Funksioni rritet në rritjen e argumentit, i cili tenton në zero. Për ta gjetur atë, përdorni tabelën e derivateve. Për shembull, derivati i funksionit y = x3 do të jetë i barabartë me y’ = x2.
Barazoni këtë derivat me zero (në këtë rast x2=0).
Gjeni vlerën e ndryshores së dhënë. Këto do të jenë vlerat kur ky derivat do të jetë i barabartë me 0. Për ta bërë këtë, zëvendësoni numra arbitrar në shprehje në vend të x, në të cilin e gjithë shprehja do të bëhet zero. Për shembull:
2-2x2=0
(1-x) (1+x) = 0
x1=1, x2=-1
Zbatoni vlerat e marra në vijën e koordinatave dhe llogaritni shenjën e derivatit për secilën prej atyre të fituara. Në vijën e koordinatave shënohen pikat, të cilat merren si origjinë. Për të llogaritur vlerën në intervale, zëvendësoni vlera arbitrare që përputhen me kriteret. Për shembull, për funksionin e mëparshëm deri në intervalin -1, mund të zgjidhni vlerën -2. Për -1 deri në 1, mund të zgjidhni 0, dhe për vlerat më të mëdha se 1, zgjidhni 2. Zëvendësoni këta numra në derivat dhe gjeni shenjën e derivatit. Në këtë rast, derivati me x = -2 do të jetë i barabartë me -0,24, d.m.th. negative dhe do të ketë një shenjë minus në këtë interval. Nëse x=0, atëherë vlera do të jetë e barabartë me 2 dhe në këtë interval vihet një shenjë. Nëse x=1, atëherë edhe derivati do të jetë i barabartë me -0,24 dhe vihet minus.
Nëse, kur kalon një pikë në vijën koordinative, derivati ndryshon shenjën e tij nga minus në plus, atëherë kjo është një pikë minimale, dhe nëse nga plus në minus, atëherë kjo është një pikë maksimale.
Video të ngjashme
Për të gjetur derivatin, ekzistojnë shërbime në internet që llogaritin vlerat e kërkuara dhe shfaqin rezultatin. Në sajte të tilla, mund të gjeni një derivat deri në 5 porosi.
Burimet:
- Një nga shërbimet për llogaritjen e derivateve
- pika maksimale e funksionit
Pikat maksimale të funksionit së bashku me pikat minimale quhen pika ekstreme. Në këto pika, funksioni ndryshon sjelljen e tij. Ekstremet përcaktohen në intervale të kufizuara numerike dhe janë gjithmonë lokale.
Udhëzim
Procesi i gjetjes ekstremet lokale quhet funksion dhe kryhet duke analizuar derivatin e parë dhe të dytë të funksionit. Përpara se të filloni eksplorimin, sigurohuni që diapazoni i caktuar i vlerave të argumentit i përket vlerat e lejuara. Për shembull, për funksionin F=1/x, vlera e argumentit x=0 është e pavlefshme. Ose për funksionin Y=tg(x), argumenti nuk mund të ketë vlerën x=90°.
Sigurohuni që funksioni Y të jetë i diferencueshëm gjatë gjithë intervalit të dhënë. Gjeni derivatin e parë Y". Është e qartë se para se të arrijë pikën e një maksimumi lokal, funksioni rritet dhe kur kalon në maksimum, funksioni bëhet në rënie. Derivati i parë në kuptimin e tij fizik karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të funksioni.Ndërsa funksioni është në rritje shpejtësia e këtij procesi është një vlerë pozitive.Kur kalon një maksimum lokal funksioni fillon të ulet dhe shpejtësia e procesit të ndryshimit të funksionit bëhet negative.Tranzicioni i shpejtësisë ndryshimi i funksionit përmes zeros ndodh në pikën e maksimumit lokal.
Për shembull, funksioni Y \u003d -x² + x + 1 në segmentin nga -1 në 1 ka një derivat të vazhdueshëm Y "\u003d -2x + 1. Në x \u003d 1/2, derivati është zero, dhe kur duke kaluar në këtë pikë, derivati ndryshon shenjën nga " +" në "-". Derivati i dytë i funksionit Y "=-2. Ndërtoni një grafik pikë për pikë të funksionit Y=-x²+x+1 dhe kontrolloni nëse pika me abshisën x=1/2 është një maksimum lokal në një segment të caktuar të boshtit numerik.
Nga ky artikull, lexuesi do të mësojë se çfarë është një ekstrem i një vlere funksionale, si dhe për veçoritë e përdorimit të tij në aktivitete praktike. Studimi i një koncepti të tillë është jashtëzakonisht i rëndësishëm për të kuptuar themelet e matematikës së lartë. Kjo temë është thelbësore për një studim më të thellë të kursit.
Në kontakt me
Çfarë është një ekstrem?
Në kursin shkollor jepen shumë përkufizime të konceptit "ekstrem". Ky artikull synon të japë kuptimin më të thellë dhe më të qartë të termit për ata që janë injorantë për këtë çështje. Pra, termi kuptohet se në çfarë mase intervali funksional fiton një vlerë minimale ose maksimale në një grup të caktuar.
Ekstremi është vlera minimale e funksionit dhe maksimumi në të njëjtën kohë. Ekziston një pikë minimale dhe një pikë maksimale, domethënë vlerat ekstreme të argumentit në grafik. Shkencat kryesore në të cilat përdoret ky koncept:
- statistika;
- kontrolli i makinës;
- ekonometria.
Pikat ekstreme luajnë një rol të rëndësishëm në përcaktimin e sekuencës së një funksioni të caktuar. Sistemi i koordinatave në grafikun në në më të mirën e saj tregon ndryshimin në pozicionin ekstrem në varësi të ndryshimit të funksionalitetit.
Ekstrema e funksionit derivat
Ekziston edhe një gjë e tillë si "derivativ". Është e nevojshme të përcaktohet pika ekstreme. Është e rëndësishme të mos ngatërroni pikët minimale ose maksimale me vlerat më të mëdha dhe më të vogla. Këto janë koncepte të ndryshme, megjithëse mund të duken të ngjashme.
Vlera e funksionit është faktori kryesor në përcaktimin e mënyrës së gjetjes së pikës maksimale. Derivati nuk formohet nga vlerat, por ekskluzivisht nga pozicioni i tij ekstrem në një rend ose në një tjetër.
Vetë derivati përcaktohet në bazë të të dhënave të pikave ekstreme, dhe jo në vlerën më të madhe ose më të vogël. Në shkollat ruse, kufiri midis këtyre dy koncepteve nuk është tërhequr qartë, gjë që ndikon në kuptimin e kësaj teme në përgjithësi.
Le ta konsiderojmë tani një gjë të tillë si një "ekstrem të mprehtë". Deri më sot, ekziston një vlerë minimale akute dhe një vlerë maksimale akute. Përkufizimi është dhënë në përputhje me klasifikimin rus të pikave kritike të një funksioni. Koncepti i një pike ekstreme është baza për gjetjen e pikave kritike në një tabelë.
Për të përcaktuar një koncept të tillë, përdoret teorema e Fermatit. Është thelbësore në studim pika ekstreme dhe jep një ide të qartë të ekzistencës së tyre në një formë ose në një tjetër. Për të siguruar ekstremitetin, është e rëndësishme të krijohen kushte të caktuara për ulje ose rritje në grafik.
Për t'iu përgjigjur me saktësi pyetjes "si të gjeni pikën maksimale", duhet të ndiqni këto dispozita:
- Gjetja e zonës së saktë të përkufizimit në grafik.
- Kërkoni për derivatin e një funksioni dhe një pikë ekstreme.
- Zgjidhja e pabarazive standarde për domenin e argumentit.
- Të jetë në gjendje të vërtetojë se në cilat funksione një pikë në një grafik është e përcaktuar dhe e vazhdueshme.
Kujdes! Kërko pikë kritike funksioni është i mundur vetëm në rastin e ekzistencës së një derivati të të paktën rendit të dytë, i cili sigurohet nga një proporcion i lartë i pranisë së një pike ekstreme.
Kusht i domosdoshëm për ekstremin e funksionit
Në mënyrë që një ekstrem të ekzistojë, është e rëndësishme që të ketë pikë minimale dhe maksimale. Nëse ky rregull respektohet vetëm pjesërisht, atëherë cenohet kushti për ekzistimin e një ekstremi.
Çdo funksion në çdo pozicion duhet të diferencohet në mënyrë që të identifikohen kuptimet e tij të reja. Është e rëndësishme të kuptohet se rasti kur një pikë zhduket nuk është parimi kryesor për të gjetur një pikë të diferencueshme.
Një ekstrem i mprehtë, si dhe një minimum i një funksioni, është një aspekt jashtëzakonisht i rëndësishëm i vendimit problem matematikor duke përdorur vlera ekstreme. Për të kuptuar më mirë këtë komponent, është e rëndësishme t'i referoheni vlerave tabelare për caktimin e funksionalit.
| Një eksplorim i plotë i kuptimit | Hartimi i një vlere |
| 1. Përcaktimi i pikave të rritjes dhe uljes së vlerave. 2. Gjetja e pikave të thyerjes, ekstremit dhe kryqëzimit me boshtet koordinative. 3. Procesi i përcaktimit të ndryshimeve në pozicion në grafik. 4. Përcaktimi i indeksit dhe drejtimit të konveksitetit dhe konveksitetit, duke marrë parasysh praninë e asimptotave. 5. Krijimi i një tabele përmbledhëse të studimit në drejtim të përcaktimit të koordinatave të tij. 6. Gjetja e intervaleve të rritjes dhe uljes së pikave ekstreme dhe akute. 7. Përcaktimi i konveksitetit dhe konkavitetit të lakores. 8. Ndërtimi i një grafiku bazuar në studim ju lejon të gjeni një minimum ose maksimum. |
Elementi kryesor, kur është e nevojshme të punohet me ekstreme, është ndërtimi i saktë i grafikut të tij. Mësuesit e shkollës shpesh nuk i kushtojnë aq shumë aspekt i rëndësishëm vëmendje maksimale, që është një shkelje e rëndë e procesit arsimor. Ndërtimi i grafikut ndodh vetëm në bazë të rezultateve të studimit të të dhënave funksionale, përcaktimit të ekstremeve të mprehta, si dhe pikave në grafik. Ekstremet e mprehta të derivatit të një funksioni shfaqen në një grafik të vlerave të sakta, duke përdorur procedurën standarde për përcaktimin e asimptotave. |
77419.Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d x 3 -48x + 17
Le të gjejmë zerot e derivatit:
Le të marrim rrënjët:
Le të përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit duke zëvendësuar vlerat nga intervalet në derivatin që rezulton dhe të përshkruajmë sjelljen e funksionit në figurë:
Ne zbuluam se në pikën –4, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative. Kështu, pika x=-4 është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: -4
77423. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d x 3 -3x 2 +2
Gjeni derivatin e funksionit të dhënë:
Barazoni derivatin me zero dhe zgjidhni ekuacionin:
Në pikën x=0, derivati ndryshon shenjën nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale.
77427. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3
Gjeni derivatin e funksionit të dhënë:
Kur barazojmë derivatin me zero dhe zgjidhim ekuacionin:
Le të përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit dhe të vizatojmë në figurë intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit duke zëvendësuar vlerat nga çdo interval në shprehjen derivatore:
Në pikën x=-1, derivati ndryshon shenjën nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: -1
77431. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
3x 2 - 10x + 7 = 0
3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
Në pikën x = 1, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
77435. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d 7 + 12x - x 3
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
12 - 3x 2 = 0
Duke vendosur ekuacioni kuadratik marrim:
*Këto janë pikat maksimale (minimale) të funksionit.
Të ndërtojmë një bosht numerik, të shënojmë zerot e derivatit. Ne përcaktojmë shenjat e derivatit duke zëvendësuar një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen e derivatit të funksionit dhe në mënyrë skematike përshkruajmë rritjen dhe uljen në intervale:
12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
12 – 3∙0 2 = 12 > 0
12 – 3∙3 2 = –15 < 0
Në pikën x = 2, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
*Për të njëjtin funksion, pika minimale është pika x = - 2.
77439. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d 9x 2 -x 3
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
18x -3x 2 = 0
3x(6 - x) = 0
Duke zgjidhur ekuacionin marrim:
*Këto janë pikat maksimale (minimale) të funksionit.
Të ndërtojmë një bosht numerik, të shënojmë zerot e derivatit. Ne përcaktojmë shenjat e derivatit duke zëvendësuar një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen e derivatit të funksionit dhe në mënyrë skematike përshkruajmë rritjen dhe uljen në intervale:
18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0
Në pikën x=6 derivati e ndryshon shenjën nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
*Për të njëjtin funksion, pika minimale është x = 0.
Algoritmi për gjetjen e këtyre pikave tashmë është diskutuar më shumë se një herë, unë do të përsëris shkurtimisht:
1. Gjeni derivatin e funksionit.
2. Gjeni zerot e derivatit (derivatin e barazojmë me zero dhe zgjidhim ekuacionin).
3. Më pas, ndërtojmë një bosht numerik, shënojmë pikat e gjetura në të dhe përcaktojmë shenjat e derivatit në intervalet e marra. *Kjo bëhet duke zëvendësuar vlerat arbitrare nga intervalet në derivat.
Nëse nuk jeni plotësisht të panjohur me vetitë e derivatit për studimin e funksioneve, atëherë sigurohuni që të studioni artikullin« ». Përsëriteni gjithashtu tabelën e derivateve dhe rregullave të diferencimit (të disponueshme në të njëjtin artikull). Konsideroni detyrat:
77431. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d x 3 -5x 2 + 7x -5.
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
3x 2 - 10x + 7 = 0
y(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
y (2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
y(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
Në pikën x = 1, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: 1
77432. Gjeni pikën minimale të funksionit y \u003d x 3 + 5x 2 + 7x–5.
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
3x 2 + 10x + 7 = 0
Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik marrim:
Përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit në intervale dhe i shënojmë në skicë. Ne zëvendësojmë një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen derivatore:
y(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0
y(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0
y(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
Në pikën x \u003d -1, derivati ndryshon shenjën e tij nga negative në pozitive, që do të thotë se kjo është pika minimale e dëshiruar.
Përgjigje: -1
77435. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d 7 + 12x - x 3
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
12 - 3x 2 = 0
x 2 = 4
Duke zgjidhur ekuacionin marrim:
*Këto janë pikat maksimale (minimale) të funksionit.
Përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit në intervale dhe i shënojmë në skicë. Ne zëvendësojmë një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen derivatore:
y(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
y(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0
y( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0
Në pikën x = 2, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: 2
*Për të njëjtin funksion, pika minimale është pika x = - 2.
77439. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d 9x 2 - x 3.
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
18x -3x 2 = 0
3x(6 - x) = 0
Duke zgjidhur ekuacionin marrim:
Përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit në intervale dhe i shënojmë në skicë. Ne zëvendësojmë një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen derivatore:
y(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
y(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
y(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0
Në pikën x = 6, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: 6
*Për të njëjtin funksion, pika minimale është x = 0.
77443. Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d (x 3 / 3) -9x -7.
Le të gjejmë derivatin e funksionit:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
x 2 - 9 = 0
x 2 = 9
Duke zgjidhur ekuacionin marrim:
Përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit në intervale dhe i shënojmë në skicë. Ne zëvendësojmë një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen derivatore:
y(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0
y(0) "= 0 2 – 9 < 0
y(4) "= 4 2 – 9 > 0
Në pikën x \u003d - 3, derivati ndryshon shenjën e tij nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: - 3
9 - x 2 \u003d 0
x 2 = 9
Duke zgjidhur ekuacionin marrim:
Përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit në intervale dhe i shënojmë në skicë. Ne zëvendësojmë një vlerë arbitrare nga çdo interval në shprehjen derivatore:
y(–4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0
y(0 Zgjidhje .
Kjo eshte e gjitha. Paç fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse tregoni për faqen në rrjetet sociale.
Pershendetje te dashur miq! Ne vazhdojmë të shqyrtojmë detyrat që lidhen me studimin e funksioneve. Unë rekomandoj që ju duhet të zgjidhni probleme për gjetjen e vlerës maksimale (minimale) të një funksioni dhe për gjetjen e pikave maksimale (minimale) të një funksioni.
Detyrat me logaritme për të gjetur vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit ne. Në këtë artikull do të shqyrtojmë tre problema në të cilat bëhet fjalë për gjetjen e pikave maksimale (minimale) të funksioneve, me ç'rast logaritmi natyror është i pranishëm në funksionin e dhënë.
Momenti teorik:
Sipas përcaktimit të logaritmit, shprehja nën shenjën e logaritmit duhet të jetë më e madhe se zero. *Kjo duhet të merret parasysh jo vetëm në këto problema, por edhe kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë një logaritëm.
Algoritmi për gjetjen e pikave maksimale (minimale) të funksionit:
1. Njehsojmë derivatin e funksionit.
2. Barazoni me zero, zgjidhni ekuacionin.
3. Rrënjët e fituara i shënojmë në vijën numerike.*Në të shënojmë edhe pikat ku derivati nuk ekziston. Le të marrim intervalet në të cilat funksioni rritet ose zvogëlohet.
4. Përcaktoni shenjat e derivatit në këto intervale (duke zëvendësuar vlera arbitrare prej tyre në derivat).
5. Ne nxjerrim një përfundim.
Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d ln (x - 11) - 5x + 2
Ne shkruajmë menjëherë se x–11>0 (sipas përcaktimit të logaritmit), domethënë x> 11.
Ne do të shqyrtojmë funksionin në intervalin (11;∞).
Le të gjejmë zerot e derivatit:
Pika x = 11 nuk përfshihet në domenin e funksionit dhe derivati nuk ekziston në të. Shënojmë në boshtin numerik dy pika 11 dhe 11.2. Ne përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit duke zëvendësuar vlera arbitrare nga intervalet (11;11,2) dhe (11,2;+∞) në derivatin e gjetur dhe përshkruajmë sjelljen e funksionit në figurë. :
Kështu, në pikën x \u003d 11.2, derivati i funksionit ndryshon shenjën nga pozitive në negative, që do të thotë se kjo është pika maksimale e dëshiruar.
Përgjigje: 11.2
Vendosni vetë:
Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d ln (x + 5) - 2x + 9.
Gjeni pikën minimale të funksionit y \u003d 4x - ln (x + 5) + 8
Menjëherë shkruajmë se x + 5> 0 (nga vetia e logaritmit), pra x> -5.
Ne do të shqyrtojmë funksionin në intervalin (– 5;+∞).
Gjeni derivatin e funksionit të dhënë:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
Pika x = -5 nuk përfshihet në fushëveprimin e funksionit dhe derivati nuk ekziston në të. Shënoni dy pika në vijën numerike-5 dhe -4,75. Le të përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit duke zëvendësuar vlera arbitrare nga intervalet (–5;–4,75) dhe (–4,75; +∞) në derivatin e gjetur dhe të përshkruajmë sjelljen e funksionit në figurë. :
Kështu, në pikën x = -4.75, derivati i funksionit ndryshon shenjën nga negative në pozitive, që do të thotë se kjo është pika minimale e dëshiruar.
Përgjigje: - 4.75
Vendosni vetë:
Gjeni pikën minimale të funksionit y=2x–ln (x+3)+7.
Gjeni pikën maksimale të funksionit y \u003d x 2 -34x + 140lnx -10
Sipas vetive të logaritmit, shprehja nën shenjën e saj është më e madhe se zero, domethënë x\u003e 0.
Ne do të shqyrtojmë funksionin në intervalin (0; +∞).
Gjeni derivatin e funksionit të dhënë:
Le të gjejmë zerot e derivatit:
Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik, marrim: D \u003d 9 x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 7.
Pika x = 0 nuk përfshihet në fushëveprimin e funksionit dhe derivati nuk ekziston në të. Ne shënojmë tre pika në boshtin numerik 0, 7 dhe 10.
Boshti x ndahet në intervale: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Ne përcaktojmë shenjat e derivatit të funksionit duke zëvendësuar vlerat arbitrare nga intervalet e marra në derivatin e gjetur dhe përshkruajmë sjelljen e funksionit në figurë:
Kjo eshte e gjitha. Ju uroj suksese!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh
P.S: Do të isha mirënjohës nëse tregoni për faqen në rrjetet sociale.