Otdelkina Olga, nxënëse e klasës së 9-të
Kjo temë është pjesë përbërëse e studimit të lëndës shkollore të algjebrës. Qëllimi i kësaj pune është të studiohet më thellë kjo temë, të identifikohet sa më shumë vendim racional duke çuar shpejt në një përgjigje. Kjo ese do të ndihmojë studentët e tjerë të kuptojnë përdorimin e metodës grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra, të mësojnë për origjinën, zhvillimin e kësaj metode.
Shkarko:
Pamja paraprake:
Hyrje2
Kapitulli 1
Historia e shfaqjes së ekuacioneve me parametrin 3
Teorema e Vietës4
Konceptet bazë5
Kapitulli 2. Llojet e ekuacioneve me parametra.
Ekuacionet lineare6
Ekuacionet kuadratike……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………...7
Kapitulli 3
Metoda analitike………………………………………………………………………..
Metoda grafike. Historia e shfaqjes………………………………9
Algoritmi i zgjidhjes grafike………………………………….10
Zgjidhja e një ekuacioni me një modul………………………………………………………….11
Pjesa praktike……………………………………………………………………12
përfundimi…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Referencat………………………………………………………………………… 20
Prezantimi.
Zgjodha këtë temë sepse është pjesë përbërëse e studimit të lëndës së algjebrës shkollore. Duke përgatitur këtë punë, vendosa qëllimin e një studimi më të thellë të kësaj teme, duke identifikuar zgjidhjen më racionale që të çon shpejt në një përgjigje. Eseja ime do t'i ndihmojë studentët e tjerë të kuptojnë përdorimin e metodës grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra, të mësojnë për origjinën, zhvillimin e kësaj metode.
V jeta moderne studimi i shumë proceseve fizike dhe rregullsive gjeometrike shpesh çon në zgjidhjen e problemeve me parametrat.
Për të zgjidhur ekuacione të tilla, metoda grafike është shumë efektive kur është e nevojshme të përcaktohet se sa rrënjë ka ekuacioni në varësi të parametrit α.
Detyrat me parametra janë me interes thjesht matematikor, kontribuojnë në zhvillimin intelektual të studentëve, shërbejnë gjëra të mira për zhvillimin e aftësive. Ato kanë vlerë diagnostike, pasi mund të përdoren për të testuar njohuritë e seksioneve kryesore të matematikës, nivelin e matematikës dhe të menduarit logjik, aftësitë fillestare aktivitetet kërkimore dhe mundësi premtuese për zotërim të suksesshëm të lëndës së matematikës në institucionet e arsimit të lartë.
Në abstraktin tim, merren parasysh llojet e ekuacioneve që ndeshen më shpesh dhe shpresoj që njohuritë që kam marrë në procesin e punës të më ndihmojnë gjatë kalimit provimet shkollore, pas te gjithaveekuacionet me parametrakonsiderohet me të drejtë një nga më detyra sfiduese në matematikën e shkollës së mesme. Janë këto detyra që hyjnë në listën e detyrave në provimin e unifikuar të shtetit USE.
Historia e shfaqjes së ekuacioneve me një parametër
Problemet për ekuacionet me një parametër tashmë janë hasur në traktatin astronomik "Aryabhattam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër studiues indian, Brahmagupta (shekulli VII), shpjegoi rregull i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:
αх 2 + bx = c, α>0
Në ekuacion, koeficientët, përveç parametrit, gjithashtu mund të jetë negativ.
Ekuacionet kuadratike në el-Huarizmi.
Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike me një parametër. Autori rendit 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:
1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. αx 2 = bx.
2) "Katroret janë të barabartë me një numër", d.m.th. αx 2 = c.
3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. αx = c.
4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. αx 2 + c = bx.
5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me një numër", d.m.th. αx 2 + bx = c.
6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = αx 2 .
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas al-Khorezmi në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci.
Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik me një parametër in pamje e përgjithshme Vieta ka, por Vieta njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin XII. merrni parasysh, përveç rrënjëve pozitive, dhe negative. Vetëm në shekullin XVII. falë punimeve të Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike ka marrë një pamje moderne.
Teorema e Vietës
Teorema që shpreh marrëdhënien ndërmjet parametrave, koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, që mban emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në vitin 1591. Si vijon: “Nëse b + d shumëzuar me α minus α 2 është e barabartë bc, atëherë α është e barabartë me b dhe e barabartë me d.
Për të kuptuar Vietën, duhet mbajtur mend se α, si çdo zanore, nënkuptonte të panjohurën (x-në tonë), ndërsa zanoret b, d janë koeficientë për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i Vieta-s më sipër do të thotë:
Nëse ka
(α + b)x - x 2 \u003d αb,
Kjo do të thotë, x 2 - (α -b)x + αb \u003d 0,
atëherë x 1 = α, x 2 = b.
Shprehja e marrëdhënies ndërmjet rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve formulat e përgjithshme, i shkruar duke përdorur simbole, Vieta vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vieta është ende larg pamje moderne. Ai nuk e pranoi numrat negativë dhe për këtë arsye, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, ai mori parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët janë pozitive.
Konceptet bazë
Parametri - një ndryshore e pavarur, vlera e së cilës konsiderohet të jetë një numër fiks ose arbitrar, ose një numër që i përket intervalit të përcaktuar nga gjendja e problemit.
Ekuacioni me parametër- matematikoreekuacionin, pamjen dhe zgjidhja e të cilit varet nga vlerat e një ose më shumë parametrave.
Vendosni ekuacioni me mesataren e parametrave për secilën vlerëgjeni vlerat x që plotësojnë këtë ekuacion, dhe gjithashtu:
- 1. Hetoni se për cilat vlera të parametrave ka rrënjë ekuacioni dhe sa prej tyre në kuptime të ndryshme parametrave.
- 2. Gjeni të gjitha shprehjet për rrënjët dhe tregoni për secilën prej tyre vlerat e parametrave për të cilët kjo shprehje vërtet përcakton rrënjën e ekuacionit.
Merrni parasysh ekuacionin α(х+k)= α +c, ku α, c, k, x janë variabla.
Sistemi i vlerave të pranueshme të variablave α, c, k, xquhet çdo sistem vlerash të variablave, në të cilin si pjesa e majtë dhe e djathtë e këtij ekuacioni marrin vlera reale.
Le të jetë A grupi i të gjitha vlerave të pranueshme të α, K - grupi i të gjitha vlerave të pranueshme të k, X - grupi i të gjitha vlerave të pranueshme të x, C - grupi i të gjitha vlerave të pranueshme e shek. Nëse për secilën nga bashkësitë A, K, C, X zgjedhim dhe rregullojmë, përkatësisht, një vlerë α, k, c dhe i zëvendësojmë në ekuacion, atëherë marrim një ekuacion për x, d.m.th. ekuacion me një të panjohur.
Ndryshoret α, k, c, të cilat konsiderohen konstante gjatë zgjidhjes së ekuacionit, quhen parametra dhe vetë ekuacioni quhet ekuacion që përmban parametra.
Parametrat shënohen me shkronjat e para të alfabetit latin: α, b, c, d, ..., k, l, m, n dhe të panjohurat - me shkronjat x, y, z.
Quhen dy ekuacione që përmbajnë të njëjtat parametra ekuivalente nëse:
a) kanë kuptim për të njëjtat vlera të parametrave;
b) çdo zgjidhje e ekuacionit të parë është zgjidhje e të dytit dhe anasjelltas.
Llojet e ekuacioneve me parametra
Ekuacionet me parametra janë: lineare dhe katror.
1) Ekuacioni linear. Forma e përgjithshme:
α x = b, ku x është i panjohur;α , b - parametrat.
Për këtë ekuacion, vlera speciale ose e kontrollit të parametrit është ajo në të cilën koeficienti zhduket në të panjohurën.
Kur vendoset ekuacioni linear me një parametër konsiderohen rastet kur parametri është i barabartë dhe i ndryshëm nga vlera e tij e veçantë.
Vlera e veçantë e parametrit α është vleraα = 0.
1. Nëse, a ≠0 , pastaj për çdo çift parametrashα dhe b ka vetëm vendim x = .
2. Nëse, a =0, atëherë ekuacioni merr formën: 0 x = b . Në këtë rast, vlera b = 0 është një vlerë e veçantë e parametrit b.
2.1. Për b ≠ 0 ekuacioni nuk ka zgjidhje.
2.2. Për b =0 ekuacioni do të marrë formën: 0 x=0.
Zgjidhja e këtij ekuacioni është çdo numër real.
Ekuacioni kuadratik me një parametër.
Forma e përgjithshme:
α x 2 + bx + c = 0
ku parametri α ≠0, b dhe c - numra arbitrar
Nëse α =1, atëherë ekuacioni quhet ekuacion kuadratik i reduktuar.
Rrënjët e ekuacionit kuadratik gjenden me formula
Shprehja D = b 2 - 4 α c quajtur diskriminues.
1. Nëse D> 0 - ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme.
2. Nëse D< 0 — уравнение не имеет корней.
3. Nëse D = 0 - ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta.
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve me një parametër:
- Analitike - një metodë e zgjidhjes së drejtpërdrejtë që përsërit procedurat standarde për gjetjen e përgjigjes në një ekuacion pa parametra.
- Grafik - në varësi të gjendjes së problemit, pozicionit të grafikut të përkatësisë funksion kuadratik në sistemin e koordinatave.
Metoda analitike
Algoritmi i zgjidhjes:
- Para se të vazhdoni me zgjidhjen e problemit me parametrat metodë analitike, ju duhet të kuptoni situatën për një vlerë numerike specifike të parametrit. Për shembull, merrni vlerën e parametrit α =1 dhe përgjigjuni pyetjes: a është vlera e parametrit α =1 vlera e kërkuar për këtë problem.
Shembulli 1: Vendosni rreth X ekuacioni linear me parametrin m:
Sipas kuptimit të problemës (m-1)(x+3) = 0, pra m= 1, x = -3.
Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me (m-1) (x+3), marrim ekuacionin
marrim
Prandaj, në m = 2,25.
Tani është e nevojshme të kontrolloni nëse nuk ka vlera të tilla të m për të cilat
vlera x e gjetur është -3.
Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim se x është -3 kur m = -0,4.
Përgjigje: në m=1, m=2,25.
Metoda grafike. Historia e shfaqjes
Studimi i varësive të përgjithshme filloi në shekullin e 14-të. Shkenca mesjetare ishte skolastike. Me një karakter të tillë, nuk kishte vend për studimin e varësive sasiore, bëhej fjalë vetëm për cilësitë e objekteve dhe marrëdhëniet e tyre me njëri-tjetrin. Por në mesin e shkollarëve u ngrit një shkollë që pohoi se cilësitë mund të jenë pak a shumë intensive (veshja e një personi që ka rënë në lumë është më e lagësht se ajo e dikujt që sapo është zënë nga shiu)
Shkencëtari francez Nicholas Oresme filloi të përshkruajë intensitetin e gjatësisë së segmenteve. Kur ai i rregulloi këto segmente pingul me një vijë të drejtë, skajet e tyre formuan një vijë, të cilën ai e quajti "vija e intensiteteve" ose "vija e skajit të sipërm" (grafiku i varësisë funksionale përkatëse). Oresmus studioi madje edhe "rrafsh". dhe cilësitë "trupore", pra funksionet në varësi të dy ose tre variablave.
Një arritje e rëndësishme e Oresmes ishte një përpjekje për të klasifikuar grafikët që rezultojnë. Ai veçoi tre lloje cilësish: uniforme (me intensitet konstant), uniformisht e pabarabartë (me shpejtësi konstante ndryshimet e intensitetit) dhe të pabarabarta-të pabarabarta (të gjitha të tjerat), si dhe vetitë karakteristike të grafikëve të cilësive të tilla.
Për të krijuar një aparat matematikor për studimin e grafikëve të funksionit, u desh koncepti i një ndryshoreje. Ky koncept u fut në shkencë nga filozofi dhe matematikani francez René Descartes (1596-1650). Ishte Dekarti ai që doli me idetë për unitetin e algjebrës dhe gjeometrisë dhe për rolin e ndryshoreve, Dekarti prezantoi një segment njësi fikse dhe filloi të merrte në konsideratë marrëdhëniet e segmenteve të tjera me të.
Kështu, grafikët e funksioneve gjatë gjithë periudhës së ekzistencës së tyre kanë kaluar nëpër një sërë transformimesh themelore që i kanë sjellë në formën me të cilën jemi mësuar. Çdo fazë ose hap në zhvillimin e grafikëve të funksioneve është një pjesë integrale e historisë së algjebrës dhe gjeometrisë moderne.
Metoda grafike për përcaktimin e numrit të rrënjëve të një ekuacioni në varësi të parametrit të përfshirë në të është më e përshtatshme se ajo analitike.
Algoritmi i zgjidhjes grafike
Grafiku i funksionit është bashkësia e pikave kuabshisëjanë vlera të vlefshme argumenti, a ordinatat- vlerat përkatësefunksione.
Algoritmi zgjidhje grafike ekuacionet me parametër:
- Gjeni domenin e ekuacionit.
- Ne shprehim α në funksion të x.
- Në sistemin e koordinatave ndërtojmë një grafik të funksionitα (x) për ato vlera të x që janë brenda domenit të ekuacionit të dhënë.
- Gjetja e pikave të kryqëzimit të drejtëzësα =c, me grafikun e funksionit
a (x). Nëse drejtëza α =c kalon grafikunα (x), pastaj përcaktojmë abshisat e pikave të kryqëzimit. Për ta bërë këtë, mjafton të zgjidhet ekuacioni c = α (x) në lidhje me x.
- Shkruani përgjigjen
Zgjidhja e ekuacioneve me modul
Kur zgjidhni ekuacione me një modul që përmban një parametër, grafikisht, është e nevojshme të ndërtohen grafikët e funksioneve dhe për vlera të ndryshme parametër për të marrë në konsideratë të gjitha rastet e mundshme.
Për shembull, │х│= a,
Përgjigje: nëse a < 0, то нет корней, a > 0, atëherë x \u003d a, x \u003d - a, nëse a \u003d 0, atëherë x \u003d 0.
Zgjidhja e problemeve.
Problemi 1. Sa rrënjë ka ekuacioni| | x | - 2 | = a në varësi të parametrit a?
Zgjidhje. Në sistemin e koordinatave (x; y), vizatojmë grafikët e funksioneve y = | | x | - 2 | dhe y= a . Grafiku i funksionit y = | | x | - 2 | treguar në figurë.
Grafiku i funksionit y =α a = 0).
Nga grafiku mund të shihet se:
Nëse a = 0, atëherë drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka me grafikun e funksionit y = | | x | - 2 | dy pika të përbashkëta; pra, ekuacioni origjinal ka dy rrënjë (në këtë rast, rrënjët mund të gjenden: x 1,2
= + 2).
Nëse 0<
a
< 2, то прямая y =
α
ka me grafikun e funksionit y = | | x | - 2 | katër pika të përbashkëta dhe, për rrjedhojë, ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
Nëse a = 2, atëherë drejtëza y = 2 ka tre pika të përbashkëta me grafikun e funksionit. Atëherë ekuacioni origjinal ka tre rrënjë.
Nëse a > 2, pastaj drejtëza y = a do të ketë dy pika me grafikun e funksionit origjinal, pra ky ekuacion do të ketë dy rrënjë.
Përgjigje: nëse a < 0, то корней нет;
nëse a = 0, a > 2, atëherë dy rrënjë;
nëse a = 2, atëherë tre rrënjë;
nëse 0<
a
< 2, то четыре корня.
Problemi 2. Sa rrënjë ka ekuacioni| x 2 - 2| x | - 3 | = a në varësi të parametrit a?
Zgjidhje. Në sistemin e koordinatave (x; y), vizatojmë grafikët e funksioneve y = | x 2 - 2| x | - 3 | dhe y = a .
Grafiku i funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 | treguar në figurë. Grafiku i funksionit y =α është një drejtëz paralele me Ox ose që përkon me të (kur a = 0).
Nga grafiku mund të shihni:
Nëse a = 0, atëherë drejtëza y = a përkon me boshtin Ox dhe ka me grafikun e funksionit y = | x2 - 2| x | - 3 | dy pika të përbashkëta, si dhe një drejtëz y = a do të ketë me funksion grafikun y = | x 2
- 2| x | - 3 | dy pika të përbashkëta a > 4. Prandaj, për a = 0 dhe a > 4 ekuacioni origjinal ka dy rrënjë.
Nëse 0<
a< 3, то прямая y =
a
ka me grafikun e funksionit y = | x 2
- 2| x | - 3 | katër pika të përbashkëta, si dhe një drejtëz y= a do të ketë katër pika të përbashkëta me grafikun e funksionit të ndërtuar në a = 4. Prandaj, në 0<
a
< 3,
a
= 4 ekuacioni origjinal ka katër rrënjë.
Nëse a = 3, pastaj rreshti y = a pret grafikun e funksionit në pesë pika; prandaj, ekuacioni ka pesë rrënjë.
Nëse 3<
a< 4, прямая y =
α
pret grafikun e funksionit të ndërtuar në gjashtë pika; pra, për këto vlera të parametrit, ekuacioni origjinal ka gjashtë rrënjë.
Nëse a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y =
α
nuk e pret grafikun e funksionit y = | x 2 - 2| x | - 3 |.
Përgjigje: nëse a < 0, то корней нет;
nëse a = 0, a > 4, atëherë dy rrënjë;
nëse 0<
a
< 3,
a
= 4, pastaj katër rrënjë;
nese nje = 3, pastaj pesë rrënjë;
nëse 3<
a
< 4, то шесть корней.
Problemi 3. Sa rrënjë ka ekuacioni
në varësi të parametrit a?
Zgjidhje. Ndërtojmë në sistemin koordinativ (x; y) grafikun e funksionit
por së pari le ta vendosim në formën:
Drejtëzat x = 1, y = 1 janë asimptotat e grafikut të funksionit. Grafiku i funksionit y = | x | + a përftohet nga grafiku i funksionit y = | x | kompensuar nga një njësi përgjatë boshtit Oy.
Grafikët e funksionit kryqëzohen në një pikë në a > - 1; pra, ekuacioni (1) për këto vlera të parametrit ka një zgjidhje.
Për a = - 1, a = - 2 grafikë kryqëzohen në dy pika; pra, për këto vlera të parametrit, ekuacioni (1) ka dy rrënjë.
Në - 2<
a< - 1,
a
< - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.
Përgjigje: nëse a > - 1, pastaj një zgjidhje;
nëse a = - 1, a = - 2, pastaj dy zgjidhje;
nëse - 2<
a
< - 1,
a
< - 1, то три решения.
Komentoni. Gjatë zgjidhjes së ekuacionit të problemës vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet rastit kur a = - 2, pasi pika (- 1; - 1) nuk i përket grafikut të funksionitpor i përket grafikut të funksionit y = | x | + a.
Problemi 4. Sa rrënjë ka ekuacioni
x + 2 = a | x - 1 |
në varësi të parametrit a?
Zgjidhje. Vini re se x = 1 nuk është një rrënjë e këtij ekuacioni, pasi barazia 3 = a 0 nuk mund të jetë e vërtetë për asnjë vlerë parametri a . Të dyja anët e ekuacionit i ndajmë me | x - 1 |(| x - 1 |0), atëherë ekuacioni do të marrë formënNë sistemin e koordinatave xOy, ne grafikojmë funksionin
Grafiku i këtij funksioni është paraqitur në figurë. Grafiku i funksionit y = a është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox ose që përkon me të (për a = 0).
1. Përcaktimi i motivimit personal të nxënësve. Për të vazhduar arsimin, për vetë-zhvillim dhe rritje intelektuale, është e nevojshme të studioni me zell dhe me vetëdije dhe të kujdeseni për shëndetin tuaj. 2. Akses në konceptin e "parametrit". Parametër - një vlerë që karakterizon vetitë kryesore të një ndryshimi në një sistem ose fenomen. ( Fjalor)
Në ekuacione (pabarazi), koeficientët për të panjohurat ose termat e lirë të dhënë jo me vlera numerike specifike, por të treguara me shkronja quhen parametra. Shembull: Të zgjidhësh një problem me një parametër do të thotë, për secilën vlerë të parametrit, të gjesh vlerat x që plotësojnë kushtin e këtij problemi.
X y x y a > 0 a 0, (2 rrënjë) 0 a 0, (2 rrënjë)"> 0 a 0, (2 rrënjë)"> 0 a 0, (2 rrënjë)" title="(!LANG:x y x y a > 0 a 0, (2 rrënjë)"> title="x y x y a > 0 a 0, (2 rrënjë)"> !}
x uuuuuuuuuh
2. kur ekuacioni merr formën dhe ka një rrënjë x \u003d 0. 3. kur gjejmë rrënjët e ekuacionit sipas formulës Përgjigje: kur nuk ka rrënjë; me një rrënjë x = 0. me dy rrënjë 1. ana e majtë e ekuacionit është jonegative për çdo vlerë të të panjohurës x,. asnjë zgjidhje. x y 0 y = a "SHIKON!" Metoda 1 (analitike) Metoda 2 (grafike)
Në cilat vlera të parametrit a ka një zgjidhje ekuacioni? E shkruajmë ekuacionin në formën: x Vizatojmë grafikët e funksioneve: Përgjigje: a = 3 dhe një drejtëz lëvizëse y = a. a
Për cilat vlera të parametrit a nuk ka zgjidhje ekuacioni? x y Le të ndërtojmë një grafik Sipas figurës, ne shohim në dhe një vijë të drejtë y \u003d a. nuk ka zgjidhje. nje pergjigje:
(Metodë grafike për zgjidhjen e problemave me një parametër) Një problem me një parametër mund të konsiderohet si funksion f (x; a) =0 1. Ndërtojmë një imazh grafik 2. Grafikun që rezulton e presim me drejtëza paralele me x. -aksi 3. “Lexo” informacionin e nevojshëm Skema e zgjidhjes: !!!
3 Përgjigje: 1 rrënjë "title="(!LANG: Specifikoni numrin e rrënjëve të ekuacionit f(x)= a për të gjitha vlerat e parametrit a. 1 35-2 1 xa -5 3 1 rrënjë, a3 Përgjigje : 1 rrënjë" class="link_thumb"> 15 !} Tregoni numrin e rrënjëve të ekuacionit f (x) \u003d a për të gjitha vlerat e parametrit rrënjë axa, a3 Përgjigje: 1 rrënjë për një 3 2 rrënjë për një \u003d -5, një \u003d 3 3 rrënjë për 1 3 Përgjigje: 1 rrënjë "> 3 Përgjigje: 1 rrënjë me një 3 2 rrënjë me një \u003d -5, një \u003d 3 3 rrënjë me 1 3 Përgjigje: 1 rrënjë "title="(!LANG: Specifikoni numrin e rrënjëve të ekuacionit f(x)= a për të gjitha vlerat e parametrit a. 1 35-2 1 xa -5 3 1 rrënjë, a3 Përgjigje : 1 rrënjë"> title="Tregoni numrin e rrënjëve të ekuacionit f(x)= a për të gjitha vlerat e parametrit a. 1 35-2 1 x a -5 3 1 rrënjë, a3 Përgjigje: 1 rrënjë">!}
X y y Për cilat vlera të parametrit a ka dy rrënjë ekuacioni? x y x
1) Kur një \u003d 3, në krye kënd i drejtë; Gjeni shumën e vlerave të numrit të plotë të parametrit a për të cilin ekuacioni ka tre rrënjë. Ekuacioni origjinal është i barabartë me bashkësinë B Duke shprehur parametrin a, marrim: Nga figura shihet se ekuacioni ka tre rrënjë në 3 raste x a a 1 = 3 a 2 = ? dhe 3 = ? Pastaj a = = 5. Përgjigju. 8. 2) Për x 4, a 2 = 5 a 3 a 3 4, a 2 \u003d 5 a 3 a 3"\u003e 
TE detyrat me parametër përfshijnë, për shembull, kërkimin e një zgjidhjeje për ekuacionet lineare dhe kuadratike në një formë të përgjithshme, studimin e ekuacionit për numrin e rrënjëve të disponueshme, në varësi të vlerës së parametrit.
Pa dhënë përkufizime të hollësishme, merrni parasysh ekuacionet e mëposhtme si shembuj:
y = kx, ku x, y janë variabla, k është një parametër;
y = kx + b, ku x, y janë variabla, k dhe b janë parametra;
ax 2 + bx + c = 0, ku x janë variabla, a, b dhe c janë parametra.
Të zgjidhësh një ekuacion (pabarazi, sistem) me një parametër do të thotë, si rregull, të zgjidhësh një grup të pafund ekuacionesh (pabarazi, sisteme).
Detyrat me një parametër mund të ndahen me kusht në dy lloje:
a) kushti thotë: zgjidhni ekuacionin (pabarazinë, sistemin) - kjo do të thotë, për të gjitha vlerat e parametrit, gjeni të gjitha zgjidhjet. Nëse të paktën një rast mbetet i paeksploruar, një zgjidhje e tillë nuk mund të konsiderohet e kënaqshme.
b) kërkohet të specifikohet vlerat e mundshme parametri sipas të cilit ekuacioni (pabarazia, sistemi) ka veti të caktuara. Për shembull, ka një zgjidhje, nuk ka zgjidhje, ka zgjidhje, që i përkasin hendekut etj. Në detyra të tilla, është e nevojshme të tregohet qartë se në cilën vlerë të parametrit plotësohet kushti i kërkuar.
Parametri, duke qenë një numër fiks i panjohur, ka, si të thuash, një dualitet të veçantë. Para së gjithash, duhet të merret parasysh se fama e supozuar sugjeron që parametri duhet të perceptohet si një numër. Së dyti, liria për të trajtuar një parametër është e kufizuar nga e panjohura e tij. Kështu, për shembull, operacionet e ndarjes me një shprehje në të cilën ka një parametër ose nxjerrja e një rrënja të një shkalle çift nga një shprehje e ngjashme kërkojnë kërkime paraprake. Prandaj, duhet pasur kujdes në trajtimin e parametrit.
Për shembull, për të krahasuar dy numra -6a dhe 3a, duhet të merren parasysh tre raste:
1) -6a do të jetë më e madhe se 3a nëse a është një numër negativ;
2) -6a = 3a në rastin kur a = 0;
3) -6a do të jetë më e vogël se 3a nëse a është një numër pozitiv 0.
Vendimi do të jetë përgjigja.
Le të jepet ekuacioni kx = b. Ky ekuacion është stenografi për një grup të pafund ekuacionesh në një ndryshore.
Kur zgjidhen ekuacione të tilla, mund të ketë raste:
1. Le të jetë k çdo numër real jozero dhe b çdo numër nga R, atëherë x = b/k.
2. Le të jetë k = 0 dhe b ≠ 0, ekuacioni origjinal do të marrë formën 0 · x = b. Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje.
3. Le të jenë numra k dhe b, zero, atëherë kemi barazinë 0 · x = 0. Zgjidhja e tij është çdo numër real.
Algoritmi për zgjidhjen e këtij lloj ekuacioni:
1. Përcaktoni vlerat e "kontrollit" të parametrit.
2. Zgjidheni ekuacionin origjinal për x me vlerat e parametrit që u përcaktuan në paragrafin e parë.
3. Zgjidheni ekuacionin origjinal për x me vlera parametrash që ndryshojnë nga ato të zgjedhura në paragrafin e parë.
4. Përgjigjen mund ta shkruani në formën e mëposhtme:
1) kur ... (vlera e parametrit), ekuacioni ka rrënjë ...;
2) kur ... (vlera e parametrit), nuk ka rrënjë në ekuacion.
Shembulli 1
Zgjidheni ekuacionin me parametrin |6 – x| = a.
Zgjidhje.
Është e lehtë të shihet se këtu një ≥ 0.
Sipas rregullit të modulit 6 – x = ±a, shprehim x:
Përgjigje: x = 6 ± a, ku a ≥ 0.
Shembulli 2
Zgjidheni ekuacionin a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 në lidhje me ndryshoren x.
Zgjidhje.
Le të hapim kllapat: sëpatë - a + 2x - 2 \u003d 0
Le të shkruajmë ekuacionin në formë standarde: x(a + 2) = a + 2.
Nëse shprehja a + 2 nuk është zero, d.m.th. nëse a ≠ -2, kemi zgjidhjen x = (a + 2) / (a + 2), d.m.th. x = 1.
Nëse a + 2 është e barabartë me zero, d.m.th. a \u003d -2, atëherë kemi barazinë e saktë 0 x \u003d 0, prandaj x është çdo numër real.
Përgjigje: x \u003d 1 për një ≠ -2 dhe x € R për një \u003d -2.
Shembulli 3
Zgjidheni ekuacionin x/a + 1 = a + x në lidhje me ndryshoren x.
Zgjidhje.
Nëse a \u003d 0, atëherë e transformojmë ekuacionin në formën a + x \u003d a 2 + sëpatë ose (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Ekuacioni i fundit për a = 1 ka formën 0 · x = 0, pra, x është çdo numër.
Nëse a ≠ 1, atëherë ekuacioni i fundit do të marrë formën x = -a.
Kjo zgjidhje mund të ilustrohet në vijën e koordinatave (Fig. 1)
Përgjigje: nuk ka zgjidhje për a = 0; x - çdo numër në a = 1; x \u003d -a me një ≠ 0 dhe a ≠ 1.
Metoda grafike
Konsideroni një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet me një parametër - grafik. Kjo metodë përdoret mjaft shpesh.
Shembulli 4
Sa rrënjë, në varësi të parametrit a, ka ekuacioni ||x| – 2| = a?
Zgjidhje.
Për të zgjidhur me një metodë grafike, ne ndërtojmë grafikët e funksioneve y = ||x| – 2| dhe y = a (Fig. 2).
Vizatimi tregon qartë rastet e mundshme të vendndodhjes së drejtëzës y = a dhe numrin e rrënjëve në secilën prej tyre.
Përgjigje: ekuacioni nuk do të ketë rrënjë nëse a< 0; два корня будет в случае, если a >2 dhe a = 0; ekuacioni do të ketë tre rrënjë në rastin a = 2; katër rrënjë - në 0< a < 2.
Shembulli 5
Për të cilën a është ekuacioni 2|x| + |x – 1| = a ka një rrënjë të vetme?
Zgjidhje.
Le të vizatojmë grafikët e funksioneve y = 2|x| + |x – 1| dhe y = a. Për y = 2|x| + |x - 1|, duke zgjeruar modulet me metodën e hendekut, marrim:
(-3x + 1, në x< 0,
y = (x + 1, për 0 ≤ x ≤ 1,
(3x – 1, për x > 1.
Në figura 3 shihet qartë se ekuacioni do të ketë një rrënjë unike vetëm kur a = 1.
Përgjigje: a = 1.
Shembulli 6
Përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit |x + 1| + |x + 2| = a në varësi të parametrit a?
Zgjidhje.
Grafiku i funksionit y = |x + 1| + |x + 2| do të jetë një vijë e thyer. Kulmet e tij do të vendosen në pikat (-2; 1) dhe (-1; 1) (foto 4).
Përgjigje: nëse parametri a është më i vogël se një, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë; nëse a = 1, atëherë zgjidhja e ekuacionit është një grup i pafund numrash nga segmenti [-2; -një]; nëse vlerat e parametrit a janë më të mëdha se një, atëherë ekuacioni do të ketë dy rrënjë.
A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet me një parametër?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
Mësimi i parë është falas!
faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.