Lloji i mësimit: i kombinuar.

Shikoni përmbajtjen e dokumentit
"Llogaritjet e përafërta të rrënjës katrore".

klasën e 8-të

Data:

Mësimi numër 9.

Tema: Llogaritjet e përafërta të rrënjës katrore.

Objektivat: 1. Të mësojmë nxënësit të gjejnë vlerat e përafërta rrënjë katrore.

2. Zhvilloni vëzhgimin, aftësinë për të analizuar, krahasuar, nxjerrë përfundime.

Kultivoni një qëndrim pozitiv ndaj të mësuarit

Lloji i mësimit: i kombinuar.

Format e organizimit të mësimit: individuale, kolektive

Pajisjet: tabela e projektit, kartat e reflektimit të humorit, mikrokalkulatori

Tre rrugë të çojnë në njohuri: rruga e reflektimit

Kjo është mënyra më fisnike

mënyra e imitimit është mënyra më e lehtë

dhe mënyra e përvojës është mënyra më e hidhur.

Konfuci

Gjatë orëve të mësimit.

Koha e organizimit

Faza e verifikimit detyre shtepie

Nr 60 - 1 nxënës performon në dërrasën e zezë, një student tjetër kontrollon saktësinë e detyrës në vend

Punë me gojë: projektuar në tabelë

a) Gjeni vlerën e rrënjës:

b) A ka kuptim shprehja:

c) Gjeni një numër rrënja katrore aritmetike e të cilit është 0; një; 3; dhjetë; 0.6

Faza e shpjegimit të materialit të ri

Për të llogaritur vlerën e përafërt të rrënjës katrore, duhet të përdorni një mikrollogaritës. Për ta bërë këtë, futni shprehjen radikale në kalkulator dhe shtypni tastin me shenjën radikale. Por nuk ka gjithmonë një kalkulator pranë, kështu që mund të gjeni vlerën e përafërt të rrënjës katrore si më poshtë:

Le të gjejmë vlerën.

Që atëherë. Tani, midis numrave të vendosur në intervalin nga 1 në 2, marrim numrat fqinjë 1.4 dhe 1.5, marrim: , pastaj marrim numrat 1.41 dhe 1.42, këta numra plotësojnë pabarazinë . Nëse vazhdojmë këtë proces të katrorimit të numrave fqinjë, marrim sistemin e mëposhtëm të pabarazive:

Projektuar në tabelë.

Nga ky sistem, duke krahasuar numrat pas presjes dhjetore, marrim:

Vlerat e përafërta të rrënjëve katrore mund të merren për sa i përket tepricës dhe mungesës, d.m.th. me mangësi me saktësi 0.0001 dhe me tepricë.

Konsolidimi i materialit të studiuar.

Niveli "A"

0,2664 0,2 - nga mungesa

№93 (përdoret kalkulator)

5. Pauzë valeologjike: ushtrime për sytë.

Niveli "B"

6. Sfondi historik mbi nevojën për të gjetur vlerën e rrënjëve katrore

(Studenti i gatshëm ftohet paraprakisht të përgatisë një mesazh mbi këtë temë duke përdorur internetin)

Propozohet një formulë për gjetjen e vlerës së përafërt të rrënjës katrore të një numri irracional:

Niveli "C" nr. 105

7. Reflektimi.

Përmbledhje e mësimit.

Detyrë shtëpie: Nr. 102,

Në praktikë, shpesh është e nevojshme të llogariten rrënjët katrore të numra të ndryshëm. Tani kjo mund të bëhet në një kalkulator ose duke përdorur një kompjuter. Ne do të shqyrtojmë një mënyrë për të llogaritur rrënjën katrore të çdo numri me saktësinë e kërkuar, pa përdorur një kompjuter, kalkulator ose mjete të tjera kompjuterike.

Për shembull, le të përpiqemi të llogarisim rrënjën e numrit 2, me një saktësi prej 0,01, domethënë deri në dy shifra dhjetore.

Le të llogarisim rrënjën katrore të numrit 2

Ne do të argumentojmë si më poshtë. Numri √2 është më i madh se 1 sepse 1 2< 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

Tani le të përpiqemi të gjejmë numrin e të dhjetave. Për ta bërë këtë, ne do të katrorojmë thyesat nga një në dy derisa të marrim një numër më të madh se dy. Le të bëjmë një hap të pjesëtimit prej 0.1, pasi kërkojmë numrin e të dhjetave. Me fjalë të tjera, ne do të vendosim në katror numrat: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

• 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Merrni një numër më të madh se dy, numrat e mbetur nuk kanë më nevojë të vihen në katror. Numri 1.4 2 është më i vogël se 2, dhe 1.5 2 është tashmë më i madh se dy, atëherë numri √2 duhet t'i përkasë intervalit nga 1.4 në 1.5 (1.4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

• 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Tashmë në 1.42 marrim se katrori i tij është më i madh se dy, katrori i mëtejshëm i numrave nuk ka kuptim.

Nga kjo marrim se numri √2 do t'i përkasë intervalit nga 1.41 në 1.42 (1.41< √2

Meqenëse duhet të shkruajmë √2 me një saktësi prej dy shifrash dhjetore, tashmë mund të ndalojmë dhe të mos vazhdojmë llogaritjen. √2 ≈ 1,41. Kjo do të jetë përgjigja. Nëse do të ishte e nevojshme për të llogaritur një vlerë edhe më të saktë, njeriu do të duhej të vazhdonte llogaritjet, duke përsëritur zinxhirin e arsyetimit pa pushim.

Siç u përmend më lart, kjo teknikë ju lejon të nxirrni rrënjën me çdo saktësi të paracaktuar.

Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin

Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë një problem të zakonshëm për llogaritjen e përafërt të vlerës së një funksioni duke përdorur një diferencial. Këtu dhe më poshtë do të flasim për diferencialet e rendit të parë, për shkurtësi shpesh do të them vetëm "diferencial". Problemi i llogaritjeve të përafërta me ndihmën e një diferenciali ka një algoritëm të ngurtë zgjidhjeje dhe, për rrjedhojë, nuk duhet të ketë ndonjë vështirësi të veçantë. E vetmja gjë është se ka gracka të vogla që gjithashtu do të pastrohen. Prandaj mos ngurroni të zhyteni me kokën e parë.

Përveç kësaj, faqja përmban formula për gjetjen e gabimeve absolute dhe relative të llogaritjes. Materiali është shumë i dobishëm, pasi gabimet duhet të llogariten edhe në probleme të tjera. Fizikantë, ku janë duartrokitjet tuaja? =)

Për të zotëruar me sukses shembujt, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e funksioneve të paktën në një nivel mesatar, kështu që nëse diferencimi është plotësisht i gabuar, ju lutemi filloni me mësimin Si të gjeni derivatin? Unë gjithashtu rekomandoj të lexoni artikullin Problemet më të thjeshta me një derivat, përkatësisht paragrafët për gjetjen e derivatit në një pikë dhe gjetja e diferencialit në një pikë. Nga mjetet teknike, do t'ju duhet një mikrollogaritës me funksione të ndryshme matematikore. Ju mund të përdorni Excel, por në këtë rast është më pak i përshtatshëm.

Punëtoria përbëhet nga dy pjesë:

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje.

– Llogaritjet e përafërta duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore.

Kush ka nevojë për çfarë. Në fakt, ishte e mundur të ndahej pasuria në dy grumbullime, për arsye se pika e dytë i referohet aplikimeve të funksioneve të disa variablave. Por çfarë të bëj, më pëlqejnë artikujt e gjatë.

Llogaritjet e përafërta
duke përdorur diferencialin e një funksioni të një ndryshoreje

Detyra në fjalë dhe kuptimi i saj gjeometrik janë trajtuar tashmë në mësimin Çfarë është derivati? , dhe tani do të kufizohemi në një shqyrtim zyrtar të shembujve, i cili është mjaft i mjaftueshëm për të mësuar se si t'i zgjidhim ato.

Në paragrafin e parë, funksioni i një ndryshoreje rregullon. Siç e dinë të gjithë, shënohet përmes ose përmes. Për këtë problem, është shumë më i përshtatshëm të përdoret shënimi i dytë. Le të kalojmë te një shembull popullor që ndodh shpesh në praktikë:

Shembulli 1

Vendimi: Ju lutemi kopjoni në fletore formulën e punës për llogaritjen e përafërt duke përdorur diferencialin:

Le të fillojmë, është e lehtë!

Hapi i parë është krijimi i një funksioni. Sipas kushtit, propozohet llogaritja e rrënjës kubike të numrit: , pra funksioni përkatës ka formën: . Duhet të përdorim formulën për të gjetur një vlerë të përafërt.

Ne shikojmë ana e majte formulat dhe të vjen në mendje mendimi se numri 67 duhet të paraqitet si . Cila është mënyra më e lehtë për ta bërë këtë? Unë rekomandoj algoritmin e mëposhtëm: llogarit vlerën e dhënë në kalkulator:
- doli 4 me bisht, ky është një udhëzues i rëndësishëm për zgjidhjen.

Ndërsa zgjedhim vlerën "e mirë", për të nxjerrë rrënjën. Natyrisht, kjo vlerë duhet të jetë sa më afër deri në 67. Në këtë rast: . Vërtet: .

Shënim: Kur montimi është ende problem, thjesht shikoni vlerën e llogaritur (në këtë rast ), merrni pjesën më të afërt të numrit të plotë (në këtë rast 4) dhe ngrijeni atë në fuqinë e dëshiruar (në këtë rast). Si rezultat, zgjedhja e dëshiruar do të bëhet: .

Nëse , atëherë rritja e argumentit: .

Pra, numri 67 përfaqësohet si një shumë

Së pari, ne llogarisim vlerën e funksionit në pikën . Në fakt, kjo tashmë është bërë më parë:

Diferenciali në një pikë gjendet me formulën:
Ju gjithashtu mund të kopjoni në fletoren tuaj.

Nga formula rrjedh se ju duhet të merrni derivatin e parë:

Dhe gjeni vlerën e saj në pikën:

Kështu:

Gjithçka është gati! Sipas formulës:

Vlera e përafërt e gjetur është mjaft afër vlerës llogaritur duke përdorur një mikrollogaritës.

Përgjigje:

Shembulli 2

Llogaritni afërsisht , duke zëvendësuar rritjet e funksionit me diferencialin e tij.

Ky është një shembull për zgjidhje e pavarur. Një shembull i përafërt i përfundimit të punës dhe një përgjigje në fund të mësimit. Për fillestarët, unë rekomandoj që së pari të llogarisni vlerën e saktë në një mikrollogaritës në mënyrë që të zbuloni se cilin numër duhet të merrni dhe cilin. Duhet theksuar se në ky shembull do të jetë negative.

Disa mund të kenë një pyetje, pse është e nevojshme kjo detyrë, nëse mund të llogarisni gjithçka me qetësi dhe më saktë në një kalkulator? Jam dakord, detyra është marrëzi dhe naive. Por do të përpiqem ta justifikoj pak. Së pari, detyra ilustron kuptimin e diferencialit të funksionit. Së dyti, në kohët e lashta, kalkulatori ishte diçka si një helikopter personal në kohën tonë. Unë vetë pashë se si një kompjuter me madhësinë e një dhome u hodh nga instituti politeknik lokal diku në vitet 1985-86 (amatorë radio me kaçavida erdhën nga i gjithë qyteti dhe pas nja dy orësh mbeti vetëm rasti nga njësia ). Antike u gjetën gjithashtu në departamentin tonë të fizikës, megjithatë, në një madhësi më të vogël - diku në madhësinë e një tavoline shkollore. Kështu kanë vuajtur paraardhësit tanë me metodat e llogaritjeve të përafërta. Një karrocë me kuaj është gjithashtu një mjet transporti.

Në një mënyrë apo tjetër, problemi mbeti në kursin standard të matematikës së lartë dhe do të duhet të zgjidhet. Kjo është përgjigja kryesore për pyetjen tuaj =)

Shembulli 3

në pikën. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë duke përdorur një mikrollogaritës, vlerësoni absoluten dhe gabim relativ informatikë.

Në fakt, e njëjta detyrë, lehtë mund të riformulohet si më poshtë: “Llogaritni vlerën e përafërt me një diferencial

Vendimi: Ne përdorim formulën e njohur:
Në këtë rast, një funksion i gatshëm është dhënë tashmë: . Edhe një herë, unë tërheq vëmendjen tuaj për faktin se është më i përshtatshëm të përdoret në vend të "lojë" për të caktuar një funksion.

Vlera duhet të përfaqësohet si . Epo, këtu është më lehtë, shohim që numri 1.97 është shumë afër "dyshit", ndaj sugjeron vetë. Dhe për këtë arsye: .

Duke përdorur formulën , ne llogarisim diferencialin në të njëjtën pikë.

Gjetja e derivatit të parë:

Dhe vlera e saj në pikë:

Kështu, diferenciali në pikën:

Si rezultat, sipas formulës:

Pjesa e dytë e detyrës është gjetja e gabimit absolut dhe relativ të llogaritjeve.

Gabim absolut dhe relativ i llogaritjeve

Gabim absolut i llogaritjes gjendet sipas formulës:

Shenja e modulit tregon se nuk na intereson se cila vlerë është më e madhe dhe cila është më e vogël. E rëndësishme, sa larg rezultati i përafërt devijoi nga vlera e saktë në një drejtim ose në një tjetër.

Gabim relativ i llogaritjes gjendet sipas formulës:
, ose, e njëjta gjë:

Gabimi relativ tregon me çfarë përqindje rezultati i përafërt ka devijuar nga vlera e saktë. Ekziston një version i formulës pa u shumëzuar me 100%, por në praktikë pothuajse gjithmonë e shoh versionin e mësipërm me përqindje.

Pas një sfondi të shkurtër, kthehemi te problemi ynë, në të cilin kemi llogaritur vlerën e përafërt të funksionit duke përdorur një diferencial.

Le të llogarisim vlerën e saktë të funksionit duke përdorur një mikrollogaritës:
, në mënyrë rigoroze, vlera është ende e përafërt, por ne do ta konsiderojmë të saktë. Detyra të tilla ndodhin.

Le të llogarisim gabimin absolut:

Le të llogarisim gabimin relativ:
, fitohen të mijtët e përqindjes, kështu që diferenciali dha vetëm një përafrim të madh.

Përgjigje: , gabim absolut llogaritjet, gabimi relativ i llogaritjes

Shembulli i mëposhtëm është për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 4

Llogaritni afërsisht duke përdorur diferencialin vlerën e funksionit në pikën. Llogaritni një vlerë më të saktë të funksionit në një pikë të caktuar, vlerësoni gabimet absolute dhe relative të llogaritjes.

Një shembull i përafërt i përfundimit të punës dhe një përgjigje në fund të mësimit.

Shumë kanë vënë re se në të gjithë shembujt e shqyrtuar, rrënjët shfaqen. Kjo nuk është e rastësishme, në të shumtën e rasteve, në problemin në shqyrtim propozohen vërtet funksione me rrënjë.

Por për lexuesit e vuajtur, nxora një shembull të vogël me arksinën:

Shembulli 5

Llogaritni afërsisht duke përdorur diferencialin vlerën e funksionit në pikën

Ky shembull i shkurtër por informues është gjithashtu për një vendim të pavarur. Dhe pushova pak për të konsideruar një detyrë të veçantë me energji të përtërirë:

Shembulli 6

Llogaritni afërsisht duke përdorur diferencialin, rrumbullakoni rezultatin në dy shifra dhjetore.

Vendimi:Çfarë ka të re në detyrë? Sipas kushtit, kërkohet që rezultati të rrumbullakoset në dy shifra dhjetore. Por kjo nuk është çështja, problemi i rrumbullakosjes së shkollës, mendoj, nuk është i vështirë për ju. Çështja është se ne kemi një tangjente me një argument që shprehet në shkallë. Çfarë duhet të bëni kur ju kërkohet të zgjidhni një funksion trigonometrik me gradë? Për shembull, etj.

Algoritmi i zgjidhjes ruhet thelbësisht, domethënë është e nevojshme, si në shembujt e mëparshëm, të zbatohet formula

Shkruani funksionin e dukshëm

Vlera duhet të përfaqësohet si . Ndihmë serioze do tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike. Meqë ra fjala, nëse nuk e keni shtypur, ju rekomandoj ta bëni këtë, pasi do t'ju duhet të shikoni atje gjatë gjithë kursit të studimit të matematikës së lartë.

Duke analizuar tabelën, vërejmë një vlerë "të mirë" të tangjentes, e cila është afër 47 gradë:

Kështu:

Pas analiza paraprake gradët duhet të shndërrohen në radianë. Po, dhe vetëm kaq!

Në këtë shembull, direkt nga tabela trigonometrike, mund ta zbuloni atë. Formula për konvertimin e shkallëve në radiane është: (Formulat mund të gjenden në të njëjtën tabelë).

Modeli i mëtejshëm:

Kështu: (në llogaritje përdorim vlerën ). Rezultati, siç kërkohet nga kushti, rrumbullakoset në dy shifra dhjetore.

Përgjigje:

Shembulli 7

Llogaritni afërsisht duke përdorur diferencialin, rrumbullakoni rezultatin në tre shifra dhjetore.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar, ne i përkthejmë shkallët në radianë dhe i përmbahemi algoritmit të zakonshëm të zgjidhjes.

Llogaritjet e përafërta
duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore

Gjithçka do të jetë shumë, shumë e ngjashme, prandaj, nëse keni ardhur në këtë faqe me këtë detyrë të veçantë, atëherë ju rekomandoj që së pari të shikoni të paktën disa shembuj të paragrafit të mëparshëm.

Për të studiuar një paragraf, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të dytë, ku pa to. Në mësimin e mësipërm, shënova funksionin e dy ndryshoreve me shkronjën . Në lidhje me detyrën në shqyrtim, është më e përshtatshme të përdoret shënimi ekuivalent .

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, gjendja e problemit mund të formulohet në mënyra të ndryshme, dhe unë do të përpiqem të marr parasysh të gjitha formulimet e hasura.

Shembulli 8

Vendimi: Pavarësisht se si shkruhet kushti, në vetë zgjidhjen, për të përcaktuar funksionin, e përsëris, është më mirë të mos përdorni shkronjën "Z", por.

Dhe këtu është formula e punës:

Para nesh është në fakt motra e madhe e formulës së paragrafit të mëparshëm. Ndryshorja sapo u bë më e madhe. Çfarë mund të them unë vetë algoritmi i zgjidhjes do të jetë në thelb i njëjtë!

Sipas kushtit, kërkohet të gjendet vlera e përafërt e funksionit në pikën .

Le të paraqesim numrin 3.04 si . Vetë simite kërkon të hahet:
,

Le të paraqesim numrin 3.95 si . Radha ka ardhur në gjysmën e dytë të Kolobok:
,

Dhe mos shikoni të gjitha llojet e mashtrimeve të dhelprave, ekziston një Njeri i Gingerbread - ju duhet ta hani atë.

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën:

Diferenciali i një funksioni në një pikë gjendet me formulën:

Nga formula rrjedh që ju duhet të gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe llogaritni vlerat e tyre në pikën .

Le të llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikën:

Diferenciali total në pikën:

Kështu, sipas formulës, vlera e përafërt e funksionit në pikën:

Le të llogarisim vlerën e saktë të funksionit në pikën:

Kjo vlerë është absolutisht e saktë.

Gabimet llogariten duke përdorur formula standarde, të cilat tashmë janë diskutuar në këtë artikull.

Gabim absolut:

Gabim relativ:

Përgjigje:, gabim absolut: , gabim relativ:

Shembulli 9

Llogaritni vlerën e përafërt të një funksioni në një pikë duke përdorur një diferencial të plotë, vlerësoni gabimin absolut dhe relativ.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Kushdo që ndalet më në detaje në këtë shembull, do t'i kushtojë vëmendje faktit që gabimet e llogaritjes rezultuan shumë, shumë të dukshme. Kjo ndodhi për këtë arsye: në problemin e propozuar, shtimet e argumenteve janë mjaft të mëdha: . Modeli i përgjithshëmështë - aq më shumë këto rritje në vlere absolute, aq më e ulët është saktësia e llogaritjeve. Kështu, për shembull, për një pikë të ngjashme, rritjet do të jenë të vogla: , dhe saktësia e llogaritjeve të përafërta do të jetë shumë e lartë.

Kjo veçori vlen edhe për rastin e një funksioni të një ndryshoreje (pjesa e parë e mësimit).

Shembulli 10

Vendimi: Ne e llogarisim këtë shprehje përafërsisht duke përdorur diferencialin total të një funksioni të dy variablave:

Dallimi nga Shembujt 8-9 është se së pari duhet të përpilojmë një funksion prej dy variablash: . Si është i përbërë funksioni, mendoj se është intuitivisht e qartë për të gjithë.

Vlera 4,9973 është afër "pesë", pra: , .
Vlera e 0.9919 është afër "një", prandaj supozojmë: , .

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën:

Diferencën në një pikë e gjejmë me formulën:

Për ta bërë këtë, ne llogarisim derivatet e pjesshme të rendit të parë në pikën .

Derivatet këtu nuk janë më të thjeshtat, dhe duhet të keni kujdes:

;

.

Diferenciali total në pikën:

Pra vlera e përafërt shprehje e dhënë:

Le të llogarisim një vlerë më të saktë duke përdorur një mikrollogaritës: 2.998899527

Le të gjejmë gabimin relativ të llogaritjes:

Përgjigje: ,

Vetëm një ilustrim i sa më sipër, në problemin e konsideruar, shtimet e argumenteve janë shumë të vogla dhe gabimi doli të ishte fantastikisht i pakët.

Shembulli 11

Duke përdorur diferencialin total të një funksioni të dy ndryshoreve, llogaritni afërsisht vlerën e kësaj shprehjeje. Llogaritni të njëjtën shprehje duke përdorur një mikrollogaritës. Vlerësoni në përqindje gabimin relativ të llogaritjeve.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një shembull i përafërt i përfundimit në fund të mësimit.

Siç u përmend tashmë, mysafiri më i zakonshëm në këtë lloj detyre është një lloj rrënjë. Por herë pas here ka funksione të tjera. Dhe një shembull i fundit i thjeshtë për relaksim:

Shembulli 12

Duke përdorur diferencialin total të një funksioni me dy ndryshore, llogaritni afërsisht vlerën e funksionit nëse

Zgjidhja është më afër fundit të faqes. Përsëri, kushtojini vëmendje formulimit të detyrave të mësimit, në shembuj të ndryshëm në praktikë, formulimet mund të jenë të ndryshme, por kjo nuk ndryshon rrënjësisht thelbin dhe algoritmin e zgjidhjes.

Të them të drejtën u lodha pak, sepse materiali ishte i mërzitshëm. Nuk ishte pedagogjike të thuash në fillim të artikullit, por tani është tashmë e mundur =) Në të vërtetë, problemet e matematikës llogaritëse zakonisht nuk janë shumë të vështira, jo shumë interesante, gjëja më e rëndësishme, ndoshta, është të mos bësh një gabim në llogaritjet e zakonshme.

Le të mos fshihen çelësat e kalkulatorit tuaj!

Zgjidhjet dhe përgjigjet:

Shembulli 2: Vendimi: Ne përdorim formulën:
Në këtë rast: , ,

Kështu:
Përgjigje:

Shembulli 4: Vendimi: Ne përdorim formulën:
Në këtë rast: , ,