1. Tarea.
¿A qué valores del parámetro a la ecuacion ( a - 1)X 2 + 2X + a- 1 = 0 tiene exactamente una raíz?
1. Decisión.
En a= 1 ecuación tiene la forma 2 X= 0 y obviamente tiene una sola raíz X= 0. Si a No. 1, entonces esta ecuación es cuadrática y tiene una sola raíz para aquellos valores del parámetro para el cual el discriminante trinomio cuadrado cero. Igualando el discriminante a cero, obtenemos una ecuación para el parámetro a
4a 2 - 8a= 0, de donde a= 0 o a = 2.
1. Respuesta: la ecuación tiene una sola raíz en a O(0; 1; 2).
2. Tarea.
Buscar todos los valores de los parámetros a, para la cual la ecuación tiene dos raíces diferentes X 2 +4hacha+8a+3 = 0.
2. Decisión.
La ecuacion X 2 +4hacha+8a+3 = 0 tiene dos raíces distintas si y solo si D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Obtenemos (después de la reducción por un factor común de 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, de donde
2. Respuesta:
| a O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) Y (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Tarea.
Se sabe que
F 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Graficar la función F 1 (X) en a = 1.
b) ¿A qué valor a gráficas de funciones F 1 (X) y F 2 (X) tienen un único punto en común?
3. Solución.
3.a. vamos a transformar F 1 (X) de la siguiente manera
La gráfica de esta función a= 1 se muestra en la figura de la derecha.
3.b. Inmediatamente notamos que la función grafica y =
kx+B y y = hacha 2 +bx+C
(a No. 0) se intersecan en un solo punto si y solo si la ecuación cuadrática kx+B =
hacha 2 +bx+C tiene una sola raíz. Uso de la vista F 1 de 3.a, igualamos el discriminante de la ecuación a = 6X-X 2 -6 a cero. De la Ecuación 36-24-4 a= 0 obtenemos a= 3. Haciendo lo mismo con la ecuación 2 X-a = 6X-X 2 -6 encontrar a= 2. Es fácil comprobar que estos valores de los parámetros satisfacen las condiciones del problema. Respuesta: a= 2 o a = 3.
4. Tarea.
Encuentra todos los valores a, bajo el cual el conjunto de soluciones de la desigualdad X 2 -2hacha-3a i 0 contiene el segmento .
4. Solución.
La primera coordenada del vértice de la parábola. F(X) =
X 2 -2hacha-3a es igual a X 0 =
a. De propiedades función cuadrática condición F(X) i 0 en el intervalo es equivalente a la totalidad de tres sistemas
tiene exactamente dos soluciones?
5. Decisión.
Reescribamos esta ecuación en la forma X 2 + (2a-2)X - 3a+7 = 0. Esta es una ecuación cuadrática, tiene exactamente dos soluciones si su discriminante es estrictamente mayor que cero. Calculando el discriminante, obtenemos que la condición para tener exactamente dos raíces es el cumplimiento de la desigualdad a 2 +a-6 > 0. Resolviendo la desigualdad, encontramos a < -3 или a> 2. Obviamente, la primera de las desigualdades no tiene soluciones en números naturales, y la solución natural más pequeña de la segunda es el número 3.
5. Respuesta: 3.
6. Tarea (10 celdas)
Encuentra todos los valores a, para lo cual la gráfica de la función o, después de transformaciones obvias, a-2 = |
2-a| . La última ecuación es equivalente a la desigualdad a yo 2
6. Respuesta: a O
tiene exactamente cuatro soluciones.
(USE 2018, ola principal)
La segunda ecuación del sistema se puede reescribir como \(y=\pm x\) . Por lo tanto, considere dos casos: cuando \(y=x\) y cuando \(y=-x\) . Entonces el número de soluciones del sistema será igual a la suma del número de soluciones en el primer y segundo caso.
1) \(y=x\) . Sustituimos en la primera ecuación y obtenemos: \
(nota que en el caso de \(y=-x\) haremos lo mismo y también obtendremos una ecuación cuadrática)
Para que el sistema original tenga 4 varias soluciones, necesitas obtener 2 soluciones en cada uno de los dos casos.
Una ecuación cuadrática tiene dos raíces cuando es \(D>0\) . Encontremos el discriminante de la ecuación (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\) .
Discriminante mayor que cero: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2; -2+\sqrt2)\).
2) \(y=-x\) . Obtenemos una ecuación cuadrática: \
El discriminante es mayor que cero: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\) , de donde \(a\in \left(\frac(-2-\sqrt2)3; \frac(-2+\sqrt2)3\right)\).
Es necesario verificar si las soluciones en el primer caso son las mismas que las soluciones en el segundo caso.
Sea \(x_0\) decisión común ecuaciones (1) y (2), entonces \
De aquí obtenemos que \(x_0=0\) o \(a=0\) .
Si \(a=0\) , entonces las ecuaciones (1) y (2) resultan ser iguales, por lo tanto, tienen raíces idénticas. Este caso no nos conviene.
Si \(x_0=0\) es su raíz común, entonces \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\), de donde \((2a+2)^2+a^2-1=0\) , de donde \(a=-1\) o \(a=-0,6\) . Entonces todo el sistema original tendrá 3 soluciones diferentes, lo que no nos conviene.
Ante todo esto, la respuesta será:
Respuesta:
\(a\in\left(\frac(-2-\sqrt2)3; -1\right)\cup\left(-1; -0.6\right)\cup\left(-0.6; - 2+\sqrt2 \derecho)\)
Tarea 2 #4032
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores \(a\) , para cada uno de los cuales el sistema \[\begin(casos) (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end(casos)\ ]
Tiene única decisión.
Reescribamos el sistema como: \[\begin(casos) ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end(casos)\] Considere tres funciones: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Del sistema se sigue que \(y\leqslant g\) , pero \(y\geqslant h\) . Por tanto, para que el sistema tenga soluciones, la gráfica \(y\) debe estar en el área, que viene dada por las condiciones: “encima” de la gráfica \(h\), pero “debajo” de la gráfica \(g\ ) :
(a la región "izquierda" la llamaremos región I, a la región "derecha" - región II)
Tenga en cuenta que para cada gráfico \(a\ne 0\) fijo \(y\) hay una parábola cuyo vértice está en el punto \((-1;0)\) , y cuyas ramas están hacia arriba o hacia abajo. Si \(a=0\) , entonces la ecuación se ve como \(y=0\) y el gráfico es una línea recta que coincide con el eje x.
Nótese que para que el sistema original tenga solución única, es necesario que la gráfica \(y\) tenga exactamente un punto común con la región I o con la región II (esto significa que la gráfica \(y\) debe tener un único punto común con la frontera de una de estas regiones).
Consideremos varios casos por separado.
1) \(a>0\) . Entonces las ramas de la parábola \(y\) se giran hacia arriba. Para que el sistema original tenga solución única es necesario que la parábola \(y\) toque el borde de la región I o el borde de la región II, es decir, toque la parábola \(g\), y la abscisa del punto tangente debe ser \(\leqslant -3\) o \(\geqslant 2\) (es decir, la parábola \(y\) debe tocar el borde de una de las regiones que está por encima de la x- eje, ya que la parábola \(y\) se encuentra por encima del eje x).
\(y"=2a(x+1)\) , \(g"=2x\) . Condiciones para que las gráficas \(y\) y \(g\) se toquen en el punto con abscisas \(x_0\leqslant -3\) o \(x_0\geqslant 2\) : \[\begin(casos) 2a(x_0+1)=2x_0\\ a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\ \left[\begin(recolectado)\begin(alineado) &x_0\leqslant - 3\\ &x_0\geqslant 2 \end(alineado)\end(reunidos)\right. \end(casos) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(casos) \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &x_0\leqslant -3\\ &x_0\geqslant 2 \end(alineados)\end(reunidos) \right.\\ a=\dfrac(x_0)(x_0+1)\\ x_0^2+5x_0+4=0 \end(casos)\] Del sistema dado \(x_0=-4\) , \(a=\frac43\) .
Obtuvimos el primer valor del parámetro \(a\) .
2) \(a=0\) . Entonces \(y=0\) y es claro que la recta tiene infinitos puntos en común con la región II. Por lo tanto, este valor de parámetro no nos conviene.
3) \(un<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
Encuentra \(a\) para la cual la parábola \(y\) pasa por el punto \(B\) : \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\] Nos aseguramos que con este valor del parámetro, el segundo punto de intersección de la parábola \(y=-\frac34(x+1)^2\) con la recta \(h=-2x-1\) es un punto con coordenadas \(\izquierda(-\frac13; -\frac13\derecha)\).
Por lo tanto, obtuvimos un valor de parámetro más.
Como hemos considerado todos los casos posibles para \(a\) , la respuesta final es: \
Respuesta:
\(\izquierda\(-\frac34; \frac43\derecha\)\)
Tarea 3 #4013
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales el sistema de ecuaciones \[\begin(casos) 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end(casos)\]
tiene exactamente dos soluciones.
1) Considere la primera ecuación del sistema como cuadrática con respecto a \(x\) : \ El discriminante es igual a \(D=9y^2\) , por lo tanto, \
Entonces la ecuación se puede reescribir como \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\] Por lo tanto, todo el sistema se puede reescribir como \[\begin(casos) \left[\begin(recopilados)\begin(alineados) &y=2x\\ &y=0.5x\end(alineados)\end(reunidos)\right.\\ (xa)^2 + (ya)^2=5a^4\end(casos)\] El conjunto define dos rectas, la segunda ecuación del sistema define un círculo con centro \((a;a)\) y radio \(R=\sqrt5a^2\) . Para que la ecuación original tenga dos soluciones, el círculo debe intersecar el gráfico de población exactamente en dos puntos. Aquí está el dibujo cuando, por ejemplo, \(a=1\) : 
Tenga en cuenta que dado que las coordenadas del centro del círculo son iguales, el centro del círculo "corre" a lo largo de la línea recta \(y=x\) .
2) Dado que la recta \(y=kx\) tiene la tangente del ángulo de inclinación de esta recta al sentido positivo del eje \(Ox\) es igual a \(k\), entonces la tangente de la pendiente de la recta \(y=0.5x\) es igual a \(0,5\) (llamémosle \(\mathrm(tg)\,\alpha\) ), la recta \(y=2x\) es igual a \(2\) (llamémoslo \(\mathrm(tg)\ ,\beta\) ). Darse cuenta de \(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(tg)\,\beta=1\), por eso, \(\mathrm(tg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\beta=\mathrm(tg)\,(90^\circ-\beta)\). Por lo tanto \(\alpha=90^\circ-\beta\) , de donde \(\alpha+\beta=90^\circ\) . Esto significa que el ángulo entre \(y=2x\) y la dirección positiva \(Oy\) es igual al ángulo entre \(y=0.5x\) y la dirección positiva \(Ox\) : 
Y dado que la línea \(y=x\) es la bisectriz del ángulo coordenado I (es decir, los ángulos entre ella y las direcciones positivas \(Ox\) y \(Oy\) son iguales en \(45^\ circ\) ), entonces los ángulos entre \(y=x\) y las líneas \(y=2x\) y \(y=0.5x\) son iguales.
Necesitábamos todo esto para poder decir que las líneas \(y=2x\) y \(y=0.5x\) son simétricas entre sí con respecto a \(y=x\), por lo tanto, si el círculo toca uno de ellos, entonces necesariamente toca la segunda línea.
Tenga en cuenta que si \(a=0\) , entonces el círculo degenera en el punto \((0;0)\) y tiene solo un punto de intersección con ambas líneas. Es decir, este caso no nos conviene.
Así, para que la circunferencia tenga 2 puntos de intersección con las rectas, debe ser tangente a estas rectas: 
Vemos que el caso cuando el círculo se ubica en el tercer cuarto es simétrico (con respecto al origen de coordenadas) al caso cuando se ubica en el primer cuarto. Es decir, en el primer cuarto \(a>0\) , y en el tercero \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Por lo tanto, consideraremos solo el primer trimestre. 
Darse cuenta de \(OQ=\sqrt((a-0)^2+(a-0)^2)=\sqrt2a\), \(QK=R=\sqrt5a^2\) . Luego luego \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4))\] Pero de otra manera, \[\mathrm(tg)\,\angle QOK=\mathrm(tg)\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac(\mathrm(tg)\, 45^\circ-\mathrm(tg) \,\alpha)(1+\mathrm(tg)\,45^\circ\cdot \mathrm(tg)\,\alpha)\] por eso, \[\dfrac(1-0.5)(1+1\cdot 0.5)=\dfrac(\sqrt5a^2)(\sqrt(2a^2-5a^4)) \quad\Leftrightarrow\quad a =\pm \ dfrac15\] Por lo tanto, ya obtuvimos inmediatamente un valor positivo y negativo para \(a\) . Por lo tanto, la respuesta es: \
Respuesta:
\(\{-0,2;0,2\}\)
Tarea 4 #3278
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \
tiene una solución única.
(USE 2017, juicio oficial 21/04/2017)
Hagamos el reemplazo \(t=5^x, t>0\) y movamos todos los términos en una sola parte: \
Hemos obtenido una ecuación cuadrática cuyas raíces, según el teorema de Vieta, son \(t_1=a+6\) y \(t_2=5+3|a|\) . Para que la ecuación original tenga una raíz, es suficiente que la ecuación resultante con \(t\) también tenga una raíz (¡positiva!).
Notamos de inmediato que \(t_2\) para todo \(a\) será positivo. Así, tenemos dos casos:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end(alineado) \end(reunidos) \right.\]
2) Como \(t_2\) siempre es positivo, \(t_1\) debe ser \(\leqslant 0\) : \
Respuesta:
\((-\infty;-6]\cup\left\(-\frac14;\frac12\right\)\)
Tarea 5 #3252
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
\[\raíz cuadrada(x^2-a^2)=\raíz cuadrada(3x^2-(3a+1)x+a)\]
tiene exactamente una raíz en el intervalo \(\) .
(Examen Estatal Unificado 2017, día de reserva)
La ecuación se puede reescribir como: \[\sqrt((x-a)(x+a))=\sqrt((3x-1)(x-a))\] Por lo tanto, tenga en cuenta que \(x=a\) es la raíz de la ecuación para cualquier \(a\) , ya que la ecuación se convierte en \(0=0\) . Para que esta raíz pertenezca al segmento \(\) , necesita \(0\leqslant a\leqslant 1\) .
La segunda raíz de la ecuación se encuentra a partir de \(x+a=3x-1\) , es decir, \(x=\frac(a+1)2\) . Para que este número sea la raíz de la ecuación, debe satisfacer la ODZ de la ecuación, es decir: \[\left(\dfrac(a+1)2-a\right)\cdot \left(\dfrac(a+1)2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\] Para que esta raíz pertenezca al segmento \(\) , es necesario que \
Así, para que la raíz \(x=\frac(a+1)2\) exista y pertenezca al segmento \(\) , es necesario que \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\).
Tenga en cuenta que entonces para \(0\leqslant a\leqslant 1\) ambas raíces \(x=a\) y \(x=\frac(a+1)2\) pertenecen al segmento \(\) (es decir , la ecuación tiene dos raíces en este segmento), excepto en el caso de que coincidan: \
Así que encajamos \(a\en \izquierda[-\frac13; 0\derecha)\) y \(a=1\) .
Respuesta:
\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\(1\)\)
Tarea 6 #3238
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \
tiene una sola raíz en el segmento \(.\)
(Examen Estatal Unificado 2017, día de reserva)
La ecuación es equivalente: \ ecuación odz: \[\begin(casos) x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end(casos)\] En la ODZ, la ecuación se reescribirá en la forma: \
1) Sea \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ No coincide con \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) Sea \(a=0\) . Entonces la ecuación ODZ es: \(x\geqslant 0\) . La ecuación se reescribirá como: \ La raíz resultante cabe debajo de la ODZ y se incluye en el segmento \(\) . Por lo tanto, \(a=0\) es adecuado.
3) Sea \(a>0\) . Entonces ODZ: \(x\geqslant a\) y \(x\leqslant 1\) . Por lo tanto, si \(a>1\) , entonces la ODZ es un conjunto vacío. Así, \(0
La derivada es \(y"=3x^2-2ax+3a\) . Determinemos de qué signo puede ser la derivada. Para ello, hallar el discriminante de la ecuación \(3x^2-2ax+3a=0\) : \(D=4a( a-9)\) Por lo tanto, para \(a\in (0;1]\) el discriminante \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\). Por lo tanto \(y\) es creciente. Así, por la propiedad de una función creciente, la ecuación \(y(x)=0\) puede tener como máximo una raíz.
Por lo tanto, para que la raíz de la ecuación (el punto de intersección de la gráfica \(y\) con el eje x) esté en el segmento \(\) , es necesario que \[\begin(cases) y(1)\geqslant 0\\ y(a)\leqslant 0 \end(cases)\quad\Rightarrow\quad a\in \] Considerando que inicialmente en el caso bajo consideración \(a\in (0;1]\) , entonces la respuesta es \(a\in (0;1]\) . Note que la raíz \(x_1\) satisface \( (1) \) , las raíces \(x_2\) y \(x_3\) satisfacen \((2)\) . También tenga en cuenta que la raíz \(x_1\) pertenece al segmento \(\) .
Considere tres casos:
1) \(a>0\) . Entonces \(x_2>3\) , \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\) satisface \((2)\) , \(x_3\) no satisface \((1)\) , o coincide con \(x_1\) , o satisface \((1)\) , pero no incluido en el segmento \(\) (es decir, menor que \(0\) );
- \(x_1\) no satisface \((2)\) , \(x_3\) satisface \((1)\) y no es igual a \(x_1\) .
Tenga en cuenta que \(x_3\) no puede ser menor que cero y satisfacer \((1)\) (es decir, mayor que \(\frac35\) ). Dada esta observación, los casos se registran en el siguiente conjunto: \[\left[ \begin(recolectado)\begin(alineado) &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\ end(casos)\\ &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Resolviendo esta colección y teniendo en cuenta que \(a>0\) , obtenemos: \
2) \(a=0\) . Entonces \(x_2=x_3=3\in .\) Note que en este caso \(x_1\) satisface \((2)\) y \(x_2=3\) satisface \((1)\) , luego hay es una ecuación que tiene dos raíces en \(\) . Este valor \(a\) no nos conviene.
3) \(un<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) y \(x_3\notin\) . Argumentando de manera similar al párrafo 1), debe resolver el conjunto: \[\left[ \begin(reunidos)\begin(alineados) &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\ end(casos)\\ &\begin(casos) \dfrac9(25)-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end(casos) \end(alineado) \end(reunidos)\right.\] Resolviendo esta colección y teniendo en cuenta que \(a<0\) , получим: \\]
Respuesta:
\(\left(-\frac(13)5;-\frac(12)5\right] \cup\left[\frac(12)5;\frac(13)5\right)\)
El propósito de este trabajo es estudiar varias formas de resolver problemas con parámetros. La capacidad y la habilidad para resolver problemas con parámetros demuestran el dominio de los métodos para resolver ecuaciones y desigualdades, una comprensión significativa de la información teórica, el nivel de pensamiento lógico y estimulan la actividad cognitiva. Para el desarrollo de estas habilidades se necesita un mayor esfuerzo, es por eso que en los grados 10-11 del perfil con un estudio profundo de las ciencias exactas, se introdujo un curso: “Práctica Matemática”, parte del cual es la solución de ecuaciones. y desigualdades con parámetros. El curso es una de las disciplinas incluidas en el componente curricular de la escuela.
El estudio exitoso de métodos para resolver problemas con parámetros puede ser ayudado por un curso electivo u opcional, o un componente detrás de una cuadrícula sobre el tema: "Problemas con parámetros".
Considere cuatro grandes clases de problemas con parámetros:
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas que necesitan resolverse para cualquier valor de parámetro, o para valores de parámetro que pertenecen a un determinado conjunto.
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, para lo cual se requiere determinar el número de soluciones en función del valor del parámetro.
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, para lo cual se requiere encontrar todos aquellos valores del parámetro para los cuales las ecuaciones indicadas (sistemas, desigualdades) tienen un número determinado de soluciones.
- Ecuaciones, desigualdades y sus sistemas, para los cuales, para los valores deseados del parámetro, el conjunto de soluciones satisface las condiciones dadas en el dominio de definición.
Métodos para la resolución de problemas con parámetros.
1. Método analítico.
Este es un método de solución directa que repite los procedimientos estándar para encontrar una respuesta en problemas sin un parámetro.
Ejemplo 1: encontrar todos los valores de los parámetros a, para lo cual la ecuación:
(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 tiene como máximo una raíz.
A las 2 a– 1 = 0 esta ecuación no es cuadrática, entonces el caso a=1/2 se analizan por separado.
Si a= 1/2, entonces la ecuación se convierte en 1/2 X– 2 = 0, tiene una raíz.
Si a≠ 1/2, entonces la ecuación es cuadrática; para que tenga a lo sumo una raíz es necesario y suficiente que el discriminante sea no positivo:
D= a 2 – 4(2a – 1)(2a – 3) = -15a 2 + 32a – 12;
Para escribir la respuesta final, es necesario entender
2. Método gráfico.
Dependiendo de la tarea (con una variable X y parámetro a) los gráficos se consideran en el plano de coordenadas ( x;y) o en el avión ( x;a).
Ejemplo 2. Para cada valor de parámetro a cuantificar las soluciones de la ecuación 
.
Tenga en cuenta que el número de soluciones de la ecuación igual al número de puntos de intersección de los gráficos de funciones 
y y = un.
Gráfico de función 
se muestra en la Fig. 1.
y=a es una línea horizontal. Según el gráfico, es fácil establecer el número de puntos de intersección en función de a(por ejemplo, cuando a= 11 – dos puntos de intersección; en a= 2 – ocho puntos de intersección).
respuesta: cuando a < 0 – решений нет; при a= 0 y a= 25/4 – cuatro soluciones; en 0< a < 6 – восемь решений; при a= 6 – siete soluciones; en
6 < a < 25/4 – шесть решений; при a> 25/4 - dos soluciones.
3. Método de decisión sobre el parámetro.
Al resolver de esta manera, las variables X y a se toman iguales, y se selecciona la variable con respecto a la cual la solución analítica se vuelve más simple. Después de las simplificaciones, debe volver al significado original de las variables. X y a y completa la solución.
Ejemplo 3: encontrar todos los valores de los parámetros a, para cada uno de los cuales la ecuación = - hacha +3a+2 tiene una solución única.
Resolveremos esta ecuación por cambio de variable. Sea = t , t≥ 0 entonces X = t 2 + 8 y la ecuación se convierte en en 2 +t + 5a– 2 = 0 . Ahora la tarea es encontrar todos a, para lo cual la ecuación en 2 +t + 5a– 2 = 0 tiene una única solución no negativa. Esto tiene lugar en los siguientes casos.
1) Si a= 0, entonces la ecuación tiene solución única t = 2.
Solución de algunos tipos de ecuaciones y desigualdades con parámetros.
Las tareas con parámetros ayudan en la formación del pensamiento lógico, en la adquisición de habilidades de investigación.
La solución de cada problema es única y requiere un enfoque individual, no estándar, ya que no existe una única forma de resolver tales problemas.
. Ecuaciones lineales.Tarea número 1. ¿Para qué valores del parámetro? B la ecuacion no tiene raices?
Tarea número 2. Buscar todos los valores de los parámetros a, para lo cual el conjunto de soluciones de la desigualdad:
contiene el número 6, y también contiene dos segmentos de longitud 6 que no tienen puntos comunes.
Transformemos ambos lados de la desigualdad.
Para que el conjunto de soluciones de la desigualdad contenga el número 6, es necesario y suficiente que se cumpla la siguiente condición: 
Figura 4
En a> 6 conjuntos de soluciones a la desigualdad: 
.
El intervalo (0;5) no puede contener ningún segmento de longitud 6. Por lo tanto, dos segmentos de longitud 6 que no se cortan deben estar contenidos en el intervalo (5; a).
. Ecuaciones exponenciales, desigualdades y sistemas.Tarea número 3. En el dominio de la definición de la función 
Toma todos los enteros positivos y súmalos. Encuentre todos los valores para los cuales dicha suma sea mayor que 5 pero menor que 10.
1) Gráfica de una función lineal-fraccional 
es una hipérbole. Por condición X> 0. Con incremento ilimitado X fracción decrece monótonamente y se aproxima a cero, y los valores de la función z aumentar y acercarse a 5. Además, z(0) = 1.
2) Por definición del grado, el dominio de definición D(año) consta de soluciones a la desigualdad . En a= 1 obtenemos una desigualdad que no tiene soluciones. Por lo tanto, la función en en ninguna parte definida.
3) En 0< a< 1 показательная функция с основанием a disminuye y la desigualdad es equivalente a la desigualdad . Porque X> 0 , entonces z(X) > z(0) = 1 . Entonces cada valor positivo X es una solución a la desigualdad . Por lo tanto, para tal a no se puede encontrar la cantidad especificada en la condición.
4) cuando a> 1 función exponencial con base a aumenta y la desigualdad es equivalente a la desigualdad . Si a≥ 5, entonces cualquier número positivo es su solución y no se puede encontrar la suma especificada en la condición. si 1< a < 5, то множество положительных решений – это интервал (0;X 0), donde a = z(X 0) .
5) Los números enteros se ubican en este intervalo en una fila, comenzando desde 1. Calculemos las sumas de números naturales consecutivos, comenzando desde 1: 1; 1+2 = 3; 1+2+3 = 6; 1+2+3+4 = 10;… Por tanto, la suma indicada será mayor que 5 y menor que 10 sólo si el número 3 se encuentra en el intervalo (0; X 0), y el número 4 no se encuentra en este intervalo. entonces 3< X 0 ≤ 4 . Como aumenta en , entonces z(3) < z(X 0) ≤ z(4) .
La solución de ecuaciones y desigualdades irracionales, así como ecuaciones, desigualdades y sistemas que contienen módulos se consideran en Anexo 1.
Los problemas con parámetros son complejos porque no existe un único algoritmo para resolverlos. La especificidad de tales problemas es que, junto con las cantidades desconocidas, incluyen parámetros cuyos valores numéricos no se especifican específicamente, pero se consideran conocidos y dados en un determinado conjunto numérico. Al mismo tiempo, los valores de los parámetros afectan significativamente el curso lógico y técnico de la resolución del problema y la forma de la respuesta.
Según las estadísticas, muchos de los egresados no comienzan a resolver problemas con parámetros para la USE. Según FIPI, solo el 10% de los graduados comienzan a resolver este tipo de problemas, y el porcentaje de su solución correcta es bajo: 2-3%, por lo que la adquisición de habilidades para resolver tareas difíciles y no estándar, incluidas tareas con parámetros, por escuela los estudiantes sigue siendo relevante.