FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS VIII
§ 179 Propiedades básicas de la función exponencial
En esta sección estudiaremos las principales propiedades de la función exponencial
y = un X (1)
Recuerda que bajo a en la fórmula (1) nos referimos a cualquier número positivo fijo distinto de 1.
Propiedad 1. El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
De hecho, para un positivo a expresión a X definido para cualquier número real X .
Propiedad 2. Funcion exponencial toma solo valores positivos.
De hecho, si X > 0, entonces, como se probó en el § 176,
a X > 0.
Si X <. 0, то
a X =
donde - X ya mayor que cero. Entonces a - X > 0. Pero entonces
a X = > 0.
Finalmente, en X = 0
a X = 1.
La segunda propiedad de la función exponencial tiene una interpretación gráfica sencilla. Se encuentra en el hecho de que el gráfico de esta función (ver Fig. 246 y 247) se encuentra completamente por encima del eje x.
Propiedad 3. Si a >1, entonces en X > 0 a X > 1, y en X < 0 a X < 1. Si a < 1, тay, al contrario, X > 0 a X < 1, y en X < 0 a X > 1.
Esta propiedad de la función exponencial también permite una interpretación geométrica simple. En a > 1 (fig. 246) curvas y = un X situado por encima de la línea en = 1 en X > 0 y debajo de la línea recta en = 1 en X < 0.
Si a < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = un X ubicado debajo de la línea en = 1 en X > 0 y por encima de esta línea recta en X < 0.
Demos una prueba rigurosa de la tercera propiedad. Dejar a > 1 y X es un número positivo arbitrario. Demostremos que
a X > 1.
si el numero X racional ( X = metro / norte ) , entonces a X = a m/ norte = norte √a metro .
En la medida en a > 1, entonces a metro > 1, pero la raíz de un número mayor que uno obviamente también es mayor que 1.
Si X irracional, entonces hay números racionales positivos X" y X" , que sirven como aproximaciones decimales del número X :
X"< х < х" .
Pero entonces, por definición de un grado con un exponente irracional
a X" < a X < a X"" .
Como se muestra arriba, el número a X" más de uno. Por lo tanto, el número a X , más que a X" , también debe ser mayor que 1,
Entonces, hemos demostrado que a >1 y positivo arbitrario X
a X > 1.
si el numero X fuera negativo, entonces tendríamos
a X =
donde esta el numero X sería positivo. Entonces a - X > 1. Por lo tanto,
a X = < 1.
Así, en a > 1 y negativo arbitrario X
a X < 1.
Caso cuando 0< a < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Propiedad 4. si x = 0, entonces independientemente de un a X =1.
Esto se sigue de la definición de grado cero; la potencia cero de cualquier número distinto de cero es igual a 1. Gráficamente, esta propiedad se expresa en el hecho de que para cualquier a curva en = a X (ver fig. 246 y 247) cruza el eje en en el punto de ordenada 1.
Propiedad 5. En a >1 funcion exponencial = a X es monótonamente creciente, y para un < 1 - monótonamente decreciente.
Esta propiedad también permite una interpretación geométrica simple.
En a > 1 (Fig. 246) curva en = a X con crecimiento X se eleva más y más alto, y a < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Demos una demostración rigurosa de la quinta propiedad.
Dejar a > 1 y X 2 > X una . Demostremos que
a X 2 > a X 1
En la medida en X 2 > X 1 ., entonces X 2 = X 1 + D , donde D es algún número positivo. Entonces
a X 2 - a X 1 = a X 1 + D - a X 1 = a X 1 (a D - 1)
Según la segunda propiedad de la función exponencial a X 1 > 0. Desde D > 0, entonces por la 3ra propiedad de la función exponencial a D > 1. Ambos factores en el producto a X 1 (a D - 1) son positivos, por lo tanto, este producto en sí es positivo. Medio, a X 2 - a X 1 > 0, o a X 2 > a X 1, que debía probarse.
Entonces, en a > 1 función en = a X es monótonamente creciente. Del mismo modo, se prueba que a < 1 функция en = a X es monótonamente decreciente.
Consecuencia. Si dos potencias de un mismo número positivo distinto de 1 son iguales, entonces sus exponentes también son iguales.
En otras palabras, si
a B = a C (a > 0 y a =/= 1),
b = c .
De hecho, si los números B y Con no eran iguales, entonces debido a la monotonicidad de la función en = a X la mayoría correspondería a a >1 es mayor, y en a < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или a B > a C , o a B < a C . Ambos contradicen la condición a B = a C . Queda por reconocer que b = c .
Propiedad 6. si un > 1, entonces con un aumento ilimitado en el argumento X (X -> ∞ ) valores de función en = a X también crecer indefinidamente (en -> ∞ ). Con una disminución ilimitada en el argumento X (X -> -∞ ) los valores de esta función tienden a cero, permaneciendo positivos (en->0; en > 0).
Teniendo en cuenta la monotonicidad de la función demostrada anteriormente en = a X , podemos decir que en el caso que nos ocupa, la función en = a X aumenta monótonamente de 0 a ∞ .
Si 0 <a < 1, luego, con un aumento ilimitado en el argumento x (x -> ∞), los valores de la función y \u003d a x tienden a cero, mientras permanecen positivos (en->0; en > 0). Con una disminución ilimitada en el argumento x (X -> -∞ ) los valores de esta función crecen indefinidamente (en -> ∞ ).
Debido a la monotonicidad de la función. y = hacha podemos decir que en este caso la función en = a X disminuye monótonamente de ∞ a 0.
La sexta propiedad de la función exponencial se refleja claramente en las figuras 246 y 247. No la probaremos estrictamente.
Solo necesitamos establecer el rango de la función exponencial y = hacha (a > 0, a =/= 1).
Arriba probamos que la función y = hacha toma solo valores positivos y aumenta monótonamente de 0 a ∞ (en a > 1), o disminuye monótonamente de ∞ a 0 (a 0< a <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = hacha cuando cambias algun salto? ¿Toma algún valor positivo? Esta pregunta se responde positivamente. Si a > 0 y a =/= 1, entonces cualquiera que sea el número positivo en 0 debe ser encontrado X 0, tal que
a X 0 = en 0 .
(Debido a la monotonicidad de la función y = hacha valor específico X 0 sería el único, por supuesto.)
La prueba de este hecho está más allá del alcance de nuestro programa. Su interpretación geométrica es que para cualquier valor positivo en gráfico de función 0 y = hacha debe cruzarse con la línea en = en 0 y, además, sólo en un punto (Fig. 248).
De esto podemos sacar la siguiente conclusión, que formulamos en forma de propiedad 7.
Propiedad 7. El área de cambio de la función exponencial y \u003d a x (a > 0, a =/= 1)es el conjunto de todos los números positivos.
Ejercicios
1368. Encuentra áreas de definición siguientes funciones:
1369. ¿Cuál de los números dados es mayor que 1 y cuál es menor que 1:
1370. ¿Sobre la base de qué propiedad de la función exponencial se puede afirmar que
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2
1371. ¿Qué número es mayor:
a) π - √3 o (1 / π ) - √3; do) (2 / 3) 1 + √6 o (2 / 3) √2 + √5 ;
B) ( π / 4) 1 + √3 o ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 o (√3) √3 - 2 ?
1372. Son equivalentes las desigualdades:
1373. Que se puede decir de los numeros X y en , Si una x = y yo , donde a es un numero positivo dado?
1374. 1) ¿Es posible entre todos los valores de una función en = 2X destacar:
2) ¿Es posible entre todos los valores de función en = 2 | x| destacar:
a) el valor más grande; b) el valor más pequeño?
Decisión de la Mayoría problemas de matematicas relacionado de alguna manera con la transformación de expresiones numéricas, algebraicas o funcionales. Esto se aplica especialmente a la solución. En las variantes USE en matemáticas, este tipo de tareas incluye, en particular, la tarea C3. Aprender a resolver tareas de C3 es importante no solo con el propósito de tener éxito pasando el examen, pero también por la razón de que esta habilidad es útil cuando se estudia un curso de matemáticas en la educación superior.
Realizando tareas C3, tienes que decidir diferentes tipos ecuaciones y desigualdades. Entre ellos se encuentran módulos racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicos, trigonométricos, que contienen ( valores absolutos), así como combinados. Este artículo analiza los principales tipos de ecuaciones y desigualdades exponenciales, así como varios métodos sus decisiones Lea sobre cómo resolver otros tipos de ecuaciones y desigualdades bajo el encabezado "" en artículos dedicados a métodos para resolver problemas C3 de USAR opciones matemáticas.
Antes de proceder al análisis de determinados ecuaciones y desigualdades exponenciales, como tutor de matemáticas, te sugiero repasar parte del material teórico que necesitaremos.
Funcion exponencial
¿Qué es una función exponencial?
Ver función y = una x, donde a> 0 y a≠ 1, llamado funcion exponencial.
Principal propiedades de la función exponencial y = una x:
Gráfica de una función exponencial
La gráfica de la función exponencial es expositor:
Gráficas de funciones exponenciales (exponentes)
Solución de ecuaciones exponenciales
indicativo llamadas ecuaciones en las que la variable desconocida se encuentra sólo en exponentes de cualquier potencia.
para soluciones ecuaciones exponenciales necesita saber y ser capaz de usar el siguiente teorema simple:
Teorema 1. ecuación exponencial a F(X) = a gramo(X) (donde a > 0, a≠ 1) es equivalente a la ecuación F(X) = gramo(X).
Además, es útil recordar las fórmulas básicas y acciones con grados:
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Ejemplo 1 Resuelve la ecuación:
Solución: use las fórmulas anteriores y la sustitución:
La ecuación entonces se convierte en:
Recibido discriminante ecuación cuadrática positivo:
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Esto significa que esta ecuación tiene dos raíces. Los encontramos:
Volviendo a la sustitución, obtenemos:
La segunda ecuación no tiene raíces, ya que la función exponencial es estrictamente positiva en todo el dominio de definición. Resolvamos el segundo:
Teniendo en cuenta lo dicho en el Teorema 1, pasamos a la ecuación equivalente: X= 3. Esta será la respuesta a la tarea.
Respuesta: X = 3.
Ejemplo 2 Resuelve la ecuación:
Solución: restricciones de área valores permitidos la ecuación no, ya que la expresión radical tiene sentido para cualquier valor X(funcion exponencial y = 9 4 -X positivo y no igual a cero).
Resolvemos la ecuación por transformaciones equivalentes usando las reglas de multiplicación y división de potencias:
La última transición se realizó de acuerdo con el Teorema 1.
Respuesta:X= 6.
Ejemplo 3 Resuelve la ecuación:
Solución: ambos lados de la ecuación original se pueden dividir por 0.2 X. Esta transición será equivalente, ya que esta expresión es mayor que cero para cualquier valor X(la función exponencial es estrictamente positiva en su dominio). Entonces la ecuación toma la forma:
Respuesta: X = 0.
Ejemplo 4 Resuelve la ecuación:
Solución: simplificamos la ecuación a una elemental mediante transformaciones equivalentes usando las reglas de división y multiplicación de potencias dadas al comienzo del artículo:
Dividiendo ambos lados de la ecuación por 4 X, como en el ejemplo anterior, es una transformación equivalente, ya que esta expresión no es igual a cero para ningún valor X.
Respuesta: X = 0.
Ejemplo 5 Resuelve la ecuación:
Solución: función y = 3X, de pie en el lado izquierdo de la ecuación, es creciente. Función y = —X-2/3, de pie en el lado derecho de la ecuación, es decreciente. Esto significa que si las gráficas de estas funciones se cruzan, como máximo en un punto. En este caso, es fácil adivinar que las gráficas se cortan en el punto X= -1. No habrá otras raíces.
Respuesta: X = -1.
Ejemplo 6 Resuelve la ecuación:
Solución: simplificamos la ecuación por transformaciones equivalentes, teniendo en cuenta en todas partes que la función exponencial es estrictamente mayor que cero para cualquier valor X y utilizando las reglas de cálculo del producto y de las potencias parciales dadas al principio del artículo:
Respuesta: X = 2.
Resolver desigualdades exponenciales
indicativo llamadas desigualdades en las que la variable desconocida está contenida sólo en los exponentes de algunas potencias.
para soluciones desigualdades exponenciales Se requiere el conocimiento del siguiente teorema:
Teorema 2. Si a> 1, entonces la desigualdad a F(X) > a gramo(X) es equivalente a una desigualdad del mismo significado: F(X) > gramo(X). Si 0< a < 1, то desigualdad exponencial a F(X) > a gramo(X) es equivalente a una desigualdad de significado opuesto: F(X) < gramo(X).
Ejemplo 7 Resuelve la desigualdad:
Solución: representar la desigualdad original en la forma:
Divide ambas partes de esta desigualdad por 3 2 X, y (debido a la positividad de la función y= 3 2X) el signo de desigualdad no cambiará:
Usemos una sustitución:
Entonces la desigualdad toma la forma:
Entonces, la solución a la desigualdad es el intervalo:
pasando a la sustitución inversa, obtenemos:
La desigualdad de la izquierda, debido a la positividad de la función exponencial, se cumple automáticamente. Tomar ventaja propiedad conocida logaritmo, pasamos a la desigualdad equivalente:
Como la base del grado es un número mayor que uno, equivalente (por el Teorema 2) será el paso a la siguiente desigualdad:
Así que finalmente conseguimos respuesta:
Ejemplo 8 Resuelve la desigualdad:
Solución: Usando las propiedades de la multiplicación y división de potencias, reescribimos la desigualdad en la forma:
Introduzcamos una nueva variable:
Con esta sustitución, la desigualdad toma la forma:
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por 7, obtenemos la siguiente desigualdad equivalente:
Entonces, la desigualdad se satisface con los siguientes valores de la variable t:
Entonces, volviendo a la sustitución, obtenemos:
Como la base del grado aquí es mayor que uno, es equivalente (por el Teorema 2) pasar a la desigualdad:
Finalmente obtenemos respuesta:
Ejemplo 9 Resuelve la desigualdad:
Solución:
Dividimos ambos lados de la desigualdad por la expresión:
Siempre es mayor que cero (porque la función exponencial es positiva), por lo que no es necesario cambiar el signo de desigualdad. Obtenemos:
t , que están en el intervalo:
Pasando a la sustitución inversa, encontramos que la desigualdad original se divide en dos casos:
La primera desigualdad no tiene solución debido a la positividad de la función exponencial. Resolvamos el segundo:
Ejemplo 10 Resuelve la desigualdad:
Solución:
Ramas de parábola y = 2X+2-X 2 están dirigidos hacia abajo, por lo que está acotado superiormente por el valor que alcanza en su vértice:
Ramas de parábola y = X 2 -2X+2, que está en el indicador, están dirigidos hacia arriba, lo que significa que está limitado desde abajo por el valor que alcanza en su parte superior:
Al mismo tiempo, la función resulta estar acotada por abajo y = 3 X 2 -2X+2 en el lado derecho de la ecuación. Alcanza su valor más pequeño en el mismo punto que la parábola en el índice, y este valor es igual a 3 1 = 3. Entonces, la desigualdad original solo puede ser verdadera si la función de la izquierda y la función de la derecha toman el valor , igual a 3 (la intersección de los rangos de estas funciones es solo este número). Esta condición se cumple en un solo punto. X = 1.
Respuesta: X= 1.
Para aprender a resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades necesitas capacitarte constantemente en su solución. En este difícil asunto, varios material didáctico, libros de problemas para matemáticas elementales, colecciones de tareas competitivas, clases de matemáticas en la escuela, así como sesiones individuales con un tutor profesional. Le deseo sinceramente éxito en su preparación y resultados brillantes en el examen.
sergey valerievich
PD ¡Queridos invitados! No escriba solicitudes para resolver sus ecuaciones en los comentarios. Desafortunadamente, no tengo tiempo para esto en absoluto. Se eliminarán tales mensajes. Por favor, lea el artículo. Quizás en él encuentre respuestas a preguntas que no le permitieron resolver su tarea por su cuenta.
Encuentre el valor de la expresión para varios valores racionales de la variable x=2; 0; -3; -
Tenga en cuenta que no importa qué número sustituyamos en lugar de x, siempre puede encontrar el valor expresión dada. Por lo tanto, estamos considerando una función exponencial (y es igual a tres elevado a x) definida en el conjunto numeros racionales: .
Construyamos un gráfico de esta función haciendo una tabla de sus valores.
gastemos línea suave pasando por estos puntos (Fig. 1)
Usando el gráfico de esta función, considere sus propiedades:
3. Aumenta en toda el área de definición.
- rango de cero a más infinito.
8. La función es convexa hacia abajo.
Si en un sistema de coordenadas para construir gráficos de funciones; y=(y es igual a dos elevado a x, y es igual a cinco elevado a x, y es igual a siete elevado a x), puedes ver que tienen las mismas propiedades que y=(y es igual a tres elevado a x) ( Fig. .2), es decir, todas las funciones de la forma y = (y es igual a a elevado a x, con a mayor que uno) tendrán tales propiedades
Grafiquemos la función:
1. Elaborar una tabla de sus valores.
Marcamos los puntos obtenidos en el plano de coordenadas.
Dibujemos una línea suave que pase por estos puntos (Fig. 3).
Usando la gráfica de esta función, indicamos sus propiedades:
1. El dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
2. No es ni par ni impar.
3. Disminuye en todo el dominio de definición.
4. No tiene ni el valor más grande ni el más pequeño.
5. Limitado desde abajo, pero no limitado desde arriba.
6. Continuo en todo el dominio de definición.
7. rango de valor de cero a más infinito.
8. La función es convexa hacia abajo.
Del mismo modo, si en un sistema de coordenadas para construir gráficos de funciones; y=(y es igual a un segundo a la potencia x, y es igual a un quinto a la potencia x, y es igual a un séptimo a la potencia x), puedes ver que tienen las mismas propiedades que y=(y es igual a un tercio a la potencia potencia de x) x) (Fig. 4), es decir, todas las funciones de la forma y \u003d (y es igual a uno dividido por a a la potencia de x, con mayor que cero pero menor que uno) tener tales propiedades
Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas
esto quiere decir que las gráficas de las funciones y=y= también serán simétricas (y es igual a a elevado a x e y igual a uno dividido por a elevado a x) para el mismo valor de a.
Resumimos lo dicho dando una definición de función exponencial e indicando sus principales propiedades:
Definición: Una función de la forma y \u003d, donde (y es igual a a elevado a x, donde a es positivo y diferente de uno), se denomina función exponencial.
Es necesario recordar las diferencias entre la función exponencial y= y la función potencia y=, a=2,3,4,…. tanto auditiva como visualmente. La función exponencial X es un grado, y para una función de potencia X es la base.
Ejemplo 1: Resuelve la ecuación (tres elevado a x es igual a nueve)
(y es igual a tres elevado a x e y es igual a nueve) fig.7
Tenga en cuenta que tienen un punto común M (2; 9) (em con coordenadas dos; nueve), lo que significa que la abscisa del punto será la raíz de esta ecuación. Es decir, la ecuación tiene una sola raíz x = 2.
Ejemplo 2: Resuelve la ecuación
En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficos de la función y \u003d (y es igual a cinco elevado a xey es igual a uno veinticinco) Fig.8. Los gráficos se cruzan en un punto T (-2; (te con coordenadas menos dos; uno vigésimo quinto). Por lo tanto, la raíz de la ecuación es x \u003d -2 (número menos dos).
Ejemplo 3: Resuelve la desigualdad
En un sistema de coordenadas, construimos dos gráficos de la función y \u003d
(y es igual a tres elevado a xey es igual a veintisiete).
Fig.9 La gráfica de la función se encuentra arriba de la gráfica de la función y=cuando
x Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo (de menos infinito a tres)
Ejemplo 4: Resuelve la desigualdad
En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficos de la función y \u003d (y es igual a un cuarto a la potencia de xey es igual a dieciséis). (Figura 10). Los gráficos se intersecan en un punto K (-2;16). Esto significa que la solución a la desigualdad es el intervalo (-2; (de menos dos a más infinito), porque el gráfico de la función y \u003d se encuentra debajo del gráfico de la función en x
Nuestro razonamiento nos permite verificar la validez de los siguientes teoremas:
Terem 1: Si es cierto si y solo si m=n.
Teorema 2: Si es verdadero si y solo si, entonces la desigualdad es verdadera si y solo si (Fig. *)
Teorema 4: Si es verdadera si y solo si (Fig.**), la desigualdad es verdadera si y solo si Teorema 3: Si es verdadera si y solo si m=n.
Ejemplo 5: Graficar la función y=
Modificamos la función aplicando la propiedad del grado y=
Construyamos sistema adicional coordenadas y en nuevo sistema coordenadas, trazaremos la función y \u003d (y es igual a dos a la potencia de x) Fig.11.
Ejemplo 6: Resuelve la ecuación
En un sistema de coordenadas, construimos dos gráficos de la función y \u003d
(Y es igual a siete elevado a x e Y es igual a ocho menos x) Fig.12.
Los gráficos se intersecan en un punto E (1; (e con coordenadas uno; siete). Por lo tanto, la raíz de la ecuación es x = 1 (x igual a uno).
Ejemplo 7: Resuelve la desigualdad
En un sistema de coordenadas, construimos dos gráficos de la función y \u003d
(Y es igual a un cuarto elevado a x e Y es igual a x más cinco). La gráfica de la función y= se encuentra debajo de la gráfica de la función y=x+5 en, la solución a la desigualdad es el intervalo x (de menos uno a más infinito).
Se dan datos de referencia sobre la función exponencial: propiedades básicas, gráficos y fórmulas. Se consideran las siguientes cuestiones: dominio de definición, conjunto de valores, monotonicidad, función inversa, derivada, integral, expansión en serie de potencia y representación por medio de números complejos.
Definición
Funcion exponencial es una generalización del producto de n números iguales a a :
y (n) = un norte = un un un un,
al conjunto de los números reales x :
y (x) = x.
Aquí se fija un Número Real, Lo que es llamado la base de la función exponencial.
Una función exponencial con base a también se llama exponencial a base a.
La generalización se lleva a cabo de la siguiente manera.
Para x naturales = 1, 2, 3,...
, la función exponencial es el producto de x factores:
.
Además, tiene las propiedades (1.5-8) (), que se derivan de las reglas para multiplicar números. En cero y valores negativos de números enteros, la función exponencial está determinada por las fórmulas (1.9-10). Para valores fraccionarios x = m/n de números racionales, se determina por la fórmula (1.11). En realidad, la función exponencial se define como límite de secuencia:
,
donde es una sucesión arbitraria de números racionales que convergen en x : .
Con esta definición, la función exponencial queda definida para todo y satisface las propiedades (1.5-8), así como para x natural.
En la página "Definición y prueba de las propiedades de una función exponencial" se da una formulación matemática rigurosa de la definición de una función exponencial y una prueba de sus propiedades.
Propiedades de la función exponencial
La función exponencial y = a x tiene las siguientes propiedades sobre el conjunto de los números reales () :
(1.1)
es definido y continuo, para , para todos ;
(1.2)
cuando un ≠ 1
tiene muchos significados;
(1.3)
estrictamente aumenta en , estrictamente disminuye en ,
es constante en ;
(1.4)
en ;
en ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Otras fórmulas útiles
.
La fórmula para convertir a una función exponencial con una base de potencia diferente:
Para b = e , obtenemos la expresión de la función exponencial en términos del exponente:
valores privados
, , , , .
La figura muestra gráficas de la función exponencial
y (x) = x
para cuatro valores bases de grado:a= 2
, un = 8
, un = 1/2
y un = 1/8
. Se puede ver que para un > 1
función exponencial es monótonamente creciente. Cuanto mayor sea la base del grado a, más fuerte será el crecimiento. En 0
< a < 1
función exponencial es monótonamente decreciente. Cuanto menor sea el exponente a, mayor será la disminución.
Ascendiendo descendiendo
La función exponencial en es estrictamente monótona, por lo que no tiene extremos. Sus principales propiedades se presentan en la tabla.
| y = un x , un > 1 | y = x, 0 < a < 1 | |
| Dominio | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Rango de valores | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monótono | aumenta monótonamente | disminuye monótonamente |
| ceros, y= 0 | No | No |
| Puntos de intersección con el eje y, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Función inversa
El recíproco de una función exponencial con base de grado a es el logaritmo en base a.
si, entonces
.
si, entonces
.
Diferenciación de la función exponencial
Para derivar una función exponencial se debe reducir su base al número e, aplicar la tabla de derivadas y la regla de diferenciación función compleja.
Para hacer esto, necesitas usar la propiedad de los logaritmos.
y la fórmula de la tabla de derivadas:
.
Sea dada una función exponencial:
.
Lo llevamos a la base e:
Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja. Para ello introducimos una variable
Entonces
De la tabla de derivadas tenemos (reemplace la variable x con z):
.
Como es una constante, la derivada de z con respecto a x es
.
Según la regla de derivación de una función compleja:
.
Derivada de la función exponencial
.
Derivada de orden n:
.
Derivación de fórmulas > > >
Un ejemplo de derivación de una función exponencial
Encontrar la derivada de una función
y= 35x
Solución
Expresamos la base de la función exponencial en términos del número e.
3 = e log 3
Entonces
.
Introducimos una variable
.
Entonces
De la tabla de derivadas encontramos:
.
En la medida en 5ln 3 es una constante, entonces la derivada de z con respecto a x es:
.
De acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja, tenemos:
.
Respuesta
Integral
Expresiones en términos de números complejos
Considere la función de número complejo z:
F (z) = az
donde z = x + iy ; I 2 = - 1
.
Expresamos la constante compleja a en términos del módulo r y el argumento φ :
un = r mi yo φ
Entonces
.
El argumento φ no está definido de manera única. V vista general
φ = φ 0 + 2 pn,
donde n es un número entero. Por lo tanto, la función f (z) también es ambiguo. A menudo se considera su principal importancia
.
Expansión en serie
.
Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.