Çfarë është një shumëkëndësh? Llojet e shumëkëndëshave. POLIGONI, një figurë gjeometrike e sheshtë me tre ose më shumë brinjë që kryqëzohen në tre ose më shumë pika (kulme). Përkufizimi. Një shumëkëndësh është një figurë gjeometrike e kufizuar nga të gjitha anët nga një vijë e mbyllur e thyer, e përbërë nga tre ose më shumë segmente (lidhje). Një trekëndësh është padyshim një shumëkëndësh. Një shumëkëndësh është një figurë që ka pesë ose më shumë qoshe.
Përkufizimi. Një katërkëndësh është një figurë e sheshtë gjeometrike e përbërë nga katër pika (kulmet e katërkëndëshit) dhe katër segmente që i lidhin ato në seri (anët e katërkëndëshit).
Një drejtkëndësh është një katërkëndësh me të gjitha këndet e drejta. Emërtohen sipas numrit të brinjëve ose kulmeve: TREKËNDËSH (trekëndësh); KATËRkëndësh (katërkëndësh); PENTAGON (pesëfaqësh) etj. Në gjeometrinë elementare, M. është një figurë e kufizuar nga vija të drejta të quajtura anë. Pikat ku kryqëzohen brinjët quhen kulme. Një shumëkëndësh ka më shumë se tre qoshe. Pra pranohet ose ra dakord.
Një trekëndësh është një trekëndësh. Dhe një katërkëndësh gjithashtu nuk është një shumëkëndësh, dhe nuk quhet as katërkëndësh - ai është ose një katror, ose një romb, ose një trapez. Fakti që ka një shumëkëndësh me tre brinjë dhe tre kënde emrin e vet"trekëndëshi" nuk e privon atë nga statusi i një shumëkëndëshi.
Shihni se çfarë është "POLYGON" në fjalorë të tjerë:
Mësojmë se kjo figurë kufizohet nga një vijë e mbyllur e thyer, e cila nga ana tjetër mund të jetë e thjeshtë, e mbyllur. Le të flasim për faktin se shumëkëndëshat janë të sheshtë, të rregullt, konveks. Kush nuk ka dëgjuar për të mistershmen trekëndëshi i bermudës në cilat anije dhe avionë zhduken pa lënë gjurmë? Por trekëndëshi i njohur për ne që nga fëmijëria është i mbushur me shumë gjëra interesante dhe misterioze.
Edhe pse, sigurisht, një figurë e përbërë nga tre kënde mund të konsiderohet gjithashtu një shumëkëndësh
Por kjo nuk mjafton për të karakterizuar figurën. Një vijë e thyer A1A2…An është një figurë që përbëhet nga pikat A1,A2,…An dhe segmentet A1A2, A2A3,… që i lidhin ato. Një vijë e thjeshtë e thyer e mbyllur quhet shumëkëndësh nëse lidhjet e saj ngjitur nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (Fig. 5). Zëvendësoni në fjalën "poligonin" në vend të pjesës "shumë" një numër specifik, për shembull 3. Do të merrni një trekëndësh. Vini re se ka po aq kënde sa ka brinjë, kështu që këto figura mund të quhen shumëpalëshe.
Le të jetë А1А2…А n një shumëkëndësh i dhënë konveks dhe n>3. Vizatoni në të (nga një kulm) diagonale
Shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është 1800, dhe numri i këtyre trekëndëshave është n - 2. Prandaj, shuma e këndeve të një n konveks - kënd A1A2 ... A n është 1800 * (n - 2). Teorema është vërtetuar. Këndi i jashtëm i një shumëkëndëshi konveks në një kulm të caktuar është këndi ngjitur me këndin e brendshëm të shumëkëndëshit në atë kulm.
Në një katërkëndësh, vizatoni një vijë në mënyrë që ta ndajë atë në tre trekëndësha
Një katërkëndësh nuk ka kurrë tre kulme në të njëjtën drejtëz. Fjala "poligonin" tregon se të gjitha figurat e kësaj familjeje kanë "shumë qoshe". Një vijë e thyer quhet e thjeshtë nëse nuk ka vetëkryqëzime (Fig. 2,3).
Gjatësia e një vije të thyer është shuma e gjatësive të lidhjeve të saj (Fig. 4). Në rastin n=3 teorema është e vlefshme. Pra, sheshi mund të quhet ndryshe - një katërkëndësh i rregullt. Shifra të tilla kanë qenë prej kohësh me interes për mjeshtrit që dekoruan ndërtesat.
Numri i kulmeve është i barabartë me numrin e brinjëve. Një vijë e thyer quhet e mbyllur nëse skajet e saj përkojnë. Ata bënë modele të bukura, për shembull, në parket. Ylli ynë me pesë cepa është një yll i rregullt pesëkëndësh.
Por jo të gjithë poligonet e rregullt mund të përdoren për të formuar parket. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt dy llojeve të shumëkëndëshave: një trekëndësh dhe një katërkëndësh. Një shumëkëndësh në të cilin të gjitha këndet e brendshme janë të barabarta quhet shumëkëndësh i rregullt. Shumëkëndëshat emërtohen sipas numrit të brinjëve ose kulmeve të tij.
Në rrjedhën e gjeometrisë, ne studiojmë vetitë e figurave gjeo-met-ri-che-sky dhe kemi parë tashmë më të thjeshtat prej tyre: trekëndësh-ni-ki dhe rrethinat. Në të njëjtën kohë, ne po diskutojmë nëse dhe raste të veçanta të këtyre figurave, si drejtkëndëshe, barabar-poor-ren dhe trekëndësh kënddrejtë-no-ki. Tani është koha për të folur për fi-gu-rah më të përgjithshme dhe komplekse - shumë-qymyr-jo-kah.
Me një rast privat shumë-qymyr-ni-kov ne tashmë e dimë - ky është një trekëndësh (shih Fig. 1).
Oriz. 1. Trekëndësh-nick
Në vetë emrin, tashmë është nën-cher-ki-va-et-sya se është fi-gu-ra, dikush ka tre qoshe. Pranë-va-tel-por, në shumë qymyr mund të ketë shumë prej tyre, d.m.th. më shumë se tre. Për shembull, një imazh i një nyje me pesë qymyr (shih Fig. 2), d.m.th. fi-gu-ru me pesë kënde-la-mi.
Oriz. 2. Pesë-thëngjill. Nofka ti-larg-ly-multi-thëngjill
Përkufizimi.Shumëkëndëshi- fi-gu-ra, i përbërë nga disa pika (më shumë se dy) dhe që korrespondon me përgjigjen e th kov, dikush-thekër ato pas-to-va-tel-por kombinoni-ed-nya-yut. Këto pika janë on-zy-va-yut-sya top-shi-on-mi shumë qymyr-jo-ka, por nga-prerja - qindra-ro-on-mi. Në të njëjtën kohë, asnjë anë ngjitur nuk shtrihet në të njëjtën vijë të drejtë dhe asnjë anë jo ngjitur nuk ri-se-ka-yut-sya .
Përkufizimi.Nofka me shumë qymyr djathtas- kjo është një nyje konveks poli-thëngjill, për dikë-ro-go të gjitha anët dhe këndet janë të barabarta.
Çdo shumëkëndëshi de-la-et rrafshin në dy rajone: të brendshme dhe të jashtme. Zona e brendshme-ren-ny është gjithashtu nga-but-syat në shumë qymyr.
Me fjalë të tjera, për shembull, kur ata flasin për pesë-qymyr-ni-ke, ata nënkuptojnë të gjithë rajonin e tij të brendshëm dhe tsu-në kufitare. Dhe në brendësi të rajonit nga-no-syat-sya dhe të gjitha pikat, disa thekër shtrihen brenda një shumë-of-thymyr-no-ka, d.m.th. pika është gjithashtu nga-por-sit-Xia në pesë-qymyr-jo-ku (shih Fig. 2).
Shumë-coal-no-ki ende nganjëherë quhet n-coal-no-ka-mi, në mënyrë që të theksohet se është një rast i zakonshëm-e-tea on-of-something-of-an-panjohur-of-the -numri i qosheve (n copa).
Përkufizimi. Pe-ri-metër shumë-qymyr-jo-ka- shuma e gjatësive të brinjëve të një shumë-qymyr-no-ka.
Tani ju duhet të dini për të ditur me pikëpamjet e shumë-coal-no-kov. Ata de-lyat-xia në ju-kaba dhe jo i rëndë. Për shembull, një fole poli-qymyri, e paraqitur në Fig. 2, is-la-et-sya you-bump-ly, dhe në Fig. 3 jo tufa-lym.
Oriz. 3. Poli-thëngjill jo-konveks
2. Shumëkëndëshat konveks dhe jokonveks
Përcaktimi i numrit 1. Shumëkëndëshi na-zy-va-et-sya ti pordhe, nëse kur pro-ve-de-nii është i drejtpërdrejtë përmes ndonjërës prej anëve të tij, e tëra shumëkëndëshi shtrihet vetëm njëqind-ro-pus nga kjo vijë e drejtë. Nevy-puk-ly-mi yav-la-yut-sya gjithë pjesa tjetër shumë qymyr.
Është e lehtë të imagjinohet se kur shtrihet ndonjë anë e pesë-qymyr-no-ka në Fig. 2 ai është i gjithë ok-zhet-sya njëqind-ro-pus nga kjo minierë e drejtë, d.m.th. ai është i fryrë. Por kur pro-ve-de-nii është drejtpërsëdrejti në four-you-rech-coal-no-ke në Fig. 3, tashmë shohim që ajo e ndan në dy pjesë, d.m.th. ai nuk është i rëndë.
Por ka një tjetër def-de-le-nie you-pomp-lo-sti a lot-of-coal-no-ka.
Opré-de-le-nie 2. Shumëkëndëshi na-zy-va-et-sya ti pordhe, nëse kur zgjidhni dy nga pikat e brendshme të saj dhe kur i lidhni nga një prerje, të gjitha pikat nga një prerje janë gjithashtu të brendshme -no-mi point-ka-mi much-coal-no-ka.
Një demonstrim i përdorimit të këtij përkufizimi të de-le-tion mund të shihet në shembullin e ndërtimit nga prerjet në Fig. 2 dhe 3.
Përkufizimi. Dia-go-na-lew shumë-qymyr-no-ka-za-va-et-sya ndonjë nga-re-zok, që lidh dy që nuk i lidh majat e tij.
3. Teorema mbi shumën e këndeve të brendshme të një n-këndëshi konveks
Për të përshkruar vetitë e shumëkëndëshave, ekzistojnë dy teori të rëndësishme rreth këndeve të tyre: theo-re-ma rreth shumës së këndeve të brendshme të ju-bunch-lo-go-shumë-qymyr-jo-ka dhe theo-re-ma rreth shumës së këndeve të jashtme. Le t'i shikojmë ato.
Teorema. Mbi shumën e këndeve të brendshme të ju-rreze-lo-go-shumë-qymyr-jo-ka (n-qymyr-no-ka).
Ku është numri i qosheve (anëve) të tij.
Bëj-për-tel-stvo 1. Imazh-ra-dimër në Fig. 4 nofka konveks n-kënd.
Oriz. 4. Ju-bump-ly n-kënd-nick
Nga lart ne pro-ne-dem të gjitha të mundshme di-go-on-nëse. Ata e ndajnë nofkën n-këndore në një trekëndësh-jo-ka, sepse secila nga anët është trekëndëshe me shumë qymyr-no-ka-ra-zu-et, me përjashtim të anëve ngjitur me majën e gomës. Është e lehtë të shihet nga ri-diell-ku se shuma e këndeve të të gjithë këtyre trekëndëshave do të jetë saktësisht e barabartë me shumën e këndeve të brendshme të n-këndit-ni-ka. Meqenëse shuma e këndeve të çdo trekëndëshi-no-ka -, atëherë shuma e këndeve të brendshme të n-këndit-no-ka:
Do-ka-për-tel-stvo 2. Është e mundur dhe një tjetër do-ka-për-tel-stvo e këtij theo-re-we. Imazhi i një këndi n analog në Fig. 5 dhe lidhni ndonjë nga pikat e tij të brendshme me të gjitha kulmet.
Ne-be-chi-nëse raz-bi-e-ne n-kënd-jo-ka në n trekëndësh-ni-kov (sa brinjë, aq trekëndësha-ni-kov ). Shuma e të gjithë këndeve të tyre është e barabartë me shumën e këndeve të brendshme të shumë-qymyrit-asnjë dhe shumën e këndeve në pikën e brendshme, dhe ky është këndi. Ne kemi:
Q.E.D.
Para-për-por.
Sipas do-ka-zan-noy theo-re-me, është e qartë se shuma e këndeve n-thëngjill-no-ka varet nga numri i brinjëve të tij (nga n). Për shembull, në një trekëndësh-ne-ke, dhe shuma e këndeve. Në katër-ju-reh-qymyr-ni-ke, dhe shuma e këndeve - etj.
4. Teorema mbi shumën e këndeve të jashtme të një n-këndëshi konveks
Teorema. Rreth shumës së këndeve të jashtme të ju-beam-lo-go-shumë-qymyr-no-ka (n-qymyr-no-ka).
Ku është numri i këndeve (brinjëve) të tij dhe, ..., janë këndet e jashtme.
Dëshmi. Imazh-ra-zim konveks n-kënd-nick në Fig. 6 dhe shënoni këndet e tij të brendshme dhe të jashtme.
Oriz. 6. Ju jeni një n-qymyr konveks me përcaktimin e jashtme-ni-qoshe-la-mi
Sepse këndi i jashtëm lidhet me këndin e brendshëm si ngjitur, pastaj 
dhe në mënyrë të ngjashme për pjesën tjetër të qosheve të jashtme. Pastaj:
Në rrjedhën e pre-ob-ra-zo-va-niy, ne përdorëm-zo-va-gënjyer tashmë te-ka-zan-teo-re-mine-ime për shumën e këndeve të brendshme n-kënd-no-ka .
Para-për-por.
Nga pre-ka-zan-noy theo-re-ne ndjekim faktin in-te-res-ny se shuma e këndeve të jashtme të këndit konveks-lo-të n është e barabartë me 
nga numri i qosheve (anëve) të tij. Nga rruga, në varësi të shumës së këndeve të brendshme.
Më tej, ne do të punojmë më fraksionalisht me një rast të veçantë të shumë qymyr-no-kov - che-you-rekh-qymyr-no-ka-mi. Në mësimin e ardhshëm, do të njihemi me një tufë fi-gu-gu si par-ral-le-lo-gram dhe do të diskutojmë vetitë e tij.
NJË BURIM
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-class
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Pjesa e rrafshit e kufizuar nga një vijë e mbyllur e thyer quhet shumëkëndësh.
Segmentet e kësaj vije të thyer quhen partive shumëkëndëshi. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - faqet e poligonit ABCDE. Shuma e të gjitha brinjëve të një shumëkëndëshi quhet e saj perimetër.
Shumëkëndëshi quhet konveks, nëse ndodhet në njërën anë të ndonjërës prej anëve të saj, e shtrirë për një kohë të pacaktuar përtej të dy kulmeve.
Shumëkëndëshi MNPKO (Fig. 1) nuk do të jetë konveks, pasi ndodhet në më shumë se një anë të drejtëzës KP.
Ne do të shqyrtojmë vetëm shumëkëndëshat konveks.
Kënde të përbëra nga dy palët fqinje shumëkëndësh, e quajti atë e brendshme qoshet dhe majat e tyre - kulmet e shumëkëndëshit.
Një segment vije që lidh dy kulme jo të afërta të një shumëkëndëshi quhet diagonale e shumëkëndëshit.
AC, AD - diagonalet e poligonit (Fig. 2).
Këndet ngjitur me këndet e brendshme të shumëkëndëshit quhen kënde të jashtëm të shumëkëndëshit (Fig. 3).
Në varësi të numrit të këndeve (brinjëve), një shumëkëndësh quhet trekëndësh, katërkëndësh, pesëkëndësh etj.
Dy shumëkëndësha thuhet se janë të barabartë nëse mund të mbivendosen.
Shumëkëndësha të brendashkruar dhe të rrethuar
Nëse të gjitha kulmet e një shumëkëndëshi shtrihen në një rreth, atëherë thirret shumëkëndëshi të mbishkruara në një rreth, dhe rrethi përshkruar pranë shumëkëndëshit (fig.).
Nëse të gjitha anët e një shumëkëndëshi janë tangjente me një rreth, atëherë shumëkëndëshi quhet përshkruar rreth rrethit, dhe rrethi quhet të mbishkruara në një shumëkëndësh (fig.).
Ngjashmëria e shumëkëndëshave
Dy shumëkëndësha me të njëjtin emër quhen të ngjashëm nëse këndet e njërit prej tyre janë përkatësisht të barabartë me këndet e tjetrit, dhe brinjët e ngjashme të shumëkëndëshave janë proporcionale.
Shumëkëndëshat me numër të njëjtë brinjësh (këndesh) quhen shumëkëndësha me të njëjtin emër.
Brinjët e shumëkëndëshave të ngjashëm quhen të ngjashëm nëse lidhin kulmet e këndeve përkatësisht të barabarta (Fig.).
Kështu, për shembull, që shumëkëndëshi ABCDE të jetë i ngjashëm me shumëkëndëshin A'B'C'D'E', është e nevojshme që: E = ∠E' dhe, përveç kësaj, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'.
Raporti perimetral i shumëkëndëshave të ngjashëm
Së pari, merrni parasysh vetinë e një serie raportesh të barabarta. Le të kemi, për shembull, marrëdhëniet: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.
Le të gjejmë shumën e anëtarëve të mëparshëm të këtyre marrëdhënieve, pastaj - shumën e anëtarëve të tyre pasues dhe të gjejmë raportin e shumave të marra, marrim:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Ne marrim të njëjtën gjë nëse marrim një numër të disa marrëdhënieve të tjera, për shembull: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 dhe pastaj gjejmë raportin e këtyre shumave, marrim:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Në të dyja rastet, shuma e anëtarëve të mëparshëm të një serie marrëdhëniesh të barabarta lidhet me shumën e anëtarëve pasues të së njëjtës seri, pasi anëtari i mëparshëm i ndonjërës prej këtyre marrëdhënieve lidhet me atë të radhës.
Ne e kemi nxjerrë këtë veti duke shqyrtuar një sërë shembujsh numerikë. Mund të konkludohet rreptësisht dhe në formë të përgjithshme.
Tani merrni parasysh raportin e perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm.
Le të jetë shumëkëndëshi ABCDE i ngjashëm me shumëkëndëshin A'B'C'D'E' (fig.).
Nga ngjashmëria e këtyre shumëkëndëshave del se
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Bazuar në vetinë e një sërë marrëdhëniesh të barabarta që kemi nxjerrë, mund të shkruajmë:
Shuma e termave të mëparshëm të marrëdhënieve që kemi marrë është perimetri i shumëkëndëshit të parë (P), dhe shuma e termave pasardhës të këtyre marrëdhënieve është perimetri i shumëkëndëshit të dytë (P '), pra P / P' = AB / A'B '.
Prandaj, perimetrat e shumëkëndëshave të ngjashëm lidhen si brinjë përkatëse të tyre.
Raporti i sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm
Le të jenë ABCDE dhe A'B'C'D'E' shumëkëndësha të ngjashëm (fig.).
Dihet se ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' dhe ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Për më tepër,
;
Meqenëse raportet e dyta të këtyre përmasave janë të barabarta, gjë që rrjedh nga ngjashmëria e shumëkëndëshave, atëherë
Duke përdorur vetinë e një serie raportesh të barabarta, marrim:
Ose 
ku S dhe S' janë sipërfaqet e këtyre shumëkëndëshave të ngjashëm.
Prandaj, Zonat e shumëkëndëshave të ngjashëm lidhen si katrorët e brinjëve të ngjashme.
Formula që rezulton mund të konvertohet në këtë formë: S / S '= (AB / A'B ') 2
Zona e një poligoni arbitrar
Le të kërkohet llogaritja e sipërfaqes së një katërkëndëshi arbitrar ABDC (Fig.).
Le të vizatojmë një diagonale në të, për shembull AD. Marrim dy trekëndësha ABD dhe ACD, sipërfaqet e të cilave mund t'i llogarisim. Pastaj gjejmë shumën e sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave. Shuma që rezulton do të shprehë sipërfaqen e katërkëndëshit të dhënë.
Nëse keni nevojë të llogarisni sipërfaqen e një pesëkëndëshi, atëherë ne vazhdojmë në të njëjtën mënyrë: nxjerrim diagonale nga një nga kulmet. Marrim tre trekëndësha, sipërfaqet e të cilave mund të llogarisim. Kështu që ne mund të gjejmë zonën e këtij pesëkëndëshi. Ne bëjmë të njëjtën gjë kur llogaritim sipërfaqen e çdo shumëkëndëshi.
Zona e projeksionit të shumëkëndëshit
Kujtoni se këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi është këndi midis një drejtëze të caktuar dhe projeksionit të saj në rrafsh (Fig.).
Teorema. Zona e projeksionit ortogonal të shumëkëndëshit në rrafsh është e barabartë me sipërfaqen e shumëkëndëshit të projektuar shumëzuar me kosinusin e këndit të formuar nga rrafshi i poligonit dhe rrafshi i projektimit.
Çdo shumëkëndësh mund të ndahet në trekëndësha, shuma e sipërfaqeve të të cilave është e barabartë me sipërfaqen e shumëkëndëshit. Prandaj, mjafton të vërtetohet teorema për një trekëndësh.
Le të projektohet ΔABC në aeroplan R. Konsideroni dy raste:
a) njëra nga anët ΔABS është paralele me rrafshin R;
b) asnjë nga brinjët ΔABC nuk është paralele R.
Merrni parasysh rasti i parë: le [AB] || R.
Vizatoni nëpër rrafshin (AB). R 1 || R dhe projektoni në mënyrë ortogonale ΔABC mbi R 1 dhe në vazhdim R(oriz.); marrim ΔABC 1 dhe ΔA’B’C’.
Nga vetia e projeksionit, ne kemi ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, dhe prandaj
S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'
Të vizatojmë ⊥ dhe segmentin D 1 C 1 . Atëherë ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ është këndi ndërmjet planit ΔABC dhe rrafshit R një. Kështu që
S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ
dhe, si rrjedhim, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.
Le të kalojmë në konsideratë rasti i dytë. Vizatoni një aeroplan R 1 || R përmes asaj kulme ΔАВС, largësia nga e cila deri te rrafshi R më i vogli (le të jetë kulmi A).
Le të dizajnojmë ΔABC në aeroplan R 1 dhe R(oriz.); le të jenë projeksionet e tij përkatësisht ΔAB 1 C 1 dhe ΔA’B’C’.
Le të (BC) ∩ fq 1 = D. Pastaj
S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Materiale të tjeraTrekëndësh, katror, gjashtëkëndor - këto shifra janë të njohura për pothuajse të gjithë. Por jo të gjithë e dinë se çfarë është një shumëkëndësh i rregullt. Por ky është i njëjti Shumëkëndësh i rregullt quhet ai që ka kënde dhe brinjë të barabarta. Shifra të tilla ka shumë, por të gjitha kanë të njëjtat veti dhe për to zbatohen të njëjtat formula.
Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt
Çdo shumëkëndësh i rregullt, qoftë katror apo tetëkëndësh, mund të brendashkruhet në një rreth. Kjo veti bazë përdoret shpesh kur ndërtohet një figurë. Përveç kësaj, një rreth mund të futet gjithashtu në një shumëkëndësh. Në këtë rast, numri i pikave të kontaktit do të jetë i barabartë me numrin e anëve të tij. Është e rëndësishme që një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh të rregullt të ketë një qendër të përbashkët me të. Këto figurat gjeometrike subjekt i të njëjtave teorema. Çdo anë e një n-këndoreje të rregullt lidhet me rrezen R të rrethit të rrethuar rreth tij. Prandaj, mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme: a = 2R ∙ sin180°. Nëpërmjet mund të gjeni jo vetëm anët, por edhe perimetrin e poligonit.
Si të gjeni numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt
Secili prej tyre përbëhet nga një numër i caktuar segmentesh të barabartë me njëri-tjetrin, të cilët, kur lidhen, formohen linjë e mbyllur. Në këtë rast, të gjitha qoshet e figurës së formuar kanë të njëjtën vlerë. Shumëkëndëshat ndahen në të thjeshtë dhe të ndërlikuar. Grupi i parë përfshin një trekëndësh dhe një katror. Shumëkëndëshat kompleksë kanë më shumë anët. Ato përfshijnë gjithashtu figura në formë ylli. Për shumëkëndëshat e rregullt kompleksë, faqet gjenden duke i shkruar ato në një rreth. Le të japim një provë. Vizatoni një shumëkëndësh të rregullt me një numër arbitrar brinjësh n. Përshkruani një rreth rreth tij. Specifikoni rrezen R. Tani imagjinoni që është dhënë një n-gon. Nëse pikat e këndeve të tij shtrihen në një rreth dhe janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë anët mund të gjenden me formulën: a = 2R ∙ sinα: 2.
Gjetja e numrit të brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë të brendashkruar
Një trekëndësh barabrinjës është një shumëkëndësh i rregullt. Për të zbatohen të njëjtat formula si për katrorin dhe këndin n. Një trekëndësh do të konsiderohet i saktë nëse ka brinjë të njëjtën gjatësi. Në këtë rast, këndet janë 60⁰. Ndërtoni një trekëndësh me gjatësinë e dhënë të brinjës a. Duke ditur mesataren dhe lartësinë e tij, mund të gjeni vlerën e anëve të tij. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim metodën e gjetjes përmes formulës a \u003d x: cosα, ku x është mesatarja ose lartësia. Meqenëse të gjitha anët e trekëndëshit janë të barabarta, marrim a = b = c. Atëherë do të jetë e vërtetë deklaratën e mëposhtme a \u003d b \u003d c \u003d x: cosα. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni vlerën e brinjëve në një trekëndësh dykëndësh, por x do të jetë lartësia e dhënë. Në të njëjtën kohë, ajo duhet të projektohet në mënyrë rigoroze në bazën e figurës. Pra, duke ditur lartësinë x, gjejmë anën a të një trekëndëshi dykëndësh duke përdorur formulën a \u003d b \u003d x: cosα. Pasi të gjeni vlerën e a, mund të llogarisni gjatësinë e bazës c. Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës. Do të kërkojmë vlerën e gjysmës së bazës c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Atëherë c = 2xtanα. si kjo në një mënyrë të lehtë gjeni numrin e brinjëve të çdo shumëkëndëshi të brendashkruar.
Llogaritja e brinjëve të një katrori të brendashkruar në një rreth
Si çdo shumëkëndësh tjetër i rregullt i brendashkruar, një katror ka brinjë dhe kënde të barabarta. Për të zbatohen të njëjtat formula si për trekëndëshin. Ju mund të llogaritni anët e një katrori duke përdorur vlerën e diagonales. Le ta shqyrtojmë këtë metodë në më shumë detaje. Dihet se diagonalja e përgjysmon këndin. Fillimisht, vlera e saj ishte 90 gradë. Kështu pas ndarjes formohen dy.Këndet e tyre në bazë do të jenë të barabarta me 45 gradë. Prandaj, secila anë e sheshit do të jetë e barabartë, domethënë: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, ku e është diagonalja e katrorit, ose baza e trekëndëshi kënddrejtë i formuar pas pjesëtimit. Kjo nuk është mënyra e vetme për të gjetur anët e një katrori. Le ta shkruajmë këtë figurë në një rreth. Duke ditur rrezen e këtij rrethi R, gjejmë anën e katrorit. Do ta llogarisim si më poshtë a4 = R√2. Rrezet e shumëkëndëshave të rregullt llogariten me formulën R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), ku a është gjatësia e anës.
Si të llogarisim perimetrin e një këndi n
Perimetri i një n-gon është shuma e të gjitha anëve të tij. Është e lehtë për ta llogaritur atë. Për ta bërë këtë, duhet të dini vlerat e të gjitha palëve. Për disa lloje poligonesh, ekzistojnë formula të veçanta. Ato ju lejojnë të gjeni perimetrin shumë më shpejt. Dihet se çdo shumëkëndësh i rregullt ka brinjë të barabarta. Prandaj, për të llogaritur perimetrin e tij, mjafton të njihni të paktën njërën prej tyre. Formula do të varet nga numri i anëve të figurës. Në përgjithësi, duket kështu: P \u003d an, ku a është vlera e anës dhe n është numri i këndeve. Për shembull, për të gjetur perimetrin e një tetëkëndëshi të rregullt me anë 3 cm, duhet ta shumëzoni me 8, domethënë P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Për një gjashtëkëndësh me anë 5 cm, ne llogarisim si më poshtë: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Dhe kështu për çdo shumëkëndësh.
Gjetja e perimetrit të paralelogramit, katrorit dhe rombit
Në varësi të sa brinjë ka një shumëkëndësh i rregullt, llogaritet perimetri i tij. Kjo e bën detyrën shumë më të lehtë. Në të vërtetë, ndryshe nga figurat e tjera, në këtë rast nuk është e nevojshme të kërkohen të gjitha anët e saj, mjafton vetëm një. Me të njëjtin parim, gjejmë perimetrin e katërkëndëshave, domethënë një katror dhe një romb. Pavarësisht se këto janë figura të ndryshme, formula për to është e njëjtë P = 4a, ku a është ana. Le të marrim një shembull. Nëse ana e një rombi ose katrori është 6 cm, atëherë perimetrin e gjejmë si më poshtë: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Një paralelogram ka vetëm anët e kundërta. Prandaj, perimetri i tij gjendet duke përdorur një metodë tjetër. Pra, duhet të dimë gjatësinë a dhe gjerësinë b të figurës. Pastaj aplikojmë formulën P \u003d (a + c) ∙ 2. Një paralelogram, në të cilin të gjitha anët dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabarta, quhet romb.
Gjetja e perimetrit të një trekëndëshi barabrinjës dhe kënddrejtë
Perimetri i atij të saktë mund të gjendet me formulën P \u003d 3a, ku a është gjatësia e anës. Nëse është e panjohur, mund të gjendet përmes mesatares. V trekëndësh kënddrejtë vetëm dy anë janë të barabarta. Baza mund të gjendet përmes teoremës së Pitagorës. Pasi të bëhen të njohura vlerat e të tre anëve, llogarisim perimetrin. Mund të gjendet duke aplikuar formulën P \u003d a + b + c, ku a dhe b janë anët e barabarta, dhe c është baza. Kujtoni se në një trekëndësh izoscelular një \u003d b \u003d a, pra, a + b \u003d 2a, pastaj P \u003d 2a + c. Për shembull, brinja e një trekëndëshi dykëndësh është 4 cm, gjeni bazën dhe perimetrin e tij. Ne llogarisim vlerën e hipotenuzës sipas teoremës së Pitagorës c \u003d √a 2 + në 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Tani llogarisim perimetrin P \u003d \u003d \u003d 5 + 2. u003d 13,65 cm.
Si të gjeni këndet e një shumëkëndëshi të rregullt
Një shumëkëndësh i rregullt ndodh çdo ditë në jetën tonë, për shembull, një katror, trekëndësh, tetëkëndësh i zakonshëm. Duket se nuk ka asgjë më të lehtë sesa ta ndërtoni vetë këtë figurë. Por kjo është vetëm në shikim të parë. Për të ndërtuar ndonjë n-gon, duhet të dini vlerën e këndeve të tij. Por si i gjeni ato? Më shumë shkencëtarët e antikitetit u përpoq të ndërtonte shumëkëndësha të rregullt. Ata menduan t'i vendosnin në rrathë. Dhe pastaj pikat e nevojshme u shënuan në të, të lidhura me vija të drejta. Për shifra të thjeshta, problemi i ndërtimit është zgjidhur. Janë marrë formula dhe teorema. Për shembull, Euklidi në veprën e tij të famshme "Fillimi" ishte i angazhuar në zgjidhjen e problemeve për 3-, 4-, 5-, 6- dhe 15-gons. Ai gjeti mënyra për t'i ndërtuar ato dhe për të gjetur kënde. Le të shohim se si ta bëjmë këtë për një 15-gon. Së pari ju duhet të llogarisni shumën e këndeve të tij të brendshme. Është e nevojshme të përdoret formula S = 180⁰(n-2). Pra, na jepet një 15-gon, që do të thotë se numri n është 15. Të dhënat që dimë i zëvendësojmë në formulë dhe marrim S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Ne kemi gjetur shumën e të gjitha këndeve të brendshme të një 15-gon. Tani duhet të marrim vlerën e secilit prej tyre. Janë gjithsej 15 kënde.Bëjmë llogaritjen e 2340⁰: 15 = 156⁰. Pra secili këndi i brendshëmështë e barabartë me 156⁰, tani me ndihmën e një vizore dhe një busull mund të ndërtoni një 15-gon të rregullt. Por çfarë ndodh me n-gonet më komplekse? Për shekuj me radhë, shkencëtarët kanë luftuar për të zgjidhur këtë problem. Ajo u gjet vetëm në shekullin e 18-të nga Carl Friedrich Gauss. Ai ishte në gjendje të ndërtonte një 65537-gon. Që atëherë, problemi është konsideruar zyrtarisht i zgjidhur plotësisht.
Llogaritja e këndeve të n-goneve në radiane
Sigurisht, ka disa mënyra për të gjetur qoshet e shumëkëndëshave. Më shpesh ato llogariten në gradë. Por ju mund t'i shprehni ato edhe në radianë. Si ta bëjmë atë? Është e nevojshme të veprohet si më poshtë. Së pari, zbulojmë numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt, pastaj zbresim prej tij 2. Pra, marrim vlerën: n - 2. Shumëzojmë ndryshimin e gjetur me numrin n ("pi" \u003d 3.14). Tani mbetet vetëm të ndajmë produktin që rezulton me numrin e këndeve në n-gon. Konsideroni këto llogaritje duke përdorur shembullin e të njëjtës pesëmbëdhjetë anë. Pra, numri n është 15. Le të zbatojmë formulën S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Kjo sigurisht nuk është mënyra e vetme për të llogaritur një kënd në radianë. Ju thjesht mund ta ndani madhësinë e këndit në gradë me numrin 57.3. Në fund të fundit, shumë gradë është e barabartë me një radian.
Llogaritja e vlerës së këndeve në gradë
Përveç shkallëve dhe radianeve, mund të përpiqeni të gjeni vlerën e këndeve të një shumëkëndëshi të rregullt në shkallë. Kjo bëhet në mënyrën e mëposhtme. Zbrisni 2 nga numri i përgjithshëm i këndeve, pjesëtoni ndryshimin që rezulton me numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt. Ne e shumëzojmë rezultatin e gjetur me 200. Nga rruga, një njësi e tillë matëse e këndeve si gradë praktikisht nuk përdoret.
Llogaritja e këndeve të jashtme të n-këndëshave
Për çdo shumëkëndësh të rregullt, përveç atij të brendshëm, mund të llogarisni edhe këndin e jashtëm. Vlera e tij gjendet në të njëjtën mënyrë si për figurat e tjera. Pra, për të gjetur këndin e jashtëm të një shumëkëndëshi të rregullt, duhet të dini vlerën e atij të brendshëm. Më tej, ne e dimë se shuma e këtyre dy këndeve është gjithmonë 180 gradë. Prandaj, ne i bëjmë llogaritjet si më poshtë: 180⁰ minus vlerën e këndit të brendshëm. Ne gjejmë ndryshimin. Do të jetë e barabartë me vlerën e këndit ngjitur me të. Për shembull, këndi i brendshëm i një katrori është 90 gradë, kështu që këndi i jashtëm do të jetë 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Siç mund ta shohim, nuk është e vështirë ta gjesh atë. këndi i jashtëm mund të marrë një vlerë nga +180⁰ në, përkatësisht, -180⁰.