"Pitagora teorēmas mācība" - Pitagora teorēma. Nosakiet četrstūra KMNP veidu. Iesildīties. Ievads teorēmā. Nosakiet trīsstūra veidu: Nodarbības plāns: Vēsturiskā atkāpe. Vienkāršu problēmu risināšana. Un atrodiet kāpnes 125 pēdu garumā. Aprēķināt trapeces ABCD augstumu CF. Pierādījums. Rāda attēlus. Teorēmas pierādījums.
"Prismas tilpums" - prizmas jēdziens. tiešā prizma. Sākotnējās prizmas tilpums ir vienāds ar reizinājumu S · h. Kā atrast taisnas prizmas tilpumu? Prizmu var sadalīt taisnās trīsstūrveida prizmās ar augstumu h. Uzzīmējiet trijstūra ABC augstumu virs jūras līmeņa. Problēmas risinājums. Nodarbības mērķi. Tiešās prizmas teorēmas pierādīšanas pamatsoļi? Prizmas tilpuma teorēmas izpēte.
"Prizmas daudzskaldnis" — definējiet daudzskaldni. DABC ir tetraedrs, izliekts daudzskaldnis. Prizmu izmantošana. Kur izmanto prizmas? ABCDMP ir oktaedrs, kas sastāv no astoņiem trīsstūriem. ABCDA1B1C1D1 ir paralēlskaldnis, izliekts daudzskaldnis. Izliekts daudzskaldnis. Daudzskaldņa jēdziens. Daudzskaldnis A1A2..AnB1B2..Bn ir prizma.
"Prizmu klase 10" - prizma ir daudzskaldnis, kura skaldnes atrodas paralēlās plaknēs. Prizmas izmantošana ikdienas dzīvē. Sside = Pbased. + h Taisnai prizmai: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Slīpa. Pareizi. Taisni. Prizma. Formulas apgabala atrašanai. Prizmas izmantošana arhitektūrā. Sp.p \u003d S puse + 2 S balstīta.
"Pitagora teorēmas pierādījums" - ģeometriskais pierādījums. Pitagora teorēmas nozīme. Pitagora teorēma. Eiklida pierādījums. "IN taisnleņķa trīsstūris hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu. Teorēmas pierādījumi. Teorēmas nozīme ir tāda, ka no tās vai ar tās palīdzību var izsecināt lielāko daļu ģeometrijas teorēmu.
Daudzskaldnis
Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir trīsdimensiju ķermeņi. Ķermenis ir telpas daļa, ko ierobežo kāda virsma.
daudzskaldnis Tiek saukts ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plakanā daudzstūra plaknes pusē, kas atrodas uz tā virsmas. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopīgo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju puses sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes daudzskaldņa virsotnes.
Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā sejas. Tajā ir 12 malas (kvadrātu malas) un 8 virsotnes (kvadrātu virsotnes).
Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.
Prizma
Prizmas definīcija un īpašības
prizma sauc par daudzskaldni, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno šo daudzstūru atbilstošos punktus. Daudzstūri tiek saukti prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.
Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai skaldnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogles ja tā bāze ir n-stūra.
Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no tā, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:
1. Prizmas pamatnes ir vienādas.
2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.
Prizmas virsmu veido pamatnes un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.
taisna prizma
Prizmu sauc taisni ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Pretējā gadījumā prizmu sauc slīpi.
Taisnas prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.
pilna virsma prizmas ir sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summa.
Pareiza prizma sauc par taisno prizmu ar regulāru daudzstūri pie pamatnes.
Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai līdzvērtīgi ar sānu riba).
Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:
,
kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.
Paralēles
Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.
Teorēma 13.2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā, un krustošanās punkts tiek sadalīts uz pusēm.
Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar T apmēram divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai . Turklāt tas nozīmē, ka līnijas un atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne šķērso paralēlas plaknes un gar paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles un krustojas, un krustošanās punkts tiek dalīts uz pusēm, kas bija jāpierāda.
Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris kuboīds. Visas kuboīda skaldnes ir taisnstūri. Taisnstūra paralēlskaldņa neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārajiem izmēriem (mērījumiem). Ir trīs izmēri (platums, augstums, garums).
Teorēma 13.3. Kvadrātveida formā jebkuras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu 
(pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).
kuboīds, kurā visas malas ir vienādas, sauc kubs.
Uzdevumi
13.1. Cik diagonāles ir n- oglekļa prizma
13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu virsmu un pretējo sānu malu.
13.3Caur labās apakšējās pamatnes malu trīsstūrveida prizma tiek uzzīmēta plakne, kas krustojas sānu sejas gar segmentiem, leņķis starp kuriem ir . Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.
Vispārīga informācija par taisnu prizmu
Par prizmas sānu virsmu (precīzāk, sānu virsmas laukumu) sauc summa sānu sejas zonas. Prizmas kopējā virsma ir vienāda ar sānu virsmas un pamatu laukumu summu.
Teorēma 19.1. Taisnas prizmas sānu virsma ir vienāda ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu, t.i., sānu malas garumu.
Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri. Šo taisnstūru pamati ir daudzstūra malas, kas atrodas prizmas pamatnē, un augstumi ir vienādi ar sānu malu garumu. No tā izriet, ka sānu virsma prizma ir
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kur a 1 un n ir pamatnes ribu garumi, p ir prizmas pamatnes perimetrs un I ir sānu ribu garums. Teorēma ir pierādīta.
Praktisks uzdevums
Uzdevums (22) . Slīpā prizmā sadaļā, perpendikulāri sānu malām un krustojot visas sānu malas. Atrodiet prizmas sānu virsmu, ja griezuma perimetrs ir p un sānu malas ir l.
Risinājums. Uzzīmētā griezuma plakne sadala prizmu divās daļās (411. att.). Vienu no tiem pakļausim paralēlajam tulkojumam, kas apvieno prizmas pamatus. Šajā gadījumā mēs iegūstam taisnu prizmu, kurā sākotnējās prizmas posms kalpo par pamatu, un sānu malas ir vienādas ar l. Šai prizmai ir tāda pati sānu virsma kā oriģinālajai. Tādējādi sākotnējās prizmas sānu virsma ir vienāda ar pl.
Tēmas vispārinājums
Un tagad mēģināsim ar jums apkopot prizmas tēmu un atcerēties, kādas īpašības ir prizmai.
Prizmas īpašības
Pirmkārt, prizmai visi tās pamati ir vienādi daudzstūri;
Otrkārt, prizmai visas tās sānu skaldnes ir paralelogrami;
Treškārt, tādā daudzšķautņainā figūrā kā prizma visas sānu malas ir vienādas;
Tāpat jāatceras, ka tādi daudzskaldņi kā prizmas var būt taisni un slīpi.
Kas ir taisna prizma?
Ja prizmas sānu mala ir perpendikulāra tās pamatnes plaknei, tad šādu prizmu sauc par taisni.
Nebūs lieki atgādināt, ka taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri.
Kas ir slīpā prizma?
Bet, ja prizmas sānu mala neatrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad mēs varam droši teikt, ka šī ir slīpa prizma.
Kāda ir pareizā prizma?
Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad šāda prizma ir regulāra.
Tagad atcerēsimies parastās prizmas īpašības.
Regulāras prizmas īpašības
Pirmkārt, vienmēr pamatojums labā prizma ir regulāri daudzstūri;
Otrkārt, ja ņemam vērā regulāras prizmas sānu skaldnes, tad tās vienmēr ir vienādi taisnstūri;
Treškārt, ja salīdzinām sānu ribu izmērus, tad pareizajā prizmā tie vienmēr ir vienādi.
Ceturtkārt, regulāra prizma vienmēr ir taisna;
Piektkārt, ja regulārā prizmā sānu malas ir kvadrātu formā, tad šādu figūru parasti sauc par pusregulāru daudzstūri.
Prizmas sadaļa
Tagad apskatīsim prizmas šķērsgriezumu:
Mājasdarbs
Un tagad mēģināsim konsolidēt pētīto tēmu, risinot problēmas.
Uzzīmēsim slīpu trīsstūrveida prizmu, kurā attālums starp tās malām būs: 3 cm, 4 cm un 5 cm, un šīs prizmas sānu virsma būs vienāda ar 60 cm2. Ar šiem parametriem atrodiet dotās prizmas sānu malu.
Un jūs to zināt ģeometriskas figūras pastāvīgi ieskauj mūs ne tikai ģeometrijas stundās, bet arī Ikdiena ir objekti, kas atgādina vienu vai otru ģeometrisku figūru.
Katrā mājā, skolā vai darbā ir dators, kura sistēmas vienība ir taisnas prizmas formā.
Ja paņemsiet vienkāršu zīmuli, jūs redzēsiet, ka zīmuļa galvenā daļa ir prizma.
Ejot pa pilsētas galveno ielu, redzam, ka zem kājām guļ flīze, kurai ir sešstūra prizmas forma.
A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm
Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.
Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi risinājumus, slazdus un LIETOT noslēpumus. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Vizuāls skaidrojums sarežģīti jēdzieni. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.
Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums ir jāizdomā, kāda veida tā izskatās.
Vispārējā teorija
Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt jebkurš daudzskaldnis var atrasties tā pamatnē - no trīsstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Kas neattiecas uz sānu virsmām - tās var ievērojami atšķirties pēc izmēra.
Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Var būt nepieciešams zināt sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.
Dažreiz uzdevumos parādās augstumi. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.
Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.
trīsstūrveida prizma
Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Ir zināms, ka tas ir savādāk. Ja tad pietiek atgādināt, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.
Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.
Lai atrastu pamatnes laukumu vispārējs skats, noder formulas: Gārnis un tas, kurā puse sānu ņemta līdz tai pievilktajā augstumā.
Pirmā formula jāraksta šādi: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Šajā ierakstā ir pusperimetrs (p), tas ir, trīs malu summa, kas dalīta ar divi.
Otrkārt: S = ½ n a * a.
Ja vēlaties uzzināt trijstūra prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulāra, tad trīsstūris ir vienādmalu. Tam ir sava formula: S = ¼ a 2 * √3.
četrstūra prizma
Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.
Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = av, kur a, b ir taisnstūra malas.
Ja runa ir par četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatlaukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo tas ir viņš, kurš atrodas bāzē. S \u003d a 2.
Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienlīdzība: S \u003d a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Tad, lai aprēķinātu augstumu, jums būs jāizmanto papildu formula: na \u003d b * sin A. Turklāt leņķis A atrodas blakus malai "b", un augstums ir na pretējs šim leņķim.
Ja rombs atrodas prizmas pamatnē, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.
Regulāra piecstūra prizma
Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūras var būt ar dažādu virsotņu skaitu.
Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizināts ar pieci.
Regulāra sešstūra prizma
Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, pamata sešstūri ir iespējams sadalīt 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatnes laukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai tajā jāreizina ar sešiem.
Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 un 2 * √3.
Uzdevumi
Nr.1. Norādīta regulāra taisne, kuras diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķina prizmas pamatnes laukumu un visas virsmas laukumu.
Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tā mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. No otras puses, šis segments "x" ir hipotenūza trīsstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 \u003d a 2 + a 2. Tādējādi izrādās, ka a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm. Tagad ir viegli noskaidrot pamatnes laukumu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāka pamatlaukuma vērtība un četrkāršots mala. Pēdējo ir viegli atrast pēc taisnstūra formulas: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Konstatēts, ka prizmas kopējais virsmas laukums ir 960 cm2.
Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma - 960 cm 2 .
Nr. 2. Dana Pie pamatnes atrodas trīsstūris ar malu 6 cm. Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.
Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu reiz ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir viena prizmas pamatnes laukums.
Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, pietiek ar šo skaitļu reizināšanu. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad sānu virsmas laukums tiek uztīts 180 cm 2 .
Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.