E përqendruar në pikë A.
α
është këndi i shprehur në radianë.
Përkufizimi
Sinus (sin α)është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës trekëndësh kënddrejtë e barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës së kundërt | BC | në gjatësinë e hipotenuzës | AC |.
Kosinusi (cos α)është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur | AB | në gjatësinë e hipotenuzës | AC |.
Emërtimet e pranuara
;
;
.
;
;
.
Grafiku i funksionit sinus, y = sin x
Grafiku i funksionit kosinus, y = cos x
Vetitë e sinusit dhe kosinusit
Periodiciteti
Funksionet y = mëkat x dhe y = cos x periodike me një periudhë 2 π.
Barazi
Funksioni i sinusit është tek. Funksioni kosinus është i barabartë.
Gama e përkufizimit dhe e vlerave, ekstreme, rritje, ulje
Funksionet e sinusit dhe kosinusit janë të vazhdueshme në domenin e tyre të përkufizimit, domethënë për të gjithë x (shih vërtetimin e vazhdimësisë). Karakteristikat e tyre kryesore janë paraqitur në tabelë (n është një numër i plotë).
| y = mëkat x | y = cos x | |
| Domeni i përkufizimit dhe vazhdimësisë | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Gama e vlerave | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Në ngjitje | ||
| Duke zbritur | ||
| Maksima, y = 1 | ||
| Minimum, y = - 1 | ||
| Zero, y = 0 | ||
| Pikat e prerjes me boshtin y, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Formulat bazë
Shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit
Formulat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe diferencën
;
;
Formulat për prodhimin e sinuseve dhe kosinuseve
Formulat e shumës dhe diferencës
Shprehja e sinusit në terma të kosinusit
;
;
;
.
Shprehja e kosinusit në terma të sinusit
;
;
;
.
Shprehje tangjente
; .
Për, ne kemi:
;
.
Në:
;
.
Tabela e sinuseve dhe kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve
Kjo tabelë tregon vlerat e sinuseve dhe kosinuseve për disa vlera të argumentit. 
Shprehje duke përdorur ndryshore komplekse
;
formula e Euler-it
Shprehjet në terma të funksioneve hiperbolike
;
;
Derivatet
; ... Nxjerrja e formulave>>>
Derivatet e rendit të n-të:
{ -∞ <
x < +∞ }
Secant, kosekant
Funksionet e anasjellta
Funksionet e anasjellta ndaj sinusit dhe kosinusit janë përkatësisht sinus dhe kosinus inversi.
Arcsin, arcsin
Arccosine, arccos
Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve Teknike, "Lan", 2009.
>> Periodiciteti i funksioneve y = sin x, y = cos x
§ 11. Periodiciteti i funksioneve y = sin x, y = cos x
Në paragrafët e mëparshëm, ne kemi përdorur shtatë prona funksione: fusha e përkufizimit, barazia çift ose tek, monotonia, kufiri, vlerat më të mëdha dhe më të vogla, vazhdimësia, diapazoni i vlerave të një funksioni. Ne i përdorëm këto veti ose për të paraqitur grafikun e një funksioni (siç ishte, për shembull, në § 9), ose për të lexuar grafikun e ndërtuar (siç ishte, për shembull, në § 10). Tani ka ardhur momenti i përshtatshëm për prezantimin e një veçorie (të tetë) të funksioneve, e cila është krejtësisht e dukshme në sa më sipër. grafikët funksionet y = sin x (shih Fig. 37), y = cos x (shih Fig. 41).
Përkufizimi. Një funksion quhet periodik nëse ekziston një numër T jozero i tillë që për çdo x nga bashkësitë dyfishi barazisë:
Numri T që plotëson këtë kusht quhet perioda e funksionit y = f (x).
Nga kjo rrjedh se, pasi për çdo x barazitë janë të vërteta:
atëherë funksionet y = sin x, y = cos x janë periodike dhe numri 2 NS shërben si periudhë e të dy funksioneve.
Periodiciteti i një funksioni është vetia e tetë e premtuar e funksioneve.
Tani shikoni grafikun e funksionit y = sin x (Fig. 37). Për të vizatuar një sinusoid, mjafton të vizatojmë njërën nga valët e tij (në një segment dhe më pas ta zhvendosim këtë valë përgjatë boshtit x me. Si rezultat, me ndihmën e një vale, do të vizatojmë të gjithë grafikun.
Le të shohim nga i njëjti këndvështrim grafikun e funksionit y = cos x (Fig. 41). Shohim që edhe këtu, për të ndërtuar një grafik, mjafton që fillimisht të ndërtohet një valë (për shembull, në një segment
Dhe pastaj zhvendoseni përgjatë boshtit x nga
Duke përmbledhur, ne nxjerrim përfundimin e mëposhtëm.
Nëse funksioni y = f (x) ka një periudhë T, atëherë për të vizatuar grafikun e funksionit, fillimisht duhet të ndërtoni një degë (valë, pjesë) të grafikut në çdo interval të gjatësisë T (më shpesh ata marrin një interval me skaje. në pika dhe më pas zhvendoseni këtë degë përgjatë boshtit x djathtas dhe majtas me T, 2T, ZT, etj.
Një funksion periodik ka pafundësisht shumë perioda: nëse T është një periudhë, atëherë 2T është një periudhë, dhe ZT është një periudhë dhe -T është një periudhë; në përgjithësi, një periudhë është çdo numër i formës KT, ku k = ± 1, ± 2, ± 3 ... Zakonisht, nëse është e mundur, ata përpiqen të zgjedhin periudhën më të vogël pozitive, ajo quhet periudha kryesore.
Pra, çdo numër i formës 2nk, ku k = ± 1, ± 2, ± 3, është periudha e funksioneve y = sinn x, y = cos x; 2p është periudha kryesore e të dy funksioneve.
Shembull. Gjeni periudhën kryesore të një funksioni:
a) Le të jetë T periudha kryesore e funksionit y = sin x. Ne kemi vënë
Që numri T të jetë periudha e funksionit, identiteti Ho duhet të mbajë, pasi po flasim për gjetjen e periudhës kryesore, marrim
b) Le të jetë T periudha kryesore e funksionit y = cos 0,5x. Vendos f (x) = cos 0,5x. Pastaj f (x + T) = cos 0,5 (x + T) = cos (0,5x + 0,5T).
Që numri T të jetë periudha e funksionit, duhet të plotësohet identiteti cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x.
Kjo do të thotë se 0.5t = 2pp. Por, meqenëse po flasim për gjetjen e periudhës kryesore, marrim 0.5T = 2 l, T = 4l.
Një përgjithësim i rezultateve të marra në shembull është deklaratën e mëposhtme: periudha kryesore e funksionit 
A.G. Algjebra Mordkovich Klasa 10
Përmbajtja e mësimit përvijimi i mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave përshpejtuese teknologjitë ndërvepruese Praktikoni detyra dhe ushtrime seminare vetëtestimi, trajnime, raste, kërkime detyra shtëpie pyetje diskutimi pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia foto, foto, tabela, tabela, skema humori, shaka, shaka, shëmbëlltyra komike, thënie, fjalëkryqe, citate Suplementet abstrakte artikuj patate të skuqura për fletët mashtruese kurioze tekste mësimore fjalor bazë dhe shtesë i termave të tjerët Përmirësimi i teksteve dhe mësimeverregullime të gabimeve në tutorial përditësimi i një fragmenti në tekstin shkollor elementet e inovacionit në mësim duke zëvendësuar njohuritë e vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për vitin udhëzime axhendë e diskutimit Mësime të integruaraQëllimi: përmbledhja dhe sistematizimi i njohurive të nxënësve për temën "Frekuenca e funksioneve"; të zhvillojë aftësi në zbatimin e vetive të një funksioni periodik, gjetjen e periudhës më të vogël pozitive të një funksioni, ndërtimin e grafikëve të funksioneve periodike; për të nxitur interesin për studimin e matematikës; edukoj vëzhgimin, saktësinë.
Pajisjet: kompjuter, projektor multimedial, karta detyrash, rrëshqitje, orë, tavolina zbukuruese, elemente artizanale popullore
"Matematika është ajo që njerëzit përdorin për të kontrolluar natyrën dhe veten."
A.N. Kolmogorov
Gjatë orëve të mësimit
I. Faza organizative.
Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin. Komunikimi i temës dhe objektivave të orës së mësimit.
II. Kontrolli i detyrave të shtëpisë.
Ne kontrollojmë detyrat e shtëpisë sipas mostrave, diskutojmë pikat më të vështira.
III. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive.
1. Punë ballore gojore.
Pyetje teorike.
1) Formoni përkufizimin e periudhës së funksionit
2) Cila është periudha më e vogël pozitive e funksioneve y = sin (x), y = cos (x)
3). Cila është periudha më e vogël pozitive e funksioneve y = tg (x), y = ctg (x)
4) Vërtetoni korrektësinë e marrëdhënieve me ndihmën e rrethit:
y = mëkat (x) = mëkat (x + 360º)
y = cos (x) = cos (x + 360º)
y = tg (x) = tg (x + 18 0º)
y = ctg (x) = ctg (x + 180º)
tg (x + π n) = tgx, n € Z
ctg (x + π n) = ctgx, n € Z
sin (x + 2π n) = sinx, n € Z
cos (x + 2π n) = cosx, n € Z
5) Si të vizatoni një funksion periodik?
Ushtrime me gojë.
1) Provoni marrëdhëniet e mëposhtme
a) mëkat (740º) = mëkat (20º)
b) cos (54º) = cos (-1026º)
c) mëkat (-1000º) = mëkat (80º)
2. Vërtetoni se këndi në 540º është një nga periodat e funksionit y = cos (2x)
3. Vërtetoni se këndi 360º është një nga periodat e funksionit y = tg (x)
4. Shndërrojini këto shprehje në mënyrë që këndet e përfshira në to të mos kalojnë 90º në vlerë absolute.
a) tg375º
b) ctg530º
c) mëkat1268º
d) cos (-7363º)
5. Ku i keni takuar fjalët PERIUDHË, FREKUENCA?
Përgjigjet e nxënësit: Një periudhë në muzikë është një strukturë në të cilën paraqitet një ide muzikore pak a shumë e plotë. Periudha gjeologjike- pjesë e një epoke dhe ndahet në epoka me një periudhë nga 35 deri në 90 milion vjet.
Gjysma e jetës së një lënde radioaktive. Thyesë periodike. Revista periodike janë botime të shtypura që shfaqen në një datë të përcaktuar rreptësisht. Sistemi periodik Mendelejevi.
6. Në figura janë paraqitur pjesë të grafikëve të funksioneve periodike. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përcaktoni periudhën e funksionit.
Përgjigju: T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.
7. Ku në jetën tuaj jeni takuar me ndërtimin e elementeve përsëritëse?
Përgjigja e nxënësit: Elemente stoli, art popullor.
IV. Zgjidhja kolektive e problemeve.
(Zgjidhja e problemeve në sllajde.)
Konsideroni një nga mënyrat për të shqyrtuar një funksion për periodicitet.
Kjo metodë shmang vështirësitë që lidhen me vërtetimin se kjo ose ajo periudhë është më e vogla, dhe gjithashtu eliminon nevojën për të prekur çështjet e operacioneve aritmetike në funksionet periodike dhe periodicitetin e një funksioni kompleks. Arsyetimi bazohet vetëm në përcaktimin e një funksioni periodik dhe në faktin vijues: nëse T është periudha e funksionit, atëherë nT (n? 0) është periudha e tij.
Detyra 1. Gjeni periodën më të vogël pozitive të funksionit f (x) = 1 + 3 (x + q> 5)
Zgjidhje: Supozojmë se periudha T e funksionit të dhënë. Atëherë f (x + T) = f (x) për të gjitha x ∈ D (f), që është,
1 + 3 (x + T + 0,25) = 1 + 3 (x + 0,25)
(x + T + 0,25) = (x + 0,25)
Duke vendosur x = -0,25 marrim
(T) = 0<=>T = n, n € Z
Kuptuam se të gjitha periudhat e funksionit në shqyrtim (nëse ekzistojnë) janë midis numrave të plotë. Le të zgjedhim numrin më të vogël pozitiv midis këtyre numrave. atë 1 ... Le të kontrollojmë nëse do të jetë në fakt një periudhë 1 .
f (x + 1) = 3 (x + 1 + 0,25) +1
Meqenëse (T + 1) = (T) për çdo T, atëherë f (x + 1) = 3 ((x + 0.25) +1) + 1 = 3 (x + 0.25) + 1 = f (x), d.m.th. 1 - periudha f. Meqenëse 1 është më i vogli nga të gjithë numrat e plotë pozitiv, T = 1.
Detyra 2. Tregoni se funksioni f (x) = cos 2 (x) është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore.
Detyra 3. Gjeni periudhën kryesore të funksionit
f (x) = mëkat (1,5x) + 5cos (0,75x)
Supozoni periudhën T të funksionit, pastaj për cilindo NS lidhja është e vërtetë
sin1,5 (x + T) + 5cos0,75 (x + T) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x)
Nëse x = 0, atëherë
sin (1.5T) + 5cos (0.75T) = sin0 + 5cos0
sin (1.5T) + 5cos (0.75T) = 5
Nëse x = -T, atëherë
sin0 + 5cos0 = mëkat (-1,5T) + 5cos0,75 (-T)
5 = - mëkat (1,5T) + 5cos (0,75T)
| sin (1.5T) + 5cos (0.75T) = 5 - mëkat (1.5T) + 5cos (0.75T) = 5 |
Duke e shtuar së bashku, marrim:
10cos (0,75T) = 10
2π n, n € Z
Le të zgjedhim pozitivin më të vogël nga të gjithë numrat "të dyshimtë" për një pikë dhe të kontrollojmë nëse është një pikë për f. Ky numër
f (x +) = sin (1,5x + 4π) + 5cos (0,75x + 2π) = sin (1,5x) + 5cos (0,75x) = f (x)
Prandaj - periudha kryesore e funksionit f.
Problemi 4. Kontrolloni nëse funksioni periodik f (x) = sin (x)
Le të jetë T periudha e funksionit f. Pastaj për çdo x
mëkat | x + T | = mëkat | x |
Nëse x = 0, atëherë mëkat | Т | = mëkat0, mëkat | Т | = 0 Т = π n, n € Z.
Le të supozojmë. Që për disa n numri π n është një pikë
të funksionit të konsideruar π n> 0. Atëherë sin | π n + x | = mëkat | x |
Kjo nënkupton që n duhet të jetë edhe çift edhe tek në të njëjtën kohë, gjë që është e pamundur. Prandaj, ky funksion nuk është periodik.
Problemi 5. Kontrolloni nëse funksioni periodik
f (x) = 
Le të jetë T periudha f, atëherë
, pra sinT = 0, T = π n, n € Z. Supozojmë se për disa n numri π n është me të vërtetë periudha e funksionit të dhënë. Atëherë numri 2π n do të jetë periudha
Meqenëse numëruesit janë të barabartë, atëherë edhe emëruesit e tyre janë të barabartë, pra
Prandaj, funksioni f nuk është periodik.
Punë në grup.
Detyrat në grup 1.
Detyrat për grupin 2.
Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore (nëse ekziston).
f (x) = cos (2x) + 2sin (2x)
Detyrat në grup 3.
Në fund të punës grupet prezantojnë zgjidhjet e tyre.
Vi. Duke përmbledhur mësimin.
Reflektimi.
Mësuesi u jep nxënësve karta me figura dhe u ofron të pikturojnë një pjesë të vizatimit të parë në përputhje me masën në të cilën ata mendojnë se i kanë zotëruar metodat e studimit të funksionit për periodicitet, dhe në pjesën e vizatimit të dytë - në përputhje. me kontributin e tyre në punën në mësim.
Vii. Detyre shtepie
1). Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periudhën e tij kryesore (nëse ekziston)
b). f (x) = x 2 -2x + 4
c). f (x) = 2tg (3x + 5)
2). Funksioni y = f (x) ka një periudhë T = 2 dhe f (x) = x 2 + 2x për x € [-2; 0]. Gjeni kuptimin e shprehjes -2f (-3) -4f (3,5)
letërsi/
- Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimet e analizës së të mësuarit të thellë.
- matematika. Përgatitja për provim. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algjebra dhe fillimi i analizës për klasat 10-11.
Një numër T i tillë që për çdo x F (x + T) = F (x). Ky numër T quhet periudha e funksionit.
Mund të ketë disa periudha. Për shembull, funksioni F = const për çdo vlerë të argumentit merr të njëjtën vlerë, dhe për këtë arsye çdo numër mund të konsiderohet periudha e tij.
Zakonisht periudha më e vogël jozero e funksionit është me interes. Për shkurtësi, quhet thjesht një periudhë.
Një shembull klasik i funksioneve periodike është trigonometrik: sinus, kosinus dhe tangent. Periudha e tyre është e njëjtë dhe e barabartë me 2π, pra mëkat (x) = mëkat (x + 2π) = mëkat (x + 4π) e kështu me radhë. Megjithatë, sigurisht, funksionet trigonometrike nuk janë të vetmet periodike.
Për funksionet relativisht të thjeshta, bazë, mënyra e vetme për të përcaktuar periodicitetin ose joperiodicitetin e tyre është përmes llogaritjeve. Por për funksionet komplekse tashmë ka disa rregulla të thjeshta.
Nëse F (x) është me periudhën T, dhe një derivat është përcaktuar për të, atëherë ky derivat f (x) = F ' (x) është gjithashtu një funksion periodik me periudhën T. Në fund të fundit, vlera e derivatit në pika x është e barabartë me tangjenten e tangjentes së grafikut të antiderivativit të saj në këtë pikë me boshtin e abshisës dhe meqenëse përsëritet periodikisht, duhet të përsëritet. Për shembull, derivati i sin (x) është cos (x), dhe është periodik. Duke marrë derivatin e cos (x), ju merrni –sin (x). Periodiciteti mbetet i pandryshuar.
Megjithatë, e kundërta nuk është gjithmonë e vërtetë. Pra, funksioni f (x) = konst është periodik, por antiderivativi i tij F (x) = konst * x + C nuk është.
Nëse F (x) është një funksion periodik me periudhë T, atëherë G (x) = a * F (kx + b), ku a, b dhe k janë konstante dhe k nuk është zero është gjithashtu një funksion periodik, dhe periudha është T / k. Për shembull sin (2x) është një funksion periodik, dhe periudha e tij është π. Kjo mund të përfaqësohet qartë si më poshtë: duke shumëzuar x me një numër, ju duket se i kompresoni funksionet horizontalisht po aq herë.
Nëse F1 (x) dhe F2 (x) janë funksione periodike, dhe periodat e tyre janë përkatësisht të barabarta me T1 dhe T2, atëherë shuma e këtyre funksioneve mund të jetë edhe periodike. Megjithatë, periudha e saj nuk do të jetë një shumë e thjeshtë e periudhave T1 dhe T2. Nëse rezultati i pjesëtimit T1 / T2 është numër racional, atëherë shuma e funksioneve është periodike dhe periudha e saj është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të periudhave T1 dhe T2. Për shembull, nëse periudha e funksionit të parë është 12, dhe periudha e të dytit është 15, atëherë periudha e shumës së tyre do të jetë e barabartë me LCM (12, 15) = 60.
Kjo mund të përfaqësohet qartë si më poshtë: funksionet vijnë me "gjerësi hapash" të ndryshme, por nëse raporti i gjerësisë së tyre është racional, atëherë më shpejt ose (më saktë, përmes LCM-së së hapave), ato do të barazohen përsëri dhe shuma e tyre do të filloni një periudhë të re.
Megjithatë, nëse raporti i periudhave, atëherë funksioni total nuk do të jetë fare periodik. Për shembull, le të jetë F1 (x) = x mod 2 (të mbetur kur x pjesëtohet me 2) dhe F2 (x) = sin (x). T1 këtu do të jetë i barabartë me 2, dhe T2 do të jetë i barabartë me 2π. Raporti i periudhës është π - numër irracional... Prandaj, funksioni sin (x) + x mod 2 nuk është periodik.
Burimet:
- Teoria e funksionit
Shumë funksione matematikore kanë një veçori që i bën më të lehtë për t'u ndërtuar - kjo është periodiciteti, pra përsëritshmërinë e grafikut në rrjetin koordinativ në intervale të rregullta.
udhëzime
Funksionet periodike më të famshme të matematikës janë sinusi dhe kosinusi. Këto funksione kanë një periudhë të valëzuar dhe kryesore të barabartë me 2P. Gjithashtu, një rast i veçantë i një funksioni periodik është f (x) = konst. Çdo numër është i përshtatshëm për pozicionin x, ky funksion nuk ka një pikë kryesore, pasi është një vijë e drejtë.
Në përgjithësi, një funksion është periodik nëse ka një numër të plotë N që është zero dhe plotëson rregullin f (x) = f (x + N), duke siguruar kështu përsëritshmërinë. Periudha e një funksioni është numri më i vogël N, por jo zero. Kjo do të thotë, për shembull, funksioni sin x është i barabartë me funksionin sin (x + 2ПN), ku N = ± 1, ± 2, etj.
Ndonjëherë funksioni mund të ketë një shumëzues (për shembull sin 2x), i cili do të rrisë ose zvogëlojë periudhën e funksionit. Për të gjetur periudhën nga
Mësimi video "Periodiciteti i funksioneve y = sin x, y = cos x" zbulon konceptin e periodicitetit të një funksioni, shqyrton përshkrimin e shembujve të zgjidhjes së problemeve në të cilat përdoret koncepti i periodicitetit të një funksioni. Ky video tutorial është një ndihmë vizuale për t'ua shpjeguar temën studentëve. Gjithashtu, ky manual mund të bëhet pjesë e pavarur e mësimit, duke e liruar mësuesin të kryejë punë individuale me nxënësit.
Qartësia në prezantimin e kësaj teme është shumë e rëndësishme. Për të përfaqësuar sjelljen e një funksioni, vizatimi, ai duhet të vizualizohet. Jo gjithmonë mund të bëhen ndërtime me ndihmën e një dërrase dhe shkumës, në mënyrë që të jenë të kuptueshme për të gjithë nxënësit. Në mësimin e videos, është e mundur të zgjidhni pjesë të vizatimit me ngjyra gjatë ndërtimit, të bëni transformime duke përdorur animacion. Kështu, ndërtimet bëhen më të kuptueshme për shumicën e studentëve. Gjithashtu, aftësitë e mësimit video kontribuojnë në memorizimin më të mirë të materialit.
Demonstrimi fillon me prezantimin e temës së mësimit, si dhe duke u kujtuar nxënësve materialin e mësuar në mësimet e mëparshme. Në veçanti, ai përmbledh listën e vetive që janë identifikuar në funksionet y = sin x dhe y = cos x. Ndër vetitë e funksioneve në shqyrtim, vërehet fusha e përkufizimit, diapazoni i vlerave, barazia (çuditshmëria), veçoritë e tjera - kufiri, monotonia, vazhdimësia, pikat me vlerën më të ulët (më të lartë). Nxënësit këshillohen që ky mësim të eksplorojë një veçori tjetër të një funksioni - periodicitetin.
Është paraqitur përkufizimi i një funksioni periodik y = f (x), ku xϵX, në të cilin kushti f (x-T) = f (x) = f (x + T) plotësohet për disa T ≠ 0. Përndryshe, numri T quhet perioda e funksionit.
Për funksionet e konsideruara të sinusit dhe kosinusit, përmbushja e kushtit kontrollohet duke përdorur formulat e reduktimit. Natyrisht, forma e identitetit sin (x-2π) = sinx = sin (x + 2π) korrespondon me formën e shprehjes që përcakton kushtin e periodicitetit të funksionit. E njëjta barazi mund të vërehet për kosinus cos(x-2π) = cos x = cos (x + 2π). Kjo do të thotë se këto funksione trigonometrike janë periodike.
Më tej, vihet re se si vetia e periodicitetit ndihmon në ndërtimin e grafikëve të funksioneve periodike. Konsiderohet funksioni y = sin x. Në ekran vizatohet një plan koordinativ, në të cilin abshisat nga -6π deri në 8π janë shënuar me një hap prej π. Një pjesë e grafikut sinus paraqitet në plan, e përfaqësuar nga një valë në një segment. Figura tregon se si formohet grafiku i funksionit në të gjithë zonën e përkufizimit duke zhvendosur fragmentin e vizatuar dhe duke marrë një sinusoid të gjatë.
Grafiku i funksionit y = cos x është ndërtuar duke përdorur vetinë e periodicitetit të tij. Për ta bërë këtë, në figurë është ndërtuar një plan koordinativ, në të cilin është paraqitur një fragment i grafikut. Vihet re se zakonisht një fragment i tillë ndërtohet në segmentin [-π / 2; 3π / 2]. Ngjashëm me grafikun e funksionit sinus, ndërtimi i grafikut të kosinusit kryhet duke zhvendosur fragmentin. Si rezultat i ndërtimit, formohet një sinusoid i gjatë.
Hartimi i një funksioni periodik ka veçori që mund t'i përdorni. Prandaj, ato jepen në një formë të përgjithësuar. Vihet re se për të vizatuar një funksion të tillë, fillimisht ndërtohet një degë grafike në një interval të caktuar me gjatësi T. pastaj është e nevojshme që dega e ndërtuar të zhvendoset djathtas dhe majtas me T, 2T, 3T etj. në këtë rast, tregohet një veçori tjetër e periudhës - për çdo numër të plotë k ≠ 0, numri kТ është gjithashtu periudha e funksionit. Sidoqoftë, T quhet periudha kryesore, pasi është më e vogla nga të gjitha. Për funksionet trigonometrike sinus dhe kosinus periudha themelore është 2π. Megjithatë, ato janë edhe periudha 4π, 6π, etj.
Më tej, propozohet të merret në konsideratë gjetja e periudhës kryesore të funksionit y = cos 5x. Zgjidhja fillon me supozimin se T është periudha e funksionit. Prandaj, është e nevojshme të plotësohet kushti f (x-T) = f (x) = f (x + T). Në këtë identitet, f (x) = cos 5x, dhe f (x + T) = cos 5 (x + T) = cos (5x + 5T). Në këtë rast, cos (5x + 5T) = cos 5x, pra 5T = 2πn. Tani mund të gjeni T = 2π / 5. Problemi është zgjidhur.
Në problemin e dytë është e nevojshme të gjendet periudha kryesore e funksionit y = sin (2x / 7). Supozohet se periudha kryesore e funksionit T. për këtë funksion është f (x) = sin (2x / 7), dhe pas periudhës f (x + T) = sin (2x / 7) (x + T) = mëkat (2x / 7 + (2/7) T). pas reduktimit fitojmë (2/7) Т = 2πn. Megjithatë, ne duhet të gjejmë periudhën kryesore, kështu që marrim vlerën më të vogël (2/7) T = 2π, nga e cila gjejmë T = 7π. Problemi është zgjidhur.
Në fund të demonstrimit, rezultatet e shembujve përmblidhen për të formuar një rregull për të përcaktuar periudhën kryesore të funksionit. Vihet re se për funksionet y = sinkx dhe y = coskx, periudhat kryesore janë 2π / k.
Mësimi video "Periodiciteti i funksioneve y = sin x, y = cos x" mund të përdoret në një mësim tradicional të matematikës për të rritur efektivitetin e mësimit. Gjithashtu, ky material rekomandohet të përdoret nga një mësues që zbaton të mësuarit në distancë për të rritur qartësinë e shpjegimit. Videoja mund t'i rekomandohet një studenti të vonuar për të thelluar kuptimin e temës.
KODI I TEKSTIT:
"Periodiciteti i funksioneve y = cos x, y = sin x".
Për të paraqitur grafikët e funksioneve y = sin x dhe y = cos x, janë përdorur vetitë e funksioneve:
1 fushë e përkufizimit,
2 zona me vlerë,
3 çift ose tek,
4 monotonia,
5 kufizim,
6 vazhdimësi,
7 vlera më e lartë dhe më e ulët.
Sot do të studiojmë një veçori tjetër: periodicitetin e një funksioni.
PËRKUFIZIM. Funksioni y = f (x), ku x ϵ X (loja është e barabartë me eff nga x, ku x i përket grupit x), quhet periodik nëse ka një numër jozero T të tillë që për çdo x nga bashkësia X vlen barazia e dyfishtë: f (x - T) = f (x) = f (x + T) (eff nga x minus te është e barabartë me eff nga x dhe e barabartë me eff nga x plus te). Numri T që plotëson këtë barazi të dyfishtë quhet perioda e funksionit
Dhe meqenëse sinusi dhe kosinusi përcaktohen në të gjithë vijën numerike dhe për çdo x barazimet plotësohen sin (x - 2π) = sin x = sin (x + 2π) (sinusi i x minus dy pi është i barabartë me sinusin e x dhe është e barabartë me sinusin e x plus dy pi ) dhe
cos (x- 2π) = cos x = cos (x + 2π) (kosinusi prej x minus dy pi është i barabartë me kosinusin x dhe i barabartë me kosinusin e x plus dy pi), atëherë sinusi dhe kosinusi janë funksione periodike me një periudhë prej 2π.
Frekuenca ju lejon të vizatoni shpejt një grafik funksioni. Në të vërtetë, për të vizatuar funksionin y = sin x, mjafton të vizatoni një valë (më shpesh në një segment (nga zero në dy pi), dhe më pas duke zhvendosur pjesën e vizatuar të grafikut përgjatë boshtit të abshisës në djathtas dhe majtas me 2π, pastaj me 4π dhe kështu me radhë merrni një valë sinus.
(shfaq zhvendosjen majtas dhe djathtas me 2π, 4π)
Në mënyrë të ngjashme për grafikun e funksionit
y = cos x, vetëm ne ndërtojmë një valë më shpesh në segmentin [; ] (minus pi nga dy deri në tre pi nga dy).
Le të përgjithësojmë sa më sipër dhe të nxjerrim një përfundim: për të vizatuar një grafik të një funksioni periodik me një periudhë T, së pari duhet të ndërtoni një degë (ose një valë, ose një pjesë) të grafikut në çdo interval me gjatësi T (shumica shpesh ky është një interval me skajet në pikat 0 dhe T ose - dhe (minus te me dy dhe te nga dy), dhe më pas zhvendoseni këtë degë përgjatë boshtit x (x) djathtas dhe majtas nga T, 2T, 3T, etj.
Natyrisht, nëse funksioni është periodik me periudhën T, atëherë për çdo numër të plotë k0 (jo e barabartë me zero) një numër i formës kT (ka te) është edhe periudha e këtij funksioni. Zakonisht ata përpiqen të nxjerrin në pah periudhën më të vogël pozitive, e cila quhet periudha kryesore.
Si periodë e funksioneve y = cos x, y = sin x, mund të merret - 4π, 4π, - 6π, 6π, etj. (minus katër pi, katër pi, minus gjashtë pi, gjashtë pi, e kështu me radhë) . Por numri 2π është periudha kryesore e të dy funksioneve.
Le të shohim disa shembuj.
SHEMBULL 1 Gjeni periodën kryesore të funksionit y = cos5x (y është i barabartë me kosinusin e pesë x).
Zgjidhje. Le të jetë T periudha kryesore e funksionit y = cos5x. Ne kemi vënë
f (x) = cos5x, pastaj f (x + T) = cos5 (x + T) = cos (5x + 5T) (eff nga x plus te është e barabartë me kosinusin e pesë shumëzuar me shumën e x dhe te është e barabartë me kosinusin e shumës së pesë x dhe pesë te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Prandaj 5T = 2πn (pesë te është e barabartë me dy pi en), por sipas kushtit është e nevojshme të gjendet periudha kryesore, që do të thotë se 5T = 2π. Ne marrim T =
(periudha e këtij funksioni është dy pi e ndarë me pesë).
Përgjigje: T =.
SHEMBULL 2. Gjeni periodën kryesore të funksionit y = sin (y është i barabartë me sinusin e herësit dy x me shtatë).
Zgjidhje. Le të jetë T periudha kryesore e funksionit y = sin. Ne kemi vënë
f (x) = sin, pastaj f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (eff nga x plus te është e barabartë me sinusin e produktit të dy të shtatave dhe shumën e x dhe te është e barabartë me sinusin e shumës së dy të shtatësave x dhe dy te shtatës).
Që numri T të jetë periudha e funksionit, duhet të plotësohet identiteti
sin (x + T) = mëkat. Prandaj, T = 2πn (dy të shtatat te janë të barabarta me dy pi en), por sipas kushtit është e nevojshme të gjendet periudha kryesore, që do të thotë se T = 2π. Ne marrim T = 7
(periudha e këtij funksioni është shtatë pi).
Përgjigje: T = 7.
Duke përmbledhur rezultatet e marra në shembujt, mund të konkludojmë: periudha kryesore e funksioneve y = sin kx ose y = cos kx (y = sine x ose y është e barabartë me kosinusin x) është e barabartë me (dy pi të ndarë me ka) .