Prizmas sānu virsmas laukums. Sveiki! Šajā publikācijā mēs analizēsim stereometrijas problēmu grupu. Apskatīsim ķermeņu kombināciju - prizmu un cilindru. Šobrīd šis raksts pabeidz visu rakstu sēriju, kas saistīta ar uzdevumu veidu apsvēršanu stereometrijā.

Ja uzdevumu bankā parādīsies jauni, tad, protams, turpmāk blogā būs papildinājumi. Bet ar jau esošo ir pilnīgi pietiekami, lai eksāmena ietvaros uzzinātu, kā atrisināt visas problēmas ar īsu atbildi. Materiāla pietiks gadiem ilgi (matemātikas programma ir statiska).

Piedāvātie uzdevumi ietver prizmas laukuma aprēķināšanu. Es atzīmēju, ka zemāk mēs uzskatām taisnu prizmu (un attiecīgi taisnu cilindru).

Nezinot nekādas formulas, mēs to saprotam sānu virsma visas prizmas ir viņas sānu sejas. Taisnai prizmai ir taisnstūra sānu malas.

Šādas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar visu tās sānu virsmu (tas ir, taisnstūru) laukumu summu. Ja mēs runājam par parastu prizmu, kurā ir ierakstīts cilindrs, tad ir skaidrs, ka visas šīs prizmas skalas ir VIENĀDI taisnstūri.

Formāli parastās prizmas sānu virsmas laukumu var atspoguļot šādi:

27064. Parasta četrstūra prizma ir norobežota ap cilindru, kura pamatnes rādiuss un augstums ir vienāds ar 1. Atrodiet prizmas sānu virsmas laukumu.

Šīs prizmas sānu virsma sastāv no četriem vienāda laukuma taisnstūriem. Sejas augstums ir 1, prizmas pamatnes mala ir 2 (tie ir divi cilindra rādiusi), tāpēc sānu virsmas laukums ir vienāds ar:

Sānu virsmas laukums:

73023. Atrodiet regulārās sānu virsmas laukumu trīsstūrveida prizma, kas aprakstīts ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir √0,12 un augstums ir 3.

Dotās prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar trīs sānu malu (taisnstūru) laukumu summu. Lai atrastu sānu virsmas laukumu, jums jāzina tā augstums un pamatnes malas garums. Augstums ir trīs. Noskaidrosim pamatnes malas garumu. Apsveriet projekciju (skats no augšas):

Mums ir regulārs trīsstūris, kurā ir ierakstīts aplis ar rādiusu √0,12. No taisnleņķa trīsstūra AOC mēs varam atrast AC. Un tad AD (AD=2AC). Pēc pieskares definīcijas:

Tas nozīmē, ka AD = 2AC = 1,2. Tādējādi sānu virsmas laukums ir vienāds ar:

27066. Atrodiet sānu virsmas laukumu regulārai sešstūra prizmai, kas apzīmēta ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir √75 un augstums ir 1.

Nepieciešamā platība ir vienāda ar visu sānu virsmu laukumu summu. Parastai sešstūra prizmai ir sānu malas, kas ir vienādi taisnstūri.

Lai atrastu sejas laukumu, jums jāzina tās augstums un pamatnes malas garums. Augstums ir zināms, tas ir vienāds ar 1.

Noskaidrosim pamatnes malas garumu. Apsveriet projekciju (skats no augšas):

Mums ir regulārs sešstūris, kurā ir ierakstīts aplis ar rādiusu √75.

Apsvērsim taisnleņķa trīsstūris ABO. Mēs zinām kāju OB (tas ir cilindra rādiuss). Varam arī noteikt leņķi AOB, tas ir vienāds ar 300 (trijstūris AOC ir vienādmalu, OB ir bisektrise).

Izmantosim pieskares definīciju taisnleņķa trijstūrī:

AC = 2AB, jo OB ir mediāna, tas ir, tas dala AC uz pusēm, kas nozīmē AC = 10.

Tādējādi sānu virsmas laukums ir 1∙10=10 un sānu virsmas laukums ir:

76485. Atrodiet sānu virsmas laukumu regulārai trīsstūrveida prizmai, kas ierakstīta cilindrā, kura pamatnes rādiuss ir 8√3 un augstums ir 6.

Norādītās trīs vienāda izmēra skaldņu (taisnstūru) prizmas sānu virsmas laukums. Lai atrastu laukumu, ir jāzina prizmas pamatnes malas garums (mēs zinām augstumu). Ja ņemam vērā projekciju (skats no augšas), mums ir regulārs trīsstūris, kas ierakstīts aplī. Šī trīsstūra malu rādiusā izsaka šādi:

Sīkāka informācija par šīm attiecībām. Tātad tas būs vienāds

Tad sānu virsmas laukums ir: 24∙6=144. Un nepieciešamā platība:

245354. Ap cilindru, kura pamatnes rādiuss ir 2, ir norobežota regulāra četrstūra prizma. Prizmas sānu virsmas laukums ir 48. Atrodi cilindra augstumu.

Definīcija.

Šis ir sešstūris, kura pamatnes ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri

Sānu riba- ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse

Prizmas augstums- tas ir segments, kas ir perpendikulārs prizmas pamatnēm

Prizmas diagonāle- segments, kas savieno divas pamatu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai

Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām

Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkta robežas. Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris

Perpendikulārs griezums (ortogonāls griezums)- tas ir prizmas un plaknes krustpunkts, kas novilkts perpendikulāri tās sānu malām

Regulāras četrstūra prizmas elementi

Attēlā parādītas divas regulāras četrstūra prizmas, kuras apzīmē ar atbilstošiem burtiem:

• Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
• Sānu malas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
• Sānu virsma - visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
• Kopējā virsma - visu pamatņu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
• Sānu ribas AA 1, BB 1, CC 1 un DD 1.
• Diagonāle B 1 D
• Pamatnes diagonāle BD
• Diagonālais griezums BB 1 D 1 D
• Perpendikulārs griezums A 2 B 2 C 2 D 2.

Regulāras četrstūra prizmas īpašības

• Pamati ir divi vienādi kvadrāti
• Pamatnes ir paralēlas viena otrai
• Sānu malas ir taisnstūri
• Sānu malas ir vienādas viena ar otru
• Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
• Sānu ribas ir paralēlas viena otrai un vienādas
• Perpendikulārs griezums perpendikulārs visām sānu ribām un paralēls pamatnēm
• Perpendikulāra griezuma leņķi - taisni
• Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris
• Perpendikulārs (ortogonāls griezums) paralēli pamatiem

Formulas regulārai četrstūra prizmai

Norādījumi problēmu risināšanai

Risinot problēmas par tēmu " regulāra četrstūra prizma" nozīmē to:

Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Tas ir, regulāra četrstūra prizma atrodas tās pamatnē kvadrāts. (skatīt parastās četrstūra prizmas īpašības iepriekš) Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sekciju stereometrija - prizma). Šeit ir problēmas, kuras ir grūti atrisināt. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Lai norādītu izguves darbību kvadrātsakne simbols tiek izmantots problēmu risināšanā√ .

Uzdevums.

Regulārā četrstūra prizmā pamatnes laukums ir 144 cm 2 un augstums ir 14 cm. Atrodi prizmas diagonāli un laukumu pilna virsma.

Risinājums.
Regulārs četrstūris ir kvadrāts.
Attiecīgi pamatnes puse būs vienāda

√144 = 12 cm.
No kurienes regulāras taisnstūra prizmas pamatnes diagonāle būs vienāda ar
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Regulāras prizmas diagonāle veido taisnleņķa trīsstūri ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu. Attiecīgi, saskaņā ar Pitagora teorēmu, noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atbilde: 22 cm

Uzdevums

Nosakiet regulāras četrstūra prizmas kopējo virsmu, ja tās diagonāle ir 5 cm un sānu skaldnes diagonāle ir 4 cm.

Risinājums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatne ir kvadrāts, mēs atrodam pamatnes malu (apzīmēta kā a), izmantojot Pitagora teorēmu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tad sānu virsmas augstums (apzīmēts ar h) būs vienāds ar:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Kopējais virsmas laukums būs vienāds ar sānu virsmas laukuma summu un divkāršu pamatplatību

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Prizmas pamatne var būt jebkurš daudzstūris - trīsstūris, četrstūris utt. Abas pamatnes ir absolūti identiskas, un attiecīgi, ar kurām paralēlo malu stūri ir savienoti viens ar otru, vienmēr ir paralēli. Parastas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tas ir, tāds, kura visas malas ir vienādas. Taisnā prizmā ribas starp sānu virsmām ir perpendikulāras pamatnei. Šajā gadījumā taisnas prizmas pamatnē var būt daudzstūris ar jebkuru leņķu skaitu. Prizmu, kuras pamats ir paralelograms, sauc par paralēlskaldni. Taisnstūris ir īpašs paralelograma gadījums. Ja šis skaitlis atrodas pie pamatnes un sānu virsmas atrodas taisnā leņķī pret pamatni, paralēlskaldni sauc par taisnstūrveida. Otrais šī ģeometriskā ķermeņa nosaukums ir taisnstūrveida.

Kā viņa izskatās

Apkārt ir taisnstūra prizmas mūsdienu cilvēks diezgan daudz. Tas ir, piemēram, parasts kartons apaviem, datoru komponentiem utt. Paskaties apkārt. Pat telpā jūs, iespējams, redzēsit daudzas taisnstūra prizmas. Tas ietver datora korpusu, grāmatu skapi, ledusskapi, drēbju skapi un daudzas citas lietas. Forma ir ārkārtīgi populāra galvenokārt tāpēc, ka tā ļauj maksimāli izmantot savu telpu neatkarīgi no tā, vai dekorējat interjeru vai iepakojat lietas kartonā pirms pārvietošanas.

Taisnstūra prizmas īpašības

Taisnstūra prizmai ir vairākas īpašas īpašības. Jebkurš seju pāris var kalpot par to, jo visas blakus esošās virsmas atrodas vienādā leņķī viena pret otru, un šis leņķis ir 90°. Taisnstūra prizmas tilpumu un virsmas laukumu ir vieglāk aprēķināt nekā jebkuras citas. Paņemiet jebkuru objektu, kam ir taisnstūra prizmas forma. Izmēriet tā garumu, platumu un augstumu. Lai atrastu skaļumu, vienkārši reiziniet šos mērījumus. Tas ir, formula izskatās šādi: V=a*b*h, kur V ir tilpums, a un b ir pamatnes malas, h ir augstums, kas sakrīt ar šī ģeometriskā ķermeņa sānu malu. Pamatplatību aprēķina pēc formulas S1=a*b. Sānu virsmai vispirms jāaprēķina pamatnes perimetrs, izmantojot formulu P=2(a+b), un pēc tam jāreizina ar augstumu. Iegūtā formula ir S2=P*h=2(a+b)*h. Lai aprēķinātu taisnstūra prizmas kopējo virsmas laukumu, divreiz pievienojiet pamatnes laukumu un sānu virsmas laukumu. Formula ir S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Daudzskaldnis

Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir telpiskie ķermeņi. Ķermenis apzīmē telpas daļu, ko ierobežo noteikta virsma.

Daudzskaldnis ir ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plaknes daudzstūra plaknes vienā pusē uz tā virsmas. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopīgo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju puses sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes ir daudzskaldņa virsotnes.

Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā sejas. Tajā ir 12 malas (rūtiņu malas) un 8 virsotnes (lauku virsotnes).

Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.

Prizma

Prizmas definīcija un īpašības

Prizma ir daudzskaldnis, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno šo daudzstūru atbilstošos punktus. Par daudzstūriem sauc prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.

Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai skaldnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogleklis, ja tā bāze satur n-stūri.

Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no fakta, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:

1. Prizmas pamatnes ir vienādas.

2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.

Prizmas virsma sastāv no pamatnēm un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.

Taisna prizma

Prizmu sauc taisni, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Citādi prizmu sauc slīpi.

Taisnās prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.

Pilnas prizmas virsma sauc par sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summu.

Ar pareizo prizmu sauc par taisno prizmu ar regulāru daudzstūri tās pamatnē.

Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai, kas ir vienāds, ar sānu malu).

Pierādījums. Taisnās prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:

,

kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.

Paralēles

Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.

Teorēma 13.2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu.

Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar To ir divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai. Turklāt tas nozīmē, ka taisnas līnijas atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne šķērso paralēlas plaknes un gar paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūra paralēlskaldnis. U taisnstūra paralēlskaldnis visas sejas ir taisnstūri. Taisnstūra paralēlskaldņa neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārajiem izmēriem (izmēriem). Ir trīs šādi izmēri (platums, augstums, garums).

Teorēma 13.3. Taisnstūra paralēlskaldnis jebkuras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām kubs.

Uzdevumi

13.1. Cik diagonāļu tai ir? n-oglekļa prizma

13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu malu un pretējo malu.

13.3. Caur regulāras trīsstūrveida prizmas apakšējās pamatnes malu tiek novilkta plakne, kas krusto sānu virsmas pa segmentiem ar leņķi starp tiem. Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.

Definīcija 1. Prizmatiska virsma
Teorēma 1. Par prizmatiskas virsmas paralēliem posmiem
Definīcija 2. Prizmatiskas virsmas perpendikulārs griezums
Definīcija 3. Prizma
Definīcija 4. Prizmas augstums
5. Definīcija. Labā prizma
Teorēma 2. Prizmas sānu virsmas laukums

Paralēles:
Definīcija 6. Paralleleped
Teorēma 3. Par paralēlskaldņa diagonāļu krustpunktu
7. Definīcija. Labais paralēlskaldnis
Definīcija 8. Taisnstūra paralēlskaldnis
Definīcija 9. Paralēlskaldņa mērījumi
Definīcija 10. Kubs
Definīcija 11. Romboedrs
Teorēma 4. Par taisnstūra paralēlskaldņa diagonālēm
5. teorēma. Prizmas tilpums
6. teorēma. Taisnas prizmas tilpums
7. teorēma. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums

Prizma ir daudzskaldnis, kura divas skaldnes (pamatnes) atrodas paralēlās plaknēs, un malas, kas neatrodas šajās skaldnēs, ir paralēlas viena otrai.
Tiek sauktas citas sejas, izņemot pamatnes sānu.
Sānu virsmu un pamatņu malas sauc prizmas ribiņas, malu galus sauc prizmas virsotnes. Sānu ribas tiek sauktas malas, kas nepieder pie pamatiem. Sānu seju savienību sauc prizmas sānu virsma, un tiek saukta visu seju savienība pilna prizmas virsma. Prizmas augstums sauc par perpendikulu, kas nomests no augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni vai šī perpendikula garumu. Tiešā prizma sauc par prizmu, kuras sānu ribas ir perpendikulāras pamatu plaknēm. Pareizi sauc par taisnu prizmu (3. att.), kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris.

Apzīmējumi:
l - sānu riba;
P - bāzes perimetrs;
S o - bāzes platība;
H - augstums;
P^ - perpendikulāra griezuma perimetrs;
S b - sānu virsmas laukums;
V - tilpums;
S p ir prizmas kopējās virsmas laukums.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

1. definīcija . Prizmatiska virsma ir figūra, ko veido vairāku plakņu daļas, kas ir paralēlas vienai taisnei un kuras ierobežo tās taisnes, pa kurām šīs plaknes secīgi krustojas viena ar otru*; šīs līnijas ir paralēlas viena otrai un tiek sauktas prizmatiskās virsmas malas.
*Tiek pieņemts, ka katras divas secīgās plaknes krustojas un ka pēdējā plakne krustojas ar pirmo

1. teorēma . Prizmatiskas virsmas griezumi plaknēs, kas ir paralēlas viena otrai (bet ne paralēlas tās malām), ir vienādi daudzstūri.
Lai ABCDE un A"B"C"D"E ir prizmatiskas virsmas griezumi pa divām paralēlām plaknēm. Lai pārliecinātos, ka šie divi daudzstūri ir vienādi, pietiek parādīt, ka trijstūri ABC un A"B"C" ir vienādi un tiem ir vienāds griešanās virziens, un tas pats attiecas uz trijstūriem ABD un A"B"D", ABE un A"B"E. Bet šo trīsstūru atbilstošās malas ir paralēlas (piemēram, maiņstrāva ir paralēla maiņstrāvai) kā noteiktas plaknes krustošanās līnija ar divām paralēlām plaknēm; no tā izriet, ka šīs malas ir vienādas (piemēram, AC ir vienāds ar A"C"), tāpat kā paralelograma pretējās malas, un ka šo malu veidotie leņķi ir vienādi un tiem ir vienāds virziens.

2. definīcija . Prizmatiskas virsmas perpendikulārs posms ir šīs virsmas griezums ar plakni, kas ir perpendikulāra tās malām. Pamatojoties uz iepriekšējo teorēmu, visas vienas prizmatiskās virsmas perpendikulārie posmi būs vienādi daudzstūri.

3. definīcija . Prizma ir daudzskaldnis, ko ierobežo prizmatiska virsma un divas plaknes, kas ir paralēlas viena otrai (bet nav paralēlas prizmatiskās virsmas malām).
Sejas, kas atrodas šajās pēdējās plaknēs, tiek sauktas prizmu pamatnes; sejas, kas pieder prizmatiskajai virsmai - sānu sejas; prizmatiskās virsmas malas - prizmas sānu ribas. Saskaņā ar iepriekšējo teorēmu prizmas bāze ir vienādi daudzstūri. Visas prizmas sānu virsmas - paralelogrami; visas sānu ribas ir vienādas viena ar otru.
Acīmredzot, ja ir dota prizmas ABCDE pamatne un viena no malām AA" pēc izmēra un virziena, tad prizmu var konstruēt, zīmējot malas BB", CC", ... vienādas un paralēlas malai AA" .

4. definīcija . Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatu plaknēm (HH").

5. definīcija . Prizmu sauc par taisnu, ja tās pamati ir prizmas virsmas perpendikulāri griezumi. Šajā gadījumā prizmas augstums, protams, ir tā sānu riba; sānu malas būs taisnstūri.
Prizmas var klasificēt pēc sānu virsmu skaita, kas vienāds ar daudzstūra malu skaitu, kas kalpo par tā pamatni. Tādējādi prizmas var būt trīsstūrveida, četrstūrainas, piecstūrainas utt.

2. teorēma . Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar izstrādājumu sānu riba līdz perpendikulārā sekcijas perimetram.
Pieņemsim, ka ABCDEA"B"C"D"E" ir dota prizma un abcde tās perpendikulārais griezums tā, lai nogriežņi ab, bc, .. būtu perpendikulāri tās sānu malām. Seja ABA"B" ir paralelograms; tās laukums ir vienāds ar bāzes AA reizinājumu līdz augstumam, kas sakrīt ar ab; sejas laukums ВСВ "С" ir vienāds ar pamatnes ВВ reizinājumu ar augstumu bc utt. Līdz ar to sānu virsma (t.i., sānu virsmu laukumu summa) ir vienāda ar reizinājumu. sānu malas, citiem vārdiem sakot, segmentu kopējais garums AA", ВВ", .., summai ab+bc+cd+de+ea.