Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción por una fracción.
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Considere un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ por 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)
La fracción \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) se ha reducido en 3.
Multiplicar una fracción por un número.
Empecemos con la regla cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Usemos esta regla para la multiplicación.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Fracción impropia \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertido a una fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplique el número por el numerador y deje el denominador sin cambios. Ejemplo:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.
Ejemplo:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
La fracción \(\bf \frac(a)(b)\) es la inversa de la fracción \(\bf \frac(b)(a)\), siempre que a≠0,b≠0.
Las fracciones \(\bf \frac(a)(b)\) y \(\bf \frac(b)(a)\) se llaman recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Ejemplo:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: el producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferente denominador?
Respuesta: no importa si son iguales o diferentes denominadores para fracciones, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla de encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debe convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: Multiplicamos el número por el numerador, y dejamos igual el denominador.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Solución:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rojo) (5))(3 \times \color(rojo) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Ejemplo #2:
Calcula el producto de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Solución:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Ejemplo #3:
Escribe el recíproco de \(\frac(1)(3)\)?
Respuesta: \(\frac(3)(1) = 3\)
Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones recíprocas: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Solución:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Ejemplo #5:
Las fracciones mutuamente inversas pueden ser:
a) ambas fracciones propias;
b) simultáneamente fracciones impropias;
c) números naturales al mismo tiempo?
Solución:
a) Usemos un ejemplo para responder la primera pregunta. La fracción \(\frac(2)(3)\) es propia, su recíproco será igual a \(\frac(3)(2)\) - no fracción propia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser fracción impropia al mismo tiempo. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac(3)(3)\) , su recíproco es \(\frac(3)(3)\). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son los números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \(3 = \frac(3)(1)\), entonces su recíproco será \(\frac(1)(3)\). La fracción \(\frac(1)(3)\) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco siempre es una fracción, excepto el 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Numero 1 número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales solo en un caso, si este número es 1.
Ejemplo #6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Solución:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos mutuamente recíprocos ser al mismo tiempo Numeros mezclados?
Veamos un ejemplo. Toma una fracción mixta \(1\frac(1)(2)\), encuéntrala recíproco, para ello la traducimos a una fracción impropia \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Su recíproco será igual a \(\frac(2)(3)\) . La fracción \(\frac(2)(3)\) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicación y división de fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")
¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Te recuerdo: para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Es decir:
Por ejemplo:
Todo es extremadamente simple.. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...
Para dividir una fracción entre una fracción, debes voltear segundo(¡esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:
Por ejemplo:
Si se detecta la multiplicación o división con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción de un número entero con una unidad en el denominador, ¡y listo! Por ejemplo:
En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:
¿Cómo llevar esta fracción a una forma decente? ¡Sí, muy fácil! Utilice la división a través de dos puntos:
¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto es muy importante aquí! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero en una fracción de tres pisos es fácil cometer un error. Tenga en cuenta, por ejemplo:
En el primer caso (expresión de la izquierda):
En la segunda (expresión de la derecha):
¿Siente la diferencia? 4 y 1/9!
¿Cuál es el orden de división? O corchetes, o (como aquí) la longitud de los guiones horizontales. Desarrolla un ojo. Y si no hay corchetes o guiones, como:
luego divide-multiplica en orden, de izquierda a derecha!
Y otro truco muy simple e importante. En acciones con grados, ¡te vendrá bien! Dividamos la unidad por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:
¡El tiro ha dado la vuelta! Y siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, solo que invertida.
Esas son todas las acciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores más que suficientes. Nota Consejo practico, y ellos (errores) serán menos!
Consejos prácticos:
1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras comunes, no son buenos deseos! ¡Esta es una necesidad severa! Haz todos los cálculos del examen como una tarea completa, con concentración y claridad. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al calcular mentalmente.
2. En los ejemplos con diferentes tipos fracciones - ir a fracciones ordinarias.
3. Reducimos todas las fracciones a la parada.
4. Varios pisos expresiones fraccionarias reducimos a los ordinarios usando la división a través de dos puntos (¡seguimos el orden de la división!).
5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.
Estas son las tareas que debe completar. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales de este tema y consejos prácticos. Estima cuántos ejemplos podrías resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...
Recuerda la respuesta correcta obtenido de la segunda (especialmente la tercera) vez - ¡no cuenta! Así es la vida dura.
Entonces, resolver en modo examen ! Esto es preparación para el examen, por cierto. Resolvemos un ejemplo, comprobamos, resolvemos lo siguiente. Decidimos todo: revisamos nuevamente desde el primero hasta el último. Solo Entonces mira las respuestas.
Calcular:
¿Has decidido?
Buscando respuestas que coincidan con las tuyas. Específicamente las escribí en un lío, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Y ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡feliz por ti! ¡Los cálculos elementales con fracciones no son tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Que no...
Así que tienes uno de dos problemas. O ambos a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Multiplicar un número entero por una fracción es una tarea sencilla. Pero hay sutilezas que probablemente entendiste en la escuela, pero que desde entonces has olvidado.
Cómo multiplicar un número entero por una fracción: algunos términos
Si recuerdas qué son el numerador y el denominador y en qué se diferencia una fracción propia de una impropia, sáltate este párrafo. Es para aquellos que han olvidado por completo la teoría.
el numerador es parte superior fracciones son lo que dividimos. El denominador es el de abajo. Esto es lo que compartimos.
Una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador. Una fracción impropia es una fracción cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.
Cómo multiplicar un número entero por una fracción
La regla para multiplicar un número entero por una fracción es muy simple: multiplicamos el numerador por el número entero y no tocamos el denominador. Por ejemplo: dos multiplicado por un quinto - obtenemos dos quintos. Cuatro por tres dieciseisavos es doce dieciseisavos.
Reducción
En el segundo ejemplo, la fracción resultante se puede reducir.
Qué significa eso? Tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador de esta fracción son divisibles por cuatro. Divide ambos números por común divisor y se llama - reducir la fracción. Obtenemos tres cuartos.
fracciones impropias
Pero supongamos que multiplicamos cuatro por dos quintos. Tengo ocho quintos. Esta es la fracción incorrecta.
Debe ser llevado a forma correcta. Para hacer esto, debe seleccionar una parte completa de ella.
Aquí necesitas usar la división con un resto. Obtenemos uno y tres en el resto.
Un entero y tres quintos es nuestra fracción propia.
Corregir treinta y cinco octavos es un poco más difícil.El número más cercano a treinta y siete que es divisible por ocho es treinta y dos. Cuando se divide, obtenemos cuatro. Restamos treinta y dos de treinta y cinco, obtenemos tres. Resultado: cuatro enteros y tres octavos.
Igualdad del numerador y denominador. Y aquí todo es muy simple y hermoso. Cuando el numerador y el denominador son iguales, el resultado es solo uno.
) y el denominador por el denominador (obtenemos el denominador del producto).
Fórmula de multiplicación de fracciones:
Por ejemplo:
Antes de proceder con la multiplicación de numeradores y denominadores, es necesario verificar la posibilidad de reducción de fracciones. Si logras reducir la fracción, entonces te será más fácil seguir haciendo cálculos.
División de una fracción ordinaria por una fracción.
División de fracciones que involucran un número natural.
No es tan aterrador como parece. Como en el caso de la suma, convertimos un número entero en una fracción con una unidad en el denominador. Por ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Reglas para multiplicar fracciones (mixtas):
- convertir fracciones mixtas a impropias;
- multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones;
- reducimos la fracción;
- si obtenemos una fracción impropia, entonces convertimos la fracción impropia en una mixta.
¡Nota! Para multiplicar una fracción mixta por otra fracción mixta, primero debe llevarlas a la forma fracciones impropias, y luego multiplicar por la regla de la multiplicación de fracciones ordinarias.
La segunda forma de multiplicar una fracción por un número natural.
Es más conveniente usar el segundo método de multiplicación. fracción común al número
¡Nota! Para multiplicar una fracción por un número natural, es necesario dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador sin cambios.
Del ejemplo anterior, está claro que esta opción es más conveniente cuando el denominador de una fracción se divide sin resto por un número natural.
Fracciones multinivel.
En la escuela secundaria, a menudo se encuentran fracciones de tres pisos (o más). Ejemplo:
Para llevar dicha fracción a su forma habitual, se usa la división a través de 2 puntos:
¡Nota! Al dividir fracciones, el orden de división es muy importante. Tenga cuidado, es fácil confundirse aquí.
Nota, Por ejemplo:
Al dividir uno entre cualquier fracción, el resultado será la misma fracción, solo que invertida:
Consejos prácticos para multiplicar y dividir fracciones:
1. Lo más importante al trabajar con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención. Haga todos los cálculos con cuidado y precisión, concentración y claridad. Es mejor escribir algunas líneas extra en un borrador que confundirse con los cálculos en la cabeza.
2. En tareas con diferentes tipos de fracciones: vaya al tipo de fracciones ordinarias.
3. Reducimos todas las fracciones hasta que ya no sea posible reducir.
4. Traemos expresiones fraccionarias de varios niveles a expresiones ordinarias, usando la división a través de 2 puntos.
5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.