Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur një diskriminues. Nxjerrja e formulës për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik të formës jo të plotë

“, pra ekuacione të shkallës së parë. Në këtë mësim do të shikojmë ai që quhet ekuacion kuadratik dhe si ta zgjidhim atë.

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

E rëndësishme!

Shkalla e një ekuacioni përcaktohet nga shkalla më e lartë në të cilën qëndron e panjohura.

Nëse fuqia maksimale në të cilën e panjohura është "2", atëherë ju keni një ekuacion kuadratik.

Shembuj të ekuacioneve kuadratike

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

E rëndësishme! Forma e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik duket si kjo:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" dhe "c" janë dhënë numra.

• “a” është koeficienti i parë ose më i lartë;
• “b” është koeficienti i dytë;
• "c" është një anëtar i lirë.

Për të gjetur "a", "b" dhe "c", duhet të krahasoni ekuacionin tuaj me formën e përgjithshme të ekuacionit kuadratik "ax 2 + bx + c = 0".

Le të praktikojmë përcaktimin e koeficientëve "a", "b" dhe "c" në ekuacionet kuadratike.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ekuacioni	Shanset
a = 5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike

Ndryshe nga ekuacionet lineare për zgjidhje ekuacionet kuadratike përdoret një e veçantë formula për gjetjen e rrënjëve.

Mbani mend!

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik ju duhet:

• sillni ekuacionin kuadratik në formën e përgjithshme “ax 2 + bx + c = 0”. Kjo do të thotë, vetëm "0" duhet të mbetet në anën e djathtë;
• përdorni formulën për rrënjët:

Le të shohim një shembull se si të përdorim formulën për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Le të zgjidhim një ekuacion kuadratik.

X 2 − 3x − 4 = 0

Ekuacioni “x 2 − 3x − 4 = 0” tashmë është reduktuar në formën e përgjithshme “ax 2 + bx + c = 0” dhe nuk kërkon thjeshtime shtesë. Për ta zgjidhur atë, ne vetëm duhet të aplikojmë formula për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Le të përcaktojmë koeficientët "a", "b" dhe "c" për këtë ekuacion.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Mund të përdoret për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Në formulën "x 1; 2 = " shprehja radikale shpesh zëvendësohet
“b 2 − 4ac” për shkronjën “D” dhe quhet diskriminues. Koncepti i diskriminuesit diskutohet më në detaje në mësimin “Çfarë është diskriminuesi”.

Le të shohim një shembull tjetër të një ekuacioni kuadratik.

x 2 + 9 + x = 7x

Në këtë formë, është mjaft e vështirë të përcaktohen koeficientët "a", "b" dhe "c". Le të reduktojmë fillimisht ekuacionin në formën e përgjithshme "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Tani mund të përdorni formulën për rrënjët.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Përgjigje: x = 3

Ka raste kur ekuacionet kuadratike nuk kanë rrënjë. Kjo situatë ndodh kur formula përmban një numër negativ nën rrënjë.

Kjo temë mund të duket e vështirë në fillim për shkak të shumë jo aq formula të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë shënime të gjata, por rrënjët gjenden edhe përmes diskriminuesit. Në total, fitohen tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo funksionon vetëm pas zgjidhje e përbashkët ekuacione të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik

Këtu propozojmë regjistrimin e tyre eksplicit, kur fillimisht shkruhet shkalla më e madhe dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat nuk janë në përputhje. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë disa shënime. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të caktohet kjo formulë numër një.

Kur jepet një ekuacion, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

• zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
• përgjigja do të jetë një numër;
• ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të finalizohet, është e vështirë të kuptohet se cili opsion do të shfaqet në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Mund të ketë hyrje të ndryshme në detyra. Ata nuk do të duken gjithmonë si formula e përgjithshme e ekuacionit kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacioni i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat me koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ekzistojnë vetëm dy lloje; përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy, dhe e dyta - tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientit në këtë formulë, mund të merrni numra me të shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, nuk do të ketë rrënjë të ekuacionit kuadratik. Nëse është e barabartë me zero, do të ketë vetëm një përgjigje.

Si të zgjidhim një ekuacion të plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështje tashmë ka filluar. Sepse së pari ju duhet të gjeni një diskriminues. Pasi të përcaktohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre është i njohur, duhet të përdorni formula për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni formulën e mëposhtme.

Meqenëse përmban një shenjë "±", do të ketë dy vlera. Shprehja nën shenjën e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet ndryshe.

Formula numër pesë. Nga i njëjti procesverbal del qartë se nëse diskriminuesi e barabartë me zero, atëherë të dyja rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike ende nuk është përpunuar, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Nuk ka nevojë as për formula shtesë. Dhe ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin nuk do të nevojiten.

Së pari, le të shohim ekuacionin numër dy jo të plotë. Në këtë barazi, është e nevojshme të nxirret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një shumëzues që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta do të merret duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni jo i plotë numër tre zgjidhet duke lëvizur numrin nga ana e majtë e barazimit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përballë të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më poshtë janë disa hapa për t'ju ndihmuar të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazitë që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi janë arsyeja nota të këqija gjatë studimit të temës së gjerë “Ekuacionet kuadratike (klasa e 8-të)”. Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

• Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Kjo do të thotë, së pari termi me shkallën më të madhe të ndryshores, dhe më pas - pa shkallë, dhe i fundit - vetëm një numër.

• Nëse një minus shfaqet përpara koeficientit "a", mund të komplikojë punën për një fillestar që studion ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.

• Rekomandohet të hiqni qafe fraksionet në të njëjtën mënyrë. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.

Shembuj

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet e mëposhtme kuadratike:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ekuacioni i parë: x 2 − 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pasi e keni nxjerrë nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pasi të keni lëvizur 30 në anën e djathtë të ekuacionit: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numrat: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ekuacioni i tretë: 15 − 2х − x 2 = 0. Këtu e më tej, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë me rishkrimin e tyre në pamje standarde: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tani është koha për të përdorur të dytën këshilla të dobishme dhe shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Duke përdorur formulën e katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në faktin se duhet të sillni terma të ngjashëm, duke hapur fillimisht kllapat. Në vend të së parës do të ketë shprehjen e mëposhtme: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet kjo hyrje: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. Është bërë jo i plotë. Diçka e ngjashme me këtë tashmë është diskutuar pak më lart. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë ndryshon nga ekuacionet klasike (të plota) në atë që faktorët e tij ose termi i lirë janë të barabartë me zero. Grafikët e funksioneve të tilla janë parabola. Në varësi të pamjes së përgjithshme, ato ndahen në 3 grupe. Parimet e zgjidhjes për të gjitha llojet e ekuacioneve janë të njëjta.

Nuk ka asgjë të komplikuar në përcaktimin e llojit të një polinomi jo të plotë. Është më mirë të merren parasysh dallimet kryesore duke përdorur shembuj vizualë:

1. Nëse b = 0, atëherë ekuacioni është ax 2 + c = 0.
2. Nëse c = 0, atëherë shprehja ax 2 + bx = 0 duhet të zgjidhet.
3. Nëse b = 0 dhe c = 0, atëherë polinomi kthehet në një barazi si sëpatë 2 = 0.

Rasti i fundit është më shumë një mundësi teorike dhe nuk ndodh kurrë në detyrat e testimit të njohurive, pasi e vetmja vlerë e saktë e ndryshores x në shprehje është zero. Në të ardhmen do të shqyrtohen metodat dhe shembujt e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike jo të plota të llojeve 1) dhe 2).

Algoritmi i përgjithshëm për kërkimin e variablave dhe shembuj me zgjidhje

Pavarësisht nga lloji i ekuacionit, algoritmi i zgjidhjes reduktohet në hapat e mëposhtëm:

1. Reduktoni shprehjen në një formë të përshtatshme për gjetjen e rrënjëve.
2. Kryen llogaritjet.
3. Shkruani përgjigjen.

Mënyra më e lehtë për të zgjidhur ekuacionet jo të plota është të faktorizoni anën e majtë dhe të lini një zero në të djathtë. Kështu, formula për një ekuacion kuadratik jo të plotë për gjetjen e rrënjëve reduktohet në llogaritjen e vlerës së x për secilin prej faktorëve.

Ju mund të mësoni vetëm se si ta zgjidhni atë në praktikë, kështu që le të shqyrtojmë shembull specifik Gjetja e rrënjëve të një ekuacioni jo të plotë:

Siç mund ta shihni, në këtë rast b = 0. Le të faktorizojmë anën e majtë dhe të marrim shprehjen:

4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Natyrisht, produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Vlerat e ndryshores x1 = 0,5 dhe (ose) x2 = -0,5 plotësojnë kërkesa të ngjashme.

Për të përballuar lehtësisht dhe shpejt detyrën e dekompozimit trinomi kuadratik në faktorë, mbani mend formulën e mëposhtme:

Nëse nuk ka term të lirë në shprehje, problemi thjeshtohet shumë. Do të jetë e mjaftueshme vetëm për të gjetur dhe kllapa emërues i përbashkët. Për qartësi, merrni parasysh një shembull se si të zgjidhni ekuacionet kuadratike jo të plota të formës ax2 + bx = 0.

Le të nxjerrim ndryshoren x nga kllapat dhe të marrim shprehjen e mëposhtme:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Të udhëhequr nga logjika, arrijmë në përfundimin se x1 = 0, dhe x2 = -3.

Metoda tradicionale e zgjidhjes dhe ekuacionet kuadratike jo të plota

Çfarë ndodh nëse aplikoni formulën e diskriminimit dhe përpiqeni të gjeni rrënjët e një polinomi me koeficientë të barabartë me zero? Le të marrim një shembull nga koleksioni detyra tipike për Provimin e Unifikuar të Shtetit në Matematikë 2017 do ta zgjidhim duke përdorur formulat standarde dhe metodën e faktorizimit.

7x 2 – 3x = 0.

Llogaritni vlerën diskriminuese: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Rezulton se polinomi ka dy rrënjë:

Tani, le të zgjidhim ekuacionin duke faktorizuar dhe krahasojmë rezultatet.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Siç mund ta shihni, të dyja metodat japin të njëjtin rezultat, por zgjidhja e ekuacionit duke përdorur metodën e dytë ishte shumë më e lehtë dhe më e shpejtë.

Teorema e Vietës

Por çfarë të bëjmë me teoremën e preferuar të Vietës? A është e mundur të përdoret këtë metodë me një trinom jo të plotë? Le të përpiqemi të kuptojmë aspektet e sjelljes së ekuacioneve jo të plota në pamje klasike ax2 + bx + c = 0.

Në fakt, është e mundur të zbatohet teorema e Vietës në këtë rast. Është e nevojshme vetëm për ta sjellë shprehjen në formën e saj të përgjithshme, duke zëvendësuar termat që mungojnë me zero.

Për shembull, me b = 0 dhe a = 1, për të eliminuar mundësinë e konfuzionit, detyra duhet të shkruhet në formën: ax2 + 0 + c = 0. Pastaj raporti i shumës dhe prodhimit të rrënjëve dhe Faktorët e polinomit mund të shprehen si më poshtë:

Llogaritjet teorike ndihmojnë për t'u njohur me thelbin e çështjes dhe gjithmonë kërkojnë zhvillimin e aftësive gjatë zgjidhjes së problemeve specifike. Le të kthehemi përsëri te libri i referencës së detyrave standarde për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe të gjejmë një shembull të përshtatshëm:

Le ta shkruajmë shprehjen në një formë të përshtatshme për të zbatuar teoremën e Vietës:

x 2 + 0 - 16 = 0.

Hapi tjetër është krijimi i një sistemi kushtesh:

Natyrisht, rrënjët e polinomit kuadratik do të jenë x 1 = 4 dhe x 2 = -4.

Tani, le të praktikojmë sjelljen e ekuacionit në formën e tij të përgjithshme. Le të marrim shembullin e mëposhtëm: 1/4× x 2 – 1 = 0

Për të zbatuar teoremën e Vietës në një shprehje, është e nevojshme të heqësh qafe thyesën. Le të shumëzojmë anët e majta dhe të djathta me 4 dhe shikojmë rezultatin: x2– 4 = 0. Barazia që rezulton është gati të zgjidhet me teoremën e Vietës, por është shumë më e lehtë dhe më e shpejtë për të marrë përgjigjen duke lëvizur thjesht c = 4 në anën e djathtë të ekuacionit: x2 = 4.

Për ta përmbledhur, duhet thënë se menyra me e mire zgjidhja e ekuacioneve jo të plota është faktorizimi, është më i thjeshtë dhe metodë e shpejtë. Nëse lindin vështirësi në procesin e kërkimit të rrënjëve, mund t'i drejtoheni metodës tradicionale të gjetjes së rrënjëve përmes një diskriminuesi.

Shkolla e mesme rurale Kopyevskaya

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mësues i matematikës

fshati Kopevë, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Letërsia

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për të zgjidhur ekuacionet jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave parcelat e tokës dhe me punimet tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit.

Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Pavarësisht nivel të lartë zhvillimi i algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme i mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 11."Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nga këtu x = 2. Një nga numrat e kërkuar është i barabartë me 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë do të arrijmë në një zgjidhje të ekuacionit

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregull i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç A, gjithashtu mund të jetë negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

NË India e lashtë Konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e lashtë indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do të shkëlqejë më shumë se lavdia e një tjetri në kuvendet popullore, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike.” Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Problemi 13.

"Një tufë majmunësh të gjallë dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive...

Autoritetet, pasi kishin ngrënë, u argëtuan. Ata filluan të kërcejnë, të varen...

Janë në shesh pjesa e tetë Sa majmunë ishin?

Po argëtohesha në pastrim. Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera (Fig. 3).

Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = -768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në katror, ​​shton në të dyja anët 32 2 , pastaj duke marrë:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike në el - Khorezmi

Në traktatin algjebrik të al-Khorezmi, jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

2) “Katroret janë të barabartë me numrat”, d.m.th. sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

5) “Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrat”, d.m.th. ah 2 + bx = s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = sëpatë 2 .

Për al-Khorezmi, i cili shmangu konsumin numra negativ, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve shtohen, nuk zbriten. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë

al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në problemet specifike praktike nuk ka rëndësi. Kur zgjidh ekuacione të plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas prova gjeometrike.

Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (duke nënkuptuar rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhja e autorit shkon diçka e tillë: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XVII bb

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përgjatë linjave të al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si të vendeve islame ashtu edhe Greqia e lashte, dallohet si nga plotësia ashtu edhe nga qartësia e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:

x 2 + bx = c,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në pamje e përgjithshme Viet e ka atë, por Viet njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, me emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D, shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, Kjo A barazohet NË dhe të barabartë D ».

Për të kuptuar Vietën, duhet ta kujtojmë këtë A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (tonë X), zanoret NË, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: nëse ka

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Shprehja e marrëdhënies ndërmjet rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve formulat e përgjithshme shkruar duke përdorur simbole, Viet vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg pamje moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, irracionale dhe transcendentale. Të gjithë dimë të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa e 8-të) deri në diplomim.

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike të zgjidhjes, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Të ketë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm midis ekuacioneve kuadratike dhe atyre lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0. Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për secilin ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Që nga aritmetika Rrenja katrore ekziston vetëm nga numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, nuk kërkohej një diskriminues - nuk ka fare llogaritje komplekse në ekuacionet kuadratike jo të plota. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse ka një numër pozitiv, do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.