Gjeni të gjitha rrënjët e ekuacionit që i përkasin intervalit. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike dhe metodat për zgjedhjen e rrënjëve në një interval të caktuar

27. Zgjidhni rrënjët në një segment të caktuar

28. 10. Zgjidhet ekuacioni 2sin2x = 4cos x –sinx + 1 Gjeni rrënjët e tij në intervalin [ / 2; 3 / 2]

29. Zgjidhni rrënjët duke përdorur një rreth

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur lini një kërkesë në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe të raportojmë oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose ngjarje të ngjashme promovuese, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar ato programe.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin e gjykatës, në procedurat gjyqësore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - të zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për sigurinë, zbatimin e ligjit ose arsye të tjera të rëndësishme shoqërore.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë përkatëse - pasardhësi ligjor.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe abuzimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respekt për privatësinë tuaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne sjellim rregullat e konfidencialitetit dhe sigurisë për punonjësit tanë dhe monitorojmë me përpikëri zbatimin e masave të konfidencialitetit.

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet trigonometrike i përshtatshëm për t'u përdorur metoda e konvergjencës ndaj problemeve të zgjidhura më parë. Le të shohim se cili është thelbi i kësaj metode?

Në çdo problem të propozuar, ju duhet të shihni problemin e zgjidhur më parë, dhe më pas, duke përdorur transformime të njëpasnjëshme ekuivalente, përpiquni ta reduktoni problemin e dhënë në një më të thjeshtë.

Pra, kur zgjidhin ekuacionet trigonometrike, ato zakonisht përbëjnë një sekuencë të fundme ekuacionesh ekuivalente, lidhja e fundit e të cilave është një ekuacion me një zgjidhje të dukshme. Është e rëndësishme vetëm të mbani mend se nëse nuk formohen aftësitë për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, atëherë zgjidhja e ekuacioneve më komplekse do të jetë e vështirë dhe joefektive.

Për më tepër, kur zgjidhni ekuacionet trigonometrike, nuk duhet të harroni kurrë mundësinë e ekzistencës së disa zgjidhjeve.

Shembulli 1. Gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit cos x = -1/2 në interval.

Zgjidhja:

Metoda I. Të vizatojmë grafikët e funksioneve y = cos x dhe y = -1/2 dhe të gjejmë numrin e pikave të tyre të përbashkëta në interval (Fig. 1).

Meqenëse grafikët e funksioneve kanë dy pika të përbashkëta në interval, ekuacioni përmban dy rrënjë në këtë interval.

Metoda II. Duke përdorur rrethin trigonometrik (Fig. 2), gjejmë numrin e pikave që i përkasin intervalit, në të cilin cos x = -1/2. Figura tregon se ekuacioni ka dy rrënjë.

Metoda III. Duke përdorur formulën për rrënjët e ekuacionit trigonometrik, zgjidhim ekuacionin cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k është një numër i plotë (k € Z);

x = ± (π - arccos 1/2) + 2πk, k është një numër i plotë (k € Z);

x = ± (π - π / 3) + 2πk, k është një numër i plotë (k € Z);

x = ± 2π / 3 + 2πk, k është një numër i plotë (k € Z).

Intervali përmban rrënjët 2π / 3 dhe -2π / 3 + 2π, k është një numër i plotë. Kështu, ekuacioni ka dy rrënjë në një interval të caktuar.

Përgjigje: 2.

Në të ardhmen, ekuacionet trigonometrike do të zgjidhen me një nga metodat e propozuara, e cila në shumë raste nuk përjashton përdorimin e metodave të tjera.

Shembulli 2. Gjeni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit tg (x + π / 4) = 1 në intervalin [-2π; 2π].

Zgjidhja:

Duke përdorur formulën për rrënjët e ekuacionit trigonometrik, marrim:

x + π / 4 = arctan 1 + πk, k është një numër i plotë (k € Z);

x + π / 4 = π / 4 + πk, k është një numër i plotë (k € Z);

x = πk, k është një numër i plotë (k € Z);

Intervali [-2π; 2π] numrat -2π i përkasin; -π; 0; π; 2π. Pra, ekuacioni ka pesë rrënjë në një interval të caktuar.

Përgjigje: 5.

Shembulli 3. Gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit cos 2 x + sin x · cos x = 1 në intervalin [-π; π].

Zgjidhja:

Meqenëse 1 = sin 2 x + cos 2 x (identiteti bazë trigonometrik), ekuacioni origjinal merr formën:

cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x - sin x cos x = 0;

sin x (sin x - cos x) = 0. Produkti është i barabartë me zero, që do të thotë se të paktën një nga faktorët duhet të jetë i barabartë me zero, prandaj:

sin x = 0 ose sin x - cos x = 0.

Meqenëse vlera e ndryshores në të cilën cos x = 0 nuk janë rrënjët e ekuacionit të dytë (sinusi dhe kosinusi i të njëjtit numër nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë), ne i ndajmë të dy anët e ekuacionit të dytë me cos x:

sin x = 0 ose sin x / cos x - 1 = 0.

Në ekuacionin e dytë, ne përdorim faktin që tg x = sin x / cos x, atëherë:

sin x = 0 ose tg x = 1. Duke përdorur formulat, kemi:

x = πk ose x = π / 4 + πk, k është një numër i plotë (k € Z).

Nga seria e parë e rrënjëve, intervali [-π; π] i përket numrave -π; 0; π. Nga seria e dytë: (π / 4 - π) dhe π / 4.

Kështu, pesë rrënjë të ekuacionit origjinal i përkasin intervalit [-π; π].

Përgjigje: 5.

Shembulli 4. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 në intervalin [-π; 1,1π].

Zgjidhja:

Le ta rishkruajmë ekuacionin si më poshtë:

tg 2 x + ctg 2 x + 3 (tg x + ctgx) + 4 = 0 dhe bëni një zëvendësim.

Le të tg x + ctgx = a. Ne katrorë të dy anët e barazisë:

(tg x + ctg x) 2 = a 2. Le të zgjerojmë kllapat:

tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2.

Meqenëse tg x ctgx = 1, atëherë tg 2 x + 2 + ctg 2 x = a 2, që do të thotë

tg 2 x + ctg 2 x = a 2 - 2.

Ekuacioni origjinal tani duket si ky:

a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Duke përdorur teoremën e Vietës, marrim se a = -1 ose a = -2.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt, kemi:

tg x + ctgx = -1 ose tg x + ctgx = -2. Le të zgjidhim ekuacionet që rezultojnë.

tg x + 1 / tgx = -1 ose tg x + 1 / tgx = -2.

Nga vetia e dy numrave reciprokisht të anasjelltë, përcaktojmë se ekuacioni i parë nuk ka rrënjë dhe nga ekuacioni i dytë kemi:

tg x = -1, d.m.th. x = -π / 4 + πk, k është një numër i plotë (k € Z).

Intervali [-π; 1,1π] rrënjët i përkasin: -π / 4; -π / 4 + π. Shuma e tyre:

-π / 4 + (-π / 4 + π) = -π / 2 + π = π / 2.

Përgjigje: π / 2.

Shembulli 5. Gjeni mesataren aritmetike të rrënjëve të ekuacionit sin 3x + sin x = sin 2x në intervalin [-π; 0,5π].

Zgjidhja:

Ne përdorim formulën sin α + sin β = 2sin ((α + β) / 2) cos ((α - β) / 2), pastaj

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x) / 2) cos ((3x - x) / 2) = 2sin 2x cos x dhe ekuacioni bëhet

2sin 2x cos x = mëkat 2x;

2sin 2x cos x - sin 2x = 0. Nxirre faktorin e perbashket te sin 2x jashte kllapave

sin 2x (2cos x - 1) = 0. Zgjidhe ekuacionin që rezulton:

sin 2x = 0 ose 2cos x - 1 = 0;

sin 2x = 0 ose cos x = 1/2;

2x = πk ose x = ± π / 3 + 2πk, k është një numër i plotë (k € Z).

Kështu, ne kemi rrënjët

x = πk / 2, x = π / 3 + 2πk, x = -π / 3 + 2πk, k është një numër i plotë (k € Z).

Intervali [-π; 0,5π] rrënjët i përkasin -π; -π / 2; 0; π / 2 (nga seria e parë e rrënjëve); π / 3 (nga seria e dytë); -π / 3 (nga seria e tretë). Mesatarja aritmetike e tyre është:

(-π - π / 2 + 0 + π / 2 + π / 3 - π / 3) / 6 = -π / 6.

Përgjigje: -π / 6.

Shembulli 6. Gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit sin x + cos x = 0 në intervalin [-1,25π; 2π].

Zgjidhja:

Ky ekuacion është një ekuacion homogjen i shkallës së parë. Le t'i ndajmë të dyja pjesët e tij me cosx (vlera e ndryshores në të cilën cos x = 0 nuk janë rrënjët e këtij ekuacioni, pasi sinusi dhe kosinusi i të njëjtit numër nuk mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë). Ekuacioni origjinal është:

x = -π / 4 + πk, k është një numër i plotë (k € Z).

Intervali [-1,25π; 2π] i përket rrënjëve -π / 4; (-π / 4 + π); dhe (-π / 4 + 2π).

Kështu, intervali i dhënë përmban tre rrënjë të ekuacionit.

Përgjigje: 3.

Mësoni të bëni gjënë më të rëndësishme - të kuptoni qartë planin për zgjidhjen e problemit, dhe atëherë çdo ekuacion trigonometrik do të varet nga ju.

Ende keni pyetje? Nuk jeni i sigurt se si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një tutor - regjistrohu.

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Me kërkesën tuaj!

13. Zgjidheni ekuacionin 3-4cos 2 x = 0. Gjeni shumën e rrënjëve të saj që i përkasin intervalit.

Le ta ulim shkallën e kosinusit me formulën: 1 + cos2α = 2cos 2 α. Ne marrim një ekuacion ekuivalent:

3-2 (1 + cos2x) = 0 ⇒ 3-2-2cos2x = 0 ⇒ -2cos2x = -1. Ne ndajmë të dy anët e barazisë me (-2) dhe marrim ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë:

14. Gjeni progresionin gjeometrik b 5 nëse b 4 = 25 dhe b 6 = 16.

Çdo anëtar i një progresion gjeometrik, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me mesataren aritmetike të anëtarëve fqinjë:

(b n) 2 = b n-1 ∙ b n + 1. Kemi (b 5) 2 = b 4 ∙ b 6 ⇒ (b 5) 2 = 25 16 ⇒ b 5 = ± 5 4 ⇒ b 5 = ± 20.

15. Gjeni derivatin e funksionit: f (x) = tgx-ctgx.

16. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit y (x) = x 2 -12x + 27

në segment.

Për të gjetur vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni y = f (x) në segment, duhet të gjeni vlerat e këtij funksioni në skajet e segmentit dhe në ato pika kritike që i përkasin këtij segmenti dhe më pas të zgjidhni më të madhin dhe më të voglin nga të gjitha vlerat e marra.

Le të gjejmë vlerat e funksionit në x = 3 dhe në x = 7, d.m.th. në skajet e segmentit.

y (3) = 3 2 -12 ∙ 3 ​​+ 27 = 9-36 + 27 = 0;

y (7) = 7 2 -12 ∙ 7 + 27 = 49-84 + 27 = -84 + 76 = -8.

Gjeni derivatin e këtij funksioni: y ’(x) = (x 2 -12x + 27)’ = 2x-12 = 2 (x-6); Pika kritike x = 6 i përket këtij intervali. Gjeni vlerën e funksionit në x = 6.

y (6) = 6 2 -12 ∙ 6 + 27 = 36-72 + 27 = -72 + 63 = -9. Dhe tani ne zgjedhim nga tre vlerat e marra: 0; -8 dhe -9 më i madhi dhe më i vogli: naib. = 0; në naim. = -9.

17. Gjeni një pamje të përgjithshme të antiderivativëve për funksionin:

Ky boshllëk është qëllimi i këtij funksioni. Përgjigjet duhet të fillojnë me F (x), jo f (x) - ne po kërkojmë një antiderivativ. Sipas përkufizimit, funksioni F (x) është një antiderivativ për funksionin f (x) nëse barazia vlen: F '(x) = f (x). Kështu që ju mund të gjeni vetëm derivate të përgjigjeve të sugjeruara derisa të merrni funksionin e dhënë. Një zgjidhje strikte është llogaritja e integralit të një funksioni të caktuar. Ne aplikojmë formulat:

19. Bëni një ekuacion të drejtëzës që përmban median BD të trekëndëshit ABC, nëse kulmet e tij janë A (-6; 2), B (6; 6) C (2; -6).

Për të hartuar ekuacionin e një drejtëze, ju duhet të dini koordinatat e 2 pikave të kësaj drejtëze, dhe ne i dimë vetëm koordinatat e pikës B. Meqenëse medianaja BD ndan anën e kundërt përgjysmë, pika D është mesi i segmenti AC. Koordinatat e mesit të segmentit janë gjysma e koordinatave përkatëse të skajeve të segmentit. Gjeni koordinatat e pikës D.

20. Llogaritni:

24. Zona e një trekëndëshi të rregullt që shtrihet në bazën e një prizmi të drejtë është

Ky problem është i anasjellta me problemin nr.24 nga opsioni 0021.

25. Gjeni modelin dhe vendosni numrin që mungon: 1; 4; nëntë; 16; ...

Është e qartë se ky numër 25 , pasi na është dhënë një sekuencë katrorësh të numrave natyrorë:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Fat dhe suksese të gjithëve!