Një trinom katror është një polinom i formës ax^2 + bx + c, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a ≠ 0.
Për të faktorizuar një trinom, duhet të dini rrënjët e atij trinomi. (më tej një shembull mbi trinomin 5x^2 + 3x- 2)
Shënim: vlera e trinomit kuadratik 5x^2 + 3x - 2 varet nga vlera e x. Për shembull: Nëse x = 0, atëherë 5x^2 + 3x - 2 = -2
Nëse x = 2, atëherë 5x^2 + 3x - 2 = 24
Nëse x = -1, atëherë 5x^2 + 3x - 2 = 0
Në x = -1, trinomi katror 5x^2 + 3x - 2 zhduket, në këtë rast numri -1 quhet rrënja e një trinomi katror.
Si të merrni rrënjën e një ekuacioni
Le të shpjegojmë se si e kemi marrë rrënjën e këtij ekuacioni. Së pari, duhet të dini qartë teoremën dhe formulën me të cilën do të punojmë:
"Nëse x1 dhe x2 janë rrënjët e trinomit kuadratik ax^2 + bx + c, atëherë ax^2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2)."
X = (-b±√(b^2-4ac))/2a \
Kjo formulë për gjetjen e rrënjëve të një polinomi është formula më primitive, duke përdorur të cilën nuk do të hutoheni kurrë.
Shprehja është 5x^2 + 3x – 2.
1. Barazoni me zero: 5x^2 + 3x – 2 = 0
2. Gjeni rrënjët e ekuacionit kuadratik, për ta bërë këtë ne zëvendësojmë vlerat në formulë (a është koeficienti i X^2, b është koeficienti i X, termi i lirë, domethënë figura pa X ):
Ne gjejmë rrënjën e parë me një shenjë plus përpara rrënjës katrore:
Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4
Rrënja e dytë me shenjën minus përpara rrënjës katrore:
X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1
Pra, ne kemi gjetur rrënjët e trinomit kuadratik. Për t'u siguruar që ato janë të sakta, mund të kontrolloni: së pari ne zëvendësojmë rrënjën e parë në ekuacion, pastaj të dytën:
1) 5x^2 + 3x – 2 = 0
5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0
5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0
2) 5x^2 + 3x – 2 = 0
5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0
5 * 1 + (-3) – 2 = 0
5 – 3 – 2 = 0
Nëse, pas zëvendësimit të të gjitha rrënjëve, ekuacioni bëhet zero, atëherë ekuacioni zgjidhet saktë.
3. Tani le të përdorim formulën nga teorema: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), mos harroni se X1 dhe X2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Pra: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0.4) * (x- (-1))
5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)
4. Për t'u siguruar që zbërthimi është i saktë, thjesht mund të shumëzoni kllapat:
5(x - 0.4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0.4x - 0.4) = 5(x^2 + 0.6x – 0.4) = 5x^2 + 3 – 2. Që konfirmon korrektësinë të vendimit.
Opsioni i dytë për gjetjen e rrënjëve të një trinomi katror
Një tjetër mundësi për gjetjen e rrënjëve të një trinomi katror është teorema anasjellta e teoremës Vietta. Këtu rrënjët e ekuacionit kuadratik gjenden duke përdorur formulat: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Por është e rëndësishme të kuptohet se kjo teoremë mund të përdoret vetëm nëse koeficienti a = 1, domethënë numri përpara x^2 = 1.
Për shembull: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.
Ne zgjidhim: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2
Tani është e rëndësishme të mendoni se cilat numra në produkt japin një? Natyrisht kjo 1 * 1 Dhe -1 * (-1) . Nga këta numra zgjedhim ata që korrespondojnë me shprehjen x1 + x2 = 2, natyrisht - kjo është 1 + 1. Pra, gjetëm rrënjët e ekuacionit: x1 = 1, x2 = 1. Kjo është e lehtë të kontrollohet nëse ne zëvendësoni x^2 në shprehjen - 2x + 1 = 0.
Zgjerimi i polinomeve për të marrë një produkt ndonjëherë mund të duket konfuz. Por nuk është aq e vështirë nëse e kuptoni procesin hap pas hapi. Artikulli përshkruan në detaje se si të faktorizohet trinomi kuadratik.
Shumë njerëz nuk e kuptojnë se si të faktorizojnë një trinom katror dhe pse bëhet kjo. Në fillim mund të duket si një ushtrim i kotë. Por në matematikë asgjë nuk bëhet për asgjë. Transformimi është i nevojshëm për të thjeshtuar shprehjen dhe lehtësinë e llogaritjes.
Një polinom i formës – ax²+bx+c, quhet trinom kuadratik. Termi "a" duhet të jetë negativ ose pozitiv. Në praktikë, kjo shprehje quhet ekuacion kuadratik. Prandaj, ndonjëherë ata e thonë ndryshe: si të dekompozohen ekuacioni kuadratik.
Interesante! Një polinom quhet katror për shkak të shkallës së tij më të madhe, katrorit. Dhe një trinom - për shkak të 3 komponentëve.
Disa lloje të tjera polinomesh:
- binomi linear (6x+8);
- kadrinomi kub (x³+4x²-2x+9).
Faktorizimi i një trinomi kuadratik
Së pari, shprehja është e barabartë me zero, atëherë duhet të gjeni vlerat e rrënjëve x1 dhe x2. Mund të mos ketë rrënjë, mund të ketë një ose dy rrënjë. Prania e rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi. Ju duhet ta dini përmendësh formulën e tij: D=b²-4ac.
Nëse rezultati D është negativ, nuk ka rrënjë. Nëse pozitive, ka dy rrënjë. Nëse rezultati është zero, rrënja është një. Rrënjët gjithashtu llogariten duke përdorur formulën.
Nëse, kur llogaritni diskriminuesin, rezultati është zero, mund të përdorni ndonjë nga formulat. Në praktikë, formula thjesht shkurtohet: -b / 2a.
Formulat për kuptime të ndryshme diskriminuesit ndryshojnë.
Nëse D është pozitiv:
Nëse D e barabartë me zero:
Llogaritësi në internet
Në internet ka kalkulator në internet. Mund të përdoret për të kryer faktorizimin. Disa burime ofrojnë mundësinë për të parë zgjidhjen hap pas hapi. Shërbime të tilla ndihmojnë për të kuptuar më mirë temën, por duhet të përpiqeni ta kuptoni mirë.
Video e dobishme: Faktorizimi i një trinomi kuadratik
Shembuj
Ju ftojmë ta shikoni shembuj të thjeshtë, si të faktorizohet një ekuacion kuadratik.
Shembulli 1
Kjo tregon qartë se rezultati është dy x sepse D është pozitiv. Ato duhet të zëvendësohen në formulë. Nëse rrënjët rezultojnë negative, shenja në formulë ndryshon në të kundërtën.
Ne e dimë formulën për faktorizimin e një trinomi kuadratik: a(x-x1)(x-x2). Vlerat i vendosim në kllapa: (x+3)(x+2/3). Nuk ka asnjë numër përpara një termi në një fuqi. Kjo do të thotë se ka një atje, ai zbret.
Shembulli 2
Ky shembull tregon qartë se si të zgjidhet një ekuacion që ka një rrënjë.
Ne zëvendësojmë vlerën që rezulton:
Shembulli 3
E dhënë: 5x²+3x+7
Së pari, le të llogarisim diskriminuesin, si në rastet e mëparshme.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminuesi është negativ, që do të thotë se nuk ka rrënjë.
Pas marrjes së rezultatit, duhet të hapni kllapat dhe të kontrolloni rezultatin. Duhet të shfaqet trinomi origjinal.
Zgjidhje alternative
Disa njerëz nuk mundën kurrë të miqësoheshin me diskriminuesin. Ekziston një mënyrë tjetër për të faktorizuar një trinom kuadratik. Për lehtësi, metoda tregohet me një shembull.
Jepet: x²+3x-10
Ne e dimë se duhet të marrim 2 kllapa: (_)(_). Kur shprehja duket kështu: x²+bx+c, në fillim të çdo kllapa vendosim x: (x_)(x_). Dy numrat e mbetur janë prodhimi që jep "c", pra në këtë rast -10. Mënyra e vetme për të zbuluar se cilët janë numrat është me përzgjedhje. Numrat e zëvendësuar duhet të korrespondojnë me termin e mbetur.
Për shembull, shumëzimi numrat e mëposhtëm jep -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Përshtatet.
Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes x2+3x-10 duket kështu: (x-2)(x+5).
E rëndësishme! Duhet të keni kujdes që të mos ngatërroni shenjat.
Zgjerimi i një trinomi kompleks
Nëse "a" është më e madhe se një, fillojnë vështirësitë. Por gjithçka nuk është aq e vështirë sa duket.
Për të faktorizuar, së pari duhet të shikoni nëse diçka mund të faktorizohet.
Për shembull, jepet shprehja: 3x²+9x-30. Këtu numri 3 është hequr nga kllapa:
3 (x²+3x-10). Rezultati është trinomi tashmë i njohur. Përgjigja duket si kjo: 3(x-2)(x+5)
Si të zbërthehet nëse termi që është në katror është negativ? Në këtë rast, numri -1 hiqet nga kllapat. Për shembull: -x²-10x-8. Shprehja do të duket kështu:
Skema ndryshon pak nga ajo e mëparshme. Ka vetëm disa gjëra të reja. Le të themi se është dhënë shprehja: 2x²+7x+3. Përgjigja shkruhet gjithashtu në 2 kllapa që duhet të plotësohen (_)(_). Në kllapin e dytë shkruhet x, dhe në të parën ajo që ka mbetur. Duket kështu: (2x_)(x_). Përndryshe, skema e mëparshme përsëritet.
Numri 3 jepet nga numrat:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Ne i zgjidhim ekuacionet duke i zëvendësuar këta numra. Opsioni i fundit është i përshtatshëm. Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes 2x²+7x+3 duket kështu: (2x+1)(x+3).
Raste të tjera
Nuk është gjithmonë e mundur të konvertohet një shprehje. Me metodën e dytë, zgjidhja e ekuacionit nuk kërkohet. Por mundësia e shndërrimit të termave në produkt kontrollohet vetëm përmes diskriminuesit.
Vlen të praktikoni zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në mënyrë që kur përdorni formulat të mos ketë vështirësi.
Video e dobishme: faktorizimi i një trinomi
konkluzioni
Mund ta përdorni në çdo mënyrë. Por është më mirë t'i praktikoni të dyja derisa të bëhen automatike. Gjithashtu, mësimi i zgjidhjes së mirë të ekuacioneve kuadratike dhe polinomeve të faktorëve është i nevojshëm për ata që planifikojnë të lidhin jetën e tyre me matematikën. Të gjitha temat e mëposhtme matematikore janë ndërtuar mbi këtë.
Le të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik. Duke përdorur formulat (59.8) për rrënjët e ekuacionit të mësipërm, marrim
(barazia e parë është e dukshme, e dyta merret pas një llogaritjeje të thjeshtë, të cilën lexuesi do ta kryejë në mënyrë të pavarur; është e përshtatshme të përdoret formula për shumëzimin e shumës së dy numrave me ndryshimin e tyre).
Më poshtë është vërtetuar
Teorema e Vietës. Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të dhënë është e barabartë me koeficientin e dytë c shenjë e kundërt, dhe produkti i tyre është i barabartë me termin e lirë.
Në rastin e një ekuacioni kuadratik të pareduktuar, duhet të zëvendësohen shprehjet e formulës (60.1) në formula (60.1) dhe të marrin formën
Shembulli 1. Hartoni një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij:
Zgjidhje, a) Gjejmë se ekuacioni ka formën
Shembulli 2. Gjeni shumën e katrorëve të rrënjëve të ekuacionit pa zgjidhur vetë ekuacionin.
Zgjidhje. Dihet shuma dhe prodhimi i rrënjëve. Le të paraqesim shumën e rrënjëve në katror në formë
dhe marrim
Nga formula e Vieta-s është e lehtë të merret formula
duke shprehur rregullën për faktorizimin e një trinomi kuadratik.
Në të vërtetë, le të shkruajmë formulat (60.2) në formë
Tani kemi
që është ajo që na duhej të merrnim.
Derivimi i mësipërm i formulave të Vietës është i njohur për lexuesin nga një kurs algjebër i shkollës së mesme. Një tjetër përfundim mund të jepet duke përdorur teoremën e Bezout dhe faktorizimin e polinomit (paragrafët 51, 52).
Le të jenë atëherë rrënjët e ekuacionit rregull i përgjithshëm(52.2) trinomi në anën e majtë të ekuacionit faktorizohet:
Duke hapur kllapat në anën e djathtë të kësaj barazie identike, marrim
dhe krahasimi i koeficientëve me të njëjtat fuqi do të na japë formulën Vieta (60.1).
Avantazhi i këtij derivimi është se ai mund të zbatohet në ekuacione të shkallëve më të larta për të marrë shprehje për koeficientët e ekuacionit në lidhje me rrënjët e tij (pa gjetur vetë rrënjët!). Për shembull, nëse rrënjët e ekuacionit të dhënë kubik
thelbi është se sipas barazisë (52.2) gjejmë
(në rastin tonë, hapja e kllapave në anën e djathtë të barazisë dhe mbledhja e koeficientëve për shkallë të ndryshme marrim
Faktorimi i trinomeve kuadratike i referohet detyrat e shkollës me të cilën të gjithë përballen herët a vonë. Si ta bëjmë atë? Cila është formula për faktorizimin e një trinomi kuadratik? Le ta kuptojmë hap pas hapi duke përdorur shembuj.
Formula e përgjithshme
Trinomialet kuadratike faktorizohen duke zgjidhur një ekuacion kuadratik. Ky është një problem i thjeshtë që mund të zgjidhet me disa metoda - duke gjetur diskriminuesin, duke përdorur teoremën e Vieta-s, ekziston dhe metodë grafike Zgjidhjet. Dy metodat e para studiohen në shkollë të mesme.
Formula e përgjithshme duket si kjo:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritmi për përfundimin e detyrës
Për të faktorizuar trinomet kuadratike, duhet të dini teoremën e Vitës, të keni në dorë një program zgjidhjeje, të jeni në gjendje të gjeni një zgjidhje grafikisht ose të kërkoni rrënjët e një ekuacioni të shkallës së dytë duke përdorur formulën diskriminuese. Nëse jepet një trinom kuadratik dhe duhet të faktorizohet, algoritmi është si më poshtë:
1) Barazoni shprehjen origjinale me zero për të marrë një ekuacion.
2) Jepni terma të ngjashëm (nëse është e nevojshme).
3) Gjeni rrënjët duke përdorur çdo metodë të njohur. Metoda grafikeËshtë më mirë ta përdorni nëse dihet paraprakisht se rrënjët janë numra të plotë dhe të vegjël. Duhet mbajtur mend se numri i rrënjëve është i barabartë me shkallën maksimale të ekuacionit, domethënë, ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
4) Zëvendësoni vlerën X në shprehje (1).
5) Shkruani faktorizimin e trinomeve kuadratike.
Shembuj
Praktika ju lejon të kuptoni më në fund se si kryhet kjo detyrë. Shembujt ilustrojnë faktorizimin e një trinomi katror:
është e nevojshme të zgjerohet shprehja:
Le t'i drejtohemi algoritmit tonë:
1) x 2 -17x+32=0
2) termat e ngjashëm reduktohen
3) duke përdorur formulën e Vieta, është e vështirë të gjesh rrënjë për këtë shembull, kështu që është më mirë të përdoret shprehja për diskriminuesin:
D=289-128=161=(12.69) 2
4) Le të zëvendësojmë rrënjët që gjetëm në formulën bazë për zbërthimin:
(x-2,155) * (x-14,845)
5) Atëherë përgjigja do të jetë si kjo:
x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)
Le të kontrollojmë nëse zgjidhjet e gjetura nga diskriminuesi korrespondojnë me formulat Vieta:
14,845 . 2,155=32
Për këto rrënjë zbatohet teorema e Vietës, ato janë gjetur saktë, që do të thotë se faktorizimi që kemi marrë është gjithashtu i saktë.
Në mënyrë të ngjashme, ne zgjerojmë 12x 2 + 7x-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x 2 =-7-(337)1/2
Në rastin e mëparshëm zgjidhjet nuk ishin numër i plotë, por numra realë, të cilat gjenden lehtësisht nëse keni para vetes një makinë llogaritëse. Tani le të shohim më shumë shembull kompleks, në të cilin rrënjët do të jenë komplekse: faktori x 2 + 4x + 9. Duke përdorur formulën e Vietës, rrënjët nuk mund të gjenden dhe diskriminuesi është negativ. Rrënjët do të jenë në planin kompleks.
D=-20
Në bazë të kësaj marrim rrënjët që na interesojnë -4+2i*5 1/2 dhe -4-2i * 5 1/2 që nga (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Ne marrim zbërthimin e dëshiruar duke zëvendësuar rrënjët në formulën e përgjithshme.
Një shembull tjetër: duhet të faktorizoni shprehjen 23x 2 -14x+7.
Ne kemi ekuacionin 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Kjo do të thotë se rrënjët janë 14+21.166i dhe 14-21.166i. Përgjigja do të jetë:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).
Le të japim një shembull që mund të zgjidhet pa ndihmën e një diskriminuesi.
Le të themi se duhet të zgjerojmë ekuacionin kuadratik x 2 -32x+255. Natyrisht, mund të zgjidhet edhe duke përdorur një diskriminues, por në këtë rast është më e shpejtë për të gjetur rrënjët.
x 1 = 15
x 2 =17
Do të thotë x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).
Shembulli 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Zgjidhje
Ne nxjerrim x 2
jashtë kllapave:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rrënjët e ekuacionit:
, .
.
Përgjigju
Shembulli 1.2
Faktoroni polinomin e shkallës së tretë:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Zgjidhje
Le të nxjerrim x nga kllapa:
.
Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminues i saj: .
Meqenëse diskriminuesi është zero, rrënjët e ekuacionit janë shumëfish: ;
.
Nga kjo marrim faktorizimin e polinomit:
.
Përgjigju
Shembulli 1.3
Faktoroni polinomin e shkallës së pestë:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Zgjidhje
Ne nxjerrim x 3
jashtë kllapave:
.
Zgjidhja e ekuacionit kuadratik x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminues i saj: .
Meqenëse diskriminuesi është më i vogël se zero, rrënjët e ekuacionit janë komplekse: ;
, .
Faktorizimi i polinomit ka formën:
.
Nëse jemi të interesuar për faktorizimin me koeficientë realë, atëherë:
.
Përgjigju
Shembuj të faktorizimit të polinomeve duke përdorur formula
Shembuj me polinome bikuadratike
Shembulli 2.1
Faktoroni polinomin bikuadratik:
x 4 + x 2 - 20.
Zgjidhje
Le të zbatojmë formulat:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).
;
.
Përgjigju
Shembulli 2.2
Faktoroni polinomin që zvogëlohet në një dykuadratik:
x 8 + x 4 + 1.
Zgjidhje
Le të zbatojmë formulat:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):
;
;
.
Përgjigju
Shembulli 2.3 me polinom të përsëritur
Faktoroni polinomin reciprok:
.
Zgjidhje
Një polinom reciprok ka shkallë tek. Prandaj ka rrënjë x = - 1
. Pjestojeni polinomin me x - (-1) = x + 1. Si rezultat marrim:
.
Le të bëjmë një zëvendësim:
, ;
;
;
.
Përgjigju
Shembuj të faktorizimit të polinomeve me rrënjë të plota
Shembulli 3.1
Faktoroni polinomin:
.
Zgjidhje
Le të supozojmë se ekuacioni
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Pra, gjetëm tre rrënjë:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Meqenëse polinomi origjinal është i shkallës së tretë, ai nuk ka më shumë se tre rrënjë. Meqenëse gjetëm tre rrënjë, ato janë të thjeshta. Pastaj
.
Përgjigju
Shembulli 3.2
Faktoroni polinomin:
.
Zgjidhje
Le të supozojmë se ekuacioni
ka të paktën një rrënjë të plotë. Atëherë është pjesëtues i numrit 2
(anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
-2, -1, 1, 2
.
Ne i zëvendësojmë këto vlera një nga një:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Nëse supozojmë se ky ekuacion ka një rrënjë numër të plotë, atëherë ai është pjesëtues i numrit 2
(anëtar pa x). Kjo do të thotë, e gjithë rrënja mund të jetë një nga numrat:
1, 2, -1, -2
.
Le të zëvendësojmë x = -1
:
.
Pra, ne kemi gjetur një rrënjë tjetër x 2
= -1
. Do të ishte e mundur, si në rastin e mëparshëm, të ndajmë polinomin me , por ne do të grupojmë termat:
.
Që nga ekuacioni x 2 + 2 = 0 nuk ka rrënjë reale, atëherë faktorizimi i polinomit ka formën.