La regla para dividir fracciones decimales entre números naturales.
Cuatro juguetes idénticos cuestan 921 rublos 20 kopeks en total. ¿Cuánto cuesta un juguete (ver Fig. 1)?
Arroz. 1. Ilustración para el problema
Solución
Para encontrar el costo de un juguete, debe dividir esta cantidad por cuatro. Convirtamos la cantidad a kopeks:
Respuesta: el costo de un juguete es de 23 030 kopeks, es decir, 230 rublos 30 kopeks, o 230,3 rublos.
Puede resolver este problema sin convertir rublos en kopeks, es decir, dividir decimal sobre el número natural: .
Para dividir una fracción decimal por un número natural, debe dividir la fracción por este número, como se dividen los números naturales, y poner una coma privada cuando termine la división de la parte entera.
Dividimos en una columna como dividimos números naturales. Después de demoler el número 2 (el número de décimos es el primer dígito después del punto decimal en el registro del dividendo 921,20), ponemos una coma en el cociente y continuamos con la división:
Respuesta: 230,3 rublos.
Dividimos en una columna como dividimos números naturales. Después de que anotemos el número 6 (el número de décimos es el número que sigue al punto decimal en el registro del dividendo 437,6), ponemos una coma en el cociente y continuamos con la división:
Si el dividendo es menor que el divisor, entonces el cociente comenzará desde cero.
1 no es divisible por 19, entonces ponemos cero en el cociente. Se acabó la división de la parte entera, en el privado ponemos una coma. Derribamos 7. 17 no es divisible por 19, en privado escribimos cero. Derribamos 6 y continuamos la división:
Dividimos como dividimos números naturales. En el cociente, ponemos una coma tan pronto como eliminamos 8, el primer dígito después del punto decimal en el dividendo 74.8. Sigamos con la división. Al restar, obtenemos 8, pero la división no ha terminado. Sabemos que se pueden agregar ceros al final de una fracción decimal; esto no cambiará el valor de la fracción. Asignamos cero y dividimos 80 por 10. Obtenemos 8: la división ha terminado.
Para dividir una fracción decimal por 10, 100, 1000, etc., debe mover la coma en esta fracción tantos dígitos hacia la izquierda como ceros haya después de uno en el divisor.
En esta lección, aprendimos a dividir una fracción decimal entre un número natural. Consideramos una variante con un número natural ordinario, así como una variante en la que se produce la división por una unidad de bits (10, 100, 1000, etc.).
Resuelve las ecuaciones:
Encontrar divisor desconocido, es necesario dividir el dividendo por el cociente. Es decir .
Dividimos en una columna. Después de demoler el número 4 (el número de décimos es el primer dígito después del punto decimal en el registro del dividendo 134,4), ponemos una coma en el cociente y continuamos con la división:
cada parte.
Solución. Para resolver el problema, expresemos la longitud de la cinta en decímetros: 19,2 m = 192 dm. Pero 192: 8 = 24. Por lo tanto, la longitud de cada parte es de 24 dm,
es decir, 2,4 m.Si multiplicamos 2,4 por 8, obtenemos 19,2. Entonces 2.4 es el cociente de 19.2 dividido por 8.
Escriben: 19,2: 8 = 2,4.
La misma respuesta se puede obtener sin convertir metros a decímetros. Para hacer esto, debes dividir 19.2 entre 8, ignorando la coma, y poner una coma en el cociente cuando termine la división de la parte entera:
Dividir una fracción decimal por un número natural significa encontrar una fracción que, al ser multiplicada por este número natural, dé el dividendo.
Para dividir un decimal entre un número natural, necesitas:
1) dividir la fracción por este número, ignorando la coma;
2) poner una coma en privado cuando termina la división de la parte entera;
Si la parte entera es menor que el divisor, entonces el cociente parte de cero enteros:
Divide 96,1 entre 10. Si multiplicas el cociente por 10, deberías obtener 96,1 nuevamente.
En otras palabras, con la ayuda de la división, una fracción ordinaria se convierte en un decimal.
Ejemplo. Vamos a convertir la fracción a un decimal.
Solución. La fracción es el cociente de 3 dividido por 4. Al dividir 3 por 4, obtenemos la fracción decimal 0,75. Por lo tanto, = 0,75.
¿Qué significa dividir un decimal por un número natural?
¿Cómo se divide un decimal por un número natural?
¿Cómo dividir un decimal por 10, 100, 1000?
¿Cómo convertir una fracción común a un decimal?
1340. Realizar división:
a) 20,7: 9;
b) 243,2: 8;
c) 88.298: 7;
d) 772,8: 12;
e) 93,15: 23;
e) 0,644: 92;
g) 1: 80;
h) 0,909: 45;
i) 3:32;
j) 0,01242: 69;
k) 1,016: 8;
m) 7.368: 24.
1341. Se cargaron en el avión 3 tractores, con un peso de 1,2 toneladas cada uno, y 7 motos de nieve para la expedición polar. La masa de todas las motos de nieve es 2 toneladas más que la masa de los tractores. ¿Cuál es la masa de un aerosleigh?
a) 4x - x = 8,7; c) a + a + 8.154 = 32;
b) Zu + by = 9,6; d) 7k - 4k - 55,2 = 63,12.
1349. Dos canastas contienen 16,8 kg de tomates. Hay el doble de tomates en una cesta que en la otra. ¿Cuántos kilogramos de tomates hay en cada canasta?
1350. El área del primer campo es 5 veces más área segundo. ¿Cuál es el área de cada campo si cuadrado segundo en 23,2 ha menos área¿primero?
1351. Para la preparación de compota, se hizo una mezcla de 8 partes (en peso) de manzanas secas, 4 partes de albaricoques y 3 partes de pasas. ¿Cuántos kilogramos de cada uno de los frutos secos se necesitaron para 2,7 kg de tal mezcla?
1352. En dos bolsas 1,28 céntimos de harina. En la primera bolsa hay 0,12 céntimos más de harina que en la segunda. ¿Cuántos quintales de harina hay en cada saco?
1353. Hay 18,6 kg de manzanas en dos cestas. Hay 2,4 kg menos de manzanas en la primera cesta que en la segunda. ¿Cuántos kilogramos de manzanas hay en cada cesta?
1354. Expresar como fracción decimal:
1355. Para recolectar 100 g de miel, una abeja entrega 16.000 cargas de néctar a la colmena. ¿Qué es una carga de néctar?
1356. Hay 30 g de medicamento en un vial. Encuentre la masa de una gota de medicamento si hay 1500 gotas en el vial.
1357. Convierte una fracción común a un decimal y haz lo siguiente:
1358. Resuelve la ecuación:
a) (x - 5,46) -2 = 9;
b) (y + 0,5): 2 = 1,57.
1359. Encuentra el valor de la expresión:
a) 91,8: (10,56 - 1,56) + 0,704; e) 15,3 -4:9 + 3,2;
b) (61,5 - 5,16): 30 + 5,05; f) (4.3 + 2.4: 8) 3;
c) 66,24 - 16,24: (3,7 + 4,3); g) 280,8: 12 - 0,3 24;
d) 28,6 + 11,4: (6,595 + 3,405); h) (17.6 13 - 41.6): 12.
1360. Calcular oralmente:
a) 2,5 - 1,6; b) 1,8 + 2,5; c) 3,4 - 0,2; d) 5 + 0,35;
3,2 - 1,4; 2,7 + 1,6; 2,6 - 0,05; 3,7 + 0,24;
0,47 - 0,27; 0,63 + 0,17; 4,52 - 1,2; 0,46 + 1,8;
0,64-0,15; 0,38 + 0,29; 4-0,8; 0,57 + 3;
0,71 - 0,28; 0,55 + 0,45; 1 - 0,45; 1,64 + 0,36.
a) 0,3 2; d) 2,3 3; g) 3,7 10; i) 0,185;
b) 0,8 3; e) 0,214; h) 0,096; j) 0,87 0.
c) 1,2 2; e) 1,6 5;
1362. Adivina cuáles son las raíces de la ecuación:
a) 2,9x = 2,9; c) 3,7x = 37; e) un 3 \u003d un;
b) 5,25x = 0; d) x 2 \u003d x e) m 2 \u003d m 3.
1363. ¿Cómo cambiará el valor de la expresión 2.5a si a: se incrementa en 1? aumentar en 2? ¿doblarse?
1364. Dinos cómo marcar el número en el rayo de coordenadas: 0.25; 0 5; 0,75. Piensa en cuáles de los números dados son iguales. ¿Qué fracción con denominador 4 es igual a 0.5? Agregar: 
1365. Piense en la regla por la cual se compone una serie de números, y escriba dos números más de esta serie:
a) 1,2; 1,8; 2,4; 3; ...c) 0,9; 1,8; 3,6; 7.2; ...
b) 9,6; 8,9; 8.2; 7,5; ... d) 1,2; 0,7; 2.2; 1,4; 3.2; 2.1; ...
1366. Siga estos pasos:
a) (37.8 - 19.1) 4; c) (64,37 + 33,21 - 21,56) 14;
b) (14,23 + 13,97) 31; d) (33,56 - 18,29) (13,2 + 24,9 - 38,1).
a) 3.705; 62,8; 0,5 a 10 veces;
b) 2,3578; 0,0068; 0,3 100 veces.
1368. Redondea el número 82.719,364:
a) hasta unidades; c) hasta décimas; e) hasta miles.
b) hasta centenas; d) hasta las centésimas;
1369. Actuar:
1370. Comparar:
1371. Kolya, Petya, Zhenya y Senya pesaron en la balanza. Los resultados fueron: 37,7 kg; 42,5 kg; 39,2 kg; 40,8 kg. Encuentra la masa de cada niño si se sabe que Kolya es más pesado que Senya y más liviano que Petya, y Zhenya es más liviano que Senya.
1372. Simplifica la expresión y encuentra su valor:
a) 23,9 - 18,55 - mt si m = 1,64;
b) 16,4 + k + 3,8 si k = 2,7.
1373. Resuelve la ecuación:
a) 16,1 - (x - 3,8) = 11,3;
b) 25,34 - (2,7 + y) = 15,34.
1374. Encuentra el valor de la expresión:
1) (1070 - 104 040: 2312) 74 + 6489;
2) (38 529 + 205 87) : 427 - 119.
1375. Realizar división:
a) 53,5: 5; e) 0,7: 25; i) 9,607: 10;
b) 1,75: 7; e) 7,9: 316; j) 14.706: 1000;
c) 0,48: 6; g) 543,4: 143; k) 0,0142: 100;
d) 13,2: 24; h) 40.005: 127; m) 0,75: 10.000.
1376. El automóvil caminó por la carretera durante 3 horas a una velocidad de 65,8 km / h, y luego durante 5 horas caminó por un camino de tierra. ¿A qué velocidad caminó por el camino de tierra si todo su recorrido es de 324,9 km?
1377. Había 180,4 toneladas de carbón en el almacén. Este carbón se suministró para calentar escuelas. ¿Cuántas toneladas de carbón quedan en el almacén?
1378. Campos arados. Encuentre el área de este campo si se araran 32,5 hectáreas.
1379. Resuelve la ecuación:
a) 15x = 0,15; e) 8p - 2p - 14,21 = 75,19;
b) 3.08: y = 4; g) 295,1: (n - 3) = 13;
c) Za + 8a = 1,87; h) 34 (m + 1,2) = 61,2;
d) 7z - 3z = 5,12; i) 15 (k - 0,2) = 21.
e) 2t + 5t + 3,18 = 25,3;
1380. Encuentra el valor de la expresión:
a) 0,24: 4 + 15,3: 5 + 12,4: 8 + 0,15: 30;
b) (1,24 + 3,56): 16;
c) 2,28 + 3,72: 12;
d) 3.6 4-2.4: (11.7 - 3.7).
1381. Se recogieron 19,7 toneladas de heno de tres prados. El heno se cosechó por igual en el primer y segundo prado, y el heno se cosechó en el tercero en 1,1 toneladas más que en cada uno de los dos primeros. ¿Cuánto heno se cosechó de cada prado?
1382. La tienda vendió 1240.8 kg de azúcar en 3 días. El primer día, se vendieron 543 kg, el segundo, 2 veces más que el tercero. ¿Cuántos kilogramos de azúcar se vendieron el tercer día?
1383. El automóvil pasó la primera sección del camino en horas 3, y la segunda sección - en horas 2. La longitud de ambas secciones juntas es de 267 km. ¿Cuál fue la velocidad del automóvil en cada tramo si la velocidad en el segundo tramo fue 8,5 km/h más que en el primero?
1384. Convertir a fracciones decimales;
1385. Construya una figura igual a la figura que se muestra en la Figura 151.
1386. Un ciclista salió de la ciudad a una velocidad de 13,4 km/h. Después de 2 horas, lo siguió otro ciclista, cuya velocidad era de 17,4 km/h. A través de
¿Cuántas horas después de su partida alcanzará el segundo ciclista al primero?
1387. El barco, moviéndose contra la corriente, recorrió 177,6 km en 6 horas. Encuentre la velocidad propia del bote si la velocidad de la corriente es de 2.8 km/h.
1388. Un grifo que entrega 30 litros de agua por minuto llena un baño en 5 minutos. Luego se cerró el grifo y se abrió un orificio de drenaje, a través del cual se derramó toda el agua en b minutos. ¿Cuántos litros de agua se derramaron en 1 minuto?
1389. Resuelve la ecuación:
a) 26 (x + 427) = 15 756; c) 22 374: (k - 125) = 1243;
b) 101 (351 + y) = 65 549; d) 38 007: (4223 - t) = 9.
N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matemáticas Grado 5, Libro de texto para instituciones educativas
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Sabes que dividir un número natural a por un número natural b significa encontrar un número natural c que, cuando se multiplica por b, da el número a. Esta afirmación sigue siendo cierta si al menos uno de los números a, b, c es una fracción decimal.
Considere varios ejemplos en los que el divisor es un número natural.
1.2: 4 \u003d 0.3, ya que 0.3 * 4 \u003d 1.2;
2.5: 5 \u003d 0.5, ya que 0.5 * 5 \u003d 2.5;
1 : 2 = 0,5 ya que 0,5 * 2 = 1.
Pero, ¿qué pasa en los casos en que la división no se puede realizar oralmente?
Por ejemplo, ¿cómo divides 43,52 entre 17?
Aumentando el dividendo 43,52 por 100 veces, obtenemos el número 4352. Entonces el valor de la expresión 4352:17 es 100 veces mayor que el valor de la expresión 43.52:17. Después de dividir con una esquina, puedes establecer fácilmente que 4352: 17 = 256. Aquí el dividendo se magnifica 100 veces. Entonces, 43,52: 17 = 2,56. Tenga en cuenta que 2,56 * 17 = 43,52, lo que confirma que la división es correcta.
El cociente 2,56 se puede obtener de otra forma. Dividiremos 4352 por 17 esquinas, ignorando la coma. En este caso, la coma en el privado debe colocarse inmediatamente antes del primer dígito después de que se use el punto decimal en el dividendo:
Si el dividendo es menor que el divisor, entonces la parte entera del cociente es cero. Por ejemplo:
Consideremos un ejemplo más. Encontremos el cociente 3.1:5. Tenemos:
Detuvimos el proceso de división porque se agotaron los dígitos del dividendo y no obtuvimos cero en el resto. Sabes que un decimal no cambia si agregas cualquier número de ceros a la derecha. Entonces queda claro que los números del dividendo no pueden terminar. Tenemos:
Ahora podemos encontrar el cociente de dos números naturales cuando el dividendo no es divisible por el divisor. Por ejemplo, busquemos el cociente 31:5. Obviamente, el número 31 no es divisible por 5:
Paramos el proceso de división porque se acabaron los números del dividendo. Sin embargo, si representas el dividendo como una fracción decimal, la división puede continuar.
Tenemos: 31: 5 \u003d 31.0: 5. A continuación, hagamos la división por una esquina:
Por tanto, 31:5 = 6,2.
En el párrafo anterior, descubrimos que si la coma se mueve hacia la derecha 1, 2, 3, etc. dígitos, entonces la fracción aumentará, respectivamente, en 10, 100, 1,000, etc. veces, y si la coma se mueve hacia la izquierda en 1, 2, 3, etc. dígitos, entonces la fracción disminuirá, respectivamente, en 10, 100, 1000 y etc. veces.
Por tanto, en los casos en que el divisor sea 10, 100, 1.000, etc., se utiliza la siguiente regla.
Para dividir un decimal por 10, 100, 1000, etc., debe mover el punto decimal hacia la izquierda en esta fracción por 1, 2, 3, etc. dígitos.
Por ejemplo: 4,23: 10 = 0,423; 2: 100 = 0,02; 58,63 : 1000 = 0,05863 .
Entonces, hemos aprendido a dividir una fracción decimal entre un número natural.
Mostremos cómo la división por una fracción decimal se puede reducir a la división por un número natural.
$\frac(2)(5) km = 400 m$
,$\frac(20)(50) km = 400 m$
,$\frac(200)(500) km = 400 m$
.eso lo conseguimos
$\frac(2)(5) = \frac(20)(50) = \frac(200)(500)$
Aquellos. 2:5 = 20:50 = 200:500.
Este ejemplo ilustra lo siguiente: si el dividendo y el divisor se incrementan simultáneamente en 10, 100, 1000, etc. veces, entonces el cociente no cambiará .
Encontremos el cociente 43.52: 1.7.
Aumentemos tanto el dividendo como el divisor 10 veces. Tenemos:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .
Aumentemos tanto el dividendo como el divisor 10 veces. Tenemos: 43,52: 1,7 = 25,6.
Para dividir un decimal entre un decimal:
1) mover las comas en el dividendo y en el divisor a la derecha tantos dígitos como estén contenidos después del punto decimal en el divisor;
2) realizar la división por un número natural.
Ejemplo 1 . Vanya recolectó 140 kg de manzanas y peras, de los cuales 0,24 eran peras. ¿Cuántos kilogramos de peras recolectó Vanya?
Solución. Tenemos:
$0.24=\frac(24)(100)$
.1) 140 : 100 = 1,4 (kg) - es
Manzanas y peras.
2) 1,4 * 24 = 33,6 (kg) - se cosecharon peras.
Respuesta: 33,6 kg.
Ejemplo 2 . Para el desayuno, Winnie the Pooh comió 0,7 barriles de miel. ¿Cuántos kilogramos de miel había en el barril si Winnie the Pooh se comió 4,2 kg?
Solución. Tenemos:
$0.7=\frac(7)(10)$
.1) 4,2: 7 = 0,6 (kg) - es
Miel entera.
2) 0,6 * 10 = 6 (kg) - había miel en el barril.
Respuesta: 6 kg.
§ 107. Suma de fracciones decimales.La suma de decimales se hace de la misma manera que la suma de números enteros. Veamos esto con ejemplos.
1) 0,132 + 2,354. Firmemos los términos uno debajo del otro.
Aquí, de la suma de 2 milésimas con 4 milésimas, se obtuvieron 6 milésimas;
de la suma de 3 centésimas con 5 centésimas, resultó 8 centésimas;
de sumar 1 décima con 3 décimas -4 décimas y
de sumar 0 enteros con 2 enteros - 2 enteros.
2) 5,065 + 7,83.
No hay milésimas en el segundo término, por lo que es importante no cometer errores al firmar los términos uno debajo del otro.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Aquí, al sumar milésimas, obtenemos 21 milésimas; escribimos 1 debajo de las milésimas y 2 sumado a las centésimas, por lo que en el lugar de las centésimas obtuvimos los siguientes términos: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; en suma dan 19 centésimas, firmamos 9 bajo centésimas, y 1 se contaba como décimas, etc.
Así, al sumar fracciones decimales, se debe observar el siguiente orden: las fracciones se firman una debajo de la otra de modo que en todos los términos los mismos dígitos estén uno debajo del otro y todas las comas estén en la misma columna vertical; a la derecha de los lugares decimales de algunos términos, atribuyen, al menos mentalmente, tal número de ceros que todos los términos después del punto decimal tienen el mismo numero dígitos Luego realice la suma por dígitos, comenzando con lado derecho, y en el importe resultante poner una coma en la misma columna vertical en la que se encuentra en estos términos.
§ 108. Resta de fracciones decimales.
La resta de decimales se hace de la misma manera que la resta de números enteros. Mostremos esto con ejemplos.
1) 9,87 - 7,32. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo para que las unidades de un mismo dígito queden una debajo de la otra:
2) 16.29 - 4.75. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo, como en el primer ejemplo:
Para restar décimas, había que tomar una unidad entera de 6 y dividirla en décimas.
3) 14.0213-5.350712. Firmemos el sustraendo debajo del minuendo:
La resta se realizó de la siguiente manera: como no podemos restar 2 millonésimas de 0, debemos referirnos al dígito más cercano a la izquierda, es decir, a las cienmilésimas, pero también hay cero en lugar de las cienmilésimas, entonces tomamos 1 diezmilésima de 3 diezmilésimas y lo dividimos en cienmilésimas, obtenemos 10 cienmilésimas, de las cuales 9 cienmilésimas quedan en la categoría de cienmilésimas, y 1 cienmilésima se tritura en millonésimas, obtenemos 10 millonésimas. Así, en los últimos tres dígitos, obtuvimos: millonésimas 10, cienmilésimas 9, diezmilésimas 2. Para mayor claridad y comodidad (no olvidar), estos números se escriben encima de los dígitos fraccionarios correspondientes de la reducción. Ahora podemos empezar a restar. Restamos 2 millonésimas de 10 millonésimas, obtenemos 8 millonésimas; restamos 1 cienmilésima de 9 cienmilésimas, obtenemos 8 cienmilésimas, etc.
Así, al restar fracciones decimales, se observa el siguiente orden: el sustraendo se firma debajo del reducido de modo que los mismos dígitos estén uno debajo del otro y todas las comas estén en la misma columna vertical; a la derecha, atribuyen, al menos mentalmente, en el reducido o restado tantos ceros para que tengan el mismo número de dígitos, luego restan por dígitos, comenzando por el lado derecho, y en la diferencia resultante ponen una coma en el misma columna vertical en la que se ubica en reducida y restada.
§ 109. Multiplicación de fracciones decimales.
Considere algunos ejemplos de multiplicación de fracciones decimales.
Para encontrar el producto de estos números, podemos razonar de la siguiente manera: si el factor se multiplica por 10, entonces ambos factores serán números enteros y luego podemos multiplicarlos de acuerdo con las reglas para multiplicar números enteros. Pero sabemos que cuando uno de los factores aumenta varias veces, el producto aumenta en la misma cantidad. Esto significa que el número que resulta de multiplicar factores enteros, es decir, 28 por 23, es 10 veces mayor que el producto real, y para obtener el producto real, debe reducir el producto encontrado en 10 veces. Por lo tanto, aquí debe realizar una multiplicación por 10 una vez y una división por 10 una vez, pero la multiplicación y la división por 10 se realizan moviendo la coma hacia la derecha y hacia la izquierda un signo. Por lo tanto, debe hacer esto: en el multiplicador, mueva la coma hacia la derecha en un signo, de esto será igual a 23, luego debe multiplicar los números enteros resultantes:
Este producto es 10 veces más grande que el verdadero. Por lo tanto, debe reducirse 10 veces, para lo cual movemos la coma un carácter hacia la izquierda. Así, obtenemos
28 2,3 = 64,4.
Para fines de verificación, puede escribir una fracción decimal con un denominador y realizar una acción de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias, es decir
2) 12,27 0,021.
La diferencia entre este ejemplo y el anterior es que aquí ambos factores están representados por fracciones decimales. Pero aquí, en el proceso de multiplicación, no prestaremos atención a las comas, es decir, aumentaremos temporalmente el multiplicador 100 veces y el multiplicador 1000 veces, lo que aumentará el producto 100 000 veces. Así, multiplicando 1227 por 21, obtenemos:
1 227 21 = 25 767.
Teniendo en cuenta que el producto resultante es 100.000 veces mayor que el verdadero, ahora debemos reducirlo 100.000 veces colocándole correctamente una coma, entonces obtenemos:
32,27 0,021 = 0,25767.
Vamos a revisar:
Así, para multiplicar dos fracciones decimales basta, sin prestar atención a las comas, con multiplicarlas por enteros y en el producto separar con una coma del lado derecho tantos decimales como había en el multiplicando y en el factor juntos.
V último ejemplo producto con cinco decimales. Si no se requiere una mayor precisión, se realiza el redondeo de la fracción decimal. Al redondear, debe usar la misma regla que se indicó para los números enteros.
§ 110. Multiplicación mediante tablas.
La multiplicación de decimales a veces se puede hacer usando tablas. Para este propósito, puede, por ejemplo, usar esas tablas de multiplicar de números de dos dígitos, cuya descripción se proporcionó anteriormente.
1) Multiplica 53 por 1,5.
Multiplicaremos 53 por 15. En la tabla, este producto es igual a 795. Encontramos el producto de 53 por 15, pero nuestro segundo factor fue 10 veces menor, lo que significa que el producto debe reducirse 10 veces, es decir
53 1,5 = 79,5.
2) Multiplica 5,3 por 4,7.
Primero, busquemos el producto de 53 por 47 en la tabla, será 2491. Pero como aumentamos el multiplicando y el multiplicador en un total de 100 veces, entonces el producto resultante es 100 veces mayor de lo que debería ser; entonces tenemos que reducir este producto por un factor de 100:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Multiplica 0,53 por 7,4.
Primero encontramos en la tabla el producto de 53 por 74; esto será 3922. Pero como hemos aumentado el multiplicador 100 veces, y el multiplicador 10 veces, el producto ha aumentado 1000 veces; entonces ahora tenemos que reducirlo por un factor de 1,000:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. División de decimales.
Veremos la división decimal en este orden:
1. División decimal por entero,
1. División de una fracción decimal por un número entero.
1) Divide 2,46 entre 2.
Dividimos por 2 primeros enteros, luego décimas y finalmente centésimas.
2) Divide 32,46 entre 3.
32,46: 3 = 10,82.
Dividimos 3 decenas por 3, luego comenzamos a dividir 2 unidades por 3; como el número de unidades del dividendo (2) es menor que el divisor (3), tuvimos que poner 0 en el cociente; además, al resto demolimos 4 décimas y dividimos 24 décimas por 3; recibió en privado 8 décimas y finalmente dividió 6 centésimas.
3) Divide 1.2345 entre 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Aquí, en el cociente en primer lugar, resultaron cero números enteros, ya que un número entero no es divisible por 5.
4) Divide 13,58 entre 4.
La peculiaridad de este ejemplo es que cuando recibimos 9 centésimas en privado, luego se encontró un resto igual a 2 centésimas, dividimos este resto en milésimas, obtuvimos 20 milésimas y llevamos la división al final.
Regla. La división de una fracción decimal por un número entero se realiza de la misma forma que la división de números enteros, y los residuos resultantes se convierten en fracciones decimales, cada vez más pequeñas; la división continúa hasta que el resto es cero.
2. División de una fracción decimal por una fracción decimal.
1) Divide 2,46 entre 0,2.
Ya sabemos cómo dividir una fracción decimal por un número entero. Pensemos si este nuevo caso de división también se puede reducir al anterior. En un momento, consideramos la notable propiedad del cociente, que consiste en el hecho de que permanece invariable mientras el dividendo y el divisor aumentan o disminuyen por el mismo número de veces. Fácilmente realizaríamos la división de los números que se nos ofrecen si el divisor fuera un número entero. Para ello, basta con aumentarlo 10 veces, y para obtener el cociente correcto es necesario aumentar el dividendo la misma cantidad de veces, es decir, 10 veces. Entonces la división de estos números será reemplazada por la división de tales números:
y no hay necesidad de hacer ninguna enmienda en privado.
Hagamos esta división:
Entonces 2.46: 0.2 = 12.3.
2) Divide 1,25 entre 1,6.
Aumentamos el divisor (1.6) en 10 veces; para que el cociente no cambie, aumentamos el dividendo 10 veces; 12 enteros no son divisibles por 16, entonces escribimos en el cociente 0 y dividimos 125 décimas entre 16, obtenemos 7 décimas en el cociente y el resto es 13. Dividimos 13 décimas en centésimas asignando cero y dividimos 130 centésimas entre 16, etc. Preste atención a lo siguiente:
a) cuando no se obtienen números enteros en el cociente, entonces se escriben ceros en su lugar;
b) cuando después de restar la cifra del dividendo al resto se obtiene un número que no es divisible por el divisor, entonces se escribe cero en el cociente;
c) cuando, después de haber quitado el último dígito del dividendo, la división no termina, entonces, asignando ceros a los restos, continúa la división;
d) si el dividendo es un número entero, entonces al dividirlo por una fracción decimal, su aumento se realiza asignándole ceros.
Por lo tanto, para dividir un número por una fracción decimal, debe descartar una coma en el divisor y luego aumentar el dividendo tantas veces como aumentó el divisor cuando se eliminó la coma, y luego realizar la división de acuerdo con la regla de dividir la fracción decimal por un número entero.
§ 112. Cociente aproximado.
En el párrafo anterior, consideramos la división de fracciones decimales, y en todos los ejemplos que resolvimos, la división se llevó al final, es decir, se obtuvo un cociente exacto. Sin embargo, en la mayoría de los casos no se puede obtener el cociente exacto, por mucho que extendamos la división. Aquí hay uno de esos casos: divide 53 entre 101.
Ya hemos recibido cinco dígitos en el cociente, pero la división aún no ha terminado y no hay esperanza de que termine, ya que los números que hemos encontrado antes comienzan a aparecer en el resto. Los números también se repetirán en el cociente: obviamente, después del número 7, aparecerá el número 5, luego el 2, y así hasta el infinito. En tales casos, la división se interrumpe y se limita a los primeros dígitos del cociente. Este privado se llama aproximado. Cómo realizar la división en este caso, lo mostraremos con ejemplos.
Que se requiera dividir 25 por 3. Es obvio que el cociente exacto, expresado como una fracción entera o decimal, no se puede obtener de tal división. Por lo tanto, buscaremos un cociente aproximado:
25: 3 = 8 y resto 1
El cociente aproximado es 8; es, por supuesto, menor que el cociente exacto, porque queda un resto de 1. Para obtener el cociente exacto, debe agregar al cociente aproximado encontrado, es decir, a 8, la fracción que resulta de dividir el resto , igual a 1, por 3; será una fracción 1/3. Entonces el cociente exacto se expresa numero mixto 8 1 / 3 . Como 1/3 es fracción propia, es decir, fracción, menos que uno, entonces, descartándolo, suponemos error, cual menos que uno. privado 8 voluntad cociente aproximado hasta uno con inconveniente. Si tomamos 9 en lugar de 8, también permitimos un error menor que uno, ya que no sumaremos una unidad entera, sino 2/3. Un testamento tan privado cociente aproximado hasta uno con exceso.
Tomemos otro ejemplo ahora. Que sea necesario dividir 27 entre 8. Como aquí no obtendremos un cociente exacto expresado como un número entero, buscaremos un cociente aproximado:
27: 8 = 3 y resto 3.
Aquí el error es 3/8, es menor que uno, lo que significa que el cociente aproximado (3) se encuentra hasta uno con un inconveniente. Continuamos la división: partimos el resto de 3 en décimas, nos salen 30 décimas; Vamos a dividirlos por 8.
Conseguimos en privado en el acto décimas 3 y en el resto b décimas. Si nos limitamos al número 3.3 en particular y descartamos el resto 6, permitiremos un error de menos de una décima. ¿Por qué? Porque el cociente exacto se obtendría cuando sumamos a 3,3 el resultado de dividir 6 décimas entre 8; de esta división sería 6/80, que es menos de una décima. (¡Compruebe!) Por lo tanto, si nos limitamos a las décimas en el cociente, entonces podemos decir que hemos encontrado el cociente exacto a una décima(con desventaja).
Continuemos la división para encontrar un lugar decimal más. Para hacer esto, dividimos 6 décimas en centésimas y obtenemos 60 centésimas; Vamos a dividirlos por 8.
En privado en tercer lugar resultó 7 y en el resto 4 centésimas; si los descartamos, entonces permitiremos un error de menos de una centésima, porque 4 centésimas divididas por 8 es menos de una centésima. En tales casos, se dice que se encuentra el cociente. precisión a la centésima(con desventaja).
En el ejemplo que ahora estamos considerando, puedes obtener el cociente exacto, expresado como una fracción decimal. Para ello, basta con dividir el último resto, 4 centésimas, en milésimas y dividir por 8.
Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, es imposible obtener un cociente exacto y hay que limitarse a sus valores aproximados. Ahora consideraremos un ejemplo de este tipo:
40: 7 = 5,71428571...
Los puntos al final del número indican que la división no está completa, es decir, la igualdad es aproximada. Por lo general, la igualdad aproximada se escribe así:
40: 7 = 5,71428571.
Tomamos el cociente con ocho decimales. Pero si no se requiere una precisión tan grande, uno puede limitarse a la parte entera del cociente, es decir, el número 5 (más precisamente, 6); para mayor precisión se podrían tomar en cuenta las décimas y tomar el cociente igual a 5.7; si por alguna razón esta precisión es insuficiente, entonces podemos detenernos en centésimas y tomar 5.71, etc. Escribamos los cocientes individuales y nómbrelos.
El primer cociente aproximado hasta uno 6.
El segundo » » » a la décima 5.7.
Tercera » » » hasta la centésima 5.71.
Cuarto » » » hasta la milésima parte de 5.714.
Por lo tanto, para encontrar un cociente aproximado hasta algo, por ejemplo, el tercer lugar decimal (es decir, hasta una milésima), la división se detiene tan pronto como se encuentra este signo. En este caso, se debe recordar la regla establecida en el § 40.
§ 113. Los problemas más simples de interés.
Después de estudiar fracciones decimales, resolveremos algunos problemas de porcentajes más.
Estos problemas son similares a los que resolvimos en el departamento de fracciones ordinarias; pero ahora escribiremos las centésimas en forma de fracciones decimales, es decir, sin un denominador designado explícitamente.
En primer lugar, debe poder cambiar fácilmente de fracción común a un decimal con denominador 100. Para ello, divide el numerador entre el denominador:
La siguiente tabla muestra cómo un número con un símbolo % (porcentaje) se reemplaza por un decimal con un denominador de 100:
Consideremos ahora algunos problemas.
1. Encontrar porcentajes número dado.
Tarea 1. Solo 1.600 personas viven en un pueblo. Numero de niños edad escolar representa el 25% de la población total. ¿Cuántos niños en edad escolar hay en este pueblo?
En este problema, necesitas encontrar el 25%, o 0,25, de 1600. El problema se resuelve multiplicando:
1.600 0,25 = 400 (niños).
Por lo tanto, el 25% de 1600 es 400.
Para una clara comprensión de esta tarea, es útil recordar que por cada cien habitantes hay 25 niños en edad escolar. Por lo tanto, para encontrar el número de todos los niños en edad escolar, primero puede averiguar cuántas centenas hay en el número 1600 (16) y luego multiplicar 25 por el número de centenas (25 x 16 = 400). De esta manera se puede comprobar la validez de la solución.
Tarea 2. Las cajas de ahorro dan a los depositantes el 2% de los ingresos anuales. ¿Cuánto ingreso por año recibirá un depositante que haya depositado: a) 200 rublos? b) 500 rublos? c) 750 rublos? d) 1000 rublos?
En los cuatro casos, para resolver el problema será necesario calcular 0,02 de las cantidades indicadas, es decir, cada uno de estos números habrá que multiplicarlos por 0,02. Vamos a hacerlo:
a) 200 0,02 = 4 (rublos),
b) 500 0,02 = 10 (rublos),
c) 750 0,02 = 15 (rublos),
d) 1.000 0,02 = 20 (rublos).
Cada uno de estos casos puede ser verificado por las siguientes consideraciones. Las Cajas de Ahorros entregan a los depositantes el 2% de los ingresos, es decir, el 0,02 de la cantidad depositada en ahorros. Si la cantidad fuera de 100 rublos, entonces 0,02 serían 2 rublos. Esto significa que cada cien aporta al depositante 2 rublos. ingreso. Por lo tanto, en cada uno de los casos considerados, es suficiente averiguar cuántos cientos hay en un número dado y multiplicar 2 rublos por este número de cientos. En el ejemplo a) centenas de 2, entonces
2 2 \u003d 4 (rublos).
En el ejemplo d) las centenas son 10, lo que significa
2 10 \u003d 20 (rublos).
2. Encontrar un número por su porcentaje.
Tarea 1. En la primavera, la escuela graduó a 54 estudiantes, lo que representa el 6% del número total de estudiantes. ¿Cuántos estudiantes había en la escuela durante el último año académico?
Aclaremos primero el significado de este problema. La escuela graduó a 54 alumnos, lo que representa el 6% del total de alumnos, es decir, 6 centésimas (0,06) de todos los alumnos de la escuela. Esto quiere decir que conocemos la parte de los alumnos expresada por el número (54) y la fracción (0.06), ya partir de esta fracción debemos hallar el número entero. Por lo tanto, tenemos ante nosotros un problema ordinario de encontrar un número por su fracción (§ 90 p. 6). Los problemas de este tipo se resuelven por división:
Esto significa que había 900 estudiantes en la escuela.
Es útil verificar tales problemas resolviendo el problema inverso, es decir, después de resolver el problema, debería, al menos en su mente, resolver el problema del primer tipo (encontrar el porcentaje de un número dado): tomar el número encontrado ( 900) tal como se da y encuentre el porcentaje indicado en el problema resuelto a partir de él, a saber:
900 0,06 = 54.
Tarea 2. La familia gasta 780 rublos en comida durante el mes, lo que representa el 65% de los ingresos mensuales del padre. Determine su ingreso mensual.
Esta tarea tiene el mismo significado que la anterior. Da parte de las ganancias mensuales, expresadas en rublos (780 rublos), e indica que esta parte es el 65%, o 0,65, de las ganancias totales. Y lo deseado es la totalidad de las ganancias:
780: 0,65 = 1 200.
Por lo tanto, las ganancias deseadas son 1200 rublos.
3. Encontrar el porcentaje de números.
Tarea 1. La biblioteca escolar tiene un total de 6.000 libros. Entre ellos hay 1.200 libros de matemáticas. ¿Qué porcentaje de libros de matemáticas componen el número total de libros en la biblioteca?
Ya hemos considerado (§97) este tipo de problema y llegamos a la conclusión de que para calcular el porcentaje de dos números, debe encontrar la proporción de estos números y multiplicarla por 100.
En nuestra tarea, necesitamos encontrar el porcentaje de los números 1200 y 6000.
Primero encontramos su proporción y luego la multiplicamos por 100:
Por lo tanto, el porcentaje de los números 1200 y 6000 es 20. En otras palabras, los libros de matemáticas representan el 20% del número total de todos los libros.
Para comprobarlo, resolvemos el problema inverso: hallar el 20% de 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
Tarea 2. La planta debe recibir 200 toneladas de carbón. Ya se han entregado 80 toneladas ¿Qué porcentaje de carbón se ha entregado a la planta?
Este problema pregunta qué porcentaje es un número (80) de otro (200). La relación de estos números será 80/200. Multipliquemos por 100:
Esto significa que se ha entregado el 40% del carbón.
La división por un decimal es lo mismo que la división por un número natural.
Regla para dividir un número por una fracción decimal
Para dividir un número por una fracción decimal es necesario tanto en el dividendo como en el divisor desplazar la coma tantos dígitos hacia la derecha como haya en el divisor después de la coma decimal. Después de eso, divide por un número natural.
Ejemplos.
Realizar división por decimal:
Para dividir por una fracción decimal, debe mover la coma tantos dígitos hacia la derecha tanto en el dividendo como en el divisor como haya después del punto decimal en el divisor, es decir, por un signo. Obtenemos: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Ahora realizamos la división por una esquina. Como resultado, obtenemos: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Para realizar la división de fracciones decimales, tanto en el dividendo como en el divisor, mueva la coma hacia la derecha un signo: 14.76: 3.6 \u003d 147.6: 36. Ahora lo realizamos en un número natural. Resultado: 14,76: 3,6 = 4,1.
Para realizar la división por una fracción decimal de un número natural, es necesario tanto en el dividendo como en el divisor desplazar hacia la derecha tantos caracteres como haya en el divisor después de la coma decimal. Dado que la coma no está escrita en el divisor en este caso, completamos la cantidad de caracteres que faltan con ceros: 70: 1.75 \u003d 7000: 175. Dividimos los números naturales resultantes con una esquina: 70: 1.75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.
4) 0,1218: 0,058
Para dividir una fracción decimal en otra, desplazamos la coma a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor tantas cifras como haya en el divisor después de la coma decimal, es decir, tres cifras. Por lo tanto, 0.1218: 0.058 \u003d 121.8: 58. La división por una fracción decimal fue reemplazada por la división por un número natural. Compartimos un rincón. Tenemos: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8