1.Funcion exponencial es una función de la forma y(x) =ax, dependiendo del exponente x, con un valor constante de la base del grado a, donde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R es el conjunto de los números reales) .
Considerar gráfica de la función si la base no cumple la condición: a>0
a) un< 0
si un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
un = -2
Si a = 0, la función y = está definida y tiene valor constante 0
c) un \u003d 1
Si a = 1 - la función y = está definida y tiene un valor constante de 1
Dominio de función (OOF) Área de valores de función permitidos (ODZ) 3. Ceros de la función (y = 0) 4. Puntos de intersección con el eje y (x = 0) 5. Función creciente, decreciente Si , entonces la función f(x) aumenta 6. Funciones pares e impares La función y = no es simétrica respecto al eje 0y y respecto al origen, por lo tanto no es ni par ni impar. (función general) 7. La función y \u003d no tiene extremos 8. Propiedades de un grado con exponente real: Sea a > 0; a≠1 Entonces para xϵR; yϵR: Propiedades de monotonicidad de grado: si, entonces Si a > 0, entonces . 9. Ubicación relativa de la función Cuanto mayor sea la base a, más cerca de los ejes x e y a > 1, a = 20 Ejemplo 1 Primero presentamos la definición de una función exponencial. La función exponencial $f\left(x\right)=a^x$, donde $a >1$. Introduzcamos las propiedades de la función exponencial, para $a >1$. \ \[sin raíces\] \ Intersección con ejes de coordenadas. La función no interseca el eje $Ox$, pero interseca el eje $Oy$ en el punto $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[sin raíces\] \ Gráfico (Fig. 1). Figura 1. Gráfica de la función $f\left(x\right)=a^x,\ para \ a >1$. Introduzcamos las propiedades de la función exponencial, para $0 El dominio de definición son todos los números reales. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- la función no es ni par ni impar. $f(x)$ es continua en todo el dominio de definición. El rango de valor es el intervalo $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \[sin raíces\] \ \[sin raíces\] \ La función es convexa en todo el dominio de definición. Comportamiento en los extremos del alcance: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Gráfico (Fig. 2). Explora y traza la función $y=2^x+3$. Solución. Hagamos un estudio sobre el ejemplo del esquema anterior: El dominio de definición son todos los números reales. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- la función no es ni par ni impar. $f(x)$ es continua en todo el dominio de definición. El rango de valor es el intervalo $(3,+\infty)$. $f"\izquierda(x\derecha)=(\izquierda(2^x+3\derecha))"=2^xln2>0$ La función crece en todo el dominio de definición. $f(x)\ge 0$ sobre todo el dominio de definición. Intersección con ejes de coordenadas. La función no corta el eje $Ox$, pero corta el eje $Oy$ en el punto ($0,4)$ $f""\izquierda(x\derecha)=(\izquierda(2^xln2\derecha))"=2^x(ln)^22>0$ La función es convexa en todo el dominio de definición. Comportamiento en los extremos del alcance: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Gráfico (Fig. 3). Figura 3. Gráfica de la función $f\left(x\right)=2^x+3$ Concentración de la atención: Definición. Función
especie se llama funcion exponencial
. Comentario. Exclusión básica a números 0; 1 y valores negativos a explicado por las siguientes circunstancias: La expresión analítica en sí una x en estos casos, conserva su significado y se puede encontrar en la resolución de problemas. Por ejemplo, para la expresión x y punto x = 1; y = 1
entra en el rango de valores aceptables. Construya gráficas de funciones: y . Propiedades de la función exponencial Cuando se llena la tabla, las tareas se resuelven en paralelo con el llenado. Tarea número 1. (Encontrar el dominio de la función). Qué valores de argumento son válidos para las funciones: Tarea número 2. (Encontrar el rango de la función). La figura muestra la gráfica de una función. Especifique el alcance y el alcance de la función: Tarea número 3. (Indicar los intervalos de comparación con la unidad). Compara cada una de las siguientes potencias con una: Tarea número 4. (Estudiar la función de monotonicidad). Comparar números reales por magnitud metro y norte Si: Tarea número 5. (Estudiar la función de monotonicidad). Saca una conclusión sobre la base. a, Si: y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x ¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x<
0? En un plano de coordenadas, se trazan gráficos de funciones: y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x . ¿Cómo son las gráficas de funciones exponenciales entre sí para x > 0, x = 0, x<
0? Número mi obras de teatro papel especial v Análisis matemático. Funcion exponencial
con fondo mi, llamado el exponente
y denotado y = e x. Primeros signos números
mi Fácil de recordar: dos, una coma, siete, el año del nacimiento de León Tolstoi: dos veces, cuarenta y cinco, noventa, cuarenta y cinco.
Tarea: Kolmogorov, página 35; nº 445-447; 451; 453. Repita el algoritmo para construir gráficos de funciones que contengan una variable bajo el signo del módulo. Encuentre el valor de la expresión para varios valores racionales de la variable x=2; 0; -3; - Tenga en cuenta que no importa qué número sustituyamos en lugar de x, siempre puede encontrar el valor expresión dada. Por lo tanto, estamos considerando una función exponencial (y es igual a tres elevado a x) definida en el conjunto numeros racionales: . Construyamos un gráfico de esta función haciendo una tabla de sus valores. gastemos línea suave pasando por estos puntos (Fig. 1) Usando el gráfico de esta función, considere sus propiedades: 3. Aumenta en toda el área de definición. 8. La función es convexa hacia abajo. Si en un sistema de coordenadas para construir gráficos de funciones; y=(y es igual a dos elevado a x, y es igual a cinco elevado a x, y es igual a siete elevado a x), puedes ver que tienen las mismas propiedades que y=(y es igual a tres elevado a x) ( Fig. .2), es decir, todas las funciones de la forma y = (y es igual a a elevado a x, con a mayor que uno) tendrán tales propiedades Grafiquemos la función: 1. Elaborar una tabla de sus valores. Marcamos los puntos obtenidos en el plano de coordenadas. Dibujemos una línea suave que pase por estos puntos (Fig. 3). Usando la gráfica de esta función, indicamos sus propiedades: 1. El dominio de definición es el conjunto de todos los números reales. 2. No es ni par ni impar. 3. Disminuye en todo el dominio de definición. 4. No tiene ni el valor más grande ni el más pequeño. 5. Limitado desde abajo, pero no limitado desde arriba. 6. Continuo en todo el dominio de definición. 7. rango de valor de cero a más infinito. 8. La función es convexa hacia abajo. Del mismo modo, si en un sistema de coordenadas para construir gráficos de funciones; y=(y es igual a un segundo a la potencia x, y es igual a un quinto a la potencia x, y es igual a un séptimo a la potencia x), puedes ver que tienen las mismas propiedades que y=(y es igual a un tercio a la potencia potencia de x) x) (Fig. 4), es decir, todas las funciones de la forma y \u003d (y es igual a uno dividido por a a la potencia de x, con mayor que cero pero menor que uno) tener tales propiedades Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas esto quiere decir que las gráficas de las funciones y=y= también serán simétricas (y es igual a a elevado a x e y igual a uno dividido por a elevado a x) para el mismo valor de a. Resumimos lo dicho dando una definición de función exponencial e indicando sus principales propiedades: Definición: Una función de la forma y \u003d, donde (y es igual a a elevado a x, donde a es positivo y diferente de uno), se denomina función exponencial. Es necesario recordar las diferencias entre la función exponencial y= y la función potencia y=, a=2,3,4,…. tanto auditiva como visualmente. La función exponencial X es un grado y función de poder X es la base. Ejemplo 1: Resuelve la ecuación (tres elevado a x es igual a nueve) (y es igual a tres elevado a x e y es igual a nueve) fig.7 Tenga en cuenta que tienen un punto común M (2; 9) (em con coordenadas dos; nueve), lo que significa que la abscisa del punto será la raíz de esta ecuación. Es decir, la ecuación tiene una sola raíz x = 2. Ejemplo 2: Resuelve la ecuación En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficos de la función y \u003d (y es igual a cinco elevado a xey es igual a uno veinticinco) Fig.8. Los gráficos se cruzan en un punto T (-2; (te con coordenadas menos dos; uno vigésimo quinto). Por lo tanto, la raíz de la ecuación es x \u003d -2 (número menos dos). Ejemplo 3: Resuelve la desigualdad En un sistema de coordenadas, construimos dos gráficos de la función y \u003d (y es igual a tres elevado a xey es igual a veintisiete). Fig.9 La gráfica de la función se encuentra arriba de la gráfica de la función y=cuando x Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo (de menos infinito a tres) Ejemplo 4: Resuelve la desigualdad En un sistema de coordenadas, construiremos dos gráficos de la función y \u003d (y es igual a un cuarto a la potencia de xey es igual a dieciséis). (Figura 10). Los gráficos se intersecan en un punto K (-2;16). Esto significa que la solución a la desigualdad es el intervalo (-2; (de menos dos a más infinito), porque el gráfico de la función y \u003d se encuentra debajo del gráfico de la función en x Nuestro razonamiento nos permite verificar la validez de los siguientes teoremas: Terem 1: Si es cierto si y solo si m=n. Teorema 2: Si es verdadero si y solo si, entonces la desigualdad es verdadera si y solo si (Fig. *) Teorema 4: Si es verdadera si y solo si (Fig.**), la desigualdad es verdadera si y solo si Teorema 3: Si es verdadera si y solo si m=n. Ejemplo 5: Graficar la función y= Modificamos la función aplicando la propiedad del grado y= Construyamos sistema adicional coordenadas y en nuevo sistema coordenadas, trazaremos la función y \u003d (y es igual a dos a la potencia de x) Fig.11. Ejemplo 6: Resuelve la ecuación En un sistema de coordenadas, construimos dos gráficos de la función y \u003d (Y es igual a siete elevado a x e Y es igual a ocho menos x) Fig.12. Los gráficos se intersecan en un punto E (1; (e con coordenadas uno; siete). Por lo tanto, la raíz de la ecuación es x = 1 (x igual a uno). Ejemplo 7: Resuelve la desigualdad En un sistema de coordenadas, construimos dos gráficos de la función y \u003d (Y es igual a un cuarto elevado a x e Y es igual a x más cinco). La gráfica de la función y= se encuentra debajo de la gráfica de la función y=x+5 en, la solución a la desigualdad es el intervalo x (de menos uno a más infinito).
2. Considere la función exponencial con más detalle:
0
Si , entonces la función f(x) decrece
Función y= , en 0
Esto se sigue de las propiedades de monotonicidad de un grado con un exponente real.
b > 0; b≠1
Por ejemplo:
La función exponencial es continua en cualquier punto ϵ R.
Si a0, entonces la función exponencial toma una forma cercana a y = 0.
Si a1, más allá de los ejes x e y, y el gráfico toma la forma cercana a la función y \u003d 1.
Trazar y=
La función exponencial $f\left(x\right)=a^x$, donde $0
Un ejemplo de una tarea para construir una función exponencial
Gráfica de una función exponencial
y= a X, un > 1
y= a X , 0< a < 1
Propiedades de la función exponencial
y= a X, un > 1
y= a X , 0< a <
1
2. Rango de valores de función
3. Intervalos de comparación con la unidad
en X> 0, un X
>
1
en X > 0, 0< a X < 1
en X < 0, 0< a X < 1
en X < 0, a X
>
1
4. Par, impar.
La función no es ni par ni impar (función general).
5. Monotonía.
aumenta monótonamente por R
disminuye monótonamente por R
6. Extremos.
La función exponencial no tiene extremos.
7.Asíntota
Eje O X es una asíntota horizontal.
8. Para cualquier valor real X y y;
Número
una de las constantes más importantes en matemáticas. Por definición, es igual al límite de la sucesión
con ilimitado
creciente
. Designacion mi introducido Leonhard Euler
en 1736. Calculó los primeros 23 dígitos de este número en notación decimal, y el número en sí recibió el nombre de Napier "número no par".
