1. Una función exponencial es una función de la forma y(x) \u003d ax, dependiendo del exponente x, con un valor constante de la base del grado a, donde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R es el conjunto de los números reales).
Considerar gráfica de la función si la base no cumple la condición: a>0
a) un< 0
si un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
un = -2
Si a = 0, la función y = está definida y tiene valor constante 0
c) un \u003d 1
Si a = 1 - la función y = está definida y tiene un valor constante de 1
Dominio de función (OOF) Área de valores de función permitidos (ODZ) 3. Ceros de la función (y = 0) 4. Puntos de intersección con el eje y (x = 0) 5. Función creciente, decreciente Si , entonces la función f(x) aumenta 6. Funciones pares e impares La función y = no es simétrica respecto al eje 0y y respecto al origen, por lo tanto no es ni par ni impar. (función general) 7. La función y \u003d no tiene extremos 8. Propiedades de un grado con exponente real: Sea a > 0; a≠1 Entonces para xϵR; yϵR: Propiedades de monotonicidad de grado: si, entonces Si a > 0, entonces . 9. Ubicación relativa de la función Cuanto mayor sea la base a, más cerca de los ejes x e y a > 1, a = 20 Ejemplo 1 Funcion exponencial
Función de la forma y = a X , donde a es mayor que cero y a no es igual a uno se llama función exponencial. Las principales propiedades de la función exponencial: 1. El dominio de la función exponencial será el conjunto de los números reales. 2. El rango de la función exponencial será el conjunto de todos los números reales positivos. A veces, este conjunto se denota como R+ por brevedad. 3. Si en una función exponencial la base a es mayor que uno, entonces la función será creciente en todo el dominio de definición. Si la función exponencial para la base a satisface la siguiente condición 0 4. Serán válidas todas las propiedades básicas de los grados. Las principales propiedades de los grados están representadas por las siguientes igualdades: a X *a y = un (x+y) ;
(a X )/(a y ) = un (x-y) ;
(a*b) X = (un X )*(a y );
(a/b) X = un X /B X ;
(a X )
y = un (x*y) .
Estas igualdades serán válidas para todos los valores reales de x e y. 5. La gráfica de la función exponencial siempre pasa por el punto de coordenadas (0;1) 6. Dependiendo de si la función exponencial crece o decrece, su gráfica será de dos tipos. La siguiente figura muestra la gráfica de una función exponencial creciente: a>0. La siguiente figura es una gráfica de una función exponencial decreciente: 0 Tanto la gráfica de la función exponencial creciente como la gráfica de la función exponencial decreciente, según la propiedad descrita en el quinto párrafo, pasan por el punto (0; 1). 7. Una función exponencial no tiene puntos extremos, es decir, no tiene puntos mínimos y máximos de la función. Si consideramos la función en cualquier segmento en particular, entonces la función tomará los valores mínimo y máximo en los extremos de este intervalo. 8. La función no es ni par ni impar. Una función exponencial es una función general. Esto se puede ver en los gráficos, ninguno de ellos es simétrico ni sobre el eje Oy ni sobre el origen. Logaritmo
Los logaritmos siempre se han considerado un tema difícil en el curso de matemáticas escolares. Hay muchas definiciones diferentes del logaritmo, pero por alguna razón la mayoría de los libros de texto usan las más complejas y desafortunadas. Definiremos el logaritmo de manera simple y clara. Vamos a crear una tabla para esto: Entonces, tenemos potencias de dos. Si toma el número de la línea inferior, puede encontrar fácilmente la potencia a la que tiene que elevar un dos para obtener este número. Por ejemplo, para obtener 16, debes elevar dos a la cuarta potencia. Y para obtener 64, debes elevar dos a la sexta potencia. Esto se puede ver en la tabla. Y ahora, de hecho, la definición del logaritmo: Definición Logaritmo base a del argumento x es la potencia a la que debe elevarse el número a para obtener el número X. Designacion log a x = b Por ejemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (el logaritmo en base 2 de 8 es tres porque 2 3 = 8). También podría log 2 64 = 6, porque 2 6 = 64. La operación de encontrar el logaritmo de un número en una base dada se llamalogaritmo
. Así que agreguemos una nueva fila a nuestra tabla: Desafortunadamente, no todos los logaritmos se consideran tan fácilmente. Por ejemplo, trate de encontrar log 2 5. El número 5 no está en la tabla, pero la lógica dicta que el logaritmo estará en algún lugar del segmento. porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Tales números se llaman irracionales: los números después del punto decimal se pueden escribir indefinidamente y nunca se repiten. Si el logaritmo resulta irracional, es mejor dejarlo así: log 2 5, log 3 8, log 5 100. Es importante entender que el logaritmo es una expresión con dos variables (base y argumento). Al principio, mucha gente confunde dónde está la base y dónde está el argumento. Para evitar malentendidos molestos, solo eche un vistazo a la imagen: Ante nosotros no hay nada más que la definición del logaritmo. Recuerda: el logaritmo es una potencia , a la que debe elevar la base para obtener el argumento. Es la base la que está elevada a una potencia - en la imagen está resaltada en rojo. ¡Resulta que la base siempre está en la parte inferior! Les digo esta regla maravillosa a mis alumnos en la primera lección, y no hay confusión. Descubrimos la definición: queda por aprender a contar logaritmos, es decir. deshacerse del signo de "registro". Para empezar, notemos que De la definición se desprenden dos hechos importantes: El argumento y la base siempre deben ser mayores que cero. Esto se sigue de la definición del grado por un exponente racional, al que se reduce la definición del logaritmo. La base debe ser diferente de la unidad, ya que una unidad para cualquier potencia sigue siendo una unidad. Debido a esto, la pregunta "a qué potencia debe elevarse uno para obtener dos" no tiene sentido. ¡No existe tal grado! Tales restricciones llamado rango válido(ODZ). Resulta que la ODZ del logaritmo se ve así: log una x = segundo ⇒
x > 0, a > 0, a ≠ 1. Darse cuenta de sin límite en el número B (valor del logaritmo) no se superpone. Por ejemplo, el logaritmo bien puede ser negativo: log 2 0.5 = −1, porque 0,5 = 2 −1 . Sin embargo, ahora estamos considerando solo expresiones numéricas, donde no se requiere conocer la ODZ del logaritmo. Los compiladores de los problemas ya han tenido en cuenta todas las restricciones. Pero cuando entran en juego las ecuaciones logarítmicas y las desigualdades, los requisitos del DHS serán obligatorios. De hecho, en la base y el argumento pueden existir construcciones muy fuertes que no necesariamente se corresponden con las restricciones anteriores. Ahora considera lo general esquema para calcular logaritmos. Consta de tres pasos: Enviar Fundación a y argumento x como una potencia con la menor base posible mayor que uno. En el camino, es mejor deshacerse de las fracciones decimales; Decidir sobre una variable b ecuación: x = a b ; Número recibido b será la respuesta. ¡Eso es todo! Si el logaritmo resulta ser irracional, esto ya se verá en el primer paso. El requisito de que la base sea mayor que uno es muy relevante: esto reduce la probabilidad de error y simplifica mucho los cálculos. De manera similar con las fracciones decimales: si las convierte inmediatamente a fracciones ordinarias, habrá muchas veces menos errores. Veamos cómo funciona este esquema con ejemplos específicos: Calcula el logaritmo: log 5 25 Representemos la base y el argumento como una potencia de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52; Hagamos y resolvamos la ecuación: Recibió una respuesta: 2. Calcula el logaritmo: Representemos la base y el argumento como una potencia de tres: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4; Hagamos y resolvamos la ecuación: Obtuve la respuesta: -4. −4
Calcula el logaritmo: log 4 64 Representemos la base y el argumento como una potencia de dos: 4 = 2 2 ; 64 = 26; Hagamos y resolvamos la ecuación: Recibió una respuesta: 3. Calcula el logaritmo: log 16 1 Representemos la base y el argumento como una potencia de dos: 16 = 2 4 ; 1 = 20; Hagamos y resolvamos la ecuación: Recibió una respuesta: 0. Calcula el logaritmo: log 7 14 Representemos la base y el argumento como una potencia de siete: 7 = 7 1 ; 14 no se representa como una potencia de siete, porque 7 1< 14 < 7 2 ; Del párrafo anterior se desprende que no se considera el logaritmo; La respuesta es sin cambios: log 7 14. registro 7 14 Una pequeña nota sobre el último ejemplo. ¿Cómo asegurarse de que un número no es una potencia exacta de otro número? Muy simple, simplemente descompóngalo en factores primos. Si hay al menos dos factores distintos en la expansión, el número no es una potencia exacta. Averigüe si las potencias exactas del número son: 8; 48; 81; 35; 14 8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - el grado exacto, porque solo hay un multiplicador; 8, 81 - grado exacto; 48, 35, 14 - núm. Tenga en cuenta también que los números primos en sí mismos son siempre potencias exactas de sí mismos. logaritmo decimal
Algunos logaritmos son tan comunes que tienen un nombre y una designación especiales. Definición logaritmo decimal del argumento x es el logaritmo en base 10, es decir la potencia a la que necesitas elevar el número 10 para obtener el número X. Designacion lg x Por ejemplo, log 10 = 1; registro 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc De ahora en adelante, cuando aparezca una frase como "Buscar lg 0.01" en el libro de texto, sepa que no se trata de un error tipográfico. Este es el logaritmo decimal. Sin embargo, si no está acostumbrado a tal designación, siempre puede reescribirla: Todo lo que es cierto para los logaritmos ordinarios también lo es para los decimales. logaritmo natural
Hay otro logaritmo que tiene su propia notación. En cierto sentido, es incluso más importante que el decimal. Este es el logaritmo natural. Definición logaritmo natural del argumento x es el logaritmo base mi , es decir. la potencia a la que debe elevarse el número mi para obtener el número X. Designacion en x Muchos se preguntarán: ¿qué es el número e? Este es un número irracional, su valor exacto no se puede encontrar ni anotar. Estos son solo los primeros números: No profundizaremos en qué es este número y por qué es necesario. Solo recuerda que e es la base del logaritmo natural: Así ln e = 1; log e 2 = 2; en 16 = 16 - etc Por otro lado, ln 2 es un número irracional. En general, el logaritmo natural de cualquier número racional es irracional. Excepto, por supuesto, la unidad: ln 1 = 0. Para los logaritmos naturales, todas las reglas que son verdaderas para los logaritmos ordinarios son válidas. Propiedades básicas de los logaritmos Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y convertir de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son números del todo ordinarios, aquí hay reglas, que se llaman propiedades básicas. Estas reglas deben conocerse; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos. Suma y resta de logaritmos
Considere dos logaritmos con la misma base: log ax y log ay . Luego se pueden sumar y restar, y: Iniciar sesión una x +log un y = registro a (
X ·
y );
Iniciar sesión una x −log un y = registro a (
X :
y ).
Entonces, la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es el logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí son las mismas bases. ¡Si las bases son diferentes, estas reglas no funcionan! Estas fórmulas lo ayudarán a calcular la expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulte la lección "
"). Echa un vistazo a los ejemplos y verás: Encuentra el valor de la expresión: log 6 4 + log 6 9. Como las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de la suma: Encuentra el valor de la expresión: log 2 48 − log 2 3. Las bases son las mismas, usamos la fórmula de la diferencia: Encuentra el valor de la expresión: log 3 135 − log 3 5. De nuevo, las bases son las mismas, por lo que tenemos: Como puede ver, las expresiones originales están formadas por logaritmos "malos", que no se consideran por separado. Pero después de las transformaciones resultan números bastante normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, ese control: expresiones similares con toda seriedad (a veces, prácticamente sin cambios) se ofrecen en el examen. Quitando el exponente del logaritmo
Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si hay un grado en la base o argumento del logaritmo? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas: Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculos. Por supuesto todas estas reglas tienen sentido si se observa el logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el logaritmo mismo. Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia. Encuentra el valor de la expresión: log 7 49 6 . Eliminemos el grado en el argumento según la primera fórmula: Encuentre el valor de la expresión: Nótese que el denominador es un logaritmo cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Tenemos: Creo que el último ejemplo necesita aclaración. ¿Dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador. Presentaron la base y el argumento del logaritmo que estaba allí en forma de grados y sacaron los indicadores: obtuvieron una fracción de "tres pisos". Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador tienen el mismo número: log 2 7. Dado que log 2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerán en el denominador. De acuerdo con las reglas de la aritmética, los cuatro se pueden transferir al numerador, lo cual se hizo. El resultado es la respuesta: 2. Transición a una nueva fundación
Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las bases son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número? Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Los formulamos en forma de teorema: Teorema Deja que el logaritmo registre una x . Entonces para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera: En particular, si ponemos c = x, obtenemos: De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero la expresión completa se "invierte", es decir el logaritmo esta en el denominador.
Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar cuán convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Sin embargo, hay tareas que no se pueden resolver en absoluto, excepto moviéndose a una nueva base. Consideremos un par de estos: Encuentra el valor de la expresión: log 5 16 log 2 25. Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos son exponentes exactos. Saquemos los indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; registro 2 25 = registro 2 5 2 = 2 registro 2 5; Ahora volteemos el segundo logaritmo: Como el producto no cambia con la permutación de factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego calculamos los logaritmos. Encuentra el valor de la expresión: log 9 100 lg 3. La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Escribámoslo y eliminemos los indicadores: Ahora deshagámonos del logaritmo decimal pasando a una nueva base: Identidad logarítmica básica
A menudo, en el proceso de resolución se requiere representar un número como un logaritmo en una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán: En el primer caso, el número norte se convierte en el exponente del argumento. Número norte puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo. La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama así:identidad logarítmica básica.
En efecto, ¿qué sucederá si el número b se eleva a tal grado que el número b en este grado da el número a? Así es: este es el mismo número a. Lea este párrafo detenidamente nuevamente: muchas personas "se cuelgan" de él. Al igual que las nuevas fórmulas de conversión de bases, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible. Tarea Encuentre el valor de la expresión: Solución Tenga en cuenta que log 25 64 = log 5 8- acaba de sacar el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Dadas las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos: 200
Si alguien no está al tanto, esta fue una tarea real del examen :) Unidad logarítmica y cero logarítmico
En conclusión, daré dos identidades que son difíciles de llamar propiedades; más bien, estas son consecuencias de la definición del logaritmo. Se encuentran constantemente en problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para estudiantes "avanzados". log a a = 1 es unidad logarítmica. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo en cualquier base a de esta base en sí es igual a uno. log a 1 = 0 es cero logarítmico. Base un puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! porque un 0 = 1 es una consecuencia directa de la definición. Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Concentración de la atención: Definición. Función
especie se llama funcion exponencial
. Comentario. Exclusión básica a números 0; 1 y valores negativos a explicado por las siguientes circunstancias: La expresión analítica en sí una x en estos casos, conserva su significado y se puede encontrar en la resolución de problemas. Por ejemplo, para la expresión x y punto x = 1; y = 1
entra en el rango de valores aceptables. Construya gráficas de funciones: y . Propiedades de la función exponencial Cuando se llena la tabla, las tareas se resuelven en paralelo con el llenado. Tarea número 1. (Encontrar el dominio de la función). Qué valores de argumento son válidos para las funciones: Tarea número 2. (Encontrar el rango de la función). La figura muestra la gráfica de una función. Especifique el alcance y el alcance de la función: Tarea número 3. (Indicar los intervalos de comparación con la unidad). Compara cada una de las siguientes potencias con una: Tarea número 4. (Estudiar la función de monotonicidad). Comparar números reales por magnitud metro y norte Si: Tarea número 5. (Estudiar la función de monotonicidad). Saca una conclusión sobre la base. a, Si: y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x ¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x<
0? En un plano de coordenadas, se trazan gráficos de funciones: y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x . ¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x<
0? Número mi juega un papel especial en el análisis matemático. Funcion exponencial
con base mi, llamado el exponente
y denotado y = e x. Primeros signos números
mi Fácil de recordar: dos, una coma, siete, el año del nacimiento de León Tolstoi: dos veces, cuarenta y cinco, noventa, cuarenta y cinco.
Tarea: Kolmogorov, página 35; nº 445-447; 451; 453. Repita el algoritmo para construir gráficos de funciones que contengan una variable bajo el signo del módulo. Hipermercado del Conocimiento >>Matemáticas >>Matemáticas Grado 10 >> La función exponencial, sus propiedades y gráfica Considere la expresión 2x y encuentre sus valores para varios valores racionales de la variable x, por ejemplo, para x=2; En general, sin importar qué valor racional le demos a la variable x, siempre podemos calcular el valor numérico correspondiente de la expresión 2x. Por lo tanto, se puede hablar de una exponencial funciones y=2 x definido sobre el conjunto Q de números racionales: Consideremos algunas propiedades de esta función. Propiedad 1. es una función creciente. Realizamos la demostración en dos etapas. En el lado izquierdo de la última desigualdad tenemos , y en el lado derecho 1. Por lo tanto, la última desigualdad se puede reescribir como Segunda fase. Sean x 1 y x 2 números, y x 1 y x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования: (Denotamos la diferencia x 2 -x 1 con la letra r). Como r es un número racional positivo, entonces, por lo que se demostró en la primera etapa, 2 r > 1, es decir, 2r-1 >0. El número 2x" también es positivo, lo que significa que el producto 2 x-1 (2 Ã -1) también es positivo. Así, hemos demostrado que desigualdad 2 Xr -2x "\u003e 0. Entonces, de la desigualdad x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая. Propiedad 2. limitado desde abajo y no limitado desde arriba. Que esta función no es de la mayor importancia es evidente, ya que, como acabamos de ver, no está acotada superiormente. Pero está limitado desde abajo, ¿por qué no tiene el valor más pequeño? Suponga que 2r es el valor más pequeño de la función (r es un exponente racional). Toma un número racional q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции. Todo esto está bien, dices, pero ¿por qué consideramos la función y-2 x solo sobre el conjunto de los números racionales, por qué no la consideramos, como otras funciones conocidas, sobre toda la recta numérica o sobre algún intervalo continuo de la recta numérica? ¿Qué nos detiene? Pensemos en la situación. La recta numérica contiene no solo números racionales, sino también irracionales. Para las funciones previamente estudiadas, esto no nos molestó. Por ejemplo, encontramos los valores de la función y \u003d x 2 con la misma facilidad para los valores racionales e irracionales de x: fue suficiente para elevar al cuadrado el valor dado de x. Pero con la función y \u003d 2 x, la situación es más complicada. Si al argumento x se le da un valor racional, entonces, en principio, se puede calcular x (regresa al principio del párrafo, donde hicimos precisamente eso). ¿Y si al argumento x se le da un valor irracional? ¿Cómo, por ejemplo, calcular? No sabemos esto todavía. Se sabe que 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... . Está claro que 1,732 = 1,7320 y 1,732050 = 1,73205. Para evitar tales repeticiones, descartamos aquellos miembros de la secuencia que terminan con el número 0. Entonces obtenemos una sucesión creciente: 1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... . En consecuencia, la secuencia también aumenta. Todos los miembros de esta secuencia son números positivos menores que 22, es decir esta secuencia es limitada. Por el teorema de Weierstrass (ver § 30), si una secuencia es creciente y está acotada, entonces converge. Además, por el § 30 sabemos que si una sucesión converge, entonces sólo en un límite. Se acordó que este límite único se consideraría el valor de una expresión numérica. Y no importa que sea muy difícil encontrar incluso un valor aproximado de la expresión numérica 2; es importante que este sea un número específico (después de todo, no tuvimos miedo de decir que, por ejemplo, es la raíz de una ecuación racional, Notemos los puntos en el plano de coordenadas (Fig. 194), delinean una línea determinada, dibújenla (Fig. 195). Las pruebas estrictas de las propiedades enumeradas de la función y-2 x se dan en el curso de matemáticas superiores. Algunas de estas propiedades que discutimos anteriormente en un grado u otro, algunas de ellas están claramente demostradas por el gráfico construido (ver Fig. 195). Por ejemplo, la ausencia de paridad o imparidad de una función está relacionada geométricamente con la falta de simetría de la gráfica, respectivamente, respecto al eje y o respecto al origen. Cualquier función de la forma y=ax, donde a >1, tiene propiedades similares. En la fig. 196 en un sistema de coordenadas se construyen gráficos de funciones y=2 x, y=3 x, y=5 x. Ahora consideremos la función, hagamos una tabla de valores para ella: 1) Definición. La función vista se llama función exponencial. El gráfico de la función y \u003d a x para a> 1 se muestra en la fig. 201, y para 0<а < 1 - на рис. 202. La curva mostrada en la Fig. 201 o 202 se llama el exponente. De hecho, los matemáticos suelen llamar a la propia función exponencial y = a x. Entonces, el término "exponente" se usa en dos sentidos: tanto para el nombre de la función exponencial como para el nombre del gráfico de la función exponencial. Por lo general, el significado es claro si estamos hablando de una función exponencial o de su gráfica. Preste atención a la característica geométrica del gráfico de la función exponencial y \u003d ax: el eje x es la asíntota horizontal del gráfico. Es cierto que esta declaración generalmente se refina de la siguiente manera. En otras palabras Estos son ejemplos de funciones de potencia; En general, y \u003d x r, donde r es un número específico, es una función de potencia (el argumento x está contenido en la base del grado); Una función "exótica" atacante como y = x" no se considera ni exponencial ni de ley de potencia (a veces se la llama función de potencia exponencial). Segunda nota importante. Usualmente, uno no considera una función exponencial con una base a = 1 o con una base a que satisface la desigualdad a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0y a El hecho es que si a \u003d 1, entonces para cualquier valor x la igualdad Ix \u003d 1 es verdadera. Por lo tanto, la función exponencial y \u003d a "para a \u003d 1" degenera "en una función constante y \ u003d 1 - esto no es interesante Si a \u003d 0, entonces 0x \u003d 0 para cualquier valor positivo de x, es decir, obtenemos la función y \u003d 0 definida para x\u003e 0 - esto tampoco es interesante.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках. Antes de pasar a resolver ejemplos, notamos que la función exponencial es significativamente diferente de todas las funciones que has estudiado hasta ahora. Para estudiar a fondo un nuevo objeto, debe considerarlo desde diferentes ángulos, en diferentes situaciones, por lo que habrá muchos ejemplos. Solución, a) Habiendo trazado los gráficos de las funciones y \u003d 2 xey \u003d 1 en un sistema de coordenadas, notamos (Fig. 203) que tienen un punto común (0; 1). Entonces la ecuación 2x = 1 tiene una sola raíz x = 0. Entonces, de la ecuación 2x = 2° obtuvimos x = 0. b) Habiendo construido los gráficos de las funciones y \u003d 2 xey \u003d 4 en un sistema de coordenadas, notamos (Fig. 203) que tienen un punto común (2; 4). Entonces la ecuación 2x = 4 tiene una sola raíz x = 2. Entonces, de la ecuación 2 x \u003d 2 2 obtuvimos x \u003d 2. c) yd) Con base en las mismas consideraciones, concluimos que la ecuación 2 x \u003d 8 tiene una sola raíz y, para encontrarla, es posible que no se construyan gráficos de las funciones correspondientes; es claro que x=3, ya que 2 3 =8. De manera similar, encontramos la única raíz de la ecuación Solución. Puedes actuar así: construye un gráfico de la función y-3 x, luego estíralo desde el eje x con un factor de 3, y luego eleva el gráfico resultante en 2 unidades de escala. Pero es más conveniente usar el hecho de que 3- 3* \u003d 3 * + 1 y, por lo tanto, trazar la función y \u003d 3 x * 1 + 2. Pasemos, como hemos hecho repetidamente en tales casos, a un sistema de coordenadas auxiliar con el origen en el punto (-1; 2) - líneas punteadas x = - 1 y 1x = 2 en la Fig. 207. "Adjuntemos" la función y=3* a un nuevo sistema de coordenadas. Para ello, seleccionamos puntos de control para la función Ejemplo 4 Resolver la ecuación y las desigualdades: Solución, a) Construyamos gráficas de funciones y=5* e y=6-x en un sistema de coordenadas (Fig. 208). Se cruzan en un punto; a juzgar por el dibujo, este es el punto (1; 5). La comprobación muestra que, de hecho, el punto (1; 5) satisface tanto la ecuación y = 5* como la ecuación y=6x. La abscisa de este punto sirve como la única raíz de la ecuación dada. Entonces, la ecuación 5 x = 6-x tiene una sola raíz x = 1. b) y c) El exponente y-5x se encuentra por encima de la línea recta y=6-x, si x>1, esto se ve claramente en la fig. 208. Por lo tanto, la solución de la desigualdad 5*>6-x puede escribirse como sigue: x>1. Y la solución de la desigualdad 5x<6 - х можно записать так: х < 1. Ejemplo 5 Dada una función 
2. Considere la función exponencial con más detalle:
0
Si , entonces la función f(x) decrece
Función y= , en 0
Esto se sigue de las propiedades de monotonicidad de un grado con un exponente real.
b > 0; b≠1
Por ejemplo:
La función exponencial es continua en cualquier punto ϵ R.
Si a0, entonces la función exponencial toma una forma cercana a y = 0.
Si a1, más allá de los ejes x e y, y el gráfico toma la forma cercana a la función y \u003d 1.
Trazar y=
donde a es la base, x es el argumento, b ¿Qué es exactamente el logaritmo?
log 5 25 = segundo ⇒ (5 1) segundo = 5 2 ⇒ 5 segundo = 5 2 ⇒ segundo = 2;
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 no es una potencia exacta porque hay dos factores: 3 y 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado exacto;
35 = 7 5 - nuevamente no es un grado exacto;
14 \u003d 7 2 - nuevamente no es un grado exacto;
registro x = registro 10 x
e = 2.718281828459...
en x = logaritmo e x
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12
Gráfica de una función exponencial
y= a X, un > 1
y= a X , 0< a < 1
Propiedades de la función exponencial
y= a X, un > 1
y= a X , 0< a <
1
2. Rango de valores de función
3. Intervalos de comparación con la unidad
en X> 0, un X
>
1
en X > 0, 0< a X < 1
en X < 0, 0< a X < 1
en X < 0, a X
>
1
4. Par, impar.
La función no es ni par ni impar (función general).
5. Monotonía.
aumenta monótonamente por R
disminuye monótonamente por R
6. Extremos.
La función exponencial no tiene extremos.
7.Asíntota
Eje O X es una asíntota horizontal.
8. Para cualquier valor real X y y;
Número
una de las constantes más importantes en matemáticas. Por definición, es igual al límite de la sucesión
con ilimitado
creciente
. Designacion mi introducido leonard euler
en 1736. Calculó los primeros 23 dígitos de este número en notación decimal, y el número en sí recibió el nombre de Napier "número no par".
Primera etapa. Probemos que si r es positivo número racional, entonces 2r >1.
Son posibles dos casos: 1) r - número natural, r = n; 2) irreducible ordinaria fracción, 
Por lo tanto, en cualquier caso, la desigualdad 2 r > 1 se cumple, como se requiere.
La acotación de la función de abajo se deriva de la desigualdad 2 x > 0, que es válida para cualquier valor de x del dominio de la función. Al mismo tiempo, no importa qué número positivo M se tome, siempre se puede elegir un indicador x tal que se cumpla la desigualdad 2 x > M, que caracteriza la falta de límites de la función desde arriba. Demos algunos ejemplos. 
Propiedad 3. no tiene valor mínimo ni máximo.
Los matemáticos han encontrado una salida; así hablaban.
Considere una secuencia de números racionales: aproximaciones decimales de un número por deficiencia:
la raíz de la ecuación trigonométrica, sin pensar realmente en qué son exactamente estos números: 
Entonces, descubrimos qué significado le dan los matemáticos al símbolo 2 ^. De manera similar, se puede determinar qué es y en general qué es un a, donde a es un número irracional y a > 1.
Pero ¿qué pasa cuando 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Ahora podemos hablar no solo de potencias con exponentes racionales arbitrarios, sino también de potencias con exponentes reales arbitrarios. Se demuestra que los grados con cualquier exponente real tienen todas las propiedades habituales de los grados: al multiplicar grados con las mismas bases se suman los exponentes, al dividir se restan, al elevar un grado a una potencia se multiplican, etc. . Pero lo más importante es que ahora podemos hablar de la función y-ax definida sobre el conjunto de todos los números reales.
Volvamos a la función y \u003d 2 x, construyamos su gráfico. Para hacer esto, compilaremos una tabla de valores de funciones por \u003d 2 x:
Propiedades de la función y - 2 x:
1)
2) no es ni par ni impar; 248
3) aumenta;
5) no tiene ni los valores más grandes ni los más pequeños;
6) continuo;
7)
8) convexo hacia abajo.
Marquemos los puntos en el plano de coordenadas (Fig. 197), delinean una línea determinada, dibújenla (Fig. 198).
Propiedades de la función
2) no es ni par ni impar;
3) disminuye;
4) no limitado desde arriba, limitado desde abajo;
5) no hay ni el mayor ni el menor valor;
6) continuo;
7)
8) convexo hacia abajo.
Cualquier función de la forma y \u003d a x, donde O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Tenga en cuenta: gráficos de función 
aquellos. y \u003d 2 x, simétrico sobre el eje y (Fig. 201). Esto es una consecuencia del enunciado general (ver § 13): las gráficas de las funciones y = f(x) e y = f(-x) son simétricas respecto al eje y. Del mismo modo, los gráficos de las funciones y \u003d 3 x y
Resumiendo lo dicho, definamos funcion exponencial y resaltar sus propiedades más importantes.
Las principales propiedades de la función exponencial y \u003d a x
El eje x es la asíntota horizontal de la gráfica de la función
Primera nota importante. Los escolares a menudo confunden los términos: función de potencia, función exponencial. Comparar:
son ejemplos de funciones exponenciales.
y \u003d a", donde a es un número específico (positivo y diferente de 1), es una función exponencial (el argumento x está contenido en el exponente).
Ejemplo 1 
Entonces, de la ecuación 2x = 2 3 obtuvimos x = 3, y de la ecuación 2 x = 2 x obtuvimos x = -4.
e) El gráfico de la función y \u003d 2 x se encuentra arriba del gráfico de la función y \u003d 1 para x\u003e 0; esto se lee bien en la Fig. 203. Por tanto, la solución de la desigualdad 2x > 1 es el intervalo
f) El gráfico de la función y \u003d 2 x se encuentra debajo del gráfico de la función y \u003d 4 en x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Probablemente haya notado que la base de todas las conclusiones hechas al resolver el ejemplo 1 fue la propiedad de monotonicidad (aumento) de la función y \u003d 2 x. Un razonamiento similar nos permite verificar la validez de los siguientes dos teoremas. 
, pero no los construiremos en el antiguo, sino en el nuevo sistema de coordenadas (estos puntos están marcados en la Fig. 207). Luego construiremos un exponente por puntos: este será el gráfico requerido (ver Fig. 207).
Para encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función dada en el segmento [-2, 2], usamos el hecho de que la función dada es creciente y, por lo tanto, toma sus valores más pequeños y más grandes, respectivamente, a la izquierda y extremos derechos del segmento.
Entonces:
Respuesta: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.
Pruebalo 
Solución. Por condición Tenemos.