Funciones trigonométricas son funciones elementales cuyo argumento es inyección. Vía funciones trigonométricas describe la relación entre los lados y los ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Las áreas de aplicación de las funciones trigonométricas son extremadamente diversas. Entonces, por ejemplo, cualquier proceso periódico puede representarse como una suma de funciones trigonométricas (serie de Fourier). Estas funciones aparecen a menudo al resolver ecuaciones diferenciales y funcionales.

Las funciones trigonométricas incluyen las siguientes 6 funciones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante Y cosecante. Para cada una de estas funciones, existe una función trigonométrica inversa.

La definición geométrica de funciones trigonométricas se introduce convenientemente usando circulo unitario. La siguiente figura muestra un círculo con un radio r= 1. Se marca un punto en el círculo METRO(x, y). Ángulo entre radio vector OM y dirección del eje positivo Buey es igual α .

seno esquina α y puntos METRO(x, y) al radio r: pecado α = y/r. En la medida en r= 1, entonces el seno es igual a la ordenada del punto METRO(x, y).

coseno esquina α X puntos METRO(x, y) al radio r: porque α = X/r = X

tangente esquina α se llama razón de la ordenada y puntos METRO(x, y) a su abscisa X:broncearse α = y/X, X ≠ 0

Cotangente esquina α llamado el cociente de la abscisa X puntos METRO(x, y) a su ordenada y: gato α = X/y, y ≠ 0

Secante esquina α es la relación del radio r a la abscisa X puntos METRO(x, y):segundo α = r/X = 1/X, X ≠ 0

Cosecante esquina α es la relación del radio r a la ordenada y puntos METRO(x, y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

En un solo círculo de proyección X, y puntos METRO(x, y) y radio r forman un triángulo rectángulo en el que x, y son piernas y r− hipotenusa. Por lo tanto, las definiciones anteriores de funciones trigonométricas aplicadas a un triángulo rectángulo se formulan de la siguiente manera: seno esquina α es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa. coseno esquina α es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa. tangente esquina α llama al cateto opuesto al contiguo. Cotangente esquina α llama la pierna adyacente a la opuesta.

gráfica de la función seno y= pecado X, dominio: X ∈ ℜ , rango: −1 ≤ sin X ≤ 1

Gráfico de la función coseno y= porque X, dominio: X ∈ ℜ , rango: −1 ≤ cos X ≤ 1

gráfico de función tangente y= ttg X, dominio: X ∈ ℜ , X ≠ (2k + 1)π /2, rango: −∞< tg X < ∞

Gráfica de la función cotangente y=ctg X, dominio: X ∈ ℜ , X ≠ kπ, rango: −∞< ctg X < ∞

Medida en grados de un ángulo. La medida en radianes de un ángulo. Convierte grados a radianes y viceversa.

¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")

En la lección anterior, dominamos el conteo de ángulos en un círculo trigonométrico. Aprendió a contar ángulos positivos y negativos. Se dio cuenta de cómo dibujar un ángulo mayor a 360 grados. Es hora de ocuparse de la medición de ángulos. Sobre todo con el número "Pi", que se esfuerza por confundirnos en tareas peliagudas, eso sí...

Las tareas estándar en trigonometría con el número "Pi" se resuelven bastante bien. La memoria visual ayuda. Pero cualquier desviación de la plantilla, ¡derriba en el acto! Para no caer - comprender necesario. Lo que haremos con éxito ahora. En cierto sentido, ¡lo entendemos todo!

Entonces, qué los angulos cuentan? En el curso escolar de trigonometría se utilizan dos medidas: medida en grados de un angulo Y medida en radianes de un angulo. Echemos un vistazo a estas medidas. Sin esto, en trigonometría, en ninguna parte.

Medida en grados de un ángulo.

De alguna manera estamos acostumbrados a los grados. La geometría, como mínimo, pasó ... Sí, y en la vida a menudo nos encontramos con la frase "giró 180 grados", por ejemplo. Grado, en definitiva, una cosa sencilla...

¿Sí? Respóndeme entonces que es un grado ¿Qué no funciona de inmediato? Algo...

Los grados fueron inventados en la antigua Babilonia. Fue hace mucho tiempo... hace 40 siglos... Y simplemente se les ocurrió. Tomaron y rompieron el círculo en 360 partes iguales. 1 grado es 1/360 de un círculo. Y eso es. Se puede romper en 100 piezas. O por 1000. Pero lo dividieron en 360. Por cierto, ¿por qué exactamente por 360? ¿Por qué 360 es mejor que 100? 100 parece ser de alguna manera más uniforme... Intenta responder a esta pregunta. ¿O débil contra la antigua Babilonia?

En algún lugar al mismo tiempo Antiguo Egipto atormentado por otro problema. ¿Cuántas veces mayor es la circunferencia de un círculo que la longitud de su diámetro? Y así midieron, y así... Todo resultó un poco más de tres. Pero de alguna manera resultó peludo, desigual ... Pero ellos, los egipcios, no tienen la culpa. Después de ellos, sufrieron durante otros 35 siglos. Hasta que finalmente demostraron que no importa cuán finamente corten el círculo en partes iguales, de esas partes para hacer suave la longitud del diámetro es imposible... En principio, es imposible. Bueno, cuántas veces la circunferencia es mayor que el diámetro, por supuesto. Sobre. 3.1415926... veces.

Este es el número "Pi". Eso es peludo, tan peludo. Después del punto decimal, un número infinito de dígitos sin ningún orden ... Tales números se llaman irracionales. Esto, por cierto, significa que a partir de partes iguales de un círculo, el diámetro suave no doblar. Nunca.

Para aplicación práctica Es costumbre memorizar solo dos dígitos después del punto decimal. Recordar:

Como hemos entendido que la circunferencia de un círculo es mayor que el diámetro por "Pi" veces, tiene sentido recordar la fórmula para la circunferencia de un círculo:

Donde L es la circunferencia y D es su diámetro.

Útil en geometría.

Para educación general Agregaré que el número "Pi" se encuentra no solo en geometría ... ¡En varias secciones de las matemáticas, y especialmente en la teoría de la probabilidad, este número aparece constantemente! Por sí mismo. Más allá de nuestros deseos. Me gusta esto.

Pero volvamos a los grados. ¿Has descubierto por qué en la antigua Babilonia el círculo se dividía en 360 partes iguales? ¿Pero no 100, por ejemplo? ¿No? Bueno. Te daré una versión. No se puede preguntar a los antiguos babilonios... Para la construcción, o, digamos, la astronomía, es conveniente dividir un círculo en partes iguales. Ahora averigua qué números son divisibles por completamente 100, y cuáles - 360? ¿Y en qué versión de estos divisores? completamente- ¿más? Esta división es muy conveniente para las personas. Pero...

Como resultó mucho más tarde que la antigua Babilonia, no a todos les gustan los títulos. A las matemáticas superiores no les gustan... Las matemáticas superiores son una dama seria, dispuesta de acuerdo con las leyes de la naturaleza. Y esta señora declara: "Hoy rompiste el círculo en 360 partes, mañana lo romperás en 100 partes, pasado mañana en 245... ¿Y qué debo hacer? No en serio..." Tuve que obedecer. No se puede engañar a la naturaleza...

Tuve que introducir una medida del ángulo que no depende de las nociones humanas. Reunirse - ¡radián!

La medida en radianes de un ángulo.

¿Qué es un radián? De todos modos, la definición de un radián se basa en un círculo. Un ángulo de 1 radián es el ángulo que corta un arco a un círculo cuya longitud es ( L) es igual a la longitud del radio ( R). Miramos las fotos.

Un ángulo tan pequeño, casi no hay nada ... Pasamos el cursor sobre la imagen (o tocamos la imagen en la tableta) y vemos alrededor de uno radián. L=R

¿Siente la diferencia?

Un radián es mucho más grande que un grado. ¿Cuantas veces?

Veamos la siguiente imagen. En el que dibujé un semicírculo. El ángulo expandido es, por supuesto, de 180° de tamaño.

¡Y ahora cortaré este semicírculo en radianes! Pasamos el cursor sobre la imagen y vemos que 3 radianes con una cola encajan en 180 °.

¿Quién puede adivinar qué es esta cola de caballo?

¡Sí! Esta cola es 0.1415926.... ¡Hola Pi, aún no te hemos olvidado!

De hecho, hay 3,1415926 ... radianes en 180 grados. Como puedes imaginar, escribir 3.1415926 todo el tiempo... es un inconveniente. Por lo tanto, en lugar de este número infinito, siempre escriben simplemente:

Y aquí está el número en Internet.

es un inconveniente escribir ... Por lo tanto, en el texto lo escribo por nombre: "Pi". No te confundas...

Ahora, es bastante significativo escribir una igualdad aproximada:

O igualdad exacta:

Determina cuántos grados hay en un radián. ¿Cómo? ¡Fácilmente! Si hay 180 grados en 3,14 radianes, ¡entonces 1 radián es 3,14 veces menos! Es decir, dividimos la primera ecuación (¡la fórmula también es una ecuación!) por 3,14:

Es útil recordar esta relación: hay aproximadamente 60° en un radián. En trigonometría, a menudo tienes que averiguar, evaluar la situación. Aquí es donde el conocimiento ayuda mucho.

Pero la habilidad principal de este tema es conversión de grados a radianes y viceversa.

Si el ángulo se da en radianes con el número "pi", todo es muy sencillo. Sabemos que "pi" radianes = 180°. Así que sustituimos en lugar de radianes "Pi" - 180 °. Obtenemos el ángulo en grados. Reducimos lo reducido, y la respuesta está lista. Por ejemplo, necesitamos saber cuánto grados en la esquina "Pi"/2 radián? Aquí escribimos:

O, expresión más exótica:

Fácil, ¿verdad?

La traducción inversa es un poco más complicada. Pero no mucho. Si el ángulo se da en grados, debemos averiguar cuánto es un grado en radianes y multiplicar ese número por el número de grados. ¿Cuánto es 1° en radianes?

Observamos la fórmula y nos damos cuenta de que si 180° = "Pi" radianes, entonces 1° es 180 veces menor. O, en otras palabras, dividimos la ecuación (¡la fórmula también es una ecuación!) por 180. No hay necesidad de representar "Pi" como 3.14, siempre se escribe con una letra de todos modos. Obtenemos que un grado es igual a:

Eso es todo. Multiplique el número de grados por este valor para obtener el ángulo en radianes. Por ejemplo:

O, de manera similar:

Como puede ver, en una conversación pausada con digresiones líricas, resultó que los radianes son muy simples. Sí, y la traducción no tiene problemas ... Y "Pi" es algo completamente tolerable ... Entonces, ¿de dónde viene la confusión?

Voy a revelar el secreto. El caso es que en funciones trigonométricas se escribe el icono de grados. Es siempre. Por ejemplo, sin35°. esto es seno 35 grados . Y el icono de radianes ( contento) no está escrito! Él está implícito. O se apoderó de la pereza de los matemáticos, o de otra cosa... Pero decidieron no escribir. Si no hay íconos dentro del seno - cotangente, entonces el ángulo - en radianes ! Por ejemplo, cos3 es el coseno de tres radianes .

Esto lleva a malentendidos... Una persona ve "Pi" y cree que es 180°. En cualquier momento y en cualquier lugar. Por cierto, esto funciona. Por el momento, mientras que los ejemplos son estándar. ¡Pero Pi es un número! ¡El número 3.14 no son grados! ¡Eso es "Pi" radianes = 180°!

Una vez más: ¡"Pi" es un número! 3.14. Irracional, pero un número. Igual que 5 u 8. Puede, por ejemplo, tomar pasos de "Pi". Tres pasos y un poco más. O compre "Pi" kilogramos de dulces. Si atrapan a un vendedor educado...

¡"Pi" es un número! ¿Qué, te pillé con esta frase? ¿Ya entendiste todo? Bueno. Vamos a revisar. ¿Puedes decirme qué número es mayor?

¿O qué es menos?

Esto es de una serie de preguntas un poco atípicas que pueden conducir al estupor...

Si también caíste en un estupor, recuerda el hechizo: ¡"Pi" es un número! 3.14. En el primer seno, se indica claramente que el ángulo - en grados! ¡Por lo tanto, es imposible reemplazar "Pi" por 180 °! Los grados "Pi" son aproximadamente 3,14°. Por lo tanto, podemos escribir:

No hay símbolos en el segundo seno. Por lo tanto, allí - radianes! Aquí, reemplazar "Pi" con 180 ° funcionará bastante bien. Convirtiendo radianes a grados, como se escribió anteriormente, obtenemos:

Queda por comparar estos dos senos. Qué. ¿olvidó cómo? ¡Con la ayuda de un círculo trigonométrico, por supuesto! Dibujamos un círculo, dibujamos ángulos aproximados de 60° y 1.05°. Nos fijamos en los senos de estos ángulos. En resumen, todo, como al final del tema sobre el círculo trigonométrico, está pintado. En un círculo (¡incluso el torcido!) se verá claramente que sin60° significativamente más que sin1.05°.

Haremos exactamente lo mismo con los cosenos. En el círculo dibujamos ángulos de aproximadamente 4 grados y 4 radián(recuerde, ¿qué es aproximadamente 1 radian?). ¡El círculo lo dirá todo! Por supuesto, cos4 es menor que cos4°.

Practiquemos el manejo de medidas de ángulos.

Convierta estos ángulos de grados a radianes:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Deberías terminar con estos valores en radianes (¡en un orden diferente!)

0

Por cierto, he marcado especialmente las respuestas en dos líneas. Bueno, averigüemos cuáles son las esquinas en la primera línea. ¿En grados o en radianes?

¡Sí! ¡Estos son los ejes del sistema de coordenadas! Si observa el círculo trigonométrico, entonces el lado móvil del ángulo en estos valores encaja justo en el eje. Estos valores necesitan ser conocidos irónicamente. Y anoté el ángulo de 0 grados (0 radianes) no en vano. Y luego, algunos no pueden encontrar este ángulo en el círculo de ninguna manera ... Y, en consecuencia, se confunden en las funciones trigonométricas de cero ... Otra cosa es que la posición del lado móvil en cero grados coincide con la posición en 360 °, por lo que las coincidencias en el círculo están todo el tiempo cerca.

En la segunda línea también hay ángulos especiales... Estos son 30°, 45° y 60°. ¿Y qué tienen de especial ellos? Nada especial. La única diferencia entre estos rincones y todos los demás es que debes conocer estos rincones. todos. Y dónde están ubicados y cuáles son las funciones trigonométricas de estos ángulos. digamos el valor sin100° no tienes que saber PERO sin45°- ¡por favor se amable! Este es un conocimiento obligatorio, sin el cual no hay nada que hacer en trigonometría ... Pero más sobre esto en la próxima lección.

Hasta entonces, sigamos practicando. Convierta estos ángulos de radianes a grados:

Debería obtener resultados como este (en un lío):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

¿Sucedió? Entonces podemos suponer que convertir grados a radianes y viceversa- ya no es tu problema). Pero traducir ángulos es el primer paso para comprender la trigonometría. En el mismo lugar, aún necesita trabajar con senos-cosenos. Sí, y con tangentes, cotangentes también...

El segundo paso poderoso es la capacidad de determinar la posición de cualquier ángulo en un círculo trigonométrico. Tanto en grados como en radianes. Sobre esta misma habilidad, te insinuaré aburridamente en toda la trigonometría, sí ...) Si sabes todo (o crees que sabes todo) sobre el círculo trigonométrico y el conteo de ángulos en el círculo trigonométrico, puedes verificarlo fuera. Resuelve estas sencillas tareas:

1. ¿En qué cuarto caen las esquinas?

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

¿Fácilmente? Continuamos:

2. ¿En qué cuarto caen las esquinas?

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

¿También no hay problema? Atractivo...)

3. Puedes colocar esquinas en cuartos:

¿Pudiste? Bueno, le das ..)

4. Sobre qué ejes caerá la esquina:

y esquina:

¿También es fácil? Mm...)

5. ¿En qué cuarto caen las esquinas?

¿¡Y funcionó!? Bueno, entonces realmente no lo sé...)

6. Determine en qué cuarto caen las esquinas:

1, 2, 3 y 20 radianes.

Daré la respuesta solo a la última pregunta (es un poco engañosa) de la última tarea. Un ángulo de 20 radianes caerá en el primer cuarto.

No daré el resto de las respuestas por codicia.) Solo si no decidió algo duda como resultado, o gastado en la tarea No. 4 más de 10 segundos estás mal orientado en un círculo. Este será tu problema en toda la trigonometría. Es mejor deshacerse de él (¡un problema, no de trigonometría!) de inmediato. Esto se puede hacer en el tema: Trabajo práctico con un círculo trigonométrico en la sección 555.

Dice cómo resolver tales tareas de manera simple y correcta. Bueno, estas tareas están resueltas, por supuesto. Y la cuarta tarea se resolvió en 10 segundos. ¡Sí, así que decidió que cualquiera puede!

Si está absolutamente seguro de sus respuestas y no está interesado en formas simples y sin problemas de trabajar con radianes, no puede visitar 555. No insisto).

¡Una buena comprensión es una razón suficiente para seguir adelante!)

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Miremos la imagen. El vector \(AB \) "giró" en relación con el punto \(A \) en una cierta cantidad. Entonces la medida de esta rotación con respecto a la posición inicial será ángulo \(\alfa \).

¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, ¡unidades de ángulo, por supuesto!

El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.

Un ángulo en \(1()^\circ \) (un grado) es un ángulo central en un círculo basado en un arco circular igual a la parte \(\dfrac(1)(360) \) del círculo.

Así que todo el círculo se compone de \(360 \) "piezas" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es \(360()^\circ \) .

Es decir, la figura anterior muestra el ángulo \(\beta \) igual a \(50()^\circ \) , es decir, este ángulo se basa en un arco circular de tamaño \(\dfrac(50)(360 ) \) de la circunferencia.

Un ángulo en \(1 \) radianes es un ángulo central en un círculo, basado en un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo.

Entonces, la figura muestra el ángulo \(\gamma \) igual a \(1 \) radianes, es decir, este ángulo se basa en un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud \ (AB \) es igual a la longitud \(BB" \) o el radio \(r \) es igual a la longitud del arco \(l \) ) Por lo tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:

\(l=\theta \cdot r \) , donde \(\theta \) es el ángulo central en radianes.

Bien, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene un ángulo descrito por un círculo? Sí, para esto necesitas recordar la fórmula de la circunferencia de un círculo. Aqui esta ella:

\(L=2\pi \cdot r\)

Bien, ahora vamos a correlacionar estas dos fórmulas y obtendremos que el ángulo descrito por el círculo es \(2\pi \) . Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, obtenemos que \(2\pi =360()^\circ \) . En consecuencia, \(\pi =180()^\circ \) . Como puede ver, a diferencia de "grados", se omite la palabra "radian", ya que la unidad de medida suele ser clara en el contexto.

Tabla de valores de funciones trigonométricas

Nota. Esta tabla de valores de funciones trigonométricas utiliza el signo √ para denotar raíz cuadrada. Para denotar una fracción - el símbolo "/".

ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntrelo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, un seno de 30 grados: estamos buscando una columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la línea "30 grados", en su intersección leemos el resultado: uno segundo. Del mismo modo, encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin (seno) y la fila de 60 grados, encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. De la misma forma se encuentran los valores de senos, cosenos y tangentes de otros ángulos "populares".

Seno de pi, coseno de pi, tangente de pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de las funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulo. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa de manera única la dependencia de la circunferencia de un círculo con respecto a la medida en grados del ángulo. Entonces pi radianes es igual a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando el número pi (π) con 180.

Ejemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
así, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
cos π = cos 180 = -1
así, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. tangente pi
tg π = tg 180 = 0
así, la tangente de pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno, tangente para ángulos de 0 - 360 grados (valores frecuentes)

ángulo (grados)	ángulo en radianes (a través de pi)	pecado (seno)	porque (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)	segundo (secante)	porque (cosecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas, en lugar del valor de la función, se indica un guión (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces cuando valor dado la medida en grados de la función angular no tiene un significado definido. Si no hay guión, la celda está vacía, por lo que aún no hemos ingresado el valor deseado. Estamos interesados ​​​​en las solicitudes que nos solicitan los usuarios y complementamos la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulo más comunes son suficientes para resolver la mayoría problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grados
(valores numéricos "según tablas de Bradis")

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes	pecado (seno)	cos (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Los ángulos se miden en grados o radianes. Es importante entender la relación entre estas unidades de medida. Entender esta relación te permite operar con ángulos y hacer la transición de grados a radianes y viceversa. En este artículo, derivamos una fórmula para convertir grados a radianes y radianes a grados, y analizamos algunos ejemplos de la práctica.

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Relación entre grados y radianes

Para establecer una relación entre grados y radianes, necesitas saber el grado y la medida en radianes de un ángulo. Por ejemplo, tomemos un ángulo central que depende del diámetro de un círculo de radio r. Para calcular la medida en radianes de este ángulo, debes dividir la longitud del arco por la longitud del radio del círculo. El ángulo considerado corresponde a la longitud del arco igual a la mitad de la longitud del círculo π · r . Divide la longitud del arco por el radio y obtén la medida del ángulo en radianes: π · r r = π rad.

Entonces el ángulo en cuestión es π radianes. Por otro lado, es un ángulo recto igual a 180°. Por lo tanto, 180° = π rad.

Relación de grados a radianes

La relación entre radianes y grados se expresa mediante la fórmula

π radianes = 180°

Fórmulas para convertir radianes a grados y viceversa

A partir de la fórmula obtenida anteriormente, se pueden derivar otras fórmulas para convertir ángulos de radianes a grados y de grados a radianes.

Expresar un radian en grados. Para hacer esto, dividimos las partes izquierda y derecha del radio por pi.

1 rad \u003d 180 π °: la medida en grados de un ángulo en 1 radián es 180 π.

También puede expresar un grado en radianes.

1 ° = π 180 r un re

Puede realizar cálculos aproximados de valores de ángulos en radianes y viceversa. Para ello, tomamos los valores del número π hasta las diez milésimas y los sustituimos en las fórmulas resultantes.

1 r a d \u003d 180 π ° \u003d 180 3, 1416 ° \u003d 57, 2956 °

Así que hay alrededor de 57 grados en un radián.

1 ° = π 180 rad = 3,1416 180 rad = 0,0175 rad

Un grado contiene 0,0175 radianes.

La fórmula para convertir radianes a grados.

x ra d = x 180 π °

Para convertir un ángulo de radianes a grados, multiplique el ángulo en radianes por 180 y divídalo por pi.

Ejemplos de conversión de grados a radianes y radianes a grados

Considere un ejemplo.

Ejemplo 1: Conversión de radianes a grados

Sea α = 3, 2 rad. Necesitas saber la medida en grados de este ángulo.