Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar një person specifik ose për ta kontaktuar atë.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi ndaj palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat juridike dhe/ose bazuar në kërkesa ose kërkesa publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për arsye sigurie, zbatimi të ligjit ose arsye të tjera të interesit publik.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Ruajtja e privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Ekuacionet trigonometrike nuk janë tema më e lehtë. Me dhimbje ato janë të ndryshme.) Për shembull, këto:
sin2x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Etj...
Por këto (dhe të gjitha të tjerat) përbindësha trigonometrikë kanë dy tipare të përbashkëta dhe të detyrueshme. E para - nuk do ta besoni - ka funksione trigonometrike në ekuacione.) Së dyti: të gjitha shprehjet me x janë brenda të njëjtave funksione. Dhe vetëm atje! Nëse x shfaqet diku jashtë, për shembull, sin2x + 3x = 3, ky do të jetë ekuacioni lloj i përzier. Ekuacione të tilla kërkojnë një qasje individuale. Këtu nuk do t'i konsiderojmë ato.
Ekuacionet e liga nuk do të zgjidhim as në këtë mësim.) Këtu do të merremi ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Pse? Po, sepse vendimi ndonjë ekuacionet trigonometrike përbëhen nga dy faza. Në fazën e parë, ekuacioni i së keqes reduktohet në një të thjeshtë nga transformime të ndryshme. Në të dytën - zgjidhet ky ekuacion më i thjeshtë. Asnjë rrugë tjetër.
Pra, nëse keni probleme në fazën e dytë, faza e parë nuk ka shumë kuptim.)
Si duken ekuacionet elementare trigonometrike?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Këtu a qëndron për çdo numër. Çdo.
Nga rruga, brenda funksionit mund të mos ketë një x të pastër, por një lloj shprehjeje, si p.sh.
cos(3x+π /3) = 1/2
etj. Kjo e ndërlikon jetën, por nuk ndikon në metodën e zgjidhjes së ekuacionit trigonometrik.
Si të zgjidhen ekuacionet trigonometrike?
Ekuacionet trigonometrike mund të zgjidhen në dy mënyra. Mënyra e parë: duke përdorur logjikën dhe një rreth trigonometrik. Ne do ta eksplorojmë këtë rrugë këtu. Mënyra e dytë - përdorimi i kujtesës dhe formulave - do të shqyrtohet në mësimin e ardhshëm.
Mënyra e parë është e qartë, e besueshme dhe e vështirë për t'u harruar.) Është e mirë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike, pabarazitë dhe të gjitha llojet e shembujve të ndërlikuar jo standarde. Logjika është më e fortë se kujtesa!
Ne i zgjidhim ekuacionet duke përdorur një rreth trigonometrik.
Ne përfshijmë logjikën elementare dhe aftësinë për të përdorur një rreth trigonometrik. Nuk mundesh!? Megjithatë... Do ta keni të vështirë në trigonometri...) Por nuk ka rëndësi. Hidhini një sy mësimeve "Rrethi trigonometrik ...... Çfarë është?" dhe "Numërimi i këndeve në një rreth trigonometrik". Gjithçka është e thjeshtë atje. Ndryshe nga tekstet shkollore...)
Ah, e dini!? Dhe madje zotëroi "Punë praktike me rreth trigonometrik"!? Pranoni urimet. Kjo temë do të jetë e afërt dhe e kuptueshme për ju.) Ajo që është veçanërisht e këndshme është se rrethit trigonometrik nuk i intereson se cilin ekuacion do të zgjidhni. Sinus, kosinus, tangjent, kotangjent - gjithçka është e njëjtë për të. Parimi i zgjidhjes është i njëjtë.
Pra marrim çdo ekuacion elementar trigonometrik. Të paktën kjo:
cosx = 0,5
Më duhet të gjej X. Duke folur në gjuhën njerëzore, ju duhet gjeni këndin (x) kosinusi i të cilit është 0,5.
Si e përdornim rrethin më parë? Ne vizatuam një qoshe mbi të. Në gradë ose radiane. Dhe menjëherë parë funksionet trigonometrike të këtij këndi. Tani le të bëjmë të kundërtën. Vizatoni një kosinus të barabartë me 0,5 në rreth dhe menjëherë do të shohim qoshe. Mbetet vetëm për të shkruar përgjigjen.) Po, po!
Vizatojmë një rreth dhe shënojmë kosinusin e barabartë me 0.5. Në boshtin kosinus, natyrisht. Si kjo:
Tani le të vizatojmë këndin që na jep ky kosinus. Zhvendosni miun mbi foto (ose prekni figurën në një tablet) dhe Shiko po ky cep X.
Cili kënd ka një kosinus 0,5?
x \u003d π / 3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Disa njerëz do të rënkojnë skeptikisht, po... Ata thonë, a ia vlejti të rrethosh rrethin, kur gjithsesi gjithçka është e qartë... Sigurisht që mund të rrënqesh...) Por fakti është se kjo është një gabim përgjigje. Ose më mirë, joadekuate. Njohësit e rrethit kuptojnë se ka ende një grup të tërë këndesh që japin gjithashtu një kosinus të barabartë me 0.5.
Nëse e ktheni anën e lëvizshme OA për një kthesë të plotë, pika A do të kthehet në pozicionin e saj origjinal. Me të njëjtin kosinus të barabartë me 0,5. ato. këndi do të ndryshojë 360° ose 2π radiane, dhe kosinusi nuk është. Këndi i ri 60° + 360° = 420° do të jetë gjithashtu një zgjidhje për ekuacionin tonë, sepse
Ka një numër të pafund të rrotullimeve të tilla të plota... Dhe të gjitha këto kënde të reja do të jenë zgjidhje për ekuacionin tonë trigonometrik. Dhe të gjithë duhet të shkruhen disi. Të gjitha. Përndryshe, vendimi nuk merret parasysh, po ...)
Matematika mund ta bëjë këtë thjesht dhe elegante. Në një përgjigje të shkurtër, shkruani grup i pafund Zgjidhjet. Ja se si duket për ekuacionin tonë:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Unë do të deshifroj. Ende shkruani kuptimplotë më bukur sesa të vizatosh marrëzi disa shkronja misterioze, apo jo?)
π /3 është i njëjti kënd që ne pa në rreth dhe të përcaktuara sipas tabelës së kosinusit.
2π është një kthesë e plotë në radianë.
n - ky është numri i plotë, d.m.th. e tërë revolucionet. Është e qartë se n mund të jetë 0, ±1, ±2, ±3.... e kështu me radhë. Siç tregohet nga hyrja e shkurtër:
n ∈ Z
n i takon ( ∈ ) në bashkësinë e numrave të plotë ( Z ). Meqë ra fjala, në vend të letrës n mund të përdoren shkronjat k, m, t etj.
Ky shënim do të thotë që ju mund të merrni çdo numër të plotë n . Të paktën -3, të paktën 0, të paktën +55. cfare deshironi. Nëse e futni atë numër në përgjigjen tuaj, ju merrni një kënd specifik, i cili me siguri do të jetë zgjidhja e ekuacionit tonë të ashpër.)
Ose, me fjalë të tjera, x \u003d π / 3 është rrënja e vetme e një bashkësie të pafundme. Për të marrë të gjitha rrënjët e tjera, mjafton të shtoni çdo numër kthesash të plota në π / 3 ( n ) në radiane. ato. 2πn radian.
Gjithçka? Nr. Unë veçanërisht zgjas kënaqësinë. Për ta mbajtur mend më mirë.) Ne morëm vetëm një pjesë të përgjigjeve të ekuacionit tonë. Unë do ta shkruaj këtë pjesë të parë të zgjidhjes si më poshtë:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - jo një rrënjë, është një seri e tërë rrënjësh, të shkruara në formë të shkurtër.
Por ka kënde të tjera që japin gjithashtu një kosinus të barabartë me 0,5!
Le t'i kthehemi fotos sonë, sipas së cilës kemi shkruar përgjigjen. Atje ajo është:
Lëvizni miun mbi imazh dhe Shiko një kënd tjetër që jep gjithashtu një kosinus 0.5.Çfarë mendoni se është e barabartë? Trekëndëshat janë të njëjtë... Po! Është e barabartë me këndin X , i paraqitur vetëm në drejtim negativ. Ky është këndi -X. Por ne kemi llogaritur tashmë x. π /3 ose 60°. Prandaj, mund të shkruajmë me siguri:
x 2 \u003d - π / 3
Dhe, natyrisht, shtojmë të gjitha këndet që përftohen përmes kthesave të plota:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është e gjitha tani.) Në një rreth trigonometrik, ne pa(kush e kupton, sigurisht)) të gjitha kënde që japin një kosinus të barabartë me 0,5. Dhe shënoi shkurtimisht këto kënde formë matematikore. Përgjigja është dy seri të pafundme rrënjësh:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është përgjigja e saktë.
Shpresa, parim i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike me ndihmën e një rrethi është e kuptueshme. Shënojmë në rreth kosinusin (sinusin, tangjentën, kotangjenten) nga ekuacioni i dhënë, vizatoni qoshet që i përgjigjen dhe shkruani përgjigjen. Sigurisht, ju duhet të kuptoni se çfarë lloj qoshe jemi pa në rreth. Ndonjëherë nuk është aq e qartë. Epo, siç thashë, logjika kërkohet këtu.)
Për shembull, le të analizojmë një ekuacion tjetër trigonometrik:
Ju lutemi vini re se numri 0.5 nuk është i vetmi numër i mundshëm në ekuacione!) Është thjesht më i përshtatshëm për mua ta shkruaj atë sesa rrënjët dhe thyesat.
Ne punojmë sipas parimit të përgjithshëm. Ne vizatojmë një rreth, shënojmë (në boshtin e sinusit, natyrisht!) 0.5. Ne tërheqim menjëherë të gjitha këndet që korrespondojnë me këtë sinus. Ne marrim këtë foto:
Le të merremi me këndin e parë. X në tremujorin e parë. Kujtojmë tabelën e sinuseve dhe përcaktojmë vlerën e këtij këndi. Çështja është e thjeshtë:
x \u003d π / 6
Ne kujtojmë kthesat e plota dhe, me një ndërgjegje të pastër, shkruajmë serinë e parë të përgjigjeve:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Gjysma e punës është bërë. Tani duhet të përcaktojmë këndi i dytë... Kjo është më e ndërlikuar se në kosinus, po ... Por logjika do të na shpëtojë! Si të përcaktohet këndi i dytë përmes x? Po Lehtë! Trekëndëshat në foto janë të njëjta, dhe këndi i kuq X e barabartë me këndin X . Vetëm ai numërohet nga këndi π në drejtim negativ. Prandaj është e kuqe.) Dhe për përgjigjen na duhet një kënd i matur saktë nga gjysmëboshti pozitiv OX, d.m.th. nga një kënd prej 0 gradë.
Zhvendosni kursorin mbi foto dhe shikoni gjithçka. E hoqa këndin e parë për të mos e komplikuar figurën. Këndi i interesit për ne (i vizatuar në të gjelbër) do të jetë i barabartë me:
π - x
x ne e dimë atë π /6 . Pra, këndi i dytë do të jetë:
π - π /6 = 5π /6
Përsëri, ne kujtojmë shtimin e revolucioneve të plota dhe shkruajmë serinë e dytë të përgjigjeve:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Kjo eshte e gjitha. Një përgjigje e plotë përbëhet nga dy seri rrënjësh:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ekuacionet me tangjente dhe kotangjente mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur të njëjtin parim të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Nëse, sigurisht, nuk dini si të vizatoni tangjenten dhe kotangjenten në një rreth trigonometrik.
Në shembujt e mësipërm, kam përdorur vlerën tabelare të sinusit dhe kosinusit: 0.5. ato. një nga ato kuptimet që di nxënësi duhet. Tani le të zgjerojmë aftësitë tona në të gjitha vlerat e tjera. Vendosni, kështu që vendosni!)
Pra, le të themi se duhet të zgjidhim ekuacionin trigonometrik të mëposhtëm:
Nuk ka një vlerë të tillë të kosinusit në tabelat e shkurtra. Ne e injorojmë me gjakftohtësi këtë fakt të tmerrshëm. Vizatojmë një rreth, shënojmë 2/3 në boshtin kosinus dhe vizatojmë këndet përkatëse. Ne e marrim këtë foto.
Ne e kuptojmë, për fillim, me një kënd në tremujorin e parë. Për të ditur se me çfarë është x, ata do ta shkruanin menjëherë përgjigjen! Nuk e dimë... Dështim!? Qete! Matematika nuk e lë të veten në vështirësi! Ajo shpiku kosinuset e harkut për këtë rast. Nuk e di? Më kot. Zbulojeni. Është shumë më e lehtë nga sa mendoni. Në këtë lidhje, asnjë magji e vetme e ndërlikuar për "të kundërtën funksionet trigonometrike“Jo... Është e tepërt në këtë temë.
Nëse jeni në dijeni, thjesht thoni vetes: "X është një kënd kosinusi i të cilit është 2/3". Dhe menjëherë, thjesht nga përkufizimi i arkkosinës, mund të shkruajmë:
Ne kujtojmë revolucionet shtesë dhe shkruajmë me qetësi serinë e parë të rrënjëve të ekuacionit tonë trigonometrik:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Seria e dytë e rrënjëve shkruhet gjithashtu pothuajse automatikisht, për këndin e dytë. Gjithçka është e njëjtë, vetëm x (arccos 2/3) do të jetë me një minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Dhe të gjitha gjërat! Kjo është përgjigja e saktë. Edhe më lehtë sesa me vlerat tabelare. Ju nuk keni nevojë të mbani mend asgjë.) Nga rruga, më të vëmendshëm do të vërejnë se kjo foto me zgjidhjen përmes kosinusit të harkut në thelb nuk ndryshon nga fotografia për ekuacionin cosx = 0.5.
Pikërisht! Parimi i përgjithshëm prandaj është e zakonshme! Në mënyrë specifike vizatova dy piktura pothuajse identike. Rrethi na tregon këndin X me kosinusin e tij. Është një kosinus tabelor, ose jo - rrethi nuk e di. Çfarë lloj këndi është ky, π / 3, ose çfarë lloji kosinusi të harkut varet nga ne që të vendosim.
Me një sine e njëjta këngë. Për shembull:
Përsëri vizatojmë një rreth, shënojmë sinusin e barabartë me 1/3, vizatojmë qoshet. Rezulton kjo foto:
Dhe përsëri fotografia është pothuajse e njëjtë si për ekuacionin sinx = 0,5. Sërish nisemi nga këndi në çerekun e parë. Sa është x e barabartë nëse sinusi i tij është 1/3? Nuk ka problem!
Pra, paketa e parë e rrënjëve është gati:
x 1 = harksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Le të hedhim një vështrim në këndin e dytë. Në shembullin me një vlerë tabele prej 0.5, ishte e barabartë me:
π - x
Pra, këtu do të jetë saktësisht e njëjta gjë! Vetëm x është i ndryshëm, harku 1/3. Edhe çfarë!? Ju mund të shkruani me siguri paketën e dytë të rrënjëve:
x 2 = π - hark 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë. Edhe pse nuk duket shumë e njohur. Por është e kuptueshme, shpresoj.)
Kështu zgjidhen ekuacionet trigonometrike duke përdorur një rreth. Kjo rrugë është e qartë dhe e kuptueshme. Është ai që kursen në ekuacionet trigonometrike me zgjedhjen e rrënjëve në një interval të caktuar, në pabarazitë trigonometrike- ato përgjithësisht zgjidhen pothuajse gjithmonë në rreth. Me pak fjalë, në çdo detyrë që është pak më e ndërlikuar se ato standarde.
Vënia në praktikë e njohurive?
Zgjidh ekuacionet trigonometrike:
Në fillim është më e thjeshtë, drejtpërdrejt në këtë mësim.
Tani është më e vështirë.
Këshillë: këtu duhet të mendoni për rrethin. Personalisht.)
Dhe tani nga jashtë jo modest ... Ata quhen edhe raste të veçanta.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Këshillë: këtu duhet të kuptoni në një rreth se ku ka dy seri përgjigjesh, dhe ku ka një ... Dhe si të shkruani një në vend të dy serive përgjigjesh. Po, kështu që asnjë rrënjë e vetme nga një numër i pafund nuk humbet!)
Epo, mjaft e thjeshtë):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Këshillë: këtu duhet të dini se çfarë është arksina, arkozina? Çfarë është tangjenta e harkut, tangjenta e harkut? Shumica përkufizime të thjeshta. Por nuk keni nevojë të mbani mend ndonjë vlerë tabelare!)
Përgjigjet janë, natyrisht, të parregullta):
x 1= harksin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Lexojeni përsëri mësimin. Vetëm me mendime(ka të tilla fjalë e vjetëruar...) Dhe ndiqni lidhjet. Lidhjet kryesore kanë të bëjnë me rrethin. Pa të në trigonometri - si të kalosh rrugën me sy të lidhur. Ndonjëherë funksionon.)
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)
mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Një herë isha dëshmitar i një bisede midis dy aplikantëve:
– Kur duhet të shtoni 2πn, dhe kur - πn? Nuk më kujtohet!
- Dhe unë kam të njëjtin problem.
Doja t'u thoja: "Nuk është e nevojshme të mësosh përmendësh, por të kuptosh!"
Ky artikull u drejtohet kryesisht nxënësve të shkollave të mesme dhe, shpresoj, do t'i ndihmojë ata me "të kuptuarit" për të zgjidhur ekuacionet më të thjeshta trigonometrike:
Rrethi i numrave
Së bashku me konceptin e një vije numerike, ekziston edhe koncepti i një rrethi numerik. Siç e dimë, në sistem drejtkëndor rrethi koordinativ, me qendër në pikën (0; 0) dhe rreze 1, quhet njësi. Imagjinoni një vijë numerike me një fije të hollë dhe rrotullojeni rreth këtij rrethi: pikën e referencës (pika 0), lidhni atë në pikën "djathtas" të rrethit të njësisë, mbështillni gjysmëboshtin pozitiv në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe gjysmëboshtin negativ. në drejtim (Fig. 1). Një rreth i tillë njësi quhet rreth numëror.
Vetitë e rrethit të numrave
- Çdo numër real është në një pikë të rrethit të numrave.
- Në çdo pikë të rrethit të numrave ka pafundësisht shumë numra realë. Meqenëse gjatësia e rrethit të njësisë është 2π, diferenca midis çdo dy numrash në një pikë të rrethit është e barabartë me një nga numrat ±2π; ±4π; ±6π; …
Le të përfundojmë: Duke ditur një nga numrat e pikës A, mund të gjejmë të gjithë numrat e pikës A.
Le të vizatojmë diametrin AC (Fig. 2). Meqenëse x_0 është një nga numrat e pikës A, atëherë numrat x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … dhe vetëm ata do të jenë numrat e pikës C. Le të zgjedhim një nga këta numra, le të themi, x_0+π, dhe ta përdorim për të shkruar të gjithë numrat e pikës C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Vini re se numrat në pikat A dhe C mund të kombinohen në një formulë: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (për k = 0; ±2; ±4; ... marrim numrat e pika A, dhe për k = ±1, ±3, ±5, … janë numrat e pikës C).
Le të përfundojmë: Duke ditur një nga numrat në njërën nga pikat A ose C të diametrit AC, mund të gjejmë të gjithë numrat në këto pika.
- Dy numra të kundërt janë të vendosura në pikat e rrethit që janë simetrike në lidhje me boshtin e abshisave.
Le të vizatojmë një kordë vertikale AB (Fig. 2). Meqenëse pikat A dhe B janë simetrike rreth boshtit Ox, numri -x_0 ndodhet në pikën B dhe, për rrjedhojë, të gjithë numrat e pikës B jepen me formulën: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Numrat në pikat A dhe B i shkruajmë me një formulë: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Le të përfundojmë: duke ditur një nga numrat në njërën nga pikat A ose B të kordës vertikale AB, mund t'i gjejmë të gjithë numrat në këto pika. Konsideroni kordën horizontale AD dhe gjeni numrat e pikës D (Fig. 2). Meqenëse BD është diametri dhe numri -x_0 i përket pikës B, atëherë -x_0 + π është një nga numrat e pikës D dhe, për rrjedhojë, të gjithë numrat e kësaj pike jepen me formulën x_D=-x_0+π+2πk. ,k∈Z. Numrat në pikat A dhe D mund të shkruhen duke përdorur një formulë: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (për k= 0; ±2; ±4; ... marrim numrat e pikës A, dhe për k = ±1; ±3; ±5; ... - numrat e pikës D).
Le të përfundojmë: duke ditur një nga numrat në njërën nga pikat A ose D të kordës horizontale AD, mund t'i gjejmë të gjithë numrat në këto pika.
Gjashtëmbëdhjetë pika kryesore të rrethit numerik
Në praktikë, zgjidhja e shumicës së ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike shoqërohet me gjashtëmbëdhjetë pika të rrethit (Fig. 3). Cilat janë këto pika? Pikat e kuqe, blu dhe jeshile e ndajnë rrethin në 12 pjesë të barabarta. Meqenëse gjatësia e gjysmërrethit është π, gjatësia e harkut A1A2 është π/2, gjatësia e harkut A1B1 është π/6 dhe gjatësia e harkut A1C1 është π/3.
Tani mund të specifikojmë një numër në pikat: 
π/3 në С1 dhe
Kulmet e katrorit portokalli janë pikat e mesit të harqeve të çdo tremujori, kështu që gjatësia e harkut A1D1 është e barabartë me π/4, dhe si rrjedhim π/4 është një nga numrat e pikës D1. Duke përdorur vetitë e rrethit të numrave, ne mund të shkruajmë të gjithë numrat në të gjitha pikat e shënuara të rrethit tonë duke përdorur formula. Figura tregon gjithashtu koordinatat e këtyre pikave (ne e lëmë përshkrimin e përvetësimit të tyre).
Pasi mësuam sa më sipër, tani kemi përgatitje të mjaftueshme për zgjidhjen e rasteve të veçanta (për nëntë vlera të numrit a) ekuacionet më të thjeshta.
Zgjidh ekuacione
1)sinx=1⁄(2).
– Çfarë kërkohet prej nesh?
– Gjeni të gjithë ata numra x sinusi i të cilëve është 1/2.
Kujtoni përkufizimin e sinusit: sinx - ordinata e pikës së rrethit numerik, në të cilën ndodhet numri x. Në rreth kemi dy pika, ordinata e të cilave është e barabartë me 1/2. Këto janë skajet e kordës horizontale B1B2. Kjo do të thotë se kërkesa “zgjidhe ekuacionin sinx=1⁄2” është ekuivalente me kërkesën “gjeni të gjithë numrat në pikën B1 dhe të gjithë numrat në pikën B2”.
2)sinx=-√3⁄2 .
Duhet të gjejmë të gjithë numrat në pikat C4 dhe C3.
3) sinx=1. Në rreth kemi vetëm një pikë me ordinatë 1 - pika A2 dhe, për rrjedhojë, duhet të gjejmë vetëm të gjithë numrat e kësaj pike.
Përgjigje: x=π/2+2πk , k∈Z .
4)sinx=-1 .
Vetëm pika A_4 ka ordinatë -1. Të gjithë numrat e kësaj pike do të jenë kuajt e ekuacionit.
Përgjigje: x=-π/2+2πk , k∈Z .
5) sinx=0 .
Në rreth kemi dy pika me ordinatë 0 - pika A1 dhe A3. Ju mund të specifikoni numrat në secilën nga pikat veç e veç, por duke qenë se këto pika janë diametralisht të kundërta, është më mirë t'i kombinoni ato në një formulë: x=πk ,k∈Z .
Përgjigje: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Kujtoni përkufizimin e kosinusit: cosx - abshisa e pikës së rrethit numerik në të cilën ndodhet numri x. Në rreth kemi dy pika me abshisën √2⁄2 - skajet e kordës horizontale D1D4. Ne duhet të gjejmë të gjithë numrat në këto pika. I shkruajmë duke i kombinuar në një formulë.
Përgjigje: x=±π/4+2πk , k∈Z .
7) cosx=-1⁄2 .
Ne duhet të gjejmë numrat në pikat C_2 dhe C_3.
Përgjigje: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Vetëm pikat A2 dhe A4 kanë abshisë 0, që do të thotë se të gjithë numrat në secilën prej këtyre pikave do të jenë zgjidhje të ekuacionit. 
.
Zgjidhjet e ekuacionit të sistemit janë numrat në pikat B_3 dhe B_4. Pabarazi cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Përgjigje: x=-5π/6+2πk , k∈Z .
Vini re se për çdo vlerë të pranueshme të x, faktori i dytë është pozitiv dhe, për rrjedhojë, ekuacioni është ekuivalent me sistemin
Zgjidhjet e ekuacionit të sistemit janë numri i pikave D_2 dhe D_3 . Numrat e pikës D_2 nuk plotësojnë pabarazinë sinx≤0,5, por numrat e pikës D_3 e plotësojnë.
blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.
Kursi video "Merr A" përfshin të gjitha temat e nevojshme për kalimin me sukses të provimit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit PËRDORIMI në matematikë. Gjithashtu i përshtatshëm për kalimin e USE Bazë në matematikë. Nëse doni ta kaloni provimin me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!
Kurs përgatitor për provimin për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur pjesën 1 të provimit në matematikë (12 detyrat e para) dhe problemin 13 (trigonometri). Dhe këto janë më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me qindra pikë dhe as një humanist nuk mund të bëjë pa to.
E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, kurthe dhe sekrete të provimit. Të gjitha detyrat përkatëse të pjesës 1 nga detyrat e Bankës së FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e USE-2018.
Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.
Qindra detyra provimi. Problemet e tekstit dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave USE. Stereometria. Truket dinake për zgjidhjen, fletët e dobishme të mashtrimit, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para - në detyrën 13. Të kuptuarit në vend të grumbullimit. Shpjegimi vizual i koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Baza për zgjidhjen e problemeve komplekse të pjesës së dytë të provimit.
Kur zgjidhni shumë problemet e matematikës, sidomos ato që ndodhin para klasës 10, është e përcaktuar qartë radha e veprimeve të kryera që do të çojnë te qëllimi. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, ekuacionet lineare dhe kuadratike, pabarazitë lineare dhe kuadratike, ekuacionet fraksionale dhe ekuacionet që reduktohen në ato kuadratike. Parimi i zgjidhjes së suksesshme të secilës prej detyrave të përmendura është si vijon: është e nevojshme të përcaktohet se çfarë lloj detyre po zgjidhet, mbani mend sekuencën e nevojshme të veprimeve që do të çojnë në rezultatin e dëshiruar, d.m.th. përgjigjuni dhe ndiqni këto hapa.
Natyrisht, suksesi ose dështimi në zgjidhjen e një problemi të caktuar varet kryesisht nga sa saktë përcaktohet lloji i ekuacionit që zgjidhet, sa saktë riprodhohet sekuenca e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Sigurisht, në këtë rast, është e nevojshme të keni aftësi për të kryer transformime dhe llogaritje identike.
Një situatë e ndryshme ndodh me ekuacionet trigonometrike. Nuk është e vështirë të përcaktohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin gjatë përcaktimit të sekuencës së veprimeve që do të çonin në përgjigjen e saktë.
Ndonjëherë është e vështirë të përcaktohet lloji i tij nga pamja e një ekuacioni. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh atë të duhurin nga disa dhjetëra formula trigonometrike.
Për të zgjidhur ekuacionin trigonometrik, duhet të provojmë:
1. sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";
2. sillni ekuacionin në "funksionet e njëjta";
3. faktorizoni anën e majtë të ekuacionit etj.
Merrni parasysh metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
I. Reduktimi në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike
Skema e zgjidhjes
Hapi 1. Shprehni funksionin trigonometrik në terma të komponentëve të njohur.
Hapi 2 Gjeni argumentin e funksionit duke përdorur formulat:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x \u003d (-1) n harksin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.
Hapi 3 Gjeni një ndryshore të panjohur.
Shembull.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Zgjidhje.
1) cos(3x - π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Përgjigje: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Zëvendësimi i ndryshueshëm
Skema e zgjidhjes
Hapi 1. Sillni ekuacionin në një formë algjebrike në lidhje me një nga funksionet trigonometrike.
Hapi 2 Shënoni funksionin që rezulton me variablin t (nëse është e nevojshme, vendosni kufizime në t).
Hapi 3 Shkruani dhe zgjidhni ekuacionin algjebrik që rezulton.
Hapi 4 Bëni një zëvendësim të kundërt.
Hapi 5 Të zgjidhë ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë.
Shembull.
2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.
Zgjidhje.
1) 2 (1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;
2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.
2) Le të sin (x/2) = t, ku |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ose e = -3/2 nuk e plotëson kushtin |t| ≤ 1.
4) mëkat (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Përgjigje: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda e reduktimit të rendit të ekuacionit
Skema e zgjidhjes
Hapi 1. Zëvendësoni këtë ekuacion me një linear duke përdorur formulat e reduktimit të fuqisë:
sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);
cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);
tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metodat I dhe II.
Shembull.
cos2x + cos2x = 5/4.
Zgjidhje.
1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Përgjigje: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ekuacionet homogjene
Skema e zgjidhjes
Hapi 1. Sillni këtë ekuacion në formë
a) një sin x + b cos x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së parë)
ose te pamja
b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).
Hapi 2 Ndani të dyja anët e ekuacionit me
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
dhe merrni ekuacionin për tg x:
a) a tg x + b = 0;
b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.
Hapi 3 Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metoda të njohura.
Shembull.
5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.
Zgjidhje.
1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Le të tg x = t, atëherë
t 2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 ose t = -4, pra
tg x = 1 ose tg x = -4.
Nga ekuacioni i parë x = π/4 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Përgjigje: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda për transformimin e një ekuacioni duke përdorur formulat trigonometrike
Skema e zgjidhjes
Hapi 1. Duke përdorur të gjitha llojet e formulave trigonometrike, sillni këtë ekuacion në një ekuacion që mund të zgjidhet me metodat I, II, III, IV.
Hapi 2 Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metoda të njohura.
Shembull.
sinx + sin2x + sin3x = 0.
Zgjidhje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;
Nga ekuacioni i parë 2x = π/2 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë cos x = -1/2.
Kemi x = π/4 + πn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Si rezultat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Përgjigje: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Aftësia dhe aftësitë për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike janë shumë 
e rëndësishme, zhvillimi i tyre kërkon përpjekje të konsiderueshme, si nga nxënësi ashtu edhe nga mësuesi.
Me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike shoqërohen shumë probleme të stereometrisë, fizikës etj.. Procesi i zgjidhjes së problemeve të tilla, si të thuash, përmban shumë nga njohuritë dhe aftësitë që fitohen gjatë studimit të elementeve të trigonometrisë.
Ekuacionet trigonometrike zënë një vend të rëndësishëm në procesin e mësimdhënies së matematikës dhe zhvillimit të personalitetit në përgjithësi.
A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
Mësimi i parë është falas!
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.