Trinomi katror quhet polinom i formës sëpatë 2 +bx +c, Ku x- e ndryshueshme, a,b,c- disa numra dhe a ≠ 0.

Koeficient A thirrur koeficienti i lartë, c – anëtar i lirë trinomi kuadratik.

Shembuj të trinomeve kuadratike:

2 x 2 + 5x+4(Këtu a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Këtu a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(Këtu a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficient b ose koeficienti c ose të dy koeficientët mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Për shembull:

5 x 2 + 3x(Këtua = 5,b = 3,c = 0, pra nuk ka vlerë për c në ekuacion).

6 x 2 - 8 (Këtua = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Këtua = 2, b = 0, c = 0)

Quhet vlera e ndryshores në të cilën zhduket polinomi rrënja e polinomit.

Për të gjetur rrënjët e një trinomi kuadratiksëpatë 2 + bx + c, duhet ta barazojmë me zero -
pra zgjidh ekuacionin kuadratiksëpatë 2 + bx + c = 0 (shih seksionin "Ekuacioni kuadratik").

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Shembull:

Le të faktorizojmë trinomin 2 x 2 + 7x - 4.

Shohim: koeficient A = 2.

Tani le të gjejmë rrënjët e trinomit. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero dhe zgjidhim ekuacionin

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Si të zgjidhni një ekuacion të tillë - shihni në seksionin "Formulat e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Diskriminuese”. Këtu do të deklarojmë menjëherë rezultatin e llogaritjeve. Trinomi ynë ka dy rrënjë:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Le të zëvendësojmë vlerat e rrënjëve në formulën tonë, duke hequr vlerën e koeficientit nga kllapat A, dhe marrim:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Rezultati i marrë mund të shkruhet ndryshe duke shumëzuar koeficientin 2 me binomin x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Problemi është zgjidhur: trinomi faktorizohet.

Një zgjerim i tillë mund të merret për çdo trinom kuadratik që ka rrënjë.

KUJDES!

Nëse diskriminuesi i një trinomi kuadratik e barabartë me zero, atëherë ky trinom ka një rrënjë, por kur zgjerohet trinomi, kjo rrënjë merret si vlerë e dy rrënjëve - domethënë si vlerë e njëjtë. x 1 dhex 2 .

Për shembull, një trinom ka një rrënjë të barabartë me 3. Pastaj x 1 = 3, x 2 = 3.

Llogaritësi online.
Izolimi i katrorit të një binomi dhe faktorizimi i një trinomi katror.

Ky program matematikor dallon binomin katror nga trinomi katror, d.m.th. bën një transformim si:
\(ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+p)^2+q \) dhe faktorizon një trinom kuadratik: \(ax^2+bx+c \shigjeta djathtas a(x+n)(x+m) \)

ato. problemet përfundojnë në gjetjen e numrave \(p, q\) dhe \(n, m\)

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por shfaq edhe procesin e zgjidhjes.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme Shkolla të mesme në përgatitje për testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një trinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futet jo vetëm si një dhjetore, por edhe si një fraksion i zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të hyni dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, kur zgjidhet, fillimisht thjeshtohet shprehja e paraqitur.
Për shembull: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Shembull i një zgjidhjeje të detajuar

Izolimi i katrorit të një binomi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjetë a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\majtas( \frac(1)(2) \djathtas)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\majtas (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \djathtas)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \djathtas)^2 \djathtas)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2\majtas(x+\frac(1)(2) \djathtas)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizimi.$$ ax^2+bx+c \djathtas shigjeta a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\majtas(x^2+x-2 \djathtas) = ​​$$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \djathtas) = ​​$$ $$ 2 \left(x \majtas(x +2 \djathtas) -1 \majtas(x +2 \djathtas ) \djathtas) = ​​$$ $$ 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$ Përgjigje:$$2x^2+2x-4 = 2 \majtas(x -1 \djathtas) \majtas(x +2 \djathtas) $$

Vendosni

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Izolimi i katrorit të një binomi nga një trinom katror

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet si a(x+p) 2 +q, ku p dhe q janë numra realë, atëherë ata thonë se nga trinomi katror, ​​vihet në pah katrori i binomit.

Nga trinomi 2x 2 +12x+14 nxjerrim katrorin e binomit.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Për ta bërë këtë, imagjinoni 6x si një prodhim të 2*3*x, dhe më pas shtoni dhe zbritni 3 2. Ne marrim:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Se. ne nxjerr binomin katror nga trinomi katror, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Nëse trinomi katror ax 2 +bx+c paraqitet në formën a(x+n)(x+m), ku n dhe m janë numra real, atëherë thuhet se operacioni është kryer. faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Le të tregojmë me një shembull se si bëhet ky transformim.

Le të faktorizojmë trinomin kuadratik 2x 2 +4x-6.

Le të nxjerrim koeficientin a jashtë kllapave, d.m.th. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Le të transformojmë shprehjen në kllapa.
Për ta bërë këtë, imagjinoni 2x si ndryshim 3x-1x, dhe -3 si -1*3. Ne marrim:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Se. ne faktorizoi trinomin kuadratik, dhe tregoi se:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Vini re se faktorizimi i një trinomi kuadratik është i mundur vetëm nëse ekuacioni kuadratik që i korrespondon këtij trinomi ka rrënjë.
ato. në rastin tonë, është e mundur të faktorizohet trinomi 2x 2 +4x-6 nëse ekuacioni kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 ka rrënjë. Në procesin e faktorizimit, konstatuam se ekuacioni 2x 2 + 4x-6 = 0 ka dy rrënjë 1 dhe -3, sepse me këto vlera, ekuacioni 2(x-1)(x+3)=0 kthehet në një barazi të vërtetë.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe testeve të Provimit të Unifikuar të Shtetit në internet Lojëra, enigma Komplot grafikët e funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i institucioneve arsimore të mesme të Rusisë Katalogu i universiteteve ruse Lista të detyrave

Zhvillimi mësim i hapur

algjebër në klasën e 8-të

me temë: “Trinomi katror. Faktorizimi i një trinomi kuadratik."

Mësues matematike, Shkolla e Mesme Nr.16 e USK-së, Karagandë

Bekenova G.M.

Karaganda 2015

"Matematika nuk mund të mësohet me vëzhgim."

Larry Niven - profesor i matematikës

Tema e mësimit:

Trinomi katror.

Faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Objektivat e mësimit:

1. Të arrihet praktikimi i suksesshëm dhe zbatimi i njohurive nga të gjithë nxënësit e klasës gjatë faktorizimit të një trinomi kuadratik.

2. Promovoni: a) zhvillimin e vetëkontrollit dhe të vetë-mësimit,

b) aftësia për të përdorur tabela e bardhë interaktive,

c) zhvillimi i shkrim-leximit dhe i saktësisë matematikore.

3. Zhvilloni aftësinë për të shprehur me kompetencë dhe përmbledhje mendimet e dikujt, të jeni tolerant ndaj këndvështrimit të shokëve të klasës dhe të merrni kënaqësi nga rezultatet e arritura.

Lloji i mësimit: një orë e kombinuar me një qasje të diferencuar dhe individuale, me elementë të të nxënit zhvillimor dhe të avancuar.

Vendndodhja e mësimit: mësimi i tretë për këtë temë (kryesore), në dy të parat, studentët mësuan përkufizimin e një trinomi kuadratik, mësuan të gjenin rrënjët e tij, u njohën me algoritmin e faktorizimit të një trinomi kuadratik dhe kjo do të ndihmojë në të ardhmen. zgjidhjen e ekuacioneve, reduktimi i thyesave, transformimi i shprehjeve algjebrike.

Struktura e mësimit:

1 Përditësimi i njohurive me një qasje të diferencuar ndaj studentëve.

2 Kontrolli është vetë-testim i njohurive të fituara më parë.

3 Prezantimi i materialit të ri është pjesërisht një metodë kërkimi.

4 Konsolidimi parësor i asaj që është mësuar, një qasje e diferencuar individualisht.

5 Të kuptuarit, përgjithësimi i njohurive.

6 Vendosja e detyrave të shtëpisë duke përdorur mësimin e bazuar në problem.

Pajisjet: tabela e bardhë interaktive, tabela e zakonshme, kartat e detyrave, teksti shkollor Algjebra 8, letër kopjimi dhe fletë të zbrazëta, simbolet e fizionomisë.

Gjatë orëve të mësimit

Koha e organizimit(1 minutë).

1. Përshëndetja e studentëve; duke kontrolluar gatishmërinë e tyre për mësimin.

2. Komunikoni qëllimin e orës së mësimit.

Faza I.

“Përsëritja është nëna e të mësuarit.”

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë. Nr.476 (b,d), nr.474, nr.475

2. Punë individuale në karta (4 persona) (gjatë kontrollit të detyrave të shtëpisë) (5 minuta)

Faza II.

"Beso, por kontrollo"

Provoni punën me vetëkontroll.

Puna testuese (nëpërmjet letrës së karbonit) me vetëprovim.

opsioni 1 m II opsion

1) 2)

2. Faktoroni trinomin kuadratik:

Përgjigjet

te punë testuese

"Beso, por kontrollo."

1. Gjeni rrënjët e trinomit kuadratik:

І opsioni ІІ variacion nT

2. Faktoroni trinomin kuadratik:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X (X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Vlen të përmenden disa përgjigje të habitshme.

Pyetje për studentët:

Ku mendoni se mund të zbatojmë faktorizimin e një trinomi kuadratik?

E saktë: gjatë zgjidhjes së ekuacioneve,

kur zvogëlohen thyesat,

në transformimin e shprehjeve algjebrike.

Faza III

” Aftësia dhe puna do të shkatërrojnë gjithçka”(10 minuta)

1. Merrni parasysh përdorimin e faktorizimit të një trinomi kuadratik kur zvogëloni thyesat. Nxënësit punojnë në dërrasën e zezë.

Zvogëloni fraksionin:

2. Tani le të shqyrtojmë përdorimin e faktorizimit të një trinomi kuadratik në shndërrimet e shprehjeve algjebrike.

Libër mësuesi. Algjebra 8. fq 126 nr 570 (b)

Tani tregoni se si përdorni faktorizimin e një trinomi kuadratik.

Faza IV

"Goditni ndërsa hekuri është i nxehtë!"

Punë e pavarur (13 minuta)

Opsioni I opsioni 1

Zvogëloni fraksionin:

5. Kuptova se…….

6. Tani mundem…….

7. Ndjeva se…..

8. Bleva….

9. Mësova…….

10. E bëra………

11. Unë kam qenë në gjendje të….

12. Do të përpiqem......

13. U habita…..

14. Ai më dha një mësim për jetën….

15. Doja….

Informacion rreth detyre shtepie: Sillni në mësimin tjetër detyrat e shtëpisë që keni marrë një javë më parë.

Punë e pavarur në shtëpi.

Opsioni I opsioni 1

№ 560 (a,c) Nr. 560 (b,d)

№ 564 (a,c) Nr. 564(b,d)

№ 566 (a) Nr. 566 (b)

№ 569 (a) Nr. 569 (b)

№ 571 (a,c) Nr. 571 (b,d)

Mësimi ka mbaruar.

Në këtë mësim do të mësojmë se si të faktorizojmë trinomet kuadratike në faktorë linearë. Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë teoremën e Vietës dhe të kundërtën e saj. Kjo aftësi do të na ndihmojë të zgjerojmë shpejt dhe me lehtësi trinomet kuadratike në faktorë linearë, dhe gjithashtu do të thjeshtojë reduktimin e thyesave që përbëhen nga shprehje.

Pra, le të kthehemi te ekuacioni kuadratik, ku .

Ajo që kemi në anën e majtë quhet trinom kuadratik.

Teorema është e vërtetë: Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik, atëherë identiteti qëndron

Ku është koeficienti kryesor, janë rrënjët e ekuacionit.

Pra, kemi një ekuacion kuadratik - një trinom kuadratik, ku rrënjët e ekuacionit kuadratik quhen edhe rrënjët e trinomit kuadratik. Prandaj, nëse kemi rrënjët e një trinomi katror, ​​atëherë ky trinom mund të zbërthehet në faktorë linearë.

Dëshmi:

Dëshmi ky fakt kryhet duke përdorur teoremën e Vietës, të cilën e diskutuam në mësimet e mëparshme.

Le të kujtojmë se çfarë na thotë teorema e Vietës:

Nëse janë rrënjët e një trinomi kuadratik për të cilin , atëherë .

Nga kjo teoremë rrjedh deklaratën e mëposhtme, Çfarë .

Shohim që, sipas teoremës së Vietës, d.m.th., duke i zëvendësuar këto vlera në formulën e mësipërme, marrim shprehjen e mëposhtme

Q.E.D.

Kujtojmë që vërtetuam teoremën se nëse janë rrënjët e një trinomi katror, ​​atëherë zgjerimi është i vlefshëm.

Tani le të kujtojmë një shembull të një ekuacioni kuadratik, të cilit i kemi zgjedhur rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s. Nga ky fakt mund të marrim barazinë e mëposhtme falë teoremës së provuar:

Tani le të kontrollojmë korrektësinë e këtij fakti thjesht duke hapur kllapat:

Shohim që faktorizuam saktë dhe çdo trinom, nëse ka rrënjë, mund të faktorizohet sipas kësaj teoreme në faktorë linearë sipas formulës.

Sidoqoftë, le të kontrollojmë nëse një faktorizim i tillë është i mundur për ndonjë ekuacion:

Merrni, për shembull, ekuacionin . Së pari, le të kontrollojmë shenjën diskriminuese

Dhe kujtojmë se për të përmbushur teoremën që mësuam, D duhet të jetë më i madh se 0, kështu që në këtë rast faktorizimi sipas teoremës që mësuam është i pamundur.

Prandaj, ne formulojmë një teoremë të re: nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë ai nuk mund të zbërthehet në faktorë linearë.

Pra, ne kemi parë teoremën e Vietës, mundësinë e zbërthimit të një trinomi kuadratik në faktorë linearë, dhe tani do të zgjidhim disa probleme.

Detyra nr. 1

Në këtë grup ne do ta zgjidhim problemin në të kundërt me atë të shtruar. Ne kishim një ekuacion dhe gjetëm rrënjët e tij duke e faktorizuar atë. Këtu do të bëjmë të kundërtën. Le të themi se kemi rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Problemi i anasjelltë është ky: shkruani një ekuacion kuadratik duke përdorur rrënjët e tij.

Ka 2 mënyra për të zgjidhur këtë problem.

Meqenëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë është një ekuacion kuadratik, rrënjëve të të cilit janë dhënë numra. Tani le të hapim kllapat dhe të kontrollojmë:

Kjo ishte mënyra e parë me të cilën krijuam një ekuacion kuadratik me rrënjë të dhëna, i cili nuk ka rrënjë të tjera, pasi çdo ekuacion kuadratik ka më së shumti dy rrënjë.

Kjo metodë përfshin përdorimin teorema e bashkëbisedimit Vieta.

Nëse janë rrënjët e ekuacionit, atëherë ato plotësojnë kushtin që .

Për ekuacionin kuadratik të reduktuar , , dmth në këtë rast, dhe .

Kështu, ne kemi krijuar një ekuacion kuadratik që ka rrënjët e dhëna.

Detyra nr. 2

Është e nevojshme të zvogëlohet fraksioni.

Ne kemi një trinom në numërues dhe një trinom në emërues, dhe trinomët mund ose nuk mund të faktorizohen. Nëse faktorizohen edhe numëruesi edhe emëruesi, atëherë midis tyre mund të ketë faktorë të barabartë që mund të reduktohen.

Para së gjithash, duhet të faktorizoni numëruesin.

Së pari, duhet të kontrolloni nëse ky ekuacion mund të faktorizohet, le të gjejmë diskriminuesin. Meqenëse , shenja varet nga produkti (duhet të jetë më pak se 0), në në këtë shembull, d.m.th. ekuacioni i dhënë ka rrënjë.

Për të zgjidhur, ne përdorim teoremën e Vieta:

Në këtë rast, duke qenë se kemi të bëjmë me rrënjë, do të jetë mjaft e vështirë të zgjedhim thjesht rrënjët. Por ne shohim që koeficientët janë të balancuar, domethënë, nëse supozojmë se , dhe e zëvendësojmë këtë vlerë në ekuacion, marrim sistemin e mëposhtëm: , d.m.th. 5-5=0. Kështu, ne kemi zgjedhur një nga rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Ne do të kërkojmë rrënjën e dytë duke zëvendësuar atë që tashmë dihet në sistemin e ekuacioneve, për shembull, , d.m.th. .

Kështu, ne kemi gjetur të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik dhe mund t'i zëvendësojmë vlerat e tyre në ekuacionin origjinal për ta faktorizuar atë:

Le të kujtojmë problemin origjinal, na duhej të reduktonim thyesën .

Le të përpiqemi ta zgjidhim problemin duke zëvendësuar .

Është e nevojshme të mos harrohet se në këtë rast emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me 0, d.m.th., .

Nëse plotësohen këto kushte, atëherë ne kemi reduktuar thyesën origjinale në formën .

Problemi nr. 3 (detyrë me një parametër)

Në cilat vlera të parametrit është shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik

Nëse rrënjët e këtij ekuacioni ekzistojnë, atëherë , pyetja: kur.

Zgjerimi i polinomeve për të marrë një produkt ndonjëherë mund të duket konfuz. Por nuk është aq e vështirë nëse e kuptoni procesin hap pas hapi. Artikulli përshkruan në detaje se si të faktorizoni një trinom kuadratik.

Shumë njerëz nuk e kuptojnë se si të faktorizojnë një trinom katror dhe pse bëhet kjo. Në fillim mund të duket si një ushtrim i kotë. Por në matematikë asgjë nuk bëhet për asgjë. Transformimi është i nevojshëm për të thjeshtuar shprehjen dhe lehtësinë e llogaritjes.

Një polinom i formës – ax²+bx+c, quhet trinom kuadratik. Termi "a" duhet të jetë negativ ose pozitiv. Në praktikë, kjo shprehje quhet ekuacion kuadratik. Prandaj, ndonjëherë ata e thonë ndryshe: si të zgjerohet një ekuacion kuadratik.

Interesante! Një polinom quhet katror për shkak të shkallës së tij më të madhe, katrorit. Dhe një trinom - për shkak të 3 komponentëve.

Disa lloje të tjera polinomesh:

• binomi linear (6x+8);
• kadrinomi kub (x³+4x²-2x+9).

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Së pari, shprehja është e barabartë me zero, atëherë duhet të gjeni vlerat e rrënjëve x1 dhe x2. Mund të mos ketë rrënjë, mund të ketë një ose dy rrënjë. Prania e rrënjëve përcaktohet nga diskriminuesi. Ju duhet ta dini përmendësh formulën e tij: D=b²-4ac.

Nëse rezultati D është negativ, nuk ka rrënjë. Nëse pozitive, ka dy rrënjë. Nëse rezultati është zero, rrënja është një. Rrënjët gjithashtu llogariten duke përdorur formulën.

Nëse, kur llogaritni diskriminuesin, rezultati është zero, mund të përdorni ndonjë nga formulat. Në praktikë, formula thjesht shkurtohet: -b / 2a.

Formulat për kuptime të ndryshme diskriminuesit ndryshojnë.

Nëse D është pozitiv:

Nëse D është zero:

Llogaritësi në internet

Në internet ka kalkulator në internet. Mund të përdoret për të kryer faktorizimin. Disa burime ofrojnë mundësinë për të parë zgjidhjen hap pas hapi. Shërbime të tilla ndihmojnë për të kuptuar më mirë temën, por duhet të përpiqeni ta kuptoni mirë.

Video e dobishme: Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Shembuj

Ju ftojmë ta shikoni shembuj të thjeshtë, si të faktorizohet një ekuacion kuadratik.

Shembulli 1

Kjo tregon qartë se rezultati është dy x sepse D është pozitiv. Ato duhet të zëvendësohen në formulë. Nëse rrënjët rezultojnë negative, shenja në formulë ndryshon në të kundërtën.

Ne e dimë formulën për faktorizimin e një trinomi kuadratik: a(x-x1)(x-x2). Vlerat i vendosim në kllapa: (x+3)(x+2/3). Nuk ka asnjë numër përpara një termi në një fuqi. Kjo do të thotë se ka një atje, ai zbret.

Shembulli 2

Ky shembull tregon qartë se si të zgjidhet një ekuacion që ka një rrënjë.

Ne zëvendësojmë vlerën që rezulton:

Shembulli 3

E dhënë: 5x²+3x+7

Së pari, le të llogarisim diskriminuesin, si në rastet e mëparshme.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminuesi është negativ, që do të thotë se nuk ka rrënjë.

Pas marrjes së rezultatit, duhet të hapni kllapat dhe të kontrolloni rezultatin. Duhet të shfaqet trinomi origjinal.

Zgjidhje alternative

Disa njerëz nuk mundën kurrë të miqësoheshin me diskriminuesin. Ekziston një mënyrë tjetër për të faktorizuar një trinom kuadratik. Për lehtësi, metoda tregohet me një shembull.

Jepet: x²+3x-10

Ne e dimë se duhet të marrim 2 kllapa: (_)(_). Kur shprehja duket kështu: x²+bx+c, në fillim të çdo kllapa vendosim x: (x_)(x_). Dy numrat e mbetur janë prodhimi që jep "c", pra në këtë rast -10. Mënyra e vetme për të zbuluar se cilët janë numrat është me përzgjedhje. Numrat e zëvendësuar duhet të korrespondojnë me termin e mbetur.

Për shembull, shumëzimi numrat e mëposhtëm jep -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nr.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nr.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nr.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Përshtatet.

Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes x2+3x-10 duket kështu: (x-2)(x+5).

E rëndësishme! Duhet të keni kujdes që të mos ngatërroni shenjat.

Zgjerimi i një trinomi kompleks

Nëse "a" është më e madhe se një, fillojnë vështirësitë. Por gjithçka nuk është aq e vështirë sa duket.

Për të faktorizuar, së pari duhet të shikoni nëse diçka mund të faktorizohet.

Për shembull, jepet shprehja: 3x²+9x-30. Këtu numri 3 është hequr nga kllapa:

3 (x²+3x-10). Rezultati është trinomi tashmë i njohur. Përgjigja duket si kjo: 3(x-2)(x+5)

Si të zbërthehet nëse termi që është në katror është negativ? Në këtë rast, numri -1 hiqet nga kllapat. Për shembull: -x²-10x-8. Shprehja do të duket kështu:

Skema ndryshon pak nga ajo e mëparshme. Ka vetëm disa gjëra të reja. Le të themi se është dhënë shprehja: 2x²+7x+3. Përgjigja shkruhet gjithashtu në 2 kllapa që duhet të plotësohen (_)(_). Në kllapin e dytë shkruhet x, dhe në të parën ajo që ka mbetur. Duket kështu: (2x_)(x_). Përndryshe, skema e mëparshme përsëritet.

Numri 3 jepet nga numrat:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Ne i zgjidhim ekuacionet duke i zëvendësuar këta numra. Opsioni i fundit është i përshtatshëm. Kjo do të thotë se transformimi i shprehjes 2x²+7x+3 duket kështu: (2x+1)(x+3).

Raste të tjera

Nuk është gjithmonë e mundur të konvertohet një shprehje. Me metodën e dytë, zgjidhja e ekuacionit nuk kërkohet. Por mundësia e shndërrimit të termave në produkt kontrollohet vetëm përmes diskriminuesit.

Ia vlen të praktikoni për të vendosur ekuacionet kuadratike në mënyrë që të mos ketë vështirësi gjatë përdorimit të formulave.

Video e dobishme: faktorizimi i një trinomi

konkluzioni

Mund ta përdorni në çdo mënyrë. Por është më mirë t'i praktikoni të dyja derisa të bëhen automatike. Gjithashtu, mësimi i zgjidhjes së mirë të ekuacioneve kuadratike dhe polinomeve të faktorëve është i nevojshëm për ata që planifikojnë të lidhin jetën e tyre me matematikën. Të gjitha temat e mëposhtme matematikore janë ndërtuar mbi këtë.