo que te permitirá ir a la potencia 4.1 1.3. Y después de expandir los paréntesis y reducir términos similares en la base del grado (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1), obtenemos una expresión de potencia de una forma más simple a 2

Usar propiedades de grado

Una de las principales herramientas para convertir expresiones con poderes es la igualdad, la reflexión. Recordemos los principales. Para cualquier número positivo ayb y números reales arbitrarios rys, las siguientes propiedades de potencia son verdaderas:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Tenga en cuenta que para exponentes naturales, enteros y también positivos, las restricciones sobre los números ayb pueden no ser tan estrictas. Por ejemplo, para los números naturales myn, la igualdad a m a n = a m + n es verdadera no solo para a positivo, sino también para negativos, y para a = 0.

En la escuela, la atención principal a la hora de transformar las expresiones de poder se centra precisamente en la capacidad de elegir una propiedad adecuada y aplicarla correctamente. En este caso, las bases de los grados suelen ser positivas, lo que permite utilizar las propiedades de los grados sin restricciones. Lo mismo se aplica a la transformación de expresiones que contienen variables en las bases de grados: el rango de valores admisibles de las variables suele ser tal que, en él, las bases solo toman valores positivos, lo que le permite usar libremente las propiedades de los grados. En general, debe preguntarse constantemente si en este caso es posible aplicar alguna propiedad de los grados, porque el uso incorrecto de las propiedades puede provocar un estrechamiento de la ODV y otros problemas. Estos puntos se discuten en detalle y con ejemplos en el artículo sobre conversión de expresiones usando propiedades de grado. Aquí nos limitaremos a considerar algunos ejemplos sencillos.

Ejemplo.

Imagina la expresión a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5 como una potencia con base a.

Solución.

Primero, transformamos el segundo factor (a 2) −3 por la propiedad de elevar una potencia a una potencia: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... La expresión exponencial original entonces tomará la forma a 2.5 · a −6: a −5.5. Obviamente, queda por usar las propiedades de multiplicación y división de potencias con la misma base, tenemos
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2.5−6: a −5.5 = a −3.5: a −5.5 =
a −3,5 - (- 5,5) = a 2.

Respuesta:

a 2.5 (a 2) −3: a −5.5 = a 2.

Las propiedades de potencia se utilizan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda al transformar expresiones exponenciales.

Ejemplo.

Calcula el valor de la expresión exponencial.

Solución.

La igualdad (a b) r = a r b r, aplicada de derecha a izquierda, le permite pasar de la expresión original al producto de la forma y más. Y al multiplicar grados con las mismas bases, los indicadores suman: .

Fue posible realizar la transformación de la expresión original de otra manera:

Respuesta:

.

Ejemplo.

Dada la expresión exponencial a 1.5 −a 0.5 −6, ingrese la nueva variable t = a 0.5.

Solución.

El grado a 1.5 se puede representar como 0.5 · 3 y además, basado en la propiedad del grado en grado (a r) s = a r · s, aplicado de derecha a izquierda, transformarlo a la forma (a 0.5) 3. Por lo tanto, a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Ahora es fácil introducir una nueva variable t = a 0.5, obtenemos t 3 −t - 6.

Respuesta:

t 3 −t - 6.

Convertir fracciones que contienen potencias

Las expresiones de potencia pueden contener fracciones con potencias o ser tales fracciones. Cualquiera de las transformaciones básicas de fracciones que son inherentes a fracciones de cualquier tipo son completamente aplicables a tales fracciones. Es decir, las fracciones que contienen potencias se pueden anular, reducir a un nuevo denominador, trabajar por separado con su numerador y por separado con el denominador, etc. Para ilustrar las palabras habladas, considere las soluciones de varios ejemplos.

Ejemplo.

Simplifica la expresión exponencial .

Solución.

Esta expresión exponencial es una fracción. Trabajemos con su numerador y denominador. En el numerador abrimos los corchetes y simplificamos la expresión obtenida a continuación usando las propiedades de las potencias, y en el denominador damos términos similares:

Y también cambiamos el signo del denominador colocando un menos delante de la fracción: .

Respuesta:

.

La reducción de fracciones que contienen potencias a un nuevo denominador se realiza de forma similar a la reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador. En este caso, también se encuentra un factor adicional y el numerador y el denominador de la fracción se multiplican por él. Al realizar esta acción, conviene recordar que la reducción a un nuevo denominador puede conducir a un estrechamiento de la ODV. Para evitar que esto suceda, es necesario que el factor adicional no desaparezca para ningún valor de las variables de las variables ODZ de la expresión original.

Ejemplo.

Reducir fracciones a un nuevo denominador: a) al denominador a, b) al denominador.

Solución.

a) En este caso, es bastante fácil averiguar qué factor adicional ayuda a lograr el resultado deseado. Este es un factor de 0.3, ya que 0.7 · a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a. Tenga en cuenta que en el rango de valores permitidos de la variable a (este es el conjunto de todos los números reales positivos) el grado a 0.3 no desaparece, por lo tanto, tenemos el derecho de multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por este factor adicional:

b) Mirando más de cerca el denominador, puede encontrar que

y multiplicar esta expresión por dará la suma de cubos y, es decir,. Y este es el nuevo denominador al que necesitamos reducir la fracción original.

Así es como encontramos un factor adicional. En el rango de valores válidos de las variables xey, la expresión no desaparece, por lo tanto, podemos multiplicar el numerador y denominador de la fracción por ella:

Respuesta:

a) , B) .

La abreviatura de fracciones que contienen potencias tampoco es nada nuevo: el numerador y el denominador se representan como un número de factores, y los mismos factores del numerador y el denominador se cancelan.

Ejemplo.

Reducir la fracción: a) , B).

Solución.

a) Primero, el numerador y el denominador se pueden cancelar con los números 30 y 45, que es 15. Además, obviamente, se puede realizar una reducción en x 0.5 +1 y en ... Esto es lo que tenemos:

b) En este caso, los mismos factores en el numerador y denominador no son visibles de inmediato. Para conseguirlos, tendrás que realizar transformaciones preliminares. En este caso, consisten en factorizar el denominador en factores según la fórmula de la diferencia de cuadrados:

Respuesta:

a)

B) .

La reducción de fracciones a un nuevo denominador y la reducción de fracciones se utilizan principalmente para realizar acciones con fracciones. Las acciones son realizadas por reglas conocidas... Al sumar (restar) fracciones, se reducen a un denominador común, después de lo cual se suman (restan) los numeradores y el denominador permanece igual. El resultado es una fracción, cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. La división por una fracción es la multiplicación por el inverso de la fracción.

Ejemplo.

Sigue los pasos .

Solución.

Primero, restamos las fracciones entre paréntesis. Para hacer esto, los llevamos a un denominador común, que es , después de lo cual restamos los numeradores:

Ahora multiplicamos las fracciones:

Obviamente, la cancelación por una potencia de x 1/2 es posible, después de lo cual tenemos .

También puede simplificar la expresión exponencial en el denominador usando la fórmula de diferencia de cuadrados: .

Respuesta:

Ejemplo.

Simplifica la expresión exponencial .

Solución.

Obviamente, esta fracción puede ser cancelada por (x 2.7 +1) 2, esto da la fracción ... Está claro que es necesario hacer algo más con los grados de x. Para hacer esto, transformamos la fracción resultante en un producto. Esto nos da la oportunidad de utilizar la propiedad de dividir grados con las mismas bases: ... Y al final del proceso, pasamos del último producto a una fracción.

Respuesta:

.

Y añadimos también que es posible y en muchos casos deseable trasladar multiplicadores con exponentes negativos del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambiando el signo del exponente. Tales transformaciones a menudo simplifican acciones adicionales. Por ejemplo, una expresión exponencial se puede reemplazar con.

Conversión de expresiones con raíces y potencias

A menudo, en expresiones en las que se requieren algunas transformaciones, junto con potencias con exponentes fraccionarios, también hay raíces. Para convertir una expresión similar a el tipo correcto, en la mayoría de los casos basta con ir solo a las raíces o solo a los poderes. Pero como es más conveniente trabajar con grados, suelen ir de raíces a grados. Sin embargo, es recomendable realizar dicha transición cuando la ODZ de las variables de la expresión original le permite reemplazar las raíces con potencias sin la necesidad de hacer referencia al módulo o dividir la ODV en varios intervalos (lo discutimos en detalle en en el artículo se introduce la transición de raíces a poderes y viceversa, se introduce una titulación con un indicador irracional, lo que permite hablar de una titulación con un indicador real arbitrario. funcion exponencial, que se establece analíticamente por el grado, en cuya base está el número, y en el indicador, la variable. Entonces nos enfrentamos a expresiones exponenciales que contienen números en la base del grado, y en el exponente - expresiones con variables, y naturalmente se hace necesario realizar transformaciones de tales expresiones.

Cabe decir que la transformación de expresiones de este tipo suele tener que realizarse a la hora de resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades exponenciales y estas conversiones son bastante simples. En la inmensa mayoría de los casos, se basan en las propiedades de la titulación y tienen como objetivo principal introducir una nueva variable en el futuro. Podemos demostrarlos mediante la ecuación 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Primero, los grados en los que se encuentra la suma de una variable (o expresiones con variables) y un número se reemplazan por productos. Esto se aplica al primer y último término de la expresión de la izquierda:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Además, se realiza la división de ambos lados de la igualdad por la expresión 7 2 x, que en el ODZ de la variable x para la ecuación original solo toma valores positivos (esta es una técnica estándar para resolver ecuaciones de este tipo, no estamos hablando de eso ahora, así que concéntrate en las posteriores transformaciones de expresiones con poderes):

Las fracciones con poderes ahora se cancelan, lo que da .

Finalmente, la razón de grados con los mismos exponentes se reemplaza por los grados de relaciones, lo que conduce a la ecuación que es equivalente a ... Las transformaciones realizadas nos permiten introducir una nueva variable, que reduce la solución de la ecuación exponencial original a la solución de la ecuación cuadrática

I. V. Boykov, L. D. Romanova Colección de tareas para la preparación del examen. Parte 1. Penza 2003.

Una expresión algebraica en cuya notación, junto con las acciones de suma, resta y multiplicación, también usan división por expresiones literales, se llama expresión algebraica fraccionaria. Tales son, por ejemplo, las expresiones

Llamamos fracción algebraica a una expresión algebraica que tiene la forma de un cociente de la división de dos números enteros. expresiones algebraicas(por ejemplo, monomios o polinomios). Tales son, por ejemplo, las expresiones

Tercero de las expresiones).

Las transformaciones idénticas de expresiones algebraicas fraccionarias tienen en su mayor parte su propósito de representarlas en la forma fracción algebraica... Para encontrar un denominador común, utilizamos la factorización de los denominadores de fracciones, términos para encontrar su mínimo común múltiplo. Cuando se cancelan las fracciones algebraicas, se puede violar la identidad estricta de las expresiones: es necesario excluir los valores de las cantidades a las que se desvanece el factor por el cual se efectúa la cancelación.

Demos ejemplos de transformaciones idénticas de expresiones algebraicas fraccionarias.

Ejemplo 1. Simplificar una expresión

Todos los términos se pueden reducir a un denominador común (conviene cambiar el signo en el denominador del último término y el signo que le precede):

Nuestra expresión es igual a uno para todos los valores excepto estos valores, no está definida y la reducción de la fracción es ilegal).

Ejemplo 2. Representa en forma de fracción algebraica la expresión

Solución. El denominador común es la expresión. Encontramos secuencialmente:

Ejercicios

1. Encuentre los valores de expresiones algebraicas para los valores especificados de los parámetros:

2. Factorizar.

El exponente se usa para simplificar la notación de la operación de multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo, en lugar de escribir, puedes escribir 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5))(se ofrece una explicación de esta transición en la primera sección de este artículo). Los grados facilitan la escritura larga o expresiones complejas o ecuaciones; Además, las potencias se pueden sumar y restar fácilmente, lo que conduce a una simplificación de la expresión o ecuación (por ejemplo, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) = 4 ^ (5))).

Nota: si necesitas decidir ecuación exponencial(en tal ecuación, la incógnita está en el exponente), lea.

Pasos

Resolviendo los problemas de grado más simples

Multiplica la base del exponente por sí misma un número de veces igual al exponente. Si necesita resolver un problema de grado manualmente, vuelva a escribir el grado como una operación de multiplicación, donde la base del grado se multiplica por sí misma. Por ejemplo, dado el grado 3 4 (\ displaystyle 3 ^ (4))... En este caso, la base de la potencia de 3 debe multiplicarse por sí misma 4 veces: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\ Displaystyle 3 * 3 * 3 * 3)... Aquí hay otros ejemplos:

Primero, multiplica los dos primeros números. Por ejemplo, 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4)... No se preocupe, el proceso de cálculo no es tan complicado como parece a primera vista. Primero multiplique los dos primeros cuatro y luego reemplácelos con su resultado. Como esto:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\ displaystyle 4 * 4 = 16)

1. Multiplica el resultado (16 en nuestro ejemplo) por siguiente numero. Cada resultado posterior aumentará proporcionalmente. En nuestro ejemplo, multiplique 16 por 4. Así:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\ displaystyle 16 * 4 = 64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\ Displaystyle 64 * 4 = 256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\ displaystyle 4 ^ (5) = 256 * 4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\ Displaystyle 256 * 4 = 1024)
   • Continúe multiplicando los dos primeros números por el siguiente número hasta que obtenga su respuesta final. Para hacer esto, multiplique los dos primeros números y luego multiplique el resultado por el siguiente número de la secuencia. Este método es válido para cualquier titulación. En nuestro ejemplo, debería obtener: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Resuelve las siguientes tareas. Verifica la respuesta con una calculadora.

   • 8 2 (\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\ displaystyle 10 ^ (7))

3. En la calculadora, busque la tecla etiquetada "exp" o " x norte (\ Displaystyle x ^ (n))", O" ^ ". Con esta tecla elevarás un número a una potencia. Es casi imposible calcular manualmente un grado con un gran exponente (por ejemplo, el grado 9 15 (\ displaystyle 9 ^ (15))), pero la calculadora puede manejar esta tarea con facilidad. En Windows 7, la calculadora estándar se puede cambiar al modo de ingeniería; para hacer esto, haga clic en "Ver" -> "Ingeniería". Para cambiar al modo normal, haga clic en "Ver" -> "Normal".

   • Verifique la respuesta recibida usando un motor de búsqueda (Google o Yandex)... Usando la tecla "^" en el teclado de su computadora, ingrese la expresión en el motor de búsqueda, que mostrará instantáneamente la respuesta correcta (y posiblemente sugerirá expresiones similares para explorar).

   Suma, resta, multiplicación de potencias

   1. Puede sumar y restar grados solo si tienen las mismas bases. Si necesita sumar potencias con las mismas bases y exponentes, puede reemplazar la operación de suma con la operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 5 + 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5))... Recuerda que el grado 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5)) se puede representar como 1 ∗ 4 5 (\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); por lo tanto, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) = 2 * 4 ^ (5))(donde 1 +1 = 2). Es decir, cuente el número de dichos grados y luego multiplique este grado por este número. En nuestro ejemplo, eleve 4 a la quinta potencia y luego multiplique el resultado por 2. Recuerde que la operación de suma se puede reemplazar por la operación de multiplicación, por ejemplo, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\ displaystyle 3 + 3 = 2 * 3)... Aquí hay otros ejemplos:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) = 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 = 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) = 2x ^ (2))

   2. Al multiplicar grados con la misma base, sus indicadores se suman (la base no cambia). Por ejemplo, dada la expresión x 2 ∗ x 5 (\ Displaystyle x ^ (2) * x ^ (5))... En este caso, solo necesita sumar los indicadores, dejando la base sin cambios. Por lo tanto, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) = x ^ (7))... Aquí hay una explicación visual de esta regla:

      Al elevar una potencia a una potencia, los indicadores se multiplican. Por ejemplo, se otorga un título. Dado que los exponentes se multiplican, entonces (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2 * 5) = x ^ (10))... El punto de esta regla es que multiplicas el grado (x 2) (\ Displaystyle (x ^ (2))) ella misma cinco veces. Como esto:

      • (x 2) 5 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Dado que la base es la misma, los exponentes simplemente se suman: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) = x ^ (10))

   3. El exponente con un exponente negativo debe convertirse a una fracción (a su exponente inverso). No importa si no sabe cuál es el grado inverso. Si le dan un grado con un exponente negativo, por ejemplo, 3 - 2 (\ displaystyle 3 ^ (- 2)), escribe esta potencia en el denominador de la fracción (pon 1 en el numerador) y haz que el exponente sea positivo. En nuestro ejemplo: 1 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3 ^ (2))))... Aquí hay otros ejemplos:

      Al dividir grados con la misma base, sus indicadores se restan (la base no cambia). La división es lo opuesto a la multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 4 4 2 (\ displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))))... Reste el exponente en el denominador del exponente en el numerador (no cambie la base). Por lo tanto, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\ displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) = 4 ^ (4-2) = 4 ^ (2)) = 16 .

      • El grado en el denominador se puede escribir de la siguiente manera: 1 4 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\ displaystyle 4 ^ (- 2))... Recuerda que una fracción es un número (exponente, expresión) con exponente negativo.

   4. A continuación se muestran algunas expresiones que le ayudarán a aprender a resolver problemas de potencia. Las expresiones proporcionadas cubren el material de esta sección. Para ver la respuesta, simplemente resalte el espacio en blanco después del signo igual.

      Resolver problemas con exponentes fraccionarios

      1. Un exponente con un exponente fraccionario (por ejemplo,) se convierte en una operación raíz. En nuestro ejemplo: x 1 2 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (2))) = x (\ Displaystyle (\ sqrt (x)))... No importa qué número esté en el denominador del exponente fraccionario. Por ejemplo, x 1 4 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (4))) es la cuarta raíz de "x", es decir x 4 (\ Displaystyle (\ sqrt [(4)] (x))) .

      2. Si el exponente es fracción impropia, entonces este grado se puede expandir a dos grados para simplificar la solución del problema. Esto no es difícil, solo recuerde la regla para multiplicar grados. Por ejemplo, se otorga un título. Convierta dicha potencia en una raíz, cuya potencia será igual al denominador del exponente fraccionario, y luego eleve esta raíz a la potencia igual al numerador del exponente fraccionario. Para hacer esto, recuerda que 5 3 (\ displaystyle (\ frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\ displaystyle ((\ frac (1) (3))) * 5)... En nuestro ejemplo:

         • x 5 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)))
         • x 1 3 = x 3 (\ Displaystyle x ^ (\ frac (1) (3)) = (\ sqrt [(3)] (x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)) = x ^ (5) * x ^ (\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\ displaystyle ((\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
      3. Algunas calculadoras tienen un botón para calcular grados (primero debe ingresar la base, luego presionar el botón y luego ingresar el exponente). Se denota como ^ o x ^ y.
      4. Recuerde que cualquier número de la primera potencia es igual a sí mismo, por ejemplo, 4 1 = 4. (\ displaystyle 4 ^ (1) = 4.) Además, cualquier número multiplicado o dividido por uno es igual a sí mismo, por ejemplo, 5 ∗ 1 = 5 (\ displaystyle 5 * 1 = 5) y 5/1 = 5 (\ displaystyle 5/1 = 5).
      5. Tenga en cuenta que el grado 0 0 no existe (este grado no tiene solución). Si intenta resolver dicho grado en una calculadora o en una computadora, recibirá un error. Pero recuerde que cualquier número elevado a cero es 1, por ejemplo, 4 0 = 1. (\ displaystyle 4 ^ (0) = 1.)
      6. En matemáticas superiores, que opera con números imaginarios: mi una yo x = do o s una x + yo s yo norte una x (\ Displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), dónde yo = (- 1) (\ Displaystyle i = (\ sqrt (()) - 1)); e es una constante aproximadamente igual a 2,7; a es una constante arbitraria. La prueba de esta igualdad se puede encontrar en cualquier libro de texto sobre matemáticas superiores.

      Advertencias

      • Con un aumento en el exponente, su valor aumenta fuertemente. Entonces, si la respuesta le parece incorrecta, en realidad podría ser correcta. Puede comprobar esto trazando cualquier funcion exponencial por ejemplo, 2 x.