Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que Aquiles corre esta distancia, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... Análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.
Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. DESDE punto fisico A simple vista, parece que el tiempo se ralentiza hasta que se detiene por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.
Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre con velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:
En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no se pueden usar para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (naturalmente, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). en que me quiero enfocar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades de exploración.
miércoles, 4 de julio de 2018
Muy bien las diferencias entre set y multiset se describen en Wikipedia. Miramos.
Como puede ver, "el conjunto no puede tener dos elementos idénticos", pero si hay elementos idénticos en el conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca comprenderán tal lógica del absurdo. Este es el nivel de los loros que hablan y los monos entrenados, en los que la mente está ausente de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como formadores ordinarios, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente durante las pruebas del puente. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
Por más que los matemáticos se escondan detrás de la frase "atención, estoy en la casa", o más bien "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Aplicable teoría matemática conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien las matemáticas y ahora estamos sentados en la caja, pagando salarios. Aquí un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos la cantidad total y la colocamos en nuestra mesa en diferentes montones, en los que ponemos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su "conjunto de salarios matemáticos". Le explicamos las matemáticas de que recibirá el resto de billetes sólo cuando demuestre que el conjunto sin elementos idénticos no es igual al conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde la diversión comienza.
En primer lugar, la lógica de los diputados funcionará: "¡puedes aplicarlo a otros, pero no a mí!" Además, comenzarán las garantías de que en los billetes de la misma denominación existen números de billetes diferentes, por lo que no pueden considerarse elementos idénticos. Bueno, contamos el salario en monedas, no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar convulsivamente la física: diferentes monedas disponible cantidad diferente la suciedad, la estructura cristalina y la disposición atómica de cada moneda es única...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está el límite más allá del cual los elementos de un conjunto múltiple se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia aquí ni siquiera está cerca.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma área de campo. El área de los campos es la misma, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si consideramos los nombres de los mismos estadios, obtenemos mucho, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un conjunto múltiple. ¿Cuánta razón? Y aquí el matemático-chamán-shuller saca un as de triunfo de la manga y comienza a hablarnos sobre un set o un multiset. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo los chamanes modernos operan con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta con responder una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Les mostraré, sin ningún "concebible como no un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandereta, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas se nos enseña a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarlo, pero los chamanes son para eso, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario, los chamanes simplemente se extinguirán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". ella no existe No existe una fórmula en matemáticas mediante la cual puedas encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje de las matemáticas, la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo elementalmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número dado. Entonces, digamos que tenemos el número 12345. ¿Qué se necesita hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escriba el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo gráfico numérico. Esto no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen recibida en varias imágenes que contienen números separados. Cortar una imagen no es una operación matemática.
3. Convierta caracteres gráficos individuales en números. Esto no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora eso es matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los "cursos de corte y costura" de los chamanes utilizados por los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde el punto de vista de las matemáticas, no importa en qué sistema numérico escribimos el número. Entonces, en diferentes sistemas cómputo, la suma de las cifras de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con un gran número de 12345, no quiero engañar a mi cabeza, considere el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binarios, octales, decimales y hexadecimales. No consideraremos cada paso bajo un microscopio, ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos, la suma de los dígitos del mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si obtuvieras resultados completamente diferentes al determinar el área de un rectángulo en metros y centímetros.
El cero en todos los sistemas numéricos tiene el mismo aspecto y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que . Una pregunta para los matemáticos: ¿cómo se denota en matemáticas aquello que no es un número? ¿Qué, para los matemáticos, no existe nada más que números? Para los chamanes, puedo permitir esto, pero para los científicos, no. La realidad no se trata solo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de los números. Porque no podemos comparar números con diferentes unidades mediciones. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a resultados diferentes después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una acción matemática no depende del valor del número, la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Ay! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para estudiar la santidad indefinida de las almas al ascender al cielo! Nimbus arriba y flecha arriba. ¿Qué otro baño?
Femenino... Un halo en la parte superior y una flecha hacia abajo es masculino.
Si tiene una obra de arte de diseño de este tipo delante de sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo por ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grados). Y no considero tonta a esta chica que no sabe física. Ella solo tiene un estereotipo de arco de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. Aquí hay un ejemplo.
1A no es "menos cuatro grados" o "una a". Este es el "hombre cagando" o el número "veintiséis" en el sistema numérico hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente el número y la letra como un símbolo gráfico.
Multiplicación de fracciones ordinarias
Considere un ejemplo.
Que haya $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en el plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.
Multiplicar dos fracciones comunes
Regla para multiplicar fracciones ordinarias:
El resultado de multiplicar una fracción por otra fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones multiplicadas, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1
Multiplica las fracciones ordinarias $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.
Solución.
Usemos la regla de la multiplicación de fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Responder:$\frac(15)(77)$
Si, como resultado de la multiplicación de fracciones, resulta cancelable o no fracción propia, entonces necesitas simplificarlo.
Ejemplo 2
Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.
Solución.
Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (sobre la base de la división por $3$. Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Solución corta:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Responder:$\frac(1)(24).$
Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores para encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores primos, después de lo cual se reducen los factores repetidos y se encuentra el resultado.
Ejemplo 3
Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares por los números $2$, $3$ y $5$. Descomponemos el numerador y el denominador en factores simples y hacemos la reducción:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Responder:$\frac(1)(20).$
Al multiplicar fracciones, se puede aplicar la ley conmutativa:
Multiplicar una fracción por un número natural
regla de multiplicación fracción común sobre el número natural:
El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:
donde $\frac(a)(b)$ es una fracción común, $n$ es un número natural.
Ejemplo 4
Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.
Solución.
Usemos la regla de multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Responder:$\frac(12)(17).$
No te olvides de comprobar el resultado de la multiplicación por la contractibilidad de una fracción o por una fracción impropia.
Ejemplo 5
Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por $3$.
Solución.
Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Por el criterio de división por el número $3$), se puede determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
El resultado es una fracción impropia. Tomemos la parte entera:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Solución corta:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (cinco)\]
También fue posible reducir fracciones reemplazando los números en el numerador y el denominador con sus expansiones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Responder:$1\frac(2)(5).$
Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes usar la ley conmutativa:
División de fracciones ordinarias
La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la que debes multiplicar una fracción conocida para obtener un producto conocido de dos fracciones.
División de dos fracciones comunes
La regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y el denominador de la fracción resultante se pueden descomponer en factores simples y reducir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Responder:$1\frac(5)(9).$
Multiplicar un número entero por una fracción es una tarea sencilla. Pero hay sutilezas que probablemente entendiste en la escuela, pero que desde entonces has olvidado.
Cómo multiplicar un número entero por una fracción: algunos términos
Si recuerdas qué son el numerador y el denominador y en qué se diferencia una fracción propia de una impropia, sáltate este párrafo. Es para aquellos que han olvidado por completo la teoría.
el numerador es parte superior fracciones son lo que dividimos. El denominador es el de abajo. Esto es lo que compartimos.
Una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador. Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.
Cómo multiplicar un número entero por una fracción
La regla para multiplicar un número entero por una fracción es muy simple: multiplicamos el numerador por el número entero y no tocamos el denominador. Por ejemplo: dos multiplicado por un quinto - obtenemos dos quintos. Cuatro por tres dieciseisavos es doce dieciseisavos.
Reducción
En el segundo ejemplo, la fracción resultante se puede reducir.
¿Qué significa? Tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador de esta fracción son divisibles por cuatro. Divide ambos números por común divisor y se llama - reducir la fracción. Obtenemos tres cuartos.
fracciones impropias
Pero supongamos que multiplicamos cuatro por dos quintos. Tengo ocho quintos. Esta fracción impropia.
Debe ser llevado a forma correcta. Para hacer esto, debe seleccionar una parte completa de ella.
Aquí necesitas usar la división con un resto. Obtenemos uno y tres en el resto.
Un entero y tres quintos es nuestra fracción propia.
Corregir treinta y cinco octavos es un poco más difícil.El número más cercano a treinta y siete que es divisible por ocho es treinta y dos. Cuando se divide, obtenemos cuatro. Restamos treinta y dos de treinta y cinco, obtenemos tres. Resultado: cuatro enteros y tres octavos.
Igualdad del numerador y denominador. Y aquí todo es muy simple y hermoso. Cuando el numerador y el denominador son iguales, el resultado es solo uno.
) y el denominador por el denominador (obtenemos el denominador del producto).
Fórmula de multiplicación de fracciones:
Por ejemplo:
Antes de proceder con la multiplicación de numeradores y denominadores, es necesario verificar la posibilidad de reducción de fracciones. Si logras reducir la fracción, entonces te será más fácil seguir haciendo cálculos.
División de una fracción ordinaria por una fracción.
División de fracciones que involucran un número natural.
No es tan aterrador como parece. Como en el caso de la suma, convertimos un número entero en una fracción con una unidad en el denominador. Por ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Reglas para multiplicar fracciones (mixtas):
- convertir fracciones mixtas a impropias;
- multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones;
- reducimos la fracción;
- si obtenemos una fracción impropia, entonces convertimos la fracción impropia en una mixta.
¡Nota! Multiplicar fracción mixta a otra fracción mixta, primero debe llevarlas a la forma de fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla de multiplicación para fracciones ordinarias.
La segunda forma de multiplicar una fracción por un número natural.
Es más conveniente usar el segundo método de multiplicar una fracción ordinaria por un número.
¡Nota! Para multiplicar una fracción por un número natural, es necesario dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador sin cambios.
Del ejemplo anterior, está claro que esta opción es más conveniente cuando el denominador de una fracción se divide sin resto por un número natural.
Fracciones multinivel.
En la escuela secundaria, a menudo se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:
Para llevar dicha fracción a su forma habitual, se usa la división a través de 2 puntos:
¡Nota! Al dividir fracciones, el orden de división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.
Nota, por ejemplo:
Al dividir uno entre cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, solo que invertida:
Consejos prácticos para multiplicar y dividir fracciones:
1. Lo más importante al trabajar con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención. Haga todos los cálculos con cuidado y precisión, concentración y claridad. Es mejor escribir algunas líneas adicionales en un borrador que confundirse con los cálculos en la cabeza.
2. En tareas con diferentes tipos fracciones - ir a la forma de fracciones ordinarias.
3. Reducimos todas las fracciones hasta que ya no sea posible reducir.
4. Varios pisos expresiones fraccionarias traemos a la forma de los ordinarios, usando la división a través de 2 puntos.
5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.
Contenido de la lecciónSumar fracciones con los mismos denominadores
La suma de fracciones es de dos tipos:
- Sumar fracciones con los mismos denominadores
- Sumar fracciones con diferente denominador
Comencemos con la suma de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, vamos a sumar las fracciones y . Sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si le agregas pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2 Sumar fracciones y .
La respuesta es una fracción impropia. Si llega el final de la tarea, es costumbre deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella. En nuestro caso, la parte entera se asigna fácilmente: dos dividido por dos es igual a uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en dos partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene una pizza entera:
Ejemplo 3. Sumar fracciones y .
Nuevamente, agregue los numeradores y deje el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene pizzas:
Ejemplo 4 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, sumar fracciones con los mismos denominadores no es difícil. Es suficiente entender las siguientes reglas:
- Para sumar fracciones con el mismo denominador, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;
Sumar fracciones con diferente denominador
Ahora vamos a aprender a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de esas fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar inmediatamente, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que el resto de los métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método radica en que se busca el primero (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional. Hacen lo mismo con la segunda fracción: se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene el segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones que tenían distintos denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones.
Ejemplo 1. suma fracciones y
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción y obtenemos el primer factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 6 entre 3, obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer factor adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Divida 6 entre 2, obtenemos 3.
El número resultante 3 es el segundo factor adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Ahora estamos listos para agregar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales:
Fíjate bien a lo que hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
Así termina el ejemplo. Para agregar resulta.
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si le agregas pizzas a una pizza, obtienes una pizza entera y otro sexto de pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar usando una imagen. Llevando las fracciones y a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por las mismas rebanadas de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de seis). Juntando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que hemos resaltado la parte entera en ella. El resultado fue (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos pintado ejemplo dado demasiado detallado EN Instituciones educacionales no se acostumbra escribir de manera tan detallada. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Estando en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también hay reverso medallas Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces las preguntas del tipo “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las siguientes instrucciones paso a paso:
- Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
- Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción;
- Multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
- Suma fracciones que tienen los mismos denominadores;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
.
Usemos las instrucciones anteriores.
Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones
Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2, obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 por 3, obtenemos 4. Obtuvimos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Obtuvimos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por tus factores adicionales
Multiplicamos los numeradores y denominadores por nuestros factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones que tienen el mismo denominador
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Queda por sumar estas fracciones. Agregar:
La suma no cabía en una línea, así que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se traslada a la línea siguiente y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al comienzo de una nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione la parte entera en ella
Nuestra respuesta es una fracción impropia. Debemos destacar toda la parte de ella. Resaltamos:
tengo una respuesta
Resta de fracciones con el mismo denominador
Hay dos tipos de resta de fracciones:
- Resta de fracciones con el mismo denominador
- Resta de fracciones con diferente denominador
Primero, aprendamos a restar fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.
Por ejemplo, busquemos el valor de la expresión . Para resolver este ejemplo, es necesario restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2 Halla el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, reste el numerador de la segunda fracción y deje el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción, debe restar los numeradores de las fracciones restantes:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Es suficiente entender las siguientes reglas:
- Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces debe seleccionar la parte completa.
Resta de fracciones con diferente denominador
Por ejemplo, una fracción se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero una fracción no se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra de acuerdo con el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe sobre la primera fracción. De igual forma, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, el cual se escribe sobre la segunda fracción.
Luego, las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones.
Ejemplo 1 Encuentra el valor de una expresión:
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes llevarlas al mismo denominador (común).
Primero, encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 12 entre 3, obtenemos 4. Escribimos el cuatro sobre la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divida 12 entre 4, obtenemos 3. Escriba un triple sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
tengo una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas.
Esta es la versión detallada de la solución. Estando en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de una manera más corta. Tal solución se vería así:
La reducción de fracciones ya un denominador común también se puede representar usando una imagen. Llevando estas fracciones a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez estarán divididas en las mismas fracciones (reducidas al mismo denominador):
El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes llevarlas al mismo denominador (común).
Encuentra el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Divida 30 entre 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Al dividir 30 entre 3, obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividiendo 30 entre 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que movemos la continuación a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción correcta, y todo parece encajarnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más fácil. ¿Qué se puede hacer? Puedes reducir esta fracción.
Para reducir una fracción, necesitas dividir su numerador y denominador por (mcd) los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el MCD de los números 20 y 30:
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y el denominador de la fracción por el MCD encontrado, es decir, por 10
tengo una respuesta
Multiplicar una fracción por un número
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por este número y dejar el mismo denominador.
Ejemplo 1. Multiplica la fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1
La entrada puede entenderse como tomando la mitad 1 vez. Por ejemplo, si tomas pizza 1 vez, obtienes pizza
De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicando y el multiplicador se intercambian, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta entrada puede entenderse como tomando la mitad de la unidad. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomamos la mitad, entonces tendremos pizza:
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4
La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:
La expresión se puede entender como tomando dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas pizzas 4 veces, obtienes dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador en lugares, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta es una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella.
Ejemplo 1 Halla el valor de la expresión.
Obtuve una respuesta. Es deseable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Conseguiremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:
Una rebanada de esta pizza y las dos rebanadas que tomamos tendrán las mismas dimensiones:
En otras palabras, estamos hablando del mismo tamaño de pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta resultó ser una fracción correcta, pero será buena si se reduce. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el máximo común divisor (MCD) de los números 105 y 450.
Entonces, encontremos el MCD de los números 105 y 450:
Ahora dividimos el numerador y el denominador de nuestra respuesta al MCD que ahora hemos encontrado, es decir, por 15
Representar un número entero como una fracción
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como . De esto, cinco no cambiará su significado, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y esto, como sabes, es igual a cinco:
números inversos
Ahora nos familiarizaremos con tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al númeroa es el número que, cuando se multiplica pora da una unidad.
Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable a número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es el número que, cuando se multiplica por 5 da una unidad.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé como resultado uno? Resulta que puedes. Representemos cinco como una fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, solo que invertida:
¿Cuál será el resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número, ya que al multiplicar 5 por uno se obtiene uno.
El recíproco también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente darle la vuelta.
División de una fracción por un número
Digamos que tenemos media pizza:
Dividámoslo a partes iguales entre dos. ¿Cuántas pizzas recibirá cada uno?
Se puede observar que después de partir la mitad de la pizza, se obtuvieron dos partes iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.
La división de fracciones se realiza mediante recíprocos. números inversos le permite reemplazar la división con la multiplicación.
Para dividir una fracción por un número, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor.
Usando esta regla, escribiremos la división de nuestra mitad de la pizza en dos partes.
Entonces, necesitas dividir la fracción por el número 2. Aquí el dividendo es una fracción y el divisor es 2.
Para dividir una fracción por el número 2, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor 2. El recíproco del divisor 2 es una fracción. entonces tienes que multiplicar por