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\(\bullet\) Una ecuación racional es una ecuación expresada como \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] donde \(P(x), \ Q(x)\) - polinomios (la suma de "xes" en varios grados, multiplicada por varios números).
La expresión del lado izquierdo de la ecuación se llama expresión racional.
ODZ (región valores permitidos) de una ecuación racional son todos los valores \(x\) para los cuales el denominador NO se anula, es decir, \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Por ejemplo, ecuaciones \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] son ecuaciones racionales.
En el primero ecuación ODZ son todos \(x\) tales que \(x\ne 3\) (se escriben \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); en la segunda ecuación, estos son todos \(x\) , tales que \(x\ne -1; x\ne 1\) (escribir \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); y en la tercera ecuación no hay restricciones en la ODZ, es decir, la ODZ es todo \(x\) (se escribe \(x\in\mathbb(R)\) ). \(\bullet\) Teoremas:
1) El producto de dos factores es igual a cero si y solo si uno de ellos cero, mientras que la otra no pierde su significado, por lo tanto, la ecuación \(f(x)\cdot g(x)=0\) es equivalente al sistema \[\begin(casos) \left[ \begin(reunidos)\begin(alineados) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(alineados) \end(reunidos) \right.\\ \ text(ecuaciones ODV) \end(casos)\] 2) La fracción es igual a cero si y solo si el numerador es igual a cero y el denominador no es igual a cero, por lo tanto, la ecuación \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) es equivalente al sistema de ecuaciones \[\begin(casos) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(casos)\]\(\bullet\) Veamos algunos ejemplos.

1) Resuelve la ecuación \(x+1=\dfrac 2x\) . Encontremos la ODZ de esta ecuación: esto es \(x\ne 0\) (ya que \(x\) está en el denominador).
Entonces, la ODZ se puede escribir de la siguiente manera: .
Transfieramos todos los términos a una parte y reduzcamos a un denominador común: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( casos) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(casos)\] La solución a la primera ecuación del sistema será \(x=-2, x=1\) . Vemos que ambas raíces son distintas de cero. Por lo tanto, la respuesta es: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Resuelve la ecuación \(\izquierda(\dfrac4x - 2\derecha)\cdot (x^2-x)=0\). Encontremos la ODZ de esta ecuación. Vemos que el único valor \(x\) para el cual el lado izquierdo no tiene sentido es \(x=0\) . Entonces el OD se puede escribir de la siguiente manera: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Por lo tanto, esta ecuación es equivalente al sistema:

\[\begin(casos) \left[ \begin(reunidos)\begin(alineados) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(alineados) \end(reunidos) \right. \\ x\ne 0 \end(casos) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casos) \left[ \begin(reunidos)\begin(alineados) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(alineado) \end(reunidos) \right.\\ x\ne 0 \end(casos) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casos) \left[ \begin(reunidos)\begin(alineados) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(alineado) \end(reunidos) \right.\\ x\ne 0 \end(casos) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(reunidos) \begin(alineado) &x=2\\ &x=1 \end(alineado) \end(reunidos) \right.\] De hecho, a pesar de que \(x=0\) es la raíz del segundo factor, si sustituye \(x=0\) en la ecuación original, no tendrá sentido, porque la expresión \(\dfrac 40\) no está definida.
Entonces, la solución a esta ecuación es \(x\in \(1;2\)\) .

3) Resuelve la ecuación \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] En nuestra ecuación \(4x^2-1\ne 0\) , de donde \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , es decir, \(x\ne -\frac12; \frac12\) .
Pasamos todos los términos al lado izquierdo y los reducimos a común denominador:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-xx^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow \quad \begin(casos) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(casos) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casos) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(casos) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(casos) \left[ \begin(reunidos) \begin( alineado) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(alineado)\end(reunidos) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(casos) \quad \ Flecha izquierda-derecha \quad x=-3\)

Respuesta: \(x\in \(-3\)\) .

Comentario. Si la respuesta consiste en un conjunto finito de números, entonces se pueden escribir con un punto y coma entre llaves, como se muestra en los ejemplos anteriores.

Las tareas que requieren resolver ecuaciones racionales se encuentran en el Examen Estatal Unificado de matemáticas todos los años, por lo tanto, en preparación para aprobar el examen de certificación, los graduados definitivamente deben repetir la teoría sobre este tema por su cuenta. Para poder hacer frente a tales tareas, los graduados deben aprobar tanto el básico como el nivel de perfil examen. Habiendo dominado la teoría y realizado ejercicios prácticos sobre el tema "Ecuaciones racionales", los estudiantes podrán resolver problemas con cualquier cantidad de acciones y esperar recibir puntos competitivos al final del examen.

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A veces encuentre una fuente que presente completamente la teoría subyacente para la solución problemas de matematicas resulta bastante difícil. Es posible que el libro de texto simplemente no esté a la mano. Y a veces es bastante difícil encontrar las fórmulas necesarias incluso en Internet.

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Toda la teoría necesaria sobre el tema "Ecuaciones racionales" fue preparada por nuestros especialistas y presentada de la manera más forma accesible. Al estudiar la información presentada, los estudiantes podrán llenar los vacíos en el conocimiento.

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Para cada ejercicio en el sitio, nuestros expertos prescribieron un algoritmo de solución e indicaron la respuesta correcta. Los estudiantes pueden practicar la resolución de problemas. grados variables Dificultad según el nivel de entrenamiento. La lista de tareas en la sección correspondiente se complementa y actualiza constantemente.

Puede estudiar material teórico y perfeccionar sus habilidades en la resolución de problemas sobre el tema "Ecuaciones racionales", similares a los incluidos en las pruebas USE, en línea. Si es necesario, cualquiera de las tareas presentadas se puede agregar a la sección "Favoritos". Habiendo repetido una vez más la teoría básica sobre el tema "Ecuaciones racionales", el estudiante de secundaria podrá volver al problema en el futuro para discutir el progreso de su solución con el maestro en la lección de álgebra.

T. Kosyakova,
escuela N№ 80, Krasnodar

Solución de cuadrados y fraccionarios ecuaciones racionales, que contiene parámetros

Lección 4

Tema de la lección:

El propósito de la lección: para formar la capacidad de resolver ecuaciones fraccionarias-racionales que contienen parámetros.

Tipo de lección: introducción de nuevo material.

1. (Oral.) Resuelve las ecuaciones:

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución.

Buscar valores no válidos a:

Responder. Si si a = – 19 , entonces no hay raíces.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación

Solución.

Buscar valores de parámetros no válidos a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Responder. Si a = 5 a № 5 , luego x=10– a .

Ejemplo 3. ¿A qué valores del parámetro B la ecuacion Tiene:

a) dos raíces b) la única raíz?

Solución.

1) Buscar valores de parámetros no válidos B :

x= B, B 2 (B 2 – 1) – 2B 3 + B 2 = 0, B 4 – 2B 3 = 0,
B= 0 o B = 2;
x = 2, 4( B 2 – 1) – 4B 2 + B 2 = 0, B 2 – 4 = 0, (B – 2)(B + 2) = 0,
B= 2 o B = – 2.

2) Resuelve la ecuación x2 ( B 2 – 1) – 2B 2x+ B 2 = 0:

D=4 B 4 – 4B 2 (B 2 – 1), re = 4 B 2 .

pero)

Exclusión de valores de parámetros no válidos B , obtenemos que la ecuación tiene dos raíces, si B № – 2, B № – 1, B № 0, B № 1, B № 2 .

B) 4B 2 = 0, B = 0, pero este es un valor de parámetro no válido B ; si B 2 –1=0 , es decir. B=1 o.

Respuesta: a) si B № –2 , B № –1, B № 0, B № 1, B № 2 , luego dos raíces; b) si B=1 o b=-1 , entonces la única raíz.

Trabajo independiente

Opción 1

Resuelve las ecuaciones:

opcion 2

Resuelve las ecuaciones:

respuestas

EN 1. y si a=3 , entonces no hay raíces; si b) si si a № 2 , entonces no hay raíces.

EN 2. Si a=2 , entonces no hay raíces; si a=0 , entonces no hay raíces; si
b) si a=– 1 , entonces la ecuación pierde su significado; si entonces no hay raíces;
si

Asignación de tareas.

Resuelve las ecuaciones:

Respuestas: a) Si a № –2 , luego x= a ; si a=–2 , entonces no hay soluciones; b) si a № –2 , luego x=2; si a=–2 , entonces no hay soluciones; c) si a=–2 , luego X- cualquier número que no sea 3 ; si a № –2 , luego x=2; d) si a=–8 , entonces no hay raíces; si a=2 , entonces no hay raíces; si

Lección 5

Tema de la lección:"Solución de ecuaciones fraccionarias-racionales que contienen parámetros".

Objetivos de la lección:

aprender a resolver ecuaciones con una condición no estándar;
asimilación consciente por parte de los estudiantes de conceptos algebraicos y relaciones entre ellos.

Tipo de lección: sistematización y generalización.

Comprobación de la tarea.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

a) relativo a x; b) con respecto a y.

Solución.

a) Encontrar valores inválidos y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valor de parámetro no válido y.

Si y№ 0 , luego x=y-2; si y=0, entonces la ecuación pierde su significado.

b) Encontrar valores de parámetros no válidos X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valor de parámetro no válido X; y(2+x-y)=0, y=0 o y=2+x;

y=0 no satisface la condición y(y–x)№ 0 .

Respuesta: a) si y=0, entonces la ecuación pierde su significado; si y№ 0 , luego x=y-2; b) si x=0 X№ 0 , luego y=2+x .

Ejemplo 2. Para qué valores enteros del parámetro a son las raíces de la ecuación pertenecen al intervalo

re = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

re = ( a + 2) 2 .

Si a № 0 o a № – 1 , luego

Responder: 5 .

Ejemplo 3. Encuentra relativamente X soluciones enteras de la ecuacion

Responder. Si y=0, entonces la ecuación no tiene sentido; si y=–1, luego X- cualquier número entero distinto de cero; si y# 0, y# – 1, entonces no hay soluciones.

Ejemplo 4 Resuelve la ecuación con parámetros a Y B .

Si a№ - B , luego

Responder. Si un = 0 o b= 0 , entonces la ecuación pierde su significado; si a№ 0,b№ 0, a=-b , luego X- cualquier número distinto de cero; si a№ 0,b№ 0, un№ -B luego x=-a, x=-b .

Ejemplo 5. Demuestre que para cualquier valor distinto de cero del parámetro n, la ecuación tiene una sola raíz igual a – norte .

Solución.

es decir. x=-n, que debía probarse.

Asignación de tareas.

1. Encuentra soluciones enteras de la ecuación

2. ¿A qué valores del parámetro? C la ecuacion Tiene:
a) dos raíces b) la única raíz?

3. Encuentra todas las raíces enteras de la ecuación si a SOBRE norte .

4. Resuelve la ecuación 3xy - 5x + 5y = 7: una relativamente y; b) relativamente X .

1. La ecuación es satisfecha por cualquier número entero igual a valores de x e y distinto de cero.
2. a) Cuando
b) en o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Si entonces no hay raíces; si
b) si entonces no hay raíces; si

Prueba

Opción 1

1. Determinar el tipo de ecuación 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 en: a) c=-3; B) c=2; en) c=4 .

2. Resuelve las ecuaciones: a) x2 –bx=0; B) cx 2 –6x+1=0; en)

3. Resuelve la ecuación 3x-xy-2y=1:

una relativamente X ;
b) relativamente y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, sabiendo que el parámetro n toma solo valores enteros.

5. ¿Para qué valores de b la ecuación Tiene:

a) dos raíces
b) la única raíz?

opcion 2

1. Determinar el tipo de ecuación 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 en: a) c=-4 ; B) c=7; en) c=1 .

2. Resuelve las ecuaciones: a) y2+cy=0; B) ny2 –8y+2=0; en)

3. Resuelve la ecuación 6x-xy+2y=5:

una relativamente X ;
b) relativamente y .

4. Encuentra las raíces enteras de la ecuación nx 2 -22x+2n=0 , sabiendo que el parámetro n toma solo valores enteros.

5. ¿Para qué valores del parámetro a la ecuación? Tiene:

a) dos raíces
b) la única raíz?

respuestas

EN 1. 1. a) Ecuación lineal;
b) ecuación cuadrática incompleta; c) una ecuación cuadrática.
2. a) Si b=0, luego x=0; si b#0, luego x=0, x=b;
B) si cО (9;+Ґ ), entonces no hay raíces;
c) si a=–4 , entonces la ecuación pierde su significado; si a№ –4 , luego x=- a .
3. a) Si y=3, entonces no hay raíces; si);
B) a=–3, a=1.

Tareas adicionales

Resuelve las ecuaciones:

Literatura

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Sobre los parámetros desde el principio. - Tutor, nº 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein PI, Polonsky V.B., Yakir M.S. las condiciones necesarias en tareas con parámetros. – Kvant, nº 11/1991, pág. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. resolución de problemas, que contiene parámetros. Parte 2. - M., Perspectiva, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Quinientas catorce tareas con parámetros. - Volgogrado, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Tareas con parámetros. - M., Educación, 1986.

§ 1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias

En esta lección, analizaremos conceptos tales como una ecuación racional, una expresión racional, una expresión entera, una expresión fraccionaria. Considere la solución de ecuaciones racionales.

Una ecuación racional es una ecuación en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales.

Las expresiones racionales son:

Fraccionario.

Una expresión entera se compone de números, variables, potencias enteras utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división por un número distinto de cero.

Por ejemplo:

En las expresiones fraccionarias, existe una división por una variable o una expresión con una variable. Por ejemplo:

Una expresión fraccionaria no tiene sentido para todos los valores de las variables incluidas en ella. Por ejemplo, la expresión

en x = -9 no tiene sentido, porque en x = -9 el denominador tiende a cero.

Esto significa que una ecuación racional puede ser entera y fraccionaria.

Una ecuación racional entera es una ecuación racional en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones enteras.

Por ejemplo:

Una ecuación racional fraccionaria es una ecuación racional en la que los lados izquierdo o derecho son expresiones fraccionarias.

Por ejemplo:

§ 2 Solución de una ecuación racional completa

Considere la solución de una ecuación racional completa.

Por ejemplo:

Multiplica ambos lados de la ecuación por el menor común denominador denominadores de sus fracciones.

Para esto:

1. encontrar un denominador común para los denominadores 2, 3, 6. Es igual a 6;

2. encontrar un factor adicional para cada fracción. Para hacer esto, divide el común denominador 6 por cada denominador

multiplicador adicional para la fracción

multiplicador adicional para la fracción

3. multiplicar los numeradores de las fracciones por los factores adicionales que les corresponden. Así, obtenemos la ecuación

que es equivalente a esta ecuación

Abramos los paréntesis de la izquierda, movamos la parte derecha hacia la izquierda, cambiando el signo del término durante la transferencia al opuesto.

Damos términos similares del polinomio y obtenemos

Vemos que la ecuación es lineal.

Resolviéndolo, encontramos que x = 0.5.

§ 3 Solución de una ecuación racional fraccionaria

Considere la solución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo:

1. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones racionales incluidas en ella.

Encuentra el denominador común para los denominadores x + 7 y x - 1.

Es igual a su producto (x + 7)(x - 1).

2. Busquemos un factor adicional para cada fracción racional.

Para hacer esto, dividimos el común denominador (x + 7) (x - 1) por cada denominador. Multiplicador adicional para fracciones

es igual a x - 1,

multiplicador adicional para la fracción

es igual a x+7.

3. Multiplicar los numeradores de fracciones por sus correspondientes factores adicionales.

Obtenemos la ecuación (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), que es equivalente a esta ecuación

4.Izquierda y derecha multiplican el binomio por el binomio y obtienen la siguiente ecuación

5. Pasamos la parte derecha a la izquierda, cambiando el signo de cada término al pasar al contrario:

6. Presentamos miembros similares del polinomio:

7. Puedes dividir ambas partes por -1. Obtenemos una ecuación cuadrática:

8. Una vez resuelto, encontraremos las raíces.

Ya que en la ecuación

las partes izquierda y derecha son expresiones fraccionarias, y en expresiones fraccionarias, para algunos valores de las variables, el denominador puede desaparecer, entonces es necesario verificar si el común denominador no desaparece cuando se encuentran x1 y x2.

En x = -27 el común denominador (x + 7)(x - 1) no desaparece, en x = -1 el común denominador tampoco es cero.

Por lo tanto, ambas raíces -27 y -1 son raíces de la ecuación.

Al resolver una ecuación racional fraccionaria, es mejor indicar inmediatamente el área de valores permitidos. Elimina aquellos valores en los que el común denominador tiende a cero.

Considere otro ejemplo de resolución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación

Descomponemos el denominador de la fracción del lado derecho de la ecuación en factores

Obtenemos la ecuación

Encuentra un denominador común para los denominadores (x - 5), x, x (x - 5).

Será la expresión x (x - 5).

ahora busquemos el rango de valores admisibles de la ecuacion

Para hacer esto, igualamos el denominador común a cero x (x - 5) \u003d 0.

Obtenemos una ecuación, resolviendo cuál, encontramos que en x \u003d 0 o en x \u003d 5, el denominador común se desvanece.

Entonces x = 0 o x = 5 no pueden ser las raíces de nuestra ecuación.

Ahora puedes encontrar multiplicadores adicionales.

Multiplicador adicional para fracciones racionales

multiplicador adicional para fracciones

será (x - 5),

y el factor adicional de la fracción

Multiplicamos los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

Obtenemos la ecuación x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Abramos los corchetes a la izquierda y a la derecha, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Movamos los términos de derecha a izquierda cambiando el signo de los términos a mover:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Y después de traer términos similares, obtenemos la ecuación cuadrática x2 - 3x - 10 \u003d 0. Habiéndola resuelto, encontramos las raíces x1 \u003d -2; x2 = 5.

Pero ya hemos descubierto que en x = 5 el común denominador x(x - 5) desaparece. Por lo tanto, la raíz de nuestra ecuación

será x = -2.

§ 4 Breve resumen lección

Importante recordar:

Al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, debe hacer lo siguiente:

1. Encuentra el denominador común de las fracciones incluidas en la ecuación. Además, si los denominadores de las fracciones se pueden factorizar, factorícelos y luego encuentre el denominador común.

2. Multiplique ambos lados de la ecuación por un denominador común: encuentre factores adicionales, multiplique numeradores por factores adicionales.

3. Resuelva la ecuación completa resultante.

4. Excluir de sus raíces aquellas que lleven el común denominador a cero.

Lista de literatura usada:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Bajo la dirección editorial de Telyakovsky S.A. Álgebra: libro de texto. para 8 celdas. educación general instituciones - M.: Educación, 2013.
2. Mordkovich A.G. Álgebra. Grado 8: En dos partes. Parte 1: Proc. para educación general instituciones - M.: Mnemósine.
3. Rurukin A. N. Desarrollos de lecciones en álgebra: Grado 8. - M .: VAKO, 2010.
4. Álgebra grado 8: planes de lecciones según el libro de texto de Yu.N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T. L. Afanasiev, Los Ángeles Tapilina. - Volgogrado: Profesor, 2005.

Presentación y lección sobre el tema: "Ecuaciones racionales. Algoritmo y ejemplos para resolver ecuaciones racionales".

Materiales adicionales
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Introducción a las ecuaciones irracionales

Chicos, hemos aprendido a resolver ecuaciones cuadráticas. Pero las matemáticas no se limitan a ellos. Hoy aprenderemos a resolver ecuaciones racionales. El concepto de ecuaciones racionales es en muchos aspectos similar al concepto numeros racionales. Solo que además de los números, ahora hemos introducido alguna variable $x$. Y así obtenemos una expresión en la que hay operaciones de suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia entera.

Sea $r(x)$ expresión racional. Tal expresión puede ser un polinomio simple en la variable $x$ o una razón de polinomios (se introduce la operación de división, como para los números racionales).
La ecuación $r(x)=0$ se llama ecuación racional.
Cualquier ecuación de la forma $p(x)=q(x)$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son expresiones racionales, también será ecuación racional.

Considere ejemplos de resolución de ecuaciones racionales.

Ejemplo 1
Resuelve la ecuación: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Solución.
Muevamos todas las expresiones al lado izquierdo: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Si el lado izquierdo de la ecuación fuera representado números ordinarios, entonces traeríamos dos fracciones a un denominador común.
Hagamos esto: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Obtuvimos la ecuación: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Una fracción es cero si y solo si el numerador de la fracción es cero y el denominador es distinto de cero. Luego iguale por separado el numerador a cero y encuentre las raíces del numerador.
$3(x^2+2x-3)=0$ o $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Ahora comprobemos el denominador de la fracción: $(x-3)*x≠0$.
El producto de dos números es igual a cero cuando al menos uno de estos números es igual a cero. Entonces: $x≠0$ o $x-3≠0$.
$x≠0$ o $x≠3$.
Las raíces obtenidas en el numerador y el denominador no coinciden. Entonces, en respuesta, escribimos ambas raíces del numerador.
Respuesta: $x=1$ o $x=-3$.

Si de repente, una de las raíces del numerador coincidiera con la raíz del denominador, entonces debería excluirse. ¡Tales raíces se llaman extrañas!

Algoritmo para resolver ecuaciones racionales:

1. Todas las expresiones contenidas en la ecuación deben transferirse a lado izquierdo del signo igual.
2. Convierte esta parte de la ecuación a fracción algebraica: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Igualar el numerador resultante a cero, es decir, resolver la ecuación $p(x)=0$.
4. Iguale el denominador a cero y resuelva la ecuación resultante. Si las raíces del denominador coincidieron con las raíces del numerador, entonces deben excluirse de la respuesta.

Ejemplo 2
Resuelve la ecuación: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Solución.
Resolveremos según los puntos del algoritmo.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ fracción(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Igualar el numerador a cero: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Igualar el denominador a cero:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ y $x=-1$.
Una de las raíces $x=1$ coincidió con la raíz del numerador, entonces no lo escribimos en respuesta.
Respuesta: $x=-1$.

Es conveniente resolver ecuaciones racionales utilizando el método de cambio de variables. Vamos a demostrarlo.

Ejemplo 3
Resuelve la ecuación: $x^4+12x^2-64=0$.

Solución.
Introducimos un reemplazo: $t=x^2$.
Entonces nuestra ecuación tomará la forma:
$t^2+12t-64=0$ es una ecuación cuadrática ordinaria.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
Introduzcamos un reemplazo inverso: $x^2=4$ o $x^2=-16$.
Las raíces de la primera ecuación son un par de números $x=±2$. El segundo no tiene raíces.
Respuesta: $x=±2$.

Ejemplo 4
Resuelve la ecuación: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Solución.
Introduzcamos una nueva variable: $t=x^2+x+1$.
Entonces la ecuación tomará la forma: $t=\frac(15)(t+2)$.
A continuación, actuaremos de acuerdo con el algoritmo.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - las raíces no coinciden.
Introducimos una sustitución inversa.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Resolvamos cada ecuación por separado:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - no raíces.
Y la segunda ecuación: $x^2+x-2=0$.
Las raíces de esta ecuación serán los números $x=-2$ y $x=1$.
Respuesta: $x=-2$ y $x=1$.

Ejemplo 5
Resuelve la ecuación: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Solución.
Introducimos un reemplazo: $t=x+\frac(1)(x)$.
Luego:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ o $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Obtuvimos la ecuación: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Las raíces de esta ecuación son el par:
$t=-3$ y $t=2$.
Introduzcamos la sustitución inversa:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Lo decidiremos por separado.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Resolvamos la segunda ecuación:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
La raíz de esta ecuación es el número $x=1$.
Respuesta: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Tareas para solución independiente

Resolver ecuaciones:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.