Tema: “Metodë grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve”. Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve duke përdorur grafikët e funksioneve. Udhëzues vizual (2019)

Niveli i parë

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve duke përdorur grafikët e funksioneve. Udhëzues vizual (2019)

Shumë detyra që jemi mësuar t'i llogaritim thjesht algjebrikisht mund të zgjidhen shumë më lehtë dhe më shpejt; përdorimi i grafikëve të funksioneve do të na ndihmojë për këtë. Ju thoni "si kështu?" për të nxjerrë diçka, dhe çfarë për të nxjerrë? Më besoni, ndonjëherë është më e përshtatshme dhe më e lehtë. Le të fillojmë? Le të fillojmë me ekuacionet!

Zgjidhja grafike e ekuacioneve

Zgjidhja grafike e ekuacioneve lineare

Siç e dini tashmë, grafiku i një ekuacioni linear është një vijë e drejtë, prandaj emri i këtij lloji. Ekuacionet lineare janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur në mënyrë algjebrike - ne transferojmë të gjitha të panjohurat në njërën anë të ekuacionit, gjithçka që dimë - në tjetrën dhe voila! E gjetëm rrënjën. Tani do t'ju tregoj se si ta bëni atë grafikisht.

Pra, ju keni një ekuacion:

Si ta zgjidhim atë?
opsioni 1, dhe më e zakonshme është transferimi i të panjohurave në një drejtim, dhe i njohur në tjetrin, marrim:

Tani po ndërtojmë. Cfare bere?

Cila mendoni se është rrënja e ekuacionit tonë? Kjo është e drejtë, koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve:

Përgjigja jonë është

Kjo është e gjithë mençuria e zgjidhjes grafike. Siç mund ta kontrolloni lehtësisht, rrënja e ekuacionit tonë është një numër!

Siç thashë më lart, ky është opsioni më i zakonshëm, afër zgjidhje algjebrike, por ju mund ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër. Për të shqyrtuar një zgjidhje alternative, le të kthehemi te ekuacioni ynë:

Këtë herë nuk do të transferojmë asgjë nga njëra anë në tjetrën, por do të ndërtojmë direkt grafikët, siç janë tani:

E keni ndërtuar? Ne shikojmë!

Cila është zgjidhja këtë herë? Gjithçka është e saktë. E njëjta është koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve:

Dhe, përsëri, përgjigja jonë është.

Siç mund ta shihni, ekuacionet lineare janë shumë të thjeshta. Është koha për të konsideruar diçka më të vështirë ... Për shembull, zgjidhje grafike e ekuacioneve kuadratike.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve kuadratike

Pra, tani le të zbresim në zgjidhjen e ekuacionit kuadratik. Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjët e këtij ekuacioni:

Natyrisht, tani mund të filloni të numëroni përmes diskriminuesit, ose sipas teoremës së Vieta-s, por shumë njerëz shqetësohen kur shumëzojnë ose katrorojnë, veçanërisht nëse shembulli me numra të mëdhenj, dhe, siç e dini, nuk do të keni kalkulator në provim... Prandaj, le të përpiqemi të pushojmë pak dhe të vizatojmë gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni.

Ju mund të gjeni grafikisht zgjidhje për këtë ekuacion menyra te ndryshme... Merrni parasysh opsione të ndryshme, dhe tashmë ju vetë do të zgjidhni se cilën ju pëlqen më shumë.

Metoda 1. Direkt

Ne thjesht ndërtojmë një parabolë sipas këtij ekuacioni:

Për ta bërë këtë shpejt, unë do t'ju jap një këshillë të vogël: është e përshtatshme të fillohet ndërtimi duke përcaktuar kulmin e parabolës. Formulat e mëposhtme do të ndihmojnë për të përcaktuar koordinatat e kulmit të parabolës:

Do të thuash “Stop! Formula për është shumë e ngjashme me formulën për gjetjen e diskriminuesit "po, është, dhe ky është një disavantazh i madh i" ndërtimit të drejtpërdrejtë "të parabolës për të gjetur rrënjët e saj. Megjithatë, le të numërojmë deri në fund, dhe pastaj do t'ju tregoj se si ta bëni atë shumë (shumë!) më të lehtë!

E keni numëruar? Cilat janë koordinatat e kulmit të parabolës? Le ta kuptojmë së bashku:

Saktësisht e njëjta përgjigje? Te lumte! Dhe tani ne tashmë i dimë koordinatat e kulmit, dhe për të ndërtuar një parabolë, na duhen më shumë ... pika. Sa pikë mendoni se na duhen? E drejte,.

Ju e dini që një parabolë është simetrike në lidhje me kulmin e saj, për shembull:

Prandaj, ne kemi nevojë për dy pika të tjera në degën e majtë ose të djathtë të parabolës, dhe në të ardhmen do t'i pasqyrojmë në mënyrë simetrike këto pika në anën e kundërt:

Ne kthehemi te parabola jonë. Për rastin tonë, pika. Na duhen edhe dy pikë, respektivisht, a mund të marrim pozitive, apo mund të marrim ato negative? Cilat pika janë më të përshtatshme për ju? Është më e përshtatshme për mua të punoj me pozitive, kështu që do të llogaris në dhe.

Tani kemi tre pika dhe mund të ndërtojmë me siguri parabolën tonë, duke reflektuar dy pikat e fundit në lidhje me kulmin e saj:

Cila mendoni se është zgjidhja e ekuacionit? Kjo është e drejtë, pikat në të cilat, domethënë, dhe. Sepse.

Dhe nëse themi këtë, atëherë do të thotë se duhet të jetë gjithashtu e barabartë, ose.

Vetëm? Ne kemi përfunduar zgjidhjen e ekuacionit në një mënyrë grafike komplekse, ose përndryshe do të jetë!

Sigurisht, ju mund ta kontrolloni përgjigjen tonë në mënyrë algjebrike - numëroni rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s ose Diskriminuesin. Cfare bere? E njëjta? Ja ku e shihni! Tani le të shohim një zgjidhje grafike shumë të thjeshtë, jam i sigurt se do t'ju pëlqejë shumë!

Metoda 2. E ndarë në disa funksione

Le të marrim gjithashtu të gjithë ekuacionin tonë:, por shkruajeni pak më ndryshe, domethënë:

A mund ta shkruajmë kështu? Ne mundemi, sepse transformimi është ekuivalent. Ne shikojmë më tej.

Le të ndërtojmë dy funksione veç e veç:

- një grafik është një parabolë e thjeshtë që mund ta ndërtoni lehtësisht edhe pa përcaktuar një kulm duke përdorur formula dhe duke hartuar një tabelë për të përcaktuar pikat e tjera.
- një grafik është një vijë e drejtë, të cilën mund ta vizatoni po aq lehtë, duke vlerësuar vlerat dhe në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E keni ndërtuar? Krahasoni me atë që doli për mua:

Cilat mendoni se janë rrënjët e ekuacionit në këtë rast? E drejtë! Koordinatat nga, të cilat rezultuan në kryqëzimin e dy grafikëve dhe, domethënë:

Prandaj, zgjidhja e këtij ekuacioni është:

Çfarë thua? Duhet ta pranoni se kjo zgjidhje është shumë më e lehtë se ajo e mëparshmja dhe madje më e lehtë sesa kërkimi i rrënjëve përmes diskriminuesit! Nëse po, përpiquni të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm në këtë mënyrë:

Cfare bere? Le të krahasojmë grafikët tanë:

Grafikët tregojnë se përgjigjet janë:

A ia dolët? Te lumte! Tani le t'i shohim ekuacionet chuuuut pak më të ndërlikuara, domethënë zgjidhjen e ekuacioneve të përziera, domethënë ekuacionet që përmbajnë funksione të llojeve të ndryshme.

Zgjidhja grafike e ekuacioneve të përziera

Tani le të përpiqemi të zgjidhim sa vijon:

Sigurisht, ju mund të sillni gjithçka emërues i përbashkët, gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton, duke mos harruar të marrim parasysh ODV, por përsëri, do të përpiqemi ta zgjidhim atë grafikisht, siç bëmë në të gjitha rastet e mëparshme.

Këtë herë, le të ndërtojmë 2 grafikët e mëposhtëm:

- grafiku është një hiperbolë
- një grafik është një vijë e drejtë që mund ta ndërtoni lehtësisht, duke vlerësuar vlerat dhe në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.

E realizuar? Tani filloni ndërtimin.

Ja çfarë doli për mua:

Ndërsa shikoni këtë figurë, cilat janë rrënjët e ekuacionit tonë?

Kjo është e drejtë, dhe. Këtu është konfirmimi:

Provoni të futni rrënjët tona në ekuacion. Ka ndodhur?

Kjo është në rregull! Pajtohem, është kënaqësi të zgjidhësh grafikisht ekuacione të tilla!

Mundohuni ta zgjidhni vetë ekuacionin në mënyrë grafike:

Këtu është një sugjerim: transferoni një pjesë të ekuacionit në anën e djathtë në mënyrë që në të dy anët të ketë funksionet më të thjeshta për t'u ndërtuar. E kuptuat? Vepro!

Tani le të shohim se çfarë ndodhi:

Përkatësisht:

është një parabolë kubike.
- një vijë e drejtë e zakonshme.

Epo, ne ndërtojmë:

Siç e keni shkruar për një kohë të gjatë, rrënja e këtij ekuacioni është -.

Pasi të keni zgjidhur një numër kaq të madh shembujsh, jam i sigurt që keni kuptuar se sa e lehtë dhe e shpejtë është të zgjidhësh ekuacionet në mënyrë grafike. Është koha për të kuptuar se si ta zgjidhni sistemin në një mënyrë të ngjashme.

Zgjidhja grafike e sistemeve

Zgjidhja grafike e sistemeve në thelb nuk ndryshon nga zgjidhja grafike e ekuacioneve. Ne gjithashtu do të ndërtojmë dy grafikë, dhe pikat e kryqëzimit të tyre do të jenë rrënjët e këtij sistemi. Një grafik është një ekuacion, grafiku i dytë është një ekuacion tjetër. Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë!

Le të fillojmë me sistemet më të thjeshta - zgjidhëse ekuacionet lineare.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare

Le të themi se kemi sistemin e mëposhtëm:

Së pari, le ta transformojmë atë në mënyrë që në të majtë gjithçka që lidhet, dhe në të djathtë - që është e lidhur me. Me fjalë të tjera, ne i shkruajmë këto ekuacione si funksion në formën tonë të zakonshme:

Tani ne ndërtojmë vetëm dy vija të drejta. Cila është zgjidhja në rastin tonë? E drejtë! Pika e kryqëzimit të tyre! Dhe këtu duhet të jeni shumë, shumë të kujdesshëm! Mendoni pse? Më lejoni t'ju jap një sugjerim: kemi të bëjmë me një sistem: sistemi i ka të dyja, dhe ... E kuptuat aludimin?

Kjo është në rregull! Kur zgjidhim sistemin, duhet të shikojmë të dyja koordinatat, dhe jo vetëm, si kur zgjidhim ekuacione! Një tjetër pikë e rëndësishme- shkruajini saktë dhe mos i ngatërroni ku e kemi kuptimin, e ku kuptimin! E ke shkruar? Tani le të krahasojmë gjithçka në rend:

Dhe përgjigjet janë: dhe. Bëni një kontroll - zëvendësoni rrënjët e gjetura në sistem dhe sigurohuni nëse e kemi zgjidhur saktë grafikisht?

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare

Po sikur në vend të një vije të drejtë, të kemi ekuacioni kuadratik? është në rregull! Ju thjesht ndërtoni një parabolë në vend të një vije të drejtë! Nuk e besoj? Mundohuni të zgjidhni sistemin e mëposhtëm:

Cili është hapi ynë i ardhshëm? Kjo është e drejtë, shkruani atë në mënyrë që të jetë e përshtatshme për ne të ndërtojmë grafikë:

Dhe tani, në përgjithësi, çështja është e vogël - e ndërtova shpejt dhe këtu është një zgjidhje për ju! Ne ndërtojmë:

A janë grafikët të njëjtë? Tani shënoni zgjidhjet e sistemit në figurë dhe shkruani saktë përgjigjet e identifikuara!

Unë kam bërë gjithçka? Krahaso me postimet e mia:

Është e saktë? Te lumte! Ju tashmë po klikoni detyra të tilla si arra! Dhe nëse po, ne do t'ju japim një sistem më të komplikuar:

Cfare po bejme? E drejtë! Ne e shkruajmë sistemin në mënyrë që të jetë i përshtatshëm për të ndërtuar:

Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël, pasi sistemi duket mirë, jo shumë i thjeshtë! Kur ndërtoni grafikë, ndërtoni ato "më shumë", dhe më e rëndësishmja, mos u habitni nga numri i pikave të kryqëzimit.

Pra, le të shkojmë! Shfryrë? Tani filloni ndërtimin!

si është? E bukur? Sa pika kryqëzimi keni marrë? Unë kam tre! Le të krahasojmë grafikët tanë:

Njëjtën mënyrë? Tani, shkruani me kujdes të gjitha vendimet e sistemit tonë:

Tani hidhini një sy sistemit:

Mund ta imagjinoni se e keni zgjidhur atë në vetëm 15 minuta? Pranoje, matematika është ende e thjeshtë, sidomos kur shikon një shprehje, nuk ke frikë të gabosh, por e merr dhe vendos! Ju jeni një djalë i madh!

Zgjidhja grafike e inekuacioneve

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve lineare

Pas shembulli i fundit ju mund të bëni gjithçka! Nxirrni frymë tani - në krahasim me seksionet e mëparshme, kjo do të jetë shumë, shumë e lehtë!

Ne do të fillojmë, si zakonisht, me një zgjidhje grafike. pabarazia lineare... Për shembull, ky:

Për të filluar, le të bëjmë transformimet më të thjeshta - hapni kllapat katrorë të plotë dhe jepni terma të ngjashëm:

Pabarazia nuk është e rreptë, prandaj - nuk përfshihet në interval, dhe zgjidhja do të jenë të gjitha pikat që janë në të djathtë, pasi ka më shumë, më shumë, e kështu me radhë:

Përgjigje:

Kjo eshte e gjitha! Lehtë? Le të zgjidhim një pabarazi të thjeshtë me dy ndryshore:

Le të vizatojmë një funksion në sistemin e koordinatave.

Keni një orar të tillë? Dhe tani po shikojmë me kujdes se çfarë kemi atje në pabarazi? Më pak? Pra, ne pikturojmë mbi gjithçka që është në të majtë të vijës sonë të drejtë. Po sikur të kishte më shumë? Kjo është e drejtë, atëherë ata do të pikturojnë mbi gjithçka që është në të djathtë të vijës sonë të drejtë. Është e thjeshtë.

Të gjitha zgjidhjet për këtë pabarazi janë "errësuar" portokalli... Kjo është ajo, pabarazia me dy ndryshore është zgjidhur. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo pike nga zona e hijezuar janë zgjidhjet.

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve katrore

Tani do të merremi me mënyrën se si të zgjidhim grafikisht pabarazitë katrore.

Por, përpara se të fillojmë me biznesin, le të shqyrtojmë disa materiale në lidhje me funksionin katror.

Dhe për çfarë është përgjegjës diskriminuesi? Kjo është e drejtë, për pozicionin e grafikut në lidhje me boshtin (nëse nuk e mbani mend këtë, atëherë lexoni saktësisht teorinë e funksioneve kuadratike).

Gjithsesi, këtu është një shenjë e vogël kujtesë:

Tani që kemi rifreskuar të gjithë materialin në kujtesën tonë, le t'i drejtohemi punës - ne do ta zgjidhim grafikisht pabarazinë.

Unë do t'ju them menjëherë se ka dy mundësi për ta zgjidhur atë.

opsioni 1

Ne shkruajmë parabolën tonë si funksion:

Duke përdorur formulat, ne përcaktojmë koordinatat e kulmit të parabolës (në të njëjtën mënyrë si kur zgjidhim ekuacionet kuadratike):

E keni numëruar? Cfare bere?

Tani le të marrim dy pika të tjera të ndryshme dhe të llogarisim për to:

Ne fillojmë të ndërtojmë një degë të parabolës:

Ne pasqyrojmë në mënyrë simetrike pikat tona në një degë tjetër të parabolës:

Tani, kthehemi te pabarazia jonë.

Na duhet që të jetë më pak se zero, përkatësisht:

Meqenëse në pabarazinë tonë shenja është rreptësisht më e vogël, atëherë ne përjashtojmë pikat fundore - "gouge out".

Përgjigje:

Rrugë e gjatë, apo jo? Tani do t'ju tregoj një version më të thjeshtë të një zgjidhjeje grafike duke përdorur shembullin e të njëjtës pabarazi:

Opsioni 2

Ne i kthehemi pabarazisë sonë dhe shënojmë intervalet që na duhen:

Dakord, është shumë më shpejt.

Le të shkruajmë përgjigjen tani:

Le të shqyrtojmë një zgjidhje tjetër që thjeshton pjesën algjebrike, por gjëja kryesore është të mos ngatërrohemi.

Le të shumëzojmë anët e majta dhe të djathta me:

Mundohuni të zgjidhni vetë sa më poshtë pabarazia katrore në çdo mënyrë që ju pëlqen:.

A ia dolët?

Shihni si doli grafiku për mua:

Përgjigje: .

Zgjidhja grafike e mosbarazimeve të përziera

Tani le të kalojmë te pabarazitë më komplekse!

Si ju pëlqen kjo:

E mërzitur, apo jo? Për të qenë i sinqertë, nuk kam asnjë ide se si ta zgjidh këtë në mënyrë algjebrike ... Por nuk është e nevojshme. Grafikisht, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me të! Sytë kanë frikë, por duart po bëjnë!

Gjëja e parë me të cilën do të fillojmë është të vizatojmë dy grafikë:

Unë nuk do të pikturoj një tabelë për secilën - jam i sigurt se mund ta bëni atë në mënyrë perfekte vetë (ende, ka kaq shumë shembuj për të zgjidhur!).

E keni lyer? Tani ndërtoni dy grafikë.

Le të krahasojmë vizatimet tona?

A është e njëjta gjë për ju? Mirë! Tani do të vendosim pikat e kryqëzimit dhe do të përcaktojmë me ngjyrë se cili grafik kemi, në teori, duhet të jetë më i madh, domethënë. Shikoni çfarë ndodhi në fund:

Dhe tani ne thjesht shohim, ku është grafiku i zgjedhur më i lartë se grafiku? Mos ngurroni të merrni një laps dhe të lyeni kjo zone! Ajo do të jetë zgjidhja e pabarazisë sonë komplekse!

Në cilat intervale përgjatë boshtit është më i lartë se? E drejte,. Kjo është përgjigja!

Epo, tani ju mund të trajtoni çdo ekuacion, dhe çdo sistem, dhe aq më tepër çdo pabarazi!

SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur grafikët e funksioneve:

Le të shprehemi në terma të
Përcaktoni llojin e funksionit
Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve që rezultojnë
Gjeni pikat e kryqëzimit të grafikëve
Shkruani saktë përgjigjen (duke marrë parasysh ODZ dhe shenjat e pabarazisë)
Kontrolloni përgjigjen (zëvendësoni rrënjët në ekuacion ose sistem)

Për më shumë informacion rreth funksioneve të vizatimit, shihni temën "".

Mënyra grafike zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

(klasa e 9-të)

Libër mësuesi: Algjebra, klasa 9, redaktuar nga S.A. Telyakovsky.

Lloji i mësimit: mësim në zbatimin kompleks të njohurive, aftësive dhe aftësive.

Objektivat e mësimit:

Edukative: Zhvilloni aftësinë për të aplikuar në mënyrë të pavarur njohuritë në një kompleks, për ta transferuar atë në kushte të reja, duke përfshirë punën me një program kompjuterik për vizatimin e grafikëve të funksioneve dhe gjetjen e numrit të rrënjëve në ekuacionet e dhëna.

në zhvillim: Të formojë aftësinë e nxënësve për të nxjerrë në pah veçoritë kryesore, për të vendosur ngjashmëri dhe dallime. Pasuroje fjalorin... Zhvilloni fjalimin, duke ndërlikuar funksionin e tij semantik. Zhvilloni të menduarit logjik, interesi njohës, kultura e ndërtimit grafik, kujtesa, kurioziteti.

arsimore: Të nxisin ndjenjën e përgjegjësisë për rezultatin e punës së tyre. Mësoni të ndjeni empati me sukseset dhe dështimet e shokëve të klasës.

Mjetet e edukimit : kompjuter, projektor multimedial, fletushka.

Plani i mësimit:

Koha e organizimit. Detyrë shtëpie - 2 min.

Aktualizimi, përsëritja, korrigjimi i njohurive - 8 min.

Mësimi i materialit të ri - 10 min.

Punë praktike - 20 min.

Përmbledhje - 4 min.

Reflektimi - 1 min.

GJATË ORËSVE

Momenti organizativ - 2 min.

Ç'kemi djema! Sot është një mësim me një temë të rëndësishme: "Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve".

Nuk ka fusha të tilla ekspertize në shkencat ekzakte kudo që aplikohet tema. Epigrafi i mësimit tonë është fjalët e mëposhtme: “Mendja nuk është vetëm në njohuri, por edhe në aftësinë për të zbatuar njohuritë në praktikë ". (Aristoteli)

Paraqitja e temës, qëllimet dhe objektivat e mësimit.

Mësuesi/ja informon klasën për atë që do të studiohet në mësim dhe vendos detyrën për të mësuar se si të zgjidhen sistemet e ekuacioneve me dy ndryshore në mënyrë grafike.

Detyrë për shtëpi (P.18 Nr. 416, 418, 419 a).

Përsëritja e materialit teorik - 8 min.

A) Mësuesi i matematikës: Përgjigjuni pyetjeve dhe arsyetoni përgjigjen tuaj duke përdorur vizatime të gatshme.

1). Gjeni një grafik funksion kuadratik D = 0 (Nxënësit i përgjigjen pyetjes dhe emërtojnë grafikun 3c).

2). Gjeni grafikun e funksionit të anasjelltë proporcional për k> 0 (Nxënësit i përgjigjen pyetjes, thirrni grafikun 3a ).

3). Gjeni një grafik të një rrethi me qendër në O (-1; -5). (Nxënësit i përgjigjen pyetjes, thërrasin grafikun 1b).

4). Gjeni grafikun e funksionit y = 3x -2. (Nxënësit i përgjigjen pyetjes dhe emërtojnë grafikun 3b).

5). Gjeni grafikun e një funksioni kuadratik D> 0, a> 0. (Nxënësit i përgjigjen pyetjes dhe thërrasin grafikun 1a ).

Mësuesi i matematikës: – Për të zgjidhur me sukses sistemet e ekuacioneve, le të kujtojmë:

një). Çfarë quhet sistem ekuacionesh? (Një sistem ekuacionesh quhet disa ekuacione për të cilat kërkohet të gjenden vlerat e të panjohurave që plotësojnë të gjitha këto ekuacione në të njëjtën kohë).

2). Çfarë do të thotë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh? (Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet ose të provosh se nuk ka zgjidhje).

3). Çfarë quhet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh? (Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një çift numrash (x; y), në të cilin të gjitha ekuacionet e sistemit kthehen në barazi të vërteta).

4) Gjeni nëse zgjidhja e sistemit të ekuacioneve
një çift numrash: a) x = 1, y = 2;(–) b) x = 2, y = 4; (+) c) x = - 2, y = - 4? (+)

III Material i ri- 10 min.

Klauzola 18 e tekstit është paraqitur me metodën e bisedës.

Mësuesi i matematikës: Në kursin e algjebrës së klasës së 7-të, ne morëm parasysh sistemet e ekuacioneve të shkallës së parë. Tani le të merremi me zgjidhjen e sistemeve të përbëra nga ekuacione të shkallës së parë dhe të dytë.

1. Çfarë quhet sistem ekuacionesh?

2. Çfarë do të thotë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh?

Ne e dimë se metoda algjebrike ju lejon të gjeni zgjidhje të sakta për sistemin, dhe metoda grafike ju lejon të shihni vizualisht sa rrënjë ka sistemi dhe t'i gjeni ato përafërsisht. Prandaj, ne do të vazhdojmë të mësojmë të zgjidhim sistemet e ekuacioneve të shkallës së dytë në mësimet e ardhshme, dhe sot qëllimi kryesor i mësimit do të jetë përdorim praktik program kompjuterik për vizatimin e grafikëve të funksioneve dhe gjetjen e numrit të rrënjëve të sistemeve të ekuacioneve.

IV . Punë praktike - 20 min. Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve. Përcaktimi i rrënjëve të ekuacioneve.(Drejtimi i një grafiku në një kompjuter.)

Detyrat kryhen nga nxënësit në kompjuter. Zgjidhjet kontrollohen menjëherë.

y = 2x 2 + 5x +3

y = 4

y = -2x 2 + 5x + 3

y = -3x + 4

y = -2x 2 -5x-3

y = -4 + 2x

y = 4x 2 + 5x +3

y = 2

y= -4 x 2 + 5x + 3

y = -3x + 2

y = -4x 2 -5x-3

y = -2 + 2x

y = 4 x 2 + 5 x+5

y = 3

y = -4x 2 + 5x + 5

y = -x + 3

y = -4x 2 -5x-5

y = -2 + 3x

Para se të grafikoni dy ekuacione. Shkruani sistemin e përcaktuar nga këto ekuacione dhe zgjidhjen e tij.

– Cila nga të mëposhtmet sistemeve a mund të zgjidhet duke përdorur këtë figurë?

– Janë dhënë 4 sisteme, ato duhet të lidhen me grafikët. Tani detyra është e kundërt: po grafikët, ato duhet të lidhen me sistemin.

* Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve. ( Detyrat e yjeve *.)

Ekuacionet për grupin e parë të nxënësve:

Ekuacionet për grupin e dytë të nxënësve:

Ekuacionet për grupin e tretë të nxënësve:

x y = 6

x 2 + y = 4

x 2 + y = 3

x - y + 1 = 0

x 2 - y = 3

Data: ________________

Tema: algjebër

Tema: “Metodë grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve”.

Qëllimet: Përdorni grafikët për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve.

Detyrat:

Edukative: të mësojë zgjidhjen grafike të sistemeve të ekuacioneve lineare me dy ndryshore.

Zhvillimi: zhvillimi i aftësive kërkimore të nxënësve, vetëkontrollit, të folurit.

Edukative: edukimi i një kulture komunikimi, saktësi.

Lloji i mësimit: të kombinuara

Format: Vrojtim frontal, punë në çifte.

Gjatë orëve të mësimit:

Faza organizative. Komunikimi i temës së mësimit, përcaktimi i qëllimeve të mësimit.(shëno numrin, temën në një fletore)

Përsëritja dhe konsolidimi i materialit të kaluar:

Ekzaminimi detyre shtepie(analiza e problemeve të pazgjidhura);
Kontrolli i asimilimit të materialit:

Opsioni numër 1

Opsioni numër 2

Paraqitni funksionin:

(xy-1) (x + 1) = 0

(x-2) 2 + (y + 1) 2 = 4

Paraqitni funksionin:

(xy + 1) (y-1) = 0

(x-1) 2 + (y + 2) 2 = 4

Përditësimi i njohurive bazë:

Përcaktimi i një ekuacioni linear në dy ndryshore.

Çfarë quhet zgjidhja e një ekuacioni linear në dy ndryshore?

Si quhet grafiku i një ekuacioni linear në dy ndryshore?

Çfarë është një grafik i një ekuacioni linear në dy ndryshore?

Sa pika përcaktojnë një vijë?

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh?

Çfarë quhet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare në dy ndryshore?

Kur kryqëzohen dy drejtëza në një rrafsh?

Kur dy drejtëza në një rrafsh janë paralele?

Kur përputhen dy rreshta në një aeroplan?

Mësimi i materialit të ri:

Merrni parasysh sistemi i dy ekuacioneve me dy të panjohura. Vendimi quhen sisteme ekuacionesh çift vlerashvariablat, të cilët paguajnë çdo ekuacion të sistemit në një barazi të vërtetë. Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij ose të provosh se nuk ka zgjidhje.

Një nga mënyrat më efektive dhe intuitive për të zgjidhur dhe studiuar ekuacionet dhe sistemet e ekuacioneve mënyrë grafike.

Algoritmi për vizatimin e një ekuacioni me dy ndryshore.

Shprehni ndryshoren y në terma x.

"Merrni" pikat që përcaktojnë grafikun.

Ekuacioni i vizatimit

Algoritmi për zgjidhjen grafike të një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore.

Paraqitni grafikët për secilin nga ekuacionet në sistem.

Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit.

Regjistroni përgjigjen tuaj.

Shembull 1

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:

Le të ndërtojmë në një sistem koordinativ grafikën e të parit X 2 + y 2 = 25
(rrethoni) dhe e dyta hu= 12 (hiperbola) ekuacione. Është e qartë se
grafikët e ekuacioneve priten në katër pika A(3; 4), V(4; 3)
C (-3; -4) dhe D (-4; 3), koordinatat e të cilit janë zgjidhje
një sistem.

T
Meqenëse zgjidhjet mund të gjenden me njëfarë saktësie në metodën grafike, ato duhet të verifikohen me zëvendësim.

Kontrolli tregon se sistemi me të vërtetë ka katër zgjidhje: (3; 4), (4; 3), (- 3; -4), (- 4; -3).

Detyrë mësimore: nr 415 (b); nr 416; Nr. 419 (b); nr 420 (b); Nr 421 (a, b); Nr. 422 (a); # 424 (b); Nr 426 fq 115-117.

Përmbledh (vlerëson).

Reflektimi.

Le të përsërisim algoritmin për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve në mënyrë grafike.

Sa zgjidhje mund të ketë një sistem ekuacionesh?

Kush mësoi të zgjidhte sistemet e ekuacioneve l grafikisht?

Kush nuk ka mësuar?

Kush tjetër dyshon?

Duart lart, kujt i pëlqeu mësimi? Kush nuk është? Kush është indiferent?

Detyre shtepie:§18 fq 114-115 mësoni rregullat.

§17 fq 108-110 përsëritni rregullat.

ALGEBRA KLASA 9

Mënyra grafike

zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

1. Gjeni sipas grafikut:

a) zerat e funksionit;

b) gamën e vlerave të funksionit;

c) intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit;

c) intervalet në të cilat y ≤0, y≥0.

d ) vlera më e vogël e funksionit.

1.Nga formulat e propozuara, zgjidhni formulën

i cili përcakton funksionin e paraqitur në grafik

a ) y = - 3x + 1; b) y = 2x + 1;

c) y = 3x + 1 .

Nga formulat e propozuara, zgjidhni formulën që

vendos funksionin e paraqitur në grafik

b) y = - 2x 2 ; c) y = x 2 +1.

a) y = x 2 ;

Nga formulat e propozuara, zgjidhni formulën që vendos funksionin e treguar në grafik.

b) y = 2 x 3; c) y = x 3

a) y = 0,5x 3;

Nga formulat e propozuara, zgjidhni formulën që përcakton funksionin e treguar në grafik

a) y = 4 / x; b) y = - 4 / x;

Ekuacioni linear me

një variabël

sëpatë = b

Ekuacioni linear me

dy variabla

Ekuacioni në dy ndryshore

Grafiku i një ekuacioni me dy ndryshore është bashkësia e pikave të planit koordinativ, koordinatat e të cilave e kthejnë ekuacionin në një barazi të vërtetë.

Ekuacioni

Shprehni y me x

3x + 2y = 6

2v-x 2 =0

Kjo formulë vendos .....

Grafiku është

2x + y = 0

hiperbolë

kuadratike

funksionin

y = -1,5x + 3

Linear

funksionin

drejt

y = 0,5 x 2

e kundërta

proporcioni

y = -2x

parabolë

drejt, pr-i

përmes fillimit. koordinimi.

drejt

proporcioni

Elipsa

X 2 y = 4 (2-v),

y = 8 / (x 2 +4)

Sistemi i ekuacioneve dhe zgjidhja e tij

Përkufizimet

Një sistem ekuacionesh është një numër ekuacionesh të bashkuara nga një mbajtës kaçurrelë. Kllapa kaçurrelë do të thotë që të gjitha ekuacionet duhet të ekzekutohen në të njëjtën kohë
Një zgjidhje për një sistem ekuacionesh në dy ndryshore është një çift vlerash variablash që e kthejnë çdo ekuacion në sistem në një barazi të vërtetë
Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij ose të vërtetosh se ato nuk ekzistojnë.

Mënyra

zëvendësimet

Mënyra

shtesat

Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Mënyra

zëvendësimet

Mënyra

shtesat

Mënyra grafike

zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

1. Shprehni y përmes x në secilin ekuacion.

2. Ndërtoni një grafik në një sistem koordinativ

çdo ekuacion.

3. Shprehni y përmes x në secilin ekuacion.

4. Ndërtoni një grafik në një sistem koordinativ

çdo ekuacion

5. Përcaktoni koordinatat e pikës së kryqëzimit

grafikët.

6. Shkruani përgjigjen: x = ...; y = ..., ose (x; y)

Zgjidhja e sistemit grafikisht

Le të shprehemi në

Le të ndërtojmë një grafik

ekuacioni i parë

Le të komplotojmë të dytën

ekuacionet-rreth me

qendër në pikën O (0; 0) dhe

rrezja 2.

Zgjidhja e sistemit grafikisht

Le të shprehemi në

Le të ndërtojmë një grafik

ekuacioni i parë

Le të komplotojmë të dytën

ekuacionet-rreth me

qendër në pikën O (0; 0) dhe

rrezja 2.

X 2 + në 2 =4*

Sistemi ka 2 Zgjidhjet:

Përgjigje: (0; 2), (-2; 0)

1. Fillojmë të karikojmë,

I gatuajmë duart

Zgjat shpinën, shpatullat,

Për ta bërë më të lehtë për ne të ulemi

2. Twist-twist kokën.

Shtrije qafën, ndalo!

Një, dy, tre - anim në të djathtë,

Një, dy, tre - tani në të majtë.

3. Tani ndalo!

Ngrini duart lart

Thith dhe nxjerr. Ne marrim frymë më thellë.

Dhe tani do të ulemi në tavolina.

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha opsionet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet dhe objektivat e mësimit:

të vazhdojë të punojë për formimin e aftësive për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve me metodën grafike;
të kryejë kërkime dhe të nxjerrë përfundime për numrin e zgjidhjeve të një sistemi me dy ekuacione lineare;
zhvillojnë interesin për temën përmes lojës.

GJATË ORËSVE

1. Momenti organizativ (Plannerka)- 2 minuta.

- Diten e mire! Le të fillojmë takimin tonë tradicional të planifikimit. Kemi kënaqësinë të mirëpresim të gjithë ata që janë të ftuarit tanë sot në laboratorin tonë (unë përfaqësoj të ftuarit). Laboratori ynë quhet: "PUNË me interes dhe kënaqësi"(duke treguar rrëshqitjen 2). Emri shërben si moto në punën tonë. “Krijoni, vendosni, mësoni, arrini me interes dhe kënaqësi". Të nderuar të ftuar, ju prezantoj drejtuesit e laboratorit tonë (rrëshqitje 3).
Laboratori ynë është i angazhuar në studimin e punimeve shkencore, kërkimin shkencor, ekspertizën, punon në krijimin e projekteve kreative.
Sot tema e diskutimit tonë është "Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve lineare". (Unë ju sugjeroj të shkruani temën e mësimit)

Programi i ditës:(rrëshqitje 4)

1. Planifikues
2. Këshilli i Zgjeruar Akademik:

Fjalimet mbi temën
Leje pune

3. Ekspertiza
4. Hulumtimi dhe zbulimi
5. Projekt kreativ
6. Raport
7. Planifikimi

2. Intervistë dhe punë me gojë (Këshilli i Zgjeruar Akademik)- 10 min.

- Sot po mbajmë një këshill të zgjeruar shkencor, ku marrin pjesë jo vetëm drejtuesit e departamenteve, por edhe të gjithë anëtarët e ekipit tonë. Laboratori sapo ka filluar punën me temën: “Zgjidhja grafike e sistemeve të ekuacioneve lineare”. Ne duhet të përpiqemi të arrijmë arritjet më të larta në këtë çështje. Laboratori ynë duhet të jetë i njohur për cilësinë e hulumtimit në këtë temë. Si studiues i lartë, ju uroj gjithë të mirat!

Rezultatet e hulumtimit do t'i raportohen drejtuesit të laboratorit.

Kati për raportin për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve ka ... (Thirr nxënësin në dërrasën e zezë). I jap detyrës detyrën (kartela 1).

Dhe asistenti i laboratorit ... (Unë them mbiemrin) do t'ju kujtojë se si të ndërtoni një grafik të një funksioni me një modul. Unë jap kartën 2.

Karta 1(zgjidhja e detyrës në rrëshqitjen 7)

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Karta 2(zgjidhja e problemit në rrëshqitjen 9)

Paraqitni funksionin: y = | 1,5x - 3 |

Ndërsa stafi përgatitet për raportin, unë do të kontrolloj nëse jeni gati për të bërë kërkimin. Secili prej jush duhet të pranohet në punë. (Fillojmë numërimin me gojë duke i shkruar përgjigjet në një fletore)

Leje pune(detyrat në rrëshqitjet 5 dhe 6)

1) Shprehni në përtej x:

3x + y = 4 (y = 4 - 3x)
5x - y = 2 (y = 5x - 2)
1 / 2y - x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1 / 3y - 1 = 0 (y = - 6x + 3)

2) Zgjidheni ekuacionin:

5x + 2 = 0 (x = - 2/5)
4x - 3 = 0 (x = 3/4)
2 - 3x = 0 (x = 2/3)
1 / 3x + 4 = 0 (x = - 12)

3) Është dhënë një sistem ekuacionesh:

Cili nga çiftet e numrave (- 1; 1) ose (1; - 1) është zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh?

Përgjigje: (1; - 1)

Menjëherë pas çdo fragmenti të numërimit me gojë, studentët shkëmbejnë fletoret (me një student të ulur pranë tij në të njëjtin seksion), përgjigjet e sakta shfaqen në sllajde; verifikuesi vendos një plus ose një minus. Në fund të punës, drejtuesit e departamenteve vendosin rezultatet në një tabelë përmbledhëse (shih më poshtë); për çdo shembull jepet 1 pikë (mund të merren 9 pikë).
Ata që kanë marrë 5 ose më shumë pikë pranohen në punë. Pjesa tjetër marrin një tolerancë të kushtëzuar, d.m.th. do të duhet të punojnë nën mbikëqyrjen e drejtuesit të departamentit.

Tabela (të plotësohet nga shefi)

(Tabelat jepen para fillimit të mësimit)

Pas pranimit, ne dëgjojmë përgjigjet e studentëve në dërrasën e zezë. Për përgjigjen studenti merr 9 pikë nëse përgjigja është e plotë (numri maksimal për pranim), 4 pikë nëse përgjigja nuk është e plotë. Pikët futen në kolonën "toleranca".
Nëse në tabelë vendimi i duhur, më pas rrëshqitjet 7 dhe 9 mund të anashkalohen. Nëse zgjidhja është e saktë, por nuk është ekzekutuar qartë, ose zgjidhja është e pasaktë, atëherë sllajdet duhet të shfaqen me shpjegime.
E shfaq rrëshqitjen 8 pas përgjigjes së nxënësit në kartën 1. Në këtë rrëshqitje, përfundimet janë të rëndësishme për mësimin.

Algoritmi për zgjidhjen grafike të sistemeve:

Shprehni y në terma x në secilin ekuacion të sistemit.
Paraqitni çdo ekuacion në sistem.
Gjeni koordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikëve.
Kontrolloni (tërhiqni vëmendjen e nxënësve për faktin se metodë grafike zakonisht jep një zgjidhje të përafërt, por nëse kryqëzimi i grafikëve godet një pikë me koordinata të plota, mund të kontrolloni dhe të merrni një përgjigje të saktë).
Regjistroni përgjigjen tuaj.

3. Ushtrime (Ekspertizë)- 5 minuta.

Dje në punë janë lejuar disa punonjës gabime të rënda... Sot ju jeni tashmë më kompetent në çështjen e një zgjidhjeje grafike. Jeni të ftuar të bëni një ekzaminim të zgjidhjeve të propozuara, d.m.th. gjeni gabime në zgjidhje. Sllajdi 10 shfaqet.
Puna po vazhdon në departamente. (Në çdo tabelë lëshohen fotokopje të detyrave me gabime; në çdo departament punonjësit duhet të gjejnë gabime dhe t'i nxjerrin në pah ose t'i korrigjojnë; t'ia dorëzojnë fotokopjet studiuesit të lartë, d.m.th. mësuesit). Për ata që gjejnë dhe korrigjojnë gabimin, shefi shton 2 pikë. Më pas diskutojmë gabimet e bëra dhe i tregojmë në rrëshqitjen 10.

Gabim 1

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.

Nxënësit duhet të vazhdojnë drejt në kryqëzim dhe të marrin përgjigjen: (- 2; 1).

Gabimi 2.

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve:

Përgjigje: (1; 4).

Nxënësit duhet të gjejnë gabimin në transformimin e ekuacionit të parë dhe ta korrigjojnë në vizatimin e përfunduar. Merrni një përgjigje tjetër: (2; 5).

4. Shpjegimi i materialit të ri (Kërkime dhe zbulime)- 12 minuta

Unë sugjeroj që nxënësit të zgjidhin tre sisteme në mënyrë grafike. Çdo nxënës vendos në mënyrë të pavarur në një fletore. Mund të konsultohen vetëm ata me pranim me kusht.

Zgjidhje

Pa hartuar grafikët, është e qartë se linjat e drejta do të përkojnë.

Slide 11 tregon zgjidhjen e sistemeve; pritet që studentët të kenë vështirësi të shkruajnë përgjigjen në shembullin 3. Pasi punojmë në departamente, kontrollojmë zgjidhjen (për shefin e saktë shton 2 pikë). Tani është koha për të diskutuar se sa zgjidhje mund të ketë një sistem me dy ekuacione lineare.
Nxënësit duhet të nxjerrin përfundime vetë dhe t'i shpjegojnë ato duke renditur rastet e renditjes së ndërsjellë të drejtëzave në rrafsh (rrëshqitje 12).

5. Projekt krijues (Ushtrime)- 12 minuta

Detyra i jepet departamentit. Shefi i jep çdo laboratori, sipas aftësisë së tij, një fragment të zbatimit të tij.

Zgjidh grafikisht sistemet e ekuacioneve:

Pas zgjerimit të kllapave, studentët duhet të marrin sistemin:

Pas zgjerimit të kllapave, ekuacioni i parë është: y = 2 / 3x + 4.

6. Raportoni (kontrolloni ekzekutimin e detyrës)- 2 minuta.

Pas përfundimit të projektit krijues, nxënësit dorëzojnë fletoret e tyre. Në rrëshqitjen 13, unë tregoj se çfarë duhet të kishte ndodhur. Shefat dorëzojnë tryezën. Kolona e fundit plotësohet nga mësuesi dhe vendos një shenjë (shënimet mund t'u raportohen nxënësve në orën e ardhshme). Në projekt, zgjidhja e sistemit të parë vlerësohet me tre pikë, dhe e dyta - katër.

7. Planifikimi (përmbledhje dhe detyra shtëpie)- 2 minuta.

Le të përmbledhim rezultatet e punës sonë. Ne bëmë një punë të mirë. Konkretisht, për rezultatet do të flasim nesër në takimin e planifikimit. Sigurisht, të gjithë asistentët e laboratorit, pa përjashtim, kanë zotëruar metodën grafike për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve, kanë mësuar se sa zgjidhje mund të ketë një sistem. Nesër secili prej jush do të ketë një projekt personal. Për përgatitje shtesë: fq 36; 647-649 (2); përsërisin metodat analitike për zgjidhjen e sistemeve. 649 (2) zgjidhet edhe me metodën analitike.

Puna jonë u mbikëqyr gjatë gjithë ditës nga drejtori i laboratorit, Noman Know Manovich. Fjala e tij. (Unë tregoj rrëshqitjen e fundit).

Shkalla e përafërt e notimit

shenjë	Toleranca	Ekspertizë	Studimi	Projekti	Total
3	5	2	2	2	11
4	7	2	4	3	16
5	9	3	5	4	21